陕西省西安市西北工大附中八年级(上)期末数学试卷

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精品解析：陕西省西安市碑林区西工大附中分校2021-2022学年八年级上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分。

每小题只有一个选项是符合题意的）1.）A. B. C.﹣5D.【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义可进行求解．故选B ．【点睛】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．2.下列数据不是勾股数的是（）A.7，14，16B.5，12，13C.3，4，5D.9，40，41【答案】A【解析】【分析】根据勾股数可直接进行求解．【详解】解：A 、22271424516 ，所以不是勾股数，故符合题意；B 、22251216913 ，所以是勾股数，故不符合题意；C 、22234255 ，所以是勾股数，故不符合题意；D 、222940168141 ，所以是勾股数，故不符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．3.下列命题中，是真命题的是（）A.7的算术平方根是49B.同旁内角互补C.相等的角是对顶角D.若ab ＞0，则点（a ，b ）在第一象限或第三象限【答案】D【分析】根据算术平方根定义判断A ，由平行线性质判断B ，对顶角性质判断C ，根据平面直角坐标系中各象限点坐标符号可判断D ．【详解】解：A ．49的算术平方根是7，A 不是真命题，不符合题意；B ．两直线平行，同旁内角互补，B 不是真命题，不符合题意；C ．相等的角不一定是对顶角，C 不是真命题，不符合题意；D ．若0ab ，则a 、b 同号，点(,)a b 在第一象限或第三象限，D 是真命题，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查命题的真假判断，解题的关键是熟悉相关的定义、定理．4.如图，已知a ∥b ，l 与a 、b 相交，若∠1=70°，则∠2的度数等于（）A.120°B.110°C.100°D.70°【答案】B【解析】【分析】先求出∠1的邻补角的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数．【详解】如图，∵∠1=70°，∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°，∵a ∥b ，∴∠2=∠3=110°．故选B【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5.五名女生的体重（单位：kg ）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（）A.40、40B.42、40C.40、42D.42、38【解析】【分析】根据众数和中位数的定义求解．【详解】解：根据题意，42出现的次数最多，则众数为42；按从小到大排列为：37，38，40，42，42；∴中位数是40；∴这组数据的众数和中位数分别为42，40．故选：B ．【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．6.如图，ABC 中，72CAB ，在同一平面内，将ABC 绕点A 旋转到AB C △的位置，使得CC AB ∥，则BAB 的度数为（）A.34°B.36°C.72°D.46°【答案】B【解析】【分析】由旋转的性质可得AC =AC '，∠BAB '=∠CAC '，由等腰三角形的性质可求∠ACC '=∠AC 'C =72°，即可求解．【详解】解：∵C ′C ∥AB ，∴∠C 'CA =∠CAB =72°，∵将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，∴AC =AC '，∠BAB '=∠CAC '，∴∠ACC '=∠AC 'C =72°，∴∠BAB '=∠CAC '=180°-72°×2=36°，故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．7.20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，列方程组正确的是（）A.523220x y x y B.522320x y x y C.202352x y x y D.203252x y x y 【答案】D【解析】【分析】要列方程（组），首先要根据题意找出存在的等量关系．本题等量关系为：①男女生共20人；②男女生共植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．【详解】解：依题意列出方程组：203252x y x y．故选D ．8.若点A （﹣2，y 1），点B （1，y 2），点C （3，1）都在一次函数y ＝kx ＋7的图象上，则y 1与y 2的大小关系是（）A.y 1＞y 2B.y 1＝y 2C.y 1＜y 2D.无法确定【答案】A【解析】【分析】先将点C （3，1）代入一次函数y ＝kx ＋7的图象上，求出k 的值，然后根据一次函数的性质得出y 随x 的增大而减小，进而求解．【详解】解：点C （3，1）代入一次函数y ＝kx ＋7，得1=3k +7，3k =-6，k =-2，∵一次函数y ＝-2x +7，可知k ＝-2＜0，y 随x 的增大而减小，∵﹣2＜1，∴y 1＞y 2．故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的性质，熟知一次函数y =kx +b （k ≠0），当k ＜0时，y 随x 的增大而减小是解题的关键．9.如图，在四边形ABCD 中，8AD ，2BC ，90B ，30A ，120ADC ，则CD 的长为（）．A.6B.5C.4D.3【答案】C【解析】【分析】先延长AD 、BC 交于E ，根据已知证出△EDC 是等边三角形，设CD =CE =DE =x ，根据AD =8，BC =2和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x 的值即可．【详解】解：延长AD 、BC 交于E ，∵∠A =30°,∠B =90°，∴∠E =60°，∵∠ADC =120°，∴∠EDC =60°，∴△EDC 是等边三角形，设CD =CE =DE =x ，∵AD =8，BC =2，∴2(2+x )=x +8，解得；x =4，∴CD =4，故选：C【点睛】本题考查30度角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．10.若直线y kx b 经过第一、二、四象限，则函数y bx k 的大致图像是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据一次函数y kx b的图像经过第一、二、四象限，可以得到k和b的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数y bx k图像经过哪几个象限，从而可以解答本题．【详解】∵一次函数y kx b的图像经过第一、二、四象限，k，0b ，b，0k ，一次函数y bx k图像第一、二、三象限，故选：B．【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）11.32(用“>”或“<”填空)【答案】＞【解析】【分析】利用两个数的平方的大小作比较即可．【详解】解：∵23 ，239()24，又934，32．故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，算术平方根，利用两个数的平方的大小作比较是解题的关键．12.小明某学期的数学平时成绩80分，期中考试90分，期末考试88分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末=2：3：5，则小明学期总评成绩是______分．【答案】87【解析】【分析】根据加权平均数可进行求解．【详解】解：由题意得：小明学期总评成绩为80290388587235（分）；故答案为87．【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键．13.如图，已知直线y ＝ax +b ，则方程ax ＝1﹣b 的解为x ＝_____．【答案】4【解析】【分析】观察图形可直接得出答案．【详解】解：由ax ＝1﹣b 得ax +b =1，根据图形知，当y =1时，x =4，即ax +b =1时，x =4．∴方程ax +b =1的解x =4．故答案为：4．【点睛】此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想方法．14.如图，AC =BC =12cm ，∠B =15°，若AD ⊥BD 于点D ，则AD 的长为_____．【答案】6cm##6厘米【解析】【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠ACD =30°，然后利用含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵AC =BC =12cm ，∠B =15°，∴15CAB B ，∴230ACD B ，∵AD ⊥BD ，∴16cm 2AD AC ；故答案为6cm ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握各个性质定理是解题的关键．15.已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，2），点B （m ，4-m ）与点C 分别是直线l 及x 轴上的动点，则△ABC 周长的最小值为________【答案】【解析】【分析】作点A 关于x 轴的对称点A ，关于直线l 的对称点A ，连接A A ，交直线l 于点B ，交x 轴于点C ．则AC A C ，AB A B ，所以ABC 周长的最小值为A A 的长．根据(,4)B m m ，可知点B 在直线4y x 上运动，据此解答即可．【详解】解：作点A 关于x 轴的对称点A ，关于直线l 的对称点A ，连接A A ，交直线l 于点B ，交x 轴于点C ．则AC A C ，AB A B ，ABC 周长的最小值为A A 的长．(,4)B m m ∵，点B 在直线4y x 上运动，∴直线l 与x 、y 轴的交点坐标分别为 4,0,0,4E D ，∴45ADB ，连接A D ，则根据轴对称图形的性质可知，90A DO ，A ∵的坐标为(0,2)，(0,2)A ，(2,4)A ，2A D ，6A D ，A A故答案为：．【点睛】本题考查点、直线关于直线对称知识的应用，三角形的周长的最小值，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．三、解答题（共8小题，满分55分）16.计算：（1；（2）101()6(2022)|23．【答案】（1）1（2）0【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘法和平方差公式计算，再算加减法即可求解；（2）先算负整数指数幂，二次根式的化简，分母有理化，零指数幂，绝对值，再计算加减法即可求解．【小问1详解】解：原式 92319；【小问2详解】解：原式3120 ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．同时也考查了负整数指数幂，二次根式的化简，零指数幂，绝对值．17.解方程组：3(2)84232x y y x y ．【答案】125285x y【解析】【分析】方程组整理后利用加减消元法求解即可．【详解】解：方程组整理得：3242312x y x y ①②，①×2－②×③得：528y ，解得：285y，把285y 代入①得：56345x ，解得：125x，故原方程组的解为125285x y．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上．（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1．（2）求四边形AA 1B 1B 的面积．【答案】（1）图见详解（2）6【解析】【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点1A ，1B ，1C 即可；（2）根据梯形的面积公式即可求得结果．【小问1详解】解：如图所示，△111A B C 为所作图形；【小问2详解】解：12(2)4AA ∵，11(1)2BB ，四边形11AA B B 是梯形，四边形11AA B B 的面积 1424262．【点睛】本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．19.在开展“双减”活动期间，某市教育部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了本市内八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）补充完善条形统计图；（2）通过计算估计该市八年级学生每学期参加综合实践活动的平均天数约是多少天？（3）如果该市共有八年级学生5000人，请估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？【答案】（1）见解析（2）4.35（3）2250【解析】【分析】（1）根据活动时间为2天的人数及其百分比即可求出八年级学生总数，进而得出5天的人数，即可补全条形统计图；（2）根据加权平均数的公式计算即可；（3）求出活动时间不少于5天的百分比，乘以5000，即可得到结果．【小问1详解】解：该校八年级学生总数为20÷10%=200（人），活动时间为5天的人数为：200-20-30-60-30-10=50（人），补全条形统计图如下：【小问2详解】解：1(220330460550630710)200 18702004.35 天；【小问3详解】“活动时间不少于5天”的大约有50301050002250200人．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20.用二元一次方程组解应用题：一家超市中，杏的售价为10元/kg ，桃的售价为8元/kg ，小菲在这家超市买了杏和桃共7kg ，共花费61元．求小菲这次买的杏、桃各多少千克？【答案】小菲这次买杏2.5千克，桃4.5千克．【解析】【分析】设小菲这次买杏x 千克，桃y 千克，利用总价＝单价×数量，结合“小菲在这家超市买了杏和桃共7kg ，共花费61元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设小菲这次买杏x 千克，桃y 千克，依题意得：7 10861 x yx y＝＝，解得：2.54.5 xy＝＝．答：小菲这次买杏2.5千克，桃4.5千克．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．21.数学课上，静静将一幅三角板如图摆放，点A，B，C三点共线，其中∠FAB=∠ECD=90°，∠D=45°，∠F=30°，且DE∥AC，若ED=6，求BC的长．【答案】BC＝．【解析】【分析】过E点作EM⊥AC于M，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出CE的长，结合平行线的性质证明△CEM为等腰直角三角形，即可求得CM＝EM＝3，再由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出MB的长，进而可得答案．【详解】解：过E点作EM⊥AC于M，∵∠ECD＝90°，∠D＝45°，∴∠CED＝45°，CE＝CD，∵ED＝6，由勾股定理得：CE＝，∵ED∥AC，∴∠ECM＝∠CED＝45°，∴△CEM为等腰直角三角形，由勾股定理得：CM ＝EM ＝3，∵∠FAC ＝90°，∴AF ∥EM ，∴∠BEM ＝∠F ＝30°，∴BE ＝2BM ，∵222MB ME BE ，∴ 22232MB BM ，解得：MB∴BC ＝CM −MB ＝【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质，二次根式的性质等知识，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出CM ＝EM ＝3是解题的关键．22.如图，直线1l ：y ＝x ﹣3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线2l ：y ＝kx +b 与x 轴交于点C （1.5，0），与y 轴交于点D （0，3），直线1l ，2l 交于点E ．（1）求直线2l 的函数表达式．（2）若P 为直线1l 上一点，当∠POB =∠BDE 时，求点P 的坐标．【答案】（1）y ＝−2x ＋3；（2）（1，−2）或（−3，−6）．【解析】【分析】（1）将点C 、D 坐标代入y ＝kx ＋b ，求出k 、b 即可；（2）分情况讨论：①当点P 在点B 的上方时，可知OP ∥DE ，得出直线OP 的函数解析式为y ＝−2x ，与1l求交点即可；②当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交1l于点P ，求出直线OQ的解析式为y＝2x，然后与1l求交点即可．【小问1详解】解：∵直线2l：y＝kx＋b与x轴交于点C（1.5，0），与y轴交于点D（0，3），∴1.503k bb，解得：23kb，∴直线2l的函数表达式为y＝−2x＋3；【小问2详解】分情况讨论：①当点P在点B的上方时，如图，∵∠POB＝∠BDE，∴OP∥DE，∴直线OP的函数解析式为y＝−2x，联立23y xy x，解得：12xy∴P（1，−2）；②当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交1l于点P ，∴Q（−1，−2），设直线OQ的解析式为y＝mx，代入Q（−1，−2）得：−2＝−m，解得：m＝2，∴直线OQ的解析式为y＝2x，联立23y xy x，解得：36xy，∴直线OQ与1l的交点P （−3，−6），综上，点P的坐标为（1，−2）或（−3，−6）．平行，则k值相等是解题的关键．23.同学们在第一次微课中听取了刘老师与杨老师关于面积等分线练习的讲评，小浩同学对此产生兴趣，上网又查到了长方形的一些性质：长方形的对角线相等且互相平分，对角线所在的直线是其一条面积等分线．请你利用以上性质，帮小浩解决下面问题：（1）如图①，已知长方形ABCD，请画出它的一条面积等分线l（不经过对角线）（2）四边形OABC位于如图②所示的平面直角坐标系中，顶点O位于原点，其余顶点坐标为A（4，6），B （8，7），C（10，0），CE是四边形OABC的一条面积等分线，点E在y轴上，请求出点E的坐标．（3）全民抗疫，西安加油！如图③，在平面直角坐标系中（长度单位为米），长方形OABC 是西安某小区在疫情期间为居民核酸检测围成的一个工作区域，顶点A ，C 在坐标轴上，O 为坐标原点，记顶点B （20，12），原有的一个出入口D 在边OC 上，且CD =4米，为使工作高效有序，现计划在边AB ，OA ，BC 上依次再设出入口E ，G ，H ，沿DE ，GH 拉两道警戒线将工作区域分成面积相等的四部分，请问，是否存在满足上述条件的点E ，H ，G ，如存在，请求出点E 的坐标及GH 的函数表达式，如不存在，请说明理由．【答案】（1）图见详解（2）450,7（3）(4,12)E ，0.36 2.4y x 【解析】【分析】（1）找出图形的中点，即可画出一条面积等分线；（2）几何知识的综合应用，分清矩形的性质，面积的等分线，梯形的性质等知识，逐一分析坐标后，找到一条面积等分线，列式计算，即可解决问题；（3）利用图形的设计，待定系数法求一次函数的解析式，即可解决问题．【小问1详解】解：如图①：过点O 作MN ，分别交AD 、BC 于M 、N ，∵点O 为正方形ABCD 的对角线交点，点为AC 、BD 的中点，点M 、点N 分别是AD 、BC 的中点，长方形ABNM 的面积长方形MNCD 的面积，MN 为长方形ABCD 的一条面积等分线．【小问2详解】解：如图②：过点A 作AP OC 交OC 于P ，过点B 作BQ OC 交OC 于Q ，(4,6)A ∵，(8,7)B ，(10,0)C ，OAP BQCOABC APQB S S S S 四边形四边形46(67)47222245 ，106302AOC S ∵，且45302，CE 与OA 有交点，并假设该交点为F ，CE ∵是四边形OABC 的一条面积等分线，14522OFC OABC S S四边形，即1451022F y ，92F y ，∵点F 在OA 上，32y x ，又92F y∵，3F x ，9(3,)2F ，设直线CF 的解析式为y kx b ，把点(10,0)C ，9(3,)2F 代入得：100932k b k b ，解得：914457k b，直线CF 的解析式为：945147y x，令0x ，得457y ，点E 的坐标为45(0,)7．【小问3详解】如图3：在AB 上取4AE CD ，连接DE ，则(4,12)E ，取DE 的中点M ，AO 的中点N ，连接MN ，则MN 是梯形AODE 的中位线，20102MN （米)，6AN ON （米)，点M 的坐标为(10,6)，由于长方形被分成四块面积相等的部分，每块面积为：12012604（平方米），又 14106422AEMN S ∵梯形（平方米），在点的下方取一点G ，使604218MNG S （平方米），由12S NG MN 得：236 3.610S NG MN （米)，6 3.6 2.4OG （米)，点G 坐标为(0,2.4)，连接GM 并延长交BC 于H ，则D 、E 、G 、H 为所求作的点，设GH 的解析式为：y kx b ，则 2.4b ，106k b ，解得：0.36k ， 2.4b ，0.36 2.4y x ．【点睛】主要考查了图形的设计，待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，面积的等分线，梯形的性质等知识，解题关键是利用面积确定点G 的位置．第21页/共22页第22页/共22页。

