陕西省西安市高新一中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案

陕西省西安市高新一中2019-2020学年上学期期中考试
高一数学试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列函数中与函数y x =是同一函数的是（ ）．
A
．2y = B
．3y = C
．y = D ．2
x y x
= 2．若一次函数y kx b =+在R 上是增函数，则k 的范围为（ ）．
A ．0k >
B ．0k ≥
C ．0k <
D ．0k ≤
3．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为（ ）． A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
4．函数2()1f x x =
-在[2,0]-上的最大值与最小值之差为（ ）． A ．83 B ．43 C ．23 D ．1
5．如图是①a y x =；②b y x =；③c y x =，在第一象限的图像，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．
6．已知函数2()8f x x kx =--在[1,4]上单调，则实数k 的取值范围为（ ）．
A ．[2,8]
B ．[8,2]--
C ．(][),82,-∞--+∞
D ．(][),28,-∞+∞
7．已知函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间
[,]b a --上（ ）
． A ．有最大值4 B ．有最小值4- C ．有最大值3- D ．有最小值3- 8．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
9．设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
，则（ ）．
A ．|sgn |x x x =-
B ．sgn ||x x x =-
C ．||||sgn x x x =
D ．||sgn x x x =
10．若在定义域内存在．．
实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“有点奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“有点奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）．
A ．11m ≤
B ．1m ≤
C ．m -≤
D ．1m -≤ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．若函数2(4)()1(4)
x x f x x x ⎧=⎨+<⎩≥，则[(3)]f f =__________．
12．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则R A B =ð__________．
13．方程23x x k +=的解都在[1,2]内，则k 的取值范围为__________．
14．已知函数11()log x a x f x -+=（0a >且1a ≠）有下列四个结论．
①恒过定点；
②()f x 是奇函数；
③当1a >时，()0f x <的解集为{}|0x x >；
③当1a >时，()0f x <的解集为{}|0x x >；
④若m ，(1,1)n ∈-，那么()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭
． 其中正确的结论是__________（请将所有正确结论的序号都填在横线上）．
三、解答题：（本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
15．（本小题满分8分）
求下列各式的值：
（1）12
2.5053[(0.064)]π-．
（2）2lg5++
已知函数1()2ax
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图象过点(1,2)-． （1）求a 的值．
（2）若()42x g x -=-，且()()g x f x =，求满足条件的x 的值．
17．（本小题满分8分）
已知集合{}2(,)|y 1A x y x mx ==-+-，{}(,)|3,03B x y y x x ==-≤≤．
（1）当4m =时，求A B ． （2）若A B 是只有一个元素的集合，其实数m 的取值范围．
18．（本小题满分10分）
定义：已知函数()f x 在[,]()m n m n <上的最小值为t ，若t m ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]()m n m n <上具有“DK ”性质．
（1）判断函数2()22f x x x =-+在[1,2]上是否具有“DK ”性质？说明理由．
（2）若2()2f x x ax =-+在[,1]a a +上具有“DK ”性质，求a 的取值范围．
已知函数2()32log f x x =-，2()log g x x =．
（1）当[1,4]x ∈时，求函数()[()1]()h x f x g x =+⋅的值域．
（2）如果对任意的[1,4]x ∈，不等式2()()()f x f x k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．
附加题：
1．（本小题满分8分）
若定义在(,1)(1,)-∞+∞上的函数()f x 满足2017()220171x f x f x x +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭
，则(2019)f =__________． 2．（本小题满分12分）
设()|lg |f x x =，a ，b 为实数，且0a b <<，若a ，b 满足()()22a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭
，试写出a 与b 的关系，并证明这一关系中存在b 满足34b <<．
陕西省西安市高新一中2019-2020学年上学期期中考试
高一数学试题参考答案
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列函数中与函数y x =是同一函数的是（ ）．
A ．2y =
