浙江省台州市第一中学2019-2020年高二上学期期中考试数学试题(无答案)
2019-2020学年浙江省台州一中高二(上)期中数学试卷
2019-2020学年浙江省台州一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）点(1,2)A 到直线:3410l x y --=的距离为( ) A ．45B ．65C ．4D ．62．（4分）设m ，n 是空间中不同的直线，α，β是空间中不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．//αβ，m α⊂，则//m βB ．m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m nC ．//m n ，n α⊂，则//m αD ．m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则//αβ 3．（4分）过两点(4,)A y ，(2,3)B -的直线的倾斜角为45︒，则(y = ) A ．3-B ．3 C ．1- D ．14．（4分）将半径为1，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为( ) A ．22πB ．22πC ．22πD ．22π5．（4分）下列说法中正确的是( )A ．若一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．若一个命题的否命题为真，则它的逆否命题一定为真C ．“若220a b +=，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则220a b +≠”D ．“若220a b +=，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 不全为0，则220a b +≠” 6．（4分）在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )A ．B ．C ．D ．7．（4分）平面内称横坐标为整数的点为“次整点”．过函数29y x =-整点作直线，则倾斜角大于45︒的直线条数为．( ) A ．10B ．11C ．12D ．138．（4分）异面直线a 、b 和平面α、β满足a α⊂，b β⊂，l αβ=I ，则l 与a 、b 的位置关系一定是( ) A ．l 与a 、b 都相交 B ．l 与a 、b 中至少一条平行 C ．l 与a 、b 中至多一条相交D ．l 与a 、b 中至少一条相交9．（4分）已知四棱锥P ABCD -，记AP 与BC 所成的角为1θ，AP 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角P AB C --为3θ，则下面大小关系正确的是( ) A ．12θθ„B ．13θθ„C ．23θθ„D ．13θθ…10．（4分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2DC =，11DA DD ==，点M 、N 分别为1A D 和1CD 上的动点，若//MN 平面11AA C C ，则MN 的最小值为( )A 5B ．23C 5D 5 二、填空题：11-14每空3分，15-17每空4分，共36分11．（6分）在空间直角坐标系中，已知点(1A ，0，2)与点(1B ，3-，1)，则||AB = ，若在z 轴上有一点M 满足||||MA MB =，则点M 坐标为 ．12．（6分）已知直线1:(1)620l m x y -++=，2:10l x my ++=，m 为常数，若12l l ⊥，则m 的值为 ，若12//l l ，则m 的值为 ．13．（6分）如图，P 为ABC ∆所在平面外一点，1PA PB PC ===，60APB BPC ∠=∠=︒，90APC ∠=︒，若G 为ABC ∆的重心，则||PG 长为 ，异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为 ．14．（6分）若圆222:(0)O x y r r +=>与圆22:70(C x y ax by a +++-=，b ，r 为常数），关于直线20x y -+=对称，则a 的值为 ，r 的值为 ．15．（4分）如图，正四棱锥P ABCD -的侧棱长为4，侧面的顶角均30︒，过点A 作一截面与PB 、PC 、PD 分别相交于E 、F 、G ，则四边形AEFG 周长的最小值为 ．16．（4分）已知实数x 、y 满足22(2)(3)1x y -++=，则|344|x y +-的最小值为 ． 17．（4分）如图，正四面体ABCD 中，//CD 平面α，点E 在AC 上，且2AE EC =，若四面体绕CD 旋转，则直线BE 在平面α内的投影与CD 所成角的余弦值的取值范围是 ．三、解答题：5小题，共74分18．（14分）已知某几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示．（1）求该几何体的侧视图的面积； （2）求该几何体的体积．19．（15分）已知p ：关于x ，y 的方程222:4630C x y x y m +-++-=表示圆；q ：圆222(0)x y a a +=>与直线345100x y m +-+=有公共点．若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．20．（15分）如图，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，2CD =，若将BCD ∆沿着BD 折起至△BC D '，使得AD BC '⊥．（1）求证：平面C BD '⊥平面ABD ； （2）求C D '与平面ABC '所成角的正弦值；（3）M 为BD 中点，求二面角M AC B '--的余弦值．21．（15分）已知圆C 过点(2,6)A ，且与直线1:100l x y +-=相切于点(6,4)B ． （1）求圆C 的方程；（2）过点(6,24)P 的直线2l 与圆C 交于M ，N 两点，若CMN ∆为直角三角形，求直线2l 的方程；（3）在直线3:2l y x =-上是否存在一点Q ，过Q 向圆C 引两条切线，切点为E ，F ，使QEF ∆为正三角形，若存在，求出点Q 坐标，若不存在，说明理由．22．（15分）如图，三棱柱ABC A B C '''-，2AC =，4BC =，120ACB ∠=︒，90ACC '∠=︒，且平面AB C '⊥平面ABC ，二面角A AC B ''--为30︒，E 、F 分别为A C '、B C ''的中点．（1）求证：//EF 平面AB C '； （2）求B '到平面ABC 的距离； （3）求二面角A BB C ''--的余弦值．2019-2020学年浙江省台州一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）点(1,2)A 到直线:3410l x y --=的距离为( ) A ．45B ．65C ．4D ．6【解答】解：点(1,2)A 到直线:3410l x y --=65=， 故选：B ．2．（4分）设m ，n 是空间中不同的直线，α，β是空间中不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．//αβ，m α⊂，则//m βB ．m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m nC ．//m n ，n α⊂，则//m αD ．m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则//αβ 【解答】解：A ．根据面面平行的性质得若//αβ，m α⊂，则//m β成立，故A 正确，B ．两个平行平面内的两条直线位置关系不确定，即//m n 不一定正确，故B 错误，C ．根线面平行的判定定理，必须要求m αà，故C 错误D ．根面面平行的判定定理，则两条直线必须是相交直线，故D 错误，故选：A ．3．（4分）过两点(4,)A y ，(2,3)B -的直线的倾斜角为45︒，则(y = )A ．BC ．1-D ．1【解答】解：经过两点(4,)A y ，(2,3)B -的直线的斜率为32y k +=． 又直线的倾斜角为45︒，∴3tan 4512y +=︒=，即1y =-． 故选：C ．4．（4分）将半径为1，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为( )A ．B C D 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，则223r ππ=， 13r ∴=，。
浙江省台州市高二上学期期中联考数学试题(解析版)
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线 的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线的斜率后可求直线的倾斜角.
【详解】直线 的斜率为 ，故其倾斜角 满足 ，
【详解】由题可知圆心 ，半径 ，
则点 到圆心 的距离 ，
切线长 ，可看作 到定点 的距离，
由 ，则点 在圆 内.
则 的最小值即为 到直线 的距离，
如图，过 作直线 垂直于 ，垂足为 ，与 轴的交点即为点 .
，则直线 ： ，即
令 ，得 ,即
所以当点 与 重合时， 最小值.
故选：C.
非选择题部分（共110分）
7.若 为直线 的倾斜角，则过两点 、 的直线的斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 的值，利用直线的斜率公式结合弦化切可求得结果.
【详解】由题意可得 ，所以， .
故选：B.
8.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，过E，F，C1三点的平面截正方体所得的截面的面积为（）
【详解】解：设圆台的上下底面的半径分别为r，R，
则 ，所以 ，
，所以 ，
作出圆台的轴截面，设圆台的高为h，根据题意圆台的母线长为3，
所以 ，
即该圆台的高为 .
故选：A.