2025届陕西省西安西工大附中数学八年级第一学期期末学业质量监测试题含解析

2025届陕西省西安西工大附中数学八年级第一学期期末学业质量监测试题量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则ΔDEB的周长为（）A．4cm B．6cm C．10cm D．以上都不对2．下列各式中属于最简二次根式的是（）A．21x+B．yxxC．12D．1123．若1x=-使某个分式无意义，则这个分式可以是（）A．121xx--B．211xx++C．211xx--D．121xx++4．下列图形中，是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．甲、乙两名运动员同时从A地出发到B地，在直线公路上进行骑自行车训练.如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程S(千米)与行驶时间t(小时)之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时，乙在甲前10千米；④甲、乙两名运动员相距5千米时，t=0.5或t=2或t=5.其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．若22(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于（）A ．1或5B ．5C ．7D ．7或1-7．已知（x+y)2 = 1，（x -y)2=49，则xy 的值为（）A ．12B ．-12C ．5D ．-58．下列语句正确的是( )A ．4是16的算术平方根，即±16＝4B ．﹣3是27的立方根C ．64的立方根是2D ．1的立方根是﹣19．下列美术字中，不属于轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．10．已知方程组中的，互为相反数，则的值为（） A ． B ． C ． D ．二、填空题(每小题3分,共24分) 11．将一次函数y ＝2x +2的图象向下平移2个单位长度，得到相应的函数表达式为____．12．若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为_____．13．在△ABC 中，AB=10，10，BC 边上的高AD=6，则另一边BC 等______．14．计算：()1020*******(1)2-⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭___________． 15．在△ABC 中，C 90∠=︒，AB=4，A 60∠=︒，则AC=______．16．如图，在ABC ∆中，AB AC =，100BAC ∠=︒，AB 的垂直平分线DE 分别交AB ，BC 于点D ，E ，则BAE ∠=______．17．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．18．一件工作，甲独做需a 小时完成，乙独做需b 小时完成，则甲、乙两人合作需的小时数是______.三、解答题(共66分)19．（10分）如图，AB // CD ，Rt △EFG 的顶点F ，G 分别落在直线AB ，CD 上，GE 交AB 于点H ，∠EFG =90°，∠E =32°．（1）∠FGE = °（2）若GE 平分∠FGD ，求∠EFB 的度数．20．（6分）如图， ABC 是等边三角形，延长BA 到点D ，延长CB 到点E ，使BE AD =，连接CD AE 、，延长EA 交CD 于F ．（1）求证: ACE CBD ≌；（2）求CFE ∠的度数．21．（6分）如图，CD ∥EF ，AC ⊥AE ，且∠α和∠β的度数满足方程组223570αββα∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩（1）求∠α和∠β的度数．（2）求证：AB ∥CD ．（3）求∠C 的度数．22．（8分）计算:()()()2412525x x x +-+-；23．（8分）如图所示，△ADF 和△BCE 中，∠A=∠B ，点D ，E ，F ，C 在同一直线上，有如下三个关系式：①AD=BC ；②DE=CF ；③BE ∥AF ．请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出的一个正确结论，并说明它正确的理由．24．（8分）某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”活动，推出了以下四种选修课程：A 、绘画；B 、唱歌；C 、演讲；D 、书法．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息解决下列问题：（1）这次抽查的学生人数是多少人？（2）将条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，求选课程D 的人数所对的圆心角的度数；（4）如果该校共有1200名学生，请你估计该校报课程B 的学生约有多少人？25．（10分）先化简,再求值: ()()()()23434412x x x x x +---+-，其中2x =-．26．（10分）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答下列问题：（1）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，直线BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．求证：△ABD 与△DBC 都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：当∠A ≠36°时，一些等腰三角形也具有这样的特性，即经过等腰三角形某一顶点的一条直线可以把该等腰三角形分成两个小等腰三角形．则∠A 的度数为______（写出两个答案即可）；并画出相应的具有这种特性的等腰三角形及分割线的示意图，并在图中标出两个小等腰三角形的各内角的度数．（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出两个小等腰三角形的各内角的度数．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】解：∵DE ⊥AB ，∴∠C =∠AED =90°，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD =∠EAD ，在△ACD 和△AED 中，∵∠C =∠AED ，∠CAD =∠EAD ，AD =AD ，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AC =AE ，CD =DE ，∴BD +DE =BD +CD =BC =AC =AE ，BD +DE +BE =AE +BE =AB =6，所以，△DEB 的周长为6cm ．故选B ．2、A【分析】找到被开方数中不含分母的，不含能开得尽方的因数或因式的式子即可．【详解】解：AB 、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；C 、=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；D 、= 故选：A ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3、B【分析】根据分式无意义的条件，对每个式子进行判断，即可得到答案.【详解】解：A 、由210x -=，得12x =，故A 不符合题意； B 、由10x +=，得1x =-，故B 符合题意；C 、由10x -=，得1x =，故C 不符合题意；D 、由210x +=，得12x =-，故D 不符合题意；故选：B.【点睛】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，即分母等于0.4、C【解析】根据轴对称图形的概念对各个图案进行判断即可得解．【详解】解：第1个是轴对称图形，故本选项正确；第2个是轴对称图形，故本选项正确；第3个是轴对称图形，故本选项正确；第4个不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5、B【分析】①甲的速度为120÷3=40，即可求解；②t ≤1时，乙的速度为50÷1=50，t ＞1后，乙的速度为(120-50)÷(3-1)=35，即可求解；③行驶1小时时，甲走了40千米，乙走了50千米，即可求解；④甲的函数表达式为：40y x =，乙的函数表达式为：01t ≤≤时，50y x =，1t >时，3515y x =+，即可求解．【详解】①甲的速度为120÷3=40(千米/小时)，故正确；②1t ≤时，乙的速度为50÷1=50(千米/小时)，1t >后，乙的速度为(120-50)÷(3-1)=35(千米/小时)，故错误；③行驶1小时时，甲走了40千米，乙走了50千米，乙在甲前10千米处，故正确； ④由①②③得：甲的函数表达式为：40y x =，乙的函数表达式为：当01t ≤≤时，50y x =，当1t >时，3515y x =+，当01t ≤≤时，50405t t -=，解得0.5t =(小时)；当13t <≤时，3515405t t +-=，解得2t =(小时)；当3t >时，()4035155t t -+=，解得4t =(小时)；∴甲、乙两名运动员相距5千米时，0.5t =或2或4小时，故错误；综上，①③正确，共2个，故选：B ．【点睛】本题为一次函数应用题，考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次方程，解题的关键是：根据速度=路程÷时间求出速度；待定系数法求函数解析式；找出各线段所对应的函数表达式做差解方程．6、D【分析】根据完全平方公式，首末两项是x 和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和4积的2倍．【详解】解：∵多项式22(3)16x m x +-+是完全平方式，∴222(3)16(4)x m x =x +-+±，∴2(3)8m =-± 34m =-±解得：m=7或-1故选：D.【点睛】此题主要查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．7、B【分析】根据完全平方公式把2()x y +和2()x y -展开，然后相减即可求出xy 的值．【详解】由题意知：222()21x y x xy y +=++=①， 222()249x y x xy y -=-+=②，①-②得：()222222149x xy y x xy y++--+=-， ∴22222248x xy y x xy y ++-+-=-，即448xy =-，∴12xy =-，故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式的结构特征是解题的关键． 8、C【分析】根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和算术平方根的概念解答即可．【详解】解：A、4是16的算术平方根，即16＝4，故A错误；B、﹣3是﹣27的立方根，故B错误；C、64＝8，8的立方根是2，故C正确；D、1的立方根是1，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练理解立方根的概念：如果一个数x 的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根．9、A【解析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．【详解】由轴对称图形的定义定义可知，A不是轴对称图形，B、C、D都是轴对称图形．故选A．【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．10、D【解析】根据x与y互为相反数,得到x+y=0，即y=-x，代入方程组即可求出m的值．【详解】由题意得：x+y=0，即y=-x，代入方程组得：，解得：m=3x=4，故选：D．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．二、填空题(每小题3分,共24分)11、y＝2x【分析】直接利用一次函数平移规律:左右平移，x左加右减；上下平移，b上加下减，得出答案．【详解】解：将函数y＝2x+2的图象向下平移2个单位长度后，所得图象的函数关系式为y ＝2x +2﹣2＝2x ．故答案为：y ＝2x ．【点睛】本题考查的知识点是一次函数图象与几何变换，掌握一次函数图象平移的规律“左右平移，x 左加右减；上下平移，b 上加下减”是解此题的关键．12、11cm 或7.5cm【解析】试题解析：：①11cm 是腰长时，腰长为11cm ，②11cm 是底边时，腰长=12（26-11）=7.5cm ，所以，腰长是11cm 或7.5cm ． 13、1或6【解析】试题解析：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB =1，AC 10，AD =6，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理得：BD 22AB AD -，22AC AD -=2，此时BC =BD +CD =8+2=1；如图2所示，AB =1，AC 10，AD =6，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理得：BD 22AB AD -，CD 22AC AD -=2，此时BC =BD -CD =8-2=6，则BC 的长为6或1．14、1【分析】分别利用零指数幂和负整数指数幂以及乘方运算化简各项，再作加减法．【详解】解：()()1020*********-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭ =121+-=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂以及乘方的运算法则．15、1【分析】根据直角三角形两锐角互余求出B 的度数，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出答案．【详解】C 90︒∠=，A 60∠=︒90906030B A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒4AB =122AC AB ∴== 故答案为：1．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，掌握含30°的直角三角形的性质和直角三角形中两锐角互余是解题的关键．16、40°【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=40°，再根据垂直平分线的性质解答即可．【详解】解：∵在ABC ∆中，AB AC =，100BAC ∠=︒ ∴180100402B C ︒-︒∠=∠==︒，又∵AB 的垂直平分线DE 分别交AB ，BC 于点D ，E ，∴AE=BE ，∴∠BAE=∠B=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，灵活运用上述性质进行推导是解题的关键．17、80y x =-【分析】根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥ ∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠ ∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-，故答案为：80y x =-．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．18、ab a b+ 【分析】设总工作量为1，根据甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，可以表示出两人每小时完成的工作量，进而得出甲、乙合做全部工作所需时间．【详解】解：∵一件工作，甲独做x 小时完成，乙独做y 小时完成， ∴甲每小时完成总工作量的：1a ，乙每小时完成总工作量的：1b∴甲、乙合做全部工作需：111ab a b ab =++ 故填：ab a b+．【点睛】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求的量的等量关系，当总工作量未知时，可设总工作量为1.三、解答题(共66分)19、（1）∠FGE =58° ；（2）∠EFB =26°. 【分析】（1）由题意利用三角形内角和是180°，据此即可求出∠FGE 的度数；（2）根据题意利用角平分线的性质得出∠EGD=∠FGE=58°，再利用平行线性质即可得出∠EFB 的度数.【详解】解：（1）∵∠EFG=90°，∠E=32°，∴∠FGE=90°-32°=58°；（2）∵GE 平分∠FGD ，∴∠EGD=∠FGE=58°∵AB ∥CD ，∴∠EHB=∠EGD=58°，∴∠EFB=∠EHB －∠E=26°.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及平行线的判定，解题的关键是牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键以及利用三角形内角和定理及角平分线的定义进行分析．20、（1）证明见解析；（2）60°【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC ，∠DAC=∠ABE=120°，结合BE AD =可证明△ABE ≌△ACD ，可得∠BAE=∠ACD ，AE=CD ，故可得∠EAC=∠DCB,，进一步可证明ACE CBD ≌；（2）根据全等三角形的性质得到∠E=∠D ，∠ EAB=∠DAF ，根据三角形的外角的性质得到结论．【详解】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠CAB=∠ABC=60°，∴∠DAC=∠ABE=120°，在△ABE 和△ACD 中，AB AC ABE CAD BE AD ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△ACD ，∴AE=CD ，∠BAE=∠ACD ，∴∠CAE=∠BCD ，在△ACE 和△CBD 中AC BC CAE BCD AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴ACE CBD ≌；（2）∵△ABE ≌△ACD ，∴∠E=∠D ，∴∠CFE=∠D+∠DAF=∠E+∠EAB ，=∠ABC ，=60°．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识．21、（1）∠α和∠β的度数分别为55°，125°；（2）见解析；（3）∠C ＝35°．【分析】（1）根据方程组223570αββα∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，可以得到∠α和∠β的度数；（2）根据（1）∠α和∠β的度数，可以得到AB ∥EF ，再根据CD ∥EF ，即可得到AB ∥CD ；（3）根据AB ∥CD ，可得∠BAC+∠C=180°，再根据AC ⊥AE 和∠α的度数可以得到∠BAC 的度数，从而可以得到∠C 的度数．【详解】解：（1）223570αββα∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩①②， ①﹣②，得3∠α＝165°，解得，∠α＝55°，把∠α＝55°代入②，得∠β＝125°，即∠α和∠β的度数分别为55°，125°；（2）证明：由（1）知，∠α＝55°，∠β＝125°，则∠α+∠β＝180°，故AB ∥EF ，又∵CD ∥EF ，∴AB ∥CD ；（3）∵AB ∥CD ，∴∠BAC +∠C ＝180°，∵AC ⊥AE ，∴∠CAE ＝90°，又∵∠α＝55°，∴∠BAC ＝145°，∴∠C ＝35°．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22、8x+29【分析】先乘除去括号，再加减；主要环节是根据乘法公式展开括号.【详解】解：原式 ()()224x 2x 14x 25=++--= 224x 8x 44x 25++-+=8x 29+【点睛】本题考查了整式的混合运算，主要涉及了乘法公式，灵活利用完全平方公式及平方差公式进行计算是解题的关键.23、如：AD=BC ，BE ∥AF ，则DE=CF ；理由见解析【分析】只要以其中三个作为条件，能够得出另一个结论正确即可，下边以①③为条件，②为结论为例．【详解】解：如：AD=BC ，BE ∥AF ，则DE=CF ；理由是：∵BE ∥AF ，∴∠AFD=∠BEC ，在△ADF 和△BEC 中，A B AFD BEC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCE(AAS)，∴DF=CE ，∴DF ﹣EF=CE ﹣EF ，∴DE=CF ．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.24、（1）这次抽查的学生人数是40人；（2）图见解析；（3）36°；（4）该校报课程B 的学生约有420人【分析】（1）根据选择课程A 的人数和所占抽查学生总人数的百分率即可求出这次抽查的学生人数；（2）用抽查学生总人数减去选课程A 、选课程B 、选课程D 的人数，即可求出选课程C 的人数，然后补全条形统计图即可；（3）求出选课程D 的人数占抽查学生总人数的分率，再乘360°即可；（4）求出选课程B 的人数占抽查学生总人数的分率，再乘该校总人数即可．【详解】解：（1）这次抽查的学生人数为：12÷30%=40人答：这次抽查的学生人数是40人．（2）选课程C 的人数为：40－12－14－4=10人补全条形统计图，如下（3）选课程D 的人数所对的圆心角的度数为43603640⨯︒=︒ 答：选课程D 的人数所对的圆心角的度数36°．（4）该校报课程B 的学生约有14120042040⨯=人答：该校报课程B 的学生约有420人．【点睛】此题考查的是条形统计图和扇形统计图，结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息是解决此题的关键．25、2 612x -，1【分析】先根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．【详解】解：()()()()23434412x x x x x +---+- 2222 9414441266x x x x x x =+=--+-+-当x=-2时，原式=24-1=1．【点睛】本题主要考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式法则．26、（1）见解析；（2）90°或108°或01807；（3）见解析【分析】（1）根据等边对等角，及角平分线定义易得∠1＝∠2＝36°，∠C ＝72°，那么∠BDC ＝72°则可得AD ＝BD ＝CB ∴△ABD 与△DBC 都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；（3）利用直角三角形的中线等于直角三角形斜边的一半可得任意直角三角形的中线把直角三角形分为两个等腰三角形；由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形．【详解】（1）证明：在△ABC 中，∵AB=AC ，∠A=36°∴∠ABC=∠C=12（180°－∠A ）=72° ∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2=36°∴∠1=∠A∴AD=BD∴△ABD 是等腰三角形∵∠BDC=∠1+∠A=72°∴∠BDC=∠C=72°∴BD=BC ，∴△BDC 是等腰三角形（2）如下图所示：∴顶角∠A的度数为90°或108°或1807︒，故答案为：90°或108°或1807︒；（3）如图所示．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．。

