材料力学课件 第十三章 动荷载

d max K d st max 22 . 8 3 . 77 MPa 86
MPa
d max K d st 22 . 8 0 . 7 MPa 16 . 1 MPa
27
课堂练习 1. 直径d=30cm，长度L=1m的圆木桩，下端固定，材料 E=10GPa。重为Q=5KN的重锤从离木桩顶为h=1m的高度自由落 下,木桩顶放置直径 d 1 15 cm ,厚度 h1 2 cm 的橡皮垫，橡皮 E=8MPa,求动荷系数。如果无橡皮垫，动荷系数又是多少。
④冲击过程为线弹性变形过程。(保守计算)
2.动能 T ，势能 V ，变形能 U，冲击前、后，能量守恒：
( 冲击前 ) T1 V1 U 1 T 2 V 2 U
2
( 冲击后 )
最大冲击效应：冲击后的动能为零，T2=0 一个冲击力的变形能为U2=(1/2)PdΔ
d
3.动荷系数为Kd：
Pd K d P j d K d
3
D
EI
AB
DE
EI
③求C面的动应力

Cd max
K d
Cj max
Kd
M
C
(1
1
384 EIh 5 PL
3
)
PL 4W z
Wz
例8 直角拐杆，已知材料的剪切弹性模量G=80×103MPa，弹 性模量E=200×103MPa，BC段的长l1=300mm，AB段的长 l=800mm，杆横截面直径d=60mm。重物W=100N，下落高度 h=50 mm。试求杆的最大动正应力和最大动切应力。
2
g ) 2h f
j
(1)自由落体
:K
d
1
1
2h f
j
( 2 ) 突加荷载
:K
d
2
五、动响应计算：动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积.
[例7 ] 结构如图，AB=DE=L，A、C 分别为 AB 和 DE 的中 点，求梁在重物 mg 的冲击下，C 面的动应力。 E
mg =P
解：①求C点静挠度 B
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法
( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分 析。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若干假设 的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变形进
行偏于安全的简化计算。
1.假设： ①冲击物为刚体； ②冲击物不反弹； ③不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）；
25
解：⒈ 求冲击点C处的静位移用能量法可求得冲击点C处的 静位移
st

Wl 1 3 EI
3

Wl
3
3 EI
BA l 1
3
W l 1 l
3
3



Wl 1 l GI
P
100 N 0 . 3 m 0 . 8 m 3 200 10 Pa
9

[例3 ] 重为G的球装在长L的转臂端部，以等角速度在光滑水 平面上绕O点旋转， 已知许用应力[] ，求转臂的截面面积 （不计转臂自重）。 GG 解：①受力分析如图:
惯性力：

O L
G G ma n Rm LG / g
2 2
②强度条件
G G / A
A GG
2


③求动应力 静应力：
j W / A 0 . 07074 MPa
j
动应力： d K d
15 . 41 MPa
6m
f
例6 在水平平面内的杆AC，绕通过A点的垂直轴以匀角速ω 转动，图示是它的俯视图。杆的C端有一重为W的集中质量。如 因发生故障在B点卡住而突然停止转动，试求杆AC内的最大冲 击应力。设杆AC的质量可以不计。 解：⒈ 求冲击系统的动荷 系数
解： j Qh 1 / E 1 A1 QL / EA

5 0 . 02 4 8 10 0 . 15
5
3
2


5 1 4 10 10
6
0 .3Fra Baidu bibliotek
2
71 . 5 10
Kd 1 1
m
5
2 1 0 . 02 71 . 5 10
53 . 4
j
2
1 2
Pd f d
2
f
( fd )

1 mg 2 f
j
( fd )
2
冲击前、后，能量守恒，所以：
1 2 mv mg ( h f d )
2
mg 2 f
j
( fd )
2
f d (1
1
(
2
g ) 2h fj
) fj Kd fj
动荷系数
:Kd
fd f
j
1
1
(
加速度与质量的乘积。只要在物体上加上惯性力，就可以
把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这就是动 静法。
一、直线运动构件的动应力
[例1 ] 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[], 单位 体积重为 , 以加速度a上升，试校核钢丝绳的强度（不计绳
重）。
解：①受力分析如图:
惯性力：
x a L m x n qj qG a Nd
j
d mg
1 2
m
2
mg ( h K d j )
2
mg 2
Kd
2
j
Kd 1
1
/ g 2h

j
△j:冲击物落点的静位移。
讨论：
(1) 0 :, K d 1 1 2h
j
(2)突加荷载
h 0,
K
d
2
二、不计重力的轴向冲击：

冲击前：
动能 T1 mv 势能 V 1 0
1
第十三章 动荷载
§13–1 基本概念 §13–2 加速运动问题的动响应
§13–3 冲击荷载问题的动响应
§13-1 基本概念 一、动载荷： 载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部件 加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷。 载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产生
mg
A C h
②不计被冲击物的重力势能和动能；
③冲击物不反弹；
④不计声、光、热等能量损耗（能 量守恒）。
L
A
C
fd
B
x
冲 击击 T1 V 1 U 1 1 2 m
2
mg ( h f d ) 0
f
A
C fd
B
x
冲 击击 T 2 V 2 U 0 0 1 Pj 2 f
j
d K d
j
一、轴向自由落体冲击问题
冲击前： mg h v
动能 T1 mv
2
/2
冲击后： 动能
T2 0
势能 V 1 mgh 变形能 U 1 0
势能 V 2 mg d 变形能 U 2 Pd d / 2
冲击前后能量守恒，且
Pd K d P j ( P j mg ) d K d
3 EI
3
l1
2

