线性代数第二节,
线性代数之行列式的性质及计算
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质考虑111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =将它的行依次变为相应的列，得称T D 为D 的转置行列式 .性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）事实上，若记111212122212n n T n n nnb b b b b b D b b b =则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔)或两列(i j c c ↔)，行列式变号.例如 123123086351.351086=- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即11121112212n i i i i in in n n nna a a ab a b a b a a a +++=111211212n i i in n n nna a a a a a a a a +111211212n i i in n n nna a ab b b a a a . 证: 由行列式定义性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i jr kr D D +=，即计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式解: 211231231232123223240188(1)3234086204250425r r r r r r D +↔-----=------=43324130858412321232018801880058620058621430303729r r r r r r -++------==143[1(1)58]28629=-⨯-⨯⨯=. 41212,3,4666611111111131113110200(2)66113111310020111311130002ii i r r r r i D=+-=∑===6(1222)48=⨯⨯⨯⨯=.此方法称为归边法. 例2: 计算n 阶行列式 解: (1)1112132,3,1111100000i r r ni nna a a D a a a a -=+---=221111111001001nna a a a a -=+-(箭形行列式)(2) 注意到行列式各行元素之和等于(1)x n a +-,有12,3,,100[(1)]i r r i na a x a x n a x a-=-+--=1[(1)]()n x n a x a -=+--.例3: 设111111111111,kk kk k n n nkn nna a a a D c cb bc c b b =11111,kk kka a D a a =11121,nn nnb b D b b =证明:12.D D D =证: 对1D 作行运算i j r kr +, 把1D 化为下三角形行列式: 对2D 作列运算i j c kc +, 把2D 化为下三角形行列式:先对D 的前k k 行作行运算i j r kr +, 然后对D 的后n 列作列运算i j c kc +, 把D 化为下三角形行列式: 故, 111112.kk nn D p p q q D D =⋅=.思考练习 1.计算行列式2.证明1111111112222222222a bb c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++ 3. 证明4.计算行列式2324323631063a b c d a a b a b ca b c dD a a b a b ca b c da ab a bc a b c d++++++=++++++++++++答案2.左边=21111111111111222222222222c c a bb c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a -++++-++++=+-+++++-+2312121111111222222222c c c c c c a b a c b a c a b a c b a c a b a c b a c -+↔+--=+-=-=+--1112222a b c a b c a b c . 3. 证(1)左边111111111abcdef -=--213111102020r r r r abcdef ++-=23111020002r r abcdef ↔-=-4.abcdef = (2)左边12222,3,42214469214469214469214469i c c i a a a a b b b b cc c cd d d d -=++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b cc d d --++==++=右边 4. 解: 从第4行开始，后行减前行得， §2.2 行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个n －1阶行列式来计算？ 一、余子式与代数余子式定义：在n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的元素按原来的顺序构成的1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ；而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.例如 三阶行列式 111213212223313232a a a a a a a a a 中元素ij a 的余子式为1112233132aa M a a =元素23a 的代数余子式为23232323(1)A M M +=-=-四阶行列式1011025112331x ---中元素x 的代数余子式为3232111(1)0515001A +-=--= 二、行列式按行（列）展开定理 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即证 （1）元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;此时 11212221200n n n nna a a a D a a a =1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）111110j n ij n njnna a a a D a a a = 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行; 将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地1122j j j j nj nj D a A a A a A =++同理有.