D9-6常系数线性差分方程解的结构
笔记：线性常差分方程基本知识
本材料是关于线性常差分方程基本知识的笔记，参考了两个文献：1、《差分方程》【日】福田武雄著穆鸿基译上海科学技术出版社1962年9月第一版2、《常差分方程》王联、王慕秋著新疆大学出版社1991年2月第一版目录第一节差分第二节和分第三节对步长及定义域的约定第四节阶乘多项式与差分第五节Bernoulli多项式与差分第六节几个公式,例题第七节n阶线性常差分方程的解的结构第八节 Lagrange变易常数法第九节解n阶常系数齐次线性方程的特征根方法第十节常系数对称型线性方程的解第十一节几种特殊常系数非齐次线性方程的解法第一节 差分定义1.1：设函数()x f 的定义域是D ，R D ⊂，R x ∈∆，0≠∆x ，D x ∈∀有D x x ∈∆+，定义算子∆为()()()x f x x f x f -∆+=∆称x ∆是x 的变化步长，()x f ∆是()x f 在x 处的步长为x ∆的一阶差分、阶差、有限差；D x ∈，函数()x f ∆称为D 上的差分函数，简称差分；算子∆是步长为x ∆的差分算子。
定义为()()x x f x f ∆+=E称()x f E 是()x f 在x 处的步长为x ∆的一阶位移；称函数()x f E 是D 上的位移函数，简称位移；算子E 是步长为x ∆的位移算子。
定义算子I 为()()x f x f =I称算子I 为恒等算子。
称函数()xx f ∆∆是D 上的差商函数，简称差商。
约定算子∆与算子E 的步长相等。
注1.1：大写希腊字母∆、E 、I 的小写形式是δ、ε、ι，其英文单词形式是delta /`delt ә/ 、epsilon /ep`sail әn/ 、 iota /ai`әut ә/ 。
若D x ∈∀，有D x x ∈∆+，则N n ∈∀，有D x n x ∈∆+。
定理1.1：算子∆、E 、I 有以下关系：①()()()()()x f x f x f x f I -E =I -E =∆，即I -E =∆。
线性方程组解的结构及其判定
ξ = (5,3,1)T 所以 基础解系为
+ kξ
将其写成矩阵 方程形式为
x1 = 5c 3 x = 3c + 2 2 x3 = c
x1 5 3 x2 = 3 c + 2 x 1 0 3
~
A = (α1 , α 2 , , α n , β )称为方程组(1)的增广矩阵.
非齐次线性方程组的解法 1.非齐次线性方程组解的性质
性质1:非齐次方程组(1)的两个解的差是它的导出组的解.
Aη1 = B, Aη 2 = B A(η1 η 2 ) = O
性质2:非齐次方程组(1)的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组(1)的解.
系数矩阵
(1)
a1n x1 b1 a2n x2 b2 X = B= x b a mn n m
方程组的 矩阵形式
AX = B
AX = O
非齐次 方程组的 导出组
引 a11 a12 进 a 21 a 22 向 α1 = α 2 = 量 a a
例1:求解方程组
1 1 0 → 0 2 0 1 0 5 3 1 → 0 1 3 2 → 0 0 0 0 0 0
同解方程组为
1 2 1 A = 2 3 1 4 7 1
x1 + 2 x2 x3 = 1 2 x1 + 3x2 + x3 = 0 4 x + 7 x x = 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 1 1 3 → 0 0 2 4→ 0 1 1 2 3 0 0 1 2 0
x1 x2 x3 + x4 = 0 x1 x2 + x3 3x4 = 0 x x 2 x + 3x = 0 2 3 4 1
差分与差分方程的概念
5、 证 明 下 列 各 等 式 ：
(1)Δ(U xVx ) U x1Δ Vx VxΔ U x
(2)Δ(U x ) VxΔ U x U xΔ Vx
Vx
VxV x1
6、(1)已 知yt e t是 方 程yt1 α yt1 e1t的 一 个 特 解 ， 求α .
(2)设yt 2t 5是 差 分 方 程yt1 α yt β yt1 20的 一 个 特
求证Vx y x Ux Zx是差分方程
yx1 ayx f1( x) f2 ( x) f3 ( x)的解.
证明 由题设知：yx1 ayx f1( x) U x1 aU x f2 ( x) Z x1 aZ x f3 ( x)
Vx1 aVx yx1 ayx U x1 aU x Z x1 aZ x f1(x) f2(x) f3(x)
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
例10 验证：y C 2x 是差分方程yx1 yx 2的通解.