B ．3y =
C ．y =
D ．2
x y x
= 【答案】B
【解析】A ．此函数的定义域是[)0,+∞与函数y x =的定义域不同，所以这是两个不同的函数； B ．此函数的定义域是一切实数，对应法则是自变量的值不变，与函数y x =的定义域和对应法则都相同，所以这是同一个函数；
C ．此函数的值域是[)0,+∞与函数y x =的值域不同，所以这是两个不同的函数；
D ．此函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞与函数y x =的定义域不同，所以这是两个不同的函数； 所以B 与函数y x =是同一个函数．
2．若一次函数y kx b =+在R 上是增函数，则k 的范围为（ ）．
A ．0k >
B ．0k ≥
C ．0k <
D ．0k ≤
【答案】A
【解析】A ．法一：由一次函数的图象可知选A ．
法二：设1x ∀，2x ∈R 且12x x <，
∵()f x kx b =+在R 上是增函数，
∴1212()(()())0x x f x f x -->，即212()0k x x ->，
∵212()0x x ->，
∴0k >．
故选A ．
3．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为（ ）． A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
【答案】C
【解析】∵{}{}1,2,31,2,3,4A =，
∴{}4A =；{}1,4；{}2,4；{}3,4；{}1,2,4；{}1,3,4；{}2,3,4；{}1,2,3,4，
则集合A 的个数为8，
故答案为：8．
4．函数2()1f x x =
-在[2,0]-上的最大值与最小值之差为（ ）． A ．83 B ．43 C ．23 D ．1
【答案】B
【解析】由题意可得：
∵20x -≤≤，
∴2
2()0(1)f x x '=-<-， ∴()f x 在[2,0]-上单调递减， ∴max 2()(2)3
f x f =-=-． min ()(0)2f x f ==-， ∴最大值与最小值之差为24(2)33
---=， 综上所述，答案：
43．
5．如图是①a y x =；②b y x =；③c y x =，在第一象限的图像，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．
A ．a b c >>
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．a c b << 【答案】A
【解析】由幂函数图象和单调性可知：1a >，01b <<，0c <．
∴a b c >>．
6．已知函数2()8f x x kx =--在[1,4]上单调，则实数k 的取值范围为（ ）．
A ．[2,8]
B ．[8,2]--
C ．(][),82,-∞--+∞
D ．(][),28,-∞+∞
【答案】D 【解析】22
b k a -=，
12k ≤或42
k ≥，
2k ≤或8k ≥．
7．已知函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间
[,]b a --上（ ）
． A ．有最大值4 B ．有最小值4- C ．有最大值3- D ．有最小值3-
【答案】B
【解析】∵0a b <<，
∴0a b ->->，
∵函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，
∴()f x 在(,0)-∞上是减函数，
∵在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，
∴()f x 在区间[,]b a --上的值域为[4,3]-，
∴()f x 在区间[,]b a --上有最大值为3，最小值为4-，
综上所述．
故选B ．
8．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
【答案】C
【解析】解：∵00.61<<，0.6 1.5<，
∴0.6 1.510.60.6>>，即a b >，
∵1.51>，0.60>，
∴0.61.51c =>，
∴c a b >>．
9．设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
，则（ ）．
A ．|sgn |x x x =-
B ．sgn ||x x x =-
C ．||||sgn x x x =
D ．||sgn x x x =
【答案】A
【解析】对于选项A ．右边,0|sgn |0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩
≥，显然不正确；
对于选项B ．右边,0sgn ||0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩
≥，显然不正确； 对于选项C ，右边,0||sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨≠⎩，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩
≥，显然不正确； 对于选项D ，右边,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩
，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩≥，显然正确．
10．若在定义域内存在．．
实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“有点奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“有点奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）．
A
．11m ≤B
．1m ≤
C
．m -≤ D
．1m -≤ 【答案】B
【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，函数()()f x f x -=-有解即可，
即1212()423(423)x x x x f x m m m m --++-=-+-=--+-，
∴2442(22)260x x x x m m --+-++-=，
即22(22)2(22)280x x x x m m --+-⋅++-=有解即可，
