华师大八年级数学(上)复习提纲
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第11章数的开方
§11.1平方根与立方根
一、平方根
1、平方根的定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。(也叫做二次方根)
即:若x2=a,则x叫做a的平方根。
2、平方根的性质:
(1)一个正数有两个平方根。它们互为相反数;
(2)零的平方根是零;
(3)负数没有平方根。
二、算术平方根
1、算术平方根的定义:正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质:
(1)一个正数的算术平方根只有一个为正;
(2)零的算术平方根是零;
(3)负数没有算术平方根;
(4)算术平方根的非负性:a≥0。
三、平方根和算术平方根是记号:
平方根±a(读作:正负根号a);算术平方根a(读作根号a)
即:“±a”表示a的平方根,或者表示求a的平方根;
“a”表示a的算术平方根,或者表示求a的算术平方根。
其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根,∴被开方数a必须为非负数,即:a≥0。
四、开平方:求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方。其实质就是:已知指数和二次幂求底数的运
算。
五、立方根
1、立方根的定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。(也叫做三次方根)
即:若x3=a,则x叫做a的立方根。
2、立方根的性质:
(1)一个正数的立方根为正;
(2)一个负数的立方根为负;
(3)零的立方根是零。
3、立方根的记号:3a(读作:三次根号a),a称为被开方数,“3”称为根指数。
3a中的被开方数a的取值范围是:a为全体实数。
六、开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。其实质就是:已知指数和三次幂求底数的运
算。
七、注意事项:
1、“±a ”、“a ”、“3a ”的实质意义:“±a ”→问:哪个数的平方是a ; “
a ”→问:哪个非负数的平方是a ; “
3a ”→问:哪个数的立方是a 。 2、注意a 和3a 中的a 的取值范围的应用。 如:若3-x 有意义,则x 取值范围是 。(∵x-3≥0,∴x ≥3)(填:x ≥3)
若32009x -有意义,则x 取值范围是 。
(填:全体实数) 3、33a a -=-。如:∵3273-=-,3273-=-,∴332727-=-
4、对于几个算数平方根比较大小,被开方数越大,其算数平方根的值也越大。 如:256710>>>>等。23和32怎么比较大小?(你知道吗?不知道就问!!!!!!!)
5、算数平方根取值范围的确定方法:关键:找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。 如:确定7的取值范围。∵4<7<9,∴2<7<3。
6、几个常见的算数平方根的值:414.12≈,732.13≈,236.25≈,449.26≈,646.27≈。
八、补充的二次根式的部分内容
1、二次根式的定义:形如a (a ≥0)的式子,叫做二次根式。
2、二次根式的性质:(1)b a ab •=
(a ≥0,b ≥0); (2) b
a b a =(a ≥0,b >0); (3) a a =2)((a ≥0);
(4) ||2a a =
3、二次根式的乘除法:(1)乘法:ab b a =
•(a ≥0,b ≥0); (2)除法:
b
a b a =(a ≥0,b >0)。 §11.2实数与数轴
一、无理数
1、无理数定义:无限不循环小数叫做无理数。
2、常见的无理数:
(1)开方开不尽的数。如:256710,,,,,2532617102-++-,,,
等。
(2)“π”类的数。如:π,π-,3π,π
1,π2等。 (3)无限不循环小数。如:2.1010010001……,-0.234242242224……,等
二、实数
1、实数定义:有理数与无理数统称为实数。
2、与实数有关的概念:
(1)相反数:实数a 的相反数为-a 。若实数a 、b 互为相反数,则a+b=0。
(2)倒 数:非零实数a 的倒数为a
1(a ≠0)。若实数a 、b 互为倒数,则ab=1。 (3)绝对值:实数a 的绝对值为:⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a
3、实数的运算:有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。
4、实数的分类:
(1)按照正负性分为:正实数、零、负实数三类。
(2)按照定义分为:⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数和无限循环小负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数0 5、几个“非负数”:
(1)a 2≥0; (2)|a|≥0; (3)a ≥0。
6、实数与数轴上的点是一一对应关系。
第12章 整式的乘除
§12.1幂的运算
一、同底数幂的乘法
1、法则:a m ·a n ·a p ·……=a m+n+p+……(m 、n 、p ……均为正整数)
文字:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
2、注意事项:
(1)a 可以是实数,也可以是代数式等。
如:π2·π3·π4=π
2+3+4=π9;(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25; (2)3·(2)4=(2)3+4=(2)7;(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8