证明 把函数y C 2x代入差分方程yx1 yx 2，
则左边 C 2x 1 C 2x 2 右边，
所以y C 2x是差分方程y x1 y x 2的解，
它又含有一个任意常数，而所给差分方程又 是一阶的，
2(n 1) 1 2n 1) 2
3yn 3 (n2 ) 2 2 0 例2 求(n3 ), 2 (n3 )
例 3 求下列函数的差分
(1)y loga x;
(2)y sinax
解 (1)yx yx1 yx
loga ( x 1) loga x
1
loga (1
); x
(2)Δ y x sina( x 1) sinax 2cos a( x 1 ) sin a . 22
74常系数线性差分方程的求解
当n 0时，则有：
y+(0)= 1 y+(1)= u(1) +3y+(0)=1+3*1=4
y+(2…)=..u.(2) +3y+(1)=1+3+32=13
y+(n)=
u(n)
+3y+(n-1)=1+3+32+……+3n
1 2
3n1
1
则方程的解为： y(n)= 1 3n1 1u(n)
为边界条件。
若激励信号在n=0时接入系统，所谓零状态，指的是 系统的起始样值y-(n)=0，即： y-(-1)、 y-(-2) …... y-(-N) 为 0，而不是指y (-1)、 y(-2) …... y(-N) 为0。
如果已知y(-1)、 y(-2)、…... y(-N)，欲求y(0)、y(1)、 …... y(N)，则根据因果系统在n<0， y-(n)=y+(n)；利用迭 代法求得。
D
Dan (a不是差分方程的特征根)
an
（ D1n+ D2）an (a是差分方程的单特征根)
（ D0nk+ D1nk-1+ ……+Dk-1n+ Dk ）an (a是差分方程的k阶重特征根)
ean
Dean
ejan
Dejan
注意：当差分方程的特征方程有M阶重根1时，则对 应于nk形式的激励信号的特解应修正为： nM（D0nk+ D1nk-1+ ……+Dk-1n+ Dk）
现在，我们给出几种典型信号之特解的一般形式：
线性时不变系统激励与响应有相同的形式
经济数学-差分方程的概念与解的结构
但实际上是二阶差分方 程，
由于该方程可以化为 y x 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0因此它是二阶差分方程 ，
事实上，作变量代换 t x 1，即可写成 yt 2 3 yt 1 3 yt 1 0.
例 7 下列等式是差分方程的有(
).
loga ( x 1) loga x 1 loga (1 ); x
( 2)Δ y x sina( x 1) sinax 1 a 2 cosa( x ) sin . 2 2
例3求y x! 的一阶差分，二阶差分 .
解
y x y x 1 y x
方 程 中 未 知 数 下 标 的大 最值 与 最 小 值 的 差 称为差分方程的阶 .
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同形式之间可以相互转换。 如y x 5 4 y x 3 3 y x 2 2 0是三阶差分方程；
y x y x 1 0，虽然含有三阶差分，
则左边 C 2 x 1 C 2 x 2 右边，
( x 1)! x!
x x!
y x y x x x!
2
x 1 x 1! x x!
x x 1 x!
2
例4 设y x( n ) x( x 1)(x 2)( x n 1), x
，Cn 是任意常数） （ C1 , C2，
n I 内的 注： 设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间 n 个不全为零的常数， 个函数．如果存在 使得当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0
那么称这些函数在区间内线性相关； 否则称线性无关.
常系数线性微分方程的求解
2(#
,(#
.
! 11（+））］*（$&1"）+那么右端为：5*（4（+））%［0（+）./0"+&1（+）012"+］*$+所以#%%&1"， 32+.(2 2(#
%0（+）(11（+），仍是求如（4）的特解。如果由方程（4）求得的特解为"*（+），对应的方程（3）的特解
是："（+）%5*（"*（+）*（$&1"）+）。
" %（7’./0!+&7!012!+）*+&5*（"*）
%（7’./0!+&7!012!+）*+&’+,［!（(+&’）./0!+&（$+&)）012!+］*+。
（’!）
利用通常的比较系数法要求出通解（’!）是相当困难的，作变量代换后把求解方程（’#）的问题
变得得容易了。
参考文献：
［’］ 王高雄等8常微分方程8北京：高等教育出版社，!###
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高数差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程解的结构
= y x +1 ⋅ z x +1 − y x +1 ⋅ z x + y x +1 ⋅ z x − y x ⋅ z x = y x +1 (z x +1 − z x ) + ( y x +1 − y x ) ⋅ z x = y x +1∆ z x + z x∆ y x
设y = x 3，求∆3 y x . 例8
k! . 其中 C = i !( k − i )!