5.在空间中，已知直线 ，两个不同的平面 ， ，一定能推出“ ”的条件是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．. 1.若直线(1)10x a y +-+=与直线220ax y ++=垂直，则实数a 的值为 ▲ .2．方程22153x y k k +=-- 表示双曲线，则k 的范围是 ▲ ． 3．已知圆22(2)1x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e = ▲ ．4．过点()3,3的直线l 与圆()4222=+-y x 交于A 、B 两点，且32=AB ，则直线l 的方程是 ▲ ．5．某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是32π时，则该圆锥体的体积是 ▲ ． 6．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm,2cm ，高为3cm ，则该圆台的母线长为 ▲ cm ． 7．设b a ，为两条直线, βα，为两个平面,给出下列命题:①若,,a b a b αα⊥⊥//则 ②若,,a b a b αα////则// ③若,,a b b a αα⊥⊥则// ④若,,a a αβαβ⊥⊥则// 其中真命题是 ▲ .（写出所有真命题的序号）8. 已知命题： ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂αm ，在“ ”处补上一个条件使其构成真命题（其中ml ,是直线，α是平面），这个条件是 ▲ .9．一个长方体各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为 ▲ .10．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ .11．抛物线22(0)y px p =>上的点(4,)M y 到焦点F 的距离为5，O 为坐标原点，则OFM∆的面积为 ▲ ．12．过椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影为右焦点F ,若1132k <<，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ▲ ．13．若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ▲ ．14．已知椭圆22134x y +=的上焦点为F ，直线10x y ++=和10x y +-=与椭圆相交于点A ，B ，C ，D ，则AF BF CF DF +++= ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分14分）如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是BC 和l ∥m l ∥α11B C 的中点．（1）求证：11A D ∥平面1AB D ； （2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O B BC ∠=，求三棱锥 1B ABC -的体积．16．（本题满分14分） 如图，F 是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的右焦点，直线l ：x ＝4是椭圆C 的右准线，F 到直线l 的距离等于3． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上动点，PM ⊥l ，垂足为M ．是否存在点P ，使得△FPM 为等腰 三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．（本题满分14分）如图，已知椭圆2212516x y +=的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．l ∥m18．（本题满分16分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =，13AA =，2BC CF ==．（1）求证：1//C E 平面ADF ； （2）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ？19．（本题满分16分）已知椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(0,5)A ，(8,3)B --，C 、D 在该椭圆上，直线CD 过原点O ，且在线段AB 的右下侧．（1）求椭圆G 的方程；（2）求四边形ABCD 的面积的最大值．20．（本题满分16分）已知圆M 的圆心在直线260x y --=上，且过点(1,2)、(4,1)-．（第19 题） 11题）（1）求圆M 的方程；（2）设P 为圆M 上任一点，过点P 向圆O ：221x y +=引切线，切点为Q ．试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说 明理由．高二数学期中试卷答案一、填空题1．32; 2．),5()3,(+∞⋃-∞; 3． 13;4．3=y 或0334=--y x ; 5． 6．10; 7． ④; 8． α⊄l ; 9．;10、2231x y -=; 11． 2; 12．12(,)23;13、4 ; 14．8；二、解答题：15. （本题满分14分）（1）证明：连结1DD ， 在三棱锥111ABC A B C -中，1,D D 分别是11,BC B C 的中点， 1111//,B D BD B D BD ∴=，∴四边形11BB D D 为平行四边形，1111//,BB DD BB DD ∴= 1111//,AA BB AA BB =1111//,AA DD AA DD ∴=∴四边形11AA D D 为平行四边形，11//A D AD ∴，11A D ⊄面1AB D ，AD ⊂ 面1AB D ，11//A D ∴面1AB D 。
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x －y ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°2．若三点A (0，8)，B (－4，0)，C (m ，－4)共线，则实数m 的值是( )A ．6B ．－2C ．－6D ．23．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x＋8y－24＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切D ．外切4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1-ABCD 的体积与长方体AC 1的体积的比值为( )A.12 B ．16 C.13D ．155．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别为AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点，则六边形EFGHKL 在正方体面上的射影可能是( )6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()A.π3 B.π4 C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．2π＋12B ．π＋12C ．2π＋24D ．π＋248．若坐标原点在圆x 2＋y 2－2mx ＋2my ＋2m 2－4＝0的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．⎝⎛⎭⎫－22，22 C ．(－3，3)D ．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是( )A ．(5,6)B ．(2,3)C ．(－5,6)D ．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A ．y ＝0B ．x ＝1和y ＝0C ．x ＝2和y ＝0D ．不存在 11．两圆x2＋y2＋4x －4y ＝0与x2＋y2＋2x －12＝0的公共弦长等于( ) A ．4 B ．2 3 C ．3 2 D ．4 212．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．－6＜k ＜2B ．－16＜k ＜0C ．－16＜k ＜12D ．k ＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
浙江省台州市第一中学2019学年第一学期期中考试试卷(无答案)
浙江省台州市第一中学2019学年第一学期期中考试试卷高一数学总分:150分考试时间:120分钟选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ={1,3,5,7,9},B ={0,3,6,912},则A ∩(C U B )=( )A .{1,2,3}B .{1,3,9}C .{3,5,7}D .{1,5,7}2.下列函数在定义域上既是函数,图像又关于原点对称的是( )A .y =x |x |B . y =e xC .y =D .y =log 2x3.函数f (2x )=x +1,则f (4)=( )A .5B .4C .3D .94.已知函数f (x )=,则f (-2)=(A .0B .-1C . -2D .15.设a =0.30.4,b =log 40.3,c =40.3,则a ,b ,c 的大小关系为(A .b >c >aB . a >c >bC .c >a >bD .a >b >c6.设函数f (x )=21log x x-,则函数f (x )的零点所在的区间为 A .(01) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,+∞)7.函数f (x )=x ·lg |x |的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 8.已知函数f （x ）=2+2x xx e e -+的最大值为M ,最小值为m ,则M +m 的值等于（ ）A .2B .4 c .2+221e e + D .4+241e e + 9.关于x 的方程9x +3x ·a +a +3=0有实根,则a 的取值范围是（ ）A .(-∞,-3]B .(-∞,-2]C .(-∞-2]U[6,+∞)D .(-∞,0)10.已知函数f (x )=(x 2-x )-(x 2+ax +b ),若对任意x ∈R ,均有f (x )=f (3-x )，则f (x )的最小值为( )A. -94 B ，-1 C .-3516D .0二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.设函数y =24x -的定义域为A ,不等式2x -1≥0的解集为B ,则A = ，A ∩B = .12.已知幕函数f (x )=x a 的图象过点(4,2),则a = .13.已知函数f (x )的图像是如图所示的折线段OAB ,其中O (0.0),A (1,2),B (3，1),则= .函数g (x )=f (x )-32三零点的个数为 .14.设f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x >0时,有f (x )=lg (x +4),则f (0)= .当x <0时,f (x )= .15.若函数f (x )=log a (x +5)+1(a >0且a ≠1),图像恒过定点P (m ,n ),则m +n = ;函数g (x )=ln (x 2+m )的单调递增区间为 .16定义区间[1x ,2x ]的长度为2x -1x ,若函数y =|log 2x |的定义域为[a ,b ],值域为[0,3]到,则区间[a ,b ]的长度最大值为 .17. 已知分段函数27,0(),0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若(())(()2)f f a f f a ≥+，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，14+15+15+15+15=74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 化简求值：（120231()327π-+-（2）19. 已知集合A ={}2|280,x x x x R --≤∈，B ={}2|(5)50,x x m x m x R -++≤∈（1）若m =3，求A ∪B ；（2）设全集为R ，若BC R A ，求实数m 的取值范围.20. 已知函数在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，（1）求实数a ,b 的值；（2）求函数f （x ）在[0，t ]上的最小值g （t ）.21. 已知定义域为R 的函数21()22x x f x a =-+是奇函数. （1）求实数a 的值；（2）判断函数f （x ）的单调性，并用定义加以证明；（3）若对任意的x ∈[1,2]，不等式成立，求实数m 的取值范围.22. 已知函数2()2f x x x x a =+-，期中a 为实数.（1）当a =-1时，求函数y =f (x )的零点；（2）若f (x )在（-2,2）上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）对于给定的实数a ，若存在两个不相等的实数根1x ，2x ，（1x <2x 且2x ≠0）使得f (1x )=f (2x ),求221212x x x x +的取值范围。
2019学年浙江省高二上期中数学试卷【含答案及解析】(4)
2019学年浙江省高二上期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设，当时，等于（）A． 5 B． 6 ______________ C． 7_____________________________D． 82. 6个人排成一排，甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有（）A ． 480______________________________B ． 720______________________________C ． 240____________________________D ． 3603. 在的展开式中含常数项，则正整数的最小值是（）A ． 2___________________________________B ． 3________________________C ． 4_________________________________D ． 54. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，且，则_________B ．若，且，则C．若，且，则_________D ．若，且，则5. 有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有个人正在使用电话或等待使用的概率为，且与时刻无关，统计得到，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率的值是（）A ． 0_________B ． 1_________C ．________________D ．6. 设双曲线的左焦点，圆与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线于点B ，若，则双曲线的离心率为（）A ． 2___________________________________B ． 3______________________C ．______________________D ．7. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）A ． 1______________B ． 2____________________C ． 3____________________________D ． 48. 如果正整数的各位数字之和等于8，那么称为“幸运数” （如：8，26，2015等均为“幸运数” ），将所有“幸运数”从小到大排成一列，，，……，若，则（）A ． 80______________B ． 81________________________C ． 82____________________________D ． 83二、填空题9. 多项式的展开式中，项的系数=_________，项的系数=___________ ．10. 在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______ ．11. 一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积＝___________ ，表面积＝______．12. 已知抛物线上两点A，B的横坐标恰是方程的两个实根，则直线AB的斜率＝；直线AB的方程为．13. 某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不同且可区分，今每次取出一只测试，测试后不放回，直到4只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情形有___________ 种．14. 设，是椭圆的两个焦点，是以为中心的正方形，则的四个顶点中能落在椭圆上的个数最多有___________ 个（的各边可以不与Γ的对称轴平行）．15. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则的取值范围是______________ ．三、解答题16. 某班共有36名学生，其中有班干部6名，现从36名同学中任选2名代表参加某次活动，求：（1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2）至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于，则男生比女生多几人？17. 已知椭圆的右焦点为，为短轴的一个端点，且，的面积为1 （其中为坐标原点）．（ 1 ）求椭圆的方程；（ 2 ）若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值．18. 在三棱柱中，已知，，的中点为，垂直于底面．（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（2）求二面角的平面角的余弦值．19. 如图，椭圆的左、右焦点为，，过的直线与椭圆相交于、两点．（1）若，且，求椭圆的离心率．（2）若，，求的最大值和最小值．20. 数列满足，，……，（）（1）求，，，的值；（2）求与之间的关系式；（3）求证：（）参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
