中考数学压轴题解题策略

【例题】已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形 ，且 AB>CE．
（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE；
（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为，将正方形CEFG绕 着点C旋转到某一位置时恰好使得CG//BD，BG=BD.
①求 BDE 的度数；
②请直接写出正方形CEFG的边长的值.
M点的坐标及△AME的最大面积.
（3）若抛物线与x轴另一交点为B点，点P在x 轴上，点D（1，-3），以点P、B、D为顶点 的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．
【例题】已知：直线 y=-2x-2与x轴交于点A，与y轴交 于点C，抛物线经过点A、C、E，且点E（6，7）
（1）求抛物线的解析式.
解：（1）∵直线y=-2x-2与x轴交于点A，与y轴交于 点C
常见题型为：方程与几何综 合题；函数与几何综合题； 动态几何中的函数问题；直 角坐标系的几何问题；几何 图形中研究、分析、猜想与 证明问题等。
【例题】已知：直线 y=-2x-2与x轴交于点A， 与y轴交于点C，抛物线经过点A、C、E，且 点E（6，7）
（1）求抛物线的解析式.
（2）在直线AE的下方的抛物线取一点M使得构 成的三角形AME的面积最大，请求出
中考数学压轴题解题策略
【知识精讲】
几何综合题是中考试卷中 常见的题型，常作为中考的压 轴题。
几何综合题分类
大致可分为几何计算 型综合题和几何论证型综 合题，主要考查学生综合 运用几何知识的能力。
几何综合题的特点
这类题往往图形较复杂， 涉及知识点较多，题设和结 论之间的关系较隐蔽，常常 需要添加辅助线来解决。
A
D
A
D
G
F
B
C
E
图1
G
B
F C
E
图2
【例题】已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形 ，且 AB>CE．
（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE； 解：（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,,
BCDC CG CE B C D G C E 9 0
∴ B C D D C G G C E D C GA
（1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以 每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤ t ≤ 12）秒，矩形DEGF与△ABC重叠部分的面积 为S，求关于的函数t关系式，并写出相应的t的取 值范围．
解决综合题的方法——分解变式。 即将综合题分解成多个有关联
D
即 ： B C G D C E
∴ BCG≌DCE ∴ BGDE
G
F
B
C
E
图1
【例题】已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形 ，且 AB>CE。
（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为，将正方形CEFG绕 着点C旋转到某一位置时恰好使得CG//BD，BG=BD.
①求 BDE 的度数；
②请直接写出正方形CEFG的边长的值.
A
D
G
B
F C
E
（2）①连接BE .由（1）可知：BG=DE. ∵ CG/ /BD，∴ D C G = B D C 4 5 ∴ B C G B C D G C D 9 0 4 5 1 3 5 ∵ GCE90 ∴ B C E360 B C G G C E
36013590135
数量关系式，并对你的猜想给予证明；
DE2=BD2+EC2
(2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段 CB延长线上时，如图2，其它条件不变， （1）中探究的结论是否发生改变？请说 明你的猜想并给予证明.
图1
图2
（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立 证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE ∴ △AFD ≌△ABD ∴AF=AB，FD=DB ∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD 又∵AB=AC，∴AF=AC ∵∠FAE=∠FAD＋∠DAE=∠FAD＋45° ∠EAC =∠BAC－∠BAE=90°－(∠DAE－∠DAB)
E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴
上，且点G与点B重合．已知Ａ(-4,0)，Ｂ (8,0)，Ｃ(5,6)，ＤＥ＝4。 若作ＣＭ⊥轴，垂足为Ｍ， 求ＭＡ。ＭＢ，ＭＦ的长。
MA=9,MB=3,MF=1.