2020-2021学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级(上)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．下列实数，是无理数的是（）A．0B．C．D．2．已知点P位于第二象限，则点P的坐标可能是（）A．（﹣2，0）B．（0，4）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）3．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝46°，∠1＝52°，则∠2＝（）A．92°B．94°C．96°D．98°4．有长为5cm，13cm的两根木条，现想找一根木条和这两根木条首尾顺次相连组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（）A．10cm B．12cm C．18cm D．20cm5．若m＞n，则下列不等式正确的是（）A．m﹣2＜n﹣2B．C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n 6．一次函数y＝kx﹣5的图象经过点（k，﹣1），且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式是（）A．y＝﹣x﹣5B．y＝x﹣5C．y＝﹣2x﹣5D．y＝2x﹣57．某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案（设购票张数为x张，购票总价为y元）．方案一：购票总价由图中的折线OAB所表示的函数关系确定；方案二：提供8000元赞助后，每张票的票价为50元．则两种方案购票总价相同时，x的值为（）A．80B．120C．160D．2008．已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（）A．k＝B．k＝C．k＝D．k＝9．如图，直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交点B（0，3），点M（a，2）是直线l 上一点，过点M的直线MN交边OA于点N，若直线MN将△AOB分成面积相等的两部分，则直线MN的关系式为（）A．y＝3x﹣6B．y＝4x﹣6C．y＝﹣3x+6D．y＝﹣4x+6 10．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD＝，DE＝2，EC＝，则AC的长为（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11．比较大小：﹣﹣4．（填“＜”或“＞”符号）12．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人．小聪参加选拔的各项成绩如下：读：92分，听：80分，写90分，若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小聪的个人总分为分．13．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度v与空气温度t关系的一些数据（如表格）：温度t/℃﹣20﹣100102030音速v/（m/s）318324330336342348则v与t的关系式是．14．在平面直角坐标系中，点A（m，2m）在第一象限，若点A关于y轴的对称点B在直线y＝﹣x+2上，则m的值为．15．等腰三角形一腰长为5，面积为10，则这个等腰三角形底边长为．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，分别以AB，BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE，连接DE，DE与AB交于点F．若AC＝2，则DF＝．三、解答题（共7小题，计52分，解答应写出过程）17．计算：（1）﹣|2﹣|+（﹣）﹣1﹣×．（2）解方程组：．18．尺规作图：已知线段a，求作等腰直角△ABC，使其斜边BC的长等于线段a的长．（保留作图痕迹，不必写作法）19．如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点（不与O重合），过点P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足分别是D，E，连接DE．（1）写出图中所有的全等三角形；（2）求证：OP是线段DE的垂直平分线．20．为了了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：身高情况分组表（单位：cm）组别身高A x＜160B160≤x＜165C165≤x＜170D170≤x＜175E x≥175根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）样本中，男生的身高众数在组，中位数在组；（2）样本中，女生身高在E组的人数有人；（3）已知该校共有男生600人，女生480人，请估计身高在165≤x＜175之间的学生约有多少人？21．为了防范新型冠状病毒的传播，小唐的爸爸用1200元资金为全家在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩两种口罩共300个，该大型药店的普通医用口罩、N95口罩成本价和销售价如表所示：类别/单价成本价（元/个）销售价（元/个）普通医用口罩0.82N95口罩48（1）小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩各多少个？（2）销售完这300个普通医用口罩、N95口罩，该大型药店共获得多少利润？22．如图，已知直线y＝kx+2与x轴、y轴分别相交于点A、点B，∠BAO＝30°，若将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重台，折痕CD与x轴交于点C，与AB交点D．（1）求k的值．（2）在直线BC上是否存在一点P，使得△ABP的面积与△ABO的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（1）如图1，已知等边△ABC中，边长为4，AD为BC边上中线，DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝．（2）如图2，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，BC＝5+，△DEF为△ABC的内接等边三角形，且DF∥BC，求△DEF的边长．（3）如图3，△ABC是一块板材示意图，∠BAC＝120°，AB＝AC＝80cm，工人师傅想在这个板材中截出一个面积最大的等边△DEF工件，请问能否实现这个目标，若能实现，求出等边△DEF的最大面积，若不能实现，说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．下列实数，是无理数的是（）A．0B．C．D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：A．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；B．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；C．是无理数，故本选项符合题意；D．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：C．2．已知点P位于第二象限，则点P的坐标可能是（）A．（﹣2，0）B．（0，4）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【分析】根据坐标轴上的点的特点以及各象限内点坐标特征解答．解：A．（﹣2，0）在x轴上，故本选项不合题意；B．（0，4）在y轴上，故本选项不合题意；C．（﹣2，3）位于第二象限，故本选项符合题意；D．（2，﹣3）位于第四象限，故本选项不合题意；故选：C．3．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝46°，∠1＝52°，则∠2＝（）A．92°B．94°C．96°D．98°【分析】先根据三角形的外角性质求出∠DEC的度数，再根据平行线的性质得出结论即可．解：∵∠DEC是△ADE的外角，∠A＝46°，∠1＝52°，∴∠DEC＝∠A+∠1＝46°+52°＝98°，∵DE∥BC，∴∠2＝∠DEC＝98°．故选：D．4．有长为5cm，13cm的两根木条，现想找一根木条和这两根木条首尾顺次相连组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（）A．10cm B．12cm C．18cm D．20cm【分析】根据勾股定理即可得到结论．解：∵52+132＝（）2，132﹣52＝122，∴木条长度适合的是12cm，故选：B．5．若m＞n，则下列不等式正确的是（）A．m﹣2＜n﹣2B．C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n 【分析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．解：A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；B、将m＞n两边都除以4得：＞，此选项正确；C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误；故选：B．6．一次函数y＝kx﹣5的图象经过点（k，﹣1），且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式是（）A．y＝﹣x﹣5B．y＝x﹣5C．y＝﹣2x﹣5D．y＝2x﹣5【分析】根据题意和一次函数的性质，可以解答本题．解：∵一次函数y＝kx﹣5的图象经过点（k，﹣1），且y随x的增大而减小，∴﹣1＝k2﹣5，k＜0，∴k＝﹣2，∴函数的表达式是y＝﹣2x﹣5，故选：C．7．某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案（设购票张数为x张，购票总价为y元）．方案一：购票总价由图中的折线OAB所表示的函数关系确定；方案二：提供8000元赞助后，每张票的票价为50元．则两种方案购票总价相同时，x的值为（）A．80B．120C．160D．200【分析】根据题意，可以分别求得方案一和方案二对应的函数解析式，然后令它们的函数值相等，即可得到两种方案购票总价相同时，x的值．解：设OA段对应的函数解析式为y＝kx，12000＝100k，得k＝120，即OA段对应的函数解析式为y＝120x，设AB段对应的函数解析式为y＝ax+b，，得，即AB段对应的函数解析式为y＝60x+6000，由题意可得，方案二中y与x的函数关系式为y＝50x+8000，令50x+8000＝120x，得x＝，∵x为整数，∴x＝应舍去，令60x+6000＝50x+8000，得x＝200，即当x＝200时，两种方案购票总价相同，故选：D．8．已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（）A．k＝B．k＝C．k＝D．k＝【分析】将y＝2x﹣2k代入方程组，可分别求出x、k的值．解：∵2x﹣y＝2k，∴y＝2x﹣2k，∵方程组的解满足2x﹣y＝2k，∴方程组可化为，由①得x＝，将x＝代入②得，k＝，故选：A．9．如图，直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交点B（0，3），点M（a，2）是直线l 上一点，过点M的直线MN交边OA于点N，若直线MN将△AOB分成面积相等的两部分，则直线MN的关系式为（）A．y＝3x﹣6B．y＝4x﹣6C．y＝﹣3x+6D．y＝﹣4x+6【分析】利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得A的坐标，根据三角形面积公式求得S△AOB＝9，从而得到AN•y M＝，即AN×2＝，求得N的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线MN的解析式．解：∵直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交点B（0，3），∴OA＝6，OB＝3，∴S△AOB＝＝＝9，设直线l的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+3，∵点M（a，2）是直线l上一点，∴2＝﹣a+3，解得a＝2，∴M（2，2），∵直线MN将△AOB分成面积相等的两部分，∴AN•y M＝，即AN×2＝，∴AN＝，∴ON＝6﹣＝，∴N（，0），设直线MN为y＝mx+n，∴，解得，∴直线MN为y＝4x﹣6，故选：B．10．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD＝，DE＝2，EC＝，则AC的长为（）A．B．C．D．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD，AE当长，利用勾股定理逆定理得出△ADE 是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．解：连接AD，AE，∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∴AD＝BD＝，AE＝EC＝，∵DE＝2，∴，∴△ADE是直角三角形，∴∠ADE＝90°，由勾股定理可得：AC＝，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11．比较大小：﹣＜﹣4．（填“＜”或“＞”符号）【分析】根据两个负实数比较大小，绝对值大的反而小，解答出即可．解：由|﹣|＝，|﹣4|＝4，∵＝18，42＝16，即18＞16，∴＞4；∴﹣＜﹣4．故答案为＜．12．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人．小聪参加选拔的各项成绩如下：读：92分，听：80分，写90分，若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小聪的个人总分为88分．【分析】利用加权平均数按照比例求得小莹的个人总分即可．解：根据题意得：＝88（分），答：小聪的个人总分为88分；故答案为：88．13．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度v与空气温度t关系的一些数据（如表格）：温度t/℃﹣20﹣100102030音速v/（m/s）318324330336342348则v与t的关系式是v＝330+0.6t．【分析】根据表格中温度t与音速v对应值，以及变化关系得出答案．解：从表格中的数据变化情况可知，温度每增加10℃，音速就增加6m/s，于是v＝330+0.6t，故答案为：v＝330+0.6t．14．在平面直角坐标系中，点A（m，2m）在第一象限，若点A关于y轴的对称点B在直线y＝﹣x+2上，则m的值为2．【分析】由点A，B关于y轴对称及点A的坐标，即可得出点B的坐标为（﹣m，2m），再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．解：∵点A，B关于y轴对称，且点A的坐标为（m，2m），∴点B的坐标为（﹣m，2m）．又∵点B在直线y＝﹣x+2上，∴2m＝﹣（﹣m）+2，∴m＝2．故答案为：2．15．等腰三角形一腰长为5，面积为10，则这个等腰三角形底边长为2或4．【分析】利用勾股定理得+AD2＝25，由S＝10，得AD＝，得关于BC的方程，从而得出答案．解：如图，AB＝AC＝5，AD是BC边上的高，∴BD＝，AD⊥BC，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2+AD2＝AB2，即+AD2＝25，∵S＝10，∴AD＝，∴＝25，∴BC4﹣100BC2+1600＝0，即（BC2﹣20）（BC2﹣80）＝0，∴BC＝2或﹣2（舍去）或4或﹣4（舍去），故答案为：2或4．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，分别以AB，BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE，连接DE，DE与AB交于点F．若AC＝2，则DF＝．【分析】由“AAS”可证△DGF≌△EBF，可得DF＝EF，GF＝BF＝1，由勾股定理可求解．解：作DG⊥AB于G，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝4，BC＝AC＝2，∵△ABD是等边三角形，DG⊥AB，∴AG＝BG＝2，∠BDG＝30°，∴DG＝GB＝2，∵△BEC是等边三角形，∴EB＝BC＝2，∴DG＝EB，在△DGF和△EBF中，，∴△DGF≌△EBF（AAS），∴DF＝EF，GF＝BF＝1，∴DF＝＝＝，故答案为：．三、解答题（共7小题，计52分，解答应写出过程）17．计算：（1）﹣|2﹣|+（﹣）﹣1﹣×．（2）解方程组：．【分析】（1）先根据二次根式的性质、绝对值的意义、负整数指数幂的意义和二次根式的乘法法则计算，然后合并即可；（2）先把原方程组整理为，然后利用加减消元法解方程组．解：（1）原式＝5+2﹣﹣3﹣＝5+2﹣﹣3﹣3＝4﹣4；（2）原方程组整理为，①+②得6x＝48，解得x＝8，②﹣①得4y＝32，解得y＝8，所以方程组的解为．18．尺规作图：已知线段a，求作等腰直角△ABC，使其斜边BC的长等于线段a的长．（保留作图痕迹，不必写作法）【分析】作射线BQ，在射线BQ上截取线段BC＝a，作线段BC的垂直平分线MN（M 为垂足），在射线MN上截取MA＝MB，连接AB，AC，△ABC即为所求．解：如图，△ABC即为所求．19．如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点（不与O重合），过点P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足分别是D，E，连接DE．（1）写出图中所有的全等三角形；（2）求证：OP是线段DE的垂直平分线．【分析】（1）根据对称性很容易观察出哪些三角形全等，直接写出即可．（2）先证明△OPD与△OPE全等，得出DP＝EP，OD＝OE，然而可得出结论．解：（1）图中全等的三角形有：△ODP≌△OEP，△ODF≌△OEF，△DFP≌△EFP．（2）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP＝∠OEP，在△ODP和△OEP中，，∴OD＝OE，PD＝PE，∴OP垂直平分DE．20．为了了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：身高情况分组表（单位：cm）组别身高A x＜160B160≤x＜165C165≤x＜170D170≤x＜175E x≥175根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）样本中，男生的身高众数在B组，中位数在C组；（2）样本中，女生身高在E组的人数有2人；（3）已知该校共有男生600人，女生480人，请估计身高在165≤x＜175之间的学生约有多少人？【分析】（1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；（2）先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解；（3）分别用男、女生的人数乘以C、D两组的频率的和，计算即可得解．解：（1）∵直方图中，B组的人数为12，最多，∴男生的身高的众数在B组，男生总人数为：4+12+10+8+6＝40，按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，∴男生的身高的中位数在C组，故答案为：B，C；（2）女生身高在E组的百分比为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%＝5%，∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，∴样本中，女生身高在E组的人数有：40×5%＝2（人），故答案为：2；（3）600×+480×（25%+15%）＝270+192＝462（人）．答：该校身高在165≤x＜175之间的学生约有462人．21．为了防范新型冠状病毒的传播，小唐的爸爸用1200元资金为全家在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩两种口罩共300个，该大型药店的普通医用口罩、N95口罩成本价和销售价如表所示：类别/单价成本价（元/个）销售价（元/个）普通医用口罩0.82N95口罩48（1）小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩各多少个？（2）销售完这300个普通医用口罩、N95口罩，该大型药店共获得多少利润？【分析】（1）设小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩x个，N95口罩y个，根据“用1200元资金为全家在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩两种口罩共300个”求得答案即可；（2）用总的售价减去总的成本即可求得利润．解：（1）设小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩x个，N95口罩y个，依题意，得：，解得：．答：小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩200个，N95口罩100个；（2）200×（2﹣0.8）+100×（8﹣4）＝640（元），答：该超市共获利润640元．22．如图，已知直线y＝kx+2与x轴、y轴分别相交于点A、点B，∠BAO＝30°，若将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重台，折痕CD与x轴交于点C，与AB交点D．（1）求k的值．（2）在直线BC上是否存在一点P，使得△ABP的面积与△ABO的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令x＝0，则y＝2，即：OB＝2，利用勾股定理求解即可．（2）设BC＝AC＝a，则OC＝6﹣a，在△BOC中，（2）2+（6﹣a）2＝a2，解得a＝4，则C（2，0），由B，C坐标可求出直线BC所在直线表达式；过点O作AB的平行线与直线BC交于一点；在点B上方取点M，使BM＝BO，过点B作AB平行线，交直线BC于一点，求解即可．解：（1）令x＝0，则y＝2，即：OB＝2，由勾股定理得：OA＝6，则k＝﹣；（2）设BC＝AC＝a，则OC＝6﹣a，在△BOC中，（2）2+（6﹣a）2＝a2，解得：a＝4，则点C（2，0）；设直线BC所在直线为y＝mx+n，则，解得．∴直线BC所在直线为y＝﹣x+2．过点O作AB的平行线与直线BC交于一点P1，∵OP1∥AB，∴S△AOB＝S△ABP1，∵直线AB的解析式为y＝﹣x+2，OP1∥AB，∴直线OP1的解析式为y＝﹣x，令﹣x＝﹣x+2，解得x＝3，∴P1（3，﹣）；根据对称性可知，经过点M（0，4）与直线AB平行的直线与直线BC的交点P2，也满足条件，易知BM＝BO，同理可得直线MP2的解析式为：y＝﹣x+4，令﹣x+4＝﹣x+2，解得x＝﹣3，∴P2（﹣3，5）；∴若△ABP的面积与△ABO的面积相等，则点P的坐标为：（3，﹣）；（﹣3，5）．23．（1）如图1，已知等边△ABC中，边长为4，AD为BC边上中线，DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝．（2）如图2，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，BC＝5+，△DEF为△ABC的内接等边三角形，且DF∥BC，求△DEF的边长．（3）如图3，△ABC是一块板材示意图，∠BAC＝120°，AB＝AC＝80cm，工人师傅想在这个板材中截出一个面积最大的等边△DEF工件，请问能否实现这个目标，若能实现，求出等边△DEF的最大面积，若不能实现，说明理由．【分析】（1）先根据等腰三角形的“三线合一”性质证明∠ADB＝90°，然后在Rt△ABD 中根据勾股定理求出AD的长，再根据S△ABD＝AB•DE＝BD•AD列方程求出DE的长；（2）作DG⊥BC于点G，FH⊥BC于点H，设等边△DEF的边长为a，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”以及等腰直角三角形的性质用含a的代数式分别表示BE、EH、CH的长，再根据BC＝5+列方程求出a的值即得到等边△DEF的边长；（3）能截出一个面积最大的等边△DEF，分三种情况讨论，一是顶点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且EF∥BC，二是有一边在AB上，第三个顶点在BC上，三是有一边在BC上，且以点A为顶点，先画出图形，根据“垂线段最短”比较三个等边三角形的边长的大小，可以得出一边在BC上，且以点A为顶点时等边△DEF的面积最大，求出此时等边△DEF的面积即可．解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴AB＝BC＝4，∵AD为BC边上中线，∴BD＝CD＝BC＝×4＝2，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝＝2，∵DE⊥AB于点E，∴S△ABD＝AB•DE＝BD•AD，∴×4DE＝×2×2，∴DE＝，故答案为：．（2）如图2，作DG⊥BC于点G，FH⊥BC于点H，设等边△DEF的边长为a，∵△DEF是等边三角形，且DF∥BC，∴∠DEB＝∠EDF＝60°，∠CEF＝∠EFD＝60°，∵∠FHE＝90°，∴∠EFH＝30°，∴EH＝EF＝a，∴FH＝＝＝a，∵∠B＝30°，∠CHF＝90°，∠C＝45°，∴∠BDE＝90°，∠HFC＝∠C＝45°，∴BE＝2DE＝2a，CH＝FH＝a，∵BC＝5+，且BC＝BE+EH+CH，∴2a+a+a＝5+，∴a＝1，∴等边△DEF的边长为1．（3）能．如图3，△DEF是等边三角形，EF∥BC，连接AD交EF于点I，在EB上截取PE＝AE，连接PD，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠AEF＝∠B＝30°，∠AFE＝∠C＝30°，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵∠DEF＝∠DFE＝60°，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴∠EAD＝∠FAD，∴AD⊥EF，∴∠ADB＝∠AIE＝90°，∴AD⊥MN，∵DE⊥AP，PE＝AE，∴AD＝PD，∴△DAP是等边三角形，作AM平分∠BAD交BC于点M，作AN平分∠CAD交BC于点N，∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°，∴∠DAM＝∠DAN＝×60°＝30°，∴∠MAN＝60°，∵∠ADM＝∠ADN＝90°，∴∠AMN＝∠ANM＝60°，∴∠MAN＝∠AMN＝∠ANM，∴△AMN是等边三角形，∵AM＞AD＞ED，∴S△AMN＞S△DAP＞S△DEF，∴等边△AMN是△ABC面积最大的内接等边三角形，∴当点E、点F分别与点N、点M重合时，等边△DEF的面积最大，∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，∴AD＝AB＝×80＝40，同理DM＝AM，∵AD2+DM2＝AM2，∴402+（AM）2＝AM2，∴MN＝AM＝，∴S△AMN＝MN•AD＝××40＝（cm2），∴等边△DEF的最大面积是cm2，。

