《连续介质力学》期末复习提纲-总
连续介质力学讲义
时间和空间是运动物体的客观存在形式，离开空间和时间来讨论物体的存在和运动是没 有意义的。空间表示物体的形状、大小和相互位置的关系；时间表示物体运动过程的顺序。
标架：作为描写物体运动的基准——时空系，称为标架。 位置变化是可逆的；时间变化是不可逆的。 但在讨论一些理想化的可逆模型时，有时时间也理想化成可逆的。 时空系之间可转换。
第 1 章 绪论
1．物体
在某一确定的瞬时，物体具有一定的几何形状，并有一定的质量。同时物体还可具有 电磁、热容和变形等许多重要的性质。
物体由质点组成，质点占据非常小的确定的空间，具有非常小的确定的质量。 物体可以抽象成各种模型：如质点，刚体、弹塑性体、流体、颗粒体等；按几何性质还 可分为质点、一维的弦和杆、二维的板壳、三维的块体等。若干个物体可以形成集合，组成 系统。系统外的物体构成这个系统的环境或外界。
且不全为零）。
a2
例 2 位于同一平面内的三个矢量 a1 ，a2 ，a3 是线 性相关的，即总可找到α1 ,α 2 ,α 3 （不全为零）使
α1a1 + α2a2 + α3a3 = 0 如图 2.1.2 所示， a2 = α1′a1 + α3′a3 。
集合 R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空
间的维数。设 R 的维数为 n ，则记为 Rn ，欧氏空间为 R3 。
∑ ∑ r =
ξ a = (1) (1) ii
ξ a (2) (2) ii
（2.1.3）
因为
a (1) i
与
ai(
2)
间有确定的变换关系，因此，
ξ
(1) i
与
ξ
(2) i
间亦有确定的变换关系。
④ 空间的基往往与坐标系相关连，每一种坐标系有一个与之对应的确定的基，(2.1.2)
《连续介质力学》期末复习提纲
<连续介质力学> 期末复习提纲—弹性力学部分1、自由指标与哑指标判别 （★）2、自由指标与哑指标的取值范围约定3、自由指标与哑指标规则4、Einstein 求和约定 （★）5、Kronecker-delta 符号 （★）定义：0,1,ij i ji j δ≠⎧=⎨=⎩=性质：（1）ij ji δδ= （2）i j ij e e δ⋅=（3）1122333ii δδδδ=++= （4）j ij i a a δ= （5）kj ik ij A A δ= （6）ik kj ij δδδ=6、Ricci 符号（置换符号或排列符号） （★）定义：1,,,1,2,31,,1,2,30,,ijk i j k e i j k i j k ⎧⎪=-⎨⎪⎩为的偶排列，为的奇排列，中任两个相等性质：（1）ijk jki k ij jik ikj kji e e e e e e ===-=-=- （2）1232313121e e e === （3）1323212131e e e ===- （4）i j ijk k e e e e ⨯=（5）()k ijk i j a b e a b ⨯=， a 、b 为向量 7、ijk e 与ij δ的关系 （★） ijk imn jm kn jn km e e δδδδ=-8、坐标变换 （★） 向量情形：旧坐标系： 123123,,ox x x e e e →新坐标系： 123123,,ox x x e e e ''''''→ 变换系数： i j ij e e β'⋅= 坐标变换关系：()Ti ij j i ji j ji ij x x x x ββββ'='==矩阵形式为：111121312212223233132333x x x x x x βββββββββ'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦或[][]T111213123123212223313233,,,,x x x x x x βββββββββ⎡⎤⎢⎥'''=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111121312212223233132333x x x x x x βββββββββ'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦或[][]T111213123123212223313233,,,,x x x x x x βββββββββ⎡⎤⎢⎥'''=⎢⎥⎢⎥⎣⎦张量情形A ij 与A ij 是两个二阶张量，ij β是坐标变换系数矩阵，则有 A A ij im jn mn ββ=矩阵形式为 ij ip pq qj A A ββ'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中Tqj ij ββ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦ （★） 9、张量的基本代数运算 （1）张量的相等 （2）张量的加减法 （3）张量的乘积 （4）张量的缩并 （5）张量的内积（★） （6）张量的商法则 10、几中特殊形式的张量 （1）零张量 （2）单位张量（3）转置张量 （4）逆张量 （5）正交张量（6）二阶对称张量与二阶反对称张量（★）11()()22ij ij ji ij ji A A A A A =++-对称部分反对称部分若ij T 为对称二阶张量，则0ijk ij e T = （7）球张量与偏张量 11()33ij kk ij ij kk ij A A A A δδ=+-球张量偏张量（8）各向同性张量a. 零阶各向同性张量形式：标量b. 一阶各向同性张量形式：零向量c. 二阶各向同性张量形式：ij ij A αδ=，α为任意标量d. 三阶各向同性张量形式：ijk ijk B e β=，β为任意标量e. 四阶各向同性张量形式：()ijkl ij kl ik jl il jk C λδδμδδδδ=++，λ、μ为常数（★） 11、二阶对称张量ij T 的特征值与特征向量（★） 特征值λ与特征向量n 所满足的方程组：（★）111122133211222233311322333()0()0()0()0ij ij j T n T n T n T n T n T n T n T n T n T n λλδλλ-++=⎫⎪-=⇔+-+=⎬⎪++-=⎭计算特征值λ的方程：（★）11121321222331323300ij ij T T T T T T T T T T λλδλλ--=⇔-=-计算特征向量n 的方程：（★）111122133211222233311322333112233()0()0()01()01ij ij j i i T n T n T n T n T n T n T n n n T n T n T n n n n n n n λλδλλ-++=⎫⎪-=+-+=⎫⎪⇔⎬⎬=++-=⎭⎪⎪++=⎭第Ⅰ、Ⅱ与Ⅲ不变量的直接计算公式：（★）Ⅰ112233ii T T T T ==++Ⅱ2221122223333111223131()2ii jj ij ij T T T T T T T T T T T T T =-=++--- Ⅲ112233122331132132112332122133132231det()ij T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ==++---利用三个特征向量计算三个不变量的公式：（★）Ⅰ123ii T λλλ==++ Ⅱ122331λλλλλλ=++ Ⅲ123det()ij T λλλ==12、张量分析简介（1）Hamilton 微分算子∇（★）笛卡尔坐标系中，∇的定义为123123e e e x x x ∂∂∂∇=++∂∂∂，2222222123x x x ∂∂∂∇=∇⋅∇=++∂∂∂若u 为标量函数，则梯度：123123u u uu e e e x x x ∂∂∂∇=++∂∂∂ 若u 为矢量函数，则散度：312123u u u u x x x ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂ 若u 为矢量函数，则旋度：123123123e e e u x x x u u u ∂∂∂∇⨯=∂∂∂ 设u 为标量函数，,A B 为矢量函数，C 为常矢量，则有①()uC u C ∇⋅=∇⋅ ②()uC u C ∇⨯=∇⨯③()()()A B B A A B ∇⋅⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯ ④2()u u ∇⋅∇=∇ ⑤2()A A ∇⋅∇=∇ ⑥()0u ∇⨯∇= ⑦()0A ∇⋅∇⨯=⑧2()()A A A ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇（2）Laplace 微分算子与Hamilton 微分算子的关系在笛卡尔坐标系中，Laplace 微分算子定义为：222222123x x x ∂∂∂∆=++∂∂∂Laplace 微分算子与Hamilton 微分算子的关系：2222123123222123123123e e e e e e x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=∇⋅∇=++⋅++=++=∆ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭（3）三矢量的混合积及其几何意义（★） 对于如下的三个矢量112233112233112233A A e A e A eB B e B e B eC C e C e C e =++=++=++ 其混合积为123123123()A A A A B C B B B C C C ⋅⨯=上述混合积的几何意义是：三矢量的混合积()A B C ⋅⨯表示以A 、B、C 为棱的平行六面体的体积。
《连续介质力学》期末复习提纲
《连续介质力学》期末复习提纲连续介质力学是研究物质连续性的基本规律和力学性质的分支学科。
它在物理学和工程学中具有广泛的应用，涉及领域包括固体力学、流体力学、声学和热力学等。
下面是一个关于连续介质力学的期末复习提纲，帮助你系统地回顾这门课程的重点内容。
一、基本概念和假设1.连续介质的定义和性质2.连续介质力学的基本假设和适用范围3.应力和应变的概念和分类4.应力张量的定义和性质二、应力分析1.应力分析的基本原理和方法2.平面应力和平面应变假设3.均匀平面应力和均匀平面应变条件4.应力分量和应变分量的关系三、线性弹性理论1.线性弹性体的定义和性质2.弹性模量的定义和计算3.各向同性弹性和各向异性弹性4.弹性体力学模型：胡克定律、泊松比和剪切模量四、变形分析1.变形分析的基本原理和方法2.应变张量和应变分量的表示和计算3.变形分析中的应变量：延伸应变、切变应变和体应变4.变形场的概念和地应力计算五、应力应变关系1.胡克定律和非线性弹性2.应力应变关系的线性性质和线性弹性材料的条件3.应力应变关系的非线性性质和非线性弹性材料的条件4.弹塑性和破裂的介绍六、应力分析方法1.平衡方程和边界条件的建立和使用2.静力平衡方程的应用：直接法和能量法3.动量守恒方程的应用：牛顿第二定律和动量矩法4.应力分析的数值计算方法：有限元法和边界元法七、流体力学基础1.基本概念和流体的性质2.流体的运动描述：欧拉法和拉格朗日法3.流体连续性方程和运动方程4.流体静力学：静水压力和流体静力学平衡方程八、流体动力学1.不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程和边界条件2.流体的黏性和黏性阻力3.流体的层流和湍流4.流体动力学的数值模拟方法九、声学基础1.声波的基本特性和传播规律2.声波的速度和频率3.声波的传播和衰减4.声学问题的数值模拟方法十、热力学基础1.热力学基本概念和热力学系统2.热力学过程和热力学方程3.热力学状态方程和热力学循环4.热力学问题的数值模拟方法以上是关于《连续介质力学》的期末复习提纲，主要涵盖了基本概念和假设、应力分析、线性弹性理论、变形分析、应力应变关系、应力分析方法、流体力学基础、流体动力学、声学基础和热力学基础等内容。
流体力学期末复习提纲（给水排水）
流体力学期末复习提纲（给水排水）工程流体力学复习提纲(给排水)第一章绪论1、三种理想模型：连续介质假说、理想流体、不可压缩流体2、流体的粘性：牛顿内摩擦实验dydu μAτA T == 3、作用在流体上的力表面力：法向力和切向力质量力：重力第二章流体静力学1、静水压强的两大特性2、重力场中流体静压强的分布规律：c p z =γ+相对压强、绝对压强、真空值：a p -=abs p p ；abs v p p -=a p 3、流体作用在平面壁上的总压力大小：A h P c γ= 方向：垂直指向受压面作用点：Ay J y y C CC D += 4、流体作用在曲面壁上的总压力x c x A h P γ=；V P z γ=22P z x P P +=；xz P P anctan =θ第三章流体动力学基础1、拉格朗日法、欧拉法的特点2、欧拉法的基本概念：流线方程：zy x u dz u dy u dx == 3、连续性方程2211A v A v =4、恒定总流的伯努利方程w h gvp z g v p z +α+γ+=α+γ+2222222211115、恒定总流的动量方程()()()??β-βρ=β-βρ=β-βρ=∑∑∑1z 12z 2z1y 12y 2y1x 12x 2xv v Q Fv v Q F v v Q F第四章管路、孔口、管嘴的水力计算1、沿程水头损失：2gv d l h 2f λ=（普遍适用）局部水头损失：2g v h 2j ζ=（普遍适用），特殊地，对于突扩管()2gv v h 221j -= 2、粘性流动的两种流态：层流、紊流描述雷诺实验雷诺数：ν=vd Re 流态的判别：2320Re ：层流；2320Re ：紊流；2320Re =：临界流 3、层流运动沿程阻力系数：Re64=λ 紊流运动沿程阻力系数：尼古拉兹实验曲线4、孔口、管嘴出流孔口自由出流：gH A gH A Q 22με?== 孔口淹没出流：gz A gz A Q 22μ?ε'='=有97.0='=??、62.0='=μμ、64.0=ε，所以με? 。
力学讲义第六章连续介质力学
第六章 连续介质力学连续介质模型：物质（气,液,固）连续地分布在它们所占有的区域内连续介质质元: 宏观小, 微观大物质讨论宏观力: 包括外力以及外力作用下形变or 运动引起内部的弹性恢复力 讨论内力的一般方法：假想将其切开,切下部分的作用由内力代表；由平衡条件求力.例: (不计重力)连续介质是比质点、刚体更普遍的经典力学模型，应用也最普遍。
物理状态量在连续介质模型下成为点函数. 不计微观内力 §6.1 应力和应变6.1.1 应力固体为例截面π , 方位 n ; P 处邻域 ∆S 上 张力∆TP 处应力σ = lim ∆∆ TS = d T /dS =σ(P, n ) =σt +σn正应力(法向应力, 张力) σn 单位：P a (压强)(>0为拉应力 ; <0为压应力) 剪应力 (or 切应力) σt应力状态：对同一点P 处，方位不同的截面上应力σ不同。