变式８：如图(2),矩形DEFG的顶点D、E
分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上， 且点G与点B重合．已知Ａ(-4,0)，Ｂ(8,0)， Ｃ(5,6)，ＤＥ＝８。若作ＣＭ⊥x轴，垂 足为Ｍ。若矩形DEFG从原点出发，沿x轴 的反方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动时间为t秒，矩形DEFG与△ABC重 叠部分的面积为S，求S关于t（0≤t＜3）的
的较小的基本题，逐个解决，从而 得到求解的目的。
变式１:
求直线
l1
:
y
2 3
x
8 3
与轴交点Ａ的坐标。【Ａ(-4,0)】
变式２：求直线 l2:y2x16 与轴交点Ｂ的坐标。【Ｂ(8,0)】
变式３：已知直线
l1
:
y
2 3
x
8 3
与直线 l2:y2x16 ,求交点Ｃ
的坐标。【Ｃ(5,6)】
变式４：已知Ａ（-4,0），Ｂ
A EA F2E F272
∵D(1，-3 ) ∴DM=3 OM=1 MB=3 ∴DM=MB=3 ∴∠MBD=45° ∴∠EAB=∠MBD
B D M B 2M D 232
过点D作∠DP1B=∠AEB交X轴于点P1
∴ΔABE∽BDP1 AE:P1B=AB:BD
7 2:P1B5:3 2,
P1 B
42 5
P 1OP 1BOB4524252,
P1
(
22 5
,
0
)
过点D作∠DP2B=∠ABE交X轴于点P2
∴ΔABE∽ΔBP2D ∴DB：AE=P2B：AB
∴3 2:7
2P2B:5
P2 B
15 7
15 13 P2OOBP2B477,
P
2
(
13 7
,
0
)
【例相题交】于如点图C，，l已1、知l2直分线别交l1 :xy轴 23于xA 、83 与B两直点线．l2:矩y形2x16 DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G 都在x轴上，且点G与点B重合．
∴ B C G = B C E
∵ B C B C ， C G C E ∴ BC G ≌ BC E ∴ BGBE ∵ B G B D D E ∴ B D B ED E ∴ BDE为 等 边 三 角 形
BDE60 ②正方形的边长为 3 1
【代数、几何综合题】
代数、几何综合题是指需要运用代数、几 何两部分知识解决的问题，是初中数学中知识 覆盖面广、综合性最强的题型，它的解法多种 多样。代数、几何综合题可以考查学生的数学 基础知识和灵活运用知识的能力；考查对数学 知识的迁移能力；考查将大题分解为小题、将 复杂问题简单化的能力；考查对代数、几何知 识的内在联系的认识，运用数学思想方法分析 、解决问题的能力。
函数关系式。
SS ABCSBRGS AFH
361t2t1(8t)2(8t)
2
2
3
S4t216t44.(0t3) 3 33
变式９：如图(3),矩形DEFG的顶点D、E
分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，
且点G与点B重合．已知Ａ(-4,0)，Ｂ(8,0)， Ｃ(5,6)， ＤＥ＝８。若作ＣＭ⊥x轴，垂 足为Ｍ。若矩形DEFG从原点出发，沿x轴 的反方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动时间为t秒，矩形DEFG与△ABC重 叠部分的面积为S，求S关于t（3≤t＜8）的 函数关系式。
（2）在直线AE的下方的抛物线取一点M使得构
成的三角形AME的面积最大，请求出M点的坐
标及△AME的最大面积.
8Y E
6
4
N
2
10
5
A
B5 HX
10
2C DM
4
6
（2）在抛物线上取一点M， 作MN//y轴交AE于点N
设点M的横坐标为a，则纵 坐标为 1 a2 3 a 2
22
8Y E
6
4
N
2
∵ MN//y轴 ∴点N的10 横坐 5
∴A（-1，0） C（0，-2）………1分
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵抛物线经过点A、C、E 1
2
a-b+c=0
a= 3
∴ c=-2
∴ b= 2
36a+6by+c=17
x2
3
c=-2
x2
∴
22
【例题】已知：直线 y=-2x-2与x轴交于点A， 与y轴交于点C，抛物线经过点A、C、E，且 点E（6，7）
A
B5 HX
10
标为a
2C
设AE的解析式y=kx+b，把
D
M
4
A（-1，0） E（6，7）代
入y=kx+b中得 k b 0 ,
6
k
b
7,
解得
k b
16 y x1
8
1.
