二次函数二倍角的处理解析
二次函数二倍角问题
二次函数二倍角问题二次函数是高中数学中的一个重要概念，而其中的二倍角问题又是解析几何和三角函数的重要应用之一。
在二次函数中，二倍角问题是指如何根据已知的二次函数的表达式，求解其二倍角的函数表达式。
我们来考虑一般形式的二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。
要求解二次函数的二倍角表达式，我们可以利用三角函数的二倍角公式。
根据三角函数的二倍角公式，我们有以下等式：$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$$\cos(2\theta) = \cos^2\theta-\sin^2\theta$将三角函数的二倍角公式应用到二次函数中，可得如下结论：若已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，则其二倍角的函数表达式为$g(x)=Ag^2(x)+Bg(x)+C$，其中$A$、$B$和$C$是待定系数。
为了确定待定系数$A$、$B$和$C$的值，我们可以利用已知的条件来求解。
其中，最常用的条件是已知二次函数的顶点坐标。
设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(h, k)$，其中$h$表示顶点的横坐标，$k$表示顶点的纵坐标。
由已知条件可以得到以下等式：$k = ah^2+bh+c$$C = k$我们将已知条件和二倍角公式联立起来，求解待定系数$A$和$B$的值。
比如，若我们已知二次函数的顶点坐标为$(h, k)$，则有以下等式：$A(h) = 4a$$B(h) = 2b$要解决二次函数的二倍角问题，我们需要利用三角函数的二倍角公式，并利用已知条件进行求解。
通过求解待定系数$A$、$B$和$C$，我们可以得到二次函数的二倍角的函数表达式。
这个问题在解析几何和三角函数应用中有着广泛的应用。
二次函数综合--角度存在性问题
二次函数综合--角度存在性问题【题型解读】二次函数综合中的角度问题是大部分地区全卷的压轴题，具有较好的区分度和选拔功能，此类试题不仅可以考查二次函数与平面几何的基础知识，还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法，以及阅读理解能力、收集处理信息能力、运用数学知识探究问题的能力等.解题关键是，充分挖掘题目中的隐含条件，构造角，利用解直角三角形或相似进行计算求解.【主要类型】1.相等角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其与特定已知角相等2.二倍角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的2倍3.半角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的一半【方法总结】角度存在性问题主要解题突破口在于构造相关角，主要有以下几种构造方法：⑴构造相等角的方法①利用平行线的性质或者等腰三角形的性质构造相等角②利用相似三角形构造相等角⑵构造二倍角的方法⑶构造半角的方法【典型例题】1．如图，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点B，C．抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣1，0），B，C三点，D点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，CD．（1）求二次函数及直线CD的解析式；（2）点P是线段CD上一点（不与点C，D重合），当△BCP的面积为时，求点P的坐标．（3）点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥CD交直线CD于点G，当∠CFG＝∠EDB 时，请直接写出点F的坐标．2．如图，已知二次函数y＝ax2+x+b的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，4），∠BAO 的平分线分别交抛物线和y轴于点C，D．点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点E，连接PC．（1）求二次函数的解析式；（2）当以点P，C，E为顶点的三角形与△ADO相似时，求点P的坐标；（3）设点F为直线AC上一点，若∠BFD＝∠ABO，请直接写出点F的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过AB两点，与x轴的另一个交点为C．（1）直接写出点A和点B的坐标．（2）求抛物线的解析式．（3）D为直线AB上方抛物线上一动点．①连接DO交AB于点E，若DE：OE＝3：4，求点D的坐标；②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC的2倍？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣8，0）、B（2，0），与y轴交于点C，点D是AB中点，连接CD．点P是抛物线上一点．（1）求a、b的值；（2）若S△CDP＝S△CDO，求点P的横坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为E，若∠CPE＝∠CDO，求点P的横坐标．。
二次函数倍角问题
二次函数倍角问题二次函数倍角问题，是指在给定的二次函数的定义域内查找其两个角度之间的倍角关系。
更具体地说，对于任意给定的二次函数f(x)，我们需要找到一对相异的定义域内的角度x1和x2，使得它们的倍角关系成立，即2x1=x2在解决二次函数倍角问题之前，我们需要了解一些与二次函数和倍角有关的基本知识。
首先是二次函数的定义和图像。
二次函数是形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
它的图像是一个拱形或倒拱形的曲线，称为抛物线。
接下来，我们需要了解一些倍角公式。
对于任意角度θ，有以下三个倍角公式：1. sin(2θ) = 2sinθcosθ2. cos(2θ) = cos²θ - sin²θ3. tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)首先，我们需要找到一个二次函数f(x)，并确定它的定义域。
通常情况下，定义域是整个实数集，即(-∞,+∞)。
然后，我们需要找到满足2x1=x2的一对角度x1和x2、为了方便分析，我们可以选取一些特殊的角度，并考察它们的倍角关系。
例如，我们可以选取θ=0作为初始角度。
根据倍角公式，sin(2×0)=2sin0cos0=0。
我们可以找到满足2x1=x2的一对角度，其中x1=0，x2=2×0=0。
这说明在这种情况下，不同的角度0和0有倍角关系。
另外，我们可以考察θ=π/4这个角度。
根据倍角公式，sin(2×π/4)=2sin(π/4)cos(π/4)=2(√2/2)(√2/2)=1、我们可以找到满足2x1=x2的一对角度，其中x1=π/4，x2=2×π/4=π/2、这说明在这种情况下，不同的角度π/4和π/2有倍角关系。
然后，我们可以继续考察其他一些角度，以找到更多的倍角关系。
通过逐步尝试不同的角度，并根据倍角公式计算它们的倍角值，我们可以找到更多满足2x1=x2的一对角度。
二次函数中和角有关的存在性问题
二次函数中与角有关的存在性问题与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角：①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。
然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。
【类型一 相等角的存在性问题】（一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角例1 如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。
若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m . （1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式. （2）求满足POA MPO ∠=∠的点M 的坐标.解：(1)易得点P 坐标为（3，4），抛物线解析式为432++-=x x y .(2) ①当点M 在线段OP 上方时，∵CP ∥x 轴，∴当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ，∴点M 的坐标为（0，4）；②当点M 在线段OP 下方时，在x 轴正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA.设点D 坐标为（n ，0），则DO=n ，()16322+-=n DP ，∴()16322+-=n n ，解得：n=625，∴点D 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0625，. 设直线PD 解析式为b kx y +=，代入得：7100724+-=x y .联立抛物线解析式得⎪⎭⎫⎝⎛49124,724M 综上所述：点M 的坐标为（0，4）或⎪⎭⎫⎝⎛49124,724（二）.利用相似三角形构造相等角例2 如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-， 将B、C点坐标代入解析式，得()8221622122--=--=x x x y ， 所以点D 的坐标为（2，—8）（2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛--6221,F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且B ED GA ∠=∠F ，所以BDE FAG ∽△△，所以FGAGEB DE =，即262212482=--+=x x x ， 当点F 在x 轴上方时，则有12422--=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛297，；当点F 在x 轴下方时，则有）（12422---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-275，，,综上可知点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛297，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-275，.【类型二二倍角或半角的存在性问题】（一）.二倍角的构造方法如图，已知α∠，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造α2，在BC 边上找一点D，使得BD=AD，则α2ADC=∠.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。