陕西省西安市西北工业大学附属中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

A ．B ．7．已知点，都在一次函数A ．B ．8．已知方程组的解为12∠>∠1∠>(1,)A a -(1,)B b a b >a b <4ax by -=⎧⎨A ．5B 二、填空题（3×6＝1811．的立方根是 12．已知点P （a ，b ）在一次函数364-(1)在图中作出关于y 轴对称的图形；(2)在y 轴上找一个点P ，使得的周长最小，在图中标出点P的位置；(3)求的面积．22．如图，在中，，于点D ，BF 平分交AD 于点E ，交AC 于点F.求证：.23．如图，，分别是轴上位于原点左，右两侧的点，点在第一象限，直线交轴于点，直线交轴于点，的面积为6．(1)求的面积；(2)求点的坐标与的值．24．某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每ABC 111A B C △ABP ABC ABC 90BAC ∠=︒AD BC ⊥ABC ∠AEF AFE ∠=∠A B x ()2,P m PA y ()0,2C PB y D AOP COP A m(1)如图①，当点在第一象限，且满足(2)如图②，当在y 轴上时，求P 点坐标_______A 'A B '⊥A '5．A【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m 的值．【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后得到的解析式为：，化简得：，∵平移后得到的是正比例函数的图像，∴，解得：，故选：A ．【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键．6．D【分析】三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，根据以上知识点逐个判断即可．【详解】A 项，∵是的外角，是的外角，∴，，∴，故A 项不合题意；B 项，易知，故B 项不合题意；C 项，∵是的外角，∴，故C 项不合题意；D 项，由已知条件不能确定和的大小关系，不一定大于，符合题意.故选D.【点睛】此题考查三角形的外角性质，解题关键在于掌握三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.7．A【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．将，代入一次函数求出的值即可得到答案．【详解】解：将，代入一次函数，得，，故，故选A ．8．B21y x m =+-2(3)1y x m =++-25y x m =++50m +=5m =-3∠CDE 1∠ABC 32∠>∠13∠>∠12∠>∠13∠>∠3∠CDE 35∠>∠4∠5∠4∠5∠(1,)A a -(1,)B b 2y x =-+a b 、(1,)A a -(1,)B b 2y x =-+3a =1b =a b >11．【分析】本题主要考查求平方根和立方根，别进行计算即可得到答案．【详解】解：的立方根是34-±364-∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，所以原方程组的解为(2)原方程组可化为，得，解得，把代入①，得，解得，所以原方程组的解为【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．19．见解析【分析】过点P 作直线TM 交AC 于点T ，作∠QPM ＝∠CTM ，PQ 交BC 于点Q ，直线PQ 即为所求．【详解】解：如图，直线PQ 即为所求．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20．（1）50人，统计图见详解；(2)10、15；（3）16380【分析】（1）根据捐款20元的人数及其百分比可得总人数，总人数减去其余捐款数的人数可得捐款10元的人数，补全图形即可；（2）根据众数和中位数的定义求解即可；（3）先求出样本的平均数，再用总人数乘以平均每人的捐款钱数即可．【详解】解：（1）由于捐20元的有10人，所占比例为20%，故总人数＝10÷20%＝50人；∴捐10的人数＝50﹣6﹣16﹣10＝18人，如图：12.x y =-⎧⎨=⎩，453212x y x y -=⎧⎨+=⎩①②2⨯+①②1122x =2x =2x =85y -=3y =23x y =⎧⎨=⎩（3）解：22．证明见解析.【分析】在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥＝∠ABE ＋∠BAE ，∠AFE ＝∠FBC ＋∠ACD 【详解】，，.13432212ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯△90BAC ∠=︒ BAD DAC ∴∠+∠AD BC ⊥ 90ADC ∴∠=︒。

2025届陕西省西安市西北大附属中学数学八上期末考试试题含解析

2025届陕西省西安市西北大附属中学数学八上期末考试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，AD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，BE ，AD 相交于点F ，已知∠BAD ＝42°，则∠BFD ＝( )A ．45°B ．54°C ．56°D ．66°2．如图,已知ABC 为等腰三角形, , 90AB AC BAC =∠<︒,将ABC 沿AC 翻折至,ADC E 为BC 的中点,F 为AD 的中点,线段EF 交AC 于点G ,若()1FCD GEC Sm m S =≠，则AG GC=（）A ．mB ．11m m +-C ．1m +D ．1m -3．若三角形的三边长分别为x 、2x 、9，则x 的取值范围是（）A ．3＜x ＜9B ．3＜x ＜15C ．9＜x ＜15D ．x ＞154．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个 ( )A ．形状相同的三角形B ．面积相等的三角形C ．周长相等的三角形D ．直角三角形5．下列各式中，正确的个数有（）① 2 +2=2 2 ② a ab a b =+③ 132222+= ④ 325a a a += A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 6．如图所示，在直角三角形ACB 中，已知∠ACB=90°，点E 是AB 的中点，且DE AB ⊥，DE 交AC 的延长线于点D 、交BC 于点F ，若∠D=30°，EF=2，则DF 的长是（）A ．5B ．4C ．3D ．27．如图，在ABC ∆中，AB 边的中垂线PQ 与ABC ∆的外角平分线交于点P ，过点P 作PD BC ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E .若6BC =，4AC =.则CE 的长度是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（） A ．3，4，5 B ．3，4，5 C ．8，15，17 D ．5，12，139．如图，△ABC 中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置，使得DC ∥AB ，则∠BAE 等于（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°10．将三角形三个顶点的横坐标都加3，纵坐标不变，则所得三角形与原三角形的关系是（）A ．将原图向左平移三个单位B ．关于原点对称C ．将原图向右平移三个单位D ．关于y 轴对称11．下列根式中，属于最简二次根式的是（）．A ．23aB ．75C ．12D ．ab12．如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A 所代表的正方形的面积为（）A ．4B ．8C ．64D ．16 二、填空题（每题4分，共24分）13．如图所示，在ABC 中，90,30C A ︒︒∠=∠=，将点C 沿BE 折叠，使点C 落在AB 边D 点，若6cm EC =，则AC =______cm ．14．如图，在平面直角坐标系中，AD 平分OAB ∠，已知点D 坐标为()0,2-，10AB = ，则ABD △的面积为 _____________．15．如图所示，已知∠1=22°，∠2=28°，∠A=56°，则∠BOC 的度数是___________．16．如图，在平面直角坐标系中，A 31），B （3，0），点P 为线段OB 上一动点，将△AOP 沿AO 翻折得到△AOC ，将△ABP 沿AB 翻折得到△ABD ，则△ACD 面积的最小值为_____．17．如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝ _______．18．甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同学成绩的方差2 3.5S =甲，乙同学成绩的方差2 3.1,S =乙则它们的数学测试成绩较稳定的是_______________________(填甲或乙)三、解答题（共78分）19．（8分）如图，AD 为ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，连接EF 交AD 于点O ，=60BAC ∠︒．探究：判断AEF ∆的形状，并说明理由；发现：DO 与AD 之间有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，不必说明理由．20．（8分）如图1，某容器外形可看作由,,A B C 三个长方体组成，其中,,A B C 的底面积分别为22225,10,5,cm cm cm C 的容积是容器容积的14（容器各面的厚度忽略不计）．现以速度v (单位:3/cm s ）均匀地向容器注水，直至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度h (单位：cm ）与注水时间t (单位：s ）的函数图象．()1在注水过程中，注满A 所用时间为______________s ，再注满B 又用了______________s ；()2注满整个容器所需时间为_____________s ；()3容器的总高度为____________cm ．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A(-1,2),B(1,1),C(-4,-1)．（1）在图中作出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆．（2）写出111A B C ，，的坐标（直接写答案）1A ，1B ，1C ．22．（10分）某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书．为此，该校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计，结果如下图．请你根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）该校学生最喜欢借阅哪类图书？（3）该校计划购买新书共600本，若按扇形统计图中的百分比来相应地确定漫画、科普、文学、其它这四类图书的购买量，求应购买这四类图书各多少本？（无原图）23．（10分）解分式方程：24．（10分） “天生雾、雾生露、露生耳”，银耳是一种名贵食材，富含人体所需的多种氨基酸和微量元素，具有极高的药用价值和食用价值．某银耳培育基地的银耳成熟了，需要采摘和烘焙．现准备承包给甲和乙两支专业采摘队，若承包给甲队，预计12天才能完成，为了减小银耳因气候变化等原因带来的损失，现决定由甲、乙两队同时采摘，则可以提前8天完成任务．（1）若单独由乙队采摘，需要几天才能完成？（2）若本次一共采摘了300吨新鲜银耳，急需在9天内进行烘焙技术处理．已知甲、乙两队每日烘焙量相当，甲队单独加工（烘焙）x 天完成100吨后另有任务，剩下的200吨由乙队加工（烘焙），乙队刚好在规定的时间内完工．若甲、乙两队从采摘到加工，每日工资分别是600元和1000元．问：银耳培育基地此次需要支付给采摘队的总工资是多少？25．（12分）已知222111x x x A x x -+-=-+，其中A 是一个含x 的代数式．（1）求A 化简后的结果；（2）当x 满足不等式组3010x x +>⎧⎨+≤⎩，且x 为整数时，求A 的值． 26．分解因式：22363ax axy ay -+参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABD ，根据角平分线的定义求出∠ABF ，根据三角形的外角性质求出即可．【详解】解：∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADB ＝90°，∵∠BAD ＝42°，∴∠ABD ＝180°﹣∠ADB ﹣∠BAD ＝48°，∵BE 是△ABC 的角平分线，∴∠ABF ＝12∠ABD ＝24°， ∴∠BFD ＝∠BAD +∠ABF ＝42°+24°＝66°，故选：D ．【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟记概念与定理并准确识图．2、D【分析】连接AE ，由三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分，用m 表示出△AEG 的面积，再由等高三角形面积比等于底边之比求解即可.【详解】解:如图，连接AE ，设1CEG S =，则FCD S m =，∵F 为AD 的中点，2ACD ACB SS m ∴==， 1AEG Sm ∴=- ∴1AEGCEG S AG m CG S ==-故选：D.【点睛】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，掌握三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分是解题的关键.3、A【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组即可求出x的取值范围．【详解】∵一个三角形的三边长分别为x，2x和1，∴9292x xx x<+⎧⎨>-⎩，∴3＜x＜1．故选：A．【点睛】考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4、B【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．【详解】三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选B．【点睛】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．5、B【分析】利用二次根式加减运算法则分别判断得出即可．【详解】解：①原式=2+，错误；②原式，错误；③原式，正确；④原式，正确．故答案为：B.【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，正确合并二次根式是解题关键．6、B【分析】求出∠B=30°，结合EF=2，得到BF，连接AF，根据垂直平分线的性质得到FA=FB=4，再证明∠DAF=∠D，得到DF=AF=4即可．