上海市2020-2021学年青浦区高三数学一模试卷-无答案
上海市青浦区2020届高三上学期期终学业质量调研(一模)数学试题 Word版含解析
数学试题2019.12 1．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则∁U（A∪B）＝．2．若复数z＝i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的模为．3．直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小是．4．我国古代庄周所著的《庄子•天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为a n，则a n＝．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），则sin2α＝．6．已知正四棱柱底面边长为2，体积为32，则此四棱柱的表面积为．7．设x，y∈R+，若4x1．则的最大值为．8．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），则a n＝．9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种．10．已知对于任意给定的正实数k，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则m＝．11．如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C、D在函数f（x），x＞0的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是．12．已知点P在双曲线1上，点A满足（t﹣1）（t∈R），且•60，（0，1），则||的最大值为．13．使得（3x）n（n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．714．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线15．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则的值为（）A．B．C．2p D．16．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，0，给出下列结论：①0＜q＜1；②a2019a2021﹣1＞0；③T2019是数列{T n}中的最大项；④使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A．①②B．①③C．①③④D．①②③④17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，E是PC 的中点，已知AB＝2，AD＝2，P A＝2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．18．（14分）已知向量（cosωx，sinωx），（cosωx，cosωx）其中ω＞0，记f（x）•．（1）若函数f（x）的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（），且a＝4，b+c＝5．求△ABC的面积．19．（14分）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n个月的利润是f（n）（单位：万元）．记第n个月的当月利润率为g（n），例g（3）．（1）求第n个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．20．（16分）已知焦点在x轴上的椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C经过点（3，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线l1，直线l1上存在M、N两点满足OM⊥ON，求△OMN面积的最小值．（3）若与x轴不垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于定点M，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为定值，求点M的坐标．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]．且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2．存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．（1）已知函数f（x），判断f（x）是否具有性质P（），并说明理由；（2）求证：任取m∈（0，2）．函数f（x）＝（x﹣1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）；（3）已知函数f（x）＝sinπx，x∈[0，2]，若f（x）具有性质P（m），求m的取值范围．1．∵集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}∴A∪B＝{1，3，9}∴∁U（A∪B）＝{5}，答案{5}．2．复数z＝i（3﹣2i）＝3i+2，则|z|．答案：13．3．∵直线l1：x﹣1＝0的倾斜角为，直线l2：x﹣y＝0的斜率为．倾斜角为，故直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小为，答案：π6．4．依题意，第1天“日取其半”后a1；第2天“日取其半”后a2；第3天“日取其半”后a3；、……∴第n天“日取其半”后a n，答案：．5．角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），所以，，所以．答案：6．设正四棱柱的高为h，由底面边长为a＝2，体积为V＝32，则V＝a2h，即h4；所以此四棱柱的表面积为：S＝S侧面积+2S底面积＝4×4×22×22＝3216．答案：16+322．7．∵4x1，x，y∈R+，∴，即，当且仅当“”时取等号，答案：116．8．数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），可得a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…a n﹣a n﹣1，累加可得：a n＝1，则a n＝1．答案：54．答案．9．根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C31＝3种情况，②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有3×3×3＝27种不同的选法，则有3×27＝81种不同的分配方法；答案：8110．由题意可知，k＞0，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则f（m+x）为偶函数，关于y轴对称，故f（m﹣x）＝f（m+x）恒成立，∴2m﹣x+k•2﹣（m﹣x）＝2m+x+k•2﹣（m+x），∵对于任意x∈R成立，故2m﹣k•2﹣m＝0，∴m答案：11．由y＝f（x）=π1+π2，当且仅当x＝1时取等号，得x；又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆半径为y，高为h＝x2﹣x1，且f（x1），f（x2），所以，即（x2﹣x1）（x2•x1﹣1）＝0，所以x2•x1＝1，所以h2＝（x2+x1）2﹣4x2•x1＝（x1）2﹣44，所以h，所以V圆柱＝πy2•h＝πyπ•π•（）π，当且仅当y时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．答案：．12．∵（t﹣1），∴，则，∴，设A（x A，y A），P（x P，y P），∴（x A，y A）＝t（x P，y P），则，即，将点（）代入双曲线中得：，∴①，∵•60，∴||•||＝|t|•60…②，由①②得60＝|t|•|t|•，∴|y A|≤8，∴||＝|y A|≤8．则||的最大值为8．答案：8．13．（3x）n的展开式的通项公式为：T r+1，令n，可得n，∴当r＝2时，n取得最小值为5，答案：B．14．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交或平行，故A错误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，由n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n，故C正确；若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误．答案：C．15．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k （x），所以，整理得，设点A（x1，y1），B （x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y（x），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则．答案：D．16．∵a1＞1，a2019a2020＞1，0，∴a2019＞1，a2020＜1．∴0＜q＜1，故①正确；a2019a20211，∴a2019a2021﹣1＜0，故②不正确；∵a2020＜1，∴T2019是数列{T n}中的最大项，故③正确；T4039＝a1a2•…•a4038•a40391，T4038＝a1a2•…•a4037•a40381，∴使T n＞1成立的最大自然数等于4038，故④不正确．∴正确结论的序号是①③．答案：B．17．（1）∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥P A．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而P A、AD是平面P AD的交线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△P AD中，AD＝2，P A＝2，∴PD2．∴三角形PCD的面积S PD×DC＝2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴（1，，1），（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ，∴θ，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△P AC中，PC4．∴AE PC＝2，∵在△AEF中，EF BC，AF PB∴AF2+EF2＝AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．18．（1），∴，∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω＝1；（2）由（1）得，∵，∴，由0＜A＜π得，，∴，解得，由余弦定理知：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，且b+c＝5，∴16＝25﹣3bc，∴bc＝3，∴．19．（1）依题意得f（1）＝f（2）＝f（3）＝…＝f（9）＝f（10）＝10，当n＝1时，g（1），当1＜n≤10，n∈N*时，f（1）＝f（2）＝…＝f（n﹣1）＝10，则g（n），n＝1也符合上式，故当1≤n≤10，n∈N*，g（n），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），所以第n个月的当月利润率为g（n）；（2）当1≤n≤10，n∈N*，g（n）是减函数，此时g（n）的最大值为g（1），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），g（n）在11≤n≤33，n∈N*单调递增，g（n）在34≤n≤60，n∈N*单调递减，当且仅当n，即n时，g（n）有最大值，又n∈N*，g（33），g（34），因为，所以当n＝33时，g（n）有最大值，即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为．20．（1）设椭圆的方程为，椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，所以2a＝10，a＝5，又椭圆C经过点（3，），代入椭圆方程，求得b＝4，所以椭圆的方程为：；（2）设M（3，y M），N（3，y N），F（3，0），由OM⊥ON，所以，，故△OMN面积的最小值为9；（3）设直线l的方程为：y＝kx+m，则点M（），联立，消去y得（25k2+16）x2+50kmx+25m2﹣400＝0，，，所以|AB|，则AB的中点P的坐标为（），又PN⊥AB，得，则直线PN的方程为：y m，令y＝0，得N点的坐标为（），则|MN|，所以，当且仅当时，比值为定值，此时点M（），为M（±3，0），故M（﹣3，0）或（3，0）．21．（1）f（x）具有性质P（），设x0∈[0，]，令f（x0）＝f（x0），则（x0﹣1）2＝（x0）2，解得x0，又∈[0，]，所以f（x）具有性质P（）；（2）任取x0∈[0，2﹣m]，令f（x0）＝f（x0+m），则（x0﹣1）2＝（x0+m﹣1）2，因为m≠0，解得x01，又0＜m＜2，所以01＜1，当0＜m＜2，x01时，（2﹣m）﹣x0＝（2﹣m）﹣（1）＝11＞0，即01＜2﹣m，即任取实数m∈（0，2），f（x）都具有性质P（m）；（3）若m∈（0，1]，取x0，则0且2﹣m0，故x0∈[0，2﹣m]，又f（x0）＝sin（），f（x0+m）＝sin（）＝sin（）＝f（x0），所以f（x）具有性质P（m）；假设存在m∈（1，2）使得f（x）具有性质P（m），即存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f （x0+m），若x0＝0，则x0+m∈（1，2），f（x0）＝0，f（x0+m）＜0，f（x0）≠f（x0+m），若x0∈（0，2﹣m]，则x0+m∈（m，2]，进而x0∈（0，1），x0+m∈（1，2]，f（x0）＞0，f （x0+m）≤0，f（x0）＝f（x0+m），所以假设不成立，所以m∈（0，1]．。
2020年上海市青浦区高考数学一模试卷
15．过抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 的焦点作两条互相垂直的弦 AB 和 CD ，则 1 + 1 的 | AB | | CD |
ห้องสมุดไป่ตู้
值为（ ）
A． p 2
B． 2 p
C． 2 p
D． 1 2p
16．设等比数列{an}的公比为 q ，其前 n 项和之积为Tn ，并满足条件：a1 > 1, a2019a2020 > 1，
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参考答案
1.{5} ； 2. 13 ； 3. π ； 4. (1 )n ；
6
2
6. 16 + 32 2 ； 7. 1 ； 8. 5 ； 9. 81； 16 4
5. − 24 ； 25
10.
1 2
log2
k
；
11.； 12. 8 ；
13.B
14.C
15.D
16.B
17.（1） 2 3 ；（2） π ； 4
（1）已知函数 f (x) = 1− (x −1)2 ，判断 f (x) 是否具有性质 P( 1 ) ，并说明理由； 2
（2）求证：任取 m ∈ (0,2) ，函数 f (x) = (x −1)2 ， x ∈[0,2] 具有性质 P(m) ； （3）已知函数 f (x) = sin πx, x ∈[0,2]，若 f (x) 具有性质 P(m) ，求 m 的取值范围.
a2019 a2020
−1 −1
<
0
，给出下列结论：①
0
<
q
< 1；②
a a 2019 2020
【高三】上海市青浦区届高三一模数学试卷(word版,含解析)
【高三】上海市青浦区届高三一模数学试卷（word版，含解析）试卷说明：青浦区高考第一次数学模拟考试（150分，120分钟），学生注：1。
本文由试卷和答题两部分组成。
2如果试卷上的答案无效，你必须按照答题纸上指定位置的要求回答问题。
你可以用一个合格的计算器来回答问题1、填空（56分）这个问题有14个问题。
考生应直接在答题纸上相应编号的空格中填写结果。
如果每个空间填充正确，将给出4个点，否则将在直角坐标系中给出零点，与点（1,0）和直线距离相同的点的轨迹方程为。
[analytic]（水平理解/），其轨迹为抛物线，其中轨迹方程给出完整的集合u=R，set，和R，实数a的值范围为。
【分析】（探索性理解水平/集合的并补运算、集合的描述方法）如果所有项都是实数，则很容易获得【分析】（探究性理解水平/等比序列的中间项）：如果点已知，向量在方向上的投影为。
【分析】（对水平/平面向量的探索性理解）根据问题的意思，让和之间的角度为，，并知道方向上的投影，然后。
【分析】（探索性理解水平/归纳公式），然后，，因此已知圆锥体底部圆的周长为4π，侧边与底部之间的角度为，则圆锥体的体积为。
[分析]（探索性地理解水平/圆锥体的体积）让底圆的半径为r，高度为h，侧边和底边之间的角度为，然后，和。
如果函数的逆区间是一个实数，那么函数的逆区间是一个单调的区间。
[分析]（解释性理解水平/极限的计算），因为，因此，其值范围是已知的，定义域R上的偶数函数f（x）是减法函数，不等式的解集为。
【分析】（探索性理解函数的级别/奇偶性和性质）是一个递增函数，因此不等式的解集是。
10（1月青浦）对于已知集合，从a的非空子集中取任意一个，集合中所有元素之和为奇数的概率为。
[分析]（探索性理解水平/）a中有5个元素，子集的数量为① 集合中有1个元素种类；② 种③ 元素种类；④ 元素种类；⑤ 一个因素，所以概率是：如果P点是开着的，那么[分析]（探索性理解水平/双曲线）从问题的意义上是已知的。
2020届上海市青浦区高三一模数学试题
【解析】由题意分别求出两条直线的倾斜角，即可得答案．
【详解】
直线
l1
:
x
1
0
的倾斜角为
2
，
直线 l2 :
3x y 0 的斜率为
3
，倾斜角为
3
，
∴直线 l1 : x 1 0 和直线 l2 :
3x y 0 的夹角大小为 ， 23 6
故答案为： ． 6
【点睛】
本题考查直线的倾斜角和斜率，考查运算求解能力，属于基础题.
中，
取 为棱 选项 错误；
，平面 为
，满足选项 中的条件，但是 ，
取 为棱 选项 错误；
，平面 为
，满足选项 中的条件，但是
，
取 为棱
，平面 为
，满足选项 中的条件，但是
，选项 错误； 本题选择 C 选项.
