随机信号分析基础作业题作业(大部分)--桂电

∴Y (t ) 的均值为 mX (t ) + f (t )
解： E (U ) = E (3 X + Y ) = 3E ( X ) + E (Y ) = 3 × 1 + 3 = 6
E (V ) = E ( X − 2Y ) = E ( X ) − 2 E (Y ) = 1− 2×3 = −5
= ρ XY
Cov( X , Y ) = 0.5 ， D( X ) = 4 ， D(Y ) = 16 ， D( X ) D(Y )
D(= V ) D( X − 2= Y ) D( X ) + (−2) 2 D(Y ) + 2 × 1 × (−2) × Co vX ( ,= Y ) 52
E ( X 2 ) =D( X ) + E 2 ( X ) =4 + 12 =5 ， E (Y 2 ) = D(Y ) + E 2 (Y ) = 16 + 32 = 25
0.075 = 0.455 0.165 0.08 = 0.485 0.165 0.01 = 0.06 0.165 0
综上分析： 坐轮船迟到的概率最大， 因此她如果迟到， 最可能搭载的交通工具是轮船。
x − x2 e 2σX , x > 0 3、设随机变量 X 服从瑞利分布，其概率密度函数为 f x ( x) = σ 2 X x<0 0,
D[ X (t )] = D[ A ⋅ cos(ω0t + θ )]
频率 ω0 和相位 θ 为常数
∴ D[ A ⋅ cos(ω0t + = θ )] cos 2 (ω0t + θ ) ⋅ D[ A]
A 服从[0,1]均匀分布
1, 0 < a < 1 ∴ f A (a) = 0, other
∞ ∞
x2
−
x2 2 2σ x
dx
令
x
σx
= t ，则
∞ − t2 2 d (tσ
2 E( X ) = ∫ te 0
σ x ∫ −t (e x) =
0
∞
−
t2 2
'
ຫໍສະໝຸດ Baidu
) dt = σ x [−te
−
t2 2 |∞ 0
+∫ e
0
∞ −
t2 2 dt ]
第一项为 0，后一项由 ∫
E( X ) = σ x
∞
∫
t
令 t 2 = y ，则
E( X )
2 2 ∞ = σx 0
∫
y y y y ∞ − − − ∞ y −2 2 ∞ 2 2 2 ) dy = 2 | + 2 dy ] = e dy = y e xe e − − σx σ ( [ 2σ x x 0 ∫0 ∫0 2
'
2 (2 − ) ∴ D( X ) =E ( X 2 ) − E 2 ( X ) =σ x 2
∴ E (UV ) = E[(3 X + Y )( X − 2Y )] = E (3 X 2 − 5 XY − 2Y 2 ) = 3E ( X 2 ) − 5E ( XY ) − 2 E (Y 2 ) = −70
∴ Co vU ( ,V ) = E (UV ) − E (U ) E (V ) = −40
2
式中 ，常
数 σ X > 0 ，求期望 E ( X ) 和方差 D ( X ) 。 思路：
E (= X) E (= X 2)
∫
∞
−∞
x ⋅ f ( x)dx x 2 ⋅ f ( x)dx
∫
∞
−∞
= D ( X ) E( X 2 ) − E 2 ( X )
解：
E( X ) = xf X ( x)dx ∫ e ∫= 0 σ2 −∞ x
P ( A) = 0.3
P ( B ) = 0.2
P (C ) = 0.1
P( D) = 0.4
P ( E | A) = 0.25 P ( E | B ) = 0.4 事件 E 表示迟到，由已知可得 P ( E | C ) = 0.1 P( E | D) = 0
根据全概率公式： 根据贝叶斯公式：
P ( E ) = P ( EA) + P ( EB ) + P ( EC ) + P ( ED )
f (t ) 是确定信号
∴ E[Y (t )] = mX (t ) + f (t ) CY (t1 , t2 ) = E[Y (t1 ) ⋅ Y (t2 )] − E[Y (t1 )] ⋅ E[Y (t2 )] = E[ X (t1 ) X (t2 ) + X (t1 ) f (t2 ) + f (t1 ) X (t2 ) + f (t1 ) f (t2 )] − E[ X (t1 ) + f (t1 )] ⋅ E[ X (t2 ) + f (t2 )] = E[ X (t1 ) X (t2 )] + f (t1 ) E[ X (t2 )] + f (t2 ) E[ X (t1 )] + f (t1 ) f (t2 ) − E[ X (t1 )] ⋅ E[ X (t2 )] − f (t2 ) E[ X (t1 )] − f (t1 ) E[ X (t2 )] − f (t1 ) f (t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] − E[ X (t1 )]E[ X (t2 )] = C X (t1 , t2 )
（2）t 时刻，随机变量是高斯分布
− x2 2 t 2 +1 σ 2
)
E[ X (t )] = 0 D[ X (t= )] (t 2 + 1)σ 2
∴ 其均值为 0，方差为 (t 2 + 1)σ 2
4、假定随机正弦幅度信号 = X (t ) A cos(ω0t + θ ) ，其中频率 ω0 和相位 θ 为常数，幅度 A 是一个服从 [ 0,1] 均匀分布的随机变量，试求 t 时刻该信号加在 1 欧姆电阻上的交流功率平 均值。 解：t 时刻该信号加在 1 欧姆上的交流功率为 D[ X (t )]
∴ D[ A]= E[ A2 ] − E 2 [ A]=
∫
1
0
a 2 da − [ ∫ a ⋅ da ] =
0
1
2
1 12
1 ∴ D[ A] = 12 1 )] cos 2 (ω0t + θ ) ∴ D[ X (t = 12
5、已知随机信号 X (t ) 的均值为 mX (t ) ，协方差函数为 C X (t1 , t2 ) ，又知道 f (t ) 是确定的时 间函数。试求随机信号 Y = (t ) X (t ) + f (t ) 的均值以及协方差。 解： E[Y (t )]= E[ X (t ) + f (t )]= E[ X (t )] + E[ f (t )]
∴ 一维高斯概率密度函数 = f x ( x, t )