∵N在直线AE上，∴N(a ，a+1)
∴M N = a 1 ( 1 a 2 3 a 2 ) a 1 1 a 2 3 a 2 1 a 2 5 a 3
小明的思路是：把△AEC 绕点A顺时针旋转90°， 得到△ABE′，连结E′D，使问题得到解决.
请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的
数量关系式，并对你的猜想给予证明；
(2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线 段CB延长线上时，如图2，其它条件不变， （1）中探究的结论是否发生改变？请说 明你的猜想并给予证明.
= 45°＋∠DAB∴ ∠FAE =∠EAC
又∵ AE=AE∴△AFE≌△ACE∴ FE=EC ∠AFE=∠ACE=45° ∠AFD=∠ABD=180°－∠ABC=135° ∴ ∠DFE=∠AFD－∠AFE=135°－45°=90° ∴在Rt△DFE中DF2＋FE2=DE2 , 即DE2=BD2 +EC2
（3）若抛物线与x轴另一交点为B点，点P在x轴上， 点D（1，-3），以点P、B、D为顶点的三角形与 △AEB相似，求点P的坐标．
8Y E
6
4
N
2
10
5
A
B5 HX
10
2C M
D
4
6
（3）过点E作EF⊥X轴于点F，过点D作DM⊥X轴于点M ∵A(一1，0) B(4，0) E（6，7） ∴AO=1 BO=4 FO=6 FE=7 AB=5 ∴AF=FE=7 ∠EAB=45°
解几何综合题需注意： 1.图形的直观提示； 2.分析挖掘题目的隐含
条件、拓展条件，为解题创 造条件、打好基础。
【例题】阅读下列材料：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点， 若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线
段之间的数量关系.
22
22 22
∵ 1 0 ∴ a b 5 时，MN有最大值
2
2a 2
最大值 MN4acb2 49
4a 8
y 8 Y x 1 E
6
过点E作EH⊥x轴于点H
∴S
AME
1 2
MN
AH
10
5
1 49 7 343
28
16
M (5 , 21) 28
4
N
2
A
B5 HX
10
2C M
D
4
6
【例题】已知：直线 y=-2x-2与x轴交于点A，与y轴交 于点C，抛物线经过点A、C、E，且点E（6，7）
SSAGRSAFH
1(12t)2(12t)1(8t)2(8t)
2
3
23
S8t80(3t8) 33
变式10：如图(4),矩形DEFG的顶点D、E 分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上， 且点G与点B重合．已知Ａ(-4,0)，Ｂ(8,0)， Ｃ(5,6)， ＤＥ＝８。若作ＣＭ⊥x轴，垂 足为Ｍ。若矩形DEFG从原点出发，沿x轴 的反方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动时间为t秒，矩形DEFG与△ABC重 叠部分的面积为S，求S关于t（8≤t＜12） 的函数关系式。
（8,0），Ｃ(5,6)，求△ＡＢＣ的
面积。
S1A BC M1(84)636
2
2
变式５：已知ＢＤ//y轴，交直线
l1
:
y
2 3
x
8 3
于点Ｄ，且Ｂ（8,0），求ＢＤ的长。
y 288 8 33
变式６：已知ＤＥ//x轴，交直线l2:y2x16
于点Ｅ，且Ｄ（8,8），求ＤＥ的长【DE=4】
变式７：如图(1)，矩形DEFG的顶点D、
∴ ∠ABC＋∠ABE′=90°即 ∠E′BD=90°∴ E′B2＋BD2= ED2
又∵ ∠DAE=45° ∴ ∠BAD＋∠EAC=45° ∴ ∠E’AB＋∠BAD=45° 即 ∠E′AD=45° ∴ △AE′D≌△AED ∴ DE=DE′ ∴ DE2=BD2+EC2
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的
图1
图2
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量 关系式，并对你的猜想给予证明；
解：（1） DE2=BD2+EC2 证明：根据△AEC绕点A顺时针旋转90° 得到△ABE′ ∴ △AEC ≌△ABE′ ∴ BE′=EC, AE′=AE ∠C=∠ABE′ , ∠EAC=∠E’AB. 在Rt△ABC中 ∵ AB=AC ∴ ∠ABC=∠ACB=45°