3．过抛物线 y2 2 px （ p 0 ）的焦点作两条相互垂直的弦 AB 和 CD ，则
2020 届上海市青浦区高三一模（期末）数学试题
一、单选题
1．使得
3x
x
1
x
n
n
N
的展开式中含有常数项的最小的
n
为(
)
A． 4
B． 5
C． 6
D． 7
【答案】B
【解析】二项式展开式的通项公式为 C（nr 3x）n-r
(
x
1 x
)r
，若展开式中有常数项，则
n-r- 3 r=0 ，解得 n= 5 r ，当 r 取 2 时，n 的最小值为 5，故选 B
8．我国古代庄周所著的《庄子 天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万
世不竭”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进
2020年上海市青浦区高考数学一模试卷试题及答案
2020年上海市青浦区高三高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 1．已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =ð ．2．若复数(32)(z i i i =-是虚数单位），则z 的模为 ．3．直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是 ．4．我国古代庄周所著的《庄子天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为n a ，则n a = ．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是3(5-，4)5，则sin 2α= ．6．已知正四棱柱底面边长为32，则此四棱柱的表面积为 ． 7．设x ，y R +∈，若141x y +=．则xy的最大值为 ． 8．已知数列{}n a 中，11a =，111(*)2n n n a a n N -+-=∈，则lim n n a →∞= ． 9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 种．10．已知对于任意给定的正实数k ，函数()22x x f x k -=+的图象都关于直线x m =成轴对称图形，则m = ．11．如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数2()1xf x x =+，0x >的图象上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 ．12．已知点P 在双曲线221916x y -=上，点A 满足(1)()PA t OP t R =-∈，且60OA OP =，(0,1)OB =，则||OB OA 的最大值为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4題，每題有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑．选对得5分，否则一律得零分 13．使得(3(*)n x n N +∈的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．714．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是( ) A ．若m αÜ，//n β，m ，n 是异面直线，则α，β相交 B ．若m α⊥，m β⊥，//n α，则//n β C ．若m αÜ，//n α，m ，n 共面于β，则//m n D ．若m α⊥，n β⊥，α，β不平行，则m ，n 为异面直线 15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则11||||AB CD +的值为( ) A ．2p B ．2pC ．2pD ．12p16．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2019202110a a ->；③2019T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为( ) A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④三.解答题（本大满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB =，AD =，2PA =，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．18．已知向量(3cos a x ω=，sin )x ω，(cos ,cos )b x x ωω=其中0ω>，记()f x a b =． （1）若函数()f x 的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若()2Af =，且4a =，5b c +=．求ABC ∆的面积．19．某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是10,110(*)(),1160(*)n n N f n n n n N ∈⎧=⎨∈⎩剟剟（单位：万元）．记第n 个月的当月利润率为()n g n n =第个月的利润截止到第个月投入的资金总和，例g （3）(3)50((1)(2))10%f f f =++⨯．（1）求第n 个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率． 20．（16分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点16(3,)5． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M 、N 两点满足OM ON ⊥，求OMN ∆面积的最小值．（3）若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，且||||AB MN 为定值，求点M 的坐标．21．（18分）已知函数()f x 的定义域为[0，2]．且()f x 的图象连续不间断，若函数()f x 满足：对于给定的实数m 且02m <<．存在0[0x ∈，2]m -，使得00()()f x f x m =+，则称()f x 具有性质()P m ．（1）已知函数()f x =，判断()f x 是否具有性质1()2P ，并说明理由；（2）求证：任取(0,2)m ∈．函数2()(1)f x x =-，[0x ∈，2]具有性质()P m ；（3）已知函数()sin f x x π=，[0x ∈，2]，若()f x 具有性质()P m ，求m 的取值范围．参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 1．已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =ð {5} ．解：集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9} {1AB ∴=，3，9} (){5}U AB ∴=ð，故答案为{5}．2．若复数(32)(z i i i =-是虚数单位），则z解：复数(32)32z i i i =-=+，则||z ==．．3．直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是 6．解：直线1:10l x -=的倾斜角为2π，直线20l y -=3π，故直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小为236πππ-=，故答案为：6π．4．我国古代庄周所著的《庄子天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为n a ，则n a = 1()2n ．解：依题意，第1天“日取其半”后112a =； 第2天“日取其半”后22111()222a =⨯=； 第3天“日取其半”后331111()2222a =⨯⨯=；、⋯⋯∴第n 天“日取其半”后1111()2222n n n a =⨯⨯⋯⋯⨯=个， 故答案为：1()2n ．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是3(5-，4)5，则sin 2α= 25．解：角α的终边与单位圆的交点坐标是3(5-，4)5，所以3cos 5α=-，4sin 5α=，所以3424sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯-⨯=-．故答案为：2425-6．已知正四棱柱底面边长为32，则此四棱柱的表面积为16+ ． 解：设正四棱柱的高为h，由底面边长为a =，体积为32V =， 则2V a h =，即4h ==；所以此四棱柱的表面积为：2S S S =+侧面积底面积442=⨯⨯+⨯16=+．故答案为：16+． 7．设x ，y R +∈，若141x y +=．则x y 的最大值为 16． 解：141x y+=，x ，y R +∈， ∴24x x x y +=，即2211144()81616x x x x y =-+=--+…，当且仅当“1,28x y ==”时取等号， 故答案为：116． 8．已知数列{}n a 中，11a =，111(*)2n n n a a n N -+-=∈，则lim n n a →∞ 4．解：数列{}n a 中，11a =，111(*)2n n n a a n N -+-=∈， 可得21312a a -=，32412a a -=，43512a a -=，1112n n n a a -+⋯-=， 累加可得：3451111112222n n a +=++++⋯+， 则3152lim 11412n n a →∞=+=-． 故答案为：54． 9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 81 种． 解：根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有133C =种情况， ②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A 、B 、C 三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有33327⨯⨯=种不同的选法， 则有32781⨯=种不同的分配方法； 故答案为：8110．已知对于任意给定的正实数k ，函数()22x x f x k -=+的图象都关于直线x m =成轴对称图形，则m = 212m log k = ．解：由题意可知，0k >，函数()22x x f x k -=+的图象都关于直线x m =成轴对称图形， 则()f m x +为偶函数，关于y 轴对称， 故()()f m x f m x -=+恒成立， ()()2222m x m x m x m x k k ---+-+∴+=+，对于任意x R ∈成立，故220m m k --=， 212m log k ∴=故答案为：212log k11．如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数2()1xf x x =+，0x >的图象上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是4．解：由211()112x y f x x x x ====++…，当且仅当1x =时取等号， 得11x x y+=； 又矩形绕x 轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A 点的坐标为1(x ，)y ，B 点的坐标为2(x ，)y ， 则圆柱的底面圆半径为y ，高为21h x x =-， 且1121()1x f x x =+，2222()1x f x x =+， 所以12221211x x x x =++， 即2121()(1)0x x x x --=， 所以211x x =，所以222212112111()4()44h x x x x x x y=+-=+-=-，所以h ==所以212V y h πππ=⋅==圆柱2214(14)1()224y y ππ+-=…，当且仅当y =时取等号， 故此矩形绕x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为4π．故答案为：4π．12．已知点P 在双曲线221916x y -=上，点A 满足(1)()PA t OP t R =-∈，且60OA OP =，(0,1)OB =，则||OB OA 的最大值为 8 ．解：(1)PA t OP tOP OP =-=-，∴OA OP tOP OP -=-，则OA tOP =，∴||||||OA t OP =， 设(A A x ，)A y ，(P P x ，)P y ， (A x ∴，)(A P y t x =，)P y ，则A P A P x tx y ty =⎧⎨=⎩，即A P AP x x ty y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将点(,)A A x y t t 代入双曲线中得：22221916A A x y t t -=，∴2229916A A y x t =+⋯①， 60OA OP =，222||||||||||()P P OA OP t OP t x y ∴==+2222||()60A A x y t t t=+=⋯②，由①②得2222222925251560||(9)||(9)9||||161616||2A A A A A y y y y t t t y t t t t =++=+=+…， ||8A y ∴…，||||8A OB OA y ∴=…．则||OB OA 的最大值为8． 故答案为：8．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4題，每題有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑．选对得5分，否则一律得零分 13．使得(3(*)n x n N +∈的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解：(3nx +的展开式的通项公式为：521(3)()3n r rn rr n rr r nnT C x C xx x---+==，令502r n -=，可得52r n =， ∴当2r =时，n 取得最小值为5，故选：B ．14．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是( )A ．若m αÜ，//n β，m ，n 是异面直线，则α，β相交B ．若m α⊥，m β⊥，//n α，则//n βC ．若m αÜ，//n α，m ，n 共面于β，则//m nD ．若m α⊥，n β⊥，α，β不平行，则m ，n 为异面直线解：若m αÜ，//n β，m ，n 是异面直线，则α，β相交或平行，故A 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，由//n α，则//n β或n β⊂，故B 错误； 若m αÜ，//n α，m ，n 共面于β，则//m n ，故C 正确；若m α⊥，n β⊥，α，β不平行，则m ，n 为异面直线或相交，故D 错误． 故选：C ．15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则11||||AB CD +的值为( ) A ．2p B ．2pC ．2pD ．12p解：抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(,0)2p，所以设经过焦点直线AB 的方程为()2py k x =-， 所以2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得22222(2)04k p k x k p p x -++=，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 所以2122(22)||k p AB x x p k +=++=，所以221||(22)k AB k p =+， 同理设经过焦点直线CD 的方程为1()2py x k =--，所以21()22p y x k y px⎧=--⎪⎨⎪=⎩，整理得222(2)04p x p k p x -++=， 所以：2||(2)CD p p k p =++，所以21||22CD p k p=+，则则2211(1)1||||2(1)2k AB CD p k p++==+． 故选：D ．16．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2019202110a a ->；③2019T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为( ) A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④解：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，20191a ∴>，20201a <．01q ∴<<，故①正确；22019202120201a a a =<，2019202110a a ∴-<，故②不正确；20201a <，2019T ∴是数列{}n T 中的最大项，故③正确；40394039124038403920201T a a a a a =⋯=<， 20194038124037403820192020()1T a a a a a a =⋯=>，∴使1n T >成立的最大自然数等于4038，故④不正确． ∴正确结论的序号是①③．故选：B ．三.解答题（本大满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB =，AD =，2PA =，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．解：（1）PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，CD PA ∴⊥．矩形ABCD 中，CD AD ⊥，而PA 、AD 是平面PAD 的交线． CD ∴⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，CD PD ∴⊥，三角形PCD 是以D 为直角顶点的直角三角形．Rt PAD ∆中，AD =，2PA =，PD ∴==．∴三角形PCD 的面积12S PD DC =⨯⨯=． （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得(2B ，0，0)，(2C ，0)，(1E ，1)．∴(1AE =，1)，(0BC =，0)，设AE 与BC 夹角为θ，则cos ||||2AE BC AE BC θ===⨯， 4πθ∴=，由此可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为4π．[解法二]取PB 的中点F ，连接AF 、EF 、AC ， PBC ∆中，E 、F 分别是PC 、PB 的中点，//EF BC ∴，AEF ∠或其补角就是异面直线BC 与AE 所成的角．Rt PAC ∆中，4PC ==．122AE PC ∴==，在AEF ∆中，12EF BC ==，12AF PB ==222AF EF AE ∴+=，AEF ∆是以F 为直角顶点的等腰直角三角形，4AEF π∴∠=，可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为4π．18．已知向量(3cos a x ω=，sin )x ω，(cos ,cos )b x x ωω=其中0ω>，记()f x a b =． （1）若函数()f x 的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若()2Af =，且4a =，5b c +=．求ABC ∆的面积．解：（1）23(cos 2sin 23sin cos sin(2)23x a b cos x x x x ωωπωωωω=+=+=++，∴()sin(2)3f x x πω=++()f x 的最小正周期为π，且0ω>， ∴22ππω=，解得1ω=；（2）由（1）得()sin(2)3f x x π=+，()2Af =，∴sin()3A π+=0A π<<得，4333A πππ<+<，∴233A ππ+=，解得3A π=， 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即22216()3b c bc b c bc =+-=+-，且5b c +=， 16253bc ∴=-，3bc ∴=，∴11sin 322ABC S bc A ∆==⨯=． 19．某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是10,110(*)(),1160(*)n n N f n n n n N ∈⎧=⎨∈⎩剟剟（单位：万元）．记第n 个月的当月利润率为()n g n n =第个月的利润截止到第个月投入的资金总和，例g （3）(3)50((1)(2))10%f f f =++⨯．（1）求第n 个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率． 解：（1）依题意得f （1）f =（2）f =（3）f =⋯=（9）(10)10f ==， 当1n =时，g （1）101505==，当110n <…，*n N ∈时，f （1）f =（2）(1)10f n =⋯=-=， 则()10()14950((1)(2)(1))10f ng n n f f f n ==++++⋯+-， 1n =也符合上式，故当110n 剟，*n N ∈，10()49g n n =+，当1160n 剟，*n N ∈时， 2()20()1(11)(10)50(1)(2)(10)(11)(1)109050(100(11)(1))601020f n n n ng n n n f f f f f n n n f f n ====-++++⋯+++⋯+--++++⋯+-+，所以第n 个月的当月利润率为210,11049()20,11601090n n g n n n n ⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪-+⎩剟剟；（2）当110n 剟，*n N ∈，10()49g n n =+是减函数，此时()g n 的最大值为g （1）15=，当1160n 剟，*n N ∈时，22020()109010901n g n n n n n==-++-…，()g n 在1133n 剟，*n N ∈单调递增，()g n 在3460n 剟，*n N ∈单调递减， 当且仅当1090n n=，即n =时，()g n 有最大值，又*n N ∈， 22033330(33)333310901073g ⨯==-+，22034170(34)34341090553g ⨯==-+， 因为330170110735535>>，所以当33n =时，()g n 有最大值3301073， 即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为3301073． 