推论 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即 证 考虑辅助行列式1122).t j t j t nj nt a A a A a A j t =++≠按第列展（该行列式中有两列对应元素相等.而10D =，所以1122)0j t j t nj nt a A a A a A j t ++≠=（.关于代数余子式的重要性质在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n 阶行列式换成n 个（n －1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的. 三、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.计算行列式常用方法：化零，展开.例4: 计算四阶行列式123410123110125D =---.解: 31412122210031461217c c c c D-------=()22122211146217+=⨯------按第行展()()122(1)111121146217r r ÷÷--⨯⨯---=1112146217=--21311002135239c c c c ----=()113521139+=⨯⨯---按第1行展3522439==---.例5 已知4阶行列式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.304222207001111=---3407222111=--34014111002=342811=28=-. 例6: 计算n 阶行列式 解：11111212111(1)nn n D a A a A a A =++按第列展1(1)n n n x y +=+-.1110000200(1)(1)!00200001n n nn n n ++=-=---.例7: 计算四阶行列式4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.解: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a b D a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-, 对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得22[()()]a b a b D a b a b a b a b+-=+---+4222a b =.例8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde )12111112111()(2)nn i j j i nn n n nx x x D x x n x x x ≤<≤---==-≥∏,其中1()i j j i nx x ≤<≤-∏表示所有可能的())i j x x j i -<（的乘积. 证: (用数学归纳法)2n =时,2211211,D x x x x ==-结论正确; 假设对n -11n -范得蒙行列式结论成立，以下考虑n 阶情形.112()nii x x ==-∏按第列展提取公因子2322223111nn n n nx x x x x x ---1()i j j i nx x ≤<≤=-∏.例9 用范德蒙行列式计算4阶行列式解 ：对照范德蒙行列式，此处12344,3,7,5x x x x ====- 所以有(34)(74)(54)(73)(53)(57)10368 =----⋅---⋅--=. 第三环节：课堂练习练习:已知4阶行列式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.iA i=的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.它是D中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有。
线性代数第二章2-2向量及其线性运算
代数形象：向 量 的 坐 标 表 示 式
a a1 a2
an
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几 何 形 象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
系
代 数 形 象： 向量空间中的平面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
解
四、向量空间 1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足
①对加法封闭
if V , V V ; if V , R V . ②对数乘封闭 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）．
例1 全体ｎ维向量所组成的集合是一个向量空间, 记作 ：
第二节 向量及其线性运算
１、引入 确定小鸟的飞行状态， 需要以下若干个参数： 小鸟身体的质量ｍ 小鸟身体的仰角ψ 鸟翼的转角ψ 鸟翼的振动频率ｔ 小鸟身体的水平转角θ 小鸟重心在空间的位置参数 P ( x , y , z ) 还有… 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组 m t x y z
i 1,2,
, n
5、负向量： (a1, a2 ,
, an ), (a1, a2 , , an )
二、向量的运算 1、加法 a1
a2 an , b1 a2 b2 b2 bn ,
规定 a1 b1
an bn an bn
所以 V2不是一个向量空间.
例3
V3 x x1
有
k R,
V4 x x1
判别下列集合是否为向量空间.
线性代数 第四章 第2节
★矩阵、线性方程组的向量表示 ★向量组的线性相关与线性无关 ★向量组的等价性
本节中向量组的线性相关性与第三节中向量组的秩 的概念是本章的重点和难点。同学们必须熟练且准确地 掌握。通过理清“矩阵”，“向量组”和“线性方程组”的密 切关系可以更好地理解概念和解决问题。
下页 关闭
矩阵的向量表示
定义3 设有两个 n 维向量组
A : a1, a2 , , am; B : b1, b2 , , bs .
如果向量组 A 中每一个向量都能由 B 组中的向量
线性表示，则称向量组 A 能由向量组 B 线性表示。
如果向量组 A 与 B 能相互线性表示，则称向量组 A 与 B 等价。
由上章定理2，可得
定理2 向量组 a1 , a2 , 条件是它所构成的矩阵A
, am (a1 ,
线性相关的充分必要
a2 , , am ) 的秩小于
向量的个数 m ；向量组线性无关的充分必要条件是 R（A）= m。
上页 下页 返回
1 0
0
例4
n 维向量
4,
试讨论向量组
a1
,
a2
,a13及向量 组5
a1
,
a2的 7线 性相关性。
解法一 (同例4解法一的方法)
上页 下页 返回
5
1
a1
,
a2
,
a3
1
0 2
2 r2 r1 1 4 ~ 0
0 2
2 r3 2 r2 1 2 ~ 0
.
