二次函数与三角形综合题型
第八讲 二次函数与几何图形的综合运用1(含答案)
第八讲 二次函数与几何图形的运用一、知识梳理二次函数与三角形的综合运用：1、求面积及最值2、与三角形的综合运用3、与相似三角形的综合运用4、与四边形的综合运用二、例题例1：如图，已知抛物线y=﹣x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．变式 1 如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0). （1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标.例2、如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．例3：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．例4：已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B 两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．例5、如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．（1）写出点D的坐标．（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c （a≠0）的图象过点A．①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x ﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H 作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．三、课堂练习1、如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ( )A．y＝32x2 B．y＝3x2 C．y＝23x2 D．y＝33x22、已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m﹣1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为．3、直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为．4、如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ． （1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A 、E 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M 、N 的坐标．六、课后作业1、已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ．2、a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b c （用“＞”或“＜”号填空）3、已知二次函数n mx x y ++=2的图像经过点()1,3-P ，对称轴是经过()0,1-且平行于y轴的直线。
中考数学压轴题：二次函数综合、相似三角形存在性问题
中考数学压轴题：二次函数综合、相似三角形存在性问题1．如图，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若C1C2=65，求m的值．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+√3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．3．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．（1）求该抛物线的解析式；（2）判断△BCM的形状，并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；（3）点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP 的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）D是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBD与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P 运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；9．如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点A （3，1），点C （0，4），顶点为点M ，过点A 作AB ∥x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；（2）点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点P 的坐标．10．如图，抛物线y ＝ax 2+bx 经过两点A （﹣1，1），B （2，2）．过点B 作BC ∥x 轴，交抛物线于点C ，交y 轴于点D ．（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C 的坐标；（2）若抛物线上存在点M ，使得△BCM 的面积为72，求出点M 的坐标； （3）连接OA 、OB 、OC 、AC ，在坐标平面内，求使得△AOC 与△OBN 相似（边OA 与边OB 对应）的点N 的坐标．11．如图1，抛物线y＝ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；（2）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数中常见的几种综合题型
二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。
1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。
2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。
1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。
①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。
二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。
1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。
三角函数与二次函数综合专题(含解析)
三角函数与二次函数综合卷21．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF=∠BCE；②AF+BC＞CF；③S△CEF=S△EAF+S△CBE；④若=，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）2．已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C=60°，AB=1，BC=33+，CD=23. （1）求tan∠ABD的值；（2）求AD的长.DCBA3．海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE＝10海里，DE＝30海里，且DE⊥EC，cos∠D＝35.（1）求小岛两端A、B的距离；（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值.EABFDC4．如图，在△ABC中，90ACB∠=，AC BC=，点P是△ABC一点，且135APB APC∠=∠=．AB C P（1）求证：△CPA ∽△APB ；（2）试求tan PCB ∠的值．5．如图，在梯形ABCD 中，︒=∠=∠90B A ，=AB 25，点E 在AB 上，︒=∠45AED ，6=DE ,7=CE .（1）求AE 的长；（2）求BCE ∠sin 的值．6．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=23，AD=4．（1）求BC 的长；（2）求tan ∠DAE 的值．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数xk y =在第一象限的图象分别交OA 、AB 于点C 和点D ，连结OD ，若4=∆BOD S ，(1)求反比例函数解析式；(2)求C 点坐标．8．如图,在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，22AB =6BD =并且12ABD CBD ∠=∠.求AC 的长.D ABC9．下图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下右图）.（10分）（1）求抛物线的关系式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离.10．已知二次函数的图象的一部分如图所示，求：（1）这个二次函数关系式，（2）求图象与x轴的另一个交点，（3）看图回答，当x取何值时y ﹤0.（12分）11．如图，直线l经过A（3,0），B（0,3）两点与二次函数y＝x2＋1的图象在第一象限相交于点C.（1）求△AOC的面积；（2）求二次函数图象的顶点D与点B，C构成的三角形的面积．12．抛物线y=－x2＋（m－1）x＋m与y轴交于点（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）画出这条抛物线大致图象；（4）根据图象回答：①当x取什么值时，y＞0 ？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？13．立定跳远时，以小明起跳时重心所在竖直方向为y轴（假设起跳时重心与起跳点在同一竖直方向上），地平线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），则小明此跳重心所走过的路径是一条形如y=-0.2（x-1）2+0.7的抛物线，在最后落地时重心离地面0.3m（假如落地时重心与脚后跟在同一竖直方向上）．（1）小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面多少米？此时他离起跳点的水平距离有多少米？（2）小明此跳在起跳时重心离地面有多高？（3）小明这一跳能得满分吗（2.40m为满分）？参考答案1．①③④【解析】试题分析：∵EF⊥EC，∴∠AEF+∠BEC=90°，∵∠BEC+∠BCE=90°，∴∠AEF=∠BCE，故①正确；又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF∽△BCE，∴ECEFBEAF=，∵点E是AB的中点，∴AE=BE，∴ECEFAEAF=，又∵∠A=∠CEF=90°，∴△AEF∽△ECF，∴∠AFE=∠EFC，过点E作EH⊥FC于H，则AE=DH，在Rt△AEF和Rt△HEF中，⎩⎨⎧==EHAEEFEF，∴Rt△AEF≌Rt△HEF（HL），∴AF=FH，同理可得△BCE≌△HCE，∴BC=CH，∴AF+BC=CF，故②错误；∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，∴S△CEF=S△EAF+S△CBE，故③正确；若23=CDBC，则tan∠BCE=323222121=⨯====CDBCCDBCABBCBEBC，∴∠BEC=60°，∴∠BCE=30°∴∠DCF=∠ECF=30°，又∵∠D=∠CEF, CF=CF∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．考点：1、矩形的性质；2、全等三角形；3、三角函数；4、相似三角形2．（1）1；（2【解析】试题分析：（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据∠C=60°求出CE、DE，再求出BE，从而得到DE=BE，然后求出∠EDB=∠EBD=45°，再求出∠ABD=45°，然后根据特殊角的三角函数值解答.（2）过点A作AF⊥BD于点F，求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式计算即可得解．⊥于点E.试题解析：（1）如图，作DE BC∵在Rt△CDE 中，∠C=60°，∵∴DE BE 3.==∴在Rt△BDE 中，∠EDB= ∠EBD=45º.∵AB⊥BC，∠ABC=90º，∴∠ABD=∠ABC-∠EBD=45º.∴tan∠ABD=1.（2）如图，作AF BD⊥于点F.在Rt△ABF 中，∠ABF=45º, AB=1，∵在Rt△BDE 中，DE BE3==，∴在Rt△AFD考点：1.勾股定理；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值．3．(1) 16.7（海里）．【解析】试题分析：（1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE 的长，AB=BE-AE即可求解；（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2．在Rt △CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值．（1）在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，∴cos∠∴CE=40（海里），CD=50（海里）．∵B点是CD的中点，∴（海里）∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7（海里）．答：小岛两端A、B的距离为16.7海里．（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2．在Rt△CFE中，∠CFE=90°，∴CF2+EF2=CE2，即625-x2+（25+x）2=1600．解得x=7．∴sin∠考点: 解直角三角形的应用．4．（1）证明见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）应用△ABC中角的关系求出∠PAC=∠PBA和∠APB=∠APC即可证得；（2）由等腰直角三角形，相似三角形的性质和锐角三角函数定义即可求得.试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90º,AC=BC∴∠BAC=45º，即∠PAC+∠PAB=45º，又在△APB中，∠APB=135º，∴∠PBA+∠PAB=45º，∴∠PAC=∠PBA，又∠APB=∠APC，∴△CPA ∽△APB.（2）∵△ABC 是等腰直角三角形，又∵△CPA ∽△APB ，令CP=k ，则，PB=2k ，又在△BCP 中，∠BPC=360º-∠APC-∠BPC=90º，考点：1. 等腰直角三角形的性质；2.相似三角形的判定和性质；3.锐角三角函数定义.5．（1（2 【解析】试题分析：（1）在DAE Rt ∆中，∠A=90°，∠AED=45°，DE=6，根据这些条件利用余弦函数求AE ；（2）在BCE Rt ∆中，EC=7，再利用（1）的解答结果，根据正弦函数来解答sin BCE ∠的值． 中，︒=∠90A ,︒=∠45AED ,6=DE ∴AED DE AE ∠⨯=cos =︒⨯45cos 6=；（2）∵AE AB BE -=在BCE Rt ∆中，7=EC , 考点：解直角三角形．6．（1（2【解析】 试题分析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt △ADC ，得出DC=4；解Rt △ADB ，得出AB=6，根据勾股定理求出BC=BD+DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE 的值，则DE=CE-CD ，然后在Rt △ADE 中根据正切函数的定义即可求解．试题解析：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC 中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4，∴DC=AD=4．在△ADB 中，∵∠ADB=90°，AD=4，∴∴∴（2）∵AE 是BC 边上的中线，∴∴∴tan ∠ 考点: 解直角三角形.7．（1（2）（2，4）． 【解析】试题分析：(1)由4=∆BOD S ，且OB=4，可求BD 的长，因此D 点坐标可求，从而确定反比例函数解析式.（2）过点C 作CE ⊥OB 于点E ．在AOB Rt ∆中，利用锐角三角函数可求出CE 和OE 的长，从而求出C 点坐标．试题解析：（1）设D （x ，y ），则有OB=x ，BD=y ．由 4=∆BOD S ，得xy=8．k=xy ，∴k=8， （2）过点C 作CE ⊥OB 于点E ．在AOB Rt ∆中，︒=∠90ABO ，4=OB ，8=AB ，∴tan ∠AOB 2==BO AB ， ∴2=EOCE ，CE=2EO ， 设C 点坐标为（a ，2a ）， 把点C （a ，2a ）代入x y 8=中，得 822=a ，解得2±=a ，∵点C 在第一象限，∴a>0，取a=2．∴C 点坐标为（2，4）．考点: 反比例函数综合题．8．42.【解析】试题分析：在Rt △ABD 中，tan ∠ABD=33AD BD =,即可求出∠ABD=30°，从而判断△ABC 为直角三角形，且∠C=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出AC 的长. 试题解析：在Rt △ABD 中，∠BDA=90°，AB=22，BD=6∴tan ∠ABD=33AD BD =, ∴∠ABD=30°，∠A=60°∵∠ABD=12∠CBD ∴∠CBD=60°，∠ABC=90°在Rt △ABD 中，42cos AB AC A== 考点: 解直角三角形． 9．（1）y= （x-5）2 ＋5（0≤x ≤10）. （2）两景观灯间的距离为5米.