20．（16分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点16(3,)5． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M 、N 两点满足OM ON ⊥，求OMN ∆面积的最小值．（3）若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，且||||AB MN 为定值，求点M 的坐标． 解：（1）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，所以210a =，5a =， 又椭圆C 经过点16(3,)5，代入椭圆方程，求得4b =， 所以椭圆的方程为：2212516x y +=； （2）设(3,)M M y ，(3,)N N y ，(3,0)F ， 由OM ON ⊥，所以90M N OM ON y y =+=， 1393||||922MON M N M MS y y y y ∆=-=+…，故OMN ∆面积的最小值为9； （3）设直线l 的方程为：y kx m =+，则点(,0)mM k-， 联立2212516y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(2516)50254000k x kmx m +++-=，122502516kmx x k +=-+，2122254002516m x x k -=+，所以24025||k AB -=则AB 的中点P 的坐标为2222525(,)25162516km k m m k k --+++，又PN AB ⊥，得1PNk k =-， 则直线PN 的方程为：22225125()25162516k m kmy m x k k k +-=-+++， 令0y =，得N 点的坐标为222525(,0)2516k m km mk k +-++，则29||||2516km mMN k k =-++，所以22222||5251659||||25||2121AB kk m k m MN mk m k -++==-++， 当且仅当2291m k =时，比值为定值，此时点(,0)mM k -，为(3,0)M ±，故(3,0)M -或(3,0)．21．（18分）已知函数()f x 的定义域为[0，2]．且()f x 的图象连续不间断，若函数()f x 满足：对于给定的实数m 且02m <<．存在0[0x ∈，2]m -，使得00()()f x f x m =+，则称()f x 具有性质()P m ．（1）已知函数()f x =，判断()f x 是否具有性质1()2P ，并说明理由；（2）求证：任取(0,2)m ∈．函数2()(1)f x x =-，[0x ∈，2]具有性质()P m ；（3）已知函数()sin f x x π=，[0x ∈，2]，若()f x 具有性质()P m ，求m 的取值范围． 解：（1）()f x 具有性质1()2P ，设0[0x ∈，3]2，令001()()2f x f x =+，则22001(1)()2x x -=-，解得034x =，又3[04∈，3]2，所以()f x 具有性质1()2P ； （2）任取0[0x ∈，2]m -，令00()()f x f x m =+，则2200(1)(1)x x m -=+-， 因为0m ≠，解得012m x =-+，又02m <<，所以0112m<-+<， 当02m <<，012m x =-+时，0(2)(2)(1)11022m mm x m --=---+=-=-+>， 即0122mm <-+<-，即任取实数(0,2)m ∈，()f x 都具有性质()P m ； （3）若(0m ∈，1]，取012m x -=，则102m -…且132022m mm ----=>，故0[0x ∈，2]m -， 又0()sin()22m f x ππ=-，00()sin()sin()()2222m m f x m f x ππππ+=+=-=，所以()f x 具有性质()P m ；假设存在(1,2)m ∈使得()f x 具有性质()P m ，即存在0[0x ∈，2]m -，使得00()()f x f x m =+， 若00x =，则0(1,2)x m +∈，0()0f x =，0()0f x m +<，00()()f x f x m ≠+，若0(0x ∈，2]m -，则0(x m m +∈，2]，进而0(0,1)x ∈，0(1x m +∈，2]，0()0f x >，0()0f x m +…， 00()()f x f x m =+，所以假设不成立，所以(0m ∈，1]．。
上海市青浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析(Word版)
上海市青浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019. 12一. 填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1. 已知集合U ={1,3,5,9}，A ={1,3,9}，B ={1,9}，则U (A B)⋃=ð______2. 若复数z =i(3-2i)（i 是虚数单位），则z 的模为______3. 直线1l ：10x -=和直线2l ：30x y -=的夹角大小是______4. 我国古代庄周所著的《庄子.天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去.若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为n a ，则n a =______5. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是(34,55-)，则sin2α=______ 6. 已知正四棱柱底面边长为22，体积为32，则此四棱柱的表面积为______7. 设x ，y ∈R +，若141x y +=，则x y的最大值为______ 8. 已知数列{n a }中，11a =，(n ∈N *)，则lim n x a →∞=______ 9. 某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有______10. 已知对于任意给定的正实数k ，函数()22x x f x k -=+的图像都关于直线x m =成轴对称图形，则m =______11. 如图，一矩形ABCD 的一边AB在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数()21x f x x =+，0x >的图像上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是______12. 已知点P 在双曲线2221916x y -=上，点A 满足()1PA t OP =-u u u r u u u r （t ∈R ），且60OA OP ⋅=u u u r u u u r ，OB =u u u r (0,1)，则|OB OA ⋅u u u r u u u r |的最大值为______二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13.使得3(n x (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A . 4B . 5C . 6D . 714. 对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是( )A . 若m Øα，n //β，m 、n 是异面直线，则α、β相交B . 若m ⊥α，m ⊥β，n //α，则n //βC . 若m Øα，n //a ，m 、n 共面于β，则m //nD . 若m ⊥α，n ⊥β，α、β不平行，则m 、n 为异面直线15. 过抛物线22y px =(0p >)的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则11AB CD+的值为( ) A . 2p B . 2p C . 2p D. 12p 16. 设等比数列{n a }的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2019202010a a ->；③2019T 是数列{n T }中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为( )A . ①②B . ①③C . ①③④D . ①②③④三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17. 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知AB =2，AD =22，P A =2，求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.18. 已知向量a =r (3cos sin x x ωω，)，b =r (cos sin x x ωω，)，其中0ω>，记()f x a b =⋅r r .(1)若函数()f x 的最小正周期为π，求ω的值；(2)在(1)的条件下，已知△ABC 的内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若3(x)f =，且4a =，5b c +=，求△ABC 的面积.19. 某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是()10110,N*1160,N*n n f n n n n ≤≤∈⎧=⎨≤≤∈⎩，(单位：万元)，记第n 个月的当月利润率为()n g n n =第个月的当月利润率截止到第个月投入的资金总和；例()()()()()33501210%f g f f =++⨯.(1)求第n 个月的当月利润率；(2)求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率.20. 已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点(1635，). (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M 、N 两点满足OM ⊥ON ，求△OMN 面积的最小值；(3)若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB的垂直平分线交x 轴于点N ，且AB MN为定值，求点M 的坐标.21. 已知函数f (x )的定义域为[0,2]，且()f x 的图像连续不间断，若函数()f x 满足：对于给定的实数m 且02m <<，存在0x ∈[0,2-m ]，使得()()00f x f x m =+，则称()f x 具有性质P (m ).(1)已知函数()f x =()f x 是否具有性质P (12)，并说明理由；(2)求证：任取m ∈(0,2)，函数()()21f x x =-，x ∈[0,2]具有性质P (m )；(3)已知函数()sin f x x π=，x ∈[0,2]，若()f x 具有性质P (m )，求m 的取值范围.上海市青浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析。
上海市青浦区2020届高三数学上学期学业质量调研一模试题（含答案）
上海市青浦区2020届高三数学上学期学业质量调研（一模）试题1．已知集合U ＝{1，3，5，9}，A ＝{1，3，9}，B ＝{1，9}，则∁U （A ∪B ）＝ ．2．若复数z ＝i （3﹣2i ）（i 是虚数单位），则z 的模为 ．3．直线l 1：x ﹣1＝0和直线l 2：x ﹣y ＝0的夹角大小是 ．34．我国古代庄周所著的《庄子•天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为a n ，则a n ＝ ．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），则sin2α＝ ．-35456．已知正四棱柱底面边长为2，体积为32，则此四棱柱的表面积为 ．27．设x ，y ∈R +，若4x1．则的最大值为 ．+1y =xy 8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ﹣a n ﹣1（n ∈N *），则a n ＝ ．=12n +1limn→∞9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 种．10．已知对于任意给定的正实数k ，函数f （x ）＝2x +k •2﹣x 的图象都关于直线x ＝m 成轴对称图形，则m ＝ ．11．如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数f （x ），=x 1+x2x ＞0的图象上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 ．12．已知点P 在双曲线1上，点A 满足（t ﹣1）（t ∈R ），且•60，x 29‒y 216=→PA =→OP →OA →OP =（0，1），则||的最大值为 ．→OB =→OB ⋅→OA 13．使得（3x ）n （n ∈N *）的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）+1x x A ．4B ．5C ．6D ．714．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（ ）A ．若m ⊊α，n ∥β，m ，n 是异面直线，则α，β相交B ．若m ⊥α，m ⊥β，n ∥α，则n ∥βC ．若m ⊊α，n ∥α，m ，n 共面于β，则m ∥nD ．若m ⊥α，n ⊥β，α，β不平行，则m ，n 为异面直线15．过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则的值1|AB|+1|CD|为（ ）A ．B ．C ．2pD ．p 22p 12p16．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，并且满足条件：a 1＞1，a 2019a 2020＞1，0，给出下a 2019‒1a 2020‒1＜列结论：①0＜q ＜1；②a 2019a 2021﹣1＞0；③T 2019是数列{T n }中的最大项；④使T n ＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④17．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知AB ＝2，AD ＝2，PA ＝2，求：2（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．18．（14分）已知向量（cosωx ，sinωx ），（cosωx ，cosωx ）其中ω＞0，记→a =3→b =f （x ）•．=→a →b （1）若函数f （x ）的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若f （）A 2，且a ＝4，b +c ＝5．求△ABC 的面积．=319．（14分）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是f （n ）（单位：万元）．记第n 个月的当月利润率为g （n ）={10，1≤n ≤10(n ∈N ∗)n ，11≤n ≤60(n ∈N ∗)，例g （3）=第n 个月的利润截止到第n 个月投入的资金总和．=f(3)50+(f(1)+f(2))×10%（1）求第n 个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．20．（16分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点（3，）．165（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线l 1，直线l 1上存在M 、N 两点满足OM ⊥ON ，求△OMN 面积的最小值．（3）若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，且为定值，求点M 的坐标．|AB||MN|21．（18分）已知函数f （x ）的定义域为[0，2]．且f （x ）的图象连续不间断，若函数f （x ）满足：对于给定的实数m 且0＜m ＜2．存在x 0∈[0，2﹣m ]，使得f （x 0）＝f （x 0+m ），则称f （x ）具有性质P （m ）．（1）已知函数f （x ），判断f （x ）是否具有性质P （），并说明理由；=1‒(x ‒1)212（2）求证：任取m ∈（0，2）．函数f （x ）＝（x ﹣1）2，x ∈[0，2]具有性质P （m ）；（3）已知函数f （x ）＝sinπx ，x ∈[0，2]，若f （x ）具有性质P （m ），求m 的取值范围．1．∵集合U ＝{1，3，5，9}，A ＝{1，3，9}，B ＝{1，9}∴A ∪B ＝{1，3，9}∴∁U （A ∪B ）＝{5}，答案{5}．2．复数z ＝i （3﹣2i ）＝3i +2，则|z |．=32+22=13答案：13．3．∵直线l 1：x ﹣1＝0的倾斜角为，直线l 2：x ﹣y ＝0的斜率为．倾斜角为，π233π3故直线l 1：x ﹣1＝0和直线l 2：x ﹣y ＝0的夹角大小为，3π2‒π3=π6答案：6．4．依题意，第1天“日取其半”后a 1；=12第2天“日取其半”后a 2；=12×12=(12)2第3天“日取其半”后a 3；、=12×12×12=(12)3……∴第n 天“日取其半”后a n，=n 个12×12×⋯⋯×12︷=(12)n 答案：．(12)n5．角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），-3545所以，，cosα=-35sinα=45所以．sin2α=2sinαcosα=2×(-35)×45=‒2425答案：-24256．设正四棱柱的高为h ，由底面边长为a ＝2，体积为V ＝32，2则V ＝a 2h ，即h4；=32(22)2=所以此四棱柱的表面积为：S ＝S 侧面积+2S 底面积＝4×4×22×222+2×2＝3216．2+答案：16+322．7．∵4x1，x ，y ∈R +，+1y =∴，即，当且仅当“”时4x 2+x y =x x y =‒4x 2+x =‒4(x ‒18)2+116≤116x =18，y =2取等号，答案：116．8．数列{a n }中，a 1＝1，a n ﹣a n ﹣1（n ∈N *），=12n +1可得a 2﹣a 1，a 3﹣a 2，a 4﹣a 3，…a n ﹣a n ﹣1，=123=124=125=12n +1累加可得：a n ＝1，+123+124+125+⋯+12n +1则a n ＝1．limn→∞+1231‒12=54答案：54．答案．549．根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C 31＝3种情况，②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A 、B 、C 三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有3×3×3＝27种不同的选法，则有3×27＝81种不同的分配方法；答案：8110．由题意可知，k ＞0，函数f （x ）＝2x +k •2﹣x 的图象都关于直线x ＝m 成轴对称图形，则f （m +x ）为偶函数，关于y 轴对称，故f （m ﹣x ）＝f （m +x ）恒成立，∴2m ﹣x +k •2﹣（m ﹣x ）＝2m +x +k •2﹣（m +x ），∵对于任意x ∈R 成立，故2m ﹣k •2﹣m ＝0，∴m=12log 2k 答案：12log 2k11．由y ＝f （x ）=1+2，当且仅当x ＝1时取等号，=11x +x ≤121x⋅x =12得x；+1x =1y 又矩形绕x 轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A 点的坐标为（x 1，y ），B 点的坐标为（x 2，y ），则圆柱的底面圆半径为y ，高为h ＝x 2﹣x 1，且f （x 1），f （x 2），=x 11+x 12=x 21+x 22所以，x 11+x 12=x 21+x 22即（x 2﹣x 1）（x 2•x 1﹣1）＝0，所以x 2•x 1＝1，所以h 2＝（x 2+x 1）2﹣4x 2•x 1＝（x 1）2﹣44，+1x 1=1y 2‒所以h ，=1y 2‒1=1‒4y 2y 所以V 圆柱＝πy 2•h ＝πyπ•1-4y2=124y 2(1‒4y 2)π•（）π，当且仅当y时取等号，≤124y 2+(1‒4y 2)2=14=24故此矩形绕x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．π4答案：．π412．∵（t ﹣1），∴，→PA =→OP =t →OP ‒→OP →OA ‒→OP =t →OP ‒→OP 则，∴，→OA =t →OP |→OA |=|t|⋅|→OP |设A （x A ，y A ），P （x P ，y P ），∴（x A ，y A ）＝t （x P ，y P ），则，即，将点（）代入双曲线中得：{x A =tx Py A =ty P{x P =x At y P =y A tx A t，y A t，∴①，x A 29t2‒y A 216t2=1x A 2=9y A 216+9t 2⋯∵•60，∴||•||→OA →OP =→OA →OP =|t|⋅|→OP |2=|t|⋅(x P 2+y P 2)＝|t |•60…②，(x A 2t2+y A 2t2)=由①②得60＝|t |•|t |•，(9y A 216t2+y A 2t2+9)=(25y A 216t2+9)=25y A 216|t|+9|t|≥152|y A |∴|y A |≤8，∴||＝|y A |≤8．