二次函数与角度和差倍分
二次函数与角度和差倍分1.引言1.1 概述二次函数与角度和差倍分是数学领域中的重要概念和理论。
二次函数是一种特殊的函数形式，其解析式可以表示为一个变量的二次多项式形式。
二次函数具有独特的性质和特点，其图像通常呈现出抛物线的形状，对于解决实际问题和分析数学模型具有广泛的应用。
角度和差则是指两个角度之间的加法和减法运算。
在三角函数中，角度和差公式是一组重要的等式，用于求解两个角度的和与差的三角函数值。
通过角度和差公式，可以将一个三角函数表达式化简为另一种形式，从而使计算更加简便。
本文旨在探讨二次函数与角度和差之间的关系，以及它们在实际问题中的应用和意义。
首先，我们将介绍二次函数的定义和特点，包括二次函数的一般形式、顶点坐标、对称轴等内容。
然后，我们将深入讨论角度和差的定义及其常见的倍分公式，包括正弦、余弦和正切函数的角度和差倍分公式。
最后，我们将总结二次函数与角度和差的关系，并探讨它们在实际问题中的应用和意义。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解二次函数与角度和差的概念和理论，并能够运用它们解决实际问题。
无论是在科学研究还是日常生活中，这些知识都是非常有用的，能够帮助我们更好地理解数学的本质和应用。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几个方面：1. 章节划分：介绍本文的章节划分和内容安排，即明确说明文章包含哪些主要章节和各个章节的主题。
2. 二次函数部分：简要介绍文章中关于二次函数的内容，包括定义和特点以及图像和性质。
可以提及二次函数的标准形式、顶点形式和一般式，以及二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点位置等基本性质。
3. 角度和差倍分部分：概述文章中关于角度和差倍分的内容，包括角度和差的定义和角度和差的倍分公式。
可以提及如何计算角度和差以及如何利用倍分公式得出特定角度的倍分值。
4. 结构关联：指出二次函数和角度和差倍分之间的关系，即通过二次函数的性质可以推导出角度和差倍分的公式。
可以说明角度和差倍分在解决二次函数问题中的应用价值。
二次函数压轴题—与角有关的存在性问题
二次函数中与角有关的存在性问题与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角：①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。
然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。
【类型一相等角的存在性问题】（一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角例1如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。
若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m .（1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式.（2）求满足的点M 的坐标.DO=DP ，此时∠DPO=∠POA.（二）.利用相似三角形构造相等角例2如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-，将B、C点坐标代入解析式，得()8221622122--=--=x x x y ，所以点D 的坐标为（2，—8）（2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛--6221,F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且BED GA ∠=∠F ，所以BDE FAG ∽△△，所以FG AG EB DE =，即262212482=--+=x x x ，当点F 在x 轴上方时，则有12422--=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛297，；当点F 在x 轴下方时，则有）（12422---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-275，，,综上可知点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛297，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-275，.【类型二二倍角或半角的存在性问题】（一）.二倍角的构造方法如图，已知α∠，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造α2，在BC 边上找一点D，使得BD=AD，则α2ADC=∠.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。
二次函数与角度综合问题(学生版)
二次函数与几何综合专题--角问题【模型解读】二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型： 1. 特殊角问题：（1） 利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形2.角的数量关系问题（1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决 （2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答 （3）角的和差问题3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答【引例】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．（2）在抛物线上是否存在点P ，使PAO OCE ∠=∠，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）该抛物线上是否存在点P，使得PCA CAD∠=∠？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．∠的平分线与y轴的交点M的坐标．（4）直线AC与抛物线的对称轴交于点F，请求出CDF∠=∠，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理（5）在抛物线上是否存在点P，使得POC PCO由．（6）过点B 的直线交直线AC 于点M ，当直线AC 与BM 的夹角等于ACB ∠的2倍时，求点M 的坐标．（7）在y 轴上是否存在点N ，使得BCO BNO BAC ∠+∠=∠，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（8）在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：MN 恒过定点，并求出定点坐标．【模型实例】1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标；（3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．（1）求a的值；（2）将A，B的纵坐标分别记为y A，y B，设s＝y A﹣y B，若s的最大值为4，则m的值是多少？（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；（3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P的坐标．5.抛物线y＝x2﹣4x+c与直线I：y＝kx交于点G（1，m）和点H，﹣1≤m＜0，直线x＝m﹣1交直线l于点A，交抛物线于点B．（1）求c和k的值（用含m的代数式表示）；（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段BD的中点，探究∠MEN与∠ABC的数量关系，并说明理由．6.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的正半轴交于C点，△ABC的面积为6．（1）直接写出点A、B的坐标为；抛物线的解析式为．（2）如图1，连结AC，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离为，求点D的坐标；（3）如图2，平行于AC的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，PQ恰好平分∠MPN，求P点坐标．7.如图，抛物线y＝mx2+3mx﹣2m+1的图象经过点C，交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）（点A在点B左侧），且x2﹣x1＝5，连接BC，D是AC上方的抛物线一点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，CD，S△DCE：S△BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标，若不存在，请说明理由．1.如图1，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图2，M是x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标；（3）如图3，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点N（不与点A重合），使得∠BCN＝∠ACB？若存在，求点N的横坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，对称轴PD交AB与点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，试探究：线段BC上是否存在点M，使∠EMO＝∠ABC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，点Q是抛物线的对称轴PD上一点，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．3.如图1，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB＝2∠ACO，求点的坐标．。
2020年中考数学专题——例谈函数综合问题中二倍角的处理