试题分析：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y 轴交点坐标是（0，1） 设抛物线的解析式是y=A （x ﹣5）2+5把（0，1）代入y=A （x ﹣5）2+5得A=﹣∴y=﹣（x ﹣5）2+5（0≤x ≤10）；（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4∴4=﹣（x ﹣5）2+5 ∴（x ﹣5）2=1∴x 1=，x 2= ∴两景观灯间的距离为﹣=5米考点：二次函数的应用10．（1）二次函数关系式为y=2x 2 -4x-6；（2）与x 轴的另一个交点是（-1，0），（3）-1﹤x ﹤3【解析】试题分析：（1）由图象可知，抛物线顶点为（1，-8）所以可设二次函数为y=A （x-1）2-8，则该二次函数过（3,0）这个点所以4A-8=0；即A=2所以二次函数关系式为：y=2（x-1）2-8= y=2x 2 -4x-6;（2）当y=0时， 2x 2 -4x-6=0所以（x-3）（x+1）=0；得x=3或者x=-1所以图像与x 轴的另一个交点为（-1,0）；（3）根据图象可知：当-1＜x ＜3时，y ＜0考点：二次函数的图象及性质11．（1）3；（2）1【解析】试题分析：（1）由A （3,0），B （0,3）两点可求出一次函数的解析式为y ＝－x ＋3.联立⎩⎨⎧+=+-=132x y x y 并根据图中点C 的位置，得C 点坐标为（1,2）．∴S △AOC ＝12·|OA|·|y C |＝12×3×2＝3. （2）二次函数y ＝x 2＋1的顶点坐标为D （0,1）． ∴S △BCD ＝12·|BD|·|x C |＝12×|3－1|×1＝1. 考点：1.函数图象的交点；2.二次函数性质12．（1）抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3；（2）抛物线与x 轴的交点坐标（-1，0），（3，0）；（3）详见解析；（4）①当-1＜x ＜3时，y ＞0；②当x ＞1时，y 的值随x 的增大而减小．试题分析：（1）将（0，3）代入y=-x2+（m-1）x+m求得m，即可得出抛物线的解析式；（2）令y=0，求得与x轴的交点坐标；令x=0，求得与y轴的交点坐标；（3）得出对称轴，顶点坐标，画出图象即可；（4）当y＞0时，即图象在一、二象限的部分；当y＜0时，即图象在一、二象限的部分；在对称轴的右侧，y的值随x的增大而减小．试题解析：（1）∵抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点，∴m=3，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）令y=0，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴抛物线与x轴的交点坐标（-1，0），（3，0）；令x=0，得y=3，∴抛物线与y轴的交点坐标（0，3）；（3）对称轴为x=1，顶点坐标（1，4），图象如图，（4）如图，①当-1＜x＜3时，y＞0；当x＜-1或x＞3时，y＜0；②当x＞1时，y的值随x的增大而减小．考点：1．抛物线与x轴的交点；2．二次函数的图象；3．待定系数法求二次函数解析式．13．（1）小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面0.7米，此时他离起跳点的水平距离有1米；（2）小明此跳在起跳时重心离地面有0.5米高；（3）小明这一跳能得满分；【解析】试题分析：（1）由解析式即可得到；（2）在解析式中令x=0,则可得到小明在起跳时重心离地面有高度；（3）在解析式中令y=0，解方程即可得到；试题解析：（1）由解析式y=-0.2（x-1）2+0.7可知抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，0.7），所以小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面0.7米，此时他离起跳点的水平距离有1米；（2）令x=0,则y=-0.2（x-1）2+0.7=-0.2+0.7=0.5，即小明此跳在起跳时重心离地面有0.5米高；（3）令y=0，则有-0.2（x-1）2+0.7=0，解得x1=2142+≈2.87>2.4，x2=2142-<0（舍去）所以小明这一跳能得满分；考点：二次函数的应用。
中考数学总复习《二次函数与三角形》综合题(含答案)
二次函数与三角形一 、填空题（本大题共2小题）1.已知二次函数交轴于,两点，交轴于点，且是等腰三角形，请写出一个符合要求的二次函数的解析式 ．2.二次函数的图象的顶点为，与轴正方向从左至右依次交于,两点，与轴正方向交于点，若和均为等腰直角三角形（为坐标原点），则 ．二 、解答题（本大题共9小题）3.如图，抛物线与轴交与，两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？，若存在，求出点的坐标及的面积最大值.若没有，请说明理由.4.如图，已知二次函数的图象经过点、和原点．为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点．2y ax bx c =++x A B y C ABC △2y x bx c =++D x A B y C ABD △OBC △O 2b c +=2y x bx c =-++x ()10A ，()30B -，y C Q QAC △Q P PBC △P PBC△()33A ，()40B ，O P P x ()0D m ，OA C（1）求出二次函数的解析式；（2）当点在直线的上方时，求线段的最大值；（3）当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．5.已知二次函数22(2)4y m x mx n =--+的图象的对称轴是直线2x =，且它的最高点在直线 112y x =+上． ⑴ 求此二次函数的解析式；⑵ 若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线112y x =+上移动到M 点时，图象与x 轴恰好交于A 、B 两点，且8ABM S ∆=，求这时的二次函数的解析式．6.已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点(36)A -，并且与x 轴相交于点(10)B -，和点C ，顶点为P（1）求二次函数的解析式；（2）设D 为线段OC 上一点，满足DPC BAC ∠=∠，求点D 的坐标P OA PC m ＞0P PCO △P7.如图，已知二次函数图象的顶点为原点，直线的图象与该二次函数的图象交于点，直线与轴的交点为，与轴的交点为． （1）求点的坐标与这个二次函数的解析式；（2）为线段上的一个动点（点与、不重合），过点作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点，与轴交于点．设该线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．142y x =+A ()88，x C y B B P AB P A B P x D x E PD h P t h t t AB P P D B BOC △P8.如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．9.已知二次函数图象的对称轴是直线，且过点．（1）求、的值；（2）求出该二次函数图象与轴的交点、的坐标；（3）如果某个一次函数图象经过坐标原点和该二次函数图象的顶点．问在这个一次函数图象上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且()10A -，． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；） （2）判断ABC △的形状，证明你的结论；（3）点(0)M m ，是x 轴上的一个动点，当MC MD +的值最小时，求m 的值．2y x bx c =++2x =()03A ，b c x B C O M P PBC △P11.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点、、.抛物线过、两点.(1) 直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 动点从点出发．沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒.过点作交于点．① 过点作于点，交抛物线于点当为何值时，线段最长？ ② 连接．在点、运动的过程中，判断有几个时刻使得是等腰三角形？请直接写出相应的值.ABCD ()40B ，()80C ，()88D ，2y ax bx =+A C A P A AB B Q C CD D t P PE AB ⊥AC E E EF PE ⊥F G t EG EQ P Q CEQ △t二次函数与三角形答案解析一 、填空题1.等（答案不唯一）；∵二次函数交轴于,两点，交轴于点，且是等腰三角形∴当时，点坐标为只要不为即可．2.2；由已知，得、、、． 过作于点，则，即，得：． 又∵．又∵，即：，得：．故答案为：2．【解析】二次函数综合题．此题主要考查了二次函数与坐标轴交点的表示方法，以及等腰直角三角形的性质等知识，得出，是解决问题的关键．22y x =-2y ax bx c=++x A B y C ABC △AO BO =C 0C ()0c ，0A ⎫⎪⎪⎝⎭0B ⎫⎪⎪⎝⎭2424b b c D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，D DE AB ⊥E 2DE AB =2424b c-⨯=24b c -=02=240b c -＞2OC OB =c =22b c +=2DE AB =二 、解答题3.（1）将，代中得，，∴∴抛物线解析式为：（2）存在理由如下：由题知、两点关于抛物线的对称轴对称． ∴直线与的交点即为点，此时周长最小∵ ∴C 的坐标为：∵直线解析式为：．∴点坐标即为的解，∴∴ （3）存在．理由如下：设点且 ∵，若有最大值，则就最大． ∴当时，．∴ 当时， ∴点坐标为【解析】二次函数与三角形综合，轴对称与线段和差最值问题，坐标与面积4.（1）设，把代入得：，函数的解析式为，()10A ，()30B -，2y x bx c =-++10930b c b c -++=⎧⎨--+=⎩23b c =-⎧⎨=⎩223y x x =--+A B 1x =-BC 1x =-Q QAC △223y x x =--+()03，BC 3y x =+Q 13x y x =-⎧⎨=+⎩12x y =-⎧⎨=⎩()12Q -，P ()223x x x --+，()30x -＜＜92BPC BOC BPCO BPCO S S S S =-=-△△四边形四边形BPCO S 四边形BPC S △=Rt BPE BPCO PEOC S S S +△四边形直角梯形()11=22BE PE OE PE OC ⋅++()()()()221132323322x x x x x x =+--++---++2339272228x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭32x =-927=+28BPCO S 四边形最大值927927=+2828BPC S -=△最大值32x =-215234x x --+=P 31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4y ax x =-()33A ，1a =-24y x x =-+（2）,，∵，开口向下，∴有最大值，当时，，当点在直线的上方时，线段的最大值是． （3）当时，仅有， 所以， 解得，∴； 当时，，， 由勾股定理得：，①当时，，解得：，∴； ②当时，，解得：，（舍去），∴；③当时，，解得：，∴，综上所述：存在，的坐标是或或或．5.（1）242y x x =-+-；（2）2(6)4y x =--+【解析】⑴ 由已知条件2222422(2)124(2)(4)1214(2)2mm m n m n m m ⎧=⎪-=-⎧⎪⇒⎨⎨=---⎩⎪=⋅+⎪⋅-⎩， ∴所求二次函数的解析式为242y x x =-+-． ⑵ 设定点1(1)2M a a +，，(0)A a t -，，(B a t +，0)， 则所求二次函数形如2()12a y x a =--++， 又由已知8AMB S ∆=，∴182AB y ⋅=，03m ＜＜2239324PC CD PD m m m ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭-1＜0302D ⎛⎫⎪⎝⎭，max 94PC =P OA PC 9403m ＜＜OC PC=23m m -+=3m =(31P +3m ≥23PC CD PD m m =-=-+OC ()2222224OP OD DP m m m =+=+-OC PC=23m m -3m =(31P +-OC OP=)()22224m m m =+-15m =23m =()55P -，PC OP =()()2222234m m m m m -=+-4m =()40P ，P (31+(31-()55-，()40，∴2112(1)82226102t a t a a t ⎧⋅⋅+=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-++=⎪⎩， ∴所求二次函数为2(6)4y x =--+．6.（1）21322y x x =--；（2）503⎛⎫⎪⎝⎭， 【解析】（1）函数图象经过点(36)(10)A B --，，，，∴2216(3)3210(1)2b cb c ⎧=⨯--+⎪⎪⎨⎪=⨯--+⎪⎩，解得312b c ⎧=-=-⎨⎩，。
二次函数与相似三角形综合题
二次函数与相似三角形二次函数与相似三角形例1 如图1，已知抛物线x x 41y 2+-=的顶点为A ，且经过原，与x 轴交于点O 、B 。
（1）若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；点的坐标；（2）连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
点的坐标；若不存在，说明理由。
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. . 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、三角函数、三角函数、对称、对称、旋转等知识来推导边的大小。
识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
度，之后利用相似来列方程求解。
解:⑴如图1,当OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CD ∥＝OB, 由1)2x (4102+--=得4x ,0x 21==, ∴B(4,0),OB ＝4. ∴D 点的横坐标为6 将x ＝6代入1)2x (41y 2+--=,得y ＝－3, ∴D(6,－3); 例1题图题图 图1 OAByxOAByx图2 COABDyx图1 13E A'OAB Py x图2 （2）先根据A 、C 的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式，进而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P 、点M 的坐标，即可得到PM 的长；（3）由于∠PFC 和∠AEM 都是直角，F 和E 对应，则若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m 的代数式表示出AE 、EM 、CF 、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM 的形状．解答：解：（1）∵抛物线y=ax 2﹣2ax+c （a≠0）经过点A （3，0），点C （0，4）， ∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+x+4； （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ， ∵A（3，0），点C （0，4）， ∴，解得，∴直线AC 的解析式为y=﹣43x+4．∵点M 的横坐标为m ，点M 在AC 上，∴M 点的坐标为（m ，﹣43m+4）， ∵点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线y=﹣x 2+x+4上，∴点P 的坐标为（m ，﹣ m 2+m+4）， ∴PM=PE﹣ME=（﹣m 2+m+4）﹣（﹣43m+4）=﹣m 2+73m ，即PM=﹣m 2+73m （0＜m ＜3）； （3）在（2）的条件下，连结PC ，在CD 上方的抛物线部分存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m ，EM=﹣m+4，CF=m ，PF=﹣m 2+m+4﹣4=﹣m 2+m ． 若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF ：AE=FC ：EM ，即（﹣m 2+m ）：（3﹣m ）=m ：（﹣ m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°， ∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°， ∴△PCM 为直角三角形；②若△CFP∽△AEM，则CF ：AE=PF ：EM ，即m ：（3﹣m ）=（﹣m 2+m ）：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3，yxEQP C B OA ∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF． ∴CP=CM，∴△PCM 为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形．点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解． 练习1、已知抛物线225333y x x =-+经过53(33)02P E æöç÷ç÷èø，，，及原点(00)O ，． （1）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．点的坐标；若不存在，说明理由．（2）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？之间存在怎样的关系？为什么？（1）存在．）存在．