函数关系σ=σP ( n)叫P 处的应力状态. 由平衡方程可以证明，互相垂直的三个截面上的6个应力(正，切应力)就可以完全决定一点处的应力状态 (由此6个应力可以计算出该处任意方位截面上的应力)应力主面: 该面上只有正应力, 称为主应力. 一点处必有三个互相垂直的应力主面6.1.2 应变固体有两种基本的应变形式：线(拉,压)应变 ;剪应变1. 线应变 ε均匀形变 : 长度l , 总形变∆l (截面法向x ) 则 εx = ∆l / l形变不均匀:一点处位移uAB 段形变=∆u x =u x (x+∆x) -u x (x)=∂∂u xx∆x A 处x 方向线应变εx = lim (∆u x /∆x) = ∂u x / ∂x类似: y 方向线应变 εz =∂u y / ∂y z 方向线应变 εz =∂u z / ∂z 一般情况下应变也是点函数, 不均匀形变时各处应变也不相同.应变是位移的空间变化率(位移的偏导数)2. 剪应变以xy 平面为例, 矩形 → 菱形定义：A 点剪应变（xy 平面上，小变形）为 εt = lim （δ1+δ2）= ∂u x /∂x + ∂u y /∂y δ1 ≈tan δ1=B’B’’/A’B’’=[u y (x+∆x) -u y (x)]/∆x → ∂u y /∂x 类似, 当 ∆x →0 , ∆y →0时 , δ2 → ∂u x /∂y3. 体应变均匀形变时, 体应变 εV = 体积增量/体积 =∆V / V不均匀形变时, 讨论一点处体应变一点附近小长方体(∆x,∆y,∆z) 小形变后为[(1+εx )∆x ,(1+εy )∆y, (1+εz )∆z] V=∆x ∆y ∆z ∆V ≈(εx +εy +εz )∆x ∆y ∆z 小变形 εV =εx +εy +εz 剪应变引起的体应变为高阶小量.自然状态无内力内力与外力平衡F F 内∆S →0 ∆x →0∆x →0∆y →0 y+∆侧平面)∆ll x∆x)6.1.3 胡克定律——应力和应变的关系 1678年胡克提出单向拉伸时 ε ∝ σ , 后来推广到三维 (实验定律) 1. 单一正应力引起的线应变 σx 引起 纵向线应变 εx = σx /Y 横向线应变εy =εz = -μεx = -μσx /Y Y —杨氏模量(压强量纲)μ ——泊松比(无量纲) 0≤ μ ≤ 0.5 σy , σz 的贡献类似 2. 总线应变与正应力的关系——广义胡克定律(在一定的形变范围内—比例极限) εx =1Y [σx -μ(σy +σz )] εy =1Y [σy -μ(σx +σz )] εz =1Y [σz -μ(σx +σy )] 3. 体应变与正应力εV =εx +εy +εz =(1-2μ)(εx +εy +εz )/Y ≡ σ0/K σ0≡(σx +σy +σz )/3 K=Y/[3(1-2μ)] K —体弹性模量 由4. 剪应变与剪应力εt =σt /G G —剪切弹性模量5. 各向同性固体只有两个独立的弹性模量, Y 、G 、K 、μ中只有两个独立K= Y / [3(1-2μ)] G=Y /2(1+μ) < Y一般 μ ≈ 0.35 G 、K 、Y 的量级为1010 —1011 P a , 差别不太大部分材料的弹性模量材料 铝 铜 金 电解铁 铅 铂 银 熔融石英 聚苯乙烯 K 7.8 16.1 16.9 16.7 3.6 14.2 10.4 3.7 0.41 G 2.5 4.6 2.85 8.2 0.54 6.4 2.7 3.12 0.133 Y 6.8 12.6 8.1 21 1.51 16.8 7.5 7.3 0.36 μ 0.355 0.37 0.42 0.29 0.43 0.30 0.38 0.17 0.353 说明： K 、G 、Y 的单位 为1010P a补充题4. 矩形截面杆在轴向拉应力σz =2.0⨯105 P a作用下变形,已知Y=19.6⨯1010 P a , μ=0.3 .求：εV 补充题5. 矩形悬臂梁的一端有作用力P.已知l =2 m, h=20cm,梁宽b=5 cm ,P=1000kg 力, 求梁内最大正应力§6.2 固体拉伸.弯曲.扭转讨论三种情况下的应力状态，计算应力与应变 6.2.1等截面直杆的拉压 圆形截面直杆；两端均匀压强p (拉>0；压<0)横截面 σz =p σt =0 应力状态: 与z 轴互垂两面上 σR =σφ=0 ——单向应力状态 ∴ σz =p= Y εz = Y ∆l / l 均匀形变 弹性形变势能: E P = ⎰ F 外du = ⎰0∆lSY u ldu=YS ∆l 2 / 2l u 为z 方向位移, S 为横截面积(近似不变) 弹性形变势能密度 e P =E P /V=12Y εz 2 =12σz εz (也适于不均匀形变) 说明：其他均匀截面直杆σR ≈0 σφ≈0 可以近似按圆杆处理6.2.2 矩形梁纯弯曲矩形梁(高h,宽b) 力偶矩M纵向画线弯曲:上短—压; 中不变—中性面; 下长—拉横截面上 σx , σt =0应力状态: σy =σz =0——单向应力状态M ⇒ 应力σx , 形变θ0P 处：εx= lim (PP’-oo’)/oo’= lim[(ρ+y)∆θ-ρ ∆θ]/ρ ∆θ=y/ρ σx =Y εx =Yy / ρ ∝ y 下面求ρ 横截面上：∑F =0 (∴中性面正在中点)∆θ→0 ∆θ→0 p z φM 内= ⎰y σx dS = Y ⎰ y 2 dS /ρ ≡YρI z =(应该)= M ——柏努力. 欧勒定律∴ Y/ρ = M/I z σx =M I z y σx max =M I z 2h ρ=YI z /M θ0 = l /ρ(θ0 为转角,代表形变；l 为中性面的长度) 定义对z 轴惯性矩 I z ≡ ⎰y 2 dS 对矩形截面 I z =2b ⎰02h /y 2dy =112bh 3 为节约材料：h ↑ , b ↓ ; 减少中性层还有鸟骨、麦杆…说明：(1)其他形状截面的梁在力偶矩作用下弯曲时,σy ≠ 0 σz ≠0, 非单向应力状态，但σy ≈0 σz ≈0 ,与单向应力状态偏差不大，可以近似按单向应力状态计算(2)非力偶矩作用时,一般可以忽略剪应力，近似按纯弯曲处理：(不计重力) 悬臂梁M 内=M(x)=P(l -x)简支梁 x ∈(0,l /2) M 内=M(x)= P x/2仍有: σx (x)=M(x) y/I z ρ(x) =YI z / M(x) 注意:σx (x),ρ(x),M(x)不再是常数 (3)仍有：e P =12Y εz 2 =12σz εz6.2.3 圆柱扭转表面画上圆周和母线圆周线不变, 横截面保持平面——横截面上 σtR =0应力状态: 横截面上 σt =σt φ σz =0 (只有M) σR =σφ=0 横截面上形变：圆周处εt (R)=R φ /h r 处εt (r)=r φ /h ∴ σt (r)=Gr φ /h ∝ r下面求φ M 内= ⎰ σt r dS = ⎰0R σt r 2πrdr=12h πGR 4φ ≡D φ =(应该)=M ∴G φ/h=2M/(πR 4) σt (r)= G φr/h M=D φ ∴ σt (r)=24M R πr σt max (r)=2M /πR 3 φ=M/D 扭转弹性系数 D=πGR 4/2h (悬丝扭矩 M=D φ D ∝ R 4/h ) 扭转弹性势能E P = ⎰0φM d φ=D φ2 /2 可证e P =12G εt 2 =12σt εt6.2.4 允许应力.强度计算1. 只有正应力or 剪应力材料极限应力(正or 剪)σj , 许可应力[σ]=σj /K 安全系数=1.4—3.0 — 14材料 屈服极限σs 强度极限σb 许可应力 [σ] (kg/cm 2)A 3 2200—2400 3800—4700 1700 16Mn 2900—3500 4800—5200 2300 300#水泥 拉21,压210 拉6,压105 红松(顺纹) 拉981,压328 拉65, 压100 注：A 3—普通低碳钢 16 Mn —低合金钢 常温、静态、一般工作条件材料中最大应力(正or 剪) 应满足 σmax ≤ [σ] 2. 