上页 下页 返回
线性方程组的向量表示
1-2线性代数
n( n 1 ) , = 2 时为偶排列； 当 n = 4k ,4k + 1 时为偶排列；
t = ( n 1) + ( n 2 ) + L + 2 + 1
时为奇排列. 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列
(4) (2k )1(2k 1)2(2k 2)3(2k 3)L (k + 1)k
于是排列32514的逆序数为 t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5. 的逆序数为 于是排列
计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性
(1)
4132
(2) 3712456
（2） ）
解（1）4 1 3 2 ）
3 7 1 2 4 5 6
0 0 2 2 1 1 1
第二节 全排列及其逆序数
一、排列
定义 由自然数 2, , n 组成的不重复的每一 由自然数1, 种有确定次序的排列, 称为一个n 种有确定次序的排列 称为一个 阶排列 (简称排列 简称排列). 简称排列 都是4 例如 1234 和4312都是 阶排列 都是 阶排列, 24315是一个 阶排列 是一个5 阶排列. 是一个
t = 0 +0 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1
0 1 1 2
t = 0+1+1+ 2 = 4
此排列为偶排列 此排列为偶排列. 偶排列
=7
此排列为奇排列 此排列为奇排列. 奇排列
(3)
解
n(n 1)(n 2 )L 321
n 6444 74444 4 1 8 n(n 1)2 2 )L 321 1 4(n443 44 4 (n 2)
线性代数第四章第二节
第 二 节 向量组的线性相关性
主要内容
线性相关与线性无关的定义 向量组线性相关的充要条件 向量组的线性相关性的判定定理
一 ,线性相关与线性无关的定义
1. 定义 定义 4 给定向量组 A: a1 , a2 , , am , 如果存
在不全为零的实数 k1 , k2 , , km , 使 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0, 则称向量组 A 是线性相关的, 否则称它线性无
关.
2. 两个特殊向量组线性相关的充要条件
1) 由一个向量构成的向量组 A: a 线性相关 的充要条件是 a = 0. 2) 由两个向量构成的向量组 A : a1 , a2 线性 相关的充要条件是 a1 , a2 的分量对应成比例. 如 的分量对应成比例.
向量组 A:
1 3 a1 = 1 , a 2 = 3 , 2 6
图 4.3
从几何上讲, 从几何上讲 若 4 维向量组所对应的平面组 中至少有三个平面共线, 中至少有三个平面共线 即至少有三个平面交于 同一直线则该向量组一定线性相关. 同一直线则该向量组一定线性相关
二 ,向量组线性相关的充要条件
定理 向量组线性相关的充要条件是该向量
组中至少有一个向量可由其余向量线性表示. 组中至少有一个向量可由其余向量线性表示
图 4.1
(2) 由三个 3 维向量构成的向量组线性相关的 几何意义是这三个向量共面. 几何意义是这三个向量共面. 如给定平面 π : x+y+z 上取三点: =3. 在 π 上取三点 M1(1,1,1) , M2(2,0,1) , M3(0,2,1) , 作三个向量: 作三个向量 z R3 M3 O M1 M2 x 3 3
线性代数 第三章 第2节
1 −2 0
5 2 0
1 − 1 − 1 3 1 − 1 − 2 0
故R（A）= 3 。 （ ）
返回
再求A 的一个最高阶非零子式。 再求 的一个最高阶非零子式。 因R（A）= 3 ，知A 的最高阶非零子式为 3 阶， （ ）
记 A = ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ), 由A 的行阶梯形矩阵可 知，在矩阵( a 1 , a 2 , a 3 ) 或 ( a 1 , a 2 , a 4 )或 ( a 1 , a 2 , a 5 )中可
上页 下页 返回
1 4 −2 2 −2 1 的秩。 例2 求矩阵 A = 的秩。 −1 8 −7 2 14 − 13 2 − 2 r2 − 4 r1 1 1 2 − 2 r1 ↔ r2 r3 + r1 0 − 10 9 1 4 −2 解 A ~ ~ −1 8 −7 0 10 − 9 r − 2r 2 14 − 13 4 1 0 10 − 9 r3 + r2 1 2 − 2 r4 + r2 0 − 10 9 可见R（ ） 可见 （B）= 2 ， ~ = B, 所以R（ ） 所以 （A）= 2 。 0 0 0 r4 − 2 r1 0 0 0 上页 下页 返回