设Q 点的坐标为()m n ，，则225333n m m =-+， 要使,BQ PB OCP PBQ CP OC =△∽△，则有3333n m --=，即2253333333m m m +--=解之得，12232m m ==，．当123m =时，2n =，即为Q 点，所以得(232)Q ，要使,BQ PB OCP QBP OC CP =△∽△，则有3333n m --=，即2253333333m m m +--=解之得，12333m m ==，，当3m =时，即为P 点，点， 当133m =时，3n =-，所以得(333)Q -，． 故存在两个Q 点使得OCP △与PBQ △相似．相似．Q 点的坐标为(232)(333)-，，，．（2）在Rt OCP △中，因为3tan 3CP COP OC Ð==．所以30COP Ð=． 当Q 点的坐标为(232)，时，30BPQ COP Ð=Ð=． 所以90OPQ OCP B QAO Ð=Ð=Ð=Ð=．因此，OPC PQB OPQ OAQ ，，，△△△△都是直角三角形．都是直角三角形．又在Rt OAQ △中，因为3tan 3QA QOA AO Ð==．所以30QOA Ð=． 即有30POQ QOA QPB COP Ð=Ð=Ð=Ð=． 所以OPC PQB OQP OQA △∽△∽△∽△， 又因为QP OP QA OA ，⊥⊥30POQ AOQ Ð=Ð=，所以OQA OQP △≌△．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）若直线:(0)l y kx k =¹与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，， （2）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO Ð与ACO Ð的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．的取值范围．（1）假设存在直线:(0)l y kx k =¹与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似．相似．在223y x x =-++中，令0y =，则由2230x x -++=，解得1213x x =-=，(10)(30)A B \-，，，． 令0x =，得3y =．(03)C \，． 设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点D 作DE x ⊥轴于点E ．yCl xB A 1x = 练习3图yx B E A OC D1x =l点B的坐标为(30)，，点C的坐标为(03)，，点A的坐标为(10)-，．4345.AB OB OC OBC\===Ð=，，223332BC\=+=．要使BOD BAC△∽△或BDO BAC△∽△，已有B BÐ=Ð，则只需BD BOBC BA=，①或.BO BDBC BA=②成立．成立．若是①，则有3329244BO BCBDBA´===．而45OBC BE DEÐ=\=，．\在Rt BDE△中，由勾股定理，得222229224BE DE BE BDæö+===ç÷ç÷èø．解得解得94BE DE==（负值舍去）．93344OE OB BE\=-=-=．\点D的坐标为3944æöç÷èø，．将点D的坐标代入(0)y kx k=¹中，求得3k=．\满足条件的直线l的函数表达式为3y x=．［或求出直线AC的函数表达式为33y x=+，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为3y x=．此时易知BOD BAC△∽△，再求出直线BC的函数表达式为3y x=-+．联立33y x y x==-+，求得点D的坐标为3944æöç÷èø，．］若是②，则有342232BO BABDBC´===．而45OBC BE DEÐ=\=，．\在Rt BDE △中，由勾股定理，得222222(22)BE DE BE BD +===．解得解得2BE DE ==（负值舍去）．321OE OB BE \=-=-=．\点D 的坐标为(12)，． 将点D 的坐标代入(0)y kx k =¹中，求得2k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为2y x =．\存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似，且点D 的坐标分别为3944æöç÷èø，或(12)，．（2）设过点(03)(10)C E ，，，的直线3(0)y kx k =+¹与该二次函数的图象交于点P ． 将点(10)E ，的坐标代入3y kx =+中，求得3k =-． \此直线的函数表达式为33y x =-+．设点P 的坐标为(33)x x -+，，并代入223y x x =-++，得250x x -=． 解得1250x x ==，（不合题意，舍去）．512x y \==-，．\点P 的坐标为(512)-，．此时，锐角PCO ACO Ð=Ð．又二次函数的对称轴为1x =，\点C 关于对称轴对称的点C ¢的坐标为(23)，． \当5px>时，锐角PCO ACO Ð<Ð；当5p x =时，锐角PCO ACO Ð=Ð； 当25p x <<时，锐角PCO ACO Ð>Ð．OxBEA O C1x =PC ¢ ·3.如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ． 在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ^x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与D PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．否则，请说明理由． 解：解： 假设存在假设存在A (1,0)-B (1,0)C (0,1)- ∵ÐPAB=ÐBAC =45 ∴P A ^AC ∵MG ^x 轴于点G ， ∴ÐMGA=ÐPAC =90 在Rt △AOC 中，OA=OC=1 ∴AC=2 在Rt △PAE 中，AE=PE=3 ∴AP= 32 设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <-(ⅰ) 当D AMG ∽D PCA 时，有AG PA =MG CA∵AG=1m --，MG=21m -即211322m m ---=解得11m =-（舍去）（舍去） 223m =（舍去）（舍去）(ⅱ) 当D MAG ∽D PCA 时有AG CA =MGPA即 211232m m ---=解得：1m =-（舍去）（舍去） 22m =- ∴M (2,3)-② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当D AMG ∽D PCA 时有AG PA =MGCA∵AG=1m +，MG=21m -G M 图3 C B y P A oxG M 图2 C B y P A ox图1 C P B y A ox∴211322m m +-=解得11m =-（舍去）（舍去） 243m =∴M 47(,)39(ⅱ) 当D MAG ∽D PCA 时有AG CA =MGPA即211232m m +-=解得：11m =-（舍去）（舍去） 24m = ∴M (4,15)∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与D PCA 相似相似M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15)4.4.（2013•曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系（2013•曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A 、B 两点，过A 、B 两点的抛物线y=﹣x 2﹣3x+4．．点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD⊥x 轴于点C ，交抛物线于点E ．（1）当DE=4时，求四边形CAEB 的面积．的面积． （2）连接BE BE，，是否存在点D ，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求此点D 坐标；若不存在，说明理由．说明理由．考点： 二次函数综合题． 分析： （1）首先求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C 坐标为（m ，0）（m ＜0），根据已知条件求出点E 坐标为（m ，8+m ）；由于点E 在抛物线上，则可以列出方程求出m 的值．在计算四边形CAEB 面积时，利用S 四边形CAEB =S △A CE +S 梯形OCEB ﹣S △BCO ，可以简化计算；（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．解答：解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，解得：b=﹣3，c=4，∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4．（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m．∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，∴点E坐标为（m，8+m）．∵点E在抛物线y=﹣x 2﹣3x+4上，∴8+m=﹣m2﹣3m+4，解得m=﹣2．∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6，S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12．（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D（m，4+m）．∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似∴△DBE必为等腰直角三角形．i）若∠BED=90°，则BE=DE，∵BE=OC=﹣m，∴DE=BE=﹣m，∴CE=4+m﹣m=4，∴E（m，4）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3，∴D（﹣3，1）；ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣m，在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m，∴C E=4+m﹣2m=4﹣m，∴E（m，4﹣m）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2，∴D（﹣2，2）．综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点．5.5.（2013•绍兴压轴题）抛物线（2013•绍兴压轴题）抛物线y=y=（（x ﹣3）（x+1x+1））与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 为顶点．为顶点．（1）求点B 及点D 的坐标．的坐标．（2）连结BD BD，，CD CD，抛物线的对称轴与，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．①若线段BD 上一点P ，使∠DCP=∠BDE，求点P 的坐标．的坐标．②若抛物线上一点M ，作MN⊥CD，交直线CD 于点N ，使∠CMN=∠BDE，求点M 的坐标．的坐标．考点： 二次函数综合题．3718684分析： （1）解方程（x ﹣3）（x+1）=0，求出x=3或﹣1，根据抛物线y=（x ﹣3）（x+1）与x轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），确定点B 的坐标为（3，0）；将y=（x ﹣3）（x+1）配方，写成顶点式为y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，即可确定顶点D 的坐标；（2）①根据抛物线y=（x ﹣3）（x+1），得到点C 、点E 的坐标．连接BC ，过点C 作CH⊥DE 于H ，由勾股定理得出CD=，CB=3，证明△BCD 为直角三角形．分别延长PC 、DC ，与x 轴相交于点Q ，R ．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则==，得出Q 的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直线CQ 的解析式为y=﹣x ﹣3，直线BD 的解析式为y=2x ﹣6，解方程组，即可求出点P 的坐标；②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M 在对称轴右侧时．若点N 在射线CD 上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN．设CN=a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以点M不存在．解答：解：（1）∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），∴当y=0时，（x﹣3）（x+1）=0，解得x=3或﹣1，∴点B的坐标为（3，0）．∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；（2）①如右图．∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，∴C点坐标为（0，﹣3）．∵对称轴为直线x=1，∴点E的坐标为（1，0）．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），∴CH=DH=1，∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，∴CD=，CB=3，△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，∴∠CDB=∠QCO，∴△BCD∽△QOC，∴==，∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．∴直线CQ的解析式为y=﹣x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6．由方程组，解得．∴点P的坐标为（，﹣）；②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，∴△MCN∽△DBE，∴==，∴MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．∵∠CDE=∠DCF=45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF=CN=a，CF=a，∴MF=MN+NF=3a，∴MG=FG=a，∴CG=FG﹣FC=a，∴M（a，﹣3+a）．代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=，∴M（，﹣）；若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，∴△MCN∽△DBE，∴==，∴MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．∵∠CDE=45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF=CN=a，CF=a，∴MF=MN﹣NF=a，∴MG=FG=a，点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．（2）中第②问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键．6.6.（2013•恩施州压轴题）如图所示，直线（2013•恩施州压轴题）如图所示，直线l ：y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线y=y=x x 2﹣4x+3过点B 、C 和D （3，0）． （1）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．的坐标． （2）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6=6？若存在，求出点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．由．考点： 二次函数综合题．分析： （1）由待定系数法求出直线BD 和抛物线的解析式；（2）首先确定△MCD 为等腰直角三角形，因为△BND 与△MCD 相似，所以△BND 也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N 有3个；（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD 面积的表达式，然后根据S △PBD =6的已知条件，列出一元二次方程求解．解答： （1）抛物线的解析式为：y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．直线BD ：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M ，令x=2，得y=1，∴M（2，1）．设对称轴与x 轴交点为点F ，则CF=FD=MN=1，∴△MCD 为等腰直角三角形．∵以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，∴△BND 为等腰直角三角形．如答图1所示：（I ）若BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点O ，∴N 1（0，0）；（II ）若BD 为直角边，B 为直角顶点，则点N 在x 轴负半轴上，∵OB=OD=ON 2=3，∴N 2（﹣3，0）；（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，∵OB=OD=ON3=3，∴N3（0，﹣3）．∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．（2）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，化简得：m+n=7 ①，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，解得：m1=4，m2=﹣1，∴n1=3，n2=8，∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，化简得：m+n=﹣1 ②，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m 2﹣4m+3，代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．故此时点P不存在．综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．。