例谈函数综合问题中二倍角的处理二次函数综合问题在中考数学压轴题中扮演着重要的角色，而二倍角的存在性问题是近年来中考数学命题的热点问题.在初中阶段，点、线、角是构成图形的基本元素，相对于对点和线的处理，学生对角的处理显得比较陌生，往往感到束手无策.本文以一道中考数学题为例，深入剖析二倍角的转化方法，在此与各位同仁作交流探讨.一、问题呈现题目 (2018年河南中考题)如图1，抛物线26y ax x c =++交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C .直线5y x =-经过点,B C .(1)求抛物线的解析式.(2}过点A 的直线交直线BC 于点M .①当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P (不与点,B C 重合)，作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标; ②连结AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标。
分析 (1)求出直线5y x =-与x 轴、y 轴的交点，代回抛物线解析式，即可求得抛物线解析式为 265y x x =-+-.(2)①利用平行四边形的性质(对边平行且相等、对角线互相平分等)构造方程，可求得点P 的横坐标为4或52+或52-.需要注意的是，点P 的位置没有特别限制，需要结合函数图象进行分类讨论，避免漏解;②是二倍角的存在性问题，可以用两点间距离公式、中垂线的性质、直角三角形斜边上的中线、同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍等知识构造等腰三角形，进而构造二倍角进行求解.特别地，由于45ACB ∠<︒，所以在直线BC 上有两个不同的点M 满足题意，这是解题时容易漏解之处.下面，笔者重点分析如何利用核心知识和方法对二倍角进行转化处理.二、解法探究解法1 利用两点间距离公式求解如图2，由122∠=∠，且123∠=∠+∠，可知23∠=∠，∴11M A M C =.设1(,5)M m m -，由11M A M C =，可得 2222(1)(5)(0)(55)m m m m -+-=-+-+，解得136m =， 即1137(,)66M -. 同理，由21M A M A =，利用两点间距离公式可求得2237(,)66M -. 综上所述，M 的坐标为137(,)66-或237(,)66-.注 对于2M 可以过点A 作AN BC ⊥于N ，过点N 作NH AB ⊥于H ，利用ANB ∆和BNH ∆为等腰直角三角形，以及N 为12M M 的中点进行求解.点评 两点间距离公式是学生在学习了平面直角坐标系和勾股定理之后所学习的一个重要公式，也是学生在解决等腰三角形存在性问题、平行四边形存在性问题、面积最值问题等综合问题时经常用到的一个公式.由23∠=∠可知11M A M C =，而点1M 在一条确定的直线5y x =-上，此时可设点1M 的坐标，利用两点间距离构造方程，求得点1M 的坐标。
二次函数中二倍角解题思路
二次函数中二倍角解题思路
在二次函数中，二倍角是一个常见的数学概念，它涉及到函数值的倍角计算。
具体来说，如果一个二次函数 y = ax^2 + bx + c 的一个根为α，那么它的另一个根就是 -α（当 a > 0）或α（当 a < 0）。
这种性质在解决一些数学问题时非常有用。
解题思路如下：
理解二倍角公式：首先，需要理解二倍角公式及其推导过程。
二倍角公式是 sin2α = 2sinαcosα，其中 sinα和cosα是三角函数的基本值。
这个公式可以通过三角函数的和角公式推导得到。
应用二倍角公式：在解决涉及二次函数的问题时，如果问题中涉及到角度的二倍关系，就可以应用二倍角公式来简化计算。
例如，如果已知一个角的正弦或余弦值，那么就可以通过二倍角公式计算出这个角的两倍的正弦或余弦值。
利用根的性质：如果一个二次函数的根满足二倍角的关系，那么在解决与这些根相关的问题时，可以利用这个性质来简化计算。
例如，如果一个二次函数的两个根分别是α和 -α，那么在计算与这两个根相关的代数式时，可以将其化简为单一的表达式。
结合其他数学工具：在解决涉及二次函数的问题时，可能还需要结合其他数学工具，如代数运算、三角恒等式等。
通过综合运用这些工具，可以更有效地解决复杂的问题。
注意特例情况：在应用二倍角公式时，需要注意特例情况的处理。
例如，当 sinα或 cosα等于 0 时，就需要特别处理以避免出现除以零的错误。
二次函数与角有关的问题整理
二次函数与角有关的问题整理二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。
为此，我将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理。
首先，我将这些题大致分成两大类：一类是相等角问题；一类是半角或倍角问题。
相等角问题又分为三种：第Ⅰ种是将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。
如例1抛物线y=-x2+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。
M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。
设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD2、PD2长，根据OD2=PD2列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。
第Ⅱ种是将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。
这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=12x 2-2x-6及各定点坐标，第二问中的F 有两种情况：x 轴上方一个，x 轴下方一个。
在Rt ⊿BDE 中，可知tan ∠EDB=12，则tan ∠FAB=12，过F 作x 轴垂线，构造∠FAB 所在直角三角形，接着通过设F 点坐标，表示FH 和AH 长，根据tan ∠FAB=FHAH =12列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F 坐标，由于表示FH 时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F 就都求出来了。
二次函数切线问题之构造二倍角、半角
二次函数切线问题之构造二倍角、半角
前言
本文将讨论如何在二次函数问题中构造二倍角和半角，以增加问题的复杂性和提高解题技巧。
通过这些构造，我们可以更深入地理解二次函数的性质和几何意义。
构造二倍角
构造二倍角是指将已知的角度的两倍作为新角度，常用于问题求解或证明中。
在二次函数问题中，我们可以通过构造二倍角，引入更多的变量和等式，以解决更复杂的问题。
1. 构造二倍角的正弦和余弦：
2. 构造二倍角的正切：
通过以上的构造，我们可以在二次函数问题中引入更多的变量和等式，帮助我们解决更复杂的问题，并深入探索二次函数性质的几何意义。
构造半角
构造半角是指将已知的角度除以2得到新角度，同样常用于问
题求解或证明中。
在二次函数问题中，构造半角可以用来简化问题、减少变量的个数，从而简化计算过程。
通过构造半角，我们可以在二次函数问题中减少变量的个数，
并简化计算过程。
这对于一些复杂问题的求解非常有帮助。
结论
构造二倍角和半角是解决二次函数问题的有用策略。
构造二倍
角能够增加问题的复杂性，引入更多变量和等式；构造半角则能够
简化问题，减少变量个数，从而简化计算过程。
这两种构造方法有
助于提高解题技巧和更深入地理解二次函数的性质和几何意义。
希望本文对您在二次函数切线问题的解题过程中有所帮助。
二倍角的6种解题方法
二倍角二倍角的6种解题方法：1.二倍角等腰法：（1）二倍角——小角等腰法：以二倍角为外角构造等腰△。
（2）二倍角——大角等腰法：以二倍角为底角构造等腰△。
2.二倍角——角分线：作2倍角的角分线。
3.二倍角——对称角法：小角或大角的对称角。
4.二倍角——对称法：以小角的一边为对称轴作翻折。
5.二倍角——顶角法：2a与90°-a，以2a为顶角构造等腰△。
6.二倍角——角度计算：二倍角与特殊角（60°）组合，确定角度关系。
例题：二倍角等腰法：1如图，△ABC中，AB=10，∠B=2∠C，AD是高线，AE是中线，则线段DE的长为________2.如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC,BD=3，CD=2,则AD的长为___________3. （2012年中考20题）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE 交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为4.如图，,AD=CD=BC,,则的度数为__________________.对称法与角分线法：1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠CAD ，AC=BD ，AB=5，则AD= _______。
方法一：对称法 方法二：角分线法2.如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，BQ 和AP 分别为∠BAC 和∠ABC 的角平分线，若△ABQ 的周长为20，BP=4，则AB 的长为_______________。
BBC B绝配角：半角和余角。
1.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 在BC 上，点E 在AC 上，连接AD ，DE ，∠ABC=2∠CDE ，AE=3，AB=5，∠ADE=45°，则BD 的长为___________。
2.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，D 、E 分别是AC 、BC 上的点,EA 平分∠BED ，2∠BAE=∠C ，若BE=5，CD=12,求CE 的长_____________.三倍角化二倍角：1.已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，作AE ∥BC,连接BE 交AC 于点D ，且DE=2AB 。
二次函数顶点问题之构造二倍角、半角
二次函数顶点问题之构造二倍角、半角简介二次函数是数学中重要的函数之一，它的图像呈现出一条弧线。
在研究二次函数时，我们经常需要确定顶点和相关的角度。
本文将讨论如何通过构造二倍角和半角的方法来解决二次函数顶点问题。
构造二倍角对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a \neq 0$，我们可以通过构造二倍角的方法来求解顶点的横坐标。
1. 首先，我们将 $f(x)$ 化简为标准形式：$f(x) = a(x-h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 为顶点坐标。
2. 然后，我们设 $2x = h + t$，其中 $t$ 为待求变量。
3. 将 $2x$ 代入 $f(x)$，得到 $f(h+t) = a(h+t-h)^2 + k$，化简后得到 $f(h+t) = at^2 + k$。
4. 由于顶点坐标为二次函数的最小值点，即 $f(h+t) = f(h)$。
因此，我们可以得到 $at^2 + k = af(h) + k$。
