高校餐厅排队问题的分析和优化

5 模型求解
3个餐厅汇总 个餐厅汇总
第1餐厅
窗口数 原方案 顾客方案 经营者方案 服务率
第2餐厅
窗口数 服务率
第3餐厅
窗口数 服务率
7 8 9
1.6 1.6 1.4
5 7 8
1.6 1.5 1.3
5 6 7
1.6 1.43 1.22
6 灵敏度分析
3个餐厅汇总 个餐厅汇总
难以确定的参数： 每服务1人的收入 每分钟服务1人的成本
4 餐厅优化模型
4.1 愿望模型
确定 窗口数 和 服务率
s N
λ ρ= s
P0 = 1 (sρ ) s ∑ k ! + s! k =0
s k s
sρ 1 ρ PN = s ! P0 ρ (sρ )s 1 ρ N s ( N s ) ρ N s (1 ρ ) P0 Lq = 2 s !(1 ρ ) Lq W = q λ (1 P ) N 1 W = Wq +
ρ (ρs ρN )
4 餐厅优化模型
4.2 成本模型
确 定 最 优 窗 口 数
min f ( s ) = Cs s + Cw L( s )
L = Lq + s ρ (1 PN ) ρ (sρ )s 1 ρ N s ( N s ) ρ N s (1 ρ ) P0 Lq = 2 s !(1 ρ ) 1 s.t. P0 = k s ρ ρs ρN s ( ) (sρ ) s ∑ k ! + s! 1 ρ k =0 ss ρ N λ P0 , ρ= PN = s! s
2 模型准备
服务率的估计 第1餐厅 第2餐厅 第3餐厅
= 1.6人 / 分钟
2 模型准备
系统容量的估计 第1餐厅 第2餐厅 第3餐厅 7窗口*22人=154人 5窗口*20人=100人 5窗口*18=90人
2 模型准备
排队模型的类型
服务台 顾客 到达 服务台 服务台 顾客 离去
2 模型准备
8 结论和建议
如果从学生等待时间最短的角度考虑， 如果从学生等待时间最短的角度考虑， 那么第1， ， 餐厅分别开设 餐厅分别开设8、 、 个窗 那么第 ，2，3餐厅分别开设 、7、6个窗 口； 如果从经营者利润最大的角度考虑，那 如果从经营者利润最大的角度考虑， 么第1， ， 餐厅分别开设 餐厅分别开设9、 、 个窗口 个窗口. 么第 ，2，3餐厅分别开设 、8、7个窗口
60.1% 44.3% 40.7% 35.1% 45.4% 41.9%
太长 中等 较短
15.0% 4.9%
12.7%
第1餐厅
第2餐厅
第3餐厅
1
问题提出
学生对各餐厅打饭窗口数量的评价
65% 51.3% 46% 32.6% 24.1% 2.9% 第1餐厅 2.3% 第2餐厅 3.5% 第3餐厅 72% 少 中 多
1
问题提出
年份 学生 人数 餐厅 数量
0303-04 4000 2
0505-06 5000 3
0707-08 7000 3
0909-10 8000 3
2011 10000 4
1
问题提出 第 一 餐 厅
排队情况
1
问题提出 第 二 餐 厅
排队情况
1
问题提出 第 三 餐 厅
排队情况
1
问题提出
学生对餐厅排队时间的评价
最优 窗口数 （个） 7 8 最优 最优 有效 等待 流失率 服务率 利润 利用率 时间 (人/分) （人/分） (元/分) （%） （分） 1.5 1.3 44.74 44.75 0 0 97.1 98.0 3.5 4.7
5 模型求解
第3餐厅 餐厅
最优 窗口数 （个） 6 7 最优 最优 有效 等待 流失率 服务率 利润 利用率 时间 (人/分) （人/分） (元/分) （%） （分） 1.4 1.2 35.95 35.96 0 0 95.53 95.99 2.9 3.3
排队模型的类型
基本假设： （1）顾客输入：顾客源无限，顾客到达是泊松过程； （2）排队规则：多队并列，先到先服务； （3）打饭窗口：多窗口，各窗口工作相对独立且服务速 率相等，服务时间均服从参数为
的负指数分布；
（4）服务时间和顾客相继到达的时间间隔相互独立；
[ M / M / s ] : [ N / ∞ / FCFS ]
1
问题提出
学生对服务员打饭速度的评价
53.0% 55.7% 50.7% 慢 中 快
30% 17.5%
28% 16.3%
24%
25.2%
第1餐厅
第2餐厅
第3餐厅
1
问题提出
各餐厅学生用餐人数统计图
35.4% 30.1% 22.4% 12.2% 系列1
第1餐厅
第2餐厅
第3餐厅
校外饭馆
1
问题提出
学生每周校外用餐次数统计图
4 餐厅优化模型
4.2 成本模型
确 定 最 优 窗 口 数
f ( s* ) ≤ f ( s* 1) * * f ( s ) ≤ f ( s + 1)
Cs s* + Cw L( s* ) ≤ Cs ( s* 1) + Cw L( s* 1) * * * * Cs s + Cw L( s ) ≥ Cs ( s 1) + Cw L( s 1)
λ ρ= s
λe ρe = s
1 ρ (sρ )s 1 ρ N s ( N s ) ρ N s (1 ρ ) P0 Lq = 2 s s !(1 ρ )
2 模型准备
相关指标公式
λ ρ= s
1 平均队长 L = Lq + s ρ (1 PN ) s
平均等待时间 Wq =
λ (1 PN )
3 优化前各餐厅运行状况分析
第3餐厅 餐厅
平均队长达到12.2人.有空位 顾客平均逗留时间7.7分钟,时间较长. 顾客流失每分钟0.2人.