二次函数综合题--二次函数与直角三角形有关的问题(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
二次函数综合题-中考数学重难点题型二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）1.（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）根据解析式求出A ，B ，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x=1，设P （1，t ），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M（m,m 2-2m-3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．(1)223y x x =--与x 轴交点：令y=0，解得121,3x x =-=，即A （-1，0），B （3，0），223y x x =--与y 轴交点：令x=0，解得y=-3，即C （0，-3），∴AO=1,CO=3,∴AC ==(2)抛物线223y x x =--的对称轴为：x=1，设P （1，t ），∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222210313PC t t =-++=++，∴24t +()213t =++∴t=-1，∴P （1，-1）；(3)设点M （m,m 2-2m-3），()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时，()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，∴M （1，-4）；②当222BM BC CM +=时，()())222222323182m m m m m m-+--+=+-，解得，12m =-，23m =（舍），∴M （-2，5）；③当222BM CM BC +=时，()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，解得，m =，∴M ⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭；综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或1522⎛+ ⎪ ⎪⎝⎭或1522⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．2.（2021·四川中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，6），抛物线的顶点坐标为E （2，8），连结BC 、BE 、CE ．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE 的形状，并说明理由；（3）如图2，以C 为半径作⊙C ，在⊙C 上是否存在点P ，使得BP ＋12EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12-x 2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，2【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；（3）在CE 上截取CF=2（即CF 等于半径的一半），连接BF 交⊙C 于点P ，连接EP ，则BF 的长即为所求．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E （2，8），∴设该抛物线的表达式为y=a （x-2）2+8，∵与y 轴交于点C （0，6），∴把点C （0，6）代入得：a=12-，∴该抛物线的表达式为y=12-x 2+2x+6；（2）△BCE 是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，∴当y=0时，12-（x-2）2+8=0，解得：x 1=-2，x 2=6，∴A （-2，0），B （6，0），∴BC 2=62+62=72，CE 2=（8-6）2+22=8，BE 2=（6-2）2+82=80，∴BE 2=BC 2+CE 2，∴∠BCE=90°，∴△BCE 是直角三角形；（3）如图，在CE 上截取CF=2（即CF 等于半径的一半），连接BF 交⊙C 于点P ，连接EP ，则BF 的长即为所求．连接CP ，∵CP 为半径，∴12CF CP CP CE ==，又∵∠FCP=∠PCE ，∴△FCP ∽△PCE ，∴12CF FP CP PE ==，FP=12EP ，∴BF=BP+12EP ，由“两点之间，线段最短”可得：BF 的长即BP+12EP 为最小值．∵CF=14CE ，E （2，8），∴F （12，132），∴2【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．3.（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；（3）如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标【答案】（1）223y x x =--；（2）()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【分析】（1）由()1,0A -和D ()1,4-，且D 为顶点列方程求出a 、b 、c ，即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，②在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ；（3）QMN 为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当90QM MN QMN =∠=︒，；②当90QN MN QNM =∠=︒，；③当90QM QN MQN =∠=︒，．【详解】解：（1）将()1,0A -和D ()1,4-代入2y ax bx c=++得04a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩又∵顶点D 的坐标为()1,4-∴12ba-=-∴解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：223y x x =--．（2）∵()3,0B 和()1,4D -∴直线BD 的解析式为：26y x =-∵抛物线的解析式为：223y x x =--，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于点()1,0A -和点B，则C 点坐标为()0,3-，B 点坐标为()3,0．①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，则直线1CP 的解析式为23y x =-，结合抛物线223y x x =--可知22323x x x --=-，解得：10x =（舍），24x =，故()14,5P ．②过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，由OB OC =可知四边形OBGC 为正方形，∵直线1CP 的解析式为23y x =-∴1CP 与x 轴交于点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ∴OCE FCG∠=∠又∵OC=CG ，90COE G ∠=∠=︒∴OEC △≌()GFC ASA ，∴32FG OE ==，33,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又由()0,3C -可得直线CF 的解析式为132y x =-，结合抛物线223y x x =--可知212332x x x --=-，解得10x =（舍），252x =，故257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，符合条件的P 点坐标为：()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）∵()3,0B ，()0,3C -∴直线BC 的解析式为3BC y x =-设M 的坐标为()3m m -，，则N 的坐标为()223m m m --，∴()22=3233MN m m m m m----=-∵()1,0A -，()0,3C -∴直线BC 的解析式为33AC y x =--∵QMN 为等腰直角三角形∴①当90QM MN QMN =∠=︒，时，如下图所示则Q 点的坐标为33m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴4=33m mQM m ⎛⎫--=⎪⎝⎭∴24=33mm m -解得：10m =（舍去），2133m =，353m =∴此时154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当90QN MN QNM =∠=︒，则Q 点的坐标为222233m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∴222=33m m m mQM m -+-=∴22=33m mm m +-解得：10m =（舍去），25m =，32m =∴此时()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；③当90QM QN MQN =∠=︒，时，如图所示则Q 点纵坐标为()()22211113236=32222m m m m m m m -+--=----∴Q 点的坐标为22111136622m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∴Q 点到MN 的距离=221151+6666m m m m m--=∴22511+=3662m m m m ⋅-（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：10m =（舍去），27m =，31m =∴此时()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．综上所述，点M 及其对应点Q 的坐标为：154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形．该题综合性较强，属于中考压轴题．4.（2021·湖北中考真题）抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，若DEF 是等腰直角三角形，求DEF 的面积；（3）若()3,P t 是对称轴上一定点，Q 是抛物线上的动点，求PQ 的最小值（用含t 的代数式表示）．【答案】（1）263y x x =-+-；（2）4；（3）6(6)116(6)211()2t t PQ t t t ⎧⎪-≥⎪⎪=-<<⎨≤【分析】（1）与y 轴相交于点()0,3C -，得到3b =-，再根据抛物线对称轴，求得1a =-，代入即可．（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，可知E 、F 两点关于对称轴对称，DEF 是等腰直角三角形得到45FED ∠=︒，设(,)(0)E m n n >，根据等腰直角三角形的性质求得E 点坐标，从而求得DEF 的面积．（3）(,)(6)Q p q q ≤，根据距离公式求得222(21)6PQ q t q t =-+++，注意到q 的范围，利用二次函数的性质，对t 进行分类讨论，从而求得PQ 的最小值．【详解】解：（1）由抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -得到3b =-抛物线的对称轴为3x =，即232b a--=，解得1a =-∴抛物线的方程为263y x x =-+-（2）过点E 作EM AB ⊥交AB 于点M ，过点F 作FN AB ⊥，交AB 于点N ，如下图：∵DEF 是等腰直角三角形∴DE DF =，45FED ∠=︒又∵EF x ∥轴∴45EDM ∠=︒∴EMD 为等腰直角三角形∴EM DM=设(,)(0)E m n n >，则(,0)M m ，3,DM m EM n=-=∴3n m=-又∵263n m m =-+-∴2363m m m -=-+-2760m m -+=解得1m =或6m =当1m =时，2n =，符合题意，2,4DM EM MN ===142DEF S MN EM =⨯=△当6m =时，30n =-<，不符合题意综上所述：4DEF S = ．（3）设(,)(6)Q p q q ≤，Q 在抛物线上，则263q p p =-+-222222(3)()692PQ p q t p p q tq t =-+-=-++-+将263q p p =-+-代入上式，得222(21)6PQ q t q t =-+++当112t >时，2162t +>，∴6q =时，2PQ 最小，即PQ 最小22223612661236(6)PQ t t t t t =--++=-+=-PQ =6(6)6116(6)2t t t t t -≥⎧⎪-=⎨-<<⎪⎩当112t ≤时，2162t +≤，∴212t q +=时，2PQ 最小，即PQ 最小22344t PQ -=，2PQ =综上所述6(6)116(6)211()2t t PQ t t t ⎧⎪-≥⎪⎪=-<<⎨≤【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公5.（2020•泸州）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣2，0），B （4，0），C （0，4）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B 的直线交y 轴于点D ，交线段AC 于点E ，若BD ＝5DE ．①求直线BD 的解析式；②已知点Q 在该抛物线的对称轴l 上，且纵坐标为1，点P 是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l 右侧，点R 是直线BD 上的动点，若△PQR 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，求点P 的坐标．【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出a，即可得出结论；（2）①先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；②先确定出点Q的坐标，设点P（x，−12x2+x+4）（1＜x＜4），得出PG＝x﹣1，GQ=−12x2+x+3，再利用三垂线构造出△PQG≌△QRH（AAS），得出RH＝GQ=−12x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，进而得出R（−12x2+x+4，2﹣x），最后代入直线BD的解析式中，即可求出x的值，即可得出结论．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4，∴a=−12，∴抛物线的解析式为y=−12（x+2）（x﹣4）=−12x2+x+4；（2）①如图1，设直线AC的解析式为y＝kx+b'，将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得−2k+b'=0b'=4，∴k=2b'=4，∴直线AC的解析式为y＝2x+4，过点E作EF⊥x轴于F，∴OD∥EF，∴△BOD∽△BFE，∴OB BF=BD BE，∵B（4，0），∴OB＝4，∵BD＝5DE，∴BD BE=BD BD+DE=5DE5DE+BE=56，∴BF=BE BD×OB=65×4=245，∴OF＝BF﹣OB=245−4=45，将x=−45代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（−45）+4=125，∴E（−45，125），设直线BD的解析式为y＝mx+n，∴4m+n=0−45m+n=125，∴m=−12n=2，∴直线BD的解析式为y=−12x+2；②∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点Q（1，1），如图2，设点P（x，−12x2+x+4）（1＜x＜4），过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，∴PG＝x﹣1，GQ=−12x2+x+4﹣1=−12x2+x+3，∵PG⊥l，∴∠PGQ＝90°，∴∠GPQ+∠PQG＝90°，∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，∴∠PQG+∠RQH＝90°，∴∠GPQ ＝∠HQR ，∴△PQG ≌△QRH （AAS ），∴RH ＝GQ =−12x 2+x+3，QH ＝PG ＝x ﹣1，∴R （−12x 2+x+4，2﹣x ），由①知，直线BD 的解析式为y =−12x+2，∴x ＝2或x ＝4（舍），当x ＝2时，y =−12x 2+x+4=−12×4+2+4＝4，∴P （2，4）．6.（2020·甘肃兰州?中考真题）如图，抛物线24y ax bx =+-经过A （－3，6），B （5，－4）两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB 平分CAO ∠；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以AB 为直角边的直角三角形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）215466y x x =--；（2）详见解析；（3）存在，点M 的坐标为（52，－9）或（52，11）．