石家庄铁道大学期末材料力习题课1
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B、提高不到一倍 ； D、不变。
7、图示钢质圆杆的抗弯截面系数为W、横截面面积 为A，同时受到轴向力F、扭转力偶矩Mn、弯曲力偶 M的作用，则正确的强度条件为 C 。
M
F
A、 F 1 AW
M2
M
2 n
;
Mn
B、
F
2
M
2
Mn
2
;
A W W
C、
F
M
2
M n
2
;
D、
习题讨论课
一、基础强化
1、图示等腰直角三角形单元体，已知两直边表示的 截面上只有切应力t0，则斜边表示的截面上的正应 力和切应力分别为 B 。
A、 t0 , t t0 ;
t0
B、 t0 , t 0;
C、 2t0 , t t0 ;
t
D、 2t0 , t 0 。
2、图示三角形单元体，已知ab、ca两斜面上的
3、直径为d的实心圆铝轴， 放置在厚度为d的钢质圆套 桶内，两者之间无间隙， 无摩擦。已知铝轴的弹性 模量和泊松比分别为E1、n1， 钢套桶的弹性模量和泊松 比分别为E2、n2，铝轴所受 压力为F。试求铝轴和钢套 桶上的主应力。
F
钢 铝 F
问题分析 铝轴受轴向压力，同时还受到均匀 的法向压力。轴内任一点均处于三向 应力状态。 钢筒在内壁受均匀法向压力，筒内 任一点可看作处于单向应力状态。 两者接触面的周长始终相等。
t
t
（a） A、 a b , B、 a b , C、 a b , D、 a b ,
（b）
ta tb ;
ta
tb ;
1
2
2 t 2
2
ta tb ;
ta tb ; 3 2
2
t2
2
• 化成应力圆，关于Y轴对称
4、钢质薄方板ABCD的三个边刚好放置在图示刚性 壁内，AC受均匀压应力y，则板内靠壁上一点m沿 x方向的正应力x和线应变ex分别为 C 。
（2）校核强度
F
a点为危险点 a Eea 120MPa
e
45 2 t
45 2 t
ec
e 45
1 E
45 n 45
M 45°
ea ec
eb
1n
2E
c
1
n
E
tc
tc
2
1
1n
Ee
c
1n c
24MPa
tc
ec
r3
2 a
4t
2 a
129.2MPa
c c
杆满足强度条件
p x cos t x sin
Fy 0
pdA sin ydA sin t xdAcos 0
p y sin t x cos
p x t x
tx
py
p
tx
p
x
ty y
p x t x
tx
py
p
p x p y
t
2 x
p2 x y
0
半径
95
2
45
2
25
3
2
45 95 120MPa
25 3
25 3
150° 30°
20MPa
圆心坐标
45
2
95
,
0
半径
95
2
45
2
25
3
2
1
45 2
95
95
2
45
2
25
2
3 120MPa
2
45
2
95
95
2
45
2
25
2
3 20MPa
tg20
25 3
3EI 2EI GI p 2
A、 x=0，ex=0； B、 x=0，ex=ny/E； C、 x=ny，ex=0； D、 x=-ny，ex=-ny/E；
y
A
C
ym x
B
D
z=0，ex=0
5、承受内压的两端封闭的圆柱状薄壁压力容器，由 塑性材料制成，试按第三强度理论分析，若容器出 现裂纹时，裂纹面的可能方向为 B 。
p
2
A、沿圆柱纵向，裂纹面与圆周面垂直；1 B、沿圆柱纵向，裂纹面与圆周面成45°角 ； C、沿圆柱环向，裂纹面与圆周面垂直； D、沿圆柱环向，裂纹面与圆周面成 45°角。
95 45
2
3
0 30
2、圆杆受力如图，已知直径d=100mm，弹性模量 E=200GPa、 切变模量G=80GPa，材料的许用正应力 []=160MPa。现测得a、b两点轴向应变和c点45°方 向应变ea=600me 、 eb=-200me， ec=450me 。（1）求 外载荷F的大小；（2）按第三强度理论校核强度。
• 前3强度理论，均能找到破坏面 • 第3强度理论，破坏面为最大切应力面 • 如果是铸铁，用第一强度理论，取A选项
6、一正方形截面立柱（图a），若将其底面加宽一 倍（图b），原厚度不变，则该立柱的强度 C 。
B
F
2a a
Fa 2
a 2a F2
6
5F 4a 2
F
（a）
A、提高一倍； C、降低；
（b）
正应力均为，切应力为零，则竖直面上的应力
为A 。
b
x 60° a
tx 45°
c A、x=，tx=0；
应力圆为点圆