浙江省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(四)
浙江省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（四）（考试时间100分钟满分120分）一、单项选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．已知a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（）A．平行B．相交或异面C．异面D．平行或异面2．直线3x+y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．135°3．如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax﹣By﹣C=0不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（）A．B．C．﹣2 D．25．点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（）A．B．2C． D．26．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④7．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB=2，PC=3，且这个三棱锥的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（）A．B．56πC．14πD．64π9．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）A． B． C．D．10．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，BB1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP⊥BN 的点P所形成图形的周长是（）A．4 B．C．D．二、填空题（共6小题，两空每题6分，一空的每题4分，共28分）11．已知A（1，﹣2，1），B（2，2，2），点P在x轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为．12．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是．13．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的表面积为．则这个棱柱体积为．14．设A、B是直线3x+4y+3=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是，弦长|AB|为．15．直线x+y+c=0与圆x2+y2=4相交于不同两点，则c的取值范围是．16．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则||+||的最小值为．三、解答题（共4小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，已知△ABC的顶点为A（2，4），B（0，﹣2），C （﹣2，3），求：（Ⅰ）AB边上的中线CM所在直线的方程；（Ⅱ）AB边上的高线CH所在直线的方程．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E是PC的中点．（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；（2）求二面角E﹣BC﹣A的大小．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AD=2，AB=1，AC=．（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求直线MN与平面PAD所成角的正切值．20．已知直线x﹣y+2=0和圆C：x2+y2﹣8x+12=0，过直线上的一点P（x0，y0）作两条直线PA，PB与圆C相切于A，B 两点．①当P点坐标为（2，4）时，求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程；②设切线PA与PB的斜率分别为k1，k2，且k1•k2=﹣7时，求点P的坐标．参考答案一、单项选择题1．解：∵直线a∥平面α，直线b在平面α内，∴a∥b，或a与b异面，故答案为：平行或异面，2．解：将直线方程化为：，所以直线的斜率为，所以倾斜角为120°，故选C．3．解：由题意可知B≠0，故直线的方程可化为，由AB＞0，BC＞0可得＞0，＜0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选B4．解：根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得a=﹣2，故选C．5．解：由题意可知：过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，则原点（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离d==2，即|OP|的最小值为2．故选B．6．解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A7．解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角而三角形D1AC为等边三角形∴∠D1AC=60°故选C．8．解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：所以球的直径是，半径为，∴球的表面积：14π故选C．9．解：圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4的圆心为（2，3），半径等于2，圆心到直线y=kx+3的距离等于d=由弦长公式得MN=2≥2，∴≤1，解得，故选B．10．解：如图，取CC1的中点G，连接DGMA，设BN交AM 与点E，则MG∥BC，∵BC⊥平面ABA1B1，NB⊂平面ABA1B1，∴NB⊥MG，∵正方体的棱长为1，M，N分别是A1B1，BB1的中点，△BEM中，∠MBE=30°，∠BME=60°∴∠MEB=90°，即BN⊥AM，MG∩AM=M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，∵正方体的棱长为1∴故由勾股定理可得，使B1C与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长等于2+．故选：D．二、填空题11．解：∵点P在z轴上，∴可设点P（x，0，0）．∵|PA|=|PB|，∴=，解得x=3．∴点P的坐标为（3，0，0）．故答案为：（3，0，0）12．解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是××=1，∴原平面图形的面积是1×2=2故答案为：2，13．解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个正三棱柱，底面正三角形的高为3，故底面边长为6，故底面面积为：=9，棱柱的高为：4，故棱柱的侧面积为：3×6×4=72，故棱柱的表面积为：；棱柱体积为：36故答案为：，3614．解：∵A、B是直线3x+4y+3=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点，∴线段AB的垂直平分线过圆的圆心，且和直线AB垂直，则垂直平方线的斜率k=，圆的标准方程是x2+（y+2）2=4，则圆心坐标为（0，﹣2），半径R=2，则垂直平分线的方程为y+2=x，即4x﹣3y﹣6=0，圆心到直线AB的距离d==1，∴|AB|=2=2．故答案为：4x﹣3y﹣6=0，2．15．解：∵直线x+y+c=0与圆x2+y2=4相交于不同两点，∴＜2，∴﹣2＜c＜2，∴c的取值范围是．故答案为：．16．解：由于点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=3﹣=2，故答案为：2．三、解答题17．解：（Ⅰ）由题意可得，线段AB的中点M（1，1），再根据C（﹣2，3），可得AB边上的中线CM所在直线的方程为=，即2x+3y﹣5=0．（Ⅱ）由于直线AB的斜率为=3，故AB边上的高线CH 的斜率为﹣，AB边上的高线CH所在直线的方程为y﹣3=﹣（x+2），即3x+3y﹣7=0．18．证明：（1）设AC∩BD=O，∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵E，O分别为线段PC，AC的中点∴OE∥PA，∵PA⊥平面ABCD∴OE⊥平面ABCD∵OE⊂平面BDEPABCDE∴平面EBD⊥平面ABCD…解：（2）取线段BC的中点F，连接OF，EF∵ABCD是正方形，F是线段BC的中点O∴OF⊥平面BCF，∵OE⊥平面ABCD，∴OE⊥BC，∴BC⊥平面OEF∴EF⊥BC，∴∠EFO是二面角E﹣BC﹣A的平面角，…在直角三角形OEF中，OE=OF，∴∠EFO=45°，即二面角E﹣BC﹣A的大小为45°．…19．解：（Ⅰ）证明：取PD中点E，连结NE，CE．∵N为PA 中点，∴NE，又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，∴MC．∴NE MC，即MNEC为平行四边形，…∴MN∥CE∵EC⊂平面PCD，且MN⊄平面PCD，∴MN∥平面PCD．…（其它证法酌情给分）（Ⅱ）方法一：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，过M作MF⊥AD，则MF⊥平面PAD，连结NF．则∠MNF为直线MN与平面PAD所成的角，…由AB=1，，AD=2，得AC⊥CD，由AC•CD=AD•MF，得，在Rt△AMN中，AM=AN=1，得．在Rt△MNF中，，∴，直线MN与平面PAD所成角的正切值为．…方法二：∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA⊥AC，又∵AB=1，，BC=AD=2，∴AB2+AC2=BC2，AB⊥AC．…如图，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则，N（0，0，1），P（0，0，2），，∴，，，…设平面PAD的一个法向量为，则由，令y=1得，…设MN与平面PAD所成的角为θ，则，∴MN与平面PAD所成角的正切值为．…20．解：①圆C：x2+y2﹣8x+12=0，可化为（x﹣4）2+y2=4，PC中点为（3，2），|PC|=2，∴以PC为直径的圆的方程为圆E：（x﹣3）2+（y﹣2）2=5，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴P，A，B，C四点共圆E，∴直线AB的方程是两圆公共弦所在直线方程，两方程相减可得直线AB的方程为x﹣2y﹣2=0；②设过P的直线l方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由于⊙C与直线l 相切，得到d==2，整理得到：k2[（4﹣x0）2﹣4]+2y0（4﹣x0）k+y02=4k2+4，∴k1•k2==﹣7y0=x0+2，代入，可得2x02﹣13x0+21=0，∴x0=3或，∴点P坐标（3，5）或（，）．。
2019-2020学年浙江省台州市中学高二上学期期中数学试题及答案解析
2019-2020学年浙江省台州市中学高二上学期期中数学试题及答案解析一、单选题1．点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（）A．45B．65C．4 D．6【答案】B【解析】利用点到直线的距离公式直接求解即可.【详解】点()1,2A到直线3410l x y：--=的距离为65d==.故选：B.【点睛】本题考查了点到直线距离公式的直接应用，属于基础题. 2．设m，n是空间中不同的直线，α，β是空间中不同的平面，则下列说法正确的是（）A．α∥β，m⊂α，则m∥βB．m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC．m∥n，n⊂α，则m∥αD．m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β【答案】A【解析】根据线面平行，和面面平行的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【详解】A ．根据面面平行的性质得若α∥β，m ⊂α，则m ∥β成立，故A 正确．B ．两个平行平面内的两条直线位置关系不确定，即m ∥n 不一定正确，故B 错误．C ．根据线面平行的判定定理，必须要求m α⊄，故C 错误．D ．根据面面平行的判定定理，则两条直线必须是相交直线，故D 错误． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的应用，结合相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键，比较基础． 3．过两点4,A y，()2,3B -的直线的倾斜角为45︒，则y =（ ）．A ．BC ．-1D ．1【答案】C【解析】由题意知直线AB 的斜率为tan 451AB k =︒=，所以331422y y ++==-，解得1y =-．选C ． 4．将半径为1，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）A ．B ．81C ．27D ．3【答案】B【解析】利用扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出求出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】设圆锥的底面半径为r ，则223r ππ=，13r ∴=，∴圆锥的高为3=，∴圆锥的体积1139381V π=⋅⋅⋅=，故选B ．【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图的应用，以及弧长公式的应用、圆锥的几何性质的应用，圆锥的体积公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题．5．下列说法中正确的是（ ）A ．若一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．若一个命题的否命题为真，则它的逆否命题一定为真C ．“若a 2+b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2+b 2≠0”D ．“若a 2+b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 不全为0，则a 2+b 2≠0” 【答案】D【解析】利用四种命题的关系和命题的改写方法逐个选项判断即可.【详解】四种命题中，原命题与逆否命题、否命题与逆命题均互为逆否命题，具有相同的真假性，所以A、B选项错误；根据命题的改写规则，命题“若220+=，则a、b全为0”a b的逆否命题为“若a、b不全为0，则220+≠”.a b故选：D.【点睛】本题考查了命题的改写及四种命题的关系，属于基础题. 6．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：因为钢球与棱锥的四个面都接触，所以钢球与棱锥的棱相离，而与棱对应的高相切．所以经过棱锥的一条侧棱和高所作的截面中，球的截面圆与两条高相切，而与棱相离，且与棱锥的高相交，故选B【考点】本题主要考查简单几何体的特征及三视图．点评：简单题，理解好三视图的意义．7．定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”，过函数29y x =-图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45︒的直线条数为 （ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】如图，设曲线的次整点分别为,过点1P 倾斜角大于45°的直线有1213,PP PP ，过点2P 的有27PP , 过点3P 有36P P 、37P P ，过点4P 有45P P 、46P P 、47P P ，过 点5P 有5657,P P P P ,过点6P 的有67P P ,共11条，故选B.8．