【详解】解：∵DE⊥AB，则在△AED 中，∵∠D=30°，∴∠DAE=60°，在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠B=30°，在Rt △BEF 中，∵∠B=30°，EF=2，∴BF=4，连接AF ，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴FA=FB=4，∠FAB=∠B=30°，∵∠BAC=60°，∴∠DAF=30°，∵∠D=30°，∴∠DAF=∠D ，∴DF=AF=4，故选B ．【点睛】本题考查了垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相应定理，构造线段AF ．7、A【分析】连接AP 、BP ，如图，根据线段垂直平分线的性质可得AP=BP ，根据角平分线的性质可得PE =PD ，进一步即可根据HL 证明Rt △AEP ≌Rt △BDP ，从而可得AE=BD ，而易得CD=CE ，进一步即可求得CE 的长．【详解】解：连接AP 、BP ，如图，∵PQ 是AB 的垂直平分线，∴AP=BP ， ∵CP 平分∠BCE ，PD BC ⊥，PE AC ⊥，∴PE =PD ，∴Rt △AEP ≌Rt △BDP （HL ），∴AE=BD ，∵CD 22PC PD -CE 22PC PE -，PE =PD ，∴CD=CE ，设CE=CD=x ，∵6BC =，4AC =，∴46x x +=-，解得：x =1，即CE =1．故选：A ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、直角三角形全等的判定和勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．8、B【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A 、222345+=，∴能构成直角三角形；B 、222(3)(4)(5)+≠，∴不能构成直角三角形；C 、22281528917+==，∴能构成直角三角形；D 、22251213169=+=，∴能构成直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．9、C【解析】试题分析：∵DC ∥AB ，∴∠DCA=∠CAB=65°. ∵△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置，∴∠BAE=∠CAD ，AC=AD.∴∠ADC=∠DCA="65°." ∴∠CAD=180°﹣∠ADC ﹣∠DCA="50°." ∴∠BAE=50°．故选C ．考点：1.面动旋转问题； 2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质． 10、C【分析】根据坐标与图形变化，把三角形三个顶点的横坐标都加3，纵坐标不变，就是把三角形向右平移3个单位，大小不变，形状不变．【详解】解：∵将三角形三个顶点的横坐标都加3，纵坐标不变，∴所得三角形与原三角形的关系是：将原图向右平移三个单位．故选：C ．【点睛】本题考查了坐标位置的确定及坐标与图形的性质，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）11、D【分析】根据最简二次根式的定义：①被开方数不含有分母，②被开方数不含有能开得尽方的因数或因式，逐个判断即可．【详解】A、233a a=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、7553=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、1222=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、ab，是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．12、C【解析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF 的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．【详解】∵正方形PQED的面积等于1，∴PQ2=1．∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2=289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣1=2，则正方形QMNR的面积为2．故选C．【点睛】本题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是解答本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】根据折叠的性质可得∠EDA=90°，ED=EC=6cm ，再根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半可得AE ，从而可得AC ．【详解】解：根据折叠的性质DE=EC=6cm ，∠EDB=∠C=90°，∴∠EDA=90°，∵∠A=30°，∴AE=2DE=12cm ，∴AC=AE+EC=1cm ，故答案为：1．【点睛】本题考查折叠的性质，含30°角的直角三角形．理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．14、1【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可得出DE 的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵()02D -，， ∴OD=2，∵AD 是∠AOB 的角平分线，OD ⊥OA ，DE ⊥AB ，∴DE=OD=2，∴ABD S 111021022AB DE ==⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，坐标与图形关系，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．15、106°【分析】利用了三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解．【详解】如图，连接AO，延长AO交BC于点D．根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，可得：∠BOD=∠1+∠BAO，∠DOC=∠2+∠OAC，∵∠BAO+∠CAO=∠BAC=56°，∠BOD+∠COD=∠BOC，∴∠BOC=∠1+∠2+∠BAC=22°+28°+56°=106°．故答案为：106°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，关键是利用了三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和求解．16、3 4【分析】如详解图，作AH⊥OB于H．首先证明∠OAB＝120°，再证明△CAD是顶角为120°的等腰三角形，最后根据垂线段最短解决问题即可．【详解】解：如图，作AH⊥OB于H．∵A31），∴OH3，AH＝1，∴tan∠OAH＝OHAH3，∴∠OAH＝60°，∵B （0），∴OH ＝HB∵AH ⊥OB ，∴AO ＝AB ，∴∠OAH ＝∠BAH ＝60°，由翻折的性质可知：AP ＝AC ＝AD ，∠PAO ＝∠CAO ，∠BAP ＝∠BAD ，∴∠OAC +∠BAD ＝∠OAB ＝120°，∴∠CAD ＝360°﹣2×120°＝120°，∴△CAD 是顶角为120°的等腰三角形，根据垂线段最短可知，当AP 与AH 重合时，AC ＝AD ＝PA ＝1，此时△ACD 的面积最小，最小值＝12×1×1•sin60°【点睛】本题综合了平面直角坐标系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握综合运用各个知识点是解答的关键.17、1.5【解析】在Rt △ABC 中，5AC =，∵将△ABC 折叠得△AB′E ，∴AB′＝AB ，B′E ＝BE ，∴B′C ＝5－3＝1．设B′E ＝BE ＝x ，则CE ＝4－x ．在Rt △B′CE 中，CE 1＝B′E 1＋B′C 1，∴（4－x ）1＝x 1＋11．解之得32x =． 18、乙【分析】根据方差的意义：方差越小则波动越小，稳定性也越好，即可得出结论．【详解】解：∵2 3.5S =甲＞2 3.1,S =乙 ∴它们的数学测试成绩较稳定的是乙故答案为：乙．【点睛】此题考查的是方差的意义，掌握方差越小则波动越小，稳定性也越好是解决此题的关键．三、解答题（共78分）19、探究：△AEF是等边三角形，理由见解析；发现：DO=14AD【分析】（1）根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质得到AE=AF，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；（2）根据等边三角形的性质、30°角所对直角边等于斜边的一半计算即可．【详解】探究：△AEF是等边三角形．理由如下：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°．在Rt△AED和Rt△AFD中，∵DE DF AD AD=⎧⎨=⎩，∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴AE=AF．∵∠BAC=60°，∴△AEF是等边三角形．发现：DO=14AD．理由如下：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∴∠EAD=30°，∴DE=12 AD．∵△AEF是等边三角形，AD为△ABC的角平分线，∴∠AEF=60°，AD⊥EF．∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEO=30°，∴OD=12 DE，∴DO=14 AD．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，掌握30°角所对直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．20、（1）10，8；（2）1；（3）1【分析】（1）根据函数图象可直接得出答案；（2）设容器A 的高度为h A cm ，注水速度为vcm 3/s ，根据题意和函数图象可列出一个含有h A 及v 的二元一次方程组，求出v 后即可求出C 的容积，进一步即可求出注满C 的时间，从而可得答案；（3）根据B 、C 的容积可求出B 、C 的高度，进一步即可求出容器的高度．【详解】解：（1）根据函数图象可知，注满A 所用时间为10s ，再注满B 又用了18－10=8（s ）；故答案为：10，8；（2）设容器A 的高度为h A cm ，注水速度为vcm 3/s ，根据题意和函数图象得：102581210A A v h v h ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：410A h v =⎧⎨=⎩；设C 的容积为ycm 3，则有4y ＝10v +8v +y ，将v ＝10代入计算得y ＝60，∴注满C 的时间是：60÷v ＝60÷10＝6（s ），故注满这个容器的时间为：10+8+6＝1（s ）．故答案为：1；（3）∵B 的注水时间为8s ，底面积为10cm 2，v ＝10cm 3/s ，∴B 的高度＝8×10÷10＝8（cm ），∵C 的容积为60cm 3，∴容器C 的高度为：60÷5＝12（cm ），故这个容器的高度是：4+8+12＝1（cm ）；故答案为：1．【点睛】本题考查了函数图象和二元一次方程组的应用，读懂图象提供的信息、弄清题目中各量的关系是解题的关键．21、（1）见解析；（2）()1,2，()1,1-，()4，-1【分析】（1）作出ABC ∆关于y 轴对称的对称点，顺次连接起来，即可；（2）根据坐标系中的111A B C ∆的位置，即可得到答案．【详解】（1）如图所示：（2）根据坐标系中的111A B C ∆，可得：1A ()1,2，1B ()1,1-，1C ()4，-1，故答案是：()1,2，()1,1-，()4，-1．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的轴对称变换以及点的坐标，画出原三角形各个顶点关于y 轴的对称点，是解题的关键．22、（1）（2）该学校学生最喜欢借阅漫画类图书．（3）漫画类 240（本），科普类： 210（本），文学类： 60（本），其它类： 90（本）．【解析】解：（1）如图所示一周内该校学生从图书馆借出各类图书数量情况统计图（2）该学校学生最喜欢借阅漫画类图书．（3）漫画类：600×40%=240（本），科普类：600×35%=210（本），文学类：600×10%=60（本），其它类：600×15%=90（本）．23、【解析】试题分析：试题解析：去分母，得，去括号，得，移项，合并同类项，得，化x 的系数为1，得，经检验，是原方程的根， ∴原方程的解为．考点：解分式方程．24、（1）乙队单独需要6天才能完成；（2）银耳培育基地此次需要支付给采摘队的总工资14200元【分析】（1）设乙队单独需要y 天才能完成，根据题意列出分式方程即可求解；（2）根据甲队单独加工（烘焙）x 天完成100吨后另有任务，剩下的200吨由乙队加工（烘焙），乙队刚好在规定的时间内完工可列出分式方程求出x ，即可得到总工资．【详解】解：（1）设乙队单独需要y 天才能完成，根据题意可有：()11128112y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭解得6y =经检验，6y =是原方程的解∴单独由乙队采摘，需要6天才能完成；（2）根据题意有：1002009x x=- 解得3x =经检验，3x =是原方程的解∴甲加工了 3天，乙加工了6天∴总费用为：()()6004310004614200⨯++⨯+=元答：乙队单独需要6天才能完成任务；银耳培育基地此次需要支付给采摘队的总工资14200元．【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程求解．25、（1）11x -+；（2）1 【分析】（1）原式变形后，通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）求出不等式组的解集，确定出整数x 的值，代入计算即可求出A 的值．【详解】解：（1）根据题意得：22221(1)11111(1)(1)11111x x x x x x x x x A x x x x x x x x x -+----=-=-=-==--++-+++++；（2）不等式组3010x x +>⎧⎨+≤⎩，得：31x -<-≤，∵x 为整数，2x ∴=-或1x =-，由11A x =-+，得到1x ≠-，则当2x =-时，111A x =-=+．【点睛】此题考查了分式的加减法，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26、()23-a x y【分析】先提取公因式，然后在利用公式法分解因式即可.【详解】原式()2232a x xy y =-+()23a x y =-【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．。

