构造函数法解不等式问题(学生版)

专题2.3构造函数法解不等式问题（小题）
在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握，导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个'()f x ，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是()f x 本身的单调性，而是包含()f x 的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是'()f x 的形式，则我们要构造的则是一个包含()f x 的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现'()f x ，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。

例如：'()0f x >，则我们知道原函数()f x 是单调递增的，若'()10f x +>，我们知道()()g x f x x =+这个函数是单调递增的，因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程，只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。

既然是找原函数，那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候，但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可，例如()g x 的原函数是不能准确的找到的，但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含()g x ，则也能大致将那个函数看成是原函数，例如'()()g x m x x
=，或者()m x 的导函数中包含一个能判断符号的式子和()g x 相乘或相除的形式，我们也可以将()m x 大致看成()g x 的原函数。

构造函数模型总结：
关系式为“加”型：
（1）'()()0f x f x +≥构造''[()][()()]
x x e f x e f x f x =+（2）'()()0xf x f x +≥构造''[()]()()
xf x xf x f x =+（3）'()()0xf x nf x +≥构造''11'[()]()()[()()]
n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的符号进行讨论）
关系式为“减”型
（1）'()()0f x f x -≥构造'''2()()()()()[]()x x x x x
f x f x e f x e f x f x e e e --==（2）'
()()0xf x f x -≥构造''2()()()[]f x xf x f x x x -=（3）'
()()0xf x nf x -≥构造'1''21()()()()()[]()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--==（注意对x 的符号进行讨论）
例1.设(),g()f x x 是R 上的可导函数，''()g ()f x x ，分别是(),g()f x x 的导函数，且满足
''()()()g ()0f x g x f x x +<，则当a x b <<时，有（
）.()()()()
A f a g b f b g a >.()()()()
B f a g a f a g b >.()()()()
C f a g a f b g b >.()()()()
D f a g a f b g a >变式：设(),g()f x x 是R 上的可导函数，''()()()g ()0f x g x f x x +<，(3)0g -=，求不等式()()0
f x
g x <的解集。

例2.已知定义为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，'()()0f x f x x
+>，若111(),2(2),ln (ln 2)222
a f
b f
c f ==--=，则下列关于,,a b c 的大小关系正确的是（）.A a b c >>.B a c b >>.C c b a >>.D b a c
>>例3.已知函数()f x 为定义在R 上的可导函数，且'()()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，e 为自然对数的底数，则（）
2013.(1)(0)(2013)(0)
A f e f f e f >⋅<⋅、2013.(1)(0)(2013)(0)
B f e f f e f <⋅>⋅、2013.(1)(0)(2013)(0)
C f e f f e f >⋅>⋅、2013.(1)(0)(2013)(0)
D f e f f e f <⋅<⋅、
例4.设函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且'22()()f x xf x x +>，下面的不等式在R 内恒成立的是（）
.()0A f x >.()0B f x <.()C f x x >.()D f x x
<例5.已知函数()f x 的定义域为R ，且'()1(),(0)4f x f x f >-=，则不等式ln3()1x f x e ->+的解集为（）
.(0,)A +∞1.(,)2B +∞.(1,)C +∞.(,)
D e +∞例6.设'()f x 是奇函数()f x ()x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（
）.(,1)(0,1)A -∞-⋃.(1,0)(1,)B -⋃+∞.(,1)(1,0)C -∞-⋃-.(0,1)(1,)
D ⋃+∞例7.函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为（）
.(1,1)A -.(1,)B -+∞.(,1)C -∞-.(,)
D -∞+∞例8．已知()f x 定义域为(0,)+∞，'()f x 为()f x 的导函数，且满足'()()f x xf x <-，则不等式2(1)(1)(1)f x x f x +>--的解集是（）
.(0,1)A .(1,)B +∞.(1,2)C .(2,)
D +∞例9.设'()f x 为()f x 的导函数，且'()()()f x f x x R >∈,2(2)f e =（e 为自然对数的底数），则不等式2(2ln )f x x <的解集为（
）
高考真题举例解析：1.函数()f x 满足22'
()2(),(2)8x e e x f x xf x f x +==，当0x >时，()f x 的极值状态是
2.定义在R 上的函数()f x 满足'()()1,(0)4f x f x f +>=，则不等式()3x x e f x e >+的解集为___________.
3.定义在R 上的函数()f x 满足(1)1f =，对任意的x R ∈有'1()2
f x <，则不等式22
1()2x f x +>的解集是4.()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且'()()0xf x f x -≤，对任意正数,a b ，
若a b <则必有（）
.()()A af b bf a ≤.()()B bf a af b ≤.()()C af a f b ≤.()()
D bf b f a ≤到此为止常规的抽象函数与导数结合的不等式问题已经讲完了，但是不知道同学们注意了没有，
上面所有的题目中涉及'()f x 均为不等式，
因此我们需要构造原函数用不等关系来证明单调关系，但是如果涉及'()f x 式子为等式呢？又该如何？
特例1.设函数()f x 为R 上的可导函数，对任意的实数x 有2()2018()f x x f x =--，且当(0,)x ∈+∞时，'()20180f x x ->，则不等式(1)()20181009f m f m m +--≥+的解集为__________.
特例2.设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，对于任意的实数x ，都有2'()3()f x x f x =-，当(,0)x ∈-∞时，'1()32f x x +<，若27(3)()92
f m f m m +--≤+，则实数m 的取值范围是__________.特例3.若函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，对任意x R ∈，有2()()f x f x x +-=，且(0,)x ∈+∞时，'()f x x >，若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围是
以上三个特例得知，若含有'()f x 的式子为等式时，可试着将()f x 的表达式写出来，再根据题目中的条件对()f x 表达式进行修订，直到符合题意为止，没必要再构造函数利用单调性来求解不等式，这类问题值得特别留意。