4 餐厅优化模型
优化思路 愿望模型
( s1 , 1 ), ( s2 , 2 ), ..., ( sn , n )
s*
成本模型
( s*, *)
最优解
*
利润模型
停止
7 计算机仿真
平均1个窗口每天午饭的仿真结果 平均 个窗口每天午饭的仿真结果
餐厅 1号 2号 3号 1号 2号 3号 平均服务学生数(人) 模拟值 顾客 方案 经营者 方案 171 162 154 151 142 131 理论值 182 175 162 162 153 139 平均等待时间 (分) 模拟值 4.4 4.3 3.9 4.7 4.7 4.9 理论值 2.0 3.5 2.9 2.9 4.7 3.3
1
Lq
平均逗留时间 W = Wq +
3 优化前各餐厅运行状况分析
第1餐厅 餐厅
平均队长达到20.4人,爆满. 顾客平均逗留时间12.8分钟,时间太长. 顾客流失每分钟1人.
3 优化前各餐厅运行状况分析
第2餐厅 餐厅
平均队长达到19.3人,完全爆满. 顾客平均逗留时间12分钟,时间太长. 顾客流失每分钟2.2人,严重流失.
ρ (ρs ρN )
1 ρ
5 模型求解
第1餐厅 餐厅
最优 窗口数 （个） 8 9 最优 最优 有效 等待 流失率 服务率 利润 利用率 时间 (人/分) （人/分） (元/分) （%） （分） 1.6 1.4 53.52 53.53 0 0 95.3 96.8 2.0 2.9
5 模型求解
第2餐厅 餐厅
3.7% 5.7% 21.1% 0——5次 6——10次 11--15次 16-20次
69.5%
2 模型准备
餐厅平面图
2 模型准备
餐厅平面图
2 模型准备
餐厅平面图
2 模型准备
窗口数
第1餐厅7个 第2餐厅5个 第3餐厅5个
2 模型准备
到达率的估计 第1餐厅 λ = 12.2 人/分钟 第2餐厅 λ = 10.2 人/分钟 第3餐厅 λ = 8.2 人/分钟
高校餐厅排队问题的分析和优化
——以浙江工贸职业技 以浙江工贸职业技 术学院为例 王积建
1
问题提出
浙江工贸职业技术学院地处温州市，是浙江省首 批全国优秀高职院，2007年被评为浙江省首批示范高 职院。学院在校生规模近8000人，专任教师284人， 设有6系1部等10个教学单位,有28个专业，14个校内 专业生产性实训中心，70余个实训实验室，18个科技 创新应用服务中心,有3个学生食堂.
9 推广
只要满足排队模型
[ M / M / s ] : [ N / ∞ / FCFS ]
的4个条件，并且已知： 个条件， 个条件 并且已知： 餐厅排队系统的容量； 餐厅排队系统的容量； 窗口数； 窗口数； 到达速率； 到达速率； 服务速率； 服务速率； 就可以求出最优窗口数和最优服务率. 就可以求出最优窗口数和最优服务率
Cs * * L( s ) L( s + 1) ≤ ≤ L( s 1) L( s ) Cw
* *
max f = λ (1 PN )G cs s
4 餐厅优化模型
4.3 Hale Waihona Puke Baidu润模型 P0 =
确 定 最 优 服 务 率
1
s k s
(sρ ) s ∑ k ! + s! k =0 ss ρ N s.t. PN = P0 s! λ ρ = s
2 模型准备
相关指标公式
系统没有顾客的概率 P0 =
λ ρ= s
1 (sρ ) s ∑ k ! + s! k =0
s k s
ρ (ρs ρN )
1 ρ
ss ρ N P0 系统有N个顾客的概率 PN = s! 系统有效到达率 λe = λ (1 PN )
2 模型准备
相关指标公式
系统损失率 λ0 = λ λe 系统有效服务强度 平均等待队长
祝大家 身体健康、 身体健康、合家幸福
谢谢
结果：敏感性很小
7 计算机仿真
平均1个窗口 平均 个窗口 每天午饭的 仿真结果
初始化：令 产生间隔时间随机数 数分布 产生服务时间随机数 负指数分布 累计等待时间： 准备下一次服务： 产生间隔随机数 布 参数为 λ的指数分 参数为 λ的指
参数为1/μ的
确定开始服务时间：
输出结果：完成服务个数： 平均等待时间：