【解析】【分析】（1）将A （-3，0），B （5，-4）代入抛物线的解析式得到关于a 、b 的方程组，从而可求得a 、b 的值；（2）先求得AC 的长，然后取D （2，0），则AD=AC ，连接BD ，接下来，证明BC=BD ，然后依据SSS 可证明△ABC ≌△ABD ，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB=∠BAD ；（3）作抛物线的对称轴交x 轴与点E ，交BC 与点F ，作点A 作AM′⊥AB ，作BM ⊥AB ，分别交抛物线的对称轴与M′、M ，依据点A 和点B 的坐标可得到tan ∠BAE=12，从而可得到tan ∠M′AE=2或tan ∠MBF=2FM 和M′E 的长，故此可得到点M′和点M 的坐标．【详解】解:（1）将A （-3，0），B （5，-4）两点的坐标分别代入，得9340,25544a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得1,65,6a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故抛物线的表达式为y ＝215466y x x =--．（2）证明：∵AO=3，OC=4，∴．取D （2，0），则AD=AC=5．由两点间的距离公式可知=5．∵C （0，-4），B （5，-4），∴BC=5．∴BD=BC ．在△ABC 和△ABD 中，AD=AC ，AB=AB ，BD=BC ，∴△ABC ≌△ABD ，∴∠CAB=∠BAD ，∴AB 平分∠CAO ；（3x 轴与点E ，交BC 与点F ．抛物线的对称轴为x=52，则AE=112．∵A （-3，0），B （5，-4），∴tan ∠EAB=12．∵∠M′AB=90°．∴tan ∠M′AE=2．∴M′E=2AE=11，∴M′（52，11）．同理：tan ∠MBF=2．又∵BF=52，∴FM=5，∴M （52，-9）．∴点M 的坐标为（52，11）或（52，-9）．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM 和M′E 的长是解题的关键7.（2020·内蒙古通辽?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，且直线6y x =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以,,Q M N 三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）256y x x =-++；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，4+）或（0，4-）.【解析】【分析】（1）根据直线6y x =-求出点B 和点D 坐标，再根据C 和D 之间的关系求出点C 坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；（2）设点P 坐标为（m ，0），表示出M 和N 的坐标，再利用三角形面积求法得出S △BMD =231236m m -++，再求最值即可；（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.【详解】解：（1）∵直线6y x =-过点B ，点B 在x 轴上，令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，∴B （6，0），D （0，-6），∵点C 和点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），∵抛物线2y x bx c =-++经过点B 和点C ，代入，03666b c c =-++⎧⎨=⎩，解得：56b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为：256y x x =-++；（2）设点P 坐标为（m ，0），则点M 坐标为（m ，256m m -++），点N 坐标为（m ，m-6），∴MN=256m m -++-m+6=2412m m -++，∴S △BMD =S △MNB +S △MND =()2141262m m ⨯-++⨯=231236m m -++=-3（m-2）2+48当m=2时，S △BMD 最大=48，此时点P 的坐标为（2，0）；（3）存在，由（2）可得：M （2，12），N （2，-4），设点Q 的坐标为（0，n ），当∠QMN=90°时，即QM ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点M 的纵坐标相等，即Q （0，12）；当∠QNM=90°时，即QN ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点N 的纵坐标相等，即Q （0，-4）；当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图，分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F，∵∠MQN=90°，∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，∴∠NQF=∠QME，∴△MEQ∽△QFN，∴ME EQQF FN=，即21242nn-=+，解得：n=4+或4-，∴点Q（0，4+）或（0，4-），综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，4+）或（0，4-）.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.。
中考复习函数专题28 二次函数中的三角形问题(学生版)
专题28 二次函数中的三角形问题知识对接考点一、二次函数中的三角形问题考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
考点二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
要点补充：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
要点补充：一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s （阴影部分），则s与t的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．2.定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭一组抛物线的顶点()111B y ，，()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若()101x d d =<<，当d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．7123．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是A ．16B ．15C ．14D ．134．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A＜x C＜x B，那么符合上述条件的抛物线条数是（）A．7B．8C．14D．165．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图△）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图△），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（）A．1B．1.5C．2D．0.8或1.26．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．7．如图，正三角形ABC和正三角形ECD的边BC，CD在同一条直线上，将ABC向右平移，直到点B 与点D 重合为止，设点B 平移的距离为x ，=2BC ，4CD =．两个三角形重合部分的面积为Y ，现有一个正方形FGHI 的面积为S ，已知sin 60Y S=︒，则S 关于x 的函数图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．以下说法正确的是（ ）A ．三角形的外心到三角形三边的距离相等B ．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形C ．分式方程11222x x x -=---的解为x ＝2 D ．将抛物线y ＝2x 2－2向右平移1个单位后得到的抛物线是y ＝2x 2－39．二次函数2(1)22y m x mx m =+-+-的图象与x 轴有两个交点()1,0x 和()2,0x ，下列说法：△该函数图象过点(1,1)-；△当0m =时，二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积是△若该函数的图象开口向下，则m 的取值范围为21m -<<-；△当0m >，且21x --时，y 的最大值为(92)m +．正确的是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△ 10．以下四个命题：△如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；△在实数-7.54-π，)2中，有4个有理数，2个无理数；△的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为43； △二次函数221y ax ax =-+，自变量的两个值x 1，x 2对应的函数值分别为y 1，y 2，若|x 1-1|>|x 2-1|，则a (y 1-y 2)>0．其中正确的命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．定义[a ，b ，c ]为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m ，1－m ，－1－m ]的函数的一些结论：△当m ≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；△当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；△当m ＜0时，函数在14x >时，y 随x 的增大而减小；△当m ＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则13m =，正确的结论是________．（填写序号）12．如图，在第一象限内作与x 轴的夹角为30°的射线OC ，在射线OC 上取点A ，过点A作AH △x 轴于点H ，在抛物线y ＝x 2（x ＞0）上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 有____个．13．如图，直线l ：1134y x =+经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)…B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1(x 1，0)，A 2(x 2，0)，A 3(x 3，0)…，A n+1(x n+1，0)（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d （0＜d ＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d 的值是__．14．如图，抛物线与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，设抛物线的顶点为D ．坐标轴上有一动点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似．则点P 的坐标______．。
二次函数与相似三角形之间的综合题
二次函数与相似三角形之间的综合题型教学设计田敏教材分析：1、二次函数是初中数学新人教版二十二章的内容，是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型。
也是中考的必考内容之一，中考分值已超过了10%。
所以在初中数学中占着重要的地位。
学情分析：2、二次函数与几何图形的综合也是这几年中考的热点题型。
应用信息技术解决重点难点的地方：本节课主要体现二次函数的与相似三角形的综合性试题。
重在思考线路。
3、学习二次函数，对学生进入高中后进一步学习函数的一般性质起着承上启下的作用。
同时也是学习物理等其他学科的重要工具。
教学过程一、复习预习1.二次函数的基础知识2.勾股定理3.相似三角形的性质二、知识梳理考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方。
2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)
重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。
所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。
初三数学中考专题：二次函数与三角形相似结合题型带答案
二次函数与三角形相似结合题型例1.如图1，已知抛物线y=ax²+bx+3图象与x轴相交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C.（1）请直接写出抛物线的解析式为__（2）如图1，连接AC，若点P在y轴上时，AP和4C的夹角为15°，求线段CP的长;（3）如图2，直线l与x轴相交于点M，直线l与线段BC相交于点N，当△MCN~△CAM时，求直线l的表达式.例2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；的最大值；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求DEAE（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．例3.已知抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于A(-4,0)、B 两点，与y 轴交于点C ，且AO=2OC. （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第三象限抛物线上一点，连接OD 、AC 交于点E ，求DE OE 的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l //AC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第二象限是否存在这样的点P,Q ，使△PQA ∽△CBA ，若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
例4．如图，已知抛物线y=13x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．l xyoA B C图2例5.如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点.(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与∆ADE相似？(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.例6.（走角题）.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B(1,0)两点，与y轴交于点D，直线AD:y=x+3，抛物线的顶点为C，CE⊥AB.（1）求抛物线的解析式；S∆MAB?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（2）抛物线上是否存在点M，使得S∆ACD=38（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACE相似时，求点P的坐标；【答案详解】例1.如图1，已知抛物线y=ax²+bx+3图象与x轴相交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C.（1）请直接写出抛物线的解析式为__（2）如图1，连接AC，若点P在y轴上时，AP和4C的夹角为15°，求线段CP的长;（3）如图2，直线l与x轴相交于点M，直线l与线段BC相交于点N，当△MCN~△CAM时，求直线l的表达式.【解析】（1）y=−x2−2x+3（2）注意题目隐藏条件“∠CAO=45º”，即当P在C点上方时则∠OAP=60º，当P在C点下方时则∠OAP=30º，利用特殊角的三角函数值来求解CP的长；解：由抛物线解析式可得C(0,3)，则OA=OC=3,则∠CAO=45º.①当点P在C点上方时，则∠OAP=60º，∴OP=OAtan∠OAP=√3OA=3√3,∴CP=OP-OC=3√3-3；②当点P在C点下方时，则∠OAP=30º，∴OP=OAtan∠OAP=√3OA=√3,3∴CP=OC-OP=3−√3；综上所述，CP的长为3√3-3或3−√3；（3）二次函数与三角形相似综合题型，此题不存在分类讨论，有两个思考角度或解题方法，分别是“走边”或“走角”；【思考角度1】“走边”解：由△MCN~△CAM可得∠ACM=∠CMN，可得AC//MN，则设直线MN的解析式为y=x+a，即OM=a，由△MCN~△CAM可得MC:CA=MN:CM，即MN=CM 2CA =23√2，由MN//AC可得MN:AC=MB:BA，即23√23√2=(a+1):4，解得a=32或a=3(舍去)，∴直线l的表达式y=x+32.【思考角度2】“走角”由△MCN~△CAM可得∠CAM=∠MCN=45º，出现特殊角，而只需求出M点坐标即可求出直线l的表达式.这是二次函数几何综合题中的典型题型“边角存在性问题”.按“边角存在性问题”的典型解题思路走即可解答此题.解：如图，作BD⊥BC交MC于点D，过点B作y轴的平行线，过点C、D作x轴的平分线，分别交于点E、F两点，由∠CBD=∠BED=∠CFB=90º,∠BDE=∠DCF,CD=BD,可证△BDE≌△BCF，则DE=BF=3,BE=CF=1,∴D(-2,-1)，设直线CD的解析式为y=kx+3，代入D点坐标可得k=2，∴直线CD的解析式为y=2x+3，∴M(-32，0),∴直线l的表达式y=x+32.C （0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，求DE AE 的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使△PQB ∽△CAB ．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)设抛物线为交点式，即y=a(x+1)(x-4)，代入C 点坐标，可得a=12， ∴抛物线解析式为y =12(x+1)(x-4)=12x 2−32x −2(2)构造相似典型图形“8字模型”，利用相似性质把DE AE 用代数式表示出来，再利用二次函数配方法求最值。