→OB ⋅→OA 则||的最大值为8．→OB ⋅→OA 答案：8．13．（3x）n 的展开式的通项公式为：T r +1，+1x x =C rn (3x )n ‒r ⋅(1x x)r =3n ‒r ⋅C rn ⋅xn ‒52r令n，可得n，-5r2=0=5r 2∴当r ＝2时，n 取得最小值为5，答案：B ．14．若m ⊊α，n ∥β，m ，n 是异面直线，则α，β相交或平行，故A 错误；若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，由n ∥α，则n ∥β或n ⊂β，故B 错误；若m ⊊α，n ∥α，m ，n 共面于β，则m ∥n ，故C 正确；若m ⊥α，n ⊥β，α，β不平行，则m ，n 为异面直线或相交，故D 错误．答案：C ．15．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB 的方程为p 2，0y ＝k （x），-p2所以，整理得，设点A （x 1，y 1），{y =k(x -p2)y 2=2pxk2x 2‒(k 2p +2p)x +k 2p 24=0B （x 2，y 2），所以，所以，|AB|=x 1+x 2+p =(2k 2+2)pk 21|AB|=k 2(2k 2+2)p 同理设经过焦点直线CD 的方程为y（x ），=-1k -p 2所以，整理得，{y =-1k (x ‒p 2)y 2=2pxx 2‒(p +2k 2p)x +p 24=0所以：|CD |＝p +（p +2k 2p ），所以，|CD|=12p +2k 2p 则则．1|AB|+1|CD|=(1+k 2)2p(1+k 2)=12p 答案：D ．16．∵a 1＞1，a 2019a 2020＞1，0，a 2019‒1a 2020‒1＜∴a 2019＞1，a 2020＜1．∴0＜q ＜1，故①正确；a 2019a 20211，∴a 2019a 2021﹣1＜0，故②不正确；=a 20202＜∵a 2020＜1，∴T 2019是数列{T n }中的最大项，故③正确；T 4039＝a 1a 2•…•a 4038•a 40391，=a 20204039＜T 4038＝a 1a 2•…•a 4037•a 40381，=(a 2019a 2020)2019＞∴使T n ＞1成立的最大自然数等于4038，故④不正确．∴正确结论的序号是①③．答案：B ．17．（1）∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴CD ⊥PA ．∵矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，而PA 、AD 是平面PAD 的交线．∴CD ⊥平面PDA ，∵PD ⊂平面PDA ，∴CD ⊥PD ，三角形PCD 是以D 为直角顶点的直角三角形．∵Rt△PAD 中，AD ＝2，PA ＝2，2∴PD 2．=PA 2+AD 2=3∴三角形PCD 的面积S PD ×DC ＝2．=12×3（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B （2，0，0），C （2，2，0），E （1，，1）．22∴（1，，1），（0，2，0），→AE =2→BC =2设与夹角为θ，则cosθ，→AE →BC =→AE ⋅→BC →|AE|→|BC|=42×22=22∴θ，由此可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为．=π4π4[解法二]取PB 的中点F ，连接AF 、EF 、AC ，∵△PBC 中，E 、F 分别是PC 、PB 的中点，∴EF ∥BC ，∠AEF 或其补角就是异面直线BC 与AE 所成的角．∵Rt△PAC 中，PC 4．=PA 2+AC 2=∴AEPC ＝2，=12∵在△AEF 中，EFBC，AFPB=12=2=12=2∴AF 2+EF 2＝AE 2，△AEF是以F 为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF，可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为．=π4π418．（1）→a ⋅→b=3cos 2ωx +sinωx ⋅cosωx =3(cos2ωx +1)2+sin2ωx2=si，∴，f(x)=sin(2ωx +π3)+32∵f （x ）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω＝1；2π2ω=π（2）由（1）得，f(x)=sin(2x +π3)+32∵，f(A 2)=3∴，由0＜A ＜π得，，sin(A +π3)=32π3＜A +π3＜4π3∴，解得，A +π3=2π3A =π3由余弦定理知：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即16＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ，且b +c ＝5，∴16＝25﹣3bc ，∴bc ＝3，∴．S △ABC =12bcsinA =12×3×32=33419．（1）依题意得f （1）＝f （2）＝f （3）＝…＝f （9）＝f （10）＝10，当n ＝1时，g （1），当1＜n ≤10，n ∈N *时，f （1）＝f （2）=1050=15＝…＝f （n ﹣1）＝10，则g （n ），=f(n)50+110(f(1)+f(2)+⋯+f(n ‒1))=10n +49n ＝1也符合上式，故当1≤n ≤10，n ∈N *，g （n ），当11≤n ≤60，n ∈N *时，=10n +49g （n ）=f(n)50+f(1)+f(2)+⋯+f(10)+f(11)+⋯+f(n=n 60+(n ‒11)(n +10)20=20nn 2‒n +1090，所以第n 个月的当月利润率为g （n ）；={10n +49，1≤n ≤1020n 2‒n +1090，11≤n ≤60（2）当1≤n ≤10，n ∈N *，g （n ）是减函数，此时g （n ）的最大值为g （1）=10n +49，当11≤n ≤60，n ∈N *时，=15g （n ），=20nn 2‒n +1090=20n +1090n ‒1≤2021090‒1g （n ）在11≤n ≤33，n ∈N *单调递增，g （n ）在34≤n ≤60，n ∈N *单调递减，当且仅当n，即n 时，g （n ）有最大值，又n ∈N *，=1090n =1090g （33），g （34），=20×33332‒33+1090=3301073=20×34342‒34+1090=170553因为，所以当n ＝33时，g （n ）有最大值，3301073＞170553＞153301073即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为．330107320．（1）设椭圆的方程为，椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)所以2a ＝10，a ＝5，又椭圆C 经过点（3，），代入椭圆方程，求得b ＝4，165所以椭圆的方程为：；x 225+y 216=1（2）设M （3，y M ），N （3，y N ），F （3，0），由OM ⊥ON ，所以，→OM ⋅→ON =9+y M y N =0，故△OMN 面积的最小值为9；S △MON =12⋅3⋅|y M ‒y N |=32|y M +9y M|≥9（3）设直线l 的方程为：y ＝kx +m ，则点M （），-m k ，0联立，消去y 得（25k 2+16）x 2+50kmx +25m 2﹣400＝0，{y =kx +mx 225+y 216=1，，x 1+x 2=‒50km 25k 2+16x 1x 2=25m 2‒40025k 2+16所以|AB |，=1+k2⋅4025k 2‒m 2+1625k 2+16则AB 的中点P 的坐标为（），又PN ⊥AB ，得-25km 25k 2+16，‒25k 2m 25k 2+16+m，k PN =‒1k 则直线PN 的方程为：ym，+25k 2m 25k 2+16‒=-1k (x +25km 25k 2+16)令y ＝0，得N 点的坐标为（），则|MN |-25k 2m +25km 25k 2+16+mk ，0，=|-9km25k 2+16+mk |所以，|AB||MN|=52|k m |⋅25k 2‒m 2+16k 2+1=52|km |⋅25‒m 2+9k 2+1当且仅当时，比值为定值，此时点M （），为M （±3，0），m 2k 2=91-mk ，0故M （﹣3，0）或（3，0）．21．（1）f （x ）具有性质P （），12设x 0∈[0，]，令f （x 0）＝f （x 0），则（x 0﹣1）2＝（x 0）2，32+12-12解得x 0，又∈[0，]，所以f （x ）具有性质P （）；=34343212（2）任取x 0∈[0，2﹣m ]，令f （x 0）＝f （x 0+m ），则（x 0﹣1）2＝（x 0+m ﹣1）2，因为m ≠0，解得x 01，又0＜m ＜2，所以01＜1，=-m2+＜-m 2+当0＜m ＜2，x 01时，（2﹣m ）﹣x 0＝（2﹣m ）﹣（1）=-m2+-m2+＝11＞0，-=-m 2+即01＜2﹣m ，即任取实数m ∈（0，2），f （x ）都具有性质P （m ）；＜-m 2+（3）若m ∈（0，1]，取x 0，则0且2﹣m0，=1‒m 21‒m2≥-1‒m 2=3‒m2＞故x 0∈[0，2﹣m ]，又f （x 0）＝sin （），f （x 0+m ）＝sin （）＝sin （）＝f （x 0），π2‒mπ2π2+mπ2π2‒mπ2所以f （x ）具有性质P （m ）；假设存在m ∈（1，2）使得f （x ）具有性质P （m ），即存在x 0∈[0，2﹣m ]，使得f （x 0）＝f （x 0+m ），若x 0＝0，则x 0+m ∈（1，2），f （x 0）＝0，f （x 0+m ）＜0，f （x 0）≠f （x 0+m ），若x0∈（0，2﹣m]，则x0+m∈（m，2]，进而x0∈（0，1），x0+m∈（1，2]，f（x0）＞0，f（x0+m）≤0，f（x0）＝f（x0+m），所以假设不成立，所以m∈（0，1]．。
2020-2021学年上海市浦东新区高三年级一模考试数学试卷含答案解析
一．填空题（本题有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，满分 54 分）
1、
_____________.
【答案】
【解析】
2、半径为 2 的球的表面积为____________. 【答案】 【解析】
3、抛物线
的准线方程为____________.
【答案】
【解析】
准线
4、已知集合 【答案】 【解析】 5、已知复数 满足
，则
=___________.
（ 为虚数单位），则
.
【答案】 【解析】
1
6、在
中，若
，
，
，则
__________.
【答案】 【解析】由正弦定理可知 7、函数 【答案】
的反函数的定义域为___________.
【解析】反函数为 的值域
定义域即为原函数值域；也可理解为求
8、在 数字作答）
的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用
16、已知函数
，则以下 4 个命题：
（1） 是偶函数；
4
（2） 在
上是增函数；
（3） 的值域为 ；
（4）对于任意的正有理数 ，
其中正确命题的个数为（ ）
A. 0
B. 1
【答案】
存在奇数个零点；
C. 2
D. 3
【解析】（1）
显然不是偶函数；
（2）当 时，有
，则有理数 后的无理数 小于 ，则不是单调递增；
（1）判断
，则称函数 在 上为非减函数.
（
）与
9
，当
时，都有
（
）是否是
非减函数？ （2）已知函数
2020年上海青浦区高三一模数学试卷
2020年上海青浦区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12题，1~6题每小题4分，7~12题每小题5分，共54分）1.已知集合，，，则 ．2.若复数（是虚数单位），则的模为 ．3.直线和直线的夹角大小是 ．4.我国古代庄周所著的《庄子·天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去．若把“一尺之棰”的长度记为个单位，则第天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为，则 .5.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆的交点坐标是，则 ．6.已知正四棱柱底面边长为，体积为，则此四棱柱的表面积为 ．7.设，，若，则的最大值为 ．8.已知数列中，，，则 ．9.某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到、、三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 种 ．10.已知对于任意给定的正实数，函数的图象都关于直线成轴对称图形，则．11.如图，一矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数，的图象上，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 ．12.已知点在双曲线上，点满足，且，，则的最大值为 ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.使得（）的展开式中含有常数项的最小的为 ．A.B.C.D.14.对于两条不同的直线，和两个不同的平面，，以下结论正确的是（ ）．A.若，，，是异面直线，则，相交B.若，，，则C.若，，，共面于，则D.若，，，不平行，则，为异面直线15.过抛物线的焦点作两条相互垂直的弦和，则的值为（ ）．A.B.C.D.16.设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于．其中正确结论的序号为（ ）．A.①②B.①③C.①③④D.①②③④三、解答题（本大题共5小题，共76分）（1）（2）17.如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点．已知，，．求：三角形的面积；异面直线与所成的角的大小．（1）（2）18.已知向量，其中，记．若函数的最小正周期为，求的值．在（）的条件下，已知的内角、、对应的边分别为、、，若，且，，求的面积．（1）（2）19.某企业生产的产品具有个月的时效性，在时效期内，企业投入万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第个月的利润是（单位：万元），记第个月的当月利润率为，例．求第个月的当月利润率．求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．第个月的利润截止到第个月投入的资金总和【答案】解析:集合，，全集，∵∴．解析:∵复数．∴．∴的模为．解析:（1）（2）（3）20.已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为，椭圆经过点．求椭圆的标准方程．过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求面积的最小值．若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标．（1）（2）（3）21.已知函数的定义域为，且的图象连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质．已知函数，判断是否具有性质，并说明理由．求证：任取，函数，具有性质．已知函数，，若具有性质，求的取值范围．1.2.3.∵直线的斜率不存在，故它的倾斜角为，∵直线的斜率为，故它的倾斜角为，故这两条直线的夹角为，故答案为．解析:根据题意，木棒剩下部分的长度组成数列为首项为，公比为的等比数列，则其通项公式：．解析:设点坐标为，∴，∴点在单位圆上，∴，，∴，故答案为．解析:∵正四棱柱底面边长为，由正四棱柱底面为正方形，则底面积，∵正四棱柱体积为，∴正四棱柱高，则正四棱柱侧面面积为，所以四棱柱的表面积为．解析:，，4.5.6.底底底7.∵，由基本不等式，当，时等号成立，则，所以，则的最大值为．8.解析:∵数列中，，，∴，，，．累加得：，∴，，．9.解析:根据题意，分步进行分析：①，在三个中学中任选个，安排甲乙两人，有种情况，②，对于剩下的三人，每人都可以安排在、、三个不同的乡镇中学中任意个，则剩下三人有种不同的选法，则有种不同的分配方法．故答案为：．10.解析:由题意可知，，函数的图象都关于直线成轴对称图形，则为偶函数，关于轴对称，故恒成立，∴，∵对于任意成立，故，∴，故答案为：．11.解析:设、、、．∴，即，∴，，，，∵ ，即，∴．12.解析:，∴设，∴，∴，∴，∵，∴，∴．解析:由于（）的展开式的通项公式为，令，可得，其中，，，…．故的最小值为，故答案为：．解析:方法一：不妨设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为．弦，均过抛物线的焦点，则，，则．故选．方法二：设、、、，则由抛物线的定义可得，．设︰（存在且），联立，消得，∴．B 13.C 14.D 15.（1）（2）同理可求，∴．解析:由题意，，∴，①正确；，∴②错误；由结论①，可知，∴是数列中的最大项，③正确；∵，，∴使成立的最大自然数等于，④错误．故选．解析:因为底面，所以，又，所以平面，从而．因为，，所以三角形的面积为．方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，B 16.（1）．（2）17.（1）则，，，，．设与的夹角为，则，．由此可知，异面直线与所成的角的大小是.方法二：取中点，连接、，则，从而（或其补角）是异面直线与所成的角在中，由、、知是等腰直角三角形，所以．因此异面直线与所成的角的大小是解析:向量，，（1）．（2）．18.（2）（1）．∵，函数的最小正周期为，∴，．函数．∵，∴，由为内角，，则，∵，，．则，．所以．解析:依题意得，当时，，当，时，，（1）．（2）第个月的当月利润率最大，其当月利润率为．19.（2）（1）则，也符合上式，故当，，，当，时，所以第个月的当月利润率为．当，，是减函数，此时的最大值为，当，时，，在，单调递增，在，单调递减，当且仅当，即时，有最大值，又，，，因为，所以当时，有最大值，即该企业经销此产品期间，第个月利润最大，其当月利润率为．解析:设椭圆的方程为，椭圆上的点到两个焦点的距离和为，所以，，又椭圆经过点，代入椭圆方程，求得，所以椭圆的方程为：．，（1）．（2）．（3）或．20.（2）（3）（1）设，，，由，所以，，故面积的最小值为．设直线的方程为：，则点，联立，消去得，，，所以，则的中点的坐标为，又，得，则直线的方程为：，令，得点的坐标为，则，所以，当且仅当时，比值为定值，此时点，为，故或．解析:具有性质，设，（1）具有性质，证明见解析．（2）证明见解析．（3）．21.（2）（3）令，则，解得，又，所以具有性质．任取，令，则，因为，解得，又，所以，当，时，，即，即任取实数，都具有性质．若，取，则且，故，又，，所以具有性质；假设存在使得具有性质，即存在，使得，若，则，，，，若，则，进而，，，，，所以假设不成立，所以．。
上海青浦区高三一模数学试卷
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至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，专门是汉代以后，关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
2021上海各区高考二模试卷及答案汇总宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
2020届年上海市青浦区高三上学期期末学业质量调研(一模)数学试题(解析版)
