第2章 信号分析基础 题库-答案

（1）傅里叶级数实数形式的幅值谱、相位谱；
（2）傅里叶级数复数形式的幅值谱、相位谱；
（3）幅值谱密度。
解：（1）实数形式
傅里叶级数三角形式的展开式：
x(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t
bn
sin
n0t )
x(t)
2 2
Acos(0t)
2 2
A sin(0t )
得： a0
0 ， an
形脉冲。
x(t)
t
x1 (t )
x2 (t )
图2-31
解：矩形脉冲信号
x(t
)
E 0
| t | T1 的频谱密度 | t | T1 t
t
X ()
T1 T1
Ee
jt dt
2ET1
sinc(T1)
所以
X1
(
)
sinc(
1 2
)
，
X
2
(
)
3
sinc(
3 2
)
x(t)
1 2
x1 (t
2.5)
x2 (t
过程： T 0
A2
T 1 cos 2t dt
T0
2
A2 2
18.求正弦信号 xt Asin( t ) 的概率密度函数 p(x)。
解：
公式： p(x) lim P(x x(t) x x)
x0
x
过程：
在一个周期内Tx0 t1 t2 P[x x(t) x x] lim Tx Tx0
答：充分条件：绝对可积
充要条件：
（D） a X a f
6．判断对错：1、 随机信号的频域描述为功率谱。（ V ）
7．求符号函数的频谱。
1 x(t) 1
0
t 0 t0 t 0
解：做一个双边函数
f1(t)
eat eat
t 0 t0
F1()
0 eate jt dt
eate jt dt
0
5.设某一信号的自相关函数为 Acos() ，则该信号的均方值为 x 2 = A ，均
方根值为 Xrms= A
。
6.卷积的过程主要有 反折 、
平移 、 相乘
和积分。
7.相关函数和卷积的关系式为___ Rxy ( ) x(t) * y(t) ____ _。
8.相关函数的性质有哪些？ 答：相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析 可以发现信号中许多有规律的东西。
6.求 cos 2t(t 1.5)dt
-1 。
7.工程中常见的周期信号其谐波的幅度随谐波的频率增加而（ ） A.增加 B. 减小 C.不变 D.不确定 8.判断对错：（用√或×表示） 1） 非周期信号的频谱一定是连续的。（ X ） 2）非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。（ X ） 9.周期信号频谱的特点？ 答：1）周期信号的频谱是离散的。
x
t
-T
-T1 T1
T
解： 在 x（t）的一个周期中可表示为
x(t
)
1 0
| t | T1 T1 | t | T / 2
该信号基本周期为
T，基频0 =
2 T
，对信号进行傅里叶复指数展开。由于
x(t)关于
t=0
对称，我们可以方便的取-T/2≤t≤T/2 作为计算区间。计算各傅里叶序列系数 Cn。 n=0 时，常值分量：
2.5)
X
()
1 2
e
j 2.5
X 1 ( )
e
j 2.5
X 2 ()
1 e j2.5 sinc( 1 ) e j2.5 3sinc( 3 )
2
2
2
2.4 信号的相关分析 卷积
1．若两个信号都是均值为零的功率信号，波形完全相似，则两信号 线性相关 。 2.自相关函数是 的 偶函数 ，互相关函数为 非奇非偶函数 。 3．当延时τ＝0 时，信号的自相关函数 Rx(0)= x 2 ，且为 Rx(τ)的 最大 值。 4.周期信号的自相关函数是 同频率 周期信号，但不具备原信号的 相位 信息。
（6）随机信号的自相关函数随| | 的增大快速衰减。
（7）两个非同频的周期信号互不相关
9．设信号的自相关函数为脉冲函数，则自功率谱密度函数必为（ ）。 A. 脉冲函数 B. 有延时的脉冲函数 C. 零 D. 常数
10．两个非同频率的周期信号的相关函数为（ ）。 A. 0 B. 1 C. π D. 周期信号
独立变量。
4. 描述随机信号的时域特征参数有 均值 、 均方值 、 方差 。
5.周期信号的频谱具有三个特点： 离散型 、 谐波形 、 收敛性 。
6.非周期信号包括 准周期 信号和 瞬态 信号。
7.信号 x(t)的均值μx 表示信号的 直流 分量，方差 x 2 描述信号的 波动程度 。
cos 2 t (t 1.5)dt = -1
2.对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是 偶 对称，虚频谱（相频谱） 总是 奇 对称。
3.周期信号各频谱分量的谱线高度分别表示该次谐波的 幅值 和 相位角 。
4.比较傅里叶级数的两种展开形式：复指数函数形式的频谱为 双边频谱 ，三 角函数形式的频谱为 单边频谱 。
5.周期信号基波频率是各高次谐波分量频率的 公约数 。
||
2T1 T
sinc(n0T1) | ，相位谱为n
0, ,
2.3 非周期信号及其频谱
1． 信号傅里叶变换的幅值在频域的分布 称为信号的幅值谱密度。
2．已知信号 x(t)的傅立叶变换为 X(f)，则 xt 的傅里叶变换为 X f
。
3．已知函数 x(t)的傅里叶变换为 X(f)，则函数 y(t)=2x(3t)的傅里叶变换为
8.