陕西省西安工业大学附属中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

14．剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点 E 的坐标为 (2m, n) ，其关于 y 轴对称的点 F 的坐标为 (3 n, m 1) ，则 m n 的值为．
15．已知 y x 8 16 2x 9 ，则 x y 的值为． 16．如图，在 VABC 中， ABC 80, AB BC 5 ，在 BC 上方作射线 BD ，且 CBD 10 ，若 P 为 BD 上的一个动点，则 PA PC 的最大值为．
A．若 a b ，那么 a b
B．若 a b ，那么 a2 b2 C．对顶角相
等
D．两直线平行，内错角相等
5．若关于
x，y
的二元一次方程组
x 2 2x
y y
4k 3k
的解，也是二元一次方程
3x
4
y
5
的解，
则 k 的值为（）
A．-2
B．2
C． 1
2
D． 1 2
6．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比
试卷第 5 页，共 5 页
三、解答题 17．（1）计算： 18 72 2 8 ；
试卷第 3 页，共 5 页
（2）解方程组
x
2
y 1 3
1．
3x 2 y 10
18．如图，已知线段 m、n(m n) ，求作等腰三角形 ABC ，使底边 AB 的长为 m ，底上
高的长为 n （不写作法，保留作图痕迹）．
19．为了解某校八年级男生在体能测试引体向上项目的情况，随机抽取了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：

陕西西安市西北工业大学附属中学2020-2021学年八年级上学期期末数学试题

陕西西安市西北工业大学附属中学2020-2021学年八年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．4的平方根是（）．AB ．C ．2±D2．到三角形三边的距离相等的点是（） A ．三角形三内角平分线的交点； B ．三角形三边中线的交点； C ．三角形三边高的交点；D ．三角形三边中垂线的交点。