2020届年上海市青浦区高三上学期期末学业质量调研(一模)数学试题一、单选题1．“4n =”是1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】二项式1n x x+（）的通项为2110r rn r r r nr n n T C x C x r n x--+==≤≤（）（） 1nx x+（）的二项展开式中存在常数项2n r n ⇔=⇔为正偶数4n n =⇒为正偶数，n 为正偶数推不出4n =∴4n =是1nx x+（）的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】以简易逻辑为载体，考查了二项式定理，属基础题．2．长轴长为8，以抛物线212y x =的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（ ）A.2216455x y += B.2216428x y += C.2212516x y += D.221167x y += 【答案】D【解析】求出抛物线的焦点坐标，利用椭圆的长轴，求出b ，即可得到椭圆方程． 【详解】抛物线212y x =的焦点30（，），长轴长为8，所以椭圆的长半轴为：4，半焦距为3，则b ==所以所求的椭圆的方程为：221167x y +=故选：D ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 3．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面，，以下结论正确的是（ ） A ．若，，m ，n 是异面直线，则，相交B ．若，，，则C ．若，，m ，n 共面于，则D ．若，，，，不平行，则m ，n 为异面直线【答案】C【解析】解：正方体 中，取为棱，平面为，满足选项 中的条件，但是，选项 错误； 取为棱，平面为，满足选项 中的条件，但是，选项 错误； 取为棱，平面为，满足选项 中的条件，但是，选项 错误；本题选择C 选项.4．记号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，若2()30x f x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则()()()()()1232930f f f f f +++⋯++的值为（ ）A.899B.900C.901D.902【答案】C【解析】令2(),()30x g x h x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，分别求出1,2,3,,30x =⋯时，两个函数的值，相加可得答案． 【详解】解：令2(),()30x g x h x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则123450g g g g g =====（）（）（）（）（） 671892g g g g ====（）（），（）（）， 10311124g g g ===（），（）（）， 135146157g g g ===（），（），（） 1681791810g g g ===（），（），（） 191220132114g g g ===（），（），（） 221623172419g g g ===（），（），（） 252026222724g g g ===（），（），（） 282629283030g g g ===（），（），（）152739410h h h h ====（），（），（），（）， 512613714815h h h h ====（），（），（），（）， 9161017111218h h h h ====（），（），（）（）， 13191420151621h h h h ====（），（），（）（），1722181923h h h ===（），（）（）2024212225h h h ===（），（）（）， 232426252627h h h h ====（）（），（）（）， 272828h h ==（）（）， 2929h =（）， 3030h =（），1232930901f f f f f ∴+++⋯++=（）（）（）（）（），故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是函数求值，运算量大，属于难题．二、填空题5．已知集合()1012{0}A B =-=-∞，，，，，，则A B =______．【答案】{}1-【解析】直接利用交集运算得答案．【详解】{}1A B ⋂=-故答案为：{}1- 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 6．写出命题“若22 a m bm <，则a b <”的逆命题______． 【答案】“若a b <，则22am bm <” 【解析】直接写出逆命题即可． 【详解】“若22 a m bm <，则a b <”的逆命题是“若a b <，则22 a m bm <”， 故答案为：“若a b <，则22 a m bm <”． 【点睛】本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题．7．不等式()23143122x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】(2,3)-【解析】两边化为同底的指数不等式，再根据指数函数的单调性可解得． 【详解】原不等式可化为：2433322xx x ---<根据指数函数2xy =的增函数性质得：24333x x x --<-， 解得：23x -<<故答案为：2,3-（） 【点睛】本题考查了指数不等式的解法，属基础题．8．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，则()tan πθ+的值为______．【答案】43【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用诱导公式，求得tan()πθ+的值．【详解】∵平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭， 445tan =335θ∴=，4tan tan 3πθθ∴+==（）故答案为：43【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．9．已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为_____ 【答案】12π【解析】ABC △绕直线AC 旋转一周 ，所得几何体是底面是以AB 为半径的圆，高为AC 的圆锥，由此根据圆锥的体积公式能求出其体积. 【详解】因为在直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，所以△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体是底面是以AB 为半径的圆，高为AC 的圆锥，示意图如下图所示：所以ABC △绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为2211341233V AB AC πππ=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，故答案为：12π．【点睛】本题考查直角三角形绕直角边旋转一周所成几何体的体积的求法.考查旋转体的性质、圆锥的体积等基础知识，属于基础题.10．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是12,z z ，则21z z =______．【解析】由已知求得12z z ，，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的公式求解． 【详解】由表格可知，122z i z i ==-，则2212(2)()12z i i i i z i i---===---，21|12|z i z ∴=--=【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算及复数模的求法，是基础题．11．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 【答案】(0,4)(4,8)⋃【解析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】由题意可得,14,||11a q q=<- ，且0q ≠14(1)a q =- 108a ∴<<且14a ≠故答案为:(0,4)(4,8)⋃ 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.12．设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，则ω= ． 【答案】32【解析】试题分析：因为将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，所以+2,23T n n Z π⋅=∈，由周期公式得：+22=,3n n Z ππω⋅∈，所以3=2n ω，又因为02ω<<，所以3=2ω。
青浦一模202112参考答案
高三数学202012青浦区2021学年第一学期高三年级第一次学业质量调研测试数学参考答案 2021.12一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．{}1,2,5,6； 2．(,1)(2,)-∞+∞；3．11； 4． ()5,2；5．84；6．23； 7．15222=-y x ；8．12；9. 14；10. 2；11． 47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；12. 2{|2,}3k k πααπ=±∈Z . 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. D ；14. C ； 15．C ；16. B .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：解:（1）设正四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ， 因为三棱锥111B A BC -的体积为2，所以1122232h ⨯⨯⨯⨯=， 解得3h =，即113D D C C ==，()22223+2332S =⨯⨯+⨯⨯=（2）连接1AD 与1A D ，则交点为P ，连接AC 与BD ，则交点为Q ， 在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//AD BC ，所以1BC Q ∠为异面直线1D P 与1C Q 所成的角或所成角的补角.高三数学202012因为11,,BD AC BD CC CC AC C ⊥⊥=,所以BD ⊥面11ACC A ,又因为1C Q ⊂面11ACC A ,所以1BD C Q ⊥，在1Rt B C Q中，11BC BQ C Q ==1cos 13BC Q ∠==1arccos13BC Q ∠= 即异面直线1D P 与1C Q所成角的大小为arccos13. 18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 解:（1）3π()22sin sin(π)2f x x x x ⎛⎫=++-⎪⎝⎭22cos sin x x x-2sin 2x x =-π2cos 26x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． ()f x 的最小正周期为：2ππ2T ==； 当π2π22ππ()6k x k k ≤+≤+∈Z 时，即当π5ππ-π()1212k x k k ≤≤+∈Z 时，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 单调递减区间为：π5ππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ； （2）因为()f A =()2cos 2cos 266ππf A A A ⎛⎫⎛⎫=+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,666A ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，π5π266A ∴+=，π3A ∴=．设BC 边上的高为h ，所以有11sin 22ah bc A h =⇒=，由余弦定理可知：2222cos a b c bc A =+-，2216b c bc ∴=+-，222b c bc +≥，高三数学20201216bc ∴≤（当用仅当b c =时，取等号），所以h =≤BC边上的高的最大值19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）由题意，当120v =时，所以145001450012011.555120v k =k v ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即100k =欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，即1450010095v v ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭解得4500145v v+≤，即214545000v v -+≤，即45100v ≤≤ 又60120v ≤≤，所以60100v ≤≤（2）设某种型号汽车行驶100千米的油耗为y则2100145002090000205k y v k v v v v ⎛⎫=⨯-+=-+ ⎪⎝⎭（60120v ≤≤） 22190000209000900k k y v ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭又11112060v ≤≤，因为60120k ≤≤，所以60120k ≤≤即11150900090k ≤≤①若11120900090k ≤≤，即75120k ≤≤， 则当19000k v =，即9000v k=时，2min 20900k y =-②若111509000120k ≤<，即6075k ≤<， 则当11120v =，即120v =时，min 10546ky =-高三数学202012答：当75100k ≤≤时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -；当6075k ≤<时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k-. 20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分. 解:（1）设()()11221,,,,,04A x y B x y F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为14x my =+， 由214y xx my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2104y my --=，所以1214y y =-，解得21116x x =所以1212316OB x x y A y O ⋅=+=-；（2）设200(,)C y y ，显然01y ≠±，直线01201:1(1)1y A P y x y --=++，由020211(1)1y y x y y x-⎧-=+⎪+⎨⎪=⎩得000()[(1)1]0y y y y y ----=，∴ 0011P y y y +=- 直线01201:1(1)1y B Q y x y ++=++，由020211(1)1y y x y y x+⎧+=+⎪+⎨⎪=⎩得000()[(1)1]0y y y y y -++-=，∴0011Q y y y -=+，∴00011111P Q y y y y y y +-⋅==--+． （3）设点()()223344,,,M y y N y y ，所以()()2223343431,1,,DM MN y y y y y y =--=--，因为DM MN ⊥，所以()()()()222343343110y y y y y y DM MN =--+--=⋅，高三数学202012易得3431,y y y ≠≠，所以()()343110y y y +++=， 所以()43333111111y y y y y =--=--++++， 当310y +<时，由基本不等式得()433111131y y y =--++≥=+， 当且仅当()33111y y -=-++，即32y =-时取等号， 当310y +>时，由基本不等式得()433111111y y y =--++≤-=-+，当且仅当33111y y =++，即30y =时取等号，综上所述，N 点纵坐标的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 解：（1）当2n ≥时，211()()()n n n pq pqpq -+=⋅，所以{}n a 具有性质M ；22211()()0n n n n n n b b b b a b a b a +--=+--=-<，所以{}n b 不具有性质M ．（2n a≥n b≥，所以1111111111111122222()()()n n n n n n n n n n n n n n n n nc c a b a b a a b b a b a b a b c +-++--+-+-+--+⋅=++=+++=+≥≥+=所以数列{}n c 具有性质M ．高三数学202012（3）易知12x x 、均为正实数，由（1）（2）可知{}n a 具有性质M ，所以211n n n a a a -+≤，即11n n n n a aa a -+≥，所以11222311n n a na a a n a a a a +≥+++>-，所以1211a a n>-． 由n 的任意性得121a a ≥． 又由韦达定理得212,2a a a a ==-，所以212a a ≥-，即2(1)(2)02a a a +-≤-，所以2a ≤，又2a ≥，所以2a =．当2a =时，121x x ==，2n a =，122311nn a a a n n a a a ++++=>-成立． 综上，2a =．。
上海市青浦区2021届新高考一诊数学试题含解析
上海市青浦区2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则A ．{|0}AB x x =<IB ．A B R =UC ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I 【答案】A【解析】∵集合{|31}x B x =<∴{}|0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=<故选A2．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈， 当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件.本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.3．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时，（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大 【答案】C 【解析】【分析】 1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34内的单调性即可． 【详解】解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增， 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+= 222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭， 是以12p =为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 故选：C ．【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题．4．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D根据演绎推理进行判断．【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．故选：D ．【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．5．已知集合{(,)|A x y y ==，{}(,)|2B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】C【解析】【分析】集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【详解】由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立y 2y x =，2x =，整理得215x =，即x =±，当x =时，20y x =<，不满足题意；故方程组有唯一的解⎝⎭.故55A B ⎧⎫⎛⎪⎪⋂= ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 故选：C.【点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.6．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件【答案】D【解析】【分析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.【详解】 设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*4750,,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩ 1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，显然当5599y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D.【点睛】 本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.7．已知i 是虚数单位，若1z ai =+，2zz =，则实数a =（ ）A ．2-2B ．-1或1C ．1D 2【答案】B【解析】【分析】 由题意得，()()2111zz ai ai a =+-=+，然后求解即可 【详解】∵1z ai =+，∴()()2111zz ai ai a =+-=+.又∵2zz =，∴212a +=，∴1a =±. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题8．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.【详解】因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==，因此21214(4)PF PF F F -=<当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<， 综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线.故选：B【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.9．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥【答案】C【解析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，1i =，lg 2S =；第二次，2i =，3lg 2lglg32S =+=； 第三次，3i =，4lg3lg lg 43S =+=， …；第九十八次，98i =，99lg98lglg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==， 此时要输出i 的值为99.此时299S lg =>.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题. 10．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i -- 【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法、除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】由34zi i =+，则3434431i i z i i +-===--， 所以z =43i +.故选：A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.11．若()12n x -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】先化简()12n x -的二项展开式中第1r +项()112rr n r r n T C x -+=⋅⋅-，然后直接求解即可 【详解】()12n x -的二项展开式中第1r +项()112r r n r r n T C x -+=⋅⋅-.令2r =，则()2232n T C x =⋅-，∴2440n C =，∴4n =-（舍）或5n =.【点睛】本题考查二项展开式问题，属于基础题12．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先根据直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行确定a 的值，进而即可确定结果. 【详解】因为直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，所以20a a +=，解得0a =或1a =-；即0q a =：或1a =-；所以由p 能推出q ；q 不能推出p ；即p 是q 的充分不必要条件.故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市青浦区2020届高三上学期期终学业质量调研(一模)数学试题 Word版含解析
