电磁感应中的导体棒问题

ef棒不固定时 ，整个运动过程中产生的热量：
1 1 1 4 2 2 2 Q0 mv 0 mv1 mv 2 Q 2 2 2 5
无外力双棒问题
基本模型 无外力 等距式
1 2
运动特点
杆1做a渐小 的加速运动
杆2做a渐小 的减速运动 杆1做a渐小 的减速运动
最终特征
v0
v1=v2
I＝ 0 a＝ 0 I＝ 0
e B l2 f
FB 2
l1 l2
I1 m1v0 m1v1 I 2 m2v2 0
Bl2 v2
结合： Bl1v1
6．两棒最终速度
g
2 1 2
FB1 ml l1 v v 棒gh： 1 2 2 0 m1l2 m2l1 m1l2 l1 h 棒ef： v2 v 2 2 0 m1l2 m2l1
2 I2 cd产生的电热： Qcd Q 3 9m
a g R1
b h
e
R2 f
g
v0
B

l1 h
v0
e
B l2 f
例2：如图所示，导体棒ef、bc处于水平放置宽度 不同的足够长的平行金属导轨上，l1=2l2，导体 棒 gh和ef的质量均分别为m1、m2 ，m1＝m2＝m, 电阻分别为R1、R2 ，磁感应强度为B 的匀强磁 场垂直穿过导轨平面。现固定 ef棒，给gh一水平 向右的初速度v0，整个运动过程中产生的热量为 Q。不计导轨电阻及摩擦。问：当ef棒不固定时， gh 以v0起动后整个运动过程中产生多少热量？ g （导体棒只能在各自的 e 轨道上运动。） v 0 l1 B l2
b
c
解：由于ab、cd横截面积之比为2∶1，所以质量之比为 2∶1，电阻之比为1∶2。 根据已知得ab的初速度为:v1=I/m
E F 因此有： E BLv1 , I , F BLI , a m r 2r m/2 2 B 2 L2 I 得cd棒最大加速度： am 3m 2 r
电磁感应中的导体 棒问题（三）
电 磁 感 应 动力学观点 受力情况分析 中 的 动量观点 导 运动情况分析 能量观点 体 棒 问 题
牛顿定律 平衡条件 动量定理
动量守恒
动能定理 能量守恒
例1：如图所示，在光滑水平足够长的平行金属导 轨（导轨间距离为L）上，放置质量均为m的导体 棒gh 和ef ,gh 棒的电阻为R1,导体棒ef电阻为R2 ， 若导轨电阻不计，两棒均能沿轨道滑动并始终保 持良好接触，在运动过程中ef和gh不会相碰，整个 装置处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向 垂直于导轨平面。开始时gh棒静止，ef 棒有初速 度v0，求：（1）分析两棒的运动情况，（2）在 运动中产生的焦耳热最多是多少？ （2）当ef棒的 e a g 速度达到3/4 v0 时， gh棒的加速度是多少？ R1 R2 v
g
3．两棒的运动情况 棒gh加速度变小的减速, 最终匀速; 棒ef加速度变小的加速, 最终匀速. v 4．最终特征 v0 回路中电流为零
v2
v1
O
l1
FB1
v0
h
e B l2 f
FB 2
Bl1v1 Bl2 v2
ef gh
t
5．动量规律
g
任一时刻两棒中电流相同， FB1 v 0 l gh、ef受到的安培力大小 1 之比为： FB1 BIl1 l1 h FB 2 BIl2 l2 I F t 1 B 1 整个过程中gh、ef所受安培 I2 FB 2t 力冲量大小之比： 对棒gh： 对棒ef：
I 2 m v2
整个过程中gh、ef所受安培力冲量大小之比：
I1 FB1t BIl1 l1 2 I2 FB 2t BIl2 l2
稳定时两棒有：
Bl1v1 Bl2 v2
1 2 两棒最终速度： v1 v0 , v2 v0 5 5
ef棒固定时 ，整个运动过程中产生的热量：
1 2 Q mv 0 2
Blv0 Im R1 R2
3．两棒的运动情况 安培力大小： 2 2 B l ( v2 v1 ) FB BIl R1 R2
e a g R1 FB R2
FB
v0
B
b h
f
两棒的相对速度减小，感应电流减小，安培力 减小。棒gh做加速度减小的加速运动，棒ef做加速 度减小的减速运动，最终两棒具有共同速度。 v 4．三个规律 v0 (1)瞬时加速度 ef
无外力 不等距式
1
v0 2
杆2做a渐小 的加速运动
l1v1=l2v2
练习2:如图所示光滑平行金属轨道abcd，轨道的 水平部分bcd处于竖直向上的匀强磁场中，bc部 分平行导轨宽度是cd部分的2倍，轨道足够长。 将质量相同的金属棒P和Q分别置于轨道的ab段 和cd段。P棒位于距水平轨道高为h的地方，放 开P棒，使其自由下滑，求P棒和Q棒的最终速度。
FB B l (v2 v1 ) a m m( R1 R2 )
2 2
v
O
gh
t
(2)动量规律 两棒受到安培力大小相等方 向相反,系统合外力为零，系 统动量守恒.