100 N ( 0 . 3 m) 80 10 Pa
9
0 .8 m
4
π 64
( 0 . 06 m)
4
π 32
( 0 . 06 m)
= 2.11×10-4m
⒉ 计算动荷系数
Kd 1 1 2 50 0 . 211 22 . 8
26
⒊ 计算静载时的最大应力
惯性力），此类载荷为动载荷。
二、动响应： 构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位 移等），称为动响应。 实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不
超过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动。
三、动荷系数：
动荷系数K d
动响应 静响应
d K d j
四、动应力分类： 1.简单动应力： 加速度可以确定，采用“动静法”求解 。 2.冲击载荷： 速度在极短暂的时间内有急剧改变，此时，加
2
/2
mg
变形能 U 1 0
冲击前后能量守恒，且
Pd K d P j ( P j mg ) d K d
1 2 mv
2
冲击后：
动能 T 2 0 势能 V 2 0 变形能 U 2 Pd d / 2
j
mg 2
K
2 d
j
动荷系数 K d

2
g j
三、冲击响应计算
29
13-24 10号工字梁的C端固定，A端铰于空心钢管AB上。钢管 的内径和外径分别为30mm和40mm，B端亦为铰支。梁及钢 管同为A3钢。当重为300N的重物落于梁的A端时，试校核杆 AB的稳定性。规定稳定安全系数nst=2.5。
30
第十三章 练习题 一、轴上装一钢制圆盘，盘上有一圆孔。若轴与 圆盘以匀角速度 40 (1 / s ) 旋转。试求轴内的最大正 应力。

f Cj AA 1 2
3
h A L D A1
EI AB
C C1 C2
C 1C 2
RAL 96 EI
5 PL
3

PL 48 EI
3
DE
AB
EI
DE
EI

192 EI
E
mg =P
②动荷系数 B
K 1 1 2h 5 PL
3
h A L A1
EI
C C1 C2
d
192 EI 1 1 384 EIh 5 PL

GL
( g )
[例4] 设圆环的平均直径D、厚度t ，且 t« D，环的横截面面积
为A，单位体积重量为 ，圆环绕过圆心且垂直于圆环平面的轴 以等角速度旋转，如图所示，试确定圆环的动应力，并建立强 度条件。

O D
qG t
解：①惯性力分析，见图１
qG
Aa n AD
g 2g

st max

Wl Wz

100 N 0 . 8 m π ( 0 . 06 m)
3
3 . 77 10 Pa
6
= 3.77MPa
st
M
T

32 100 N 0 . 3 m
WP
π 16
0 . 7 10 Pa
6 3
= 0.7MPa
( 0 . 06 m)
⒋ 计算最大动应力
等于静响应与动荷系数之积.
[例5 ] 直径0.3m的木桩受自由落锤冲击，落锤重5kN, 求：桩的最大动应力。E=10GPa W 解：①求静变形 P j L WL
j 425 mm EA
2h
j
v h=1m
EA
21000 425
②动荷系数
K d 1 1 1 1 217 . 9
qG
A
g
a
a g )
N d ( q j q G ) x Ax (1
②动应力
d
Nd A x (1 a g )

d max
L (1
a g
) K d
j max
动荷系数：
K d 1
a g
强度条件：



d max
d max
K d
j max


若：


满足 不满足
d max
[例2 ] 起重机钢丝绳长60m，名义直径28cm，有效横截面面积
A=2. 9cm2 , 单位长度重量q=25. 5N/m , [] =300MPa , 以a=2m/s2的 加速度提起重50kN 的物体，试校核钢丝绳的强度。 解：①受力分析如图: Nd ②动应力 L q(1+a/g)
0 . 707 10
5
无橡皮垫
j QL / EA
Kd 1 1
5 1 4 6 2 10 10 0 . 3
m
2 1 5 0 . 707 10
533
28
13-21 如图所示折杆，A端固定，B端支承于轴承中，今有重 物W自高度h=l以初速度v下落至D点，E、G为已知。求梁受冲 击时最大的相当应力（按第三强度理论考虑）。
Kd

2
g j

l
2
2
g j
19
⒉ 计算冲击点在静载下的变形 位移
st Wl l l 1 3 EI
2
⒊ 计算最大静应力

st

M Wz

W ( l l1 ) Wz
⒋ 计算最大冲击应力

d
K d
st


Wz
3 EIWl g
20
四、 梁的冲击问题
1.假设： ①冲击物为刚体； B
2
②内力分析如图2
qG 图1
an D 2
2
2 N d q G D 0
q D AD Nd G 2 4g
2 2
NG
图2
NG
③应力分析
d
Nd A
D
2

2


g

2
4g
④强度条件
d

g
2



[ ] g

最大线速度：
max
[ ] g

§13-3
d
Nd A 1 A ( G qL )( 1 a g )
N d ( G qL )( 1 a g )

1 2 . 910
4
( 50 10 25 . 5 60 )( 1
3
2 9 .8
)
G(1+a/g)
214 MPa 300 MPa
二、转动构件的动应力:
速度不能确定，要采用“能量法”求解；
3.交变应力： 应力随时间作周期性变化，属疲劳问题。 4.振动问题： 求解方法很多。
§13-2 加速运动问题的动响应
方法原理：D’Alembert’s principle ( 动静法 ）
达朗伯原理认为：处于不平衡状态的物体，存在惯性 力，惯性力的方向与加速度方向相反，惯性力的数值等于