复杂应力情况——按相应的强度理论计算§6.3 流体静力学——流体力平衡下内应力的分布 流体：液,气; 具流动性; 主要讨论液体； 设: 连续、均匀6.3.1 静止流体内应力δσt1. 一点处应力状态σt≡0 只有正应力σ , 且正应力大小与截面无关σ( n)≡σ证: 因为可流动流体静摩擦力=0 ∴σt≡0如图四面体受力平衡设S面上正应力为σ ,x向Sσ⋅x -σx S x=0σ=σ n S=S n S x=S ⋅ x∴σx S x=Sσ⋅x =σS⋅x= σS xσx=σ类似σy=σ=σzx,y,z任选, ∴任意截面上的正应力的大小皆为σ由四面体受力平衡, 从三个坐标平面的应力⇒任意截面S上的应力. 注意：忽略了体积力2. 流体内压强定义：流体内压强为P= -σ(流体中一般没有拉应力,∴σ<0 P>0)说明：(1)压强为标量,严格定义P= -σ0 = (σx+σy+σz) /3(2) 由一点处应力状态, σ与方位无关∴P与方位无关(3) 从证明知,关键σt=0 . 所以对理想流体（无内摩擦）在流动(包括加速流动)时结论也对(4)对粘滞性流体流动时有剪应力，各截面σ不相同.但若σt较小可以忽略，各截面正应力近似相等为σ , P ≈-σ(5) 流体中负压强(拉应力).特定条件（稳定，缓慢过程）下，流体中可出现负压. 水的负压可以达到300atm6.3.2 静止流体平衡方程——临近点处压强关系取小段柱状流体f—单位质量．．上的体积外力x向: [P(x) - P(x+∆x)] ∆S + ρ∆S ∆x f x =0∴∂P /∂x = ρf x类似: ∂P /∂y = ρf y ∂P /∂z = ρf z合起来:∇P = (∂P/∂x) x +(∂P/∂y) y +(∂P/∂z) z = ρf 6.3.3 重力场中静流体1. 流体中压强随高度分布小范围g为常矢量f = (∆m g) /∆m =g = g y ∂P/∂x =∂P/∂z = 0 ⇒P与x,z无关, 在同一高度上P相等∂P/∂y = ρg若ρ为常数(液体or高度差不大的气体)积分得:P(y)=P0+ρgy P0=P(0)不同密度液体(鸡尾酒)的稳定分界面为水平面2. 帕斯卡定律定律：加在密闭液体中的压强等值地传到液体中各处以及壁上.解释: 设压强加在o处,使P0等值地改变，但ρgy 保持不变，所以P(y)随P0同样增加.3. 阿基米德定律定律：浸在流体中物体所受浮力等于物体排开的流体的重量证明：设物体外表面为S .流体对物体作用通过压强体现.∴浮力=⎰-Pd S保持S不变，则浮力不变. 将物体换成流体，该流体应处于平衡，即外界对S的压力之和等于流体重量:⎰-Pd S +m g =0∴浮力= -m g 浮力作用点即该流体重心(一般情况下不是物体的重心)附: 等温理想气体压强随高度的分布已知其密度ρ=cP (c为常数)解: dP/dy = -ρg = -cgP ⎰PPdPP= ⎰y-cg dy 得：P(y)=P0e-cgy又例: 以ω匀速转动的水平试管,内部充满流体. 以试管为参考系, 则惯性离心力为体积力,产生径向压强差.§6.4 流体的定常流动6.4.1 描述流体运动的两种方法1. 两种方法拉格郎日法: 认准各个质元,分别描述其运动状态(r i,v i,a i)及其变化规律r i,v i,a i只是t的函数, v=d r/dt , a=d v/dt ; 应用牛顿定律必须用拉格郎日法. 困难：如何认准？如何跟踪？描述不便欧拉法: 讨论流体场(流体性质场)的场分布∆x)主要是流速场v=v(r,t) . 还有a=a(r,t)P=P(r,t) 压强场……2. 欧拉法中质元的加速度质元加速度a = d v/dt (速度全导数or实质导数)是对一个确定质元速度v(即拉格郎日法中的速度v)的导数.流速场v(r,t)在地点不变下对t的偏导数∂v/∂t ≠a (流速场中同一地点不同时刻的v是不同质点的速度)认准m i :a=d v(x,y,z,t)/dt=∂v/∂t+[∂∂vxdx +∂∂vydy+∂∂vzdz]/dt=∂∂vt+v x∂∂vx+v y∂∂vy+v z∂∂vz=∂∂vt+ v ⋅∇v3. 流体流动的图象表示拉格郎日法: 流体质元的实际运动轨迹——迹线流管——流线围成的细管;流束——流管中流体6.4.2定常流动: v与t无关，v=v(r) ;不定常流动: v与t有关定常流动特点：∂v/∂t =0 a = v⋅∇v≠ 0流线不变,与迹线重和∴迹线也不变P,ρ与t无关是否为定常流与参考系有关设迹线如图. V1,2,3为t1,2,3时刻同一质点的速度.若v与t无关，则v也是速度场中1,2,3点的速度,迹线也是流线. 迹线不变则场中质元数不变，∴ρ不变圆柱在理想流体在匀速直线运动. 在静系中流体为非定常流动，在圆柱参考系中为定常流动§6.6 粘滞流体的流体长时间、长距离、相对速度很大时,粘滞性不可忽略主要讨论层流. 层流：流体分层流动，彼此不混淆流体粘滞性的体现：固、液相对运动时出现摩擦力;液体内部流速不同，各层之间出现摩擦力6.6.1流体的粘滞性板A匀速直线运动引起层流,各层之间粘滞力fz层假想剖面∆S, 两侧粘滞力∆f牛顿摩擦定律:(实验定律) ∆f ∝ (dv/dz) ∆S 即∆f = ηdvdz∆Sdv/dz : z方向速度(空间)变化率(速度梯度)η: 粘滞系数(黏度)温度T↑⇒η↓ (液体) η↑(气体)(f本质: 液体主要来自层之间分子力；气体是通过该层交换宏观定向动量)[η]=ML-1T -1SI(MKS)制为Pa ⋅s CGS制为“泊”1泊=0.1 Pa⋅s η/ρ——运动黏度(比黏度)满足牛顿摩擦定律的流体——牛顿流体(否则叫非牛顿流体—少数如血液)6.6.2 粘滞流体的运动规律1. 动力学方程(介绍) 纳维—斯托克斯方程(Nevier,M. , Stokes,G.G.)-∇P+ρf+η∇2 v = ρ (d v/dt)2. 修改后的伯努力方程定常流动，不可压缩，沿流管(有粘滞性) 由功能原理dW粘1→2 +(P1-P2)dV = dE= (dm v22/2+dm gz2)-(dm v12/2+dm gz1)dm=ρdV∴ P1+ρv12/2+ρgz1=P2+ρv22/2+ρgz2 +w12——修正后的伯努力方程∆t)∆t)m i运动轨迹m质点t2t时刻:3流线w 12 = -w 粘1→2 = dW 粘1→2 /dV >0 为单位体积．．流体克服．．粘滞阻力做的功水平均匀细管中: v,z 相同， P 1 -P 2=w 12=P 2 -P 3=…=P 0’-P 1=ρg(H 1-H 2)=…=ρg ∆H=ρg(H 0’-H 1) ∴P 0’-P B =P 0’-P 0=ρgH 0’=w 细管 将液面A 与出口B 联系:P 0+ρgH 0+0=P 0+0+ρv 2/2+w 细管+w 粗管∴ρv 2/2=ρg(H 0-H 0’) -w 粗管=ρgh 0-w 粗管≈ρgh 0 v ≈(2gh 0)1/2w 细管, w 粗管分别是单位体积流体在细管和粗管中流动克服阻力做的功∴粘滞流体水平均匀流动必有压强差——流水水面不水平 , 熔岩流动高度差很大3. 哈根—泊肃叶(Hagen,G. , Poiseuille, J.L.M.)方程——水平圆管层流哈—泊定律由哈根1839年实验证实, 后为泊肃叶1842年独立发现水平圆管, 定常流动柱坐标(r,φ,z)v z 与r,φ无关v =v z (r)z d v /dt=0忽略体积力f =0 , 流线平行直线, ∴同一横截面上P 相同对小圆柱, 1、2两横截面上对应处速度相同 ∴合外力为零 即 (P 1-P 2)πr 2 + ηdv drz⋅2πr l =0 (f 粘为-z 方向, dv z /dr<0 ∴取 “+”)⎰0v r z ()dv z = ⎰R r -12ηl(P 1-P 2)r drv z (r)= (P 1-P 2)(R 2 -r 2) / (4ηl ) Q V = ⎰ v ⋅ d S = ⎰0Rv z 2πr dr = π(P 1 -P 2)R 4 / (8ηl ) ——哈—泊公式由此可以讨论石油、天然气、水输送问题（管径、压差与流量）;隧道、河流的流量…平均流速 v =Q V /S= (P 1 -P 2)R 2 / (8ηl ) P 1 -P 2=8ηv l R -2 ∝ l R -2,l光滑金属管光滑同心环缝滑阀口Re C2000—2300 1100 260例. 日常生活. 水管d=0.025m Re C =2000 1atm 20︒C时η=1.0⨯10 -3Pa⋅ s 则临界水流速v C = ηRe C /ρd = 0.079 m/s∴一般管流为湍流。