e a g R1 FB R2
FB
v0
B
mef v0 (mgh mef )v
b h
f
对棒ef应用动量定理有：
B Ilt mef v mef v0 qBl mef v mef v0
B
h
a P
b
Q
c
d
1 2 解：对P棒下滑过程应用动能定理: mgh mv 0 2
对两棒分别应用动量定理: P棒： Q棒：
I1 mv0 mv 1 I 2 m v2
整个过程中gh、ef所受安培力冲量大小之比：
I1 FB1t BIl1 l1 2 I2 FB 2t BIl2 l2
gh棒的加速度大小为： 2 2 3 B l ( v0 v1 ) 2 2 B l v0 FB 4 a m m( R1 R2 ) 2m( R1 R2 )
4
练习1:如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁 感应强度为B的匀强磁场方向竖直向下。同种合 金做的导体棒ab、cd横截面积之比为2∶1，长度 和导轨的宽均为L，ab的质量为m ,电阻为r，开始 时ab、cd都垂直于导轨静止，不计摩擦。给ab一 个向右的瞬时冲量I，在以后的运动中，cd的最 大速度vm、最大加速度am、产生的电热各是多 少？ B a d
稳定时两棒有： Bl1v1
Bl2 v2
2 2棒最终速度： v1 5
2 2
b h
f
(3)能量转化规律
系统机械能的减小量等于内能的增加量:
1 1 2 Q mef v0 (mef mgh )v 2 2 2 Qgh R1 两棒产生焦耳热之比： Qef R2
e 解:(1)棒ef相当于电源；棒gh受安 a g 培力而加速起动,运动后产生反电 R1 FB R2 v 0 动势.随着棒ef的减速、棒gh的加 FB 速，两棒的相对速度减小，回路中 B 电流也减小,安培力减小。故棒ef f b h 做加速度减小的减速运动，棒gh 做加速度减小的加速运动。 (2)对系统根据动量守恒定律有： mv0 2mv 系统机械能的减小量等于内能的增加量: 1 2 1 1 2 2 Q mv 0 2mv mv 0 2 2 4 3 (3)对系统根据动量守恒定律有：mv 0 mv1 m v0
h
f
g
1．电路特点 棒gh相当于电源；棒 ef受 l1 安培力而起动,运动后产生 反电动势。 2．电流特点
FB1
v0
h
e B l2 f
FB 2
Bl1v1 Bl2v2 I R1 R2
随着棒gh的减速、棒ef 的加速，回路中电流变 小。最终当Bl1v1= B2l2v2时，电流为零，两棒 都做匀速运动。
两棒受到安培力大小相等方向相反,系统合外力为零， 系统动量守恒: 3
mv1
2
mv m
得cd棒最大速度：
2I vm 3m
系统机械能的减小量等于内能的增加量:
1 2 1 3 2 I2 Q m v1 m vm 2 2 2 6m
由于ab、cd横截面积之比为2∶1， 根据 ：Q=I 2Rt∝R 所以cd上产生的电热应该是回路中产生的全部电 热的2/3 。
对棒gh应用动量定理有：
B Ilt mgh v qBl mgh v q
mef mghv (mgh mef ) Bl
Bl x 又：q t t ( R1 R2 ) R1 R2
e a g R1 FB R2
FB
v0
B
相对位移： x
mef mgh ( R1 R2 ) (mgh mef ) B l
v0
e B l2 f
FB 2
7．流过某一截面的电量
Bl2 q m2v2 0
Q1 R1 Q2 R2
8．能量转化情况 系统动能电能内能 1 1 1 2 2 2 Q m1v0 m1v1 m2 v2 2 2 2
解：对两棒分别应用动量定理: 对棒gh： 对棒ef：
I1 mv0 mv 1
0
b
h
f
B
1．电路特点 棒ef相当于电源；棒gh受安 培力而加速起动,运动后产生 反电动势. 2．电流特点
e a g R1 FB R2
FB
v0
B
b h
f
Blv2 Blv1 Bl(v2 v1 ) I R1 R2 R1 R2
随着棒ef的减速、棒gh的加速，两棒的相对速度 v2-v1减小，回路中电流也减小。 v1=0时： 电流最大 v2=v1时：电流 I＝0