i k
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分. 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分. 高阶差分
二、差分方程的概念 差分方程的概念
1.差分方程与差分方程的阶 差分方程与差分方程的阶 定义1 定义
含有未知函数的差分 ∆ y x ,∆ y x , LL的函数方程
例 11 确定下列方程的阶 (1) y x + 3 − x 2 y x +1 + 3 y x = 2
解 (1) Q x + 3 − x = 3，
( 2) y x − 2 − y x − 4 = y x + 2
是三阶差分方程； ∴ (1)是三阶差分方程；
( 2) Q x + 2 − ( x − 4) = 6，
+ 3x
( 2)
+ x )]
(1)
= ∆∆ ( ∆x
( 3)
+ 3 ∆x
( 2)
+ ∆x )
(1)
(0)
= ∆∆[3 x
( 2)
+ 6x
(1)
+x ]
= ∆[3∆x + 6∆x + ∆1]
( 2) (1)
常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法
常系数线性齐次微分方程组的矩阵
解法
常系数线性齐次微分方程组（LCCDE）是一类与定常差分方程组（LDE）类似的微分方程组，区别在于其中的系数是常数。
例如，LCCDE可以被表述为：
dy/dx + p_1(x)y + p_2(x)y' + ... + p_n(x)y^(n-1)=0
其中p_1(x),p_2(x),...,p_n(x)是常数。
矩阵解法是根据LCCDE来计算特解的一种解法，它基于Cramer规则对LCCDE给出解析解。
更具体地说，矩阵解法将LCCDE转换为一组线性方程组，采用矩阵乘法来求解此方程组，并将答案代入原微分方程组中，从而求得特解。
例如，考虑以下LCCDE：
dy/dx + 4y + 5y' + 6y''=0
我们可以将其转换为一组线性方程组：
a_0y+a_1y'+a_2y''=0 a_3y+a_4y'+a_5y''=0
a_6y+a_7y'+a_8y''=0
其中a_i (i=0,1,...,8)是常数，可以根据上面的LCCDE逐步求得。
然后，我们可以将上面的方程组转换为形如Ax=b的矩阵相乘方程，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是右端项向量。
矩阵相乘方程可以用Cramer规则计算得到解析解，然后将解代入原LCCDE，就可以求得特解。
大一微积分下册经典题目及解析
微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：(1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y yy x xyf +=，则__________)(=x f （4)若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7）函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2。
求下列极限： （1)xy xy y x 42lim0+-→→（2)x xyy x sin lim0→→(3）22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→3。
证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5。
函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0,0)处是否连续？为什么习题8—2偏导数及其在经济分析中的应用1。
填空题 (1)设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ； （2)设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ； （3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4)设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zy z x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ； （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在(1,1）点的二阶偏导数4。
常微分方程解的结构
实根 r 复根 r
1, 2
= α ± iβ
y = C1e r x + C 2 e r x y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
y′′ + py′ + qy = f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
1 A = 2 , 代入方程, 得 2 Ax + B + 2 A = x ∴ 1 B = − 1 2x
2x λ = 2 是单根，设 y = x ( Ax + B )e ,
2
二、 f ( x ) = e [ Pl ( x ) cos ωx + Pn ( x ) sin ωx ] 型
0 λ ± iω不是根 , k= 1 λ ± iω是单根
例2 求方程 y ′′ + y = 4 sin x 的通解. 解 对应齐方通解 Y = C1 cos x + C 2 sin x , 作辅助方程
λ = i 是单根 ,
y′′ + y = 4e ix ,
故 y* = Axe ix ,
∴ A = −2i ,
r2 x
(2) 有两个相等的实根 ( ∆ = p 2 − 4q = 0)
p r1 x 特征根为 r1 = r2 = − , 一特解为 y1 = e , 2
另一特解 y = xe r x ;
2
所以齐次方程的通解为
y = (C 1 + C 2 x )e r1 x ;
(3) 有一对共轭复根 ( ∆ = p 2 − 4q < 0) 特征根为
y = x e [ R ( x ) cos ωx + R ( x ) sin ωx ];