异面直线a 、b 和平面α、β满足a ⊂α，b ⊂β，α∩β=l ，则l 与a 、b 的位置关系一定是（ ） A ．l 与a 、b 都相交 B ．l 与a 、b 中至少一条平行C ．l 与a 、b 中至多一条相交D ．l 与a 、b 中至少一条相交 【答案】D【解析】利用反证法，结合直线平行的性质定理进行判断即可． 【详解】若a 、b 与l 都不相交，即//a l ，//b l ，则必有//a b 与a 、b 是异面直线矛盾， 即l 与a 、b 中至少一条相交， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查空间直线位置关系的判断，利用反证法，结合平行公理是解决本题的关键，比较基础．9．已知四棱锥P ﹣ABCD ，记AP 与BC 所成的角为θ1，AP 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角P ﹣AB ﹣C 为θ3，则下面大小关系正确的是（ ） A ．θ1≤θ2 B ．θ1≤θ3C ．θ2≤θ3D ．θ1≥θ3【答案】C【解析】证明“线面角最小，二面角最大 ”即可得解. 【详解】如图，CO ⊥面ABO ，BC AB ⊥，OD BD ⊥，易证BD CD ⊥， 可得cos BO CBO BC ∠=，cos BD DBO BO ∠=，cos BDCBD BC ∠=， 所以cos cos cos CBD CBO DBO ∠=∠⋅∠，可得平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是该斜线与平面内所有直线所成的角的最小值；CBO ∠为二面角，由余弦定理易得CBO CAO ∠>∠，可知在锐二面角上，一个半平面上的任意一条直线与另一个半平面所成的线面角中，二面角最大. 由以上结论可知，当二面角P AB C 为锐角时，所以23θθ≤，当二面角P AB C 为直角或钝角时，2θ为锐角或直角，所以23θθ≤. 故选：C. 【点睛】本题考查了线线角、线面角及二面角的大小关系，思维过程较复杂，属于中档题.10．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（ ）A 5B ．23C 5D 5【答案】A【解析】先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解. 【详解】如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，∴(),22,MN m n n m =---，又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，又 //MN 面11AA CC ，∴=0MN n ⋅即1m n +=，∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+， ∴MN最小值为5故选：A. 【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题.二、填空题11．在空间直角坐标系中，已知点(1,0,2)A 与点(1,3,1)B -，则||AB =_____，若在z 轴上有一点M 满足|MA|=|MB|，则点M 坐标为_____． 10()0,0,3-【解析】利用空间两点间的距离公式直接求得AB的值，设M（0，0，a），则|MA|=|MB|，由此利用两点间距离公式能求出M的坐标．【详解】∵点()1,0,2A，点()1,3,1B-，∴AB==在空间直角坐标系中，z轴上有一个点M到点A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1）的距离相等，设M（0，0，a），则|MA|=|MB|，解得a=﹣3，∴M（0，0，﹣3）．，（0，0，﹣3）．【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．已知直线l1：（m﹣1）x+6y+2＝0，l2：x+my+1＝0，m为常数，若l1⊥l2，则m的值为_____，若l1∥l2，则m 的值为_____．【答案】17-2【解析】根据两条直线垂直和平行分别得出m满足的方程即可得解.【详解】若12l l⊥，则160m m-+=即17m=；若12l l //，则()16m m -=，解得3m =或2-， 当=3m 时两直线为同一直线，故2m =-.故答案为：17，2-.【点睛】本题考查了利用直线平行和垂直求参数的值，属于基础题.13．如图，P 为△ABC 所在平面外一点，PA ＝PB ＝PC ＝1，∠APB ＝∠BPC ＝60°，∠APC ＝90°，若G 为△ABC 的重心，则|PG |长为_____，异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为_____．5【解析】根据题意做出线段AC 的中点D ，连接PD 、BD ，利用22=PG PD DG +()AP BC AP PC PB ⋅=⋅-即可得解. 【详解】由题意得=90ABC ∠，连接点P 和线段AC 的中点D ，连接BD ，如图：易知2=2BD PD =，则=90PDB ∠，又G 为ABC 的重心，∴12=3GD BD =∴225=PG PD DG +=；()0AP BC AP PC PB AP PC AP PB ⋅=⋅-=⋅-⋅=,∴cos ,0AP BC =.故答案为：50.【点睛】本题考查了构造图形求线段的长以及空间向量的应用，属于中档题.14．若圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与圆C ：x 2+y 2+ax +by ﹣7＝0（a ，b ，r 为常数），关于直线x ﹣y +2＝0对称，则a 的值为_____，r 的值为_____． 【答案】415【解析】利用圆关于直线对称的性质列出方程即可得解. 【详解】易知圆O 圆心为()0,0，半径为r ，圆C 圆心为,22ab ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径为2274a b++，由题意得222044174a bb a a b r ⎧-++=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪++=⎪⎩解得415a r =⎧⎪⎨=⎪⎩.故答案为：4，15.【点睛】本题考查了圆的对称问题，考查了计算能力，属于基础题. 15．如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的侧棱长为4，侧面的顶角均30°，过点A 作一截面与PB 、PC 、PD 分别相交于E 、F 、G ，则四边形AEFG 周长的最小值为_____．【答案】3【解析】根据题意做出四棱锥的侧面展开图即可得解. 【详解】由题意可知四边形周长最小值()22min 44244cos12043AEFG C =+-⨯⨯=【点睛】本题考查了棱锥侧面展开图的应用，属于基础题. 16．已知实数x 、y 满足（x ﹣2）2+（y +3）2＝1，则|3x +4y ﹣4|的最小值为_____． 【答案】5【解析】把问题转化成直线3440x y z +--=与圆相切即可得解. 【详解】易知圆的圆心为()2,3-，半径为1.令344z x y =+-则直线方程为3440x y z +--=， 当直线与圆相切时z 满足226124134z ---=+解得5z =-或15-，所以155-≤≤-z 即min 5z =. 故答案为：5. 【点睛】本题考查了利用直线与圆的位置关系求最值，考查了转化化归思想，属于基础题.17．如图，正四面体ABCD 中，CD ∥平面α，点E 在AC 上，且AE ＝2EC ，若四面体绕CD 旋转，则直线BE 在平面α内的投影与CD 所成角的余弦值的取值范围是_____．【答案】7⎤⎥⎣⎦．【解析】建立坐标系，表示出旋转之后向量()166023B E θθθπ⎛⎫''=<< ⎪ ⎪⎝⎭，再表示出投影向量()16,sin ,0023B E θθπ⎛⎫''''=<< ⎪ ⎪⎝⎭即可得解. 【详解】如图建系，设棱长为1，易知60,0,3A ⎛ ⎝⎭，30,,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 13,26C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0DC =， 又2AE EC =，∴2AE EC =则1363E ⎛ ⎝⎭，∴14363BE ⎛= ⎝⎭， BE 绕着CD 旋转可看做是绕着x 轴旋转，旋转后的向量()166023B E θθθπ⎛⎫''=<< ⎪ ⎪⎝⎭， B E ''在平面α的投影即为其在xOy 平面上的投影()16,0023B E θθπ⎛⎫''''=<< ⎪ ⎪⎝⎭， ∴2173cos ,12sin 93B E DC θ⎤''''=⎥⎣⎦+ 故答案为：7⎤⎥⎣⎦【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归的思想和计算能力，属于难题.三、解答题18．已知某几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示．（1）求该几何体的侧视图的面积； （2）求该几何体的体积． 【答案】（1）27．（2）67【解析】（1）根据视图求出三角形的底和高即可得解； （2）根据视图求出底面积和高即可得解. 【详解】（1）由三视图可知该几何体的侧视图是高为4，底为22437-=的直角三角形，所以侧视图的面积为1=47272S ⨯⨯=侧视图．（2）由三视图可知该几何体是四棱锥，如图所示；根据三视图中数据，计算该四棱锥的体积为()11V =2+4676732⨯⨯⨯⨯=四棱锥．【点睛】本题考查了三视图的识别和锥体的体积计算，属于基础题.19．已知p ：关于x ，y 的方程C ：x 2+y 2﹣4x +6y +m 2﹣3＝0表示圆；q ：圆x 2+y 2＝a 2（a ＞0）与直线3x +4y ﹣5m +10＝0有公共点．若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(),2-∞．【解析】转化条件为p ：44m <<-，q ：22a m a ≤≤+-，再根据p 是q 的必要充分条件即可得解. 【详解】∵p ：关于x ，y 的方程2224630C x y x y m +++：--=表示圆； ∴()()2222316x y m ++--=表示圆，即2160m ->，∴44m <<-；∵q ：圆2220x y a a +>=（）与直线345100x y m +-+=有公共点．∴510m d a -+=≤，解得22a m a ≤≤+-；∵p 是q 的必要不充分条件，∴2424a a ->-⎧⎨+<⎩，解得2a <； 故实数a 的取值范围是(),2-∞． 【点睛】本题考查了圆的解析式、直线与圆的位置关系、条件之间的关系，属于中档题.20．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，CD ＝2，若将△BCD 沿着BD 折起至△BC 'D ，使得AD ⊥BC '．（1）求证：平面C 'BD ⊥平面ABD ； （2）求C 'D 与平面ABC '所成角的正弦值；（3）M 为BD 中点，求二面角M ﹣AC '﹣B 的余弦值．【答案】（1）见解析（2）12；（3）10．【解析】（1）先证明BC BD '⊥、BC AD '⊥，再利用面面垂直的判定即可得证；（2）先证明AD ⊥面BAC '，再求sin DC A '∠即可得解； （3）建立空间坐标系，分别求出两面的法向量即可得解. 【详解】（1）过点B 作DC 的垂线交DC 于点E ，得1CE DE ==，1BE =，∴2BC =又1AB AD ==，∴2BD =，∴BC BD ⊥，∴BC BD '⊥，又BC AD '⊥，且ADBD D =，AD BD ⊂、平面ABD ，∴BC '⊥平面ABD ，又BC '⊂平面C BD '，∴平面C BD '⊥平面ABD ； （2）由（1）BC '⊥平面ABD ，可知：平面C BA '⊥平面ABD ， 又AD BA ⊥，平面C BA '⋂平面ABD AB =，∴AD ⊥面BAC '，∴C D '与平面C BA '所成角为DC A '∠， 由（1）BC '⊥平面ABD 可知：BC AB '⊥，∴3AC '=，∴2DC '=，∴1sin '2ADDC A DC '∠==，即C D '与平面BAC '所成角的正弦值为12；（3）以A为原点，AD、AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）BC ABD'⊥平面可知，()0,0,0A，()0,1,0B，(2C'，()1,0,0D，又M为BD的中点，∴11,,022M⎛⎫⎪⎝⎭，∴(02AC'=，，，11022AM⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，()010AB=，，，∴平面C MA'的一个法向量1221222n⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭，，平面C BA'的一个法向量()220n=-，，，∴121212105522n ncos n nn n⋅===⨯，，由图可知二面角M AC B'﹣﹣的大小为锐角，∴二面角M AC B'﹣﹣的余弦值为105．【点睛】本题考查了面面垂直的判定、线面角的求法、二面角余弦值的求法，考查了运算能力，属于中档题.21．已知圆C过点A(2,6),且与直线l1: x+y－10=0相切于点B(6,4).(1)求圆C 的方程；(2)过点P (6,24)的直线l 2与圆C 交于M ,N 两点,若△CMN 为直角三角形,求直线l 2的斜率；(3)在直线l 3: y =x －2上是否存在一点Q ,过点Q 向圆C 引两切线,切点为E ,F , 使△QEF 为正三角形,若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,说明理由. 【答案】（1）()()221150x y -++=；（2）直线的斜率为125或者不存在；（3）存在，()11,9或()9,11--.【解析】（1）设圆心坐标(,)C a b ，半径为,(0)r r >，通过垂直关系和半径关系求出未知数即可；（2）若△CMN 为直角三角形,则圆心到直线的距离为2r ，即可求解斜率； （3）使△QEF 为正三角形，即,23EQF QC r π∠==，求出点Q 的坐标. 【详解】（1）设圆心坐标(,)C a b ，半径为,(0)r r >，圆C 过点A (2,6),且与直线l 1: x +y －10=0相切于点B (6,4)，所以416CB b k a -⎧==⎪-=即28412b a a b =-⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，所以r ==所以圆C 的方程：()()221150x y -++=；（2）过点P (6,24)的直线l 2与圆C 交于M ,N 两点,若△CMN 为直角三角形,CM CN=，所以△CMN 为等腰直角三角形，且2MCN π∠=，所以圆心(1,1)C -到直线l 2的距离为52r =， 当直线l 2的斜率不存在时，直线方程6x =， 圆心(1,1)C -到直线l 2的距离为5，符合题意； 当直线l 2的斜率存在时，设斜率为k ， 直线方程为24(6)y k x -=-，即6240kx y k --+= 圆心(1,1)C -到直线l 25=，5=1=，解得125k =， 直线的斜率为125或者不存在；（3）若直线l 3: y =x －2上存在一点Q ,过点Q 向圆C 引两切线,切点为E ,F , 使△QEF 为正三角形, 即3EQF π∠=，在Rt ECQ ∆中，,62EQC QEC ππ∠=∠=2QC r ==设(,2),Q a a QC-==2(1)100a -=解得9a =-或11a =所以点Q 的坐标为()11,9或()9,11--. 【点睛】此题考查直线和圆的位置关系，其中涉及等价转化思想，将直角三角形关系转化为圆心到直线距离关系求解，将正三角形关系转化成点到圆心距离关系求解．22．如图，三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '，AC ＝2，BC ＝4，∠ACB＝120°，∠ACC'＝90°，且平面AB'C⊥平面ABC，二面角A'﹣AC﹣B'为30°，E、F分别为A'C、B'C'的中点．（1）求证：EF∥平面AB'C；（2）求B'到平面ABC的距离；（3）求二面角A﹣BB'﹣C'的余弦值．．【答案】（1）见解析（2）6（3）1365【解析】（1）利用线面平行的判定，求得//EF AB'后即可得解；（2）过B'作B H'⊥平面ABC,转化条件后即可得解；（3）建立空间坐标系，求出两个面的法向量即可得解. 【详解】（1）证明：∵三棱柱ABC A B C'''﹣中，四边形ACC A''是平行四边形，'⋂'=，∴E是AC'的中点，AC A C E∵F是B C''的中点，∴//EF AB'，∵EF⊄平面AB C''，AB'⊂平面AB C''，∴//EF平面AB C''．（2）过B'作B H'⊥平面ABC，交AC延长线于点H，过点H 作CC '的平行线HM ，交A C ''于点M ，连结HB ， 则MHB '∠是二面角A AC B ''--的平面角，∵2AC =,4BC =,120ACB ∠=︒，'90ACC ∠︒=，且平面AB C '⊥平面ABC ，二面角A AC B ''--为30,∴30MHB BB H ''∠∠︒==，60BCH ∠︒=，∴30HBC ∠︒=，90BHC ∠=︒， ∴122CH BC ==，∴23BH =，∴B '到平面ABC 的距离23630B H tan '==︒．（3）以H 为原点，HA 为x 轴，HB 为y 轴，HB '为z 轴，建立空间直角坐标系，()4,0,0A ，()0,23,0B ，()0,0,6B '，()2,23,6C '-， ()4,23,0BA =-，()0,23,6BB '=-，()2,43,6BC '=-， 设平面ABB '的法向量(),,n x y z =， 则4302360n BA x n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+'=⎪⎩，取3x =233,2,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭， 设平面C BB ''的法向量(),,m x y z '''=， 则23602360m BB y z m BC x y z ''''⎧⋅=''-'+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3x '=33,1,3m ⎛= ⎭，设二面角ABB C ''﹣﹣的平面角为θ．则173cos 25m nm n θ⋅===⋅⋅．∴二面角A BB C ''﹣﹣的余弦值为65． 【点睛】本题考查了线面平行的判定、点到平面的距离、利用空间向量求二面角，考查了计算能力，属于中档题.。