上页 下页 返回
从本例可知，由矩阵 的秩的定义求秩 从本例可知，由矩阵A 的秩的定义求秩，关键在 的子式的最高阶数。 于找 A 中不等于 0 的子式的最高阶数。 一般当行数与列数都较高时， 一般当行数与列数都较高时，按定义求秩是很麻 烦的。 烦的。 对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的 对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的 行数。 行数。 因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩 两个等价的矩阵的秩是否相等呢？ 阵，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？
华中科技大学线性代数第二节行列式的性质
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
命题得证
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
n
（列）
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
n
n
D a1 j A1 j a2 j A2 j
因此
anj Anj akj Akj
k 1
n i 1
k 1
n
k 1
nD
j 1
T
n
T a A kj kj nD
n
k 1
a
k 1
n
ik
Aik
nD nD
即结论成立
注：行列式中的行与列的地位是平等的。（对行 成立的性质，同样对列成立）
例6
计算范德蒙德(Vander monde)行列式
1 x1 2 Dn x1
n 1 x1
1 x2 2 x2
n 1 x2
1 xn 2 xn
n 1 xn
解
将前一行乘以 x加到下一行上 1
1 1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
n 2 x2 ( x2 x1 )
（从下往上）
1 xn x1 xn ( xn x1 )
设原n阶行列式为D, D1为交换D的第i行与第j行之后的 行列式，由于n>2，故除了交换的第i行与第j行，还有 一个第k行，分别对D1和D按第k行展开：
D1 1 D 1
k 1
ak1 M k1 1 ak1 M k1 1
线性代数第二章矩阵及其运算第二节矩阵的运算
p
则称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积, 记作
C = AB.
注意:
只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第
二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.
例 利用下列模型计算两个矩阵的乘积.
矩阵乘法模型之：A2 2 B2 2
23 2 1 -9 15 -197
矩阵乘积模型之: A2 3 B3 3
例设 例 设
A A0 0
1 1
0
0 1 , 1 ,
这一步很关键 也很巧妙!
计算 A2, A3, An (n>3). 计算 A2, A3, An (n>3).
解 设
A = E + B,
0 1 0 其中 E 为三阶单位矩阵, B 0 0 1 , 0 0 0
设 设 2 5 3 2 2 5 3 2 9 5 1 0 , B 4 5 , C 9 5 . A A 1 0 , B 4 5 , C 4 3. 4 3 3 7 3 9 3 7 3 9 (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求 (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求
的乘积 AB 及 BA.
解 由定义有
法模型之：A2 2 24 2 2 B2 AB
2 4
4 16 1 2 3 6 8 1 -9 15 -197 0 4 2 4 2 -4 BA 5 -13 -7 0 3 6 1 2
清 空
32 , 16 0 . 0
线性代数课件2-2矩阵的运算
一 矩阵加法 二 数乘矩阵 三 矩阵乘法 四 典型例题
五、小结 思考题
2021/2/2
1
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
A 与 B 的和记作A B，规定为
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12b1 a22b2 a32b3
b1 a13b1 a23b2 a33b3） b2
b3
a11b12 a22b22 a33b32 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 .