。
9.某随机信号的方差为2来自x，均方值为2 x
，均值为
x
，则三者之间存在关系式:
2 x
2 x
2 x
。
10.信号的概率密度函数表示 信号幅值落在指定区间的概率 。
11.信号的数学表达式一般包含信号的 周期 、 频率 、 幅度 、 相位 。
12.下列信号中功率信号是（ ）。
A.指数衰减信号 B.正弦信号、C.三角脉冲信号 D.矩形脉冲信号
13.周期信号 x(t) = sin(t/3)的周期为（ ）。
A. 2π/3 B. 6π C. π/3
D. 2π
14.不能用确定的数学公式表达的信号是（ ）
A.复杂周期信号 B.瞬态信号 C.随机信号 D.非周期信号
15.下列信号中周期函数信号是（ ）。
A.指数衰减信号 B.随机信号 C.余弦信号、D.三角脉冲信号
2 2
A
n 1 ， bn
2 2
A
n 1
0 n 1
0 n 1
A
所以，
An
0
n n
1 1，n
/ 4
0
n 1 n 1
（2）复数形式
傅里叶级数复数展开式为： x(t) cne jn0t n
|
cn
|
1 2
A
n 1
0 n 1
（3）幅值谱密度
时移性： x(t t0 ) e j2 ft0 X ( f )
16. (t) 为单位脉冲函数，则 (at) 的冲激强度为（ ）
A |a|
Ba
C 1/a D|1/a|
17.求正弦信号
xt
Asin
t
的均方值
2 x
。
解：
公式：
2 x
E[x2 (t)]
lim
1 T
T x2 (t)dt
0
2 x
1 T
T ( Asin t)2 dt
0
A2 T sin2 tdt
2）每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是各高次谐波分量频 率的公约数。 3）各频率分量的谱线高度表示该次谐波的幅值和相位角。工程中常见的周 期信号，其谐波分量的幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。
10.已知 X (t) sin t , 则 an = 0 。
11.求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱。
11．概率密度函数提供的信号的信息是（ ）。 A. 沿频率轴分布 B. 沿时域分布 C. 沿幅值域分布 D. 沿强度分布
12.判断对错：（用√或×表示） 1） 互相关函数是偶实函数。（ X ） 13．求同周期的方波和正弦波的互相关函数。
解：
按方波分段直接计算：
Rxy
(
)
1 T
T
x(t ) y(t)dt
（ ）。
A． 2 X ( f ) 33
B． 2X ( f ) 3
C． 2 X ( f ) 3
D． 2X(f)
4. 已知信号 x(t)的傅立叶变换为 X(f)，则 x 1 t 的傅立叶变换是（
）。
a
（A） a X af
（B） 1 X f a a
（C）
a
X
f a
*5．非周期信号的傅里叶变换存在的充要条件？
则
x t e j2f0t FT X f f0
证明：
由于 X ( f ) x(t)e j2 ftdt
用 f f0 代替 f 可得：
X ( f
f0)
x(t)e j2（f
f0）t dt = x(t)e j2 f0te j2 ftdt
所以 x t e j2f0t FT X f f0
0
1 [
T /4
(1) sin(t )dt
3T /4
1sin(t )dt
T
(1) sin(t )dt
1
1 j2
a j a j a2 2
求极限得到 F() lim
j2
2
=
2
e
j 2
a0 a2 2 j | |
| F() | 2 | |
arctan
2 / 0
/ 2
/
2
0 0
8. 求被截断的余弦函数 x(t) 0cos0t 解：
| t | T 的傅立叶变换。 | t | T
X ( f )
T T
cos
0te
j
2
ft
dt