浙江省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(二)
浙江省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（二）（考试时间100分钟满分120分）一、单项选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．1．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）2．已知数列，…是这个数列的第（）项．A．10 B．11 C．12 D．213．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π4．若关于x的不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．25．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d=2，则a5=（）A．6 B．9 C．25 D．316．已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（）A．一定是异面B．一定是相交直线C．不可能是相交直线D．不可能是平行直线7．下列结论成立的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c8．下列结论中正确的是（）A．若a＞0，则（a+1）（+1）≥2 B．若x＞0，则lnx+≥2C．若a+b=1，则a2+b2≥D．若a+b=1，则a2+b2≤9．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若α∥β，a⊂α，b⊂β则a∥b D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α10．在等比数列{a n}中，已知a4=3a3，则+++…+=（）A．B．C．D．11．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°12．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．13．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a ，则该四面体的体积的最大值为（ ）A ．a 3B ．a 3 C ． a 3D ． a 314．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n =16a 12，则+的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．不存在15．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（ ）A ．AC ⊥BFB ．直线AE 、BF 所成的角为定值C ．EF ∥平面ABCD ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值16．设函数f （x ）=x 2﹣4x +3，若f （x ）≥mx 对任意的实数x ≥2都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[﹣2﹣4，﹣2+4]B ．（﹣∞，﹣2﹣4]∪[﹣2+4，+∞）C ．[﹣2+4，+∞） D ．（﹣∞，﹣]17．已知数列{a n }的通项公式为，则数列{a n }（ ）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项18．已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C． D．4二、填空题：本大题共4小题，共7空，每空4分，共28分．19．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为，表面积为．20．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，又a4、a5、a8成等比数列，则a n，使S n最大的序号n的值．21．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+3y的最小值为；则xy的最小值为．22．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是．三、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．已知f（x）=ax2+x﹣a，a∈R（1）若a=1，解不等式f（x）≥1；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．24．如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（Ⅰ）求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．25．各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S n=2pa n2+pa n﹣p（p∈R）（1）求常数p的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记b n=，求数列{b n}的前n项和T．参考答案一、单项选择题1．D 2．B 3．C 4．A．5．B．6．D．7．D．8．C．9．B．10．D．11．A．12．C 13．C．14．A 15．B．16．D 17．C．18．D．二、填空题19．解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的后侧面SAC与底面垂直，高SO为，如图：其中OA=OB=OC=1，SO⊥平面ABC，AB=BC=，SA=SB=SC=2，底面△ABC的面积为：，后侧面△SAC的面积为：，左右两个侧面△SAB和△SBC的底面边长为，两腰长为2，故底边上的高为：=，故左右两个侧面△SAB和△SBC的面积为：，故几何体的表面积：，几何体的体积V==，故答案为：，20．解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，∵a2=3，a4，a5，a8成等比数列，∴，又d≠0，解得a1=5，d=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=﹣2n+7；∴S n==﹣n2+6n=﹣（n﹣3）2+9，∴当n=3时，S n取到最大值为9，故答案为：=﹣2n+7；3．21．解：∵x，y＞0，且+=1，∴x+3y=（x+3y）（+）=10++≥10+6=16，当且仅当=即x==y取等号．因此x+3y的最小值为16．∵x＞0，y＞0，且+=1，∴1≥2，化为xy≥12，当且仅当y=3x时取等号．则xy的最小值为12．故答案为：16，1222．解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[]．故答案为：[]．三、解答题23．解：（1）若a=1，不等式f（x）≥1可化为：x2+x﹣1≥1，即x2+x﹣2≥0，解得：x∈（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），（2）若a＜0，不等式f（x）≥1可化为：ax2+x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（x+）＜0，当﹣＜1，即a＜﹣时，不等式的解集为（﹣，1）；当﹣=1，即a=﹣时，不等式的解集为∅；当﹣＞1，即﹣＜a＜0时，不等式的解集为（1，﹣）．24．证明：如图示：（Ⅰ）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，又已知SC⊥BD，SC⊥CO=C，所以BD⊥平面SOC，所以BD⊥SO，即SO是BD的垂直平分线，所以SB=SD，（Ⅱ）取AB中点N，连接DM，MN，DN，∵M是SA的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是正三解形，∴DN⊥AB，∵∠BCD=120°得∠CBD=30°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BSC，故DM∥平面SBC．25．解：（1）∵a 1=1，对任意的n ∈N*，有2S n =2pa n 2+pa n ﹣p ∴2a 1=2pa 12+pa 1﹣p ，即2=2p +p ﹣p ，解得p=1； （2）2S n =2a n 2+a n ﹣1，①2S n ﹣1=2a n ﹣12+a n ﹣1﹣1，（n ≥2），②①﹣②即得（a n ﹣a n ﹣1﹣）（a n +a n ﹣1）=0， 因为a n +a n ﹣1≠0，所以a n ﹣a n ﹣1﹣=0，∴（3）2S n =2a n 2+a n ﹣1=2×，∴S n =，∴=n •2nT n =1×21+2×22+…+n •2n ③又2T n =1×22+2×23+…+（n ﹣1）•2n+n2n +1 ④④﹣③T n =﹣1×21﹣（22+23+ (2)）+n2n +1=（n ﹣1）2n +1+2∴T n =（n ﹣1）2n +1+2。
浙江省台州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷(理科)B卷
浙江省台州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若，则下列不等式：①；②|a|+b＞0；③；④lna2＞lnb2中，正确的不等式是（）A . ①④B . ②③C . ①③D . ②④2. （2分）不等式4x2﹣4x+1≥0的解集为（）A . {}B . {x|x≥}C . RD . ∅3. （2分） (2016高一下·佛山期中) 已知正项数列{an}满足：a1=3，（2n﹣1）an+2=（2n+1）an﹣1+8n2（n ＞1，n∈N*），设，数列{bn}的前n项的和Sn ，则Sn的取值范围为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·大庆模拟) 数列为正项递增等比数列，满足，，则等于（）A . -45B . 45C . -90D . 905. （2分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c．若a=ccosB，则△ABC是（）A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形6. （2分） (2017高一下·安平期末) 在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB= ，则• =（）A .B . ﹣C . 3D . ﹣37. （2分）若不等式x2﹣ax+1≤0和ax2+x﹣1＞0对任意的x∈R均不成立，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·船营期中) 设x，y满足约束条件，则目标函数z= 的取值范围为（）A . [﹣3，3]B . [﹣3，﹣2]C . [﹣2，2]D . [2，3]9. （2分） (2016高一下·赣州期中) 已知甲、乙两地距丙的距离均为100km，且甲地在丙地的北偏东20°处，乙地在丙地的南偏东40°处，则甲乙两地的距离为（）A . 100kmB . 200kmC . 100 kmD . 100 km10. （2分）已知{an}是等差数列，{bn}是正项等比数列，若a11=b10 ，则（）A . a13+a9=b14b6B . a13+a9=b14+b6C . a13+a9≥b14+b6D . a13+a9≤b14+b611. （2分）已知数列{an}满足an=4×3n-1 ， n=N*，现将该数列按右图规律排成一个数阵（如图所示第i行有i个数），设Sn为该数阵的前n项和，则满足Sn>2020时，n的最小值为（）A . 20B . 21C . 26D . 2712. （2分）已知数列满足,则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）设Sn是数列{an}的前n项和，n≥2时点（an﹣1 ， 2an）在直线y=2x+1上，且{an}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9=________．14. （1分） (2015高三上·包头期末) 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为________．15. （1分） (2016高二下·长安期中) 设变量x，y满足，则变量z=3x+y的最小值为________．16. （2分）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk ，yk）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为________；第2016棵树种植点的坐标应为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (共6题；共35分)17. （5分） (2016高二上·桓台期中) 已知关于x的不等ax2﹣3x+2＞0的解集{x|x＜1或x＞b}（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：ax2﹣（ac+b）x+bx＜0．18. （5分） (2017·天津) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（13分）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．19. （5分） (2017高三下·银川模拟) 设等比数列的前项和为，已知 .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，设数列的前项和，证明： .20. （5分）如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=， cosC=．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？21. （10分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图3所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．（1）求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n∈N）的函数解析式；（2）求当天的利润不低于750元的概率．22. （5分）设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1=2，a3=a22﹣10．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}是以函数y=4sin2πx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{an﹣bn}的前n项和Sn ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (共6题；共35分) 17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
2019-2020年高二上学期期中考试数学试题 含答案(V)(可打印修改)
A．15
B．30
C．31
D．64
3．锐角中，角、所对的边长分别为、，若，则角等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在中，若 sin A : sin B : sin C 3 : 4 : 5 ，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
5．已知数列的前 n 项和，则的值为（ ）
A．80
B．40
C．20
D．10
6．在△ABC 中，若，则△ABC 的形状是( ）
A．
B．
C．
D．
高二数学试卷 邢弘引
第 II 卷
二、填空题（共 4 题，共计 20 分） 13．如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，米，并在点测得 塔顶的仰角为，则塔高 ．
14．设等比数列的前项和为，已知，则
.