(整理)差分方程
第三章 差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。
例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。
这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。
描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。
对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。
§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。
下面给出差分的定义。
设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。
显然，t y 的取值是一个序列。
当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ∆，即)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。
由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。
当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。
例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，若将上式写作)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。
若记))()1()(t R t R t R -+=∆，并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。
常系数线性差分方程的求解
1
比较两边系数得
33DD12
2 2D
1
1
解得
D1
2 3
,
D2
1 9
完全解为 y(n) c(2)n 2 n 1
39
代入边界条件y(1) ，求1 c
1 c(2)n 2 (1) 1
3
9
y(n) 8 (2)n 2 n 1
Байду номын сангаас
9
39
得 c8 9
经典法不足之处
(1).若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 (2).若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 (3).若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 (4).这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。
上式称为k齐0 次微分方程的特征方程，其根 1,2, N
称为差分方程的特征根。
非重根时的齐次解 N
C11n
C2
n 2
C
N
n N
Ck
n k
k 0
K次重根时的齐次解
K
(C1nK1 C2nK2 CK1n CK )1n
Ci
n
K
i n 1
i 1
共轭根时的齐次解 1,2 a jb e j0
差分方程的边界条件不一定由 y(0), y(1), y(2), , y(N 1) 这一组数字给出。对于因果系统，常给定
y(1), y(2), y(3), , y(N) 为边界条件。 若激励信号在n=0时接入系统，所谓零状态是指 y(1), y(2), y(3都),等,于y(零N，) 而不是指
y(0), y(1), y(2),等,于y(零N。1)
a0 y(n) a1y(n 1) aN1y(n N 1) aN y(n N) 0
常系数线性非齐次差分方程的矩阵解法
一 （ ａ ， ， 若矩 阵 Ａ 的特 征多项 式 ｎ ，： … 口 ） ，
．
称之 为 志阶常 系 数 线 性 非 齐 次 纯 指 数 型 差 分 方
程．
收 稿 日期 ： ０ ２０ — ９ ２ １ — ４０ ．
厂 （ ） 好是 矩 阵 Ａ 的最 小 多 项 式 ， 记 所 有 特 Ａｚ 恰 并 征根 为 口（一 １ … ， ） 并 且 其 重数 分别 为 ５（一 ｉ ， ｋ ， ｉ
我们 称式 （ ） １ 为常 系 数 线性 多指 数 多 项 式 型 差 分
方程 ．
性 常系 数 差 分 方 程 重 新 进 行 组 合 形 成 差 分 方 程
组， 再采 用差 分方 程组 的相关 理论 进行 求解 ， 实 其
也 能够 利用 文献 ［ ，］ ６ ７ 的方 法解答 ， 而利 用矩 阵 然 的对 角 化思想 方 法 显 得通 俗 易 懂 ， 人 更 容 易接 让
第２ 卷第 ３ ６ 期
２１ ０ ２年 ５月 来自甘 肃 联 合 大 学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＧａ ｓ ｎ ｅＵｎｖ ｒｉｙ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃｓ ｏ ｒ ａ ｎ ｕ Ｉａ ｈ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ ） ｏ ｉ
Ｖｏ１ ６ ＮＯ． ．２ ３
０ 递推 关 系为 ，
Ｕ 一 ｎ 一 ＋ 口 “ ＋ … ＋ ｌ １ ２ ２
程组
一Ａ ， ｎ （ ＝１ … ， ） 为差 分 方 程 则 Ｊ ， 走称
组 的解元 ．
我们 熟悉 的 Ｊ ｒａ ｏ ｄ ｎ标 准形 的 ｋ次方 为
Ｊ 一
Ｃ ， 一 １ ＾ｋ Ｃ ２ 一 ＾ｋ。 Ｃ １ 一 ＾ｋ
口
线性方程组解的结构
例
x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0, 求解方程组 x1 − x 2 + x 3 − 3 x 4 = 1, x − x − 2 x + 3 x = −1 2. 2 3 4 1
对增广矩阵作初等行变换
1 3 1 1 初等行变换 1 3 − 3 2 5 − 2 1 1
的基础解系及通解. 的基础解系及通解. 解
2 1 4 2 A= −1 − 2 0 0
23
1 0 0 0