2021/2/2
22
(4). 已知：
x1 Xx2 ,
x331
Y yy1221,
Zzz1221,
1
22 1
2
3
解
1
2 2
1
2 1
2 2 1
2 2 2 2 2 2
4 4.
3
3 1 3 2 3 6
2021/2/2
20
(2) 将非齐次线性方程组（2）表示成矩阵乘积的形式
x1
X
x2
,
xn n1
b1
b
b2
,
bm m1
A (aij ) mn
则方程组（1）写成 AX b
A3 1 5 , B6 7
0 2 132
1 022
且知 Y AX , Z BY 求X 与 Z 的关系。
2021/2/2
23
解： Z BY BAX BA6 7 3 1 5 18 8 23 1 0220 2 123 3 1 5 23
zz21
18x1 8x2 23x3 3x1 x2 5x3
线性代数第二章 矩阵代数 S2矩阵的代数运算
(1) h( A) f ( A) g( A), s( A) f ( A)g( A).
(2) f ( A)g( A) g( A) f ( A).
24
4、n阶矩阵乘积的行列式
方阵对应着行列式，于是有如下定理：
定理：若 A，B是n阶方阵，则 |AB| = |A| |B|.
(此定理可以推广到有限个同阶矩阵的情况)
或 Al .
la11
lA
Al
la21
la12
la22
la1n
la2n
.
lam1 lam1 lamn
特别的，lE 称为数量矩阵.
6
2、线性运算的运算性质
矩阵的加（减）法和数乘统称为矩阵的线性 运算，这些运算都归结为数（元）的加法与乘法.
运算性质
设A, B为同型矩阵，l, m为数，则 ➢ l(A + B) = l A + l B ➢ (l + m)A = l A+ m A ➢ l (m A) = (lm) A
0 bn2
bnn
29
a11 a12 a21 a22
A 0 an1 an2 E B 1 0
0 1
a1n c11 c12
c1n
a2n
c21
Cc22
c2n
ann cn1 cn2
cnn
0 00
0
0 00
0
00
1 0 0
0
AC
E 0
再利用拉普拉斯定 理按后n行展开
E (1)[(n1)(n2) 2n](12 n) C
(2) 由AB＝O不能得出A、B至少有一个零矩阵.
如前面的A, B矩阵
A 1 1 ≠O, B 1 1 ≠ O,
线性代数第二节方阵
3.对角方阵
除主对角线上的元素不全为零，其 余元素都为零的n阶方阵
a1 a2 an
称为对角方阵.
4.上（下）三角方阵 主对角线下（上）方的元素都为零 的n阶方阵称为上(下）三角形矩阵：
a 11 0 0 a 12 a 22 0 a1 n a2n a nn
第三章
第二节
矩阵
方阵
一. 方阵A的n次乘幂 定义7：设A是n阶方阵，k为自然数，
则k个A的连乘积 A A
A
k个 k
称为A的k次幂，记为 A .
即
A AA
k
k个
A
运算律：若k,l都是自然数，则
2 ) ( A ) A . ( 1 )AAA ； (
k l
kl kl
k l
k k 注： (A B )k AB
|A || B | 2 12 24
而
1 1 0 1 1 2 2 1 2 AB 2 1 0 5 2 1 3 2 1 3 2 5 1 2 5 10 1 1
2 | AB | 5
1 2 2 1 24
2 5 10
因此 |AB|=|A||B|
定义 9 : 设 A 为 n 阶方阵 , 若 A 0 , 则称 A 为非奇异方 ;
若 A0 ,则称 A 为奇异方阵 .
T
例如：设
1 0 1 A 2 1 0 3 2 5
1 0 1 则 | A | 2 1 0 2 3 2 5
1 2 1 | B | 3 2 1 12 1 1 1
1 2 1 B 3 2 1 1 1 1
线性代数第二节
能得出其任一解的通解式中含有n-r(A)个任意常数.