数学试题2019.12 1．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则∁U（A∪B）＝．2．若复数z＝i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的模为．3．直线l1：x﹣1＝0和直线l2：√3x﹣y＝0的夹角大小是．4．我国古代庄周所著的《庄子•天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为a n，则a n＝．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是（−35，45），则sin2α＝．6．已知正四棱柱底面边长为2√2，体积为32，则此四棱柱的表面积为．7．设x，y∈R+，若4x+1y=1．则xy的最大值为．8．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1=12n+1（n∈N*），则limn→∞a n＝．9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种．10．已知对于任意给定的正实数k，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则m＝．11．如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数f （x ）=x1+x 2，x ＞0的图象上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 ．12．已知点P 在双曲线x 29−y 216=1上，点A 满足PA →=（t ﹣1）OP →（t ∈R ），且OA →•OP →=60，OB →=（0，1），则|OB →⋅OA →|的最大值为 ．13．使得（3x 1x √x ）n （n ∈N *）的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．714．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（ ） A ．若m ⊊α，n ∥β，m ，n 是异面直线，则α，β相交B ．若m ⊥α，m ⊥β，n ∥α，则n ∥βC ．若m ⊊α，n ∥α，m ，n 共面于β，则m ∥nD ．若m ⊥α，n ⊥β，α，β不平行，则m ，n 为异面直线15．过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则1|AB|+1|CD|的值为（ ）A ．p 2B ．2pC ．2pD ．12p16．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，并且满足条件： a 1＞1，a 2019a 2020＞1，a 2019−1a 2020−1＜0，给出下列结论：①0＜q ＜1；②a 2019a 2021﹣1＞0；③T 2019是数列{T n }中的最大项；④使T n ＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④17．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知AB ＝2，AD ＝2√2，P A ＝2，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．18．（14分）已知向量a →=（√3cos ωx ，sin ωx ），b →=（cos ωx ，cos ωx ）其中ω＞0，记f （x ）=a →•b →．（1）若函数f （x ）的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若f （A 2）=√3，且a ＝4，b +c ＝5．求△ABC 的面积．19．（14分）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是f （n ）={10，1≤n ≤10(n ∈N ∗)n ，11≤n ≤60(n ∈N ∗)（单位：万元）．记第n 个月的当月利润率为g （n ）=第n 个月的利润截止到第n 个月投入的资金总和，例g（3）=f(3)50+(f(1)+f(2))×10%．（1）求第n 个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．20．（16分）已知焦点在x轴上的椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C经过点（3，165）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线l1，直线l1上存在M、N两点满足OM⊥ON，求△OMN面积的最小值．（3）若与x轴不垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于定点M，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且|AB||MN|为定值，求点M的坐标．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]．且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2．存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．（1）已知函数f（x）=√1−(x−1)2，判断f（x）是否具有性质P（12），并说明理由；（2）求证：任取m∈（0，2）．函数f（x）＝（x﹣1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）；（3）已知函数f（x）＝sinπx，x∈[0，2]，若f（x）具有性质P（m），求m的取值范围．1．∵集合U ＝{1，3，5，9}，A ＝{1，3，9}，B ＝{1，9} ∴A ∪B ＝{1，3，9} ∴∁U （A ∪B ）＝{5}， 答案{5}．2．复数z ＝i （3﹣2i ）＝3i +2， 则|z |=√32+22=√13． 答案：13．3．∵直线l 1：x ﹣1＝0的倾斜角为π2，直线l 2：√3x ﹣y ＝0的斜率为√3．倾斜角为π3，故直线l 1：x ﹣1＝0和直线l 2：√3x ﹣y ＝0的夹角大小为π2−π3=π6，答案：π6．4．依题意，第1天“日取其半”后a 1=12；第2天“日取其半”后a 2=12×12=(12)2； 第3天“日取其半”后a 3=12×12×12=(12)3；、 ……∴第n 天“日取其半”后a n =12×12×⋯⋯×12︷n 个=(12)n ， 答案：(12)n ．5．角α的终边与单位圆的交点坐标是（−35，45），所以cosα=−35，sinα=45，所以sin2α=2sinαcosα=2×(−35)×45=−2425．答案：−24 256．设正四棱柱的高为h，由底面边长为a＝2√2，体积为V＝32，则V＝a2h，即h=32(2√2)2=4；所以此四棱柱的表面积为：S＝S侧面积+2S底面积＝4×4×2√2+2×2√2×2√2＝32√2+16．答案：16+322．7．∵4x+1y=1，x，y∈R+，∴4x2+xy=x，即xy=−4x2+x=−4(x−18)2+116≤116，当且仅当“x=18，y=2”时取等号，答案：116．8．数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1=12n+1（n∈N*），可得a2﹣a1=123，a3﹣a2=124，a4﹣a3=125，…a n﹣a n﹣1=12n+1，累加可得：a n＝1+123+124+125+⋯+12n+1，则lim n→∞a n ＝1+1231−12=54．答案：54．答案54．9．根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C 31＝3种情况，②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A 、B 、C 三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有3×3×3＝27种不同的选法， 则有3×27＝81种不同的分配方法； 答案：8110．由题意可知，k ＞0，函数f （x ）＝2x +k •2﹣x的图象都关于直线x ＝m 成轴对称图形，则f （m +x ）为偶函数，关于y 轴对称， 故f （m ﹣x ）＝f （m +x ）恒成立， ∴2m ﹣x +k •2﹣（m ﹣x ）＝2m +x +k •2﹣（m +x ），∵对于任意x ∈R 成立，故2m ﹣k •2﹣m＝0，∴m =12log 2k答案：12log 2k11．由y ＝f （x ）=π1+π2=11x +x≤√1x⋅x =12，当且仅当x ＝1时取等号， 得x +1x =1y ；又矩形绕x 轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A 点的坐标为（x 1，y ），B 点的坐标为（x 2，y ）， 则圆柱的底面圆半径为y ，高为h ＝x 2﹣x 1， 且f （x 1）=x 11+x 12，f （x 2）=x 21+x 22， 所以x 11+x 12=x 21+x 22，即（x 2﹣x 1）（x 2•x 1﹣1）＝0， 所以x 2•x 1＝1，所以h 2＝（x 2+x 1）2﹣4x 2•x 1＝（x 1+1x 1）2﹣4=1y2−4， 所以h =√1y2−1=√1−4y 2y ， 所以V 圆柱＝πy 2•h ＝πy √1−4y 2=12π•√4y 2(1−4y 2)≤12π•（4y 2+(1−4y 2)2）=14π，当且仅当y =√24时取等号，故此矩形绕x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为π4．答案：π4．12．∵PA →=（t ﹣1）OP →=tOP →−OP →，∴OA →−OP →=tOP →−OP →，则OA →=tOP →，∴|OA →|=|t|⋅|OP →|， 设A （x A ，y A ），P （x P ，y P ）， ∴（x A ，y A ）＝t （x P ，y P ），则{x A =tx P y A =ty P ，即{x P =xA ty P =y At ，将点（x A t ，y A t ）代入双曲线中得： x A 29t 2−y A 216t 2=1，∴x A2=9y A 216+9t 2⋯①， ∵OA →•OP →=60，∴|OA →|•|OP →|=|t|⋅|OP →|2=|t|⋅(x P 2+y P 2)＝|t |•(x A 2t 2+y A 2t2)=60…②，由①②得60＝|t |•(9y A 216t 2+y A 2t 2+9)=|t |•(25y A 216t 2+9)=25y A 216|t|+9|t|≥152|y A |，∴|y A |≤8，∴|OB →⋅OA →|＝|y A |≤8．则|OB →⋅OA →|的最大值为8． 答案：8．13．（3x x √x ）n 的展开式的通项公式为：T r +1=C n r (3x)n−r ⋅(x √x )r =3n−r ⋅C n r⋅x n−52r ，令n −5r 2=0，可得n =5r2， ∴当r ＝2时，n 取得最小值为5， 答案：B ．14．若m ⊊α，n ∥β，m ，n 是异面直线，则α，β相交或平行，故A 错误； 若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，由n ∥α，则n ∥β或n ⊂β，故B 错误； 若m ⊊α，n ∥α，m ，n 共面于β，则m ∥n ，故C 正确；若m ⊥α，n ⊥β，α，β不平行，则m ，n 为异面直线或相交，故D 错误．答案：C ．15．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（p 2，0），所以设经过焦点直线AB 的方程为y ＝k （x −p2）， 所以{y =k(x −p2)y 2=2px ，整理得k 2x 2−(k 2p +2p)x +k 2p 24=0，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以|AB|=x 1+x 2+p =(2k 2+2)pk2，所以1|AB|=k 2(2k 2+2)p，同理设经过焦点直线CD 的方程为y =−1k （x −p2）， 所以{y =−1k (x −p2)y 2=2px，整理得x 2−(p +2k 2p)x +p 24=0，所以：|CD |＝p +（p +2k 2p ），所以|CD|=12p+2k 2p，则则1|AB|+1|CD|=(1+k 2)2p(1+k )=12p．答案：D ．16．∵a 1＞1，a 2019a 2020＞1，a 2019−1a 2020−1＜0，∴a 2019＞1，a 2020＜1． ∴0＜q ＜1，故①正确；a 2019a 2021=a 20202＜1，∴a 2019a 2021﹣1＜0，故②不正确； ∵a 2020＜1，∴T 2019是数列{T n }中的最大项，故③正确； T 4039＝a 1a 2•…•a 4038•a 4039=a 20204039＜1，T 4038＝a 1a 2•…•a 4037•a 4038=(a 2019a 2020)2019＞1， ∴使T n ＞1成立的最大自然数等于4038，故④不正确． ∴正确结论的序号是①③． 答案：B ．17．（1）∵P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ， ∴CD ⊥P A ．∵矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，而P A 、AD 是平面P AD 的交线． ∴CD ⊥平面PDA ，∵PD ⊂平面PDA ，∴CD ⊥PD ，三角形PCD 是以D 为直角顶点的直角三角形．∵Rt △P AD 中，AD ＝2√2，P A ＝2， ∴PD =√PA 2+AD 2=2√3．∴三角形PCD 的面积S =12×PD ×DC ＝2√3． （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B （2，0，0），C （2，2√2，0），E （1，√2，1）．∴AE →=（1，√2，1），BC →=（0，2√2，0），设AE →与BC →夹角为θ，则cos θ=AE →⋅BC →|AE|→|BC|→=2×22=√22，∴θ=π4，由此可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为π4．[解法二]取PB 的中点F ，连接AF 、EF 、AC ， ∵△PBC 中，E 、F 分别是PC 、PB 的中点，∴EF ∥BC ，∠AEF 或其补角就是异面直线BC 与AE 所成的角． ∵Rt △P AC 中，PC =2+AC 2=4．∴AE =12PC ＝2，∵在△AEF 中，EF =12BC =√2，AF =12PB =√2∴AF 2+EF 2＝AE 2，△AEF 是以F 为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF =π4，可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为π4．18．（1）a →⋅b →=√3cos 2ωx +sinωx ⋅cosωx =√3(cos2ωx+1)2+sin2ωx 2=sin(2ωx +π3)+√32， ∴f(x )=sin(2ωx +π3)+√32， ∵f （x ）的最小正周期为π，且ω＞0，∴2π2ω=π，解得ω＝1；（2）由（1）得f(x)=sin(2x+π3)+√32，∵f(A2)=√3，∴sin(A+π3)=√32，由0＜A＜π得，π3＜A+π3＜4π3，∴A+π3=2π3，解得A=π3，由余弦定理知：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，且b+c＝5，∴16＝25﹣3bc，∴bc＝3，∴S△ABC=12bcsinA=12×3×√32=3√34．19．（1）依题意得f（1）＝f（2）＝f（3）＝…＝f（9）＝f（10）＝10，当n＝1时，g（1）=1050=15，当1＜n≤10，n∈N*时，f（1）＝f（2）＝…＝f（n﹣1）＝10，则g（n）=f(n)50+110(f(1)+f(2)+⋯+f(n−1))=10n+49，n＝1也符合上式，故当1≤n≤10，n∈N*，g（n）=10n+49，当11≤n≤60，n∈N*时，g（n）=f(n)50+f(1)+f(2)+⋯+f(10)+f(11)+⋯+f(n−1)=n50+110(100+f(11)+⋯+f(n−1))=n60+(n−11)(n+10)20=20nn2−n+1090，所以第n个月的当月利润率为g（n）={10n+49，1≤n≤1020n2−n+1090，11≤n≤60；（2）当1≤n≤10，n∈N*，g（n）=10n+49是减函数，此时g（n）的最大值为g（1）=15，当11≤n ≤60，n ∈N *时，g （n ）=20n n 2−n+1090=20n+1090n−1≤202√1090−1，g （n ）在11≤n ≤33，n ∈N *单调递增，g （n ）在34≤n ≤60，n ∈N *单调递减，当且仅当n =1090n，即n =√1090时，g （n ）有最大值，又n ∈N *， g （33）=20×33332−33+1090=3301073，g （34）=20×34342−34+1090=170553， 因为3301073＞170553＞15，所以当n ＝33时，g （n ）有最大值3301073，即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为3301073．20．（1）设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，所以2a ＝10，a ＝5，又椭圆C 经过点（3，165），代入椭圆方程，求得b ＝4，所以椭圆的方程为：x 225+y 216=1；（2）设M （3，y M ），N （3，y N ），F （3，0），由OM ⊥ON ，所以OM →⋅ON →=9+y M y N =0，S △MON =12⋅3⋅|y M −y N |=32|y M +9y M |≥9，故△OMN 面积的最小值为9；（3）设直线l 的方程为：y ＝kx +m ，则点M （−mk ，0），联立{y =kx +m x 225+y 216=1，消去y 得（25k 2+16）x 2+50kmx +25m 2﹣400＝0，x 1+x 2=−50km 25k 2+16，x 1x 2=25m 2−40025k 2+16，所以|AB |=√1+k 2⋅40√25k 2−m 2+1625k 2+16，则AB 的中点P 的坐标为（−25km25k 2+16，−25k 2m 25k 2+16+m ），又PN ⊥AB ，得k PN =−1k，则直线PN 的方程为：y +25k 2m 25k 2+16−m =−1k (x +25km 25k 2+16)，令y ＝0，得N 点的坐标为（−25k 2m+25km 25k 2+16+mk ，0），则|MN |=|−9km 25k 2+16+mk|，所以|AB||MN|=52|k m|⋅√25k 2−m 2+16k 2+1=52|km|⋅√25−m 2+9k 2+1，当且仅当m 2k =91时，比值为定值，此时点M （−mk，0），为M （±3，0）， 故M （﹣3，0）或（3，0）．21．（1）f （x ）具有性质P （12），设x 0∈[0，32]，令f （x 0）＝f （x 0+12），则（x 0﹣1）2＝（x 0−12）2，解得x 0=34，又34∈[0，32]，所以f （x ）具有性质P （12）；（2）任取x 0∈[0，2﹣m ]，令f （x 0）＝f （x 0+m ），则（x 0﹣1）2＝（x 0+m ﹣1）2， 因为m ≠0，解得x 0=−m 2+1，又0＜m ＜2，所以0＜−m2+1＜1， 当0＜m ＜2，x 0=−m2+1时，（2﹣m ）﹣x 0＝（2﹣m ）﹣（−m2+1）＝1−=−m2+1＞0， 即0＜−m2+1＜2﹣m ，即任取实数m ∈（0，2），f （x ）都具有性质P （m ）；（3）若m ∈（0，1]，取x 0=1−m 2，则1−m 2≥0且2﹣m −1−m 2=3−m 2＞0，故x 0∈[0，2﹣m ]，又f （x 0）＝sin （π2−mπ2），f （x 0+m ）＝sin （π2+mπ2）＝sin （π2−mπ2）＝f （x 0），所以f（x ）具有性质P （m ）；假设存在m ∈（1，2）使得f （x ）具有性质P （m ），即存在x 0∈[0，2﹣m ]，使得f （x 0）＝f （x 0+m ），若x 0＝0，则x 0+m ∈（1，2），f （x 0）＝0，f （x 0+m ）＜0，f （x 0）≠f （x 0+m ），若x 0∈（0，2﹣m ]，则x 0+m ∈（m ，2]，进而x 0∈（0，1），x 0+m ∈（1，2]，f （x 0）＞0，f （x 0+m ）≤0，f （x 0）＝f （x 0+m ），所以假设不成立，所以m ∈（0，1]．。