2 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 − 1 0 0
(1)
x1 b a11 a12 L a1n 1 2 a21 a22 L a2n X = x2 , β = b 若记 A= M M , M M M x b a am2 L am n m n m1
5
二、齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
+ a11x1 +a12x2 +L a1nxn = 0 a x +a x +L a x = 0 + 2n n 21 1 22 2 L L L L L L L L L L L L am1x1 +am2x2 +L amnxn = 0 +
1 − 1 − 1 1 1 1 − 1 − 1 r3 − 2 r2 r2 − 2 r1 4 A = 2 −5 3 2 r − 7r 0 − 7 5 1 3 1 7 − 14 10 8 r2 × ( − ) 7 − 7 3 1 7
21
x = k1ξ1 +k2ξ2 +L kn−rξn−r +η∗, +
常系数线性微分方程的解的结构分析
常系数线性微分方程的解的结构分析【摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系 数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的己有结论给予证明，以解给予一 些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。
【关键词】常系数线性微分方程结构 一阶常系数齐次线性微分方程的求解上式可以改写为dx .—=-aat x于是变量x 和t 被分离，再将两边积分得hix = -at + c这里的c 为常数。
又由对数的定义，上式可以变为(1.4)其中c=，因为x=0也是方程的解，因此c 可以是任意常数。
这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。
这便要方程式可以分 离变量的，也就是变量分离方程。
一阶常系数微分方程^ = P(x)y + g(x) ,<2.1)dx其中P (x), Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若Q (x) =0,上式就变为(2.2)上式为一阶齐次线性微分方程。
还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法 先进行变量分离得到两边同时积分，得到—=P(x)dx ,y(2.3)这里C 是常数。
I P<x)dxy = ce J,(2.4)若Q (x) H 0,那么上式就变成了 一阶非齐次线性微分方程。
我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶(1.1)(1.2)(1.3)齐次线性微分方程的解中的常数c 变易成为待定的函数c (X ),令y =心)』"皿，微分之，就可以得到dx dx以(2.7), (2.6)代入2.1,得到水⑴ J*"，+c(x)P(x)J"E” = p{x)c(x)^Mdx+ Q(X), (2.8) dx 〜即警=*)汁恥，积分后得到c (x) =jg(x)e ^M(lxdx+c , (2.9)这里c 是任意常数，将上式代入(2.6)得到方程(2.1)的通解y =Q{x)e P(x)dx dx+c)(2.91)在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数C 变成c(x), 常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解，感觉这个方法之所以用X 的未知函数u(x)替换 任意常数C,是因为C 是任意的，C 与X 形成函数关系，要确定C,需要由初始条件确定，一 个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的C 是任意的， 也就可以用一个未知的，也就是任意的函数u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的 解。
D9-6常系数线性差分方程解的结构
一、差分的概念二、差分方程的概念三、三、常系数线性差分方程解的结构常系数线性差分方程解的结构第六节第六节差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构常系数线性差分方程解的结构第九章一、差分的概念1.差分的定义.Δ,)1()()1()0(:).(111210x x x x x x x y y y y y y y y y y y x f x f f f x x f y −=−+=+++也称为一阶差分，记为的差分，为函数称函数的改变量，，，，，将之简记为，，，，，列函数值可以排成一个数取非负整数时，当设函数……⋯⋯xx x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y x f y +−=−−−=−===++++++12112122)()()(Δ)Δ(ΔΔ,)(即差分的一阶差分的的二阶差分为函数函数.以上的差分高阶差分：二阶及二阶)(),(3423x x x x y y y y ∆∆=∆∆∆=∆差分：同样可定义三阶、四阶⋯⋯例1 1 求求(),(),(23222xx x ∆∆∆.解，则设2x y =12)1()(222+=−+=∆=∆x x x x y x []2)12(1)1(2)12()(222=+−++=+∆=∆=∆x x x x y x 022)(233=−=∆=∆x y x解例2 2 求下列函数的差分求下列函数的差分求下列函数的差分y x y a sin)2(;log )1(==);11(log log )1(log )1(1xx x y y y a a a xx x +=−+=−=∆+.2sin )21(cos 2sin )1(sin Δ)2(a x a axx a y x ⋅+=−+=解!)