证明 对m证 明n的系对数m 矩 n阵的A系,可数建矩立阵标A准,可形建分立解标准
A=P从N定Q,理其看A中=出PP,NQ，Q分齐,其别次中是方Pm程,Q阶组分、若别n有阶是非的m阶平满、凡秩n解矩阶，阵的则,满于必秩是矩阵 方有程无组限A多x=个方0,解程可.组写A成x=P0N,Q可x写=0成,若PN记QQx=x=0 ,y若(y记是与Qxx=为y(y是
之具有相同系数矩阵的方程组 Ax b 或者
Ax 0 为其对应齐次方程组(也称为导出组).
与齐次方程组不同，非齐次方程组不一定有解，
而有如下重要的相容性定理.
定理4 对非齐次方程组 Ax b 的相容性，有
如下结论： (1) 当 r( A) r( A) 时，方程组相容，即有解.
其实，若 r(A) r(A) n, 则方程组 Ax b 有惟
带有n-r(A)个任意常数.
(2) 当 r(A) r( A) 时，方程组不相容，即无解.
证明 对 A证施明以对将AA变施成以矩将阵AN变1的成行矩初阵等N1变的换行，初等
有
有
A ~ [N1 ]A ~ [N1 ]
例5 对方程组
kx1 x2 x3 5
3x1 2x2 kx34 18 5k
第二节 线性代数方程组的解 线性代数方程组的解
一个存在解的线性代数方程组称为是相容的, 否则就是不相容或矛盾方程组. 利用矩阵的概念可 理性地描述一般齐次[线性]方程组的通解以及非其 次方程组相容的条件及相容显性代数方程组解的结 构.
4.2.1 齐次方程组
m n的齐次线性代数方程组为
CH4 H2 CO CO2 H2O C C2H6
线性代数 第二章 N维向量 第2节
有 =-41 +52 3
所以是1 , 2 , 3的线性组合。
二、向量组的线性相关与线性无关
定义9
如果对给定向量组A： 1,2 , s ,
存在不全为零的实数 k1, k2 ,ks 使得
k11 k22 kss 0 (1) 则称向量组1,2 , s 线性相关；
即
2kk1 14kk22
k3 14k3
0
0
3k1
k2
7k3
0
11 1
因为其系数行列式 D= 2 4 14 0
31 7
于是方程组有非零解，即有不全为零的数使(*)成立
所以1 ,2 ,3 , 线性相关。
定理 n个n维向量 1 ,2 , n 线性相关的充要
A 0
a1i
其中
i
a 2i
（2） 若向量组 1 ,2 , m , 线性相关，
则向量组 1,2 , m 也线性相关。
证明 （1）反证 假设 1, 2 , m , 线性相关，
则存在不全为零的数 k1 , k2 ,km 使得
k11 k22 kmm 0
即
a11
a21
am1 0
k1
a12
a1r 1
k2
所以由定理知：
m 可由 2, 3, m1 线性表示，即 m k22 k33 km1m1
也即 m 0 1 k22 k33 km1m1 因此 m 可由 1, 2, m1 线性表示。
证（2）用反证法 假设 1 可由 2 , 3, m
线性表示，即
1 22 33 m1 m1 mm
向量组 B 线性相关，这与已知矛盾。 于是向量组 A 线性无关。
线性代数(第二版)第二节二次型的标准形与规范形
2(
x2
x3
)
2
3
x
2 2
x
2 3
8
x2
x3
2(
x1
x2
x3
)
2
x
2 2
x
2 3
4
x
2
x3
例 3 用配方法化二次型
f( x 1 ,x 2 ,x 3 ) 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
为标准形.
例 3 用配方法化二次型
f (x1, x2 , x3) 2 x1x2 2 x1x3 6 x2 x3 为标准形.
化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵.