5. 化简上述等式，得到 $at^2 = af(h)$。
6. 进一步化简，得到 $t^2 = f(h)$。
7. 求解 $t$，得到 $t = \pm \sqrt{f(h)}$。
8. 最后，通过代入 $t$ 导出的值来求解 $h$。
构造半角类似地，我们也可以通过构造半角的方法来求解顶点的纵坐标。
1. 首先，将二次函数 $f(x)$ 化简为标准形式：$f(x) = a(x-h)^2+ k$。
2. 设 $x = h + s$，其中 $s$ 为待求变量。
3. 将 $x$ 代入 $f(x)$，得到 $f(h+s) = a(h+s-h)^2 + k$，化简后得到 $f(h+s) = as^2 + k$。
4. 由于半角对应的坐标为 $f(h)$，即 $f(h+s) = f(h)$。
因此，我们可以得到 $as^2 + k = af(h) + k$。
5. 化简上述等式，得到 $as^2 = af(h)$。
二倍角公式变形与应用
二倍角公式的变形与应用（民勤职业中等专业学校 张中文 733300）二倍角公式是由两角和的正弦、余弦、正切公式恒等变形得到的，并且在变形和公式选择的灵活性要求较高，二倍角公式解题的思想方法和思维策略在三角变换和解决数学问题中的应用十分广泛。
一、二倍角公式的推证由2ααα=+，可知二倍角公式可以直接代入两角和正弦、余弦、正切公式而得到，如下：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-()22tan tan 2tan tan 2tan 1tan 1tan αααααααα+=+==-- 二、二倍角公式解题透视 1、整体辨识二倍角所谓二倍角是相对而言的，除2α是α的二倍角外，如：4α是2α的二倍角，α是2α的二倍角，22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭是4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的二倍角等等。
2、熟悉二倍角公式的各种变形。
⑴()222cos sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⑵()()1cos 2sin 21sin cos sin cos sin cos2cos 2222-=-=+-=-=ααααααααα变形可得：（也称降幂公式）;22cos 1cos ,22cos 1sin 22αααα+=-=（也称升幂公式）.sin 22cos 1,cos 22cos 122αααα=-=+⑶ααα2tan 21tan 1tan 2=-等等。
3、二倍角公式的引申结论;2tan 2cos2sin2cos 22cos2sin2cos 1sin 2αααααααα===+同理可得：,2tan sin cos 1ααα=-.2tan cos 1sin ,2cot sin cos 1αααααα=-=+4、高考中常见题型4.1三角函数的化简与求值问题 例1．化简ααααcos sin 1cos sin 1++-+解法一：1与αsin 组合原式()()⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-+=2sin 2cos2cos 2sin 2sin 2cos2cos 2sin cos sin 1cos sin 1222222αααααααααααα ＝2tan 2cos22cos 2sin 2sin 22cos 2sin ααααααα=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+解法二：1与αcos 组合原式＝()()2cos2sin22cos 22cos2sin 22sin 2sin cos 1sin cos 122αααααααααα++=+++-.2tan 2cos2sinααα== 例2．求值.70sin 50sin 30sin 10sin解：∵ sin10cos80,sin50cos40,sin70cos20︒︒︒︒︒︒===；联想αααcos sin 22sin =。
专题63 二次函数背景下的倍、半角角度问题(解析版)
例题精讲【例1】．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，∴点B（﹣3，0），∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如图1，当点D在点C上方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝30°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝×3＝，∴CD＝3﹣；若点D在点C下方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝60°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝3，∴DC＝3﹣3，综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝＝，∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCE≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，∴∠ECA＝2∠ACO，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA，＝AE×OC＝AC×EF，∵S△AEC∴EF＝＝，∴CF＝＝＝，∴tan∠ECA＝＝，如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，∵∠PAB＝∠ECA，∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，∴ON＝，∴点N（0，﹣），又∵点A（1，0），∴直线AP解析式为：y＝x﹣，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，﹣），当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，），综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C．直线y＝﹣x+2经过于点C、点B，（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第一象限抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线交线段BC于点E，交x 轴于点Q，当DE＝5EQ时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点M为第二象限抛物线上一动点，连接DM，DM交线段OC于点H，点F在线段OB上，连接HF、DF、DC、DB，当HF＝，∠CDB＝2∠MDF 时，求点M的坐标．解：（1）针对于直线y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），令y＝0，则0＝﹣x+2，∴x＝4，∴B（4，0），将点B，C坐标代入抛物线y＝ax2+x+c中，得∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）如图1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，设点D坐标为（m，﹣m2+m+2），∵DE⊥x轴交BC于E，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∴D（m，﹣m+2），∴DE＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m，DQ＝﹣m+2，∵DE＝5EQ，∴﹣m2+m＝5（﹣m+2），∴m＝3或m＝4（点B的横坐标，舍去），∴D（3，3）；（3）如图2，由（2）知，D（3，3），由（1）知，B（4，0），C（0，2），∴DB＝，DC＝，BC＝2，∴DC＝DB，DB2+DC2＝BC2，∴△BDC是等腰直角三角形，∴∠BDC＝90°，∵BDC＝2∠FDM＝90°，∴∠FDM＝45°，过点D作DP⊥y轴于P，则DQ＝DP，OP＝3，∴CP＝1＝BQ，∴△DPC≌△DQB（SAS），在CP的延长线取一点G，使PG＝QF＝n，∴OF＝3﹣n，OG＝3+n，∴△DPG≌△DQF（SAS），∴DG＝DF，∠PDG＝∠QDF，∴∠FDG＝∠PDG+∠PDF＝∠QDF+∠PDG＝∠PDQ＝90°∴∠GDM＝90°﹣∠FDM＝45°＝∠GDM，∵DH＝DH，∴△GDH≌△FDH（SAS），∴GH＝FH＝，∴OH＝OG﹣GH＝3+n﹣＝n+，在Rt△HOF中，根据勾股定理得，（n+）2+（3﹣n）2＝，∴n＝1或n＝（此时，OH＝n+＝2，所以点H与点C重合，舍去），∴H（0，），∵C（3，3），∴直线CH的解析式为y＝x+①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2②，联立①②解得，或（由于点M在第二象限，所以舍去），∴M（﹣，）．【例2】．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c 经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．解：（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3①；（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P （x ，x 2﹣x ﹣3），则点H （x ，x ﹣3），S 四边形ACPB ＝S △ABC +S △PCB ，∵S △ABC 是常数，故四边形面积最大，只需要S △PCB 最大即可，S △PCB ＝×OB ×PH ＝×4（x ﹣3﹣x 2+x +3）＝﹣x 2+6x ，∵﹣＜0，∴S △PCB 有最大值，此时，点P （2，﹣）；（3）过点B 作∠ABC 的角平分线交y 轴于点G ，交抛物线于M ′，设∠MBC ＝∠ABC＝2α，过点B 在BC 之下作角度数为α的角，交抛物线于点M ，过点G 作GK ⊥BC 交BC 于点K ，延长GK 交BM 于点H ，则GB ＝BH ，BC 是GH 的中垂线，OB ＝4，OC ＝3，则BC ＝5，设：OG ＝GK ＝m ，则CK ＝CB ﹣HB ＝5﹣4＝1，由勾股定理得：（3﹣m ）2＝m 2+1，解得：m ＝，则OG ＝GK ＝，GH ＝2OG ＝，点G （0，﹣），在Rt △GCK 中，GK ＝OG ＝，GC ＝OC ﹣OG ＝3﹣＝，则cos∠CGK＝＝，sin∠CGK＝，则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），则直线BH的表达式为：y＝x﹣…②，同理直线BG的表达式为：y＝x﹣…③联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，解得：x＝或4（舍去4），则点M（，﹣）；联立①③并解得：x＝﹣，故点M′（﹣，﹣）；故点M（，﹣）或（﹣，﹣）．