2015年四川省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年四川省高考数学试题及答案(理科)【解析版】2015年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|（x+1）（x ﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x ＜3}，则A ∪B=（ ） A ． {x|﹣1＜x ＜3} B ． {x|﹣1＜x ＜1}C ． {x|1＜x ＜2}D ．{x|2＜x ＜3}考点：并集及其运算．专题：函数的性质及应用． 分析：求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x ＜2}， 根据集合的并集可求解答案．点评： 本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题．3．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ． ﹣B ．C ．﹣ D ．考点：程序框图．专题图表型；算法和程序框图．：分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当k=5时满足条件k ＞4，计算并输出S 的值为．解答： 解：模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2不满足条件k ＞4，k=3 不满足条件k ＞4，k=4 不满足条件k ＞4，k=5满足条件k ＞4，S=sin =， 输出S 的值为． 故选：D ．点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．4．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A ．y=cos （2x+） B ．y=sin （2x+）C y=sin2x+cos2xD y=sinx+cosx．．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解答：解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．点本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇评：偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．5．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A ．B．2C．6 D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x 2﹣=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，x=2，可得y A =2，y B =﹣2， ∴|AB|=4． 故选：D ．点评： 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．6．（5分）（2015•四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） A ． 144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选：B点评： 本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况．7．（5分）（2015•四川）设四边形ABCD 为平行四边形，||=6，||=4，若点M 、N 满足，，则=（ ）A ． 20B ．15 C ．9 D ．6考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用． 分析： 根据图形得出=+=， ==，=•（）=2﹣，结合向量结合向量的数量积求解即可． 解答： 解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足，，∴根据图形可得：=+=，==， ∴=， ∵=•（）=2﹣，2=22， =22，||=6，||=4，∴=22=12﹣3=9 故选：C点评： 本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．8．（5分）（2015•四川）设a 、b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ． 必要不充分条件 D ． 既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1，log a3＜log b3，或根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可．解答：解：a、b都是不等于1的正数，∵3a＞3b＞3，∴a＞b＞1，∵log a3＜log b3，∴，即＜0，或求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“log a 3＜log b 3”的充分条不必要件， 故选：B ．点评： 本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论．9．（5分）（2015•四川）如果函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[]上单调递减，那么mn 的最大值为（ ） A ． 16 B ． 18 C ． 25 D ．考点：基本不等式在最值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用． 分析： 函数f（x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[]上单调递减，则f ′（x ）≤0，故（m ﹣2）x+n ﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m ﹣2）x+n ﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f ′（）≤0，f′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn的最大值．解答：解：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f ′（）≤0，f′（2）≤0即可．即由（2）得m ≤（12﹣n），∴mn ≤n（12﹣n）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足（1）和（2）．故选：B．解法二：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，∴①m=2，n＜8对称轴x=﹣，②即③即设或或设y=，y′=，当切点为（x0，y0），k取最大值．①﹣=﹣2．k=2x，∴y0=﹣2x0+12，y0==2x0，可得x0=3，y0=6，∵x=3＞2∴k的最大值为3×6=18②﹣=﹣．，k=，y0==，2y0+x0﹣18=0，解得：x0=9，y0=∵x0＜2∴不符合题意．③m=2，n=8，k=mn=16综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，故选；B点评：本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题．10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x 相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A ． （1，3）B ． （1，4）C ． （2，3）D ．（2，4）考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：综合题；创新题型；开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 先确定M 的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．解答： 解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）， 斜率存在时，设斜率为k ，则y 12=4x 1，y 22=4x 2， 则，相减，得（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=4（x 1﹣x 2），当l 的斜率存在时，利用点差法可得ky 0=2， 因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x 0=3，即M 的轨迹是直线x=3．将x=3代入y 2=4x ，得y 2=12，∴，∵M 在圆上，∴，∴r2=，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）（2015•四川）在（2x﹣1）5的展开式中，含x2的项的系数是﹣40（用数字填写答案）．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x 的指数为2求得r，再代入系数求出结果．解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1=；要求x2的项的系数，∴5﹣r=2，∴r=3，∴x2的项的系数是22（﹣1）3C53=﹣40．故答案为：﹣40．点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（5分）（2015•四川）sin15°+sin75°的值是．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．专三角函数的求值．题：分析：利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．解答：解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．故答案为：．点评：本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力．13．（5分）（2015•四川）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是24小时．考点函数与方程的综合运用．：专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48．代入函数y=e kx+b，解方程，可得k，b，再由x=33，代入即可得到结论．解答：解：由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48．代入函数y=e kx+b，可得e b=192，e22k+b=48，即有e11k =，e b=192，则当x=33时，y=e33k+b =×192=24．故答案为：24．点评：本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）（2015•四川）如图，四边形ABCD 和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角；空间向量及应用．分析：首先以AB，AD，AQ三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，M （0，y，2），从而可求出向量的坐标，由cosθ=得到，对函数求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出cosθ的最大值．解答解：根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建：立如图所示空间直角坐标系，设AB=2，则：A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0）；M在线段PQ上，设M（0，y，2），0≤y≤2；∴；∴cosθ==；设f（y）=，；函数g（y）=﹣2y﹣5是一次函数，且为减函数，g（0）=﹣5＜0；∴g（y）＜0在[0，2]恒成立，∴f′（y）＜0；∴f（y）在[0，2]上单调递减；∴y=0时，f（y ）取到最大值．故答案为：．点评：考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系．15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g （x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．命题的真假判断与应用．考点：创新题型；开放型；函数的性质及应用．专题：分析：运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．解答：解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g （x1）﹣g（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。