设22x x t -=+，则222x x t -=+≥，
∴方程等价为222280t m t m -⋅+-=在2t ≥时有解，
设22()228g t t m t m =-⋅+-， 对称轴22
m x m -=-=， ①若2m ≥，则2244(28)0m m ∆=--≥，
即28m ≤，
∴m -≤
2m ≤≤
②若2m <，要使222280t m t m -⋅+-=在2t ≥时有解，
则2(2)00m f <⎧⎪⎨⎪∆⎩
≤≥，
即211m m m <⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，
解得12m <，
综上：1m -≤
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．若函数2(4)()1(4)x x f x x x ⎧=⎨+<⎩
≥，则[(3)]f f =__________． 【答案】16
【解析】∵函数2(4)()1(4)x x f x x x ⎧=⎨+<⎩
≥， ∴(3)314f =+=，
4[(3)](4)216f f f ===．
12
．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则R A B =ð__________．
【答案】[1,2]
【解析】240x -≥，
22x -≤≤，
10x ->，
1x <，
{}|1R B x x =ð≥，
∴[1,2]R A B =ð．
13．方程23x x k +=的解都在[1,2]内，则k 的取值范围为__________．
【答案】[)5,10
【解析】
23x k x =-， 1x =时，32k -≥，5k ≥，
2x =时，64k -<，10k <，
[)5,10k ∈．
14．已知函数11()log x a x f x -+=（0a >且1a ≠）有下列四个结论．
①恒过定点；
②()f x 是奇函数；
③当1a >时，()0f x <的解集为{}|0x x >；
③当1a >时，()0f x <的解集为{}|0x x >；
④若m ，(1,1)n ∈-，那么()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭
． 其中正确的结论是__________（请将所有正确结论的序号都填在横线上）．
【答案】①，②，④
【解析】（1）解：∵1()log 1a
x f x x -=+， ∴10111x x x
->⇒-<<+， 故函数()f x 的定义域是|11x x -<<．
（2）证明：∵m ，(1,1)n ∈-， ∴1111()()log log log 1111a a a m n m n f m f n m n m n ----⎛⎫+=+=⋅ ⎪++++⎝⎭
， 11111log log log 111111a a a mn m n m n m n mn m n mn mn f mn m n m n m n mn mn mn mn
+--+---++⎛⎫++==== ⎪++++++++⎝⎭+++， 故()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭
． （3）解：∵1111()()log log log log 101111a
a a a x x x x f x f x x x x x
+-+--+=+=⋅==-+-+， ∴()()f x f x -=-， 即()f x 在其定义域(1,1)-上为奇函数．
三、解答题：（本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
15．（本小题满分8分）
求下列各式的值：
（1
）12
2.5053[(0.064)]π-． （2
）2lg5++
【答案】见解析．
【解析】（1）原式122
3
2.55327[(0.8)]18-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 11=-
0=．
（2
）2lg5++
1
12222(lg 2)lg 2lg5=+⋅+
2112lg 2lg 2lg522⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭
2112lg 2lg 2lg522⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭11lg 2(lg 2lg5)lg 2122=++- 11lg2lg(25)1lg222
=⋅⋅+- 11lg21lg2122
=+-=．
16．（本小题满分8分） 已知函数1()2ax
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图象过点(1,2)-． （1）求a 的值．
（2）若()42x g x -=-，且()()g x f x =，求满足条件的x 的值．
【答案】见解析．
【解析】（1）由已知得122a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得1a =．
（2）由（1）知1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 又()()g x f x =，则14
22x x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即112042x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即2
112022x x
⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦， 令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则220t t --=， 即(2)(1)0t t -+=，
又0t >，故2t =， 即122x
⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得1x =-， 满足条件的x 的值为1-．
17．（本小题满分8分）
已知集合{}2(,)|y 1A x y x mx ==-+-，{}(,)|3,03B x y y x x ==-≤≤． （1）当4m =时，求A B ． （2）若A B 是只有一个元素的集合，其实数m 的取值范围．
【答案】见解析．
【解析】（1）当4m =时，集合{}
2(,)|41A x y y x x ==-+-， {}(,)|3,03B x y y x x ==-≤≤，