变式训练【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；②请直接写出使∠PBA＝∠ABC的点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为：；（2）令x＝0，得＝4，∴C（0，4），∴OC＝4，∵B（3，0），∴OB＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），则，解得，∴直线BC的解析式为：y＝，设P（m，），则D（m，），∴DP＝，DE＝m，∴，∵∠BOC＝∠PDE＝90°，∴当△PDE和△BOC相似时，有两种情况：当△PDE∽△BOC时，则，即＝，解得，m＝，∴P（，）；当△PDE∽△COB时，则，即＝，解得，m＝2，∴P（2，4）．综上，当△PDE和△BOC相似时，点P的坐标（，）或（2，4）；②过B作BP平分∠ABC，交抛物线于点P，交OC于点M，过M作MN⊥BC于点N，如图1，则∠PBA＝∠ABC，OM＝MN，在Rt△BOM和Rt△BNM中，，∴Rt△BOM≌Rt△BNM（HL），∴BN＝BO＝3，设OM＝t，则MN＝MO＝t，4﹣t，CN＝BC﹣BN＝﹣3＝2，∵MN2+CN2＝MC2，∴t2+22＝（4﹣t）2，∴t＝，∴M（0，），设BM的解析式为：y＝mx+（m≠0），代入B（3，0）得，m＝，∴直线BM的解析式为：y＝﹣，解方程组得，，，∴P（，），取M（0，）关于x轴的对称点，K（0，﹣），连接BK，延长BK，交抛物线于点P'，如图2所示，则∠ABP＝∠ABC，设直线BK的解析式为y＝px（p≠0），代入B（3，0）得，p＝，∴直线BK的解析式为：y＝，解方程组得，，∴P'（，），综上，使∠PBA＝∠ABC的点P的坐标为（，）或（，）．【例3】．已知如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）交x轴于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C．已知OA＝OC＝2OB．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线y＝2x+m，若直线与抛物线有且只有一个交点E，求△ACE的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠EAC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于抛物线y＝ax2+bx﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OA＝OC＝2OB，∴OA＝4，OB＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），∵点A，B在抛物线y＝ax2+bx﹣4上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4①，∵直线y＝2x+m②与抛物线有且只有一个交点E，联立①②得，，∴x2﹣x﹣（4+m）＝0，∴△＝1+4×（4+m）＝0，∴m＝﹣，∴x2﹣x﹣＝0，∴x1＝x2＝1，∴E（1，﹣），∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣2如图1，记直线AE与y轴的交点为F，则F（0，﹣2），＝CF×|x E﹣x A|＝×2×|1﹣（﹣4）|＝5；∴S△ACE（3）由（2）知，E（1，﹣），Ⅰ、当点P在x轴上方时，如图2，将线段AE以点E为旋转中心顺时针旋转90°得到线段EG，连接AG，则∠EAG＝45°，在Rt△AOC中，OA＝OC，∴∠OAC＝45°＝∠EAG，∴∠CAE＝∠OAG，∴点P是AG与抛物线的交点，过点E作MN∥x，过点A作AM⊥MN于M，过点G作GN⊥MN于G，∵A（﹣4，0），E（1，﹣），∴AM＝，ME＝5，∴∠AME＝∠ENG＝90°，∴∠MAE+∠AEM＝90°，由旋转知，AE＝EG，∠AEG＝90°，∴∠AEM+∠NEG＝90°，∴∠MAE＝∠NEG，∴△AME≌△ENG（AAS），∴EN＝AM＝，GN＝ME＝5，∴N（，﹣），G（，），∴直线AG的解析式为y＝x+③，∵抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4④，联立③④解得，或，∴P（，），Ⅱ、由Ⅰ知，点G的坐标为G（，），N（，﹣），∴点G与点N关于x轴对称，∴点P是直线AN与抛物线的交点，∵A（﹣4，0），∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣⑤，联立④⑤，解得，或，∴P（，﹣），即满足条件的点P的坐标为P（，）或（，﹣）．变式训练【变3-1】．如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式的一般式．（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）当点P在直线BC的下方时，如图1，过点B作BE⊥BC交CP的延长线于点E，过点E作EM⊥x轴于点M，∵y＝（x+1）（x﹣3），∴y＝0时，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴，∵OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，BC＝3，∵∠ACO＝∠PCB，∴tan，∴BE＝，∵∠CBE＝90°，∴∠MBE＝45°，∴BM＝ME＝1，∴E（4，﹣1），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CE的解析式为，∴，解得，∴，当点P在直线BC的上方时，过点B作BF⊥BC交CP于点F，如图2，同理求出BF＝，FN＝BN＝1，∴F（2，1），求出直线CF的解析式为y＝2x﹣3，∴，解得：x1＝0，x2＝4，∴P（4，5）．综合以上可得点P的坐标为（4，5）或（）；（3）∵直线l：y＝kx﹣k+2，∴y﹣2＝k（x﹣1），∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，∴直线y＝kx﹣k+2恒过定点H（1，2），如图3，连接BH，当BH⊥直线l时，点B到直线l的距离最大时，求出直线BH的解析式为y＝﹣x+3，∴k＝1，∴直线l的解析式为y＝x+1，∴，解得：，，∴E（﹣1，0），F（4，5），∴＝10．1．如图，已知直线AB：y＝x﹣3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y＝x2﹣2x﹣m与y 轴交于C点，与线段AB交于D、E两点（D在E左侧）（1）若D、E重合，求m值；（2）连接CD、CE，若∠BCD＝∠BEC，求m值；（3）连接OD，若OD＝CE，求m值．解：（1）把y＝x﹣3代入抛物线y＝x2﹣2x﹣m中，得x2﹣3x+3﹣m＝0，∵D、E重合，∴△＝9﹣4（3﹣m）＝4m﹣3＝0，∴m＝；（2）∵y＝x﹣3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y＝x2﹣2x﹣m与y轴交于C点，∴B（0，﹣3），C（0，﹣m），∴BC＝3﹣m，解方程组得，，，∴，，∴BD＝，BE＝，∵∠BCD＝∠BEC，∠CBD＝∠EBC，∴△BCD∽△BEC，∴，即BC2＝BD•BE，∴，解得，m＝1或3，当m＝3时，B与C重合，不符合题意，舍去，∴m＝1；（3）∵OD＝CE，∴OD2＝CE2，∴+，即，解得，m＝0，或m＝5，当m＝0时，无意义，应舍去，当m＝5+时，C点在B点下方，不合题意，舍去，∴m＝5﹣，2．如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积为6．（1）求这条抛物线相应的函数表达式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点N的坐标．解：（1）当y＝0时，x2﹣（a+1）x+a＝0，解得x1＝1，x2＝a，∵点A位于点B的左侧，∴点A坐标为（a，0），点B坐标为（1，0），当x＝0时，y＝a，∴点C坐标为（0，a），∴AB＝1﹣a，OC＝﹣a，∵△ABC的面积为6，∴，∴a1＝﹣3，a2＝4，∵a＜0，∴y＝x2+2x﹣3；（2）设直线BC：y＝kx﹣3，则0＝k﹣3，∴k＝3；①当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y＝3x，则，∴，，∴点P坐标为；②当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y＝﹣3x，则∴，，∴点P坐标为，综上可得点P坐标为或；（3）过点A作AE⊥BM于点E，过点N作NF⊥BM于点F，设AM与BN交于点G，延长MN与x轴交于点H；∵AB＝4，点M到x轴的距离为d，＝×AB×d＝×4×d＝2d，∴S△AMB＝2d，∵S△MNB＝S△MNB，∴S△AMB∴，∴AE＝NF，∵AE⊥BM，NF⊥BM，∴四边形AEFN是矩形，∵∠MAN＝∠ANB，∴GN＝GA，∵AN∥BM，∴∠MAN＝∠AMB，∠ANB＝∠NBM，∴∠AMB＝∠NBM，∴GB＝GM，∴GN+GB＝GA+GM即BN＝MA，在△AMB和△NBM中∴△AMB≌△NBM（SAS），∴∠ABM＝∠NMB，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，又∵AN∥BM，∴∠ABM＝∠OAC＝45°，∴∠NMB＝45°，∴∠ABM+∠NMB＝90°，∴∠BHM＝90°，∴M、N、H三点的横坐标相同，且BH＝MH，∵M是抛物线上一点，∴可设点M的坐标为（t，t2+2t﹣3），∴1﹣t＝t2+2t﹣3，∴t1＝﹣4，t2＝1（舍去），∴点N的横坐标为﹣4，可设直线AC：y＝kx﹣3，则0＝﹣3k﹣3，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x﹣3，当x＝﹣4时，y＝﹣（﹣4）﹣3＝1，∴点N的坐标为（﹣4，1）．3．如图1，抛物线C1：y＝ax2+c的顶点为A，直线l：y＝kx+b与抛物线C1交于A，C两点，＝4．与x轴交于点B（1，0），且OA＝2OB，S△OAC（1）求直线l的解析式；（2）求抛物线C1与x轴的交点坐标；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C，且抛物线C的顶点为P，交x轴负半轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ 时，求m的值．解：（1）∵B（1，0），∴OB＝1，∵OA＝2OB，∴OA＝2，∴A（0，﹣2），设直线l的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝2x﹣2；＝4，（2）∵S△OAC∴，∴x C＝4，∴y＝8﹣2＝6，∴C（4，6），将A（0，﹣2），C（4，6）代入y＝ax2+c，∴，解得，∴抛物线C1与的解析式为y＝；令y＝0，，解得x＝±2，∴抛物线C1与x轴的交点坐标为（2，0），（﹣2，0）．