现代控制理论实验报告3

实验三 利用MATLAB 导出连续状态空间模型的离散化模型

实验目的：

1、基于对象的一个连续时间状态空间模型，导出其相应的离散化状态空间模型；

2、通过编程、上机调试，掌握离散系统运动分析方法。

实验原理：

给定一个连续时间系统的状态空间模型：

()()()()()()

x t Ax t Bu t y t Cx t Du t =+=+& （3.1） 状态空间模型（3.1）的输入信号()u t 具有以下特性：

()(),u t u kT kT t kT T =≤≤+ （3.2）

已知第k 个采样时刻的状态()x kT 和第k 个采样时刻到第1k +个采样时刻间的输入()()u t u kT =，可得第1k +个采样时刻(1)k T +处的状态

(1)((1))((1))()((1))()k T kT x k T k T kT x kT k T Bu d τττ++=Φ+-+Φ+-⎰

（3.3）

其中： ((1))((1))A k T kT AT k T kT e e +-Φ+-==

((1))((1))A k T k T e ττ+-Φ+-=

由于输入信号在两个采样时刻之间都取常值，故对式（3.3）中的积分式进行一个时间变量替换(1)k T στ=+-后，可得

0((1))()()()AT

A x k T e x kT e d Bu kT τ

σσ+=+⎰ （3.4） 另一方面，以周期T 对输出方程进行采样，得到

()()()y kT Cx kT Du kT =+

在周期采样的情况下，用k 来表示第k 个采样时刻kT 。因此，连续时间状态空间模型

（3.1）的离散化方程可以写成

(1)()()()()()()()

x k G T x k H T u k y k Cx k Du k +=+=+ （3.5） 其中：

0()()()AT

A G T e H T e d

B τσσ==⎰ （3.6）

已知系统的连续时间状态空间模型，MATLAB 提供了计算离散化状态空间模型中状态矩阵和输入矩阵的函数：

[G,H]=c2d(A,B,T)

其中的T 是离散化模型的采样周期。

实验步骤

1、导出连续状态空间模型的离散化模型，采用MATLAB 的m-文件编程；

2、在MATLAB 界面下调试程序，并检查是否运行正确。

例3.1 已知一个连续系统的状态方程是

010()()()2541x t x t u t ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

& 若取采样周期0.05T =秒，试求相应的离散化状态空间模型。

编写和执行以下的m-文件：

A=[0 1;-25 –4];

B=[0;1];

[G,H]=c2d(A,B,0.05)

得到

G=

0.9709 0.0448

-1.1212 0.7915

H=

0.0012

0.0448

因此，所求的离散化状态空间模型是

0.97090.04480.0012(1)()()1.12120.79150.0448x k x k u k ⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

实验要求

1、 在运行以上程序的基础上，针对线性定常连续系统的状态空间模型

[]100()()(),10021x t x t u t y x -⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

& 设采样周期1T

=秒，试求离散化状态空间模型。

源代码：

A=[-1 0;0 -2];

B=[0;1];

[G,H]=c2d(A,B,1)

运行结果：

G =

0.3679 0

0 0.1353

H =

0.4323

2、分析不同采样周期下，离散化状态空间模型的结果。

T=1S ：

G =

0.3679 0

0 0.1353

H =

0.4323

T=0.5S：

G =

0.6065 0

0 0.3679

H =

0.3161

T=0.1S：

G =

0.9048 0

0 0.8187

H =

0.0906

因此得出结论，采样周期越大，求得的采样|G|越大，H越小

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