第二课时 函数的概念(二)

第二课时函数的概念(二)课标要求素养要求1.会判断两个函数是否为同一函数.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的值域.1.通过对区间概念的理解及判断两个函数为同一函数，提升数学抽象素养.2.通过求一些简单函数的值域，提升逻辑推理、数学运算素养.新知探究设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时之间.问题1如何表示列车的运行速度的范围？提示我们已学习不等式、集合知识，所以用不等式可表示为200<v<350，用集合可表示为{v|200<v<350}.问题2还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？提示还可以用区间表示为(200，350)，这就是我们今天要学习的知识.1.区间注意区间端点的开闭设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x |a ≤x <b } 半开半闭区间 [a ，b ) {x |a <x ≤b } 半开半闭区间(a ，b ] {x |x ≥a } [a ，＋∞) {x |x >a }(a ，＋∞){x |x ≤a } (－∞，a ] {x |x <a } (－∞，a )R(－∞，＋∞)2.同一个函数 函数的三要素完全相同 (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数.3.常见函数的值域(1)一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的定义域为R ，值域是R . (2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ， 当a >0时，值域为⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞， 当a <0时，值域为⎝ ⎛⎥⎤－∞，4ac －b 24a .拓展深化[微判断]1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.(√)2.两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数.(×)提示 两个函数的定义域、值域相同，而对应关系不一定相同. 3.函数y ＝1＋x 2的值域为(1，＋∞).(×) 提示 y ＝1＋x 2的值域为[1，＋∞). [微训练]1.下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )x x<22≤x≤3x>3y －10 1A.{y|－1≤y≤1}C.{y|2≤y≤3}D.{－1，0，1}解析由表格知，对应的y的值为－1，0，1，故选D.答案 D2.区间[1，2)表示的集合为________.解析根据区间的定义，可表示为{x|1≤x<2}.答案{x|1≤x<2}3.已知函数f(x)＝2x－3，x∈A的值域为{－1，1，3}，则定义域A为________. 解析函数f(x)＝2x－3的值域为{－1，1，3}，令f(x)分别等于－1，1，3，求出对应的x分别为1，2，3，则由x组成的集合{1，2，3}，即为定义域A.答案{1，2，3}[微思考]1.函数的值域与定义域、对应关系是相互独立的吗？提示不是.函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定.2.区间与集合有什么联系？提示区间实际上是一种特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达方式.集合和区间都是表示取值范围的方法，至于选用哪种方法，原则上应与原题的表达方式一致.题型一区间的应用【例1】把下列数集用区间表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}.解(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)；(2){x|x<0}＝(－∞，0)；(3){x|－1<x<1}＝(－1，1)；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4].规律方法用区间表示数集的方法：(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.【训练1】(1)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为________.(2)已知区间[a，2a＋1]，则a的取值范围是________.解析(1){x|x≥0且x≠2}＝[0，2)∪(2，＋∞).(2)由2a＋1>a，得a>－1，则a的取值范围为(－1，＋∞).答案(1)[0，2)∪(2，＋∞)(2)(－1，＋∞)题型二同一函数的判断【例2】(1)下列各组函数：①f(x)＝x2－xx，g(x)＝x－1；②f(x)＝xx，g(x)＝xx；③f(x)＝（x＋3）2，g(x)＝x＋3；④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).其中表示同一函数的是________(填序号).解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是同一函数；②f (x )与g (x )的对应关系不同，不是同一函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的对应关系不同，不是同一函数；④f (x )与g (x )的定义域不同，不是同一函数；⑤f (x )与g (x )的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数. 答案 ⑤(2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝（x ＋1）（x －1）是否为同一函数，并说明理由.解 不相同.对于函数y ＝x －1·x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1≥0，解得x ≥1，故定义域为{x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数. 规律方法 判断两个函数为同一函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.(3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】 (1)下列各组函数是同一函数的是( ) A.y ＝1，y ＝xxB.y ＝x －2·x ＋2，y ＝x 2－4C.y ＝|x |，y ＝(x )2D.y ＝x ，y ＝3x 3(2)下列各组函数是同一函数的是________(填序号).①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1.解析 (1)A ，B ，C 中的两函数定义域均不相同，故选D. (2)①f (x )＝－x－2x ，g (x )＝x－2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一函数；②f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数.