上海市青浦区2020届高三上学期期终学业质量调研(一模)数学试题 Word版含解析
数学试题2019.12 1．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则∁U（A∪B）＝．2．若复数z＝i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的模为．3．直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小是．4．我国古代庄周所著的《庄子•天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为a n，则a n＝．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），则sin2α＝．6．已知正四棱柱底面边长为2，体积为32，则此四棱柱的表面积为．7．设x，y∈R+，若4x1．则的最大值为．8．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），则a n＝．9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种．10．已知对于任意给定的正实数k，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则m＝．11．如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C、D在函数f（x），x＞0的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是．12．已知点P在双曲线1上，点A满足（t﹣1）（t∈R），且•60，（0，1），则||的最大值为．13．使得（3x）n（n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．714．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线15．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则的值为（）A．B．C．2p D．16．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，0，给出下列结论：①0＜q＜1；②a2019a2021﹣1＞0；③T2019是数列{T n}中的最大项；④使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A．①②B．①③C．①③④D．①②③④17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，E是PC 的中点，已知AB＝2，AD＝2，P A＝2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．18．（14分）已知向量（cosωx，sinωx），（cosωx，cosωx）其中ω＞0，记f（x）•．（1）若函数f（x）的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（），且a＝4，b+c＝5．求△ABC的面积．19．（14分）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n个月的利润是f（n）（单位：万元）．记第n个月的当月利润率为g（n），例g（3）．（1）求第n个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．20．（16分）已知焦点在x轴上的椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C经过点（3，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线l1，直线l1上存在M、N两点满足OM⊥ON，求△OMN面积的最小值．（3）若与x轴不垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于定点M，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为定值，求点M的坐标．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]．且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2．存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．（1）已知函数f（x），判断f（x）是否具有性质P（），并说明理由；（2）求证：任取m∈（0，2）．函数f（x）＝（x﹣1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）；（3）已知函数f（x）＝sinπx，x∈[0，2]，若f（x）具有性质P（m），求m的取值范围．1．∵集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}∴A∪B＝{1，3，9}∴∁U（A∪B）＝{5}，答案{5}．2．复数z＝i（3﹣2i）＝3i+2，则|z|．答案：13．3．∵直线l1：x﹣1＝0的倾斜角为，直线l2：x﹣y＝0的斜率为．倾斜角为，故直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小为，答案：π6．4．依题意，第1天“日取其半”后a1；第2天“日取其半”后a2；第3天“日取其半”后a3；、……∴第n天“日取其半”后a n，答案：．5．角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），所以，，所以．答案：6．设正四棱柱的高为h，由底面边长为a＝2，体积为V＝32，则V＝a2h，即h4；所以此四棱柱的表面积为：S＝S侧面积+2S底面积＝4×4×22×22＝3216．答案：16+322．7．∵4x1，x，y∈R+，∴，即，当且仅当“”时取等号，答案：116．8．数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），可得a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…a n﹣a n﹣1，累加可得：a n＝1，则a n＝1．答案：54．答案．9．根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C31＝3种情况，②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有3×3×3＝27种不同的选法，则有3×27＝81种不同的分配方法；答案：8110．由题意可知，k＞0，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则f（m+x）为偶函数，关于y轴对称，故f（m﹣x）＝f（m+x）恒成立，∴2m﹣x+k•2﹣（m﹣x）＝2m+x+k•2﹣（m+x），∵对于任意x∈R成立，故2m﹣k•2﹣m＝0，∴m答案：11．由y＝f（x）=π1+π2，当且仅当x＝1时取等号，得x；又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆半径为y，高为h＝x2﹣x1，且f（x1），f（x2），所以，即（x2﹣x1）（x2•x1﹣1）＝0，所以x2•x1＝1，所以h2＝（x2+x1）2﹣4x2•x1＝（x1）2﹣44，所以h，所以V圆柱＝πy2•h＝πyπ•π•（）π，当且仅当y时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．答案：．12．∵（t﹣1），∴，则，∴，设A（x A，y A），P（x P，y P），∴（x A，y A）＝t（x P，y P），则，即，将点（）代入双曲线中得：，∴①，∵•60，∴||•||＝|t|•60…②，由①②得60＝|t|•|t|•，∴|y A|≤8，∴||＝|y A|≤8．则||的最大值为8．答案：8．13．（3x）n的展开式的通项公式为：T r+1，令n，可得n，∴当r＝2时，n取得最小值为5，答案：B．14．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交或平行，故A错误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，由n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n，故C正确；若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误．答案：C．15．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k （x），所以，整理得，设点A（x1，y1），B （x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y（x），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则．答案：D．16．∵a1＞1，a2019a2020＞1，0，∴a2019＞1，a2020＜1．∴0＜q＜1，故①正确；a2019a20211，∴a2019a2021﹣1＜0，故②不正确；∵a2020＜1，∴T2019是数列{T n}中的最大项，故③正确；T4039＝a1a2•…•a4038•a40391，T4038＝a1a2•…•a4037•a40381，∴使T n＞1成立的最大自然数等于4038，故④不正确．∴正确结论的序号是①③．答案：B．17．（1）∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥P A．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而P A、AD是平面P AD的交线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△P AD中，AD＝2，P A＝2，∴PD2．∴三角形PCD的面积S PD×DC＝2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴（1，，1），（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ，∴θ，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△P AC中，PC4．∴AE PC＝2，∵在△AEF中，EF BC，AF PB∴AF2+EF2＝AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．18．（1），∴，∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω＝1；（2）由（1）得，∵，∴，由0＜A＜π得，，∴，解得，由余弦定理知：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，且b+c＝5，∴16＝25﹣3bc，∴bc＝3，∴．19．（1）依题意得f（1）＝f（2）＝f（3）＝…＝f（9）＝f（10）＝10，当n＝1时，g（1），当1＜n≤10，n∈N*时，f（1）＝f（2）＝…＝f（n﹣1）＝10，则g（n），n＝1也符合上式，故当1≤n≤10，n∈N*，g（n），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），所以第n个月的当月利润率为g（n）；（2）当1≤n≤10，n∈N*，g（n）是减函数，此时g（n）的最大值为g（1），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），g（n）在11≤n≤33，n∈N*单调递增，g（n）在34≤n≤60，n∈N*单调递减，当且仅当n，即n时，g（n）有最大值，又n∈N*，g（33），g（34），因为，所以当n＝33时，g（n）有最大值，即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为．20．（1）设椭圆的方程为，椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，所以2a＝10，a＝5，又椭圆C经过点（3，），代入椭圆方程，求得b＝4，所以椭圆的方程为：；（2）设M（3，y M），N（3，y N），F（3，0），由OM⊥ON，所以，，故△OMN面积的最小值为9；（3）设直线l的方程为：y＝kx+m，则点M（），联立，消去y得（25k2+16）x2+50kmx+25m2﹣400＝0，，，所以|AB|，则AB的中点P的坐标为（），又PN⊥AB，得，则直线PN的方程为：y m，令y＝0，得N点的坐标为（），则|MN|，所以，当且仅当时，比值为定值，此时点M（），为M（±3，0），故M（﹣3，0）或（3，0）．21．（1）f（x）具有性质P（），设x0∈[0，]，令f（x0）＝f（x0），则（x0﹣1）2＝（x0）2，解得x0，又∈[0，]，所以f（x）具有性质P（）；（2）任取x0∈[0，2﹣m]，令f（x0）＝f（x0+m），则（x0﹣1）2＝（x0+m﹣1）2，因为m≠0，解得x01，又0＜m＜2，所以01＜1，当0＜m＜2，x01时，（2﹣m）﹣x0＝（2﹣m）﹣（1）＝11＞0，即01＜2﹣m，即任取实数m∈（0，2），f（x）都具有性质P（m）；（3）若m∈（0，1]，取x0，则0且2﹣m0，故x0∈[0，2﹣m]，又f（x0）＝sin（），f（x0+m）＝sin（）＝sin（）＝f（x0），所以f（x）具有性质P（m）；假设存在m∈（1，2）使得f（x）具有性质P（m），即存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f （x0+m），若x0＝0，则x0+m∈（1，2），f（x0）＝0，f（x0+m）＜0，f（x0）≠f（x0+m），若x0∈（0，2﹣m]，则x0+m∈（m，2]，进而x0∈（0，1），x0+m∈（1，2]，f（x0）＞0，f （x0+m）≤0，f（x0）＝f（x0+m），所以假设不成立，所以m∈（0，1]．。
201213：青浦区2021届高三一模数学卷官方参考答案及评分标准.
微信公众号上海中高考数学整理，仅限学习使用，严禁商用青浦区 2020 学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学参考答案2020.12一.填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．2, 4 ；2． y log2 x ； 3． 3 ；4． 2 ；5． π ；6． 4 ；7． 201 ； 648． 2 ；9. 21 ；10. 13 ； 11． 284 ； 1812. 1,8 .二.选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.13. B ；14. C ； 15． D ；16. B .三．解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的 步骤. 17.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.（1）证明：设 AC 和 BD 交于点 O，则 O 为 BD 的中点，连结 PO ，又因为 P 是 DD1 的中点，故 PO//BD1 又因为 PO 平面 PAC ， BD1 平面 PAC所以直线 BD1 // 平面 PAC（2）由（1）知， PO//BD1 ，所以异面直线 BD1 与 AP 所成的角就等于 PO 与 AP 所成的角，故 APO 即为所求；因为 PA PC 2，AO1 2AC2 且 PO AO22 所以 sin APO AO 2 1 .APO 30AP 2 2即异面直线BD1与AP所成角的大小为π 6（30）．18．（本题满分 14 分）第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分.解：（1）因为 f (x) 为偶函数，且 x R ，所以 f (x) f (x)即 x2 | x a | x2 | x a |即| x a || x a || x a |2 | x a |2微信公众号上海中高考数学整理，仅限学习使用，严禁商用所以 4ax 0 对一切 x R 成立，所以 a 0 （2）因为 a 0 ，且 x (0, a]所以 g(x) f (x) x2 x a x2 a x x a 1，xxxx任取0x1x2a，g ( x1 )g(x2 )x1a x1x2a x2( x1x2)a(x2 x1) x1x2( x1x2 )(x1x2 x1x2a)因为 0 x1 x2 a ，所以 x1 x2 0 且 0 x1x2 a2又 g( x) 在区间 (0, a] 上为减函数，所以 x1x2 a 0即 a x1x2 ，所以 a a2 又 a 0 ，所以 0 a 1．19.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.解：（1）在 PME 中， EPM ，PE=AE-AP=4 米， PEM ， PME 3 ，44由正弦定理得sinPM PEMPE sin PME，所以 PMPE sin PEM sin PME22 sin(3 )sin 4 cos，4同理在 PNE中，由正弦定理得PN sin PENPE sin PNE，所以 PNPE sin PEN sin PNE2 sin(2 )22 cos，2当 M 与 E 重合时， 0 ；当 N 与 D 重合时， tan APD 3,即 APD arctan 3 ， π π arc tan 3 3π arc tan 3 ，所以 0 3π arc tan 3 ；444（2） PMN的面积S1 2PM PN sin MPNcos2 4 sincos4 1 cos 2 1 sin 2sin 28 cos 228 sin(2)，224因为 0 3π 4 arc tan 3 ，所以当 2 4 2即 80,3 4 atc tan 3时，S 取得最小值为微信公众号上海中高考数学整理，仅限学习使用，严禁商用8 28(2 1)所以可视区域 PMN 面积的最小值为 8( 2 1) 平方米．20.(本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 6 分.解：（1）已知动点 M 到直线 x 2 0 的距离比到点 F (1, 0) 的距离大1，等价于动点 M 到直线 x 1的距离和到点 F (1, 0) 的距离相等，由抛物线的定义可得曲线 C 的方程为 y2 4x（2）设直线 PA 的斜率为 k ，因为直线 PA 的斜率与直线 PB 的斜率互为相反数，所以直线 PB 的斜率为 k ，则 lPA：y 2 k(x 1) ， lPB：y 2 k(x 1) y2k y2 4x(x1)ky 24y4k80或k2x22k 2 4k 4x 2 k 2 0即ky2k4y20，所以可得 A 2k k22,4 2k k 同理得 y 2 k y2 4x(x1)ky24y4k80或k2x22k 2 4k 4x k 22 0即ky 2k+4 y20，所以可得B 2k k22,4 k2k 4 2k 4 2k kABk2 k 2k 2 k 2 1k2k2即直线 AB 的斜率为定值 1； （3）设直线 PA 的斜率为 k ，所以直线 PB 的斜率为 2 k ，则 lPA：y 2 k(x 1) ， lPB：y 2 k(x 1) y2k y2 4x(x1)ky 24y4k80即ky2k4y20，所以可得 A 2k k22,4 2k k 同理得 y y2 24x2k(x1)2ky24y4k0微信公众号上海中高考数学整理，仅限学习使用，严禁商用即 2ky2ky20，所以可得B 2k2 k2,2k 2k kAB2k 2k4 2k kk22 k 22 k 2k2kk2(k 2) 2k 2lAB：y 2k 2kkk2(k 2k2) 2 x2k2 k2 ，ykk2(k 2k2) 2x1所以直线 AB 恒过 1, 021.(本题满分 18 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8 分. 解：（1）因为 an 2n ， bn n 2 n N* ，若数列an 与bn具有关系 P 1 ，则对任意的 n N* ，均有 an bn 1 ，即 2n n 2 1，亦即 n 2 1，但 n 4 时， n 2 2 1，所以数列an 与bn 不具有关系 P 1 ．（2）证明：因为无穷数列an 是首项为1，公比为1 3的等比数列，所以an 1 3n1 ，因为 bn2n11，所以 bn1 n 3 1，所以 an bn 1 3n1 1 3n 112 3n 1 ，所以数列an 与bn具有关系 P A ．设 A 的最小值为 A0 ， an bn A0 ，因为 an bn 1 ，所以 A0 1．若0 A0 1，则当 nlog312 A0时， 3n2 1 A0，则12 3nA0 ，这与“对任意的 n N* ，均有an bn A0 ”矛盾，所有 A0 1 ，即 A 的最小值为 1．（3）因为数列an 是首项为 1，公差为 d d R 为等差数列， 无穷数列bn是首项为 2，公比为 q q N* 的等比数列，所以 ana1 n 1 ddn1d， bnb1q n 12 q qn，微信公众号上海中高考数学整理，仅限学习使用，严禁商用设1 da，2 qb0，则 andna， bnbq n， n N* ．数列an 与bn 具有关系 P A ，即存在正常数 A，使得对任意的 n N* ，均有 an bn A ．（Ⅰ）当 d 0 ， q 1 时， an bn 1 2 1 1，取 A 1 ，则 an bn A ，数列an 与bn 具有关系 P A ； （Ⅱ）当 d 0 ， q 2 时，假设数列an 与bn具有关系 P A ，则存在正常数 A，使得对任意的 n N* ，均有 an bn A ．因为 bn an an bn ，所以，对任意的 n N* ， bn an A ，即 bqn1A，qn1 A b，所以nlog q1 bA，这与“对任意的 n N* ，均有 bn an A ”矛盾，不合；（Ⅲ）当 d 0 ， q 1 时，假设数列an 与bn具有性质 P A ，则存在正常数 A，使得对任意的 n N* ，均有 an bn A ．因为 an bn an bn ，所以，对任意的 n N* ， an bn A ，即an 2 A，dn a 2 A ，所以dna 2 A，n a2 A，d这与“对任意的 n N* ，均有 an bn A ”矛盾，不合；（Ⅳ）当 d 0 ， q 2 时，假设数列an 与bn 具有性质 P A ，则存在正常数 A，使得对任意的 n N* ，均有 an bn A ． 因为 bn an an bn ，所以，对任意的 n N* ， bn an A ，所以 bqn dn a A d n a A ，所以 qn d n a A ，bb设 d 0 ， a A 0 ，则对任意的 n N* ， qn n ．bb因为， qn 2n ，所以，对任意的 n N* ， 2n n ，可以证明：存在 N 1，当 n N 时， 2n n2 ．（利用 f n 2n n2 单调性）微信公众号上海中高考数学整理，仅限学习使用，严禁商用又 2n n ，所以 n2 n ，即 n2 n 0 ，解得 0 n 2 4 ， 2这与对任意的 n N* ， 2n n 矛盾，不合．综上所述，数列an 与bn具有关系 P A 的充要条件为 d 0 ， q 1 ．。