!1(x x −+=.!3的一阶差分，二阶差分求例x y =xx x y y y −=∆+1!x x ⋅=()()!2x x y y x x ⋅∆=∆∆=∆()()!!11x x x x ⋅−+⋅+=()!12x x x ++=解)1)(2()1()11()1()1()1()()(+−+−−−+−+−+=−+=∆n x n x x x n x x x x xx y n n x ⋯⋯⋯⋯[])2()1()1()1(+−−+−−+=n x x x n x x ⋯)1(−=n nx)).(Δ(Δ1),1()2)(1( 4)()0()(n x n xy xn x x x x xy 即，求设例=+−−−==⋯（公式）)()()1(为常数C y C Cy x x ∆=∆xx x x z y z y ∆+∆=+∆)()2(2.差分的四则运算法则()()xx x x x x x x x x y z z y y z z y z y ∆+∆=∆+∆=⋅∆++113()11114++++∆−∆=∆−∆=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∆x x xx x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y 参照导数的四则运算法则学习()xx x x x x z y z y z y ⋅−⋅=⋅∆++11x x x x x x x x z y z y z y z y ⋅−⋅+⋅−⋅=++++1111()()x x x x x x z z y z y y −+−=+++111xx x x z y y z ΔΔ1+=+证明（3）()xx x x x x z y z y z y ⋅−⋅=⋅∆++11x x x x x x x x z y z y z y z y ⋅−⋅+⋅−⋅=++++1111又证明（3）()()x x x x x x z y y z z y ⋅−+−=+++111xx x x y z z y ΔΔ1+=+分析.Δ33x y x y ，求设=例53x y =()()()1233x x x++=x x x x x x +−+−−=)1(3)2)(1()1()(−=∆n n nx x 借助公式和差分的运算法则可求解)(3x x y y ∆∆∆=∆)3()1()2()3(x x x ∆+∆+∆∆∆=]63[)0()1()2(x xx ++∆∆=]163[)1()2(∆+∆+∆∆=x x .666)0()1(=∆+∆=x x解.Δ22x x y e y ，求设=例6xx x y y y −=∆+1()x x e e212−=+();122−=e e x ()[]122−∆=e e x ()x x y y ∆∆=∆2()x e e 221∆−=().1222−=e e x二、差分方程的概念1.差分方程与差分方程的阶.,Δ,Δ2称为差分方程的函数方程含有未知函数的差分⋯⋯x x y y 0),,,,,(2=∆∆∆x nx x x y y y y x F ⋯形式：定义1定义2.,,1的方程，称为差分方程个以上时期的符号含有未知函数两个或两⋯+x x y y )1(0),,,,(0),,,,(11≥==−−++n y y y x G y y y x F n x x x n x x x ⋯⋯或形式：.称为差分方程的阶大值与最小值的差方程中未知数下标的最注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以相互转换。
线性代数-线性方程解的结构
第4.4节线性方程组解的结构111122112112222211221(1).n n n n m m mn n mm n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b A A A β非齐次线性方程组，，，有矩阵形式，其中，，分别为的，系数矩矩阵增广阵AX β回顾：非齐次方程组(1).r r (I).A A非齐次方程组有解1r r (II).当时，无解；A A1.1r r n ；当时，有惟一解A A1r r n 2.当时，A A 有无穷多解.解的存在及个数的判定11121212221212,,,n n m m mn n a a a a a a a a a若记 A 12m b b b则上述方程组（2）可写成向量方程形式1122.n n x x x延伸：1122n n x x x 方程组有解1212(,)(,)n n r r ，， ()()r r A A12,n 可由系数阵的列向量组，线性表出；1212,,n n 向量组，与向量组，等价；齐次线性方程组解的判定00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a设有齐次线性方程组若记12n x x xX (2)r n 0仅有零解①；A AX r n 0有无穷多解，从而有非零解.②A AX 则上述方程组（2）可写成矩阵方程 0.AX延伸：112212120,(,)()n n n n n nx x x r r 齐次方程组系数阵的列向量组，；， 仅有零解线性无关A 11221212n n0,(,)()n n n n x x x r r 齐次方程组系数阵的列向量组，；， 有非零解线性相关A12121212 ,,,(1),,,(2),,,,,,t t t t 000 ：，。
10.6差分与差分方程的概念线性差分方程的结构
(2)
(3)
(4)
定义：差分方程中所含未知数的差分的实际最高阶 数，即最大下标与最小下标的差称为此差分方程的 阶 y x4 5 y x 3 4 y x 2 3 y x 0 4阶
y x5 4 y x 3 3 y x2 2 0
3阶
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。 如y x 5 4 y x 3 3 y x 2 2 0是三阶差分方程；
C x
1 n1 n
C x
2 n 2 n
C x 1
n1 n
Δ( x3 ) 3x2 3x 1
例 3.2 求下列函数的差分
(1) y loga x; (2) y sin ax
解 (1)Δyx yx1 yx loga ( x 1) loga x
例7.2 求y x! 的一阶差分，二阶差分 .
解
y x y x 1 y x
( x 1)! x!
x x!
y x y x x x!
2
x 1 x 1 ! x x !
x x 1 x!
2
二、差分方程
yx 2a
2
3 yx 0
对于k次多项式，它的 k阶差分为常数， k阶以上的差分均为零 .