二次函数综合动点及三角形问题方法及解析
二次函数综合（动点与三角形）问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。
（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。
二、例题精析㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】例一．（2013•地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，∴可得A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：．∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3．（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，解得：x1=1，x2=﹣3，则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：讨论：①当MA=AB时，，解得：，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；②当MB=BA时，，解得：M3=0，M4=﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），③当MB=MA时，，解得：m=﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在五个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），M5（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】例二．（2013）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x 轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a（x ﹣2）2，进而求出即可；（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．解答：解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，∴0=0.5x+2，∴x=﹣4，与y轴交于点B，∵x=0，∴y=2∴B点坐标为：（0，2），∴A（﹣4，0），B（0，2），∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2∴可设二次函数y=a（x﹣2）2，把B（0，2）代入得：a=0.5∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2；（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点由Rt△AOB∽Rt△BOP1∴=，∴=，得：OP1=1，∴P1（1，0），（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），则AD=，当D为直角顶点时∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D，∴=，=，解得：AP2=11.25，则OP2=11.25﹣4=7.25，故P2点坐标为（7.25，0）；（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D得：，∴，∵方程无解，∴点P3不存在，∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．㈢【抛物线上的点能否构成相似三角形】例三．（2013•州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y 轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考二次函数综合题．点：分析： （1）由待定系数法求出直线BD 和抛物线的解析式；（2）首先确定△MCD 为等腰直角三角形，因为△BND 与△MCD 相似，所以△BND 也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N 有3个；（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD 面积的表达式，然后根据S △PBD =6的已知条件，列出一元二次方程求解．解答： 解：（1）∵直线l ：y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A （﹣1，0），B （0，3）；∵把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，∴C （1，0）．设直线BD 的解析式为：y=kx+b ，∵点B （0，3），D （3，0）在直线BD 上，∴，解得k=﹣1，b=3，∴直线BD 的解析式为：y=﹣x+3．设抛物线的解析式为：y=a （x ﹣1）（x ﹣3），∵点B （0，3）在抛物线上，∴3=a ×（﹣1）×（﹣3），解得：a=1，∴抛物线的解析式为：y=（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2﹣4x+3．（2）抛物线的解析式为：y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．直线BD ：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M ，令x=2，得y=1，∴M （2，1）．设对称轴与x 轴交点为点F ，则CF=FD=MN=1，∴△MCD 为等腰直角三角形．∵以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，∴△BND 为等腰直角三角形．如答图1所示：（I ）若BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点O ，∴N 1（0，0）；（II ）若BD 为直角边，B 为直角顶点，则点N 在x 轴负半轴上，∵OB=OD=ON 2=3，∴N 2（﹣3，0）；（III ）若BD 为直角边，D 为直角顶点，则点N 在y 轴负半轴上，∵OB=OD=ON 3=3，∴N3（0，﹣3）．∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．（3）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，化简得：m+n=7 ①，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，解得：m1=4，m2=﹣1，∴n1=3，n2=8，∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，化简得：m+n=﹣1 ②，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．故此时点P不存在．综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．点评： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．三、形成训练1．（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为A （﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C 的坐标，连接AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；（3）试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．考点： 二次函数综合题．分析： （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴对称轴方程为：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直线BC的解析式为：y=x+4．（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（4）问，符合条件的等腰三角形△ACQ 可能有多种情形，需要分类讨论．2 ：已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标．3、如图，抛物线212222y x x =-++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点．（1）求A B C 、、三点的坐标；（2）证明ABC △为直角三角形；（3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使ABP △是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．4、如图，已知抛物线224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ．（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形？若存在， 求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．5、（09年）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS ∠BCO ＝31010。
二次函数与直角三角形有关的问题
二次函数的综合——与直角三角形有关的问题一.知识回顾(一)证明直角三角形(或直角)的定理：1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2， 那么这个三角形是直角三角形；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边 的夹角叫做底角.2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角. (二)与直角三角形(或直角)有关的线段关系：1. 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ,b ，斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2 ；2. 辅助线构造“一线三垂直”相似三角形模型(如下图)，对应边的比相等.二．例题解析例1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =－x 2+2x +3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，连接BC 、CD 、BD .证明：△BCD 是直角三角形. 解：x =0时，y =3；y =0时，x 1=－1，x 2=3; ∴C 为(0，3)，点B 为(3，0).∵y =－x 2+2x +3=－(x －1)2+4，∴抛物线的顶点D 为(1，4)，方法一：∵BC 2=(3－0)2+(0－3)2=18，CD 2=(1－0)2+(4－3)2=2，BD 2=(3－1)2+(0－4)2=20, ∴BC 2+CD 2=BD 2，即∠DCB =90°，△BCD 是直角三角形.方法二：过点D 做DE ⊥y 轴于点E ， 则DE =CE =1，OB =OC =3，∴∠DCE ＝∠BCO ＝45°，即∠BCD ＝90°，△BCD 是直角三角形.方法三：过点D 做DE ⊥y 轴于点E ，则DE =CE =1，OB =OC =3，∴CE DEBO CO =，又∵∠CED =∠BOC =90°，∴△CED ∽△BOC ，∠ECD =∠OBC ， 而∠OBC+∠OCB =90°，∴∠BCD =180°－(∠ECD+∠OCB )=90°， △BCD 是直角三角形.已知三个顶点判断直角三角的方法：(1) 用勾股定理逆定理证明；(2)构造“一线三垂直”相似证明；(3)根据坐标判断某些特殊角，求出直角.交于点C ，点E 是抛物线对称轴上一点，若△ACE 是直角三角形，求出点E 的坐标. 解：x =0时，y =3，y =0时，x 1=－1，x 2=3; ∴C 为(0，3)，点A 为(－1，0). ∵y =－x 2+2x +3=－(x －1)2+4， ∴抛物线的的对称轴为直线x =1. 设点E 的坐标为(1，a )， 方法一：AC 2=[0－(－1)]2+(3－0)2=10， EA 2=[1－(－1)]2+(a －0)2=a 2+4， CE 2=(1－0)2+(a －3)2=a 2－6a +10， 若∠CAE =90°，则CE 2=AC 2+EA 2， 即a 2－6a +10=10+a 2+4，解得：a =－32，点E 为(1，－32)； 若∠ACE =90°，则AE 2=AC 2+CE 2，即a 2+4=10+a 2－6a +10，解得：a =38，点E 为(1，38)；若∠CEA =90°，则AC 2=CE 2+EA 2，即10=a 2－6a +10+a 2+4，解得：a 1=1，a 2=2，点E 为(1，1)或(1，2)；综上所述，点E 为(1，－32)，(1，38)，(1，1)或(1，2).方法二：若∠CAE =90°，过点A 作直线l //y 轴，分别过点C 、点E 作CM ⊥l 于点M ，EN ⊥l 于点N ， 可证△AMC ∽△ENA ， ∴MA NECM NA =，即3)1(11−−=−a ， 解得：a =－32，∴点E 为(1，－32)；若∠ACE =90°，过点C 作直线l //x 轴，分别过点A 、点E 作AM ⊥l 于点M ，EN ⊥l 于点N ， 可证△AMC ∽△CNE ，∴AMCNMC NE =，即3113=−a ，解得：a =38，∴点E 为(1，38)； 若∠AEC =90°，过点E 作直线l //y 轴，分别过点A 、点C 作AM ⊥l 于点M ，CN ⊥l 于点N ，可证△AME ∽△ENC ，∴EN AM NC ME =，即aa −=321， 解得：a 1=1，a 2=2，点E 为(1，1)或(1，2)； 综上所述，点E 为(1，－32)，(1，38)，(1，1)或(1，2). 直角三角形已知两个顶点，求第三个顶点坐标的方法：(1)按直角顶点分类(“一圆两垂直”)；(2)用勾股定理或构造“一线三垂直”相似列方程计算.交于点C ，连接BC ，点M ，N 分别是线段AB ，BC 上的动点，且AM ＝BN ，连接MN ．当△BMN 是直角三角形时，求点M 的坐标． 方法一：解：x =0时，y =3；y =0时，x 1=－1，x 2=3； ∴A 为(－1，0)，B 为(3，0)，C 为(0，3). 设点M 坐标为（m ，0），∴BN =AM =m －(－1)=m +1，BM =3－m ， ∵OB =OC =3，∠BOC ＝90°， ∴∠CBO ＝∠BCO ＝45°． 若∠MNB =90°， △BMN ∽△BCO ，则BN BM 2=，即()123+=−m m ，解得524−=m ， ∴点M 的坐标为（524−，0）； 若∠NMB =90°，△BMN ∽△BOC ，则BM BN 2=， 即()m m −=+321，解得247−=m ，∴点M 的坐标为（247−，0）；综上所述，点M 坐标为（524−，0）或（247−，0）．方法二：解：x =0时，y =3；y =0时，x 1=－1，x 2=3； ∴A 为(－1，0)，B 为(3，0)，C 为(0，3). ∴直线BC 的解析式为y =－x +3， ∵OB =OC =3，∠BOC ＝90°， ∴∠CBO ＝∠BCO ＝45°． 设点A M =BN=m ，过点N 作NG ⊥x 轴于点G , 在Rt △BNG 中，m BN BG NG 2222===， ∴点M 为(m －1，0)，N 为(m 223−，m 22)， ∴BM 2=(3-m +1)2=m 2-8m +16， BN 2=2222m =m 2， MN 2=22222231+ +−−m m m=162482222+−−+m m m m ， 若∠MNB =90°，则MN 2+BN 2=MB 2，G即162482222+−−+m m m m +m 2=m 2-8m+16， 解得m 1=0(舍去)，m 2=424−， ∴点M 的坐标为（524−，0）； 若∠NMB =90°， 则MN 2+BM 2=NB 2，即162482222+−−+m m m m +m 2-8m+16=m 2， 解得m 1=4(舍去)，m 2=248−， ∴点M 的坐标为（247−，0）；综上所述，点M 坐标为（524−，0）或（247−，0）．直角三角形已知一个顶点，另两个点伴随运动，求动点坐标的方法： (1)按直角顶点分类；(2)用勾股定理或相似列方程计算.三．方法总结：四．变式训练：1．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A （1，1），且与直线y ＝x ﹣2交于B ，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点C 的坐标； （2）求证：△ABC 是直角三角形．