（3）设抛物线C表达式为：y＝x2﹣2﹣m，设点M（n，0），则n2﹣2﹣m＝0，抛物线C表达式为：y＝x2﹣n2…③，联立②③并解得：x＝2﹣n或2+n，则点N（2﹣n，2﹣2n），则NQ＝2﹣2n，MQ＝2﹣2n，∴△MNQ为等腰直角三角形，则∠MNQ＝45°，又点P（0，﹣n2），即点M（n，0），设直线MN与y轴的交点为H，则OH＝OM，则点H（0，﹣n），作NK⊥y轴于点K，在△NKH中，NK＝KH，则NH＝（2﹣n），又HP＝OH+OP＝n2﹣n，∵PN为角平分线，则∠MNP＝∠PNQ＝22.5°，故NH＝HP，则（2﹣n）＝n2﹣n，解得：n＝2或﹣2（舍去2），∵n2﹣2﹣m＝0，解得：m＝2．4．如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线AB上方抛物线上的一动点，①求D到AB的距离最大值及此时的D点坐标；②若∠DAB＝∠BAC，求D点的坐标．解：（1）由y＝x+2可得：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）①如图1，过点D作DN⊥AC于N，交AB于F，作DH⊥AB于H，∵A（﹣4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，∴AB＝＝＝2，∵∠FAN+∠AFN＝90°，∠FDH+∠DFH＝90°，∠AFN＝∠DFH，∴∠FAN＝∠FDH，∴cos∠FAN＝cos∠FDH，∴，∴＝，∴DH＝DF，∴当DF有最大值时，DH有最大值，设点D，F，∴DF＝＝﹣（m+2）2+2，∴当m＝﹣2时，DF有最大值为2，∴DH的最大值为，∴当点D（﹣2，3）时，D到AB的距离最大值为；②如图2，延长CB，AD交于点E，∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A，点C，∴点C（1，0），∴OC＝1，∵＝，∠AOB＝∠BOC，∴△AOB∽△BOC，∴∠BAO＝∠CBO，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO+∠CBO＝90°，∴∠ABC＝90°，∵∠DAB＝∠BAC，AB＝AB，∠ABC＝∠ABE＝90°，∴△ABC≌△ABE（ASA），∴BC＝BE，∵B（0，2），点C（1，0），∴点E（﹣1，4），∴直线AE的解析式为y＝x+，联立方程组：，解得：，，∴点D（﹣，）．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值；（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y 轴交于点C（0，4），∴，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）如图，过点D作DE∥y轴交BC于点E，交x轴于点F，∵B（8，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，设D（m，﹣m2+m+4），则E（m，﹣m+4），∵D为抛物线上第一象限内一点，∴DE＝DF﹣EF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∴△DCB面积＝8×DE＝4（﹣m2+2m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16，∴当m＝4时，△DCB面积最大，最大值为16；（3）①当点P在BC上方时，如图，∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB，∴点C，P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为4，令y＝4，则﹣x2+x+4＝4，解得：x＝0或x＝6，∴P（6，4）；②当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB．设HB＝HC＝m，∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2＝CH2，∴42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5，∴OH＝3，∴H（3，0）．设直线PC的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴y＝﹣x+4，∴，解得：，，∴P（，﹣）．综上所述，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．6．已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（5，0）、B（﹣3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠PAO＝∠BAO，求点P的坐标．解：（1）将A（5，0），B（﹣3，4）代入y＝ax2+bx，得：，解得：，∴所求抛物线的表达式为y＝x2﹣x．（2）∵抛物线的表达式为y＝x2﹣x，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴点D的坐标为（，0）．过点B作BC⊥x轴，垂足为点C1所示．∵点B的坐标为（﹣3，4），点D的坐标为（，0），∴BC＝4，OC＝3，CD＝3+＝，∴cot∠BDO＝＝．（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，如图2所示．则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴cot∠BAC＝＝＝2．∵∠PAO＝∠BAO，∴cot∠PAO＝＝＝2，即m﹣2n＝5①．∵BC⊥x轴，PQ⊥x轴，∴∠BCO＝∠PQA＝90°，∴BC∥PQ，∴＝，∴＝，即4m＝﹣3n②．由①、②得：，解得：，∴点P的坐标为（，﹣）．7．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；（2）①设点P（a，a2+a﹣6），∵点P位于y轴的左侧，∴a＜0，PE＝﹣a，∵PD＝2PE，∴|a2+a﹣6|＝﹣2a，∴a2+a﹣6＝﹣2a或a2+a﹣6＝2a，解得：a1＝，a2＝（舍去）或a3＝﹣2，a4＝3（舍去）∴PE＝2或；②存在点P，使得∠ACP＝∠OCB，理由如下，∵抛物线y＝x2+x﹣6与y轴交于点C，∴点C（0，﹣6），∴OC＝6，∵点B（2，0），点A（﹣3，0），∴OB＝2，OA＝3，∴BC＝＝＝2，AC＝＝＝3，如图，过点A作AH⊥CP于H，∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO，∴△ACH∽△BCO，∴，∴＝，∴AH＝，HC＝，设点H（m，n），∴（）2＝（m+3）2+n2，（）2＝m2+（n+6）2，∴或，∴点H（﹣，﹣）或（﹣，），当H（﹣，﹣）时，∵点C（0，﹣6），∴直线HC的解析式为：y＝﹣x﹣6，∴x2+x﹣6＝﹣x﹣6，解得：x1＝﹣2，x2＝0（舍去），∴点P的坐标（﹣2，﹣4）；当H（﹣，）时，∵点C（0，﹣6），∴直线HC的解析式为：y＝﹣7x﹣6，∴x2+x﹣6＝﹣7x﹣6，解得：x1＝﹣8，x2＝0（舍去），∴点P的坐标（﹣8，50）；综上所述：点P坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）．8．如图1，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若OC＝2OA＝4．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，若∠ABP＝∠ACO，求点P的坐标；（3）如图3，点P的横坐标为1，过点P作PE⊥PF，分别交抛物线于点E，F．求点A 到直线EF距离的最大值．解：（1）∵CO＝4，故c＝﹣4，则抛物线的表达式为y＝ax2﹣4，∵OC＝2OA＝4，故点A（﹣2，0），则0＝4a﹣4，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4；（2）过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q，在△BAQ和△COA中，，∴△BAQ≌△COA（AAS），∴AQ＝OA＝2，∴Q（﹣2，﹣2），由点B、Q的坐标得，直线BQ解析式为y＝x﹣1，联立，解得x1＝2（舍去），x2＝，∴P（，）；（3）设E（x1，x12﹣4），F（x2，x22﹣4），P（1，﹣3），由点P、E的坐标得，y PE＝（x1+1）x﹣4﹣x1，同理可得y PF＝（x2+1）x﹣4﹣x2，又∵PE⊥PF，∴（x1+1）（x2+1）＝﹣1，∴x1x2+x1+x2+1＝﹣1，x1x2＝﹣2﹣（x1+x2）（这里可以构造三垂模型如图3，利用相似三角形的性质得到）．同理可得EF的解析式为：y EF＝（x1+x2）x﹣4﹣x1x2，∴y EF＝（x1+x2）x﹣4+2+（x1+x2）＝（x1+x2）（x+1）﹣2，∴直线EF恒过定点（﹣1，﹣）R，连接点AR，则AR为点A到直线EF距离的最大值，∴AR＝．9．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）M是抛物线上第一象限上的一点，连接AM，正好将△ABC的面积分成相等的两部分，求M点的坐标．（3）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）作BC的中点N，连接AN并延长交抛物线于M，如图：∵N为BC中点，∴直线AN将△ABC M是满足条件的点，在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，∴C（0，3），∵B（3，0），N为BC中点，∴N（，），设直线AN解析式为y＝mx+n，将A（﹣1，0），N（，）代入得：，解得，∴直线AN解析式为y＝x+，解得或，∴M（，），答：M点的坐标（，）；（3）存在点P，使∠PAB＝∠ABC，理由如下：过A作AP∥BC交抛物线于P，交y轴于S，作S关于x轴的对称轴点T，作直线AT交抛物线于P'，如图：∵AP∥BC，∴∠PAB＝∠ABC，P是满足条件的点，∵S关于x轴的对称轴点为T，∴∠P'AB＝∠PAB＝∠ABC，即P'是满足条件的点，由（2）知C（0，3），设直线BC解析式为y＝tx+3，将B（3，0）代入得：3t+3＝0，∴t＝﹣1，∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，由AP∥BC设直线AP解析式为y＝﹣x+d，将A（﹣1，0）代入得：1+d＝0，解得d＝﹣1，∴直线AP解析式为y＝﹣x﹣1，S（0，﹣1），解得或，∴P（4．﹣5），∵S（0，﹣1），S关于x轴的对称轴点为T，∴T（0，1），设直线AT解析式为y＝ex+1，将A（﹣1，0）代入得：﹣e+1＝0，解得e＝1，∴直线AT解析式为y＝x+1，解得或，∴P'（2，3），综上所述，点P的坐标为（4，﹣5）或（2，3）．10．