安庆师范学院：04—05 数学分析B卷答案
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数学系一年级第二学期期末考试试卷
《数学分析》B参考答案
一 判断题： （7×2分=14分）
（1）幂级数在收敛区间内每一点绝对收敛。（√）
（2）若 为点集 的聚点 的任意邻域内均含有 中异于 的点。（√）
（3） 在[a，b]上有界，则 在[a，b]上可积.（×）
（4）若 收敛，则 也收敛 （×）
（5）闭集必为闭域。(×)
(5分)
(7分)
2、
解：原式= (3分)
=
= (7分)
3、
解：原式 (3分)
= (5分)
= (7分)
4、要制作一个有盖的圆柱形罐头，其体积为V不变，
问怎样选择其高与底面半径使得其表面积最小？
解：设其高为h,半径为r,则有
于是:S=2 (2分)
故有:
令 =0得 为S(r)的最小值点(5分)
此时求得 ，且 。
又 当 时收敛，当 时发散
故 当 时收敛，当 时发散 (4分)
3、 （证明条件收敛）
解：（1） ， 而 发散，所以 (3分)
（2）由于 所以 当 时单调递减
且
由牛顿—莱布尼兹公式判别法知： 条件收敛。(7分)
五、把 在 内展开成正弦级数。（8分）
解：对 作奇式周期延拓，
（4分）
所以
当 时右边级数收敛于 （8分）
从而 在 上不一致收敛。…………5分
（3）、 ， 使得 ，此时有 ，而 收敛，故 在 上一致收敛，因级数在 上收敛， 连续，于是 在 内一次可微，特别在 点可微，由 的任意性知 在 内一次可微。…………7分
同理可证， 在 内可微。
事实上， ， 使得 ，此时有 ，而 收敛，故 在 上一致收敛，故 在 内可微，特别在 点可微，由 的任意性知： 在 内可微。
故当 ， 时其表面积最小。(7分)
5、设 求
解：记 ，
它们均在 上连续，且 ，
故由优级数判别法 在 上一致收敛。(4分)
从而根据函数项级数的可积性定理有
(7分)
四、判断下列级数的敛散性： （2×4分+7分=15分）
(4分)
1、
解：
由于 收敛 (2分)
故由比较判别法知 收敛 (4分)
2、
解：由积分判别法 知 与 具有相同的敛散性 (2分)
综上， 在 内收敛，但不一致收敛，而和函数在 内无穷次可微。…………10分
六、证明题（6分+10分=16分）
1应用凸函数的概念证明对任意实数 有 ；
证明：设 ，由于 ，
可知 在 上为严格凸函数(3分)
令 ， 由凸函数定义有
从而 (6分)
2证明： 在 内收敛，但不一致收敛，而和函数在 内无穷次可微。
证明：（1）、 ，因为：
所以 收敛。…………2分
（2）、因为
所以在 上级数通项 不一致收敛于
（6）设级数 收敛，则将 的项任意重排后所得的级数也收敛。（×）
（7）பைடு நூலகம்必发散。 （√）
二、填空题： （4×3分=12分）
1、
2、当 , 时，点 为曲线 的拐点。
3、瑕积分 在 时收敛，在 时发散。
4、幂级数 的收敛域为
三、计算题： （5×7分=35分）
1、求椭圆 所围的面积
解：化椭圆为参数方程 (2分)
《数学分析》B参考答案
一 判断题： （7×2分=14分）
（1）幂级数在收敛区间内每一点绝对收敛。（√）
（2）若 为点集 的聚点 的任意邻域内均含有 中异于 的点。（√）
（3） 在[a，b]上有界，则 在[a，b]上可积.（×）
（4）若 收敛，则 也收敛 （×）
（5）闭集必为闭域。(×)
(5分)
(7分)
2、
解：原式= (3分)
=
= (7分)
3、
解：原式 (3分)
= (5分)
= (7分)
4、要制作一个有盖的圆柱形罐头，其体积为V不变，
问怎样选择其高与底面半径使得其表面积最小？
解：设其高为h,半径为r,则有
于是:S=2 (2分)
故有:
令 =0得 为S(r)的最小值点(5分)
此时求得 ，且 。
又 当 时收敛，当 时发散
故 当 时收敛，当 时发散 (4分)
3、 （证明条件收敛）
解：（1） ， 而 发散，所以 (3分)
（2）由于 所以 当 时单调递减
且
由牛顿—莱布尼兹公式判别法知： 条件收敛。(7分)
五、把 在 内展开成正弦级数。（8分）
解：对 作奇式周期延拓，
（4分）
所以
当 时右边级数收敛于 （8分）
从而 在 上不一致收敛。…………5分
（3）、 ， 使得 ，此时有 ，而 收敛，故 在 上一致收敛，因级数在 上收敛， 连续，于是 在 内一次可微，特别在 点可微，由 的任意性知 在 内一次可微。…………7分
同理可证， 在 内可微。
事实上， ， 使得 ，此时有 ，而 收敛，故 在 上一致收敛，故 在 内可微，特别在 点可微，由 的任意性知： 在 内可微。
故当 ， 时其表面积最小。(7分)
5、设 求
解：记 ，
它们均在 上连续，且 ，
故由优级数判别法 在 上一致收敛。(4分)
从而根据函数项级数的可积性定理有
(7分)
四、判断下列级数的敛散性： （2×4分+7分=15分）
(4分)
1、
解：
由于 收敛 (2分)
故由比较判别法知 收敛 (4分)
2、
解：由积分判别法 知 与 具有相同的敛散性 (2分)
综上， 在 内收敛，但不一致收敛，而和函数在 内无穷次可微。…………10分
六、证明题（6分+10分=16分）
1应用凸函数的概念证明对任意实数 有 ；
证明：设 ，由于 ，
可知 在 上为严格凸函数(3分)
令 ， 由凸函数定义有
从而 (6分)
2证明： 在 内收敛，但不一致收敛，而和函数在 内无穷次可微。
证明：（1）、 ，因为：
所以 收敛。…………2分
（2）、因为
所以在 上级数通项 不一致收敛于
（6）设级数 收敛，则将 的项任意重排后所得的级数也收敛。（×）
（7）பைடு நூலகம்必发散。 （√）
二、填空题： （4×3分=12分）
1、
2、当 , 时，点 为曲线 的拐点。
3、瑕积分 在 时收敛，在 时发散。
4、幂级数 的收敛域为
三、计算题： （5×7分=35分）
1、求椭圆 所围的面积
解：化椭圆为参数方程 (2分)