【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C 点坐标；（2）分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于点D 、E 两点，结合A 、B 、C 三点的坐标可求得∠ABO ＝∠CBO ＝45°，可证得结论；解：（1）∵顶点坐标为（1，1）， ∴设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）2+1， 又抛物线过原点，∴0＝a （0﹣1）2+1，解得a ＝﹣1， ∴抛物线解析式为y ＝﹣（x ﹣1）2+1， 即y ＝﹣x 2+2x ，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，∴B （2，0），C （﹣1，﹣3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB+OE＝2+1＝3，EC＝3，∴∠ABO＝∠CBO＝45°，即∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．2．如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线C1：y1＝x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c，求得y2＝﹣+x+2，B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，E（6，﹣1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，E（10，﹣13）；③若E为直角顶点，设E（m，﹣m2+m+2）不符合题意；解：由抛物线C1：y1＝x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c得，解得，∴y2＝﹣+x+2，B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，k BE•k AB＝﹣1，∴k BE＝﹣1，直线BE解析式为y＝﹣x+5联立，解得x＝2，y＝3或x＝6，y＝﹣1，∴E（6，﹣1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，同理得AE解析式：y＝﹣x﹣3，联立，解得x＝﹣2，y＝﹣1或x＝10，y＝﹣13，∴E（10，﹣13）；③若E为直角顶点，设E（m，﹣m2+m+2）由AE⊥BE得k BE•k AE＝﹣1，即，，，（m﹣2）2（m﹣6）（m+2）＝﹣16（m+2）（m﹣2），（m+2）（m﹣2）[（m﹣2）（m﹣6）+16]＝0，∴m+2＝0或m﹣2＝0，或（m﹣2）（m﹣6）+16＝0（无解）解得m＝2或﹣2（不符合题意舍去），∴点E的坐标E（6，﹣1）或E（10，﹣13）．3．如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C （0，4），点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；利用等腰三角形的性质得B（3，0），然后计算自变量为3所对应的二次函数值可得到D点坐标；（2）利用勾股定理计算出BC＝5，设M（0，m），则BN＝4﹣m，CN＝5﹣（4﹣m）＝m+1，由于∠MCN＝∠OCB，根据相似三角形的判定方法，当＝时，△CMN∽△COB，于是有∠CMN＝∠COB＝90°，即＝；当＝时，△CMN∽△CBO，于是有∠CNM＝∠COB＝90°，即＝，然后分别求出m的值即可得到M点的坐标；解：（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣5ax+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；∵AC＝BC，CO⊥AB，∴OB＝OA＝3，∴B（3，0），∵BD⊥x轴交抛物线于点D，∴D点的横坐标为3，当x＝3时，y＝﹣×9+×3+4＝5，∴D点坐标为（3，5）；（2）在Rt△OBC中，BC＝＝＝5，设M（0，m），则BN＝4﹣m，CN＝5﹣（4﹣m）＝m+1，∵∠MCN＝∠OCB，∴当＝时，△CMN∽△COB，则∠CMN＝∠COB＝90°，即＝，解得m ＝，此时M点坐标为（0，）；当＝时，△CMN∽△CBO，则∠CNM＝∠COB＝90°，即＝，解得m＝，此时M点坐标为（0，）；综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A 的纵坐标为t，△ABC的面积为s．（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；（2）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据t＝2可得点A（﹣2，2），因为B在直线l1上，所以设B（x，x+1），利用y＝0代入y＝x+1可得G点的坐标，在Rt△ABG中，利用勾股定理列方程可得点B 的坐标；（2）先把（7，4）代入s＝中计算得b的值，计算在﹣1＜t＜5范围内图象上一个点的坐标值：当t＝2时，根据（1）中的数据可计算此时s＝，可得坐标（2，），代入s＝a（t+1）（t﹣5）中可得a的值；解：（1）如图1，连接AG，当t＝2时，A（﹣2，2），设B（x，x+1），在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，∴G（0，1），∵AB⊥l1，∴∠ABG＝90°，∴AB2+BG2＝AG2，即（x+2）2+（x+1﹣2）2+x2+（x+1﹣1）2＝（﹣2）2+（2﹣1）2，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，∴B（﹣，）；（2）存在，设B（x，x+1），分两种情况：①当∠CAB＝90°时，如图4，∵AB⊥l1，∴AC∥l1，∵l1：y＝x+1，C（0，3），∴AC：y＝x+3，∴A（﹣2，1），∵D（﹣2，﹣1），在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，即（x+2）2+（x+1﹣1）2+（x+2）2+（x+1+1）2＝22，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2（舍），∴B（﹣1，0），即B在x轴上，∴AB＝＝，AC＝＝2，∴S△ABC＝＝＝2；②当∠ACB＝90°时，如图5，∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，∵A（﹣2，t），D（﹣2，﹣1），∴（x+2）2+（x+1﹣t）2＝（x+2）2+（x+1+1）2，（x+1﹣t）2＝（x+2）2，x+1﹣t＝x+2或x+1﹣t＝﹣x﹣2，解得：t＝﹣1（舍）或t＝2x+3，Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即（﹣2）2+（t﹣3）2+x2+（x+1﹣3）2＝（x+2）2+（x+1﹣t）2，把t＝2x+3代入得：x2﹣3x＝0，解得：x＝0或3，当x＝3时，如图5，则t＝2×3+3＝9，∴A（﹣2，9），B（3，4），∴AC＝＝2，BC＝＝，∴S△ABC＝＝＝10；当x＝0时，如图6，此时，A（﹣2，3），AC＝2，BC＝2，∴S△ABC＝＝＝2．。
二次函数与特殊三角形存在性综合问题(原卷版)-九年级数学上册《重难点题型-高分突破》(人教版)
专题2.6二次函数与特殊三角形存在性综合问题（三大题型）【题型1等腰三角形的存在性问题】【题型2直角三角形的存在性问题】【题型3等腰直角三角形存在性问题】等腰三角形的存在性问题【方法1几何法】“两圆一线”（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C 1为例，具体求点坐标：过点A 作AH⊥x 轴交x 轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C 类似可求点C 2、C 3、C 4．关于点C 5考虑另一种方法．【方法2代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C 直角三角形的存在性【方法1几何法】“两线一圆”（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以C2为例：构造三垂直．），坐标为（故代入得：坐标得、由易证0213232222C C C BN AM B A N MB BN AM BN AMB ===∆≈∆()），坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：，设，坐标得、由易证求法相同，如下：、040231a ,4a ,3ab ,3a b 1N a,31,4333333343C C C C C C C CCC b bM BN AM B A NB M N AM NB AM ==+=======∆≈∆【方法2代数法】点-线-方程23m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 22222122111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（：不妨来求下）（）（）（）（BC C C C A AB B A 【题型1等腰三角形的存在性问题】【典例1】（2023•兴庆区校级模拟）如图，已经抛物线经过点O （0，0），A （5，5），且它的对称轴为x ＝2．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点B 是x 轴上的一点，且△OAB 为等腰三角形，请直接写出B 点坐标．【变式1-1】（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．【变式1-2】（2022秋•亳州期末）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；【变式1-3】（2023春•中山市期中）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-4】（2022秋•怀远县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；【变式1-5】（2023•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；【变式1-6】（2023•隆昌市校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【变式1-7】（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．【变式1-8】（2022秋•朔州期末）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-9】（2022秋•港南区期末）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BCP的面积最大值；（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题型2直角三角形的存在性问题】【典例2】（2022秋•云阳县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线得解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△P AC的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标．（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上确定一点M，使得△ADM是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【变式2-1】（2023春•兴宁区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A 作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．（1）当点B的坐标为时，直接写出t的值；（2）s关于t的函数解析式为，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．【变式2-2】（2023•庄浪县三模）如图：已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与x 轴交于A，B点，与y轴交于点C，其中B（2，0），C（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是第一象限抛物线的一个动点，当P点运动到何处时，由点P，B，C 构成的三角形的面积最大，求出此时P点的坐标；（3）若M是抛物线上的一个动点，当M运动到何处时，△MBC是以BC为直角边的直角三角形，求出此时点M的坐标．【变式2-3】（2023•喀喇沁旗一模）如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），直线l经过B、C两点．抛物线的顶点为D．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）判断△BCD的形状并说明理由．（3）如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF ⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三角形时，求点E的坐标．【变式2-4】（2023•铁岭模拟）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝的图象与一次函数y＝﹣的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-5】（2023•怀化二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，E是线段OA的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是抛物线上的动点，当∠OEF＝∠BAE时，求点F的横坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由；【变式2-6】（2023•金湾区一模）如题22图，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，并且经过点A（﹣2，0），交x轴于另一点B，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，求点P到直线BC距离的最大值及此时点P的坐标；（3）在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBC为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型3等腰直角三角形存在性问题】【典例3】（2023•增城区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx ﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-1】（2023•抚远市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．【变式3-2】（2023•富锦市校级一模）如图，是抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．【变式3-3】（2023•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M为该抛物线的对称轴l上一点，点P为该抛物线上的点且在l左侧，当△AMP是以M为直角顶点的等腰直角三角形时，求符合条件的点M的坐标．【变式3-4】（2023•西安一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx ﹣1的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴于点M，以PM为斜边作等腰直角三角形PMN，当点N恰好落在y轴上时，求点P的坐标．【变式3-5】（2023•惠民县自主招生）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．。
中考数学专题复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》测试卷(附答案)