15．已知在中，，，，若有两解，则的取值范围是____．
，所以，则 sin A sin B sin A sin(1200 A) 3 sin A 3 cos A 3 sin( A 300 ) ，当时，
2
2
有最大值，此时最大值为，故选 C．
考点：三角函数的性质；正弦定理．
9．B
【解析】
试题分析：因为是等差数列，又前四项之和为 20，，且最后四项之和为 60，
当时， 2 5 8
26 29 2 ．
所以，解得，．故 D 正确．
考点：数列．
13．
【解析】
试题分析：在中，由正弦定理，得 BC sin1200 10 10 3m ，在中， sin 300
AB BC tan 600 10 3 3 30m ．
考点：三角形的实际应用． 【方法点晴】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定 理、直角三角形的性质、三角函数的定义等知识的考查，着重考查了学生分析问题和解答 问题的能力，以及学生的推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中正 确的理解题意，恰当选择三角形，利用正、余弦定理求解是解答的关键． 14． 【解析】 试题分析：由等比数列的连续项和成等比的性质可知，将代入可得.故本题填. 考点：等比数列的性质
浙江省台州市七校联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学答案
又
，所以
对
成立.
而
在 上的值域为
，所以
且
…….(13 分)
又线段 与圆 无公共点，所以
对
成立，即 .
故圆 的半径 的取值范围为
……………………..(15 分)
试卷第 4 页，总 4 页
七校联盟 2019 学年第一学期期中联考高二数学参考答案
一、单选题（每题 4 分，共计 40 分）
1．B 2．D 3．C 4．C 5．A 6. D 7．D 8．D 9．A 10．C
二、填空题（11—14 每空 3 分，15—17 每空 4 分，共计 36 分）
11．（-1,2）; 1
12． (1,1,5) ; 3 3 13． 1 ； x 2y 2 0
， ，
.
当直线 不垂直于 轴时，设直线方程为
，则
，解得
，
综上，直线 的方程为 或 （3）直线 的方程为
，设
……………(7 分)
，
，
因为点 是线段 的中点，所以
，又 ， 都在半径为 的圆 上，所以
……….(9 分)
因为关于 ， 的方程组有解，即以 为圆心， 为半径的圆与以 为半径的圆有公共点，所以
为圆心， ，………(11 分)
试卷第 2 页，总 4 页
21:
试卷第 3 页，总 4 页
22．（1）
（2） 或
（3）
（1）
…………(3 分)
（2）线段 的垂直平分线方程为 ，线段 的垂直平分线方程为
所以
外接圆圆心
，半径
，圆 的方程为
设圆心 到直线 的距离为 ，因为直线 被圆 截得的弦长为 2，所以
当直线 垂直于 轴时，显然符合题意，即 为所求；…………..(5 分)
浙江省台州市椒江区第一中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题
绝密★启用前 浙江省台州市椒江区第一中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．点A （1，2）到直线l ：3x ﹣4y ﹣1＝0的距离为（ ） A ．45 B ．65 C ．4 D ．6 2．设m ，n 是空间中不同的直线，α，β是空间中不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．α∥β，m ⊂α，则m ∥βB ．m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥nC ．m ∥n ，n ⊂α，则m ∥αD ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥β 3．过两点()4,A y ，()2,3B -的直线的倾斜角为45︒，则y =（ ）． A ． B C ．-1 D ．1 4．将半径为1，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A ． B ．81 C ．27 D ．3 5．下列说法中正确的是（ ） A ．若一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B ．若一个命题的否命题为真，则它的逆否命题一定为真 2222○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… D ．“若a 2+b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 不全为0，则a 2+b 2≠0” 6．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( ) A ． B ． C ． D ．7．定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”，过函数29y x =-图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45︒的直线条数为 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．138．异面直线a 、b 和平面α、β满足a ⊂α，b ⊂β，α∩β=l ，则l 与a 、b 的位置关系一定是（ ）A ．l 与a 、b 都相交B ．l 与a 、b 中至少一条平行C ．l 与a 、b 中至多一条相交D ．l 与a 、b 中至少一条相交9．已知四棱锥P ﹣ABCD ，记AP 与BC 所成的角为θ1，AP 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角P ﹣AB ﹣C 为θ3，则下面大小关系正确的是（ ）A ．θ1≤θ2B ．θ1≤θ3C ．θ2≤θ3D ．θ1≥θ310．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（ ）A ．53B ．23 C ．56D ．52第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 评卷人 得分 二、填空题 11．在空间直角坐标系中，已知点(1,0,2)A 与点(1,3,1)B -，则||AB =_____，若在z 轴上有一点M 满足|MA|=|MB|，则点M 坐标为_____． 12．已知直线l 1：（m ﹣1）x +6y +2＝0，l 2：x +my +1＝0，m 为常数，若l 1⊥l 2，则m 的值为_____，若l 1∥l 2，则m 的值为_____． 13．如图，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ＝PB ＝PC ＝1，∠APB ＝∠BPC ＝60°，∠APC ＝90°，若G 为△ABC 的重心，则|PG |长为_____，异面直线P A 与BC 所成角的余弦值为_____． 14．若圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与圆C ：x 2+y 2+ax +by ﹣7＝0（a ，b ，r 为常数），关于直线x ﹣y +2＝0对称，则a 的值为_____，r 的值为_____． 15．如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的侧棱长为4，侧面的顶角均30°，过点A 作一截面与PB 、PC 、PD 分别相交于E 、F 、G ，则四边形AEFG 周长的最小值为_____． 16．已知实数x 、y 满足（x ﹣2）2+（y +3）2＝1，则|3x +4y ﹣4|的最小值为_____． 17．如图，正四面体ABCD 中，CD ∥平面α，点E 在AC 上，且AE ＝2EC ，若四面体绕CD 旋转，则直线BE 在平面α内的投影与CD 所成角的余弦值的取值范围是_____．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 评卷人 得分 三、解答题18．已知某几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示．（1）求该几何体的侧视图的面积；（2）求该几何体的体积．19．已知p ：关于x ，y 的方程C ：x 2+y 2﹣4x +6y +m 2﹣3＝0表示圆；q ：圆x 2+y 2＝a 2（a ＞0）与直线3x +4y ﹣5m +10＝0有公共点．若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．20．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，CD ＝2，若将△BCD 沿着BD 折起至△BC 'D ，使得AD ⊥BC '．（1）求证：平面C 'BD ⊥平面ABD ；（2）求C 'D 与平面ABC '所成角的正弦值；（3）M 为BD 中点，求二面角M ﹣AC '﹣B 的余弦值．21．已知圆C 过点A (2,6),且与直线l 1: x +y －10=0相切于点B (6,4).○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… (1)求圆C 的方程； (2)过点P (6,24)的直线l 2与圆C 交于M ,N 两点,若△CMN 为直角三角形,求直线l 2的斜率； (3)在直线l 3: y =x －2上是否存在一点Q ,过点Q 向圆C 引两切线,切点为E ,F , 使△QEF 为正三角形,若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,说明理由. 22．如图，三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '，AC ＝2，BC ＝4，∠ACB ＝120°，∠ACC '＝90°，且平面AB 'C ⊥平面ABC ，二面角A '﹣AC ﹣B '为30°，E 、F 分别为A 'C 、B 'C '的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 'C ； （2）求B '到平面ABC 的距离； （3）求二面角A ﹣BB '﹣C '的余弦值．参考答案1．B【解析】【分析】利用点到直线的距离公式直接求解即可.【详解】点()1,2A 到直线3410l x y ：--=的距离为65d ==. 故选：B.【点睛】 本题考查了点到直线距离公式的直接应用，属于基础题.2．A【解析】【分析】根据线面平行，和面面平行的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【详解】A ．根据面面平行的性质得若α∥β，m ⊂α，则m ∥β成立，故A 正确．B ．两个平行平面内的两条直线位置关系不确定，即m ∥n 不一定正确，故B 错误．C ．根据线面平行的判定定理，必须要求m α⊄，故C 错误．D ．根据面面平行的判定定理，则两条直线必须是相交直线，故D 错误．故选：A ．【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的应用，结合相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键，比较基础．3．C【解析】由题意知直线AB 的斜率为tan 451ABk =︒=， 所以331422y y ++==-， 解得1y =-．选C ．4．B【解析】【分析】利用扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出求出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【详解】设圆锥的底面半径为r ，则223r ππ=， 13r ∴=，3=，∴圆锥的体积1139381V π=⋅⋅⋅=，故选B ． 【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图的应用，以及弧长公式的应用、圆锥的几何性质的应用，圆锥的体积公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题． 5．D【解析】【分析】利用四种命题的关系和命题的改写方法逐个选项判断即可.【详解】四种命题中，原命题与逆否命题、否命题与逆命题均互为逆否命题，具有相同的真假性，所以A 、B 选项错误；根据命题的改写规则，命题“若220a b +=，则a 、b 全为0”的逆否命题为“若a 、b 不全为0，则220a b +≠”.