例 2 用配方法把三元二次型
f
( x1 ,
x2,
x3)
2
x12
3
x
2 2
x
2 3
4 x1x2 4 x1x3 8 x2 x3
化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵.
解 先 按 x12 及 含 有 x1 的 混 合 项 配 成 完 全 平 方
f ( x1, x2 , x3 ) 2( x12 2 x1( x2 x3 ) ( x2 x3 )2 )
Step1 求出二次型矩阵 A 的全部特征值
1 , 2 , … , n ;
Step2 求出正交矩阵 P，使
PTAP = diag(1 , 2 , … , n) ;
Step3 作正交线性替换 X = PY ，其中 Y = (x1 , x2 , … , xn )T Rn ，则二次型 f ( x1 , x2 , … ,
首先构造
2n
n
矩阵
A E
,
对 A 每施以一次行
线性代数 第二章 第二节 行列式的主要性质
D = ∑ ( 1) a p11a p2 2 a pn n .
τ
12:29
故
D = D′. 证毕
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 说明 行列式中行与列具有同等的地位 因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 性质2 互换行列式的两行( ),行列式变号 行列式变号, 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号,即
12:29
13
3 课本例题p14 课本例题 例题1 例题 计算行列式 = 5 2
1 1 0
1 4 1 2
1 2 3 4 1 1 3
2 6 1 7 2 1 r2 r3
解:
1 c1 c2 1 0 5 1 3 r3 + 4r2 0 2 3 5 2 1 1 1 1 3 1 3 2 1 1 r4 + 5r1 0 3 2 1
推论1 把行列式的某一行( 推论1 把行列式的某一行(列)的所有元素同乘 以数k 等于用数k乘以这个行列式. 以数k,等于用数k乘以这个行列式.
12:29 8
性质 4 如果行 列式某 行 ( 列 ) 的所有 元素都 是两数 之 则该行列式为两行列式之和, 和,则该行列式为两行列式之和,即
a11 ai1 + bi1 a n1 a12 ai 2 + bi 2 an2 a1n ain + bin = a nn
p1 p2 p n
D=
(1)τ a p11a p2 2 a pn n ∑
p1 p2 p n
又因为行列式D可表示为 又因为行列式 可表示为
b11 b12 b1n 1n b21 b22 b2 n D′ = , bn1 bn 2 bnn
表述之二: 表述之二 行列式与它的转置行列式相等; 行列式与它的转置行列式相等 表述之三: 表述之三 3 行列互换,其值不变 行列互换 其值不变
线性代数 矩阵的基本运算
ai1
⋮
am1
a12 ⋮
ai2 ⋮
am2
⋯ ⋯ ⋯
a1n ⋮
ain ⋮
amn
bb1211 ⋮ bn1
⋯ b1j ⋯ b2 j
⋮ ⋯ bnj
⋯ ⋯
b1s b2s ⋮
=
c11 ⋮ ci1
⋯ bns
⋮ cm1
⋯ c1j ⋮
⋯ cij ⋮
⋯ cmj
⋯
c1s ⋮
⋯
cis
⋮
3 2
=
(1
×
3
+
2
×
2
+
3
×
1)
= (10).
1
例 C = − 2
1
4 2 − 22×2 − 3
4 = − 16 − 32 − 62×2 8 16 2 × 2
2
C2
=
2 3
(1
2) =
2 ×1 2×1 3 ×1
2 × 2 2
2×2 3×2
=
2 3
4 4. 6
例设
A
=
例2（向量的线性变换）
y a′ 在同的坐标平中，向量 a 绕时绕绕绕θ .
确定 a′ 和 a 的坐标的的的关平 .
θα a
O
x
a
=
x y
,
a′
=
x′ y′
.
r = x2 + y2 = x′2 + y′2 . x = r cosα , y = r sinα . x′ = r cos(α +θ ) = r cosα cosθ − r sin α sinθ
= x cosθ − y sinθ .