答案 (1)D (2)②③ 题型三 求函数的值域 【例3】 求下列函数的值域： (1)y ＝x －1；(2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈{－2，－1，0，1，2，3}； (3)y ＝2x ＋1x －3； (4)y ＝2x －x －1.解 (1)(直接法)∵x ≥0，∴x －1≥－1，∴y ＝x －1的值域为[－1，＋∞). (2)(观察法)∵x ∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x 代入y ＝x 2－2x ＋3得y ＝11，6，3，2，∴y ＝x 2－2x ＋3的值域为{2，3，6，11}. (3)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2（x －3）＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). (4)(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0，且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.规律方法求函数值域的常用方法(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域.(2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.(4)分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.【训练3】求下列函数的值域：(1)y＝16－x2；(2)y＝x2－4x＋6(1≤x≤5)；(3)y＝xx＋1；(4)y＝2x＋41－x.解(1)∵0≤16－x2≤16，∴0≤16－x2≤4，即函数y＝16－x2的值域为[0，4].(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为1≤x≤5，由函数图象可知y∈[2，11].(3)(分离常数法)∵y＝xx＋1＝1－1x＋1，且定义域为{x|x≠－1}，∴1x＋1≠0，即y≠1.∴函数y＝xx＋1的值域为{y|y∈R，且y≠1}.(4)(换元法)令t＝1－x(t≥0)，则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，结合图象可得函数的值域为(－∞，4].一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.3.同一函数的概念的理解(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.二、素养训练1.函数y＝2x＋1，x∈N*，且2≤x≤4，则函数的值域为()A.(5，9)B.[5，9]C.{5，7，9}D.{5，6，7，8，9}解析由题意知，函数的定义域为{2，3，4}，依次代入y＝2x＋1得y＝5，7，9，所以函数的值域为{5，7，9}.故选C.答案 C2.已知四组函数：①f(x)＝x，g(x)＝(x)2；②f(x)＝x，g(x)＝3x3；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2＋3x－1，g(t)＝t2＋3t－1.其中是同一函数的是()A.没有B.仅有②C.有②④D.有②③④解析对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同.答案 C3.函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()A.[0，1]B.[0，1)C.(0，1]D.(0，1)解析因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<1x2＋1≤1，所以函数的值域为(0，1]，故选C.答案 C4.下列函数中值域为(0，＋∞)的是()A.y＝xB.y＝1 xC.y＝1x D.y＝x2＋1解析y＝x的值域为[0，＋∞)，y＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)，故选B.答案 B5.将下列集合用区间以及数轴表示出来：(1){x|x<2}；(2){x|x＝0或1≤x≤5}；(3){x|x＝3或4≤x≤8}；(4){x|2≤x≤8且x≠5}；(5){x|3<x<5}.解 (1){x |x <2}可以用区间表示为(－∞，2)；用数轴表示如图①.(2){x |x ＝0或1≤x ≤5}可以用区间表示为{0}∪[1，5]；用数轴表示如图②. (3){x |x ＝3或4≤x ≤8}用区间表示为{3}∪[4，8]；用数轴表示如图③.(4){x |2≤x ≤8且x ≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]；用数轴表示如图④. (5){x |3<x <5}用区间表示为(3，5)；用数轴表示如图⑤.图⑤基础达标一、选择题 1.函数f (x )＝x ＋2x －2的定义域是( ) A.[－2，2) B.[－2，2)∪(2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(2，＋∞)解析 x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －2≠0，即x ≥－2，且x ≠2.∴函数f (x )＝x ＋2x －2的定义域是[－2，2)∪(2，＋∞).故选B.答案 B2.下列各组函数为同一函数的是( ) A.f (x )＝x ，g (x )＝x 2x B.f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0C.f(x)＝（x）2x，g(x)＝x（x）2D.f(x)＝x2－9x＋3，g(x)＝x－3解析 A.因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数；B.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数；C.这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一函数；D.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数.故选C.答案 C3.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是()A.1B.0C.－1D.2解析∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1，f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1，∴a(a－1)2＝0.又∵a为正数，∴a＝1.答案 A4.函数y＝x－1x＋1(x≥0)的值域为()A.[－1，1)B.[－1，1]C.[－1，＋∞)D.[0，＋∞)解析由题知y＝x－1x＋1＝x＋1－2x＋1＝1＋－2x＋1.