上海市青浦区2020届高三数学上学期学业质量调研(一模)试题
上海市青浦区2020届高三数学上学期学业质量调研（一模）试题1．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则∁U（A∪B）＝．2．若复数z＝i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的模为．3．直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小是．4．我国古代庄周所著的《庄子•天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为a n，则a n＝．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），则sin2α＝．6．已知正四棱柱底面边长为2，体积为32，则此四棱柱的表面积为．7．设x，y∈R+，若4x1．则的最大值为．8．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），则a n＝．9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种．10．已知对于任意给定的正实数k，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则m＝．11．如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C、D在函数f（x），x＞0的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是．12．已知点P在双曲线1上，点A满足（t﹣1）（t∈R），且•60，（0，1），则||的最大值为．13．使得（3x）n（n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．714．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线15．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则的值为（）A．B．C．2p D．16．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件： a1＞1，a2019a2020＞1，0，给出下列结论：①0＜q＜1；②a2019a2021﹣1＞0；③T2019是数列{T n}中的最大项；④使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A．①②B．①③C．①③④D．①②③④17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，AD＝2，PA＝2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．18．（14分）已知向量（cosωx，sinωx），（cosωx，cosωx）其中ω＞0，记f（x）•．（1）若函数f（x）的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（），且a＝4，b+c＝5．求△ABC的面积．19．（14分）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n个月的利润是f（n）（单位：万元）．记第n个月的当月利润率为g（n），例g（3）．（1）求第n个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．20．（16分）已知焦点在x轴上的椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C经过点（3，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线l1，直线l1上存在M、N两点满足OM⊥ON，求△OMN面积的最小值．（3）若与x轴不垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于定点M，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为定值，求点M的坐标．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]．且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2．存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．（1）已知函数f（x），判断f（x）是否具有性质P（），并说明理由；（2）求证：任取m∈（0，2）．函数f（x）＝（x﹣1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）；（3）已知函数f（x）＝sinπx，x∈[0，2]，若f（x）具有性质P（m），求m的取值范围．1．∵集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}∴A∪B＝{1，3，9}∴∁U（A∪B）＝{5}，答案{5}．2．复数z＝i（3﹣2i）＝3i+2，则|z|．答案：13．3．∵直线l1：x﹣1＝0的倾斜角为，直线l2：x﹣y＝0的斜率为．倾斜角为，故直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小为，答案：π6．4．依题意，第1天“日取其半”后a1；第2天“日取其半”后a2；第3天“日取其半”后a3；、……∴第n天“日取其半”后a n，答案：．5．角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），所以，，所以．答案：6．设正四棱柱的高为h，由底面边长为a＝2，体积为V＝32，则V＝a2h，即h4；所以此四棱柱的表面积为：S＝S侧面积+2S底面积＝4×4×22×22＝3216．答案：16+322．7．∵4x1，x，y∈R+，∴，即，当且仅当“”时取等号，答案：116．8．数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），可得a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…a n﹣a n﹣1，累加可得：a n＝1，则a n＝1．答案：54．答案．9．根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C31＝3种情况，②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有3×3×3＝27种不同的选法，则有3×27＝81种不同的分配方法；答案：8110．由题意可知，k＞0，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则f（m+x）为偶函数，关于y轴对称，故f（m﹣x）＝f（m+x）恒成立，∴2m﹣x+k•2﹣（m﹣x）＝2m+x+k•2﹣（m+x），∵对于任意x∈R成立，故2m﹣k•2﹣m＝0，∴m答案：11．由y＝f（x）=π1+π2，当且仅当x＝1时取等号，得x；又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆半径为y，高为h＝x2﹣x1，且f（x1），f（x2），所以，即（x2﹣x1）（x2•x1﹣1）＝0，所以x2•x1＝1，所以h2＝（x2+x1）2﹣4x2•x1＝（x1）2﹣44，所以h，所以V圆柱＝πy2•h＝πyπ•π•（）π，当且仅当y时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．答案：．12．∵（t﹣1），∴，则，∴，设A（x A，y A），P（x P，y P），∴（x A，y A）＝t（x P，y P），则，即，将点（）代入双曲线中得：，∴①，∵•60，∴||•||＝|t|•60…②，由①②得60＝|t|•|t|•，∴|y A|≤8，∴||＝|y A|≤8．则||的最大值为8．答案：8．13．（3x）n的展开式的通项公式为：T r+1，令n，可得n，∴当r＝2时，n取得最小值为5，答案：B．14．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交或平行，故A错误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，由n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n，故C正确；若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误．答案：C．15．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k （x），所以，整理得，设点A（x1，y1），B （x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y（x），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则．答案：D．16．∵a1＞1，a2019a2020＞1，0，∴a2019＞1，a2020＜1．∴0＜q＜1，故①正确；a2019a20211，∴a2019a2021﹣1＜0，故②不正确；∵a2020＜1，∴T2019是数列{T n}中的最大项，故③正确；T4039＝a1a2•…•a4038•a40391，T4038＝a1a2•…•a4037•a40381，∴使T n＞1成立的最大自然数等于4038，故④不正确．∴正确结论的序号是①③．答案：B．17．（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥PA．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而PA、AD是平面PAD的交线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△PAD中，AD＝2，PA＝2，∴PD2．∴三角形PCD的面积S PD×DC＝2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴（1，，1），（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ，∴θ，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△PAC中，PC4．∴AE PC＝2，∵在△AEF中，EF BC，AF PB∴AF2+EF2＝AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．18．（1），∴，∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω＝1；（2）由（1）得，∵，∴，由0＜A＜π得，，∴，解得，由余弦定理知：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，且b+c＝5，∴16＝25﹣3bc，∴bc＝3，∴．19．（1）依题意得f（1）＝f（2）＝f（3）＝…＝f（9）＝f（10）＝10，当n＝1时，g（1），当1＜n≤10，n∈N*时，f（1）＝f（2）＝…＝f（n﹣1）＝10，则g（n），n＝1也符合上式，故当1≤n≤10，n∈N*，g（n），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），所以第n个月的当月利润率为g（n）；（2）当1≤n≤10，n∈N*，g（n）是减函数，此时g（n）的最大值为g（1），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），g（n）在11≤n≤33，n∈N*单调递增，g（n）在34≤n≤60，n∈N*单调递减，当且仅当n，即n时，g（n）有最大值，又n∈N*，g（33），g（34），因为，所以当n＝33时，g（n）有最大值，即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为．20．（1）设椭圆的方程为，椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，所以2a＝10，a＝5，又椭圆C经过点（3，），代入椭圆方程，求得b＝4，所以椭圆的方程为：；（2）设M（3，y M），N（3，y N），F（3，0），由OM⊥ON，所以，，故△OMN面积的最小值为9；（3）设直线l的方程为：y＝kx+m，则点M（），联立，消去y得（25k2+16）x2+50kmx+25m2﹣400＝0，，，所以|AB|，则AB的中点P的坐标为（），又PN⊥AB，得，则直线PN的方程为：y m，令y＝0，得N点的坐标为（），则|MN|，所以，当且仅当时，比值为定值，此时点M（），为M（±3，0），故M（﹣3，0）或（3，0）．21．（1）f（x）具有性质P（），设x0∈[0，]，令f（x0）＝f（x0），则（x0﹣1）2＝（x0）2，解得x0，又∈[0，]，所以f（x）具有性质P（）；（2）任取x0∈[0，2﹣m]，令f（x0）＝f（x0+m），则（x0﹣1）2＝（x0+m﹣1）2，因为m≠0，解得x01，又0＜m＜2，所以01＜1，当0＜m＜2，x01时，（2﹣m）﹣x0＝（2﹣m）﹣（1）＝11＞0，即01＜2﹣m，即任取实数m∈（0，2），f（x）都具有性质P（m）；（3）若m∈（0，1]，取x0，则0且2﹣m0，故x0∈[0，2﹣m]，又f（x0）＝sin（），f（x0+m）＝sin（）＝sin（）＝f（x0），所以f（x）具有性质P（m）；假设存在m∈（1，2）使得f（x）具有性质P（m），即存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f（x0+m），若x0＝0，则x0+m∈（1，2），f（x0）＝0，f（x0+m）＜0，f（x0）≠f（x0+m），若x0∈（0，2﹣m]，则x0+m∈（m，2]，进而x0∈（0，1），x0+m∈（1，2]，f（x0）＞0，f （x0+m）≤0，f（x0）＝f（x0+m），所以假设不成立，所以m∈（0，1]．。
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青浦区2020学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试
数 学 试 卷-无答案
一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有10题，1-6每题5分，7-10每题6分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}0,2,4,6,8B =，则A
B = ．
2．函数2x y =的反函数是 ． 3．行列式123
456789
中，元素3的代数余子式的值为 ．
4．已知复数z 满足40z z +
=，则||z = . 5．圆锥底面半径为cm 1，母线长为cm 2，则其侧面展开图扇形的圆心角=θ ．
6．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和为n S ，则2()lim n n n
a S →∞= ． 7．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为
b a 和d c
(),,,a b c d ∈*N ，则b d a c ++是x 的更为精确的近似值．己知15722π507<<，试以上述π的不足近似值15750和过剩近似值227为依据，那么使用两次．．
“调日法”后可得π的近似分数为____________． 8．
在二项式()521)0a ax
>的展开式中5x -的系数与常数项相等，则a 的值是__ __． 9．点A 是椭圆221:12516x y C +=与双曲线22
2:145
x y C -=的一个交点，点12,F F 是椭圆1C 的两个焦点，则12||||AF AF ⋅的值为 ．
10．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从
中随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ．（结果用最简分数表示） 二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
11．已知,a b ∈R ，则“a b =
”是“2
a b += ）． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
12．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．
其中正确的是……………………………………………………………………………（ ）．
（A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）③④
13．已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于1(,)3
P y -，则s in α的值为………………………………………………………………………………………（ ）．
（A
）6 （B
）6 （C
）16 （D
）16
14．设函数,()1,x x P f x x M x
-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：
（1）一定有()()A
P A M =∅；（2）若P M ≠R ，则()()A P A M ≠R ； （3）一定有P M =∅；（4）若P M =R ，则()()A P A M =R ．
其中正确的个数是………………………………………………………………………（ ）．
（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
15.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点． （1）求证：直线1//BD 平面PAC ；
（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小．
16．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.
设函数2()||f x x x a =+-，a 为常数．
（1）若)(x f 为偶函数，求a 的值；
（2）设0>a ，x x f x g )()(=
，],0(a x ∈为减函数，求实数a 的取值范围．
17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=
．记EPM θ∠=（弧
度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．
（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；
（2）求S 的最小值．
18.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.
已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1．
（1）求动点M 所在的曲线C 的方程；
（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；
（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．
19.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
若无穷数列{}n a 和无穷数列{}n b 满足：存在正常数A ，使得对任意的n ∈*N ，均有
n n a b A -≤，则称数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ．
（1）设无穷数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且2n a n =，()
2n b n n =+∈*N ，问：数列{}n a
与{}n b 是否具有关系()1P ？说明理由；
（2）设无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13
的等比数列，11n n b a +=+，n ∈*N ，证明：数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ，并求A 的最小值；
（3）设无穷数列{}n a 是首项为1，公差为()R d d ∈的等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为()q q ∈*N
的等比数列，试求数列{}n a 与{}n
b 具有关系()P A 的充要条件．。