1 T (e j0t e j0t )e j2 ft dt
2 T
1 T [e j(2 f 0 )t e j(2 f 0 )t ]dt
2 T
1 2
[
e j(2 f j(2 f
0 )t
0
)
]TT
1 2
[
e j(2 j(2
f
f
0 )t
0
)
]TT
sin(2 f 0 )T sin(2 f 0 ) T
[
2 (a j2 ( f
f0 )) ]0
j
e(a j 2 f0 )t
[
2 (a j2 ( f
f0 )) ]0
j[
1
1
]
2 (a j2 ( f f0 )) (a j2 ( f f0 ))
10．设 X(f)为周期信号 x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性。
即：若
xtFT X f
11．求单位阶跃函数的频谱。 解：利用符号函数 u 1 [1 sgn(t)]
2
由于 F(1) 2 () ， F (sgn(t)) 2 j
所以阶跃函数的频谱为： F[u(t)] () 1 j
相频特性
()
/ 2
/
2
0 0
12、已知信号
x(t
)
4
cos(2f
0t
4
)
，试计算并绘图表示
T T T0 dt 1 1/ A 1 dx 1 (x / A)2 A2 x2
p(x) lim P[x x(t) x x] lim 2 t 2 dt
2
1
x0
x
T x0 0
x
T0 dx T0 A2 x2
A2 x2
2.2 周期信号及其频谱
1.一个周期信号只要满足 狄里赫利 条件，就可以展开成一系列的正弦信号或 复指数信号之和。
2 f 0
2 f 0
T sinc(2 f 0 )T T sinc(2 f 0 ) T
9．求指数衰减振荡信号 xt eat sin 0t 的频谱。
解：
X ( f ) x(t)e j2 ftdt
e at j (e j2 f0t e j2 f0t )e j2 ft dt
0
2
j
e(a j 2 f0 )t
C0
a0
1 T
T1 dt 2T1
T1
T
n≠0 时，
Cn
1 T
T /2 x(t)e jn0t dt 1
T /2
T
T1 e jn0t dt
T1
1 T
1 jn0
(e ) jn0t T1 T1
2 n0T
e jn0T1 (
e jn0T1 )
2j
2T1 T
sinc(n0T1 )
其幅值谱为：| Cn
第二章 信号分析基础
练习题：
2.1 信号的分类及其基本参数
1.测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依
靠它们来传输的。这些物理量就是 信号
，其中目前应用最广泛的是电信
号。
*2.确定信号包括 周期信号 、 准周期信号 和 瞬态信号 。
3.信号的时域描述，以 时间 为独立变量；而信号的频域描述，以 频率 为
（1）自相关函数是 的偶函数， Rx ( ) Rx ( )
（2）互相关函数是非奇非偶函数，满足 Rxy ( ) Ryx ( )
（3）自相关函数在
=0
时为最大值，并等于该信号的均方值
2 x
（4）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位 信息。 （5）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，但保留了原信号的相 位差信息。
有： F[cos(2
f0t)]
1 [ ( 2
f
f0) ( f
f0 )]
x (t
)
4
cos(2f 0 t
4
)
则 F[Acos(2
f0t
)] 4
1 2
A[ ( f
f0) ( f
j f
f0 )]e 4 f0
13．所示信号的频谱
x(t)
1 2
x1 (t
2.5)
x2 (t
2.5)
式中x1(t), x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