3.连续介质力学
空间坐标
v x R R T x xT xT Ω x xT xT
Ω R RT
二维问题
0 Ω 12
角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量
2 变形和运动
运动描述
在流体力学中，根据参考构形来描述运动通常是不可能的， 并且没有必要。在固体力学中，应力一般依赖于变形和它的历史， 所以必须指定一个未变形构形，普遍采用Lagrangian描述，独立 变量是材料坐标X 和时间t。
位移
u X , t Φ X , t Φ X , 0 Φ X , t X x X
2 变形和运动
( X , t)
在初始域和当前 域 域之间的映射
初始构形 当前构形
X X iei X iei
i 1
n SD
材料点的位置矢量
x xi e i xi e i
i 1
n SD
ei 直角坐标系的单位基矢量，xi 位置矢量的分量。
2 变形和运动
运动描述
空间坐标
x Φ X , t 或 x i i X , t
f x, t d
0
f ΦX, t , t Jd 0
或
fd
0
fJd 0
二维域
f x, y dxdy
0
f X , Y JdXdY
Jacobian行列式的材料时间导数给出为
DJ Jdiv v J vi J Dt xi
左散度
div v v i x j y k z v1i v 2 j v3 k v v v 1 2 3 x y z
连续介质力学概要
46 连续介质力学概要华东理工大学化学系 胡 英46.1 引 言连续介质力学(continuum mechanics)覆盖的领域主要是热的流动、流体的流动或流体力学，以及可变形物体的力学等。
它的主要思想，是为介质的微元体积定义局部的密度、速度和能量，这些局部的性质是空间和时间的连续函数。
作为微元体积，它在概念上必须足够地大，其中包含了许多分子，因而可忽略分子间的不连续性而使用平均值；当然它又必须足够地小，使这些平均值可以随空间坐标连续变化。
连续介质力学的核心是将质量守恒、动量守恒和能量守恒原理应用于微元体积后所得到的一系列基本方程。
这些方程都是偏微分方程，通过对边值问题求解，原则上应该得出流场，即密度、流速和能量随空间的分布，以及流场随时间的演变。
然而这些连续介质力学的基本方程都是非封闭的，需要引入传递现象的基本定律，如费克定律、牛顿定律和傅里叶定律，参见《物理化学》6.2，或更广泛的本构方程，才能使方程封闭然后求解。
这些基本定律或本构方程涉及传递性质或物质函数，它们都是物质的特性，属于物理化学研究的范畴。
知道一些连续力学的知识，将有助于应用物理化学来解决实际问题。
本章将概要介绍连续介质力学的基本方程及其应用，除牛顿流体外，也将涉及非牛顿流体，后者是流变学的研究对象。
在进入主要内容前，先介绍一些基本概念。
1．流体运动的两种表示方法拉格朗日方法 它跟踪流体中质点或微团的运动。
开始时，某质点或微团的空间坐标为0r ，或笛卡儿直角坐标0x 、0y 、0z ，时间为t 时，其坐标r 应为0r 与t 的函数，),(0t r r r =，或 ),,,(000t z y x x x =，… (46-1) 相应的速度υ和加速度a 及其分量υx 、υy 、υz 和a x 、a y 、a z ，t d /d r υ=，t x x d /d =υ，… (46-2)46-2 46 连续介质力学概要 22d /d d d t t r υa ==，22d /d d /d t x t a x x ==υ，… (46-3)包括其它物性如压力p 、能量E 等，它们也应是0r 与t 的函数。
连续介质力学概要
46 连续介质力学概要华东理工大学化学系 胡 英46.1 引 言连续介质力学(continuum mechanics)覆盖的领域主要是热的流动、流体的流动或流体力学，以及可变形物体的力学等。
它的主要思想，是为介质的微元体积定义局部的密度、速度和能量，这些局部的性质是空间和时间的连续函数。
作为微元体积，它在概念上必须足够地大，其中包含了许多分子，因而可忽略分子间的不连续性而使用平均值；当然它又必须足够地小，使这些平均值可以随空间坐标连续变化。
连续介质力学的核心是将质量守恒、动量守恒和能量守恒原理应用于微元体积后所得到的一系列基本方程。
这些方程都是偏微分方程，通过对边值问题求解，原则上应该得出流场，即密度、流速和能量随空间的分布，以及流场随时间的演变。
然而这些连续介质力学的基本方程都是非封闭的，需要引入传递现象的基本定律，如费克定律、牛顿定律和傅里叶定律，参见《物理化学》6.2，或更广泛的本构方程，才能使方程封闭然后求解。
这些基本定律或本构方程涉及传递性质或物质函数，它们都是物质的特性，属于物理化学研究的范畴。
知道一些连续力学的知识，将有助于应用物理化学来解决实际问题。
本章将概要介绍连续介质力学的基本方程及其应用，除牛顿流体外，也将涉及非牛顿流体，后者是流变学的研究对象。
在进入主要内容前，先介绍一些基本概念。
1．流体运动的两种表示方法拉格朗日方法 它跟踪流体中质点或微团的运动。
开始时，某质点或微团的空间坐标为0r ，或笛卡儿直角坐标0x 、0y 、0z ，时间为t 时，其坐标r 应为0r 与t 的函数，),(0t r r r =，或 ),,,(000t z y x x x =，… (46-1) 相应的速度υ和加速度a 及其分量υx 、υy 、υz 和a x 、a y 、a z ，t d /d r υ=，t x x d /d =υ，… (46-2)46-2 46 连续介质力学概要 22d /d d d t t r υa ==，22d /d d /d t x t a x x ==υ，… (46-3)包括其它物性如压力p 、能量E 等，它们也应是0r 与t 的函数。
《连续介质力学》期末复习提纲--弹性波理论部分