故选：D.【点睛】本题考查了命题的改写及四种命题的关系，属于基础题.6．B试题分析：因为钢球与棱锥的四个面都接触，所以钢球与棱锥的棱相离，而与棱对应的高相切．所以经过棱锥的一条侧棱和高所作的截面中，球的截面圆与两条高相切，而与棱相离，且与棱锥的高相交，故选B考点：本题主要考查简单几何体的特征及三视图．点评：简单题，理解好三视图的意义．7．B【解析】如图，设曲线的次整点分别为,过点1P 倾斜角大于45°的直线有1213,PP PP ，过点2P 的有27PP , 过点3P 有36P P 、37P P ，过点4P 有45P P 、46P P 、47P P ，过点5P 有5657,P P P P ,过点6P 的有67P P ,共11条，故选B.8．D【解析】【分析】利用反证法，结合直线平行的性质定理进行判断即可．【详解】若a 、b 与l 都不相交，即//a l ，//b l ，则必有//a b 与a 、b 是异面直线矛盾，即l 与a 、b 中至少一条相交，故选：D ．【点睛】本题主要考查空间直线位置关系的判断，利用反证法，结合平行公理是解决本题的关键，比9．C【解析】【分析】证明“线面角最小，二面角最大 ”即可得解.【详解】如图，CO ⊥面ABO ，BC AB ⊥，OD BD ⊥，易证BD CD ⊥，可得cos BO CBO BC ∠=，cos BD DBO BO ∠=，cos BD CBD BC∠=， 所以cos cos cos CBD CBO DBO ∠=∠⋅∠，可得平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是该斜线与平面内所有直线所成的角的最小值；CBO ∠为二面角，由余弦定理易得CBO CAO ∠>∠，可知在锐二面角上，一个半平面上的任意一条直线与另一个半平面所成的线面角中，二面角最大.由以上结论可知，当二面角P AB C --为锐角时，所以23θθ≤，当二面角P AB C --为直角或钝角时，2θ为锐角或直角，所以23θθ≤.故选：C.【点睛】本题考查了线线角、线面角及二面角的大小关系，思维过程较复杂，属于中档题. 10．A【解析】【分析】先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解. 【详解】如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，∴(),22,MN m n n m =---u u u u r，又 ()10,0,1AA =u u u r，()1,2,0AC =-u u u r ， ∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =r，又 //MN 面11AA CC ，∴=0MN n ⋅u u u u r r即1m n +=，∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+u u u u r ，∴MN u u u u r最小值为53.故选：A. 【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题. 1110 ()0,0,3- 【解析】 【分析】利用空间两点间的距离公式直接求得AB 的值，设M （0，0，a ），则|MA|=|MB|，由此利用两点间距离公式能求出M 的坐标． 【详解】∵点()1,0,2A ，点()1,3,1B -，∴AB ==在空间直角坐标系中，z 轴上有一个点M 到点A （1，0，2）与点B （1，﹣3，1）的距离相等， 设M （0，0，a ），则|MA|=|MB|，解得a=﹣3， ∴M （0，0，﹣3）．（0，0，﹣3）． 【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 12．17-2 【解析】 【分析】根据两条直线垂直和平行分别得出m 满足的方程即可得解. 【详解】若12l l ⊥，则160m m -+=即17m =； 若12l l //，则()16m m -=，解得3m =或2-， 当=3m 时两直线为同一直线，故2m =-. 故答案为：17，2-. 【点睛】本题考查了利用直线平行和垂直求参数的值，属于基础题.13 0 【解析】 【分析】根据题意做出线段AC 的中点D ，连接PD 、BD ，利用22=PG PD DG +即可得解；利用()AP BC AP PC PB ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r即可得解.【详解】由题意得=90ABC ∠o ，连接点P 和线段AC 的中点D ，连接BD ，如图：易知2=2BD PD =，则=90PDB ∠o ， 又 G 为ABC V 的重心，∴12=3GD BD =∴225PG PD DG +=； Q ()0AP BC AP PC PB AP PC AP PB ⋅=⋅-=⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r, ∴cos ,0AP BC =u u u r u u u r.50. 【点睛】本题考查了构造图形求线段的长以及空间向量的应用，属于中档题. 14．4 15【解析】 【分析】利用圆关于直线对称的性质列出方程即可得解. 【详解】易知圆O 圆心为()0,0，半径为r ，圆C 圆心为,22a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭意得20441a bb a r ⎧-++=⎪⎪⎪=-⎨=解得4a r =⎧⎪⎨=⎪⎩故答案为：4【点睛】本题考查了圆的对称问题，考查了计算能力，属于基础题. 15．【解析】 【分析】根据题意做出四棱锥的侧面展开图即可得解. 【详解】由题意可知四边形周长最小值()minAEFG C ==【点睛】本题考查了棱锥侧面展开图的应用，属于基础题. 16．5 【解析】 【分析】把问题转化成直线3440x y z +--=与圆相切即可得解. 【详解】易知圆的圆心为()2,3-，半径为1.令344z x y =+-则直线方程为3440x y z +--=，当直线与圆相切时z1=解得5z =-或15-，所以155-≤≤-z 即min 5z =.故答案为：5.【点睛】本题考查了利用直线与圆的位置关系求最值，考查了转化化归思想，属于基础题.17．7,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】建立坐标系，表示出旋转之后向量()166,sin,cos023B Eθθθπ⎛⎫''=<<⎪⎪⎝⎭u u u u r，再表示出投影向量()16,sin,0023B Eθθπ⎛⎫''''=<<⎪⎪⎝⎭u u u u u r即可得解.【详解】如图建系，设棱长为1，易知6A⎛⎝⎭，30,B⎛⎫⎪⎪⎝⎭，132C⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()1,0,0DC=u u u r，又2AE EC=，∴2AE EC=u u u r u u u r则136,399E⎛⎝⎭，∴1436,399BE⎛=⎝⎭u u u r，BEu u u r绕着CD旋转可看做是绕着x轴旋转，旋转后的向量()166,sin,02333B Eθθθπ⎛⎫''=<<⎪⎪⎝⎭u u u u r，B E''u u u u r在平面α的投影即为其在xOy平面上的投影()16,,00233B Eθθπ⎛⎫''''=<<⎪⎪⎝⎭u u u u u r，∴2173cos ,,1712sin 93B E DC θ⎡⎤''''=∈⎢⎥⎣⎦+u u u u u r u u u r 故答案为：7,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归的思想和计算能力，属于难题. 18．（1）27．（2）67 【解析】 【分析】（1）根据视图求出三角形的底和高即可得解； （2）根据视图求出底面积和高即可得解. 【详解】（1）由三视图可知该几何体的侧视图是高为4，底为22437-=的直角三角形， 所以侧视图的面积为1=47272S ⨯⨯=侧视图． （2）由三视图可知该几何体是四棱锥，如图所示；根据三视图中数据，计算该四棱锥的体积为()11V =2+4676732⨯⨯⨯⨯=四棱锥．【点睛】本题考查了三视图的识别和锥体的体积计算，属于基础题. 19．(),2-∞． 【解析】 【分析】转化条件为p ：44m <<-，q ：22a m a ≤≤+-，再根据p 是q 的必要充分条件即可得解. 【详解】∵p ：关于x ，y 的方程2224630C x y x y m +++：--=表示圆；∴()()2222316x y m ++--=表示圆，即2160m ->，∴44m <<-； ∵q ：圆2220x y a a +>=（）与直线345100x y m +-+=有公共点．∴510m d a -+=≤，解得22a m a ≤≤+-；∵p 是q 的必要不充分条件， ∴2424a a ->-⎧⎨+<⎩，解得2a <；故实数a 的取值范围是(),2-∞． 【点睛】本题考查了圆的解析式、直线与圆的位置关系、条件之间的关系，属于中档题. 20．（1）见解析（2）12；（3）5． 【解析】 【分析】（1）先证明BC BD '⊥、BC AD '⊥，再利用面面垂直的判定即可得证； （2）先证明AD ⊥面BAC '，再求sin DC A '∠即可得解； （3）建立空间坐标系，分别求出两面的法向量即可得解. 【详解】（1）过点B 作DC 的垂线交DC 于点E ，得1CE DE ==，1BE =，∴BC =又1AB AD ==，∴BD =，∴BC BD ⊥，∴BC BD '⊥，又BC AD '⊥，且AD BD D =I ，AD BD ⊂、平面ABD ，∴BC '⊥平面ABD ，又BC '⊂平面C BD '，∴平面C BD '⊥平面ABD ； （2）由（1）BC '⊥平面ABD ，可知：平面C BA '⊥平面ABD ， 又AD BA ⊥，平面C BA '⋂平面ABD AB =，∴AD⊥面BAC'，∴C D'与平面C BA'所成角为DC A'∠，由（1）BC'⊥平面ABD可知：BC AB'⊥，∴3AC'=，∴2DC'=，∴1sin'2ADDC ADC'∠==，即C D'与平面BAC'所成角的正弦值为12；（3）以A为原点，AD、AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）BC ABD'⊥平面可知，()0,0,0A，()0,1,0B，(2C'，()1,0,0D，又M为BD的中点，∴11,,022M⎛⎫⎪⎝⎭，∴(02AC'=u u u u r，，，1122AM⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r，，，()010AB=u u u r，，，∴平面C MA'的一个法向量12212n⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u r，，平面C BA'的一个法向量()220n=-u u r，，，∴121212105522n ncos n nn n⋅===⨯u r u u ru r u u ru r u u r，，由图可知二面角M AC B'﹣﹣的大小为锐角，∴二面角M AC B'﹣﹣的余弦值为105．【点睛】本题考查了面面垂直的判定、线面角的求法、二面角余弦值的求法，考查了运算能力，属于中档题.21．（1）()()221150x y -++=；（2）直线的斜率为125或者不存在；（3）存在，()11,9或()9,11--.【解析】 【分析】（1）设圆心坐标(,)C a b ，半径为,(0)r r >，通过垂直关系和半径关系求出未知数即可；（2）若△CMN 为直角三角形,则圆心到直线的距离为2r ，即可求解斜率； （3）使△QEF 为正三角形，即,23EQF QC r π∠==，求出点Q 的坐标.【详解】（1）设圆心坐标(,)C a b ，半径为,(0)r r >，圆C 过点A (2,6),且与直线l 1: x +y －10=0相切于点B (6,4)，所以416CB b k a -⎧==⎪-=即28412b a a b =-⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，所以r ==所以圆C 的方程：()()221150x y -++=；（2）过点P (6,24)的直线l 2与圆C 交于M ,N 两点,若△CMN 为直角三角形,CM CN =，所以△CMN 为等腰直角三角形，且2MCN π∠=，所以圆心(1,1)C -到直线l 25r =， 当直线l 2的斜率不存在时，直线方程6x =， 圆心(1,1)C -到直线l 2的距离为5，符合题意； 当直线l 2的斜率存在时，设斜率为k ，直线方程为24(6)y k x -=-，即6240kx y k --+=圆心(1,1)C -到直线l 25=，5=1=，解得125k =， 直线的斜率为125或者不存在； （3）若直线l 3: y =x －2上存在一点Q ,过点Q 向圆C 引两切线,切点为E ,F , 使△QEF 为正三角形, 即3EQF π∠=，在Rt ECQ ∆中，,62EQC QEC ππ∠=∠=2QC r ==设(,2),Q a a QC -==2(1)100a -= 解得9a =-或11a =所以点Q 的坐标为()11,9或()9,11--. 