线性代数-初等矩阵
思考题
1 0 0 将矩阵A = 2 0 − 1表示成有限个初等方阵
0 − 1 0 的乘积.
思考题解答
解 A可以看成是由3阶单位矩阵 E 经4次初等变换,
r2 ↔ r3 , c1 + 2c3 , (− 1)r3 , (− 1)c3
而得. 而这4次初等变换所对应的初等方阵为:
阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于
在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
初等变换初等矩阵源自初等逆变换初等逆矩阵
变换 ri ↔ rj 的逆变换是其本身，
则E(i, j)−1 = E(i, j) ；
变换
ri
×
k
的逆变换为
ri
×
1 k
，
则 E(i(k ))−1 = E(i( 1 )); k
变换 ri + krj 的逆变换为 ri + (−k)rj，
则 E(ij(k= ))−1 E(ij(−k)) .
定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等 方阵 P1, P2 ,, Pl ,使A = P1P2 Pl .
证 A ~ E, 故 E 经有限次初等变换可变 A,
即存在有限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl , 使
AEn
(i,
j)
=
a21
a2 j
a2i
a2n
am1 amj ami amn
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换 ： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调 (ci ↔ c j ).
2、以数 k ≠ 0 乘某行或某列
以数k ≠ 0乘单位矩阵的第 i行(ri × k)，得初等 矩阵E (i (k )).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A 或 det A积的．代这数样余, 子计式算. n 阶行列式就要作 n！× (n－１) 次乘法． 当 n 增加时， n！的增长是非常快的， 例如18！≈６.４ ×1015 ． 假定计算机作一次乘法
列式值的定义写成 运算的时间要10 －6 秒， 即百万分之一秒，则通过
1
x1
Vn
x12
x n1 1
1 1
x2
xn
x
2 2
xn2
x n1 2
x n1 n
试计算 n 阶范德蒙德德行列式 Vn ＝ det Vn ．
解 ： 显然可以看出
1
c abc 3a 2b c 6a 3b c
d abcd 4a 3b 2c d 10a 6b 3c d
解
在行列式计算中，建立递推关系再行求解 ， 也是一种有用的技巧．当然，发现递推关系需要 经验，也可能要费一番试探的功夫．
二、递推法
例 8 对 2n 阶矩阵
a
O
b
a
b
A2n O
O
c
d
c
O
d
试计算 A2n ＝ det A2n ．
解 ：可以看出
a 0 0 b
例 9 对 n 阶矩阵
x a a
An
ห้องสมุดไป่ตู้
a
x
a
a a x
试计算 An ＝ det An ．
解 ：容易看出，行列式 An与 例 6
有类似特点 , 故可仿照那里的做法，
例 10 给出 n 阶范德蒙德（Vandermonde）矩阵
n
a1k A1反k 复使用(3-3´) 并用这种计算机求一个18 阶行 1 列式的值需要的时间 ( 以每天工作８小时计 ) 竟多
对 A 或 d达et A20的0 代年数！余这子就式说.明为一般地解决行列式值的计
算问题, 必须利用行列式性质发展有效的计算方法，
对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化 手续．
第二节 行列式值的计算
一、初等变换求行列式值 用第３类初等变换把行列式变成等值的三角形行列
式．
例5 若
1 3 7
A
2
4 3
计算解detA
.
3
7
2
例 6 计算 特点：每行（列）元素之和相同
3111 1311 D 1131 1113
解
例 7 计算
a a D a a
b ab 2a b 3a b
这样第，二可节将 n 阶行行列列式式值的值定的义计写成算
n
式值的定义写对成于一d个e阶t A数较 高的a行1k列A式1k, 定义式(3-3´) 并不是一个可行的求值k 方1 法 ．诚如已指出的，反
a1k A1k 复运其用中(3A-13k´是), 元一a个1k n对阶A行或列d式et被A归的结代为数n余！子项式的.