《连续介质⼒学》期末复习提纲--弹性波理论部分<连续介质⼒学> 期末复习提纲—弹性波理论部分1、⽆界线弹性体中的波传播（1）Helmholtz 定理 a. 定理内容b. 位移场的分解---⽆旋部分与⽆散部分(1)(2u u u =+ ，其中(1)0u ??= ，(2)0u ??=c. 转动向量与体积膨胀率的位移场表⽰(2)21122u ωψ=??=-?， (1)2u θφ=??=?（2）⽆界线弹性体中的P 波与S 波a. 体积膨胀率与转动向量满⾜的波动⽅程（★）2212211112,f c c c λµθθρ+?+??==222222211,2f c c c µωωρ+==b. Helmholtz 势满⾜的波动⽅程222222221211,b B c t c tφφφψ+=?+=??c. 位移场⽆旋部分与⽆散部分满⾜的波动⽅程2(1)(1)2(2)(2)221211,u b u u B u c c ?+?=?+??= d. 纵波与横波的相速度及其⽐值（★）21121221222)21c c c c c c c c ν??=- ===??=-??2、⽆界线弹性体中的平⾯波（1）波阵⾯、平⾯波与球⾯波（2）⼀般平⾯波及其描述（★）a. ⼀般平⾯波位移场的形式（★）(,)()u x t f x n ct d =?-b. 纵横波满⾜的条件及相速度公式（★）20()()()0d n n d c c P wave S wavec d n d n µρλµ?=±?=---++?=c. ⼀般平⾯波的能量密度与能通量密度向量（★）①平⾯纵波的情况（★）能量密度：[][][]222211112211112211()()22()p ij ij i i e uu c f x n c t c f x n c t c f x n c t ετρρρρ=+''=?-+?-'=?- 能通量密度向量：[]2311()p ij i j ue n cf x n c t ?τρ'=-=?- ⼆者关系： 1p p c n ?ε=②平⾯横波的情况（★）能量密度：[][][]222221212221112211()()22()s ij ij i i e uu c f x n c t c f x n c t c f x n c t ετρρρρ=+''=-+-'=- 能通量密度向量：[]2321()s ij i j u e n c f x n c t ?τρ'=-=?- ⼆者关系： 2s s c n ?ε=（2）平⾯简谐波及其描述（★） a. 描述平⾯简谐波的物理量（★） kc ω=，2T πω=，12T ωαπ==，22c cT kππωΛ===2k n n c ωπ==Λ， 222i i k k k k k c ω?===A c T k k x n -ct k ωα--Λ-?振幅 -相速度周期-波数-圆频率波长()-相位-频率-波数向量b. 平⾯简谐波的位移场形式（★）[]()()c o s ()R e R e i k x n c ti k x tu A d k x n c t A d e A d e ω?-?-=?-??c. 平⾯简谐波的能量密度与能通量密度向量及波的强度（★）①平⾯简谐纵波的情形（★）能量密度：1122p ij ij i i e uu ετρ=+ 能通量密度向量：p ij i j u e ?τ=-⼆者的关系： 1p p c n ?ε=平⾯简谐纵波的强度：1T pp dt T ??=?②平⾯简谐横波的情形（★）能量密度：1122s ij ij i i e uu ετρ=+ 能通量密度向量：s ij i j ue ?τ=-⼆者的关系： 2s s c n ?ε=平⾯简谐横波的强度：01T s s dt T=d. ⾮均匀平⾯简谐波位移场满⾜的条件（★）''()k x i k x t u Ade e ω'-??-=?2220k k kk k c k k ω?''''''?-?=='''?=?e. ⾮均匀平⾯简谐波的传播特征。
《连续介质力学》期末复习提纲-总
《连续介质力学》期末复习提纲-总Materialforthefinale某amforthetudentmajoringgeophyicQM复习提纲(2022.12)一、基本要求1、掌握自由指标与哑指标的判别方法及表达式按指标展开；2、掌握ij与eijk的定义、性质及相互关系；3、掌握二阶张量坐标转换的计算；4、掌握二阶张量特征值、特征向量与三个不变量的计算方法；5、掌握哈密顿微分算子及其基本计算；6、掌握小变形应变张量、转动张量及转动向量的计算；7、掌握正应变的计算；8、掌握正应力、剪应力及应力向量的计算；9、掌握应力张量与应变张量的对称性；10、掌握能量密度及能通量密度向量的计算；11、掌握各向同性线弹性体的广义胡克定律的两种形式；12、掌握应力张量与体积膨胀率的关系；13、掌握各向同性线弹性体的应变能密度函数；14、会对材料的各个弹性参数之间的关系进行相互推导；15、掌握从质点的运动方程推导Navier方程的过程；16、掌握从质点的运动方程出发推导纵横波的方程的过程；17、掌握地震波速度与泊松比的关系；18、掌握非均匀平面简谐波的传播特征；19、掌握P波、SV波入射到自由界面上的传播特征；20、掌握利用自由界面边界条件确定反射系数和反射波位移场的方法；21、掌握Reilaygh波和Stonely波的传播特征；22、掌握P波入射到两种弹性体接触面上的反射系数和透射系数的计算方法；二、复习题简答论述题1、试解释“连续介质”所必须满足的条件。
2、简述弹性动力学基本假设。
3、说明应力、应变、正应力、正应变、剪应力及剪应变的含义。
4、说明杨氏模量、泊松比、体积模量与剪切模量的物理含义。
5、简述小变形应变张量的几何解释。
Materialforthefinale某amforthetudentmajoringgeophyic6、举例说明相容性条件的物理意义。
7、什么是应力主平面？什么是主应力与应力主方向？8、极端各向异性体有哪些特征？9、正交各向异性体有哪些特征？10、横向各向同性体有哪些特征？11、试说明Stoneley波的传播特点？12、试说明Rayleigh 波的传播特点？13、以复数值形式表示的波向量所对应的位移为uAdek''某i(k'某t)ekkkk'其中的k及k''满足式kk试论述该平面波的传播特征。
连续介质力学-总复习
14
2.弹性体 弹性体 3.各向同性弹性体 各向同性弹性体 教 学 大 纲 4. 线性热弹性体和线弹性体
4.4 间断面 间断面条件
15
12
2. 非平衡态热力学
§4
教 学 大 纲
本构理论
4.1 本构原理
1.引言 引言 2.本构原理 2.本构原理 1)客观性原理 标架无差异原理 客观性原理(标架无差异原理 客观性原理 标架无差异原理,principle of material frame-indifference,简称 简称PMI ) 简称 2)确定性原理 确定性原理(principle of determinism) 确定性原理 3)局部作用原理 局部作用原理(principle of local action) 局部作用原理 4)相容性原理 相容性原理(requirements of consistency) 相容性原理 5)物质对称性不变原理 物质对称性不变原理(material isomorphism) 物质对称性不变原理
3
1a
1b
13.张量场函数的导数 张量场函数的导数 14.张量函数的积分定理 张量函数的积分定理 教 学 大 纲 15.Riemann-Christofell张量 张量 1c
§2
变形和运动
2.描述变形与运动的两个构形 2.描述变形与运动的两个构形
2.1 参考构形和当前构形 1.构形(位形) 1.构形 位形) 构形( 3.变形和流动 4.位置矢量和位移矢量 3.变形和流动 4.位置矢量和位移矢量 5. Lagrange坐标系和Euler坐标系 Lagrange坐标系和 坐标系和Euler坐标系 6.随体坐标系{ XA, t }和{ xi, t0 } 6.随体坐标系 随体坐标系{
连续介质力学
所以: J 0 其中: J dV dV 0
对方程两边求物质导数:
J
0
可证明: J div v
J
J
所以: div v 0 率形式的质量守恒律
证明: J div v J
引理: 设矩阵a的行列式为: a , 元素 amn 的代数余子式记作 Amn
将行列式 a 看作它的9个元素的函数，则有:
a
V
式中h表示热流矢量（或称热通量），即每单位时间每单位 面积的热流，k表示每单位质量接受外部的热（称为热源）
而 P K E
其中K为动能.