如图（1），抛物线y＝ax2+（a﹣5）x+3（a为常数，a≠0）与x轴正半轴分别交于A，B（A在B的右边）．与y轴的正半轴交于点C．连接BC，tan∠BCO＝．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图（2），设抛物线的顶点为Q，P是第一象限抛物线上的点，连接PQ，AQ，AC，若∠AQP＝∠ACB，求点P的坐标；（3）如图（3），D是线段AC上的点，连接BD，满足∠ADB＝3∠ACB，求点D的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+（a﹣5）x+3与y轴的正半轴交于点C，∴C（0，3），∴OC＝3，∵tan∠BCO＝，∴＝，∴OB＝1，∴B（1，0），将B（1，0）代入y＝ax2+（a﹣5）x+3，得a+a﹣5+3＝0，解得：a＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图（2）设PQ与x轴交于N．∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点Q（2，﹣1），∵A（3，0），B（1，0），C（0，3），∴AB＝2，OC＝OA＝3，∴∠CAO＝45°，AC＝3，过Q作QH⊥x轴于H，则QH＝AH＝1，∴∠QAH＝45°，AQ＝，∴∠CAO＝∠QAH＝45°，∵∠AQP＝∠ACB，∴△CAB∽△QAN，∴＝，即＝，∴AN＝，∴ON＝3﹣＝，∴N（，0），又Q（2，﹣1），∴直线PQ解析式为：y＝3x﹣7，联立方程组，解得：，；∴P（5，8）；（3）如图（3）作BM⊥AC于M，当点D在线段CM上时，则∠ADB＝3∠ACB，∴∠CBD＝2∠ACB，作∠CBD的平分线BE交CD于点E，∴∠CBD＝2∠CBE，∴∠ACB＝∠CBE，∴BE＝CE，∵y＝x2﹣4x+3，∴A（3，0），B（1，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∠OAC＝∠OCA＝45°，设E（a，﹣a+3），则（a﹣1）2+（a﹣3）2＝a2+a2，解得：a＝，∴E（，），设D（m，﹣m+3），∵∠BCD＝∠EBD，∠BDC＝∠EDB，∴△BCD∽△EBD，∴BD2＝CD•ED，∴（m﹣1）2+（m﹣3）2＝（m﹣）•m，解得：m＝，∴D（，）．11．如图，抛物线y＝（x﹣3）（x﹣2a）交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），＝．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接BC，点P在抛物线上，且∠BCO＝∠PBA．求点P的坐标；（3）如图②，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，tan∠AMN＝2，点M到x轴的距离为2L，△AMN的面积为5L，且∠ANB＝∠MBN，请问MN的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．解：（1）把y＝0代入抛物线y＝（x﹣3）（x﹣2a），得x＝3或x＝2a，∵点A在点B的左侧，∴A（2a，0），B（3，0），∵∴∴a＝﹣1∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣6；（2）如图①，作线段BC的垂直平分线交y轴于点D，此时DC＝DB∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠ODB＝∠DCB+∠DBC＝2∠BCO，∵∠BCO＝∠PBA∴∠PBA＝2∠BCO，∴∠ODB＝∠PBA，∴tan∠ODB＝tan∠PBA，设P（m，m2﹣m﹣6），DC＝DB＝n，∵C（0，﹣6），B（3，0），∴OC＝6，OB＝3，∴OD＝6﹣n，在Rt△BOD中，（6﹣n）2+32＝m2，解得，∴，∵tan∠ODB＝tan∠PBA∴即，解得，∴∴点P的坐标为；（3）MN的为定值，定值为5∵A（﹣2，0），B（3，0），点M到x轴的距离为2L∴，＝5L∵S△AMN＝S△AMN∴S△ABM∵△ABM和△AMN同底AM，∴点B、N到直线AM的距离相等，∴AM∥BN，∴∠MAN＝∠ANB，∠AMB＝∠MBN，∠ABC＝∠MAB∴∠ANB＝∠MBN∴∠MAN＝∠AMB∵tan∠ABC＝＝＝2，tan∠AMN＝2∴△MAB≌△AMN（ASA），∴MN＝AB＝5∴MN的为定值，定值为5．12.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3①；tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝；①当点P（P′）在点C的右侧时，∵∠P'BC＝∠BCO，故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；当点P在点C的左侧时，设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，∵∠P'BC＝∠BCO，∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×＝，解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣），由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②，联立①②并解得：，故点P的坐标为（﹣5，﹣8）；②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，故设直线AP的表达式为：y＝x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，故直线AP的表达式为：y＝x+1③，联立抛物线与③并解得：，故点N（，）；设△AMN的外接圆为圆R，当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，∴∠RMH＝∠GAR，∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，∴△AGR≌△RHM（AAS），∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，∴点M（m+n，n﹣m﹣3），将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3④，由题意得：AR＝NR，即（m+3）2+n2＝（m﹣）2+（﹣n）2⑤，联立④⑤并解得：，故点M（﹣，﹣）．13．如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，∴直线l解析式为y＝x﹣，设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称，∴OD＝OE∵DE＝2EM∴OM＝2OD，过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，∴∠OFD＝∠ORM，∵∠DOF＝∠MOR∴△ODF∽△OMR∴＝＝＝2∴OR＝2OF，RM＝2DF∴M（﹣2m，2m2+8m）∴2m2+8m＝•（﹣2m）﹣，解得：m1＝﹣3，m2＝，∵m＜﹣2∴m的值为：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，∴tan∠GAB＝＝＝，∵∠DEP＝∠GAB∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；∵E（3，﹣3），∴∠EOT＝45°∵∠EOH＝90°∴∠HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，则，解得∴直线EH解析式为y＝﹣x，解方程组，∴x＝或，∴点P的横坐标为：或．14．已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点C在x 轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM＝∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0），B（5，0），∴，解得．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5．（2）∵A（1，0），B（5，0），∴OA＝1，AB＝4．∵AC＝AB且点C在点A的左侧，∴AC＝4．∴CB＝CA+AB＝8．。
例谈函数综合问题中二倍角的处理
例谈函数综合问题中二倍角的处理函数综合问题中，二倍角是一个经常出现的概念。
在处理这类问题时，我们需要掌握二倍角的一些基本性质和常见的应用方法。
本文将以例题的形式，详细介绍二倍角的处理。
例题1：已知函数f(x)满足f(x)=2sin(x)，求函数f(2x)的表达式。
解析：题目中要求求解函数f(2x的表达式，即x的值变为原来的二倍。
我们可以利用三角函数的性质来解决这个问题。
首先，我们知道sin(2x)=2sin(x)cos(x)。
所以我们可以推导出函数f(2x)的表达式为：f(2x)=2sin(2x)=4sin(x)cos(x)。
这个结果就是函数f(2x)的表达式。
例题2：已知函数f(x)=3cos(x)，求函数f(2x)的表达式。
解析：这个问题和例题1类似，我们同样可以利用三角函数的性质来求解。
首先，我们知道cos(2x)=cos2(x)-sin2(x)。
所以我们可以得到函数f(2x)的表达式为：f(2x)=3cos(2x)=3(cos2(x)-sin2(x))。
这个结果就是函数f(2x)的表达式。
例题3：已知函数f(x)=tan(x)，求函数f(2x)的表达式。
解析：这个问题稍微复杂一些，因为我们知道tan(2x)=2tan(x)/(1-tan2(x))。
所以我们可以推导出函数f(2x)的表达式为：f(2x)=tan(2x)=2tan(x)/(1-tan2(x))。
这个结果就是函数f(2x)的表达式。
通过以上例题，我们可以总结出一些处理二倍角的基本方法和性质：1. 对于sin和cos函数，有如下性质：sin(2x)=2sin(x)cos(x)cos(2x)=cos2(x)-sin2(x)sin2(x)+cos2(x)=12. 对于tan函数，有如下性质：tan(2x)=2tan(x)/(1-tan2(x))以上这些性质是处理二倍角问题的基础，我们可以在解题时根据具体情况选择合适的性质来求解。
此外，还有一些二倍角的常用公式如下：sin(2x)=2sin(x)cos(x)cos(2x)=cos2(x)-sin2(x)tan(2x)=2tan(x)/(1-tan2(x))cosec(2x)=2cosec(x)cos2(x)-1sec(2x)=sec2(x)+1-2sec2(x)cot(2x)=(cot2(x)-1)/2cot(x)根据以上公式，我们可以进一步解决更加复杂的二倍角问题。
中考二倍角解决策略
中考二倍角解决策略
中考二倍角问题是指求解一个角的二倍角的问题。
对于这类问题，可以采用以下策略来解决：
1. 利用角的性质：角的二倍角等于角的正弦、余弦和正切的一系列变换。