∵x≥0，∴x＋1≥1，∴0<1x＋1≤1，∴－2≤－2x＋1<0，∴－1≤1＋－2x＋1<1.∴函数y＝x－1x＋1的值域为[－1，1).故选A.答案 A5.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有( )A.10个B.9个C.8个D.4个解析 由2x 2－1＝1，得x 1＝1，x 2＝－1；由2x 2－1＝7，得x 3＝－2，x 4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”.答案 B二、填空题6.下列各对函数中是同一函数的是________(填序号).①f (x )＝2x －1与g (x )＝2x －x 0；②f (x )＝（2x ＋1）2与g (x )＝|2x ＋1|；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2.解析 ①函数g (x )＝2x －x 0＝2x －1，函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；②f (x )＝（2x ＋1）2＝|2x ＋1|与g (x )＝|2x ＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )的对应关系不相同，不是同一函数；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2的定义域和对应关系相同，是同一函数.答案 ②④7.函数y ＝6－x |x |－4的定义域用区间表示为________. 解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧6－x ≥0，|x |－4≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤6，x ≠±4，∴定义域为(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，6].答案(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，6]8.在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)－(2⊕x)，x∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为________.解析由题意知，当x∈[－2，1]时，f(x)＝－1；当x∈(1，2]时，f(x)＝x2－2∈(－1，2].所以当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－1，2].答案[－1，2]三、解答题9.求下列函数的值域：(1)y＝5x＋4 x－1；(2)y＝x－1－2x；(3)y＝2－－x2＋4x.解(1)y＝5x＋4x－1＝5（x－1）＋9x－1＝5＋9x－1，且9x－1≠0，∴y≠5，∴函数的值域是{y|y≠5}.(2)令t＝1－2x(t≥0)，∴x＝－12t2＋12，∴y＝－12t2－t＋12＝－12(t＋1)2＋1，当t≥0时，y≤12，∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.(3)y＝2－－x2＋4x＝2－－（x－2）2＋4，∵0≤－（x－2）2＋4≤4＝2，所以y＝2－－x2＋4x的值域为[0，2].10.已知函数f (x )＝12x 2－x ＋32，是否存在实数m ，使得函数的定义域和值域都是[1，m ](m >1)？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.解 存在.理由如下：f (x )＝12x 2－x ＋32＝12(x －1)2＋1的对称轴为x ＝1，顶点(1，1)且开口向上.∵m >1，∴当x ∈[1，m ]时，y 随x 的增大而增大，∴要使f (x )的定义域和值域都是[1，m ]，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f （m ）＝m ，∴12m 2－m ＋32＝m ，即m 2－4m ＋3＝0，∴m ＝3或m ＝1(舍)∴存在实数m ＝3满足条件.能力提升11.已知f (x )＝1－x 1＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2－1(x ∈R )，则f (g (x ))＝________. 解析 f (g (x ))＝1－g （x ）1＋g （x ）＝1－（x 2－1）1＋（x 2－1） ＝2－x 2x 2(x ≠0).答案 2－x 2x 2(x ≠0)12.对于函数f (x )，若f (x )＝x ，则称x 为f (x )的“不动点”，若f (f (x ))＝x ，则称x 为f (x )的“稳定点”，函数f (x )的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ＝{x |f (x )＝x }，B ＝{x |f (f (x ))＝x }.(1)求证：A ⊆B ；(2)设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，若A ＝{－1，3}，求集合B .(1)证明 若A ＝∅，则A ⊆B 显然成立.若A ≠∅，设t ∈A ，则f (t )＝t ，f (f (t ))＝t ，t ∈B ，从而A ⊆B ，故A ⊆B 成立.(2)解 因为A ＝{－1，3}，所以f (－1)＝－1，且f (3)＝3.即⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2－a ＋b ＝－1，32＋3a ＋b ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，3a ＋b ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，所以f (x )＝x 2－x －3. 因为B ＝{x |f (f (x ))＝x }，所以(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3＝x ，所以(x 2－x －3)2－x 2＝0，即(x 2－3)(x 2－2x －3)＝0，所以(x 2－3)(x ＋1)(x －3)＝0，所以x ＝±3或x ＝－1或x ＝3.所以B ＝{－3，－1，3，3}.创新猜想13.(多空题)若对任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________，f (－1)＝________.解析 对∀x ∈R ，有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，令x ＝1，则2f (1)－f (－1)＝4，①令x ＝－1，则2f (－1)－f (1)＝－2.②由①②解得f (1)＝2，f (－1)＝0.答案 2 014.(多空题)已知f (x )的图象如图所示，则f (x )的定义域为________，值域为________.解析函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合.答案[－2，4]∪[5，8][－4，3]。