3．甲、乙两人参加射击比赛，每人射击五次，命中的环数如下表：根据以上数据，判断甲、乙两人命中环数的稳定性（）． A ．甲的稳定性大 B ．乙的稳定性大 C ．甲、乙稳定性一样大D ．无法比较 4．如图， AB CD ， EC 交AB 于点F ， 60A ∠=︒， 100C ∠=︒，则E ∠的大小为（）．A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒ 5．已知12x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程组321x y mnx y +=⎧⎨-=⎩的解，则m ﹣n 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．平面直角坐标系中，点(2,2)A -，(3,5)B ，过点A 作AC x ∥轴．若点P 是直线AC上的动点，则线段BC 的最小值为（）． A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，在ABC △中，10AB =，8AC =，6BC =，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长为（）．A ．4B ．4.8C ．5D ．68．一次函数y=ax+b 的图象如图所示，则代数式∣a-b ∣+∣a+b ∣化简后的结果为( ).A ．-2aB ．2aC ．-2bD ．2b9．如图，将ABC △沿DE 、DF 翻折，顶点B 、C 均落在点G 处，且BD 与CD 重合于线段DG ，若36A ∠=︒，AEG AFG ∠+∠的度数为（）．A ．100︒B ．102︒C ．108︒D ．117︒10．小明和小亮在同一条笔直的道路上进行500米匀速跑步训练，他们从同一地点出发，先到达终点的人原地休息，已知小明先出发2秒，在跑步的过程中，小明和小亮的距离y （米）与小亮出发的时间t （秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（）．A ．8a =B ．92b =C ．123c =D ．当20t =时，10y =二、填空题11．下列四个数：4，117-，其中为无理数的是__________． 12．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 13．直线1:1l y x =+与直线2:l y mx n =+的交点P 的横坐标为1，则关于x 、y 的方程组1y x y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为__________．14．已知点(,5)M a ，现将点M 先向左平移3个单位，之后又向下平移4个单位，得到点(2,)N b ，则a b +=__________．15．如图，点E 、点F 分别是等边ABC △的边AB 、AC 上的点，且BE AF =，CE 、BF 相交于点P ，则BPC ∠的大小为__________．16．如图，长方形OABC 的顶点B 的坐标为(8,7)，动点P 从原点O 出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA AB -运动，到点B 时停止，同时，动点Q 从点C 出发，以每秒1个单位的速度在线段CO 上运动，当一个点停止时，另一个点也随之停止．在运动过程中，当线段PQ 恰好经过点(3,2)M 时，运动时间t 的值是__________．三、解答题17．（1）101(3.14π)23-⎛⎫--- ⎪⎝⎭．（2）3()4()6126x y x y x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪⎩．18．尺规作图：如图，已知ABC △，求作BC 边上的高AH ．（要求：保留作图痕迹，不写做法）．19．今年入冬以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，某校学生会为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，随机抽取了该校的若干名学生进行调查，将调查结果分为四个等级：（A ）非常了解，（B ）比较了解，（C ）很少了解，（D ）不了解，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．对雾霾天气了解程度的条形统计图对雾霾天气了解程度的扇形统计图根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）求被调查的学生人数；并将条形统计图补充完整．（2）本次调查结果的“众数”是__________．（3）若该校有2000名学生，请你估计该校对雾霾天气知识“不了解”的学生人数，并请你用一句话告诉这些学生有关雾霾的知识．20．如图，在四边形ABCD 中，CB CD =，对角线AC 平分BAD ∠．（1）求证：180B D ∠+∠=︒．（2）若3AB =，5AD =，45D ∠=︒，求AC 的长．21．我们知道一次函数y mx n =+与(0)y mx n m =-+≠的图象关于y 轴对称，所以我们定义：函数y mx n =+与(0)y mx n m =-+≠互为“镜子”函数．（1）请直接写出函数25y x =-+的“镜子”函数__________．（2）如果一对“镜子”函数y mx n =+与(0)y mx n m =-+≠的图象交于点A ，且与x 轴交于B 、C 两点，如图所示，若90BAC ∠=︒，且ABC △的面积是8，求这对“镜子”函数的解析式．（3）若点D 是y 轴上的一个动点，当ABD △为等腰三角形时，直接写出点D 的坐标．22．（结论再现）（1）如图①，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12AC AB =，则B ∠=__________︒，BCAC =__________．（问题解决）（2）如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A '处，折痕交AB 于点G ，求EA G ∠'的度数和BG 的长．（问题探究）（3）如图③，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上一点，且满足BD ，求BAD ∠的大小和此时BDAD的值．参考答案1．C 【解析】∵2(2)4±=，∴4的平方根是2±．故选C. 2．A 【分析】根据角平分线的的性质即可求解．【详解】到三角形三边的距离相等的点就是三角形三内角平分线的交点，故选A ．【点睛】此题主要考查角平分线的的性质，解题的关键是熟知角平分线的点到角两边距离相等． 3．A 【解析】1(98765)75x =⨯++++=甲，1(109754)75x =⨯++++=乙，22221(97)(87)(75) 1.435S ⎡⎤=⨯-+-+++≈⎣⎦甲，22221(107)(97)(74) 3.715S ⎡⎤=⨯-+-++≈⎣⎦乙， ∵甲、乙的平均成绩一样，而2S <甲2S 乙，∴甲的成绩更稳定，故选A ．4．B【解析】如图所示， AB CD ，则180BOC C ∠+∠=︒而100C ∠=︒，∴80BOC ∠=︒，∴80EOA ∠=︒，那么在AOE 中， 180E A EOA ∠=︒-∠-∠ 1806080=︒-︒-︒ 40=︒．故选B ．5．D 【分析】根据已知将12x y =-⎧⎨=⎩代入二元一次方程组321x y mnx y +=⎧⎨-=⎩得到m ，n 的值，即可求得m-n 的值．【详解】∵12x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程组321x y mnx y +=⎧⎨-=⎩∴3421m n -+=⎧⎨--=⎩∴m=1，n=-3 m-n=4 故选：D 【点睛】本题考查了二元一次方程组解的定义，已知二元一次方程组的解，可求得方程组中的参数． 6．B 【解析】依题意可得∵AC x ∥，∴2y =，由垂线段最短知当BC AC ⊥于点C 时，点B 到AC 的距离最短，即BC 的最小值523=-=．故选B. 7．C 【解析】∵10AB =，8AC =，6BC =，∴222BC AC AB +=，∴ABC △是直角三角形， ∵DE 是AC 的垂直平分线，∴4AE EC ==，DE BC ∥，且线段DE 是ABC △的中位线，∴3DE =，∴5AD DC ===．故选C.8．D 【解析】由图象可得y =ax +b 中，a <0，b >0，∴a −b <0，又∵图中表示x =1处的函数值大于0，即a +b >0，∴|a −b |+|a +b |=b −a +a +b =2b ，故选D ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与绝对值的化简，能熟练掌握一次函数的图象与系数的关系并能通过图形进行识别是解题的关键. 9．C 【解析】在ABC △中，36A ∠=︒，则18036144B C EGD FGD ∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒，又∵BD 与CD 重合于DG ，∴180GDE BDE CDF GDF ∠+∠+∠+∠=︒，且BDE GDE ∠=∠，CDF GDF ∠=∠，∴22180BDE CDF ∠+∠=︒， ∴90BDE CDF ∠+∠=︒则90EDF ∠=︒，∵360EGF EDF GED GFD ∠+∠+∠+∠=︒，∴14490360GED GFD ︒+︒+∠+∠=︒， ∴126GED GFD ∠+∠=︒，由折叠性质，2126252BEG CFG ∠+∠=⨯︒=︒，∴360252108AEG AFG ∠+∠=︒-︒=︒；故选C ． 10．D 【解析】根据题意，0t =时，小明出发2秒行驶的路程为8米，所以，小明的速度824=÷=米/秒，∵先到终点的人原地休息，∴100秒时，小亮先到达终点， ∴小亮的速度5001005=÷=米/秒，∴a=8÷(5-4)=8(秒)，51004(1002)92b =⨯-⨯+=（米），100924123c =+÷=（秒）， ∴小明出发123秒时到达了终点，故A 、B 、C 均正确，小亮出发20秒，小亮走了205100⨯=米，小明走了22488⨯=米，1008812-=米，∴小亮在小明前方12米，故D 错误．故选D.【点睛】本题主要考查一次函数的应用，能正确地识图，明确图中的拐点的含义是解题的关键.11【解析】4，117-为有理数， 2=-为有理数，∴ 12．假【解析】试题分析：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题. 考点：逆命题 13．12x y =⎧⎨=⎩【解析】当x=1时，y=x+1=2，由题意则可得1:1l y x =+与直线2:l y mx n =+的交点坐标为(1,2)P ，∴方程组1y x y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩，故答案为：12x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，二元一次方程组的解就是组成这个二元一次方程组的两个一次函数的图象交点的坐标，这是解题的关键. 14．6 【解析】∵(,5)M a 向左平移3个单位得到，再向下平移4个单位得到()2,N b ，∴3254a b -=⎧⎨-=⎩，解得51a b =⎧⎨=⎩∴516a b +=+=． 15．120° 【解析】∵ABC △是等边三角形，∴AB BC =，60A EBC ∠=∠=︒，∵BE AF =，60A EBC ∠=∠=︒，AB BC =，∴BCE ≌ABF ，∴PCB ABF ∠=∠，∴60PCB PBC ABF PBC ∠+∠=∠+∠=︒，∵180PCB PBC BPC ∠+∠+∠=︒，∴180()18060120BPC PCB PBC ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．16．2或5【解析】设直线PQ 的方程为(0)y kx b k =+≠．∵矩形OABC 的顶点B 的坐标为(8,7)B ，∴7OA =，8OC =．①当点P 在线段OA 上，即0 3.5t ≤<时，如图，(0,2)P t 、(8,0)Q t -．∵直线PQ 经过点(3,2)M ，∴2(8)032b t t k b k b =⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩．解得2t =．②当点P 在线段AB 上，即3.57.5t ≤<时，如图，(27,7)P t -'、(8,0)Q t -．∵直线PQ 经过点(3,2)M ，∴32(27)7(8)0k b t k b t k b +=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩，方程组无解．③当直线PQ x ⊥轴时，即3x =时，该直线PQ 也经过点(3,2)M ，此时5t =，综上所述，t 的值是2或5．【点睛】本题考查了一次函数综合题．解题的关键是分类讨论，这样可以防止错解或漏解.17．（1）4 ；（2）4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【解析】试题分析：（1）先进行0次幂、负指数幂的计算，二次根式、绝对值的化简，然后再按顺序进行运算即可；（2）先对方程组进行整理，然后利用代入法或加减消元法即可得解.试题解析：（1）原式(132=+-22=-++4=．（2）()()341126x y x y x y x y ⎧+--=⎪⎨+-+=⎪⎩①②，由①得：71y x -=③由②得：23x y +=④，由④得：32y x =-⑤，把⑤代入③得：21151x -=，43x =，把43x =代入⑤得：13y =， ∴方程组的解为：4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 18．画图见解析.【解析】试题分析：过直线BC 外的一点A 作这条直线的垂线即可得．试题解析：如图所示：AH 即为BC 边上的高.19．（1）D ：140人；补图见解析；（2）（C ）很少了解；（3）700人.【解析】试题分析：（1）用C的人数除以所占的百分比，计算即可求出被调查学生总人数，用总人数减去A 、B 、C 的人数即可得D 的人数，从而可补全图形；（2）观察条形图即可得；（3）用2000乘以D 所占的百分比即可得.试题解析：（1）18045%400÷=（人），()4002060180140-++=（人），条形统计图如图所示：（2）众数为：（C ）很少了解；（3）14040035%÷=，200035%700⨯=（人），答：不了解的约有700人．雾霾是对大气中各种颗粒物含量超标的统一表述．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．（1）证明见解析；（2）AC ．【解析】试题分析：（1）过C 点作CE AB ⊥，CF AD ⊥，由角平分线的性质可得CE CF =，从而可得CFD ≌()CEB HL ，得到D EBC ∠=∠，再由180EBC B ∠+∠=︒，从而得到180D B ∠+∠=︒．（2）45D ∠=︒且BEC 和FDC 为直角三角形，设FD CF CE BE x ====，则有3AE x =+，5AF x =-，由（1）中的全等则可得AE AF =，从而得到1x =，再利用勾股定理即可得AC 的长.试题解析：（1）如图，过C 点作CE AB ⊥，CF AD ⊥，∵AC 是BAD ∠的角平分线，∴CE CF =，又∵BC CD =，∴CFD ≌()CEB HL ，∴D EBC ∠=∠，又∵180EBC B ∠+∠=︒，∴180D B ∠+∠=︒．（2）∵45D ∠=︒且BEC 和FDC 为直角三角形，∴设FD CF CE BE x ====，则3AE x =+，5AF x =-，而又∵CFD ≌CEB ，AEC ≌AFC ，∴AE AF =，即35x x +=-，解得1x =，∴AC ==则AC ．21．（1）25y x =+；（2）y x =+y x =-+ ；（3）14)D 、2(0,D -、34)D 、4(0,0)D .【解析】试题分析：（1）直接利用“镜子”函数的定义得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出AO=BO=CO ，进而得出各点坐标，即可得出函数解析式；（3）分三种情况：A 为顶点，B 为顶点，D 为顶点，进行讨论即可得.试题解析：（1）根据题意，“镜子函数”为关于y 轴对称的两个函数，∴原函数的“镜子函数”为25y x =+．（2）根据题意，y mx n =+和y mx n =-+为一对“镜子函数”． ∴AB AC =，即ABC 为等腰直角三角形，即45ABC ACB ∠=∠=︒， ∴1m =，又∵182ABC S BC AO =⨯⨯=且2BC AO =，∴解得AO =那么y x =+y x =-+（3）根据等腰三角形的性质，分情况，∵4AB =，AO BO ==∴以A 为顶点，则AB AD =，得()14D ，()30,4D +，以B 为顶点，则BA BD =，得(20,D -，以D 为顶点，则DA DB =，得()40,0D ．【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质与判定，得出各点坐标是解题关键．22．（1）30，（2）60EA G ∠='︒，BG 2=；（3）BAD ∠的度数为60︒或120︒，BD AD = 【解析】试题分析：（1）通过求∠B 的正弦和正切即可得；（2）根据正方形的性质，即可得∠C=∠A=90°，AD=BC=CD=AB ，又由E 、F 分别为AB 、CD 的中点，即可得在Rt△A′DF 中，由sin∠FA′D='DF A D =12，即可求得∠DA′F 的度数，再由平角即可得EA G ∠'的度数，再利用勾股定理通过计算即可得BG 的长；（3）分①点D 在BC 边上，②点D 在BC 延长线上，两种情况通过讨论即可得.试题解析：（1）30B ∠=︒；BC AC= （2）∵AGD 折叠后得到A GD '，∴2AD A D ='=，且112FD AE AB ===， ∴在A DF '中，12FD AD =，sin∠FA′D='DF A D =12，∴30FA D ∠='︒， ∴180903060EA G ∠=︒-︒-︒='︒，在Rt A FD '中，A F =='2A E '=，又∵在Rt EA G '中，60EA G ∠='︒，那么30EGA ∠='︒，∴12A E A G =''，∴(224A G ==-'则(143EG =--=，那么BG BE EG =+13=+2=．（3）如图，①当D 在BC 边上时，将线段1AD 绕点A 顺时针方向旋转90︒得到线段AE ，连接BE ，与（1）同理可证ABE ≌1ACD ，∴1BE CD =，BE BC ⊥，∵BD =，∴1BD，∴11tan 3BE BD E BD ∠==，∴130BD E ∠=︒， ∵1190EAD EBD ∠=∠=︒,∴四边形A ．1D 、B ．E 四点共圆，∴130EAB BD E ∠=∠=︒， ∴1903060BAD ∠=︒-︒=︒．②当D 在BC 延长线上时，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到线段AF ，连接CF ．同理可证：230CFD ∠=︒，∵2290FAD FCD ∠=∠=︒,∴四边形A ．F ．2D 、C 四点共圆，∴2230CAD CFD ∠=∠=︒，∴29030120BAD ∠=︒+︒=︒，综上，BAD ∠的度数为60︒或120︒．比值计算如下：过点D 作DE AB ⊥，如图，则在ADE 中，60EAD ∠=︒，30EDA ∠=︒，∴12AE AD =，cos30ED AD ︒=，在Rt BDE 中，45B EDB ∠=∠=︒，设BD =，CD x =，∴2BE ED x ===，∴cos30ED AD x ===︒，∴BD AD ==【点睛】本题考查了三角形与四边形的综合性问题，包括含有30度角的直角三角形、正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质以及三角函数的性质、分类讨论等，解题的关键是数形结合思想的应用．。