【点睛】此题考查直线和圆的位置关系，其中涉及等价转化思想，将直角三角形关系转化为圆心到直线距离关系求解，将正三角形关系转化成点到圆心距离关系求解． 22．（1）见解析（2）6（3）65． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定，求得//EF AB '后即可得解； （2）过B '作B H '⊥平面ABC ,转化条件后即可得解； （3）建立空间坐标系，求出两个面的法向量即可得解. 【详解】（1）证明：∵三棱柱ABC A B C '''﹣中，四边形ACC A ''是平行四边形，AC A C E '⋂'=，∴E 是AC '的中点，∵F 是B C ''的中点，∴//EF AB '， ∵EF ⊄平面AB C ''，AB '⊂平面AB C ''， ∴//EF 平面AB C ''．（2）过B '作B H '⊥平面ABC ，交AC 延长线于点H ， 过点H 作CC '的平行线HM ，交A C ''于点M ，连结HB ，则MHB'∠是二面角A AC B''--的平面角，∵2AC=,4BC=,120ACB∠=︒，'90ACC∠︒=，且平面AB C'⊥平面ABC，二面角A AC B''--为30°,∴30MHB BB H''∠∠︒==，60BCH∠︒=，∴30HBC∠︒=，90BHC∠=︒，∴122CH BC==，∴23BH=，∴B'到平面ABC的距离236B H'==．（3）以H为原点，HA为x轴，HB为y轴，HB'为z轴，建立空间直角坐标系，()4,0,0A，()0,23,0B，()0,0,6B'，()2,23,6C'-，()4,23,0BA=-u u u r，()0,23,6BB'=-u u u r，()2,43,6BC'=-u u u u r，设平面ABB'的法向量(),,n x y z=r，则4302360n BA xn BB z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+'=⎪⎩u u u vru u u vr，取3x233,n=⎭r，设平面C BB''的法向量(),,m x y z'''=r，则3602360m BB y zm BC x y z''''⎧⋅=''-'+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u vru u u u vr，取3x'=33,1,m=⎭r，设二面角A BB C''﹣﹣的平面角为θ．则17cosm nm nθ⋅===⋅r rr r．∴二面角A BB C''﹣﹣【点睛】本题考查了线面平行的判定、点到平面的距离、利用空间向量求二面角，考查了计算能力，属于中档题.。
2019-2020学年浙江省台州市市第一中学高二数学理期末试题含解析
2019-2020学年浙江省台州市市第一中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，，，则a+b的最小值为A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：B2. 用反证法证明命题：“若a,b∈N，ab能被3整除，那么a,b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a、b都能被3整除 B．a、b都不能被3整除C．a、b不都能被3整除 D．a不能被3整除参考答案：B略3. 函数在上的最大值和最小值分别是（）A． B． C．D．参考答案：B4. 等比数列前项和为54，前项和为60，则前项和为（）A．B．C．D．参考答案：D略5. 设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是( )A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2]参考答案：D略6. 已知函数在区间(－∞,0)内单调递增，且，若，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据函数为偶函数化简，然后根据单调性求得的大小.【详解】由于，所以函数为偶函数，且在上递减.，注意到，所以根据单调性有，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7. 复数（）A．B．C．D．参考答案：C8. f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4参考答案：C【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解．【解答】解：f'（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去），当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，∴当x=0时，f（x）取得最大值为f（0）=2．故选C9. 设集合M＝{x|x＜2}，集合N＝{x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（）A. M∪N＝RB. M∪?R N＝RC. N∪?R M＝RD. M∩N＝M参考答案：B试题分析：根据已知条件，集合M={x∣x<2},集合N={x∣0<x<1}，那么结合并集的定义可知M∪N=｛x|x<2｝，因此A错误。
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2019学年台州一中高二上期中
一、选择题：每小题4分，共40分
1. 点()1,2A 到直线:3410l x y --=的距离为（ ）
A ．45
B ．65
C ．4
D ．6
2. 设m ，n 是空间中不同的直线，α，β是空间中不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．αβ∥，m α⊂，则m β∥ B ．m α⊂，n β⊂，αβ∥，则m n ∥
C ．m n ∥，n α⊂，则m α∥
D ．m α⊂，n β⊂，m β∥，n α∥，则αβ∥
3. 过两点()4,A y ，()2,3B -的直线倾斜角为45︒，则y 的值为（ ）
A
． B
C ．1-
D ．1
4. 将半径为1，圆心角为
23
π
的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A
． B
C
D
5. 下列说法中正确的是（ ） A ．若一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B ．若一个命题的否命题为真，则它的逆否命题一定为真
C ．“若220a b +=，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则220a b +≠”
D ．“若220a b +=，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 不全为0，则220a b +≠”
6. 在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球与棱锥的四个面都相切，过正三棱锥的一条侧棱作
截面，则正确的截面图形是（ ）
7.
在平面直角坐标系内，纵坐标为整数的点称为“次整点”，过曲线y =线，则倾斜角大于45︒的直线条数为（ ）
D.
C.
B.A.
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
8. 异面直线a 、b 和平面α、β满足a α⊂，b β⊂，l αβ=，则l 与a 、b 的位置关系一定是（ ）
A ．l 与a 、b 都相交
B ．l 与a 、b 中至少一条平行
C ．l 与a 、b 中至多一条相交
D ．l 与a 、b 中至少一条相交
9. 已知四棱锥P ABCD -，记AP 与BC 所成的角为1θ，AP 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角
P AB C --为3θ，则下面大小关系正确的是（ ）
A ．12θθ≤
B ．13θθ≤
C ．23θθ≤
D ．13θθ≥
10. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2DC =，11DA DD ==，点M 、N 分别为1A D 和1CD 上的动点，
若11MN AAC C ∥平面，则MN 的最小值为（ ）
A
B ．
23
C
D
二、填空题：11-14每空3分，15-17每空4分，共36分
11. 在空间直角坐标系中，已知点()1,0,2A 与点()1,3,1B -，则AB = ，若在z 轴上有一点M 满
足MA MB =，则点M 的坐标为 ．
12. 已知直线()1:1620l m x y -++=，2:10l x my ++=，m 为常数，若12l l ⊥，则m 的值为 ，
若12l l ∥，则m 的值为 ．
13. 如图，P 为ABC △所在平面外一点，1PA PB PC ===，60APB BPC ==︒∠∠，90APC =︒∠，若G
为ABC △的重心，则PG 长为 ，异面直线P A 与BC 所成角的余弦值为 ．
M N
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B A
14. 若圆()222:0O x y r r +=>与圆22:70C x y ax by +++-=（a ，b ，r 为常数），关于直线20x y -+=对
称，则a 的值为 ，r 的值为 ．
15. 如图，正四棱锥P ABCD -的侧棱长为4，侧面的顶角均30︒，过点A 作一截面与PB 、PC 、PD 分别
相交于E 、F 、G ，则四边形AEFG 周长的最小值为 ．
16. 已知实数x 、y 满足()()2
2
231x y -++=，则344x y +-的最小值为 ．
17. 如图，正四面体ABCD 中，CD α∥平面，点E 在AC 上，且2AE EC =，若四面体绕CD 旋转，则直
线BE 在平面α内的投影与CD 所成角的余弦值的取值范围是 ．
三、解答题：5小题，共74分
18. （本小题满分14分）已知某几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示．
G
B
C
A
P
D
G
E
F
C
B
P
E
D
C
B
A
α
（1）求该几何体的侧视图的面积； （2）求该几何体的体积．
19. （本小题满分15分）已知p ：关于x ，y 的方程222:4630C x y x y m +-++-=表示圆；q ：圆
()2220x y a a +=>与直线345100x y m +-+=有公共点．若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取
值范围．
20. （本小题满分15分）如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，2CD =，
若将BCD △沿着BD 折起至BC D '△，使得AD BC '⊥． （1）求证：平面C BD '⊥平面ABD ； （2）求C D '与平面ABC '所成角的正弦值；
俯视图
侧视图
正视图
4
4
332
4
（3）M 为BD 中点，求二面角M AC B '--的余弦值．
21. （本小题满分15分）已知圆C 过点()2,6A ，且与直线1:100l x y +-=相切于点()6,4B ．
（1）求圆C 的方程；
（2）过点()6,24P 的直线2l 与圆C 交于M ，N 两点，若CMN △为直角三角形，求直线2l 的方程； （3）在直线3:2l y x =-上是否存在一点Q ，过Q 向圆C 引两条切线，切点为E ，F ，使QEF △为正三角形，若存在，求出点Q 坐标，若不存在，说明理由．
D
C
B
A M
C'
D
B
A
22. （本小题满分15分）如图，三棱柱ABC A B C '''-，2AC =，4BC =，120ACB ∠=︒，90ACC '∠=︒，
且平面AB C '⊥平面ABC ，二面角A AC B ''--为30︒，E 、F 分别为A C '、B C ''的中点． （1）求证：EF ∥平面AB C '； （2）求B '到平面ABC 的距离； （3）求二面角A BB C ''--的余弦值．
F
E
C'B'
A'
C
B
A。