动能 K 1v2dv
v2
其中 v2 v v
由质量守恒知: dv的物质导数为零
所以: K 1 d v2 dV V 2 dt
又 1 d v2 v dv v a
三、应力理论
1. Cauchy应力
ijeie j
定义在即时构形中的应力张量 又称真应力.
变形后斜截面上的应力矢量:
作用于 da上的力:
σn σn
pnda σ nda σ da
Cauchy应力是以即时构形 中的面积为基准来度量的。
由微六面体的力矩平衡，可知经典连续介质学理论中 σ
为对称张量,即:
d dt
vdV
f
dV
σ
nda
dv vdivv σ f
dt
div v 0
3. 角动量方程 （Balance of angular momentum ） 所以：
4. 守恒率的一般形式 如果采用欧拉描述，上述三个守恒率可表达为：
固体力学常采用拉格朗日描述：
其中： 拉格朗日描述中，体元体积不变：
对物质坐标求散度
飞行力学复习提纲
第一章1. 连续介质模型：将流体看成是由无限多流体质点所组成的稠密而无间隙的连续介质。
2. 流体的弹性（压缩性）：流体随着压强增大而体积缩小的特性。
压缩系数的倒数称为体积弹性模量E ，他表示单位密度变化所需压强增量：ρρβd dp E ==1流体密度：单位体积中流体的质量。
表示流体稠密程度。
压缩系数β：一定温度下升高单位压强时，流体体积的相对缩小量。
｛注：当流体速度大于0.3马赫时才考虑弹性模量｝3. 完全气体状态方程：T nR mRT pV m ==｛kmolm m kkmol J m V R 3*414.228314==｝ 4. 流体粘性：在作相对运动的两流体层的接触面上，存在着一对等值而反向的作用力来阻碍两相邻流体层作相对运动。
5. 牛顿内摩擦定律：相邻两层流体作相对运动所产生的摩擦力F 与两层流体的速度梯度成正比；与两层的接触面积成正比；与流体的物理特性有关；与接触面上压强无关。
注：切应力τ：快同慢反静无，只是层流。
6. 理想流体：不考虑粘性（粘性系数0=μ）的流体。
7. 流体内部一点出压强特点：大小与方向无关，处处相等。
8. 质量力（B F ）｛彻体力、体积力｝：作用在体积V 内每一流体质量或体积上的非接触力，其大小与流体质量或体积成正比，流体力学中，只考虑重力与惯性力。
表面力（S F ）：作用在所取流体体积表面S 上的力，它是有与这块流体相接触的流体或物体的直接作用而产生的。
9.等压面：在静止流体中，静压强相等的各点所组成的面。
性质：（1）在平衡流体中通过每点的等压面必与该点流体所受质量力垂直。
（2）等压面即为等势面。
（3）两种密度不同而又在不相混的流体处于平衡时，他们的分界面必为等压面。
第二章1. 流线：某一瞬时流场中存在这样的曲线，该曲线上每点速度矢量都与该曲线相切。
（欧拉法）迹线：任何一个流体质点在流场中的运动轨迹。
（拉格朗日法） 区别：流线是某一瞬时各流体质点的运动方向线，而迹线则是某一流体质点在一段时间内经过的路径，是同一流体质点不同时刻所在位置的连线。
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<连续介质力学> QM 复习提纲(2010.12)一、基本要求1、掌握自由指标与哑指标的判别方法及表达式按指标展开；2、掌握ij 与ijk e 的定义、性质及相互关系；3、掌握二阶张量坐标转换的计算；4、掌握二阶张量特征值、特征向量与三个不变量的计算方法；5、掌握哈密顿微分算子及其基本计算；6、掌握小变形应变张量、转动张量及转动向量的计算；7、掌握正应变的计算；8、掌握正应力、剪应力及应力向量的计算；9、掌握应力张量与应变张量的对称性；10、掌握能量密度及能通量密度向量的计算；11、掌握各向同性线弹性体的广义胡克定律的两种形式；12、掌握应力张量与体积膨胀率的关系；13、掌握各向同性线弹性体的应变能密度函数；14、会对材料的各个弹性参数之间的关系进行相互推导；15、掌握从质点的运动方程推导Navier 方程的过程；16、掌握从质点的运动方程出发推导纵横波的方程的过程；17、掌握地震波速度与泊松比的关系；18、掌握非均匀平面简谐波的传播特征；19、掌握P 波、SV 波入射到自由界面上的传播特征；20、掌握利用自由界面边界条件确定反射系数和反射波位移场的方法；21、掌握Reilaygh 波和Stonely 波的传播特征；22、掌握P 波入射到两种弹性体接触面上的反射系数和透射系数的计算方法；二、复习题简答论述题1、试解释“连续介质”所必须满足的条件。
2、简述弹性动力学基本假设。
3、说明应力、应变、正应力、正应变、剪应力及剪应变的含义。
4、说明杨氏模量、泊松比、体积模量与剪切模量的物理含义。
5、简述小变形应变张量的几何解释。
6、举例说明相容性条件的物理意义。
7、什么是应力主平面？什么是主应力与应力主方向？8、极端各向异性体有哪些特征？9、正交各向异性体有哪些特征？10、横向各向同性体有哪些特征？11、试说明Stoneley 波的传播特点？12、试说明Rayleigh 波的传播特点？13、以复数值形式表示的波向量所对应的位移为'''()i t A e e ω--=k x k x u d其中的'k 及''k 满足式ωχ22⎫''''''⋅-⋅=⎪⎬⎪'''⋅=0⎭k k k k k k 试论述该平面波的传播特征。
14、试述波动方程的解为 11221122,A A B B φφφψψψ=+=+ （a ）()()()()1121121221121212,,ik x P x ct ik x P x ct ik x P x ct ik x P x ct e e e e φφψψ--+---+-⎫==⎪⎬==⎪⎭（b ）（1c c >）时P 波在自由界面中的反射和折射规律。
15、分情况讨论P 波和SV 波在自由界面上的反射和折射规律。
16、何谓波阻抗，地震波在两种弹性介质表面发生反射的条件是什么？P 波及SV 波合成的入射波入射到两种弹性介质表面的反射和折射规律是什么？17、试述波动方程的解为11221122,A A B B φφφψψψ=+=+ （a ）()()()()1121121221121212,,ik x P x ct ik x P x ct ik x P x ct ik x P x ct e e e e φφψψ--+---+-⎫==⎪⎬==⎪⎭（b ）（1c c >）时SV 波在自由界面中的反射和折射规律。
18、试述波动方程的解为11221122,A A B B φφφψψψ=+=+ （a ）()()121121122122()()1212,,k x ik x ct k x ik x ct ik x P x ct ik x P x ct e e e e e e ννφφψψ-----+-⎫==⎪⎬==⎪⎭（b ）（21c c c <<）时SV 波在自由界面中的反射和折射规律。
计算题1、给定一个坐标变换i ij j x x β=，其中变换系数的矩阵形式为()0333666ij β⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎢-⎢⎢⎥⎣⎦如果向量a 在i x 坐标系中的分量为[1,2,1]-，试求它在i x 坐标系中的分量。