B、x=，tx=sin60°-sin45°；
C、x=cos60°+cos45°，tx=0；
D、x=cos60°+cos45° ， tx=sin60°-sin45°。
3、图示两个单元体的最大主应力分别a、 b，最大 切应力分别为ta、tb，则两单元体 C 。
p
p
F
钢 铝 F
铝轴
主应力 源自文库筒
F z A
r -p
1
e E1 n1 r z
1 E1
p
n
1
p
F A
主应力
pd 2d
e
E2
pd 2E2d
p p
e e
p
E1d
8 E 2 n 1 dF
2E2 1 n1
dd
2
证明：
Fx 0
pdAcos x dAcos t xdA sin 0
F
M
2
4 M n
2
A W W
A W W
二、扩展讨论
1、在过一点的两截面上应力如图所示，试求该点的 主应力和主平面方位，并画主应力单元体图。
解：应力圆作法
t
a(45, 25 3)
b(95, 25 3)
2a0
c
45 95
25 3
25 3
150°
a面
b面
单位：MPa
圆心坐标
45
2
95
,
p
x y
t
2 x
0
若使p=const，则应有
x
y
2 4 xy
t
2 x
0
tx
p
x
ty y
x
y
2
t
2 x
0
x y tx 0
由平衡可得 x y p
4、两根直径为d的立柱，上下端分别与刚性快连 接，并在两端承受扭转外力偶Me作用。已知杆材 料的弹性模量为E，切变模量为G，试求杆端的内 力。
解：（1）求外载荷F
ta eaa
a
tc ec c
c
F e
M 45°
a
F A
Fe W
ea
1 E
F A
Fe W
ea
ec
eb
ta
tb
F
a
b
e
a
b
ea
1 E
F A
Fe W
eb
1 E
F A
Fe W
ea
F
e a
eb
EA 2
e a
eb
Ed 8
2
314kN
M 45°
ec
eb
F
ea
eb
E 2
40MPa
Me
a
l
Me
a
l
MT Fs
问题分析 刚性平板将绕其形心转动 杆端内力T、Fs、M
Me
a
l
MT Fs B
解： 平衡方程 变形协调方程
2T Fsa M e B 0
a wB B 2
Me
a
l
MT Fs B
平衡方程 补充方程
2T Fsa M e Fl 2 Ml 0 2EI EI Fl 3 Ml 2 Tl a
7、图示钢质圆杆的抗弯截面系数为W、横截面面积 为A，同时受到轴向力F、扭转力偶矩Mn、弯曲力偶 M的作用，则正确的强度条件为 C 。
M
F
A、 F 1 AW
M2
M
2 n
;
Mn
B、
F
2
M
2
Mn
2
;
A W W
C、
F
M
2
M n
2
;
D、
习题讨论课
一、基础强化
1、图示等腰直角三角形单元体，已知两直边表示的 截面上只有切应力t0，则斜边表示的截面上的正应 力和切应力分别为 B 。
A、 t0 , t t0 ;
t0
B、 t0 , t 0;
C、 2t0 , t t0 ;
t
D、 2t0 , t 0 。
2、图示三角形单元体，已知ab、ca两斜面上的
3、直径为d的实心圆铝轴， 放置在厚度为d的钢质圆套 桶内，两者之间无间隙， 无摩擦。已知铝轴的弹性 模量和泊松比分别为E1、n1， 钢套桶的弹性模量和泊松 比分别为E2、n2，铝轴所受 压力为F。试求铝轴和钢套 桶上的主应力。
F
钢 铝 F
问题分析 铝轴受轴向压力，同时还受到均匀 的法向压力。轴内任一点均处于三向 应力状态。 钢筒在内壁受均匀法向压力，筒内 任一点可看作处于单向应力状态。 两者接触面的周长始终相等。
t
t
（a） A、 a b , B、 a b , C、 a b , D、 a b ,
（b）
ta tb ;
ta
tb ;
1
2
2 t 2
2
ta tb ;
ta tb ; 3 2
2
t2
2
• 化成应力圆，关于Y轴对称
4、钢质薄方板ABCD的三个边刚好放置在图示刚性 壁内，AC受均匀压应力y，则板内靠壁上一点m沿 x方向的正应力x和线应变ex分别为 C 。
（2）校核强度
F
a点为危险点 a Eea 120MPa
e
45 2 t
45 2 t
ec
e 45
1 E
45 n 45
M 45°
ea ec
eb
1n
2E
c
1
n
E
tc
tc
2
1
1n
Ee
c
1n c
24MPa
tc
ec
r3
2 a
4t
2 a
129.2MPa
c c
杆满足强度条件
p x cos t x sin
Fy 0
pdA sin ydA sin t xdAcos 0