2021-2022学年陕西省西安市西北大学附中八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2021-2022学年陕西省西安市西北大学附中八年级（上）期末数学试卷一、单选题（共30分）1．（3分）下列命题中，真命题是（）A．若一个三角形的三边长分别是a、b、c，则有a2+b2＝c2B．（6，0）是第一象限内的点C．所有的无限小数都是无理数D．正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线2．（3分）若点（m，n）在第二象限，则函数y＝﹣nx+m﹣n的图象可能是（）A．B．C．D．3．（3分）若点M（x，y）满足（x+y）2＝x2+y2+2，则点M所在象限是（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．不能确定4．（3分）已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．a＝3，b＝4，c＝5C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a2﹣b2＝c25．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线DE交AC与D，交AB 于E，下列论述错误的是（）A．BD平分∠ABC B．D是AC的中点C．AD＝BD＝BC D．△BDC的周长等于AB+BC6．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（）A．90°B．120°C．180°D．360°7．（3分）已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（）A．k＝B．k＝C．k＝D．k＝8．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝AD，连接DE，若，则△ABC的面积（）A．B．C．D．9．（3分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF ＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为（）A．B．C．D．10．（3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图的方式放置点A1，A2，A3和点C1，C2，C3…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B2019的坐标是（）A．（22019﹣1，22018）B．（22018﹣1，22018）C．（22018，22019﹣1）D．（22019﹣1，2018）二、填空题（共18分）11．（3分）已知直角三角形的两边长分别为3和2，则这个三角形的最长边为．12．（3分）某品牌电脑的成本为2000元，售价为2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于5%，如果将这种品牌的电脑打x折销售，请依据题意列出关于x的不等式：．13．（3分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝10cm，AC＝8cm，则S△ABD：S△ACD＝．14．（3分）如图，直线y＝﹣x+m与y＝x+4交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式﹣x+m ＞x+4＞0的解集为．15．（3分）已知不等式3x﹣m≤0有5个正整数解，则m的取值范围是．16．（3分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②DH＝PD；③S△APH＝S△ADE；④DH平分∠CDE；其中正确的结论是．（填正确结论的序号）三、解答题（共72分）17．（12分）（1）计算：；（2）解方程组：；（3）解不等式组：．18．（6分）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．（1）求m的取值范围；（2）化简：|3﹣m|+|2m+4|．19．（5分）如图，A，B，C为某公园的三个景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离．请用直尺和圆规在所给的图中作出点P．（不写作法和证明，只保留作图痕迹）20．（7分）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为．（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．21．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点．且BE＝AF．（1）求证：ED＝DF．（2）ED＝2，求EF．22．（6分）某工厂准备用如图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成如图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．（1）若现有A型板材150张，B型板材300张，为节约成本，需将板材全部用完，且不能切割板材，则可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？（2）若该工厂准备用不超过24000元的资金去购买A，B两种型号的板材，制作竖式、横式无盖箱子共100个．已知A型板材每张20元，B型板材每张60元，问最多可以制作竖式无盖箱子多少个？23．（8分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠MBC的度数是度；（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．24．（10分）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”．某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？25．（12分）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝7cm，BC＝3cm，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．2021-2022学年陕西省西安市西北大学附中八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（共30分）1．【分析】利用直角三角形的性质、坐标系内点的特点、无理数的定义及正比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、若一个直角三角形的三边长分别是a、b、c，则有a2+b2＝c2，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、（6，0）是x轴上的点，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、所有的无限不循环小数都是无理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，正确，是真命题，符合题意．故选：D．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的性质、坐标系内点的特点、无理数的定义及正比例函数的性质，难度不大．2．【分析】根据点（m，n）在第二象限，可以得到m、n的正负情况，从而可以得到函数y ＝﹣nx+m﹣n的图象经过哪几个象限．【解答】解：∵点（m，n）在第二象限，∴m＜0，n＞0，∴﹣n＜0，m﹣n＜0，∴函数y＝﹣nx+m﹣n的图象二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是判断出m、n的正负情况，利用一次函数的性质解答．3．【分析】根据完全平方公式可得xy＝1，从而可得x，y异号，然后根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2，∴x2+2xy+y2＝x2+y2+2，∴xy＝1，∴x，y同号，∴点M（x，y）在第一象限或第三象限，故选：A．【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．4．【分析】根据三角形内角和定理可得A、C是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出B、D是否是直角三角形．【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC 为直角三角形；B、∵32+42＝52，∴△ABC为直角三角形；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形；D、∵a2﹣b2＝c2，∴b2+c2＝a2，故△ABC为直角三角形．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．5．【分析】由AB＝AC，∠A＝36°可求出两底角的大小，由根据线段垂直平分线的性质得∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD等很多结论，利用这些结论对各选项进行逐一证明即可．【解答】解：A、∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线DE交AC与D，交AB于E，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°AD＝BD，即∠A＝∠ABD＝36°∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°，故A正确；B、条件不足，不能证明，故不对；C、∵∠DBC＝36°，∠C＝72°∴∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∠C＝∠BDC∵AD＝BD∴AD＝BD＝BC故C正确；D、∵AD＝BD∴△BDC的周长等于AB+BC故D正确；故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角与外角的关系，及等腰三角形的性质；尽量多的得出结论，对各选项逐一验证是正确解答本题的关键．6．【分析】根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得答案．【解答】解：如图，连接BC，∵∠D+∠E+∠EFD＝180°，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∠DFE＝∠BFC，∴∠D+∠E＝∠FBC+∠FCB，∴∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E＝∠A+∠ABE+∠ACD+∠FBC+∠FCB＝∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，故选：C．【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和是180°是正确解答的前提．7．【分析】将y＝2x﹣2k代入方程组，可分别求出x、k的值．【解答】解：∵2x﹣y＝2k，∴y＝2x﹣2k，∵方程组的解满足2x﹣y＝2k，∴方程组可化为，由①得x＝，将x＝代入②得，k＝，故选：A．【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．8．【分析】过点C作CF⊥DE于点F，根据△ABC为等边三角形，BD为中线可知BD⊥AC，AD＝CD，∠ACB＝60°，故可得出∠DCE＝120°，根据CE＝AD可知CD＝CE，故∠CDE＝30°，CF是DE的垂直平分线，故可得出CD的长，进而得出AC的长，由勾股定理求出BD的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：如图，过点C作CF⊥DE于点F，∵△ABC为等边三角形，BD为中线，∴BD⊥AC，AD＝CD，∠ACB＝60°，∴∠DCE＝120°．∵CE＝AD，∴CD＝CE，∴∠CDE＝30°，∴CF是DE的垂直平分线，∴DF＝DE＝，∴CF＝，∴CD＝2CF＝1，∴AC＝2，BD＝CD＝，∴S△ABC＝×AC•BD＝×2×＝．故选：B．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．9．【分析】先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．【解答】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝，∴S△ADE＝5，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝5，∠BFD＝90°，∴•（AF+DF）•BF＝5，∴•（4+DF）•2＝5，∴DF＝1，∴DB＝＝＝，设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，∴h＝，故选：B．【点评】根据考查翻折变换的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．10．【分析】根据直线解析式先求出OA1＝1，得出B1的纵坐标是1，再求出B2的纵坐标是2，B3的纵坐标是22，得出规律，即可得出结果．【解答】解：如图，∵直线y＝x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣1，∴∠ODA1＝45°，即B1的纵坐标是1，B1的横坐标是1，∴∠A2A1B1＝45°，∴A2B1＝A1B1＝1，∴A2C1＝2＝21，即B2的纵坐标是2，B2的纵坐标是3，同理得：A3C2＝4＝22，即B3的纵坐标是22，B3的横坐标是23﹣1，……B n的纵坐标是2n﹣1，B n的横坐标是2n﹣1，∴点B2019的坐标是（22018，22019﹣1），故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出B1、B2、B3的纵坐标得出规律是解决问题的关键．二、填空题（共18分）11．【分析】分3为斜边长、3为直角边长两种情况，根据勾股定理计算即可．【解答】解：当3为斜边长时，这个三角形的最长边为3；当3为直角边长时，斜边长＝＝，这个三角形的最长边为，故答案为：3或．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．12．【分析】直接利用打折以及利润率求法得出不等关系．【解答】解：设这种品牌的电脑打x折销售，依据题意得：2800×﹣2000≥2000×5%．故答案为：2800×﹣2000≥2000×5%．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解打折与利润率的求法是解题关键．13．【分析】根据AD是∠BAC的平分线，想到角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，可得DE＝DF，然后再利用三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵S△ABD＝AB•DE＝5DE，S△ACD＝AC•DF＝4DF，∴S△ABD：S△ACD＝5：4，故答案为：5：4．【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14．【分析】先求出直线y＝x+4与x轴交点的横坐标，再根据函数的图象得出不等式的解集即可．【解答】解：y＝x+4，当y＝0时，x＝﹣4，∵直线y＝﹣x+m与y＝x+4交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式﹣x+m＞x+4＞0的解集为﹣4＜x＜﹣2，故答案为：﹣4＜x＜﹣2．【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数与一元一次不等式等知识点，能根据图象得出正确的信息是解此题的关键．15．【分析】首先求得不等式3x﹣m≤0的解集，其中不等式的解集可用m表示，根据不等式的正整数解即可得到一个关于m的不等式组，即可求得m的范围．【解答】解：解一元一次不等式3x﹣m≤0得：x≤m，不等式有5个正整数解，则最大的一个一定是5．根据题意得：5≤m＜6，解得：15≤m＜18．故答案是：15≤m＜18．【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，根据x的取值范围正确确定m的范围是解题的关键．在解不等式时要根据不等式的基本性质．16．【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．②正确．证明△ABP≌△FBP，推出P A＝PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH＝PD即可解决问题．③正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可．④错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠APB＝180°﹣（∠BAD+∠ABE）＝135°，故①正确．∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，在△ABP和△FBP中，，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，P A＝PF，∴∠P AH＝∠BAP＝∠PFD，在△APH和△FPD中，，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH＝PD，∴∠DPH＝90°，∴DH＝PD．故②正确．∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD，∵∠HPD＝90°，∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH＝S△EPD，∴S△APH＝S△ADE，故③正确，若DH平分∠CDE，则∠CDH＝∠EDH，∵DH∥BE，∴∠CDH＝∠CBE＝∠ABE，∴∠CDE＝∠ABC，∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故④错误，综上所述，正确的结论有3个，故答案为：①②③．【点评】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共72分）17．【分析】（1）先化简乘方运算、绝对值、负整数指数幂及二次根式，最后进行加减运算即可；（2）利用加减消元法解方程组即可；（3）先分别求出各个不等式的解集，然后求出公共部分即可确定不等式组的解集．【解答】解：（1）原式＝﹣1+2﹣﹣2+2＝；（2）②×2+①得：7x＝49，解得：x＝7，将x＝7代入②得y＝0，∴方程组的解为：；（3）解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x＞﹣7，不等式组的解集为：﹣7＜x≤﹣1．【点评】本题主要考查实数的混合运算，解二元一次方程组及求不等式组的解集，熟练掌握各个运算法则是解题关键．18．【分析】（1）首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围；（2）根据（1）中m的范围化简即可求解．【解答】解：（1）方程组，解得，∵x≤0，y＜0，∴，解得﹣2＜m≤3．故m的取值范围是﹣2＜m≤3；（2）∵﹣2＜m≤3，∴3﹣m≥0，2m+4＞0，∴|3﹣m|+|2m+4|＝（3﹣m）+（2m+4）＝3﹣m+2m+4＝m+7．【点评】此题考查了解二元一次方程组、解不等式组以及化简绝对值方程，有一定的综合性，把方程组、不等式组及绝对值的化简结合起来，对于学生的要求比较高，平时应该注意这方面的培养．19．【分析】连接AC，作线段AC的垂直平分线交AB于点P，点P即为所求．【解答】解：如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，两点之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．【分析】（1）根据统计图可知众数为3；（2）利用读书总量除以学生总数即得平均数；（3）估计四月份“读书量”为5本的学生人数＝1200×＝120（人）．【解答】解：（1）根据统计图可知众数为3，故答案为3；（2）平均数＝；（3）估计四月份“读书量”为5本的学生人数＝1200×＝120（人），答：估计四月份“读书量”为5本的学生人数为120人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．【分析】（1）连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC 底边上的中线，所以有∠CAD＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，而∠B＝∠C＝45°，所以∠B＝∠DAF，再加上BE＝AF，AD＝BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE＝DF；（2）根据△BED≌△AFD，可得DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，从而得出∠EDF＝90°，所以可得△DEF是等腰直角三角形，进而可以解决问题．【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC中点，∴AD＝BC＝BD＝CD，且AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE＝DF；（2）解：∵△BDE≌△ADF，∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，∴∠EDF＝90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∴EF＝DE＝2．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是画出辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．22．【分析】（1）设可制作竖式无盖箱子x个，横式无盖箱子y个，根据制作两种箱子共用A型板材150张、B型板材300张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设制作竖式无盖箱子m个，则制作横式无盖箱子（100﹣m）个，根据总价＝单价×数量，结合购买两种型号板材所用资金不超过24000元，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设可制作竖式无盖箱子x个，横式无盖箱子y个，依题意得：，解得：，答：可制作竖式无盖箱子30个，横式无盖箱子60个．（2）设制作竖式无盖箱子m个，则制作横式无盖箱子（100﹣m）个，依题意得：20×[m+2（100﹣m）]+60×[4m+3（100﹣m）]≤24000，解得：m≤50．答：最多可以制作竖式无盖箱子50个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．【分析】（1）依据△ABC是等腰三角形，即可得到∠ACB的度数以及∠A的度数，再根据MN是垂直平分线，即可得到MA＝MB，∠MBA＝∠A＝40°，进而得出∠MBC的度数；（2）①依据垂直平分线的性质，即可得到AM＝BM，进而得出△BCM的周长＝AC+BC，再根据AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，即可得到BC的长；②依据PB+PC＝P A+PC，P A+PC≥AC，即可得到当P与M重合时，P A+PC＝AC，此时PB+PC最小，进而得出△PBC的周长最小值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴MA＝MB，∴∠MBA＝∠A＝40°，∴∠MBC＝30°，故答案为：30；（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴△BCM的周长＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，∴BC＝14﹣8＝6（cm）；②当P与M重合时，△PBC的周长最小．理由：∵PB+PC＝P A+PC，P A+PC≥AC，∴当P与M重合时，P A+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．【点评】本题主要考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．24．【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．（2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝k1x（k1≠0），根据题意得50k1＝1500，解得k1＝30；∴y＝30x；当x＞50时，设y＝k2x+b（k2≠0），根据题意得，，解得，∴y＝24x+300．∴y＝；（2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克，∴40≤x≤60，当40≤x≤50时，w1＝30x+25（100﹣x）＝5x+2500．当x＝40 时．w min＝2700 元，当50＜x≤60时，w2＝24x+300+25（100﹣x）＝﹣x+2800．当x＝60时，w min＝2740 元，∵2740＞2700，∴当x＝40时，总费用最少，最少总费用为2700 元．此时乙种水果100﹣40＝60（千克）．答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少．【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．25．【分析】（1）首先根据等式的性质证明∠EAC＝∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；（2）在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD＝CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（3）在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，证明△EAC ≌△BAD，证明BD＝CE，即可求解．【解答】解：（1）BD＝CE．理由是：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE；（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．∵AE＝AB＝7，∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，∴EC＝＝＝，∴BD＝CE＝．（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°，∴AE＝AB＝7，BE＝＝7，又∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴∠BAE＝∠DAC＝90°，∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE，∵BC＝3，∴BD＝CE＝（7﹣3）cm．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三个题目之间的联系，构造（1）中的全等三角形是解决本题的关键．。