可以利用这些性质来求解二倍角。
例如，如果已知角的正弦或余弦值，可以利用sin(2θ) = 2sinθcosθ和cos(2θ) = cos^2θ- sin^2θ的关系来求解角的二倍角。
2. 利用三角函数的图像：通过观察三角函数的图像，可以发现角的二倍角与原角在坐标平面上的位置与取值有一定的关系。
可以通过观察图像来帮助解决二倍角问题。
3. 利用角度和弧度的转换关系：例如，角度与弧度的转换关系是π弧度= 180°。
可以通过将角度转换为弧度，然后利用弧度的性质来求解二倍角，并将结果转换回角度。
4. 利用半角公式：半角公式是指sin(θ/2) = ±√[(1-cosθ)/2]和cos(θ/2) = ±√[(1+cos θ)/2]的关系。
可以利用半角公式来求解二倍角问题。
5. 利用等腰三角形的性质：如果已知一个等腰三角形的底角，则可以利用底角的性质来求解顶角的二倍角。
如底角为θ，则顶角为2θ。
总的来说，求解二倍角问题可以通过利用角的性质、三角函数的图像、角度和弧度的转换关系、半角公式和等腰三角形的性质等方法来解决。
中考专题 二次函数中二倍角、半角存在性(解析)
二次函数中二倍角、半角存在性问题角的存在性问题解题的技巧： 1、把2倍角转化为角相等的常用方法： （1）利用角平分线转化（2）利用等腰三角形顶角的外角转化（3）利用直角三角形斜边中线得等腰三角形转化【半角】如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，6)，点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 出发，同时点Q 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运动停止．设运动时间为t 秒． （1）当t=2时，线段PQ 的中点坐标为________； （2）当△CBQ 与△PAQ 相似时，求t 的值；（3）当t=1时，抛物线y=x 2+bx +c 经过P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶点为K ，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D ，使△MQD=21△MKQ ？若存在，求出所有满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理由．1：构造半角三角函数．αα构造二倍角三角函数：勾股定理可求二倍角三角函数值2ααα2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．αα2α【解析】如图1，△点A 的坐标为(3，0)，△OA=3， 当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4， △P(2，0)，Q(3，4)， △线段PQ 的中点坐标为：(232+，240+)，即(25，2)； 故答案为：(25，2)； 如图1，△当点P 与点A 重合时运动停止，且△PAQ 可以构成三角形， △0<t<3，△四边形OABC 是矩形， △△B=△PAQ=90°△当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况： △当△PAQ△△QBC 时，PA/AQ=QB/BC ，△32623t t t -=-，4t 2−15t+9=0，(t−3)(t−43)=0， t 1=3（舍），t 2=43，△当△PAQ△△CBQ 时，PA/AQ=BC/BQ ， △t t t 26323-=-，t 2−9t+9=0，t=2539±， △2539±>7，△x =2539±不符合题意，舍去， 综上所述，当△CBQ 与△PAQ 相似时，t 的值是43或2539-；当t=1时，P(1，0)，Q(3，2)，把P(1，0)，Q(3，2)代入抛物线y=x 2+bx +c 中得： 1+b +c =0；9+3b +c =2 ，解得：b =−3；c =2 ， △抛物线：y=x 2−3x +2=(x −23)2−41，△顶点k(23，−41)， △Q(3，2)，M(0，2)， △MQ//x 轴，作抛物线对称轴，交MQ 于E ， △KM=KQ ，KE△MQ ，△△MKE=△QKE=21△MKQ ， 如图2，△MQD=21△MKQ=△QKE ，设DQ 交y 轴于H ，△△HMQ=△QEK=90°， △△KEQ△△QMH ，△KE/EQ=MQ/MH ，△MH 323412=+，△MH=2， △H(0，4)，易得HQ 的解析式为：y=−32x +4， 则y=−32x +4y=x 2−3x +2 ，x 2−3x +2=−32x +4， 解得：x 1=3（舍），x 2=−32，△D(−32，940)；同理，在M 的下方，y 轴上存在点H ，如图3，使△HQM=21△MKQ=△QKE ， 由对称性得：H(0，0)， 易得OQ 的解析式：y=32x ， 则y=32x ;y=x 2−3x +2 ，x 2−3x +2=32x ， 解得：x 1=3（舍），x 2=32，△D(32，94)；综上所述，点D 的坐标为：D(−32，940)或(32，94)．【二倍角】1.如图，在平面直角坐标系中，直线221+-=xy 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线c bx x y ++-=221经过A,B 两点且与x 轴的负半轴交于点C.（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC 时，求点D 的坐标；（3）已知E,F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B,O,E,F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标.【解析】解：（1）在122y x =-+中，y =0时，x =4；x =0时，y =2， 即A (4,0)，B (0,2),将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，得：8402b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：b =32，c =2， 即抛物线解析式为：213222y x x =-++. （2）如图，过点B 作BE ∥x 轴交抛物线于点E ，过D 作DF ⊥BE 于F ，∴∠BAC =∠ABE ， ∵∠ABD =2∠BAC ， ∴∠ABD =2∠ABE ，即∠DBE =∠BAC ，设点D 的坐标为（x ，213222x x -++），则BF =x ，DF =21322x x -+， ∵tan ∠DBE =DF BF , tan ∠BAC =OBOA,∴DF BF =OB OA，即2132224x x x -+=， 解得：x =0（舍）或x =2， 即点D 的坐标为：（2,3）. （3）B （0,2）,O （0,0）设E 点坐标为（m ，122m -+），F 点坐标为（n ，213222n n -++）， ①若四边形BOEF 是平行四边形，则2113222222m n m n n =⎧⎪⎨-+=-++⎪⎩，解得：22m n =⎧⎨=⎩， 即E 点坐标为（2，1）；②若四边形BOFE 是平行四边形时，则2131222222m n n n m =⎧⎪⎨-++=-+⎪⎩，解得：2222m m n n ⎧⎧=+=-⎪⎪⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩ 即E点坐标为（2+12-1+； ③若四边形BEOF 是平行四边形时，则2=0131222222m n n n m +⎧⎪⎨-++-+=⎪⎩，解得：2222m m n n ⎧⎧=-+=--⎪⎪⎨⎨=-=+⎪⎪⎩⎩， 即E 点坐标为：（2--3）或（2-+3；综上所述，E 点坐标为：（2，1），（2+1，（2-1+，（2--3），（2-+3.如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （﹣1，0）、B （4，0）、C （0，2）三点，点D （x ，y ）为抛物线上第一象限内的一个动点．过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，是否存在点D ，使得△CDE 中的某个角等于∠ABC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）将A （﹣1，0）、B （4，0）、C （0，2）代入y ＝ax 2+bx +c 得：{a −b +c =016a +4b +c =0c =2，解得：{ a =−12b=32c =2．故抛物线的解析式为y =−12x 2+32x +2．（2）△当△DCE ＝2△ABC 时，取点F （0，﹣2），连接BF ，△OC ＝OF ，OB △CF ， △△ABC ＝△ABF ， △△CBF ＝2△ABC ． △△DCB ＝2△ABC ， △△DCB ＝△CBF ， △CD △BF ．△点B （4，0），F （0，﹣2）， △直线BF 的解析式为y =12x ﹣2， △直线CD的解析式为y =12x +2． 联立得：{y =12x +2y =−12x 2+32x +2， 解得：{x 1=0y 1=2（舍去），{x 2=2y 2=3，△点D 的坐标为（2，3）；△当△CDE ＝2△ABC 时，过点C 作CN △BF 于点N ，交OB 于H ，作点N 关于BC 的对称点P ，连接NP 交BC 于点Q ，△△OCH ＝90°﹣△OHC ，△OBF ＝90°﹣△BHN ， △OHC ＝△BHN ， △△OCH ＝△OBF ． △△OCH △△OBF ， △OH OF=OC OB，即OH 2=24，△OH ＝1，H （1，0）．设直线CN 的解析式为y ＝kx +n （k ≠0）， △C （0，2），H （1，0）， △{n =2k +n =0，解得{k =−2n =2， △直线CN 的解析式为y ＝﹣2x +2．{y =12x −2y =−2x +2，解得：{x =85y =−65，△点N 的坐标为（85，−65）．△点B （4，0），C （0，2）， △直线BC 的解析式为y =−12x +2． △NP △BC ，且点N （85，−65），△直线NP 的解析式为y ＝2x −225． 联立{y =−12x +2y =2x −225， 解得：{x =6425y =1825， △点Q 的坐标为（6425，1825）．△点N （85，−65），点N ，P 关于BC 对称，△点P 的坐标为（8825，6625）． △点C （0，2），P （8825，6625），△直线CP 的解析式为y =211x +2． 将y =211x +2代入y =−12x 2+32x +2整理，得：11x 2﹣29x ＝0， 解得：x 1＝0（舍去），x 2=2911， △点D 的横坐标为2911．综上所述：存在点D ，使得△CDE 的某个角恰好等于△ABC 的2倍，点D 的横坐标为2或2911．如图，抛物线y=ax 2+2x+c(a<0)与x 轴交于点A 和点B(点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，OB=OC=3.(1)求该抛物线的函数解析式。