D9-6常系数线性差分方程解的结构
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一、差分的概念
二、差分方程的概念
三、三、常系数线性差分方程解的结构
常系数线性差分方程解的结构第六节第六节
差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构
常系数线性差分方程解的结构第九章
一、差分的概念
1.差分的定义
.
Δ,)1()()1()0(:
).(111210x x x x x x x y y y y y y y y y y y x f x f f f x x f y −=−+=+++也称为一阶差分，记为的差分，为函数称函数的改变量，，，，，将之简记为
，，，，，列函数值可以排成一个数取非负整数时，当设函数…
…⋯⋯
x
x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y x f y +−=−−−=−===++++++1211212
2)()()(Δ)Δ(ΔΔ,)(即
差分的一阶差分的的二阶差分为函数函数.
以上的差分高阶差分：二阶及二阶)
(),(3
4
2
3
x x x x y y y y ∆∆=∆∆∆=∆差分：同样可定义三阶、四阶⋯⋯
例1 1 求
求(),(),(2
3222x
x x ∆∆∆.
解
，则
设2
x y =1
2)1()(2
22+=−+=∆=∆x x x x y x []2
)12(1)1(2)
12()(2
2
2
=+−++=+∆=∆=∆x x x x y x 0
22)(2
3
3
=−=∆=∆x y x
解例2 2 求下列函数的差分求下列函数的差分求下列函数的差分
y x y a sin
)2(;
log )1(==
);
1
1(log log )1(log )1(1x
x x y y y a a a x
x x +=−+=−=∆+.
2
sin )21
(cos 2sin )1(sin Δ)2(a x a ax
x a y x ⋅+=−+=
解
!
)!1(x x −+=.
!3的一阶差分，二阶差分求例x y =x
x x y y y −=∆+1!
x x ⋅=()()
!2
x x y y x x ⋅∆=∆∆=∆()()!
!11x x x x ⋅−+⋅+=(
)
!
12
x x x ++=
解)
1)(2()1()11()1()1()
1()
()
(+−+−−−+−+−+=−+=∆n x n x x x n x x x x x
x y n n x ⋯⋯⋯⋯[])
2()1()1()1(+−−+−−+=n x x x n x x ⋯)
1(−=n nx
)).
(Δ(Δ1),
1()2)(1( 4)
()
0()
(n x n x
y x
n x x x x x
y 即，求设例=+−−−==⋯（公式）
)()()1(为常数C y C Cy x x ∆=∆x
x x x z y z y ∆+∆=+∆)()2(2.差分的四则运算法则
()()x
x x x x x x x x x y z z y y z z y z y ∆+∆=∆+∆=⋅∆++113()11114++++∆−∆=∆−∆=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛∆x x x
x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y 参照导数的四则运算法则学习
()
x
x x x x x z y z y z y ⋅−⋅=⋅∆++11x x x x x x x x z y z y z y z y ⋅−⋅+⋅−⋅=++++1111()()x x x x x x z z y z y y −+−=+++111x
x x x z y y z ΔΔ1+=+证明（3）
()
x
x x x x x z y z y z y ⋅−⋅=⋅∆++11x x x x x x x x z y z y z y z y ⋅−⋅+⋅−⋅=++++1111又证明（3）
()()x x x x x x z y y z z y ⋅−+−=+++111x
x x x y z z y ΔΔ1+=+
分
析.Δ33x y x y ，求设=例5
3
x y =()()()1233x x x
++=x x x x x x +−+−−=)1(3)2)(1()1()(−=∆n n nx x 借助公式和差分的运算法则可求
解)
(3x x y y ∆∆∆=∆)
3()1()2()3(x x x ∆+∆+∆∆∆=]63[)0()1()2(x x
x ++∆∆=]163[)1()
2(∆+∆+∆∆=x x .
666)0()1(=∆+∆=x x
解.
Δ22x x y e y ，求设=例6x
x x y y y −=∆+1()x x e e
212−=+();122−=e e x ()[]1
22−∆=e e x ()x x y y ∆∆=∆2()x e e 221∆−=().
1222−=e e x