1 − x2 ①当 t = 0 时， f x ( x;0) = e 2π
②当 t =
2
− 2 1 = e 2σX (t ) 2πσ X (t )
[ x − mx ( t )]2
− 2 1 e 2cos ω0t 2π | cos ω0t |
x2
π π 2 −2 x 时， f x ( x; )= e π 3ω0 3ω0
t2 ∞ − e 2 dt 0
=
π
2
，可得
π
2
2 ∞ x2 2 2σ x
E( X ) =
2
x f X ( x)dx ∫ e ∫= −∞ 0 σ2 x
x3
−
dx
令
x
σx
2
= t ，则
t2 2 −2 = = σ x t ⋅ t e d (σ x t ) 0
E( X )
∫
∞
2 2 t 2 ∞t −2 e d2 = σx 0 2
π
6、已知随机变量 X 与 Y ，有 = E ( X ) 1, = E (Y ) 3, = D( X ) 4,= D(Y ) 16, = ρ XY 0.5 ， 令
U =+ 3X Y , V = X − 2Y , 试求 E (U ) 、 E (V ) 、 D(U ) 、 D(V ) 和 Cov(U , V ) 。
2
③当 t =
2π 2π 2 −2 x2 时， f x ( x; )= e 3ω0 π 3ω0
3 、 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 统 计 独 立 ， 并 且 服 从 N (0, σ ) 分 布 。 它 们 构 成 随 机 信 号
2
（注意这里题目做了修改） 试问：(1)信号 X(t)的一维概率密度函数 f x ( x; t ) ； X (t ) = X +Yt ， (2) t 时刻的随机变量是什么分布，求其均值和方差。 解： （1） X , Y 服从 N (0, σ ) 分布 且 X (t= ) X + Yt
第一章
1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是 0.3，0.2，0.1 和 0.4。如果 她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是 0.25，0.4 和 0.1，但她乘飞机来则不会迟 到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：设事件 A 表示乘火车； 事件 B 表示乘轮船； 事件 C 表示乘汽车； 事件 D 表示乘飞机。 根据已知，可得：
P( EA) = P( E ) P( EB) P( B | E) = = P( E ) P( EC ) P(C | E) = = P( E ) P( ED) P( D | E) = = P( E ) P( A = | E)
P ( E | A) ⋅ P ( A) = P( E ) P( E | B) ⋅ P( B) = P( E ) P( E | C ) ⋅ P(C ) = P( E ) P( E | D) ⋅ P( D) = P( E )
2
∴ X (t ) 也服从正态分布 ∴ E[ X (t )]= E[ X + Yt ]= E[ X ] + tE[Y ]= 0 X , Y 相互统计独立
∴ D[ X (t )] = D[ X + Yt ] = D[ X ] + t 2 D[Y ] = (t 2 + 1)σ 2 1 ( ∴ f x ( x; t ) = e 2 2π (t + 1)σ
∴ X 与 Y 不相关
第二章
1、已知随机信号 X (t ) = A cos ω0t ，其中 ω0 为常数，随机变量 A 服从标准高斯分布，求
t = 0,
π 2π 三个时刻 X (t ) 的一维概率密度函数。 , 3ω0 3ω0
解：
= mx E[= X (t )] E[ A cos = ω0t ] cos ω0t ⋅ E[ A]
∴ Cov( X , Y ) = 4
又 Co ( vX , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) ⋅ E (Y )
∴ E ( XY ) = 7
D= (U ) D(3 X + = Y ) 32 D( X ) + 12 D(Y ) + 2 × 3 × 1 × Cov( X , Y )=76
0 不相关，非 0 相关
E[ X (−6 X + 22)] =− E ( 6 X 2 + 22 X ) = −6 E ( X 2 ) + 22 E ( X ) 解： E ( XY ) = E ( X 2 ) =D( X ) + E 2 ( X ) =2 + 32 = 1 1
∴ E ( XY ) =−6 × 11 + 22 × 3 =0 ， X 与 Y 正交 E (Y ) = E (−6 X + 22) = −6 E ( X ) + 22 = 4 Co ( vX , Y ) =E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 0 − 3× 4 = −12 ≠ 0
解题思路：考察随机变量函数的数字特征 协方差： Co ( vX , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) ⋅ E (Y ) 相关系数： ρ XY =
Cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
E (aX + bY= ) aE ( X ) + bE (Y ) D(aX + bY = ) a 2 D( X ) + b 2 D(Y ) + 2abCov( X , Y )
−6 X + 22 ，问：随机变量 X 11、设随机变量 X 的均值为 3，方差为 2。令新的随机变量 Y = 与 Y 是否正交、不相关？为什么？ 解题思路：考察正交、不相关的概念
= 0 E ( XY ) ≠ 0
0 正交，非 0 不正交
ρ XY (或者Cov( X , Y ))
= 0 ≠ 0
2 = σX (t ) D = [ X (t )] D[ A cos = ω0t ] cos 2 ω0t ⋅ D[ A]
A 服从标准高斯分布
∴ E[ A] = 0, D[ A] = 1 ∴ mx= E[ A] ⋅ cos ω0t= 0
2 (t ) = cos 2 ω0t D[ A] ⋅ cos 2 ω0t = σX