2、给定一个坐标变换i ij j x x β=，如果在坐标系i x 中张量为ij τ，其中()022666ij β-⎥⎥=⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎣⎦011()121110ij τ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 试求此张量在i x 坐标系中的分量。
3、求二阶反对称张量ij A 所对应的向量。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=012103230)(ij A4、试求二阶张量110()121011ij A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值及特征向量，并选取一个主轴坐标系，写出该张量在主轴坐标系内的表达形式。
5、已知用ij e 表示的ij τ为2ij kk ij ij e e τλδμ=+ （a ）其中，λ与μ为参数，试用ij τ表示出ij e 。
6、已知理想弹性体内的位移场为2211221333123,2,()u x x k u x x k u x x x k ===-其中，210k -=为常数，试求应变张量、转动张量、转动向量、体积膨胀率。
7、已知弹性体内点P 处的应变张量为40()72024ij kk e kk k k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 试求点P处沿123022=++⋅n e e 方向的正应变。
8、设弹性体的位移场为2221123212312343,8,344u x x x u x x u x x x =-+=+=-++试分别确定点(1,0,2)P -及(0,1,4)Q -处的应变不变量。
9、设某一弹性体的应变张量场为132()312226ij e -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（1） 直接计算该应变张量的三个不变量；（2） 求该应变张量的主应变，并验证由应变张量对角形式求得的不变量与直接计算的结果相同。
10、在坐标系123ox x x 内，某弹性体内的应力张量场为21222233350()502020ij x x x x x x τ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求作用于圆柱面22234x x +=上点P 的切面上的应力向量。
11、设弹性体内一点处的主应力为1τ、2τ及3τ。
试用主应力表示出与该点应力主轴成等角的倾斜面元上的正应力及剪应力，并再用应力不变量表示出它们。
12、在平面情形中，已知点12(,)P x x 的应力分量为11τ、22τ及12τ。
试求过点P 而外法向与坐标轴1ox 夹角为α的倾斜面上的正应力n τ与剪应力s τ的值；并证明：在点P 处剪应力s τ为零的方向有二且相互垂直，其法向与1ox 轴的夹角α由下式确定： 1211222tan 2ταττ=- 13、已知理想弹性介质中，拉梅系数λ、μ与杨氏模量E 、泊松比ν及体积模量K 的关系为 ()()()32,,2312E E K μλμλνλμλμν+===++-（1） 试以E 及ν为独立的弹性常数，写出理想弹性体的广义胡克定律，并分别以应变分量表出应力分量、应力分量表出应变分量的形式给出。
（2） 试以K 及ν为独立的弹性常数，写出理想弹性体的广义胡克定律，并以应变分量表出应力分量、应力分量表出应变分量的形式给出。
14、设有一各向同性线性弹性圆柱体，被置于一光滑的刚性圆筒内，如图所示。
柱体受轴向均匀压力p 的作用（其横向变形完全受到限制），试求轴向应力与轴向应变的比值。
设材料的Lamé系数为λ、μ 。
15、如果理想弹性体内某点处的应变张量为2()25253ij a a a e a a a a a a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭其中，410a -=，设拉梅常数510MPa λ=，50.810MPa μ=⨯。
试求该点处的应力张量。
16、已知各向同性线弹性体中，拉梅系数λ、μ与杨氏模量E 、泊松比ν的关系为()()32,2E μλμλνλμλμ+==++ 试以E 及ν为独立的弹性常数，写出各向同性线弹性体的应变能密度函数，并分别用应变张量的不变量与应力张量的不变量表示出来。
17、已知各向同性线弹性体中，拉梅系数λ、μ与杨氏模量E 、泊松比ν及体积模量K 的关系为 ()()()32,,2312E E K μλμλνλμλμν+===++- 求解：（1）用介质密度ρ、杨氏模量E 及泊松比ν表达的纵波和横波相速度公式。
（2）用介质密度ρ、体积模量K 和剪切模量μ表达的纵波和横波相速度公式。
18、已知各向同性线弹性体中，拉梅系数λ、μ与泊松比ν的关系为 ()2λνλμ=+ 求解：（1）利用纵横波相速度1c 及2c 表示的泊松比表达式；（2）求泊松体的纵横波相速度之比。
19、若位移矢量场的标量位函数是()1133exp A i k x k x t ϕω=+-⎡⎤⎣⎦求解：应变张量、应力张量、转动张量、转动向量、能量密度、能通量密度矢量与波的强度。
20、给定岩石的体积模量K 与剪切模量μ为62210N /cm ⨯，密度ρ为32.5/g cm ，试求P 波速度α与横波速度β及泊松比ν。
21、在02>x 的弹性半空间内，有平面简谐P 波沿坐标面21x ox 内的某一方向入射到弹性半空间的平界面02=x 上。
已知平界面上的位移被指定为 11()()12,ik x ct ik x ct u e u e αβ--==。
试求反射系数。
设P 波及SV 波的速度为1c 及2c 。
22、在各向同性线弹性均匀介质中，从质点的运动方程出发，使用广义虎克定律，导出P 波和S 波满足的运动方程。
从推导过程中阐明P 波和S 波的本质差别，并求出P 波和S 波的速度表达式。
（假设体力为零）23、平面简谐SH 波以θ角入射到一个水平的自由表面上（如图所示），试求解下列问题：（1）利用自由表面边界条件推导在0z >的空间区域中总的位移表达式；（2）若平面简谐SH 波以θ角入射到一个崎岖的自由表面()z h x =上，假定自由表面的高程()h x 可视为沿一虚拟水平自由表面上下的扰动。
根据（1）的结果，利用Taylor 展开推导崎岖自由表面处SH 波的总位移。
θSH（1） （2）24、设想一直矿井穿过地球中心，一个物体由静止开始从井口自由掉下。
设井内阻力不计，已知万有引力常数为G ，地球半径为0R ，密度均匀为ρ。
（1）问此物体在井中做何种形式的运动？求出其运动周期。
（2）试求该物体到达地心时的速度大小。
（3）若矿井不经过地心，而是沿地球的任一弦挖的光滑直隧道，则当物体由静止开始从井口自由掉下后作何运动？xz 弹性介质真空O25、如图所示，设弹性空间是由接触的两个半无限弹性介质组成，平界面两侧介质的密度和纵波速度分别为1212,,,ρραα。