联立得：2341y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩， 消去y 得：2341x x x -=-+-， 即(1)(4)0x x --=，
解得：1x =或4x =（不合题意，舍去）， 将1x =代入3y x =-得2y =， 则{}(1,2)A B =；
综上所述：答案为{}(1,2)A
B =． （2）集合A 表示抛物线上的点，
抛物线21y x mx =-+-，开口向下且过点(0,1)-， 集合B 表示线段上的点，
要使A B 只有一个元素，则线段与抛物线的位置关系有以下两种，如图： （i ）由图知，在函数2()1f x x mx =-+-中，
只要(3)0f ≥，即9310m -+-≥， 解得：103
m ≥． （ii ）由图知，抛物线与直线在[0,3]x ∈上相切，
联立得：213y x mx y x ⎧=-+-⎨=-⎩
， 消去y 得：213x mx x -+-=-， 整理得：2(1)40x m x -++=， 当2(1)160m ∆=+-=，
∴3m =或5m =-，
当3m =时，切点(2,1)适合， 当5m =-时，切点(2,5)-舍去， 综上所述：答案为m 范围为3m =或103
m ≥．
18．（本小题满分10分）
定义：已知函数()f x 在[,]()m n m n <上的最小值为t ，若t m ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]()m n m n <上具有“DK ”性质．
（1）判断函数2()22f x x x =-+在[1,2]上是否具有“DK ”性质？说明理由． （2）若2()2f x x ax =-+在[,1]a a +上具有“DK ”性质，求a 的取值范围．
【答案】见解析．
【解析】（1）∵2()22f x x x =-+，[1,2]x ∈， 对称轴1x =，开口向上，
当1x =时，取得最小值为(1)1f =， ∴min ()(1)11f x f ==≤，
∴函数()f x 在[1,2]上具有“DK ”性质． （2）2()2g x x ax =-+，[,1]x a a ∈+， 其图象的对称轴方程为2
a x =． ①当02
a ≥，即0a ≥时，22min ()()22g x g a a a ==-+=． 若函数()g x 具有“DK ”性质，则有2a ≤总成立，即2a ≥． ②当12a a a <
<+，即20a -<<时， 2min ()224a a g x g ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭
． 若函数()g x 具有“DK ”性质，则有2
24
a a -+≤总成立，解得a 无解． ③当12
a a +≥，即2a -≤时，min ()(1)3g x g a a =+=+， 若函数()g x 具有“DK ”性质， 则有3a a +≤，解得a 无解． 综上所述，若2()2g x x ax =-+在[,1]a a +上具有“DK ”性质，则2a ≥．
19．（本小题满分10分）
已知函数2()32log f x x =-，2()log g x x =． （1）当[1,4]x ∈时，求函数()[()1]()h x f x g x =+⋅的值域． （2）如果对任意的[1,4]x ∈，不等式2()()()f x f x k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．
【答案】见解析．
【解析】（1）2222()(42log )log 2(log 1)2h x x x x =-⋅=--+，
因为[1,4]x ∈，所以2log [0,2]x ∈，
故函数()h x 的值域为[0,2]．
（2）由2()()f x f k g x ⋅>⋅得222(34log )(3log )log x x k x -->⋅， 令2log t x =，
因为[1,4]x ∈，
所以2log [0,2]t x =∈，
所以(34)(3)t t k t -->⋅对一切的[0,2]t ∈恒成立．
1．当0t =时，k ∈R ；
2．当(]0,2t ∈时，(34)(3)t t k t --<恒成立，即9415k t t
<+-． 因为9412t t +≥，当且仅当94t t =，即32t =时取等号． 所以9415t t
+-的最小值为3-， 综上，(,3)k ∈-∞-．
附加题：
1．（本小题满分8分）
若定义在(,1)(1,)-∞+∞上的函数()f x 满足2017()220171x f x f x x +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭
，则(2019)f =__________． 【答案】1344． 【解析】2018()2120171f x f x x ⎛⎫++=- ⎪-⎝
⎭， 2x =：(2)2(2019)2015f f +=，① 2019x =：(2019)2(2)2f f +=-，②， ①⨯2-②3(2019)4032f ==， (2019)1344f =．
2．（本小题满分12分）
设()|lg |f x x =，a ，b 为实数，且0a b <<，若a ，b 满足()()22a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭
，试写出a 与b 的关系，并证明这一关系中存在b 满足34b <<．
【答案】见解析．
【解析】（1）由()1f x =得，lg 1x =±，所以10x =或110． （2）结合函数图象，
由()()f a f b =，可判断(0,1)a ∈，(1,)b ∈+∞， 从而lg lg a b -=，从而1ab =， 又122
b a b b ++=， 因为(1,)b ∈+∞，所以12
a b +>， 从而由()22a b f b f +⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 可得2
lg 2lg lg 22a b a b b ++⎛⎫== ⎪⎝⎭， 从而22a b b +⎛⎫= ⎪⎝⎭
． （3）由22a b b +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 得2242b a b ab =++，221240b b b ++-=， 令221()24g b b b b =++-， 因为(3)0g <，(4)0g >，根据零点存在性定理可知， 函数()g b 在(3,4)内一定存在零点， 即方程
221240b b b
++-=存在34b <<的根．。