例7.1 已知yx e2 x , 求n yx
yx e2 x (e2 1)
2 yx (e2 1)(e2 x ) (e2 1)2 e2 x n yx (e2 1)n e2 x
( n 1)
一阶差分的四则运算法则
1. (Cyx ) Cyx ; 2. ( yx z x ) yx z x ; 3. ( yx z x ) yx1 z x z x yx yx z x z x1 yx
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一、差分的概念二、差分方程的概念三、三、常系数线性差分方程解的结构常系数线性差分方程解的结构第六节第六节差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构常系数线性差分方程解的结构第九章一、差分的概念1.差分的定义.Δ,)1()()1()0(:).(111210x x x x x x x y y y y y y y y y y y x f x f f f x x f y −=−+=+++也称为一阶差分，记为的差分，为函数称函数的改变量，，，，，将之简记为，，，，，列函数值可以排成一个数取非负整数时，当设函数……⋯⋯xx x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y x f y +−=−−−=−===++++++12112122)()()(Δ)Δ(ΔΔ,)(即差分的一阶差分的的二阶差分为函数函数.以上的差分高阶差分：二阶及二阶)(),(3423x x x x y y y y ∆∆=∆∆∆=∆差分：同样可定义三阶、四阶⋯⋯例1 1 求求(),(),(23222xx x ∆∆∆.解，则设2x y =12)1()(222+=−+=∆=∆x x x x y x []2)12(1)1(2)12()(222=+−++=+∆=∆=∆x x x x y x 022)(233=−=∆=∆x y x解例2 2 求下列函数的差分求下列函数的差分求下列函数的差分y x y a sin)2(;log )1(==);11(log log )1(log )1(1xx x y y y a a a xx x +=−+=−=∆+.2sin )21(cos 2sin )1(sin Δ)2(a x a axx a y x ⋅+=−+=解!)!1(x x −+=.!3的一阶差分，二阶差分求例x y =xx x y y y −=∆+1!x x ⋅=()()!2x x y y x x ⋅∆=∆∆=∆()()!!11x x x x ⋅−+⋅+=()!12x x x ++=解)1)(2()1()11()1()1()1()()(+−+−−−+−+−+=−+=∆n x n x x x n x x x x xx y n n x ⋯⋯⋯⋯[])2()1()1()1(+−−+−−+=n x x x n x x ⋯)1(−=n nx)).(Δ(Δ1),1()2)(1( 4)()0()(n x n xy xn x x x x xy 即，求设例=+−−−==⋯（公式）)()()1(为常数C y C Cy x x ∆=∆xx x x z y z y ∆+∆=+∆)()2(2.差分的四则运算法则()()xx x x x x x x x x y z z y y z z y z y ∆+∆=∆+∆=⋅∆++113()11114++++∆−∆=∆−∆=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∆x x xx x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y 参照导数的四则运算法则学习()xx x x x x z y z y z y ⋅−⋅=⋅∆++11x x x x x x x x z y z y z y z y ⋅−⋅+⋅−⋅=++++1111()()x x x x x x z z y z y y −+−=+++111xx x x z y y z ΔΔ1+=+证明（3）()xx x x x x z y z y z y ⋅−⋅=⋅∆++11x x x x x x x x z y z y z y z y ⋅−⋅+⋅−⋅=++++1111又证明（3）()()x x x x x x z y y z z y ⋅−+−=+++111xx x x y z z y ΔΔ1+=+分析.Δ33x y x y ，求设=例53x y =()()()1233x x x++=x x x x x x +−+−−=)1(3)2)(1()1()(−=∆n n nx x 借助公式和差分的运算法则可求解)(3x x y y ∆∆∆=∆)3()1()2()3(x x x ∆+∆+∆∆∆=]63[)0()1()2(x xx ++∆∆=]163[)1()2(∆+∆+∆∆=x x .666)0()1(=∆+∆=x x解.Δ22x x y e y ，求设=例6xx x y y y −=∆+1()x x e e212−=+();122−=e e x ()[]122−∆=e e x ()x x y y ∆∆=∆2()x e e 221∆−=().1222−=e e x二、差分方程的概念1.差分方程与差分方程的阶.,Δ,Δ2称为差分方程的函数方程含有未知函数的差分⋯⋯x x y y 0),,,,,(2=∆∆∆x nx x x y y y y x F ⋯形式：定义1定义2.,,1的方程，称为差分方程个以上时期的符号含有未知函数两个或两⋯+x x y y )1(0),,,,(0),,,,(11≥==−−++n y y y x G y y y x F n x x x n x x x ⋯⋯或形式：.称为差分方程的阶大值与最小值的差方程中未知数下标的最注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以相互转换。