p y sin t x cos
p x t x
tx
py
p
tx
p
x
ty y
p x t x
tx
py
p
p x p y
t
2 x
p2 x y
0
半径
95
2
45
2
25
3
2
45 95 120MPa
25 3
25 3
150° 30°
20MPa
圆心坐标
45
2
95
,
0
半径
95
2
45
2
25
3
2
1
45 2
95
95
2
45
2
25
2
3 120MPa
2
45
2
95
95
2
45
2
25
2
3 20MPa
tg20
25 3
3EI 2EI GI p 2
A、 x=0，ex=0； B、 x=0，ex=ny/E； C、 x=ny，ex=0； D、 x=-ny，ex=-ny/E；
y
A
C
ym x
B
D
z=0，ex=0
5、承受内压的两端封闭的圆柱状薄壁压力容器，由 塑性材料制成，试按第三强度理论分析，若容器出 现裂纹时，裂纹面的可能方向为 B 。
p
2
A、沿圆柱纵向，裂纹面与圆周面垂直；1 B、沿圆柱纵向，裂纹面与圆周面成45°角 ； C、沿圆柱环向，裂纹面与圆周面垂直； D、沿圆柱环向，裂纹面与圆周面成 45°角。
95 45
2
3
0 30
2、圆杆受力如图，已知直径d=100mm，弹性模量 E=200GPa、 切变模量G=80GPa，材料的许用正应力 []=160MPa。现测得a、b两点轴向应变和c点45°方 向应变ea=600me 、 eb=-200me， ec=450me 。（1）求 外载荷F的大小；（2）按第三强度理论校核强度。
• 前3强度理论，均能找到破坏面 • 第3强度理论，破坏面为最大切应力面 • 如果是铸铁，用第一强度理论，取A选项
6、一正方形截面立柱（图a），若将其底面加宽一 倍（图b），原厚度不变，则该立柱的强度 C 。
B
F
2a a
Fa 2
a 2a F2
6
5F 4a 2
F
（a）
A、提高一倍； C、降低；
（b）
正应力均为，切应力为零，则竖直面上的应力
为A 。
b
x 60° a
tx 45°
c A、x=，tx=0；
应力圆为点圆
B、x=，tx=sin60°-sin45°；
C、x=cos60°+cos45°，tx=0；
D、x=cos60°+cos45° ， tx=sin60°-sin45°。
3、图示两个单元体的最大主应力分别a、 b，最大 切应力分别为ta、tb，则两单元体 C 。
p
p
F
钢 铝 F
铝轴
主应力 源自文库筒
F z A
r -p
1
e E1 n1 r z
1 E1
p
n
1
p
F A
主应力
pd 2d
e
E2
pd 2E2d
p p
e e
p
E1d
8 E 2 n 1 dF
2E2 1 n1
dd
2
证明：
Fx 0
pdAcos x dAcos t xdA sin 0
F
M
2
4 M n
2
A W W
A W W
二、扩展讨论
1、在过一点的两截面上应力如图所示，试求该点的 主应力和主平面方位，并画主应力单元体图。
解：应力圆作法
t
a(45, 25 3)
b(95, 25 3)
2a0
c
45 95
25 3
25 3
150°
a面
b面
单位：MPa
圆心坐标
45
2
95
,
p
x y
t
2 x
0
若使p=const，则应有
x
y
2 4 xy
t
2 x
0
tx
p
x
ty y
x
y
2
t
2 x
0
x y tx 0
由平衡可得 x y p
4、两根直径为d的立柱，上下端分别与刚性快连 接，并在两端承受扭转外力偶Me作用。已知杆材 料的弹性模量为E，切变模量为G，试求杆端的内 力。
解：（1）求外载荷F
ta eaa
a
tc ec c
c
F e
M 45°
a
F A
Fe W
ea
1 E
F A
Fe W
ea
ec
eb
ta
tb
F
a
b
e
a
b
ea
1 E
F A
Fe W
eb
1 E
F A
Fe W
ea
F
e a
eb
EA 2
e a
eb
Ed 8
2
314kN
M 45°
ec
eb
F
ea
eb
E 2
40MPa
Me
a
l
Me
a
l
MT Fs
问题分析 刚性平板将绕其形心转动 杆端内力T、Fs、M
Me
a
l
MT Fs B
解： 平衡方程 变形协调方程
2T Fsa M e B 0
a wB B 2
Me
a
l
MT Fs B
平衡方程 补充方程
2T Fsa M e Fl 2 Ml 0 2EI EI Fl 3 Ml 2 Tl a