是三阶差分方程；如0234235=−+−+++x x x y y y .0133112=++−+=++t t t y y y x t ，即可写成事实上，作变量代换程，但实际上是二阶差分方，虽然含有三阶差分，013=++∆x x y y ，因此它是二阶差分方程由于该方程可以化为0133123=++−+++x x x y y y例7 7 下列等式是差分方程的有下列等式是差分方程的有下列等式是差分方程的有( ).( ).( ). 432.2.33.2.21122=+−+−=∆+=∆−+=∆−−++x x x x x x x x x x x x y y y D y y y y C a y y B xy y A 解.,是差分方程由差分方程的定义有：D A .2)(.333)(33121121111差分方程恰好等于右端，故不是，的左端而，故不是差分方程值，仅含一个时期的函数则等式实为，的左端x x x x x x x x x xx x x x x x y y y y y y y y C y a y y y y y y B +−=∆−∆=−∆=∆=−+−=−−=∆−++++++++例8 确定下列方程的阶确定下列方程的阶42123)2(23)1(+−−++=−=+−x x x x x x y y y y y x y 解，33)1(=−+x x ∵，6)4(2)2(=−−+x x ∵是三阶差分方程；)1(∴.)2(是六阶差分方程∴2.差分方程的解.)(φ该差分方程的解边恒等，则称此函数为两代入差分方程后，方程如果函数x y =含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解.差分方程的通解为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件.通解中任意常数被初始条件确定后的解.初始条件差分方程的特解例9)(),(),(,,312111x f ay y x f ay y x f ay y Z U y x x x x x x x x x =+=+=++++解分别是下列差分方程的证明由题设知：)()()(312111x f aZ Z x f aU U x f ay y x x x x x x =+=+=++++xx x x x x x x aZ Z aU U ay y aV V +++++=+∴++++1111)()()(321x f x f x f ++=.是所给差分方程的解x V ∴是差分方程求证x x x x Z U y V ++=.)()()(3211的解x f x f x f ay y x x ++=++三、常系数线性差分方程解的结构1111=+++++−−++x n x n n x n x y a y a y a y ⋯n 阶常系数齐次线性差分方程的标准形式n 阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式()x f y a y a y a y x n x n n x n x =+++++−−++1111⋯()1()2()().21方程阶常系数齐次线性差分所对应的为注：n ()0≠x f1111=+++++−−++x n x n n x n x y a y a y a y ⋯1. n 阶常系数齐次线性差分方程解的结构()1定理1 如果函数,,是方程方程(1)(1)(1)的的k 个解个解,,那末也是(1)(1)的解的解的解..（是任意常数）是任意常数）问题问题::一定是通解吗？k k y C y C y C y +++=⋯2211，则若n k =注：设yy y ,,,21⋯为定义在区间内的个函数．如果存在个不全为零的常数，使得当在该区间内有恒等式成立（是任意常数）定理2：如果,是方程是方程(1)(1)的n 个线性无关的特解个线性无关的特解, , , 那么那么n yC y C y C y +++=⋯2211就是方程就是方程(1)(1)(1)的通解的通解的通解.. n C C C ，，⋯21,02211=+++n n y k y k y k ⋯那么称这些函数在区间内线性相关；否则称线性无关.例如x x 22sin ,cos 1，xx x ee e 2,−，线性无关线性相关时，当),(∞+−∞∈x 由此可见，要求出n 阶常系数齐次线性差分方程（1）的通解，只需求出其n 个线性无关的特解.2. n 阶常系数非齐次线性差分方程解的结构定理3 3 设是阶常系数非齐次线性差分方程阶常系数非齐次线性差分方程的一个特解的一个特解,, 是与是与(2)(2)(2)对应的齐次方程对应的齐次方程对应的齐次方程(1)(1)(1)的通的通解, 那么是阶常系数非齐次线性差分方程方程(2)(2)(2)的通解的通解的通解.. ()x f y a y a y a y x n x n n x n x =+++++−−++1111⋯()2由此可见，要求出n 阶常系数非齐次线性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一个特解即可.定理4 设非齐次方程设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)(2)的右端的右端是几个函是几个函数之和数之和,, 如而与分别是方程分别是方程,,的特解的特解,, 那么就是原方程的特解就是原方程的特解.. ()()x f x f y a y a y a y x n x n n x nx 211111+=+++++−−++⋯()x f y a y a y a y x n x n n x n x 21111=+++++−−++⋯()x f y a y a y a y x n x n n x nx 11111=+++++−−++⋯证明例10.221的通解是差分方程验证：=−+=+x x y y xC y ()[]()右边，则左边，代入差分方程把函数==+−++==−+=+2212221x C x C y y x C y x x 的解，是差分方程所以221=−+=+x x y y x C y 是一阶的，，而所给差分方程又它又含有一个任意常数.2是该差分方程的通解故x C y +=。