中考数学专题复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》测试卷(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx经过点A（2，0）和点B(−1,m)，顶点为点D．(1)求直线AB的表达式；(2)求tan∠ABD的值；(3)设线段BD与x轴交于点P如果点C在x轴上且△ABC与△ABP相似求点C的坐标．2．如图在平面直角坐标系中点A(1,2)B(5,0)抛物线y=ax2−2ax(a>0)交x轴正半轴于点C连结AO AB．(1)求点C的坐标和直线AB的表达式(2)设抛物线y=ax2−2ax(a>0)分别交边BA BA延长线于点D E．①若△CDB与△BOA相似求抛物线表达式②若△OAE是等腰三角形则a的值为______（请直接写出答案即可）．3．如图拋物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,−2)三点．(1)求出抛物线的解析式(2)若在直线AC上方的抛物线上有一点D使得△DCA的面积最大求出点D的坐标(3)若P是抛物线上一动点过P作PM⊥x轴垂足为M使得以A,P,M为顶点的三角形与△OCA相似请直接写出符合条件的点P的坐标．x2+bx+c与x轴交于A B(4,0)两点与y轴交于点C(0,2)连4．如图抛物线y=−12接BC交抛物线的对称轴于点D连接AC．(1)求抛物线的表达式(2)若点E在对称轴上①当AE+CE的值最小时求点E的坐标②以C D E为顶点的三角形与△ABC相似时求点E的坐标．5．如图已知A(−2,0)B(4,0)抛物线y=ax2+bx+c经过A B两点交y轴于点C(0,4)．点P是第一象限内抛物线上的一点连接AC BC．M为OB上的动点过点M作PM⊥x轴交抛物线于点P交BC于点Q．(1)求抛物线的函数表达式(2)过点P作PN⊥BC垂足为点N设点M的坐标为(m,0)请用含m的代数式表示线段PN的长并求出当m为何值时PN有最大值最大值是多少？(3)试探究M在运动过程中是否存在这样的点Q使得以O M Q为顶点的三角形与△AOC相似．若存在请求出此时点Q的坐标若不存在请说明理由．6．在平面直角坐标系xOy中已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点B(4,0) D(5,3)设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧）且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式和顶点坐标（2）求∠DAB的度数（3）若抛物线与y轴相交于点C直线CD交x轴于点E点P在线段AD上当△APE与△ABD相似时求AP的长．7．如图抛物线y=−12x2+32x+2与x轴交于A B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C连接BC．(1)求点A B C的坐标(2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t过点P作直线PN⊥x轴交抛物线于点N交直线BC于点M．①当点P在线段AB上时设MN的长度为s求s与t的函数关系式②当点P在线段OB上时是否存在点P使得以O P N三点为顶点的三角形与△COB相似？若存在请求出点P的坐标若不存在请说明理由．8．如图在同一直角坐标系中抛物线L1：y=ax2+bx+8与x轴交于A(−8,0)和点C 且经过点B(−2,12)若抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称点A的对应点为A′点B的对应点为B′．（1）求抛物线L2的表达式（2）现将抛物线L2向下平移后得到抛物线L3抛物线L3的顶点为M 抛物线L3的对称轴与x轴交于点N 试问：在x轴的下方是否存在一点M 使△MNA′与△ACB′相似？若存在请求出抛物线的L3表达式若不存在说明理由．9．抛物线y=−x2+bx+3与x轴交于A(−3,0),B(1,0)两点与y轴交于点C点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标S△ACD求点P的坐标（2）在直线AC上方的抛物线上找一点P使S△ACP=12（3）在坐标轴上找一点M使以点B C M为顶点的三角形与△ACD相似直接写出点M 的坐标．(x+2)(ax+b)的图象过点A(−4，3)，B(4，4)．10．如图已知二次函数y=148(1)求二次函数的解析式(2)请你判断△ACB是什么三角形并说明理由．(3)若点P在第二象限且是抛物线上的一动点过点P作PH垂直x轴于点H试探究是否存在以P H D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在求出P点的坐标．若不存在请说明理由．11．如图直线y=−x+4与x轴交于点A与y轴交于B抛物线y=−x2+bx+c经过A B两点与x轴负半轴交于点C连接BC抛物线对称轴与x轴交于点F P为y轴右侧抛物线上的动点直线BP交对称轴于点D．(1)求抛物线的解析式(2)当BD=3PD时求点P的坐标(3)作PQ⊥AB垂足为Q当△BPQ与△BCO相似时直接写出点Q的坐标．12．在平面直角坐标系中二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（－3 0）B （1 0）两点与y轴交于点C．(1)求这个二次函数的解析式(2)点Q是线段AC上方的抛物线上一动点过点Q作QE垂直于x轴垂足为E．是否存在点Q使以点B Q E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在求出点Q的坐标若不存在说明理由(3)点M为抛物线上一动点在x轴上是否存在点Q使以A C M Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点Q的坐标若不存在说明理由．13．如图① 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(−4,0)点B(2,0)和点C(0,−4)它的对称轴为直线l顶点为D．（1）求该抛物线的表达式（2）如图② 点P是直线AC下方该抛物线上的一个动点连接AP CP AC当△APC的面积取得最大值时求点P的坐标（3）如图③ 点E是直线AD下方该抛物线上的一个动点过E点作EF⊥直线l于F连接DE当以D E F为顶点的三角形与△BOC相似时求点E的坐标．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3 0）B（1 0）两点与y轴交于点C（0 ﹣3m）（m＞0）顶点为D．(1)如图1 当m＝1时①求该二次函数的解析式②点P为第三象限内的抛物线上的一个动点连接AC OP相交于点Q求PQ的最大值OQ(2)如图2 当m取何值时以A D C为顶点的三角形与∠BOC相似．15．如图1 在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,0)B(8,0)C(0,4)三点．(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式(2)如图2 设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与B C重合）过点P作PD⊥BC 垂足为点D点P在运动的过程中以P D C为顶点的三角形与△AOC相似时求点P 的坐标(3)在y轴负半轴上是否存在点N使点A绕点N顺时针旋转后恰好落在第四象限抛物线上的点M处且使∠ANM+∠ACM=180°若存在请求N点坐标若不存在请说明理由．（请在备用图中自己画图）16．抛物线y=−x2+2mx−m2+2m(m>0)交x轴于A B两点（A在B的左边）C是抛物线的顶点．(1)当m=2时直接写出A B两点的坐标：(2)点D是对称轴右侧抛物线上一点∠COB=∠OCD①如图（1）求线段CD长度②如图（2）当m>2T(t,0)(t>0)P为线段OC上一点．若△PCD与△POT相似并且符合条件的点P有2个求t和m之间的数量关系．17．如图1 抛物线y=−x2+bx+c经过A(0,3)和B(72,−94)两点直线AB与x轴相交于点C P是直线AB上方的抛物线上的一个动点PD⊥x轴交AB于点D抛物线与x轴的交点为F G．(1)求该抛物线的表达式．(2)当点P的坐标为(2，3)时求四边形APGO的面积．(3)如图2 若PE∥x轴交AB于点E且点P在直线AB上方求PD+PE的最大值．(4)若以A P D为顶点的三角形与△AOC相似请直接写出所有满足条件的点P的坐标．18．如图1 抛物线y=ax2+23x+c(a≠0)与x轴交于A(−2，0)B两点与y轴交于点C(0，4)．(1)求抛物线的解析式(2)若点D是第一象限内抛物线上的一点AD与BC交于点E且AE=5DE求点D的坐标(3)如图2 已知点M(0，1)抛物线上是否存在点P使锐角∠MBP满足tan∠MBP=1若2存在求出点P的坐标若不存在说明理由．19．如图1 平面直角坐标系xOy中抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)B(2,0)和C(0,2)连接BC点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M交x 轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式(2)如图2 连接OM当△OCM为等腰三角形时求m的值(3)当P点在运动过程中在y轴上是否存在点Q使得以O P Q为顶点的三角形与以B C N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应）若存在直接写出点P和点Q的坐标若不存在请说明理由．20．如图（1）在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于A B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C点A的坐标为(−1,0)且OC=OB点D和点C关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a b的值和直线AD的解析式(2)直线AD下方的抛物线上有一点P过点P作PH⊥AD于点H作PM平行于y轴交直线AD 于点M交x轴于点E求△PHM的周长的最大值(3)在（2）的条件下 如图2 在直线EP 的右侧 x 轴下方的抛物线上是否存在点N 过点N 作NG ⊥x 轴交x 轴于点G 使得以点E N G 为顶点的三角形与△AOC 相似？如果存在 请直接写出点G 的坐标 如果不存在 请说明理由．参考答案1．（1）解：∠抛物线y =x 2+bx 经过点A （2 0） ∠22+2b =0 解得：b =−2 ∠抛物线解析式为y =x 2−2x 当x =−1 时 y =3 ∠点B 的坐标为B (−1,3)设直线AB 的解析式为y =kx +m (k ≠0) 把A （2 0） B (−1,3) 代入得： {2k +m =0−k +m =3 解得：{k =−1m =2 ∠直线AB 的解析式为y =−x +2 （2）如图 连接BD AD∠y =x 2−2x =(x −1)2−1 ∠点D 的坐标为D (1,−1) ∠A （2 0） B (−1,3)∠AB 2=(−1−2)2+32=18,AD 2=(2−1)2+(−1)2=2,BD 2=(−1−1)2+(−1−3)2=20∠AB 2+AD 2=BD 2 ∠∠ABD 为直角三角形 ∠tan∠ABD =ADAB =√2√18=13（3）设直线BD 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0) 把点D (1,−1) B (−1,3)代入得：{k 1+b 1=−1−k 1+b 1=3 解得：{k 1=−2b 1=1∠直线BD 的解析式为y =−2x +1当y =0 时 x =12 ∠点P 的坐标为P (12,0) 当∠ABP ∠∠ABC 时 ∠ABC =∠APB如图 过点B 作BQ ∠x 轴于点Q 则BQ =3 OQ =1∠∠ABP ∠∠ABC∠∠ABD =∠BCQ由（2）知tan∠ABD =13∠tan∠BCQ =13 ∠BQ CQ =13∠CQ =9∠OC =OQ +CQ =10∠点C 的坐标为C (−10,0)当∠ABP ∠∠ABC 时 ∠APB =∠ACB 此时点C 与点P 重合∠点C 的坐标为C (12,0)综上所述 点C 的坐标为C (−10,0)或(12,0)．2．（1）解：∠x =−b 2a =1∠O C 两点关于直线x =1对称∠C (2,0)设直线AB ：y =kx +b (k ≠0)把A (1,2) B (5,0) 代入得{k +b=25k +b=0解得{k =−12b =52则y =−12x +52 （2）①设D 的坐标为(p,q ) 则BD AB =q 2 若△CDB 与△BOA 相似 则BD AB =BC BO∠q 2=BC BO =35∠q =65 ∠D (p,q )在直线AB 上∠D (135,65) 代入抛物线解析式可得a =1013∠抛物线解析式为y =1013x 2−2013x ．②∠A (1,2) B (5,0) O (0,0)∠OA =√5 OB =5 AB =2√5∠OA 2+AB 2=OB 2∠∠OAB=90°∠∠OAE=90° 设E 的坐标为(m,n )∠△OAE 是等腰三角形∠AE =AO =√5∠BE =3√5∠S △BEO =12BE ⋅OA =12BO ⋅n ∠12×3√5×√5=12×5n∠n =3∠E (m,n )在直线AB 上∠3=−12m +52 ∠m =−1又∠E (−1,3)在抛物线上∠3=a +2a故答案为：1．3．解：（1）设抛物线的解析式为y =a (x −4)(x −1)∵点C (0,−2)在抛物线上∴−4×(−1)a =−2∴a =−12∴抛物线的解析式为y =−12(x −4)(x −1)=−12x 2+52x −2（2）如图当点D 在抛物线上 且使△DCA 的面积最大 必有平行于直线AC 的直线DE且和抛物线只有一个交点设直线AC 解析式为y =kx +m∵A (4,0) C (0,−2)∠{4k +m =0m =−2解得{k =12m =−2∴直线AC 解析式为y =12x −2设直线DE 解析式为y =12x +b ①∵抛物线的解析式为y =−12x 2+52x −2②联立①②化简得 x 2−4x +4+2b =0∴ Δ=16−4(4+2b )=0∴b =0∴x 2−4x +4=0∴x =2∴D (2,1)过点P 作PM ⊥OAA (4,0) C (0,−2)∴OA =4 OC =2∴ OA OC =2设点P (p,ℎ)∴AM =|4−p|．PM =|ℎ| ℎ=−12p 2+52p −2③∵∠APM =∠AOB =90°∵以A P M 为顶点的三角形与△OAC 相似∴ PM AM=OA OC =2 ① ∴ |ℎ||4−p|=2④联立③④解得{p =4ℎ=0 （舍)或{p =5ℎ=−2或{p =−3ℎ=−14 ∴P (−3,−14)或(5,−2)②PM AM=OC OA =12 ∴ |ℎ||4−p|=12⑤联立③⑤解得 {p =2ℎ=1 或{p =4ℎ=0 （舍)或{p =0ℎ=−2∴P (2,1)或(0,−2)综上 得到点P (−3,−14)或(5,−2)或(2,1)或(0,−2)．4．（1）解：将点B C 的坐标代入抛物线表达式得：{c =2−12×16+4b +c =0解得：{b =32c =2故抛物线的表达式为：y =−12x 2+32x +2（2）解：①∵B 是点A 关于抛物线对称轴的对称点 连接BC 交抛物线对称轴于点E 则点E 为所求点则点D E 重合设BC 的解析式为y =kx +b将B(4,0) C(0,2)代入解析式可得{0=4k +b b =2解得{k =−12b =2∴直线CB 的表达式为：y =−12x +2 由y =−12x 2+32x +2知 点D 的横坐标为−b 2a =32把x =32代入y =−12x +2 可得y =54∴E (32,54)②令y =−12x 2+32x +2=0 解得：x =−1或4 则点A(−1,0)由点A B C 的坐标得 AB =5 AC =√5 BC =√20∵AB 2=AC 2+BC 2∴△ABC 为直角三角形 且∠ACD =90°∵以C D E 为顶点的三角形与△ABC 相似则△CDE 为直角三角形当∠CE ′D 为直角时 如图则点E ′的坐标为E ′(32,2)当∠ECD 为直角时 如图∵∠ACB 为直角∴A,C,E 三点共线设AC 的解析式为y =k 1x +b 1把A (−1,0),C (0,2)代入可得{2=b 0=−x +b 解得{k =2b =2∴直线AC 的表达式为：y =2x +2当x =32时 y =2x +2=5即点E(32,5)综上点E的坐标为：(32,2)或(32,5)．5．（1）解：∵A(−2,0)B(4,0)抛物线y=ax2+bx+c经过A B两点交y轴于点C(0,4)∴c=4{4a−2b+4=016a+4b+4=0解得{a=−12 b=1∴抛物线解析式为y=−12x2+x+4（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b1∵点C的坐标为(0,4)B点坐标为(4,0)∴{4k1+b=0b=4∴{k1=−1b=4∴直线BC的解析式为y=−x+4∴点P的坐标为(m,−12m2+m+4)点Q的坐标为(m,−m+4)∴PQ=−12m2+m+4−(−m+4)=−12m2+2m=−12(m−2)2+2∵OC=OB=4∴∠B=45°∠BQM=∠PQN=45°∴PN=√22PQ=−√22m2+√2m=−√22(m−2)2+√2∴当m=2时PN有最大值√2（3）解：存在Q(43,83)或Q(83,43)理由：如图所示OC=4OA=2Q的坐标为(m,−m+4)∠COA=∠OMQ=90°当△OAC∽△MOQ时MQOM =OCOA=2即−m+4m=2解得m=43此时Q的坐标为(43,83)当△OAC∽△MQO时MQOM =OAOC=12即−m+4m=12解得m=83此时Q的坐标为(83,43)综上Q点坐标为(43,83)或(83,43)．6．解：（1）设A(m,0)∵B(4,0),D(5,3)∴AB=4−m AB边上的高为3则由ΔABD的面积是3可得：12(4−m)×3=3解得m=2∴A(2,0)设抛物线解析式为y=a(x−2)(x−4)将D(5,3)代入得：3a=3解得a=1∴y=(x−2)(x−4)=x2−6x+8∵y=x2−6x+8=(x−3)2−1∴顶点坐标为(3,−1)故该抛物线的表达式为y=x2−6x+8顶点坐标为(3,−1)（2）如图过点D作DF⊥x轴于点F∵A(2,0),B(4,0),D(5,3)∴DF =3,AF =5−2=3,AB =4−2=2∴DF =AF∴∠DAB =∠DAF =45°（3）如图∵抛物线的表达式为y =x 2−6x +8令x =0 则y =8∴ C(0,8)设直线CD 解析式为y =kx +b将C(0,8),D(5,3)代入得{b =85k +b =3解得{k =−1b =8直线CD 解析式为：y =-x +8当y =0时 −x +8=0 解得x =8∴E(8,0)∵A(2,0),B(4,0),D(5,3)∴AB =4−2=2 AD =√(5−2)2+32=3√2,BD =√(5−4)2+32=√10 ①若ΔADB ∽ΔAPE 则AP AE =AD AB∴AP =AE⋅AD AB =3√2×62=9√2>AD∵点P 在线段AD 上∴此种情形不存在 不合题意②若ΔADB ∽ΔAEP 则AP AB =AE AD∴AP =AE ⋅AB AD =3√2=2√2 综上所述 AP 的长为2√2．7．（1）解：当x =0时 y =2当y =0时 即−12x 2+32x +2=0 解得：x 1=−1 x 2=4∠A(−1，0) B(4，0) C(0，2)（2）解：①设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)把B(4，0) C(0，2)代入 得{4k +b =0b =2解得：{k =−12b =2∠直线BC 的解析式为y =−12x +2 ∠点P 的横坐标为t∠M (t,−12t +2) N (t,−12t 2+32t +2) 当点P 在y 轴的左侧 即−1≤t <0时由题意得：s =−12t +2−(−12t 2+32t +2)=−12t +2+12t 2−32t −2=12t 2−2t 当点P 在y 轴的右侧（包含原点） 即0≤t ≤4时 由题意得：s =−12t 2+32t +2−(−12t +2)=−12t 2+32t +2+12t −2=−12t 2+2t 综上 s ={12t 2−2t (−1≤t <0)−12t 2+2t (0≤t ≤4)②如图 当△OP 1N 1∽△COB 时可得OP 1CO =N 1P 1BO 即t 2=−12t 2+32t+24∠−t 2+3t +4=4t整理得：t 2+t −4=0 解得：t 1=−1+√172 t 2=−1−√172（不合题意 舍去）当△OP2N2∽△BOC时可得OP2BO =N2P2CO即t4=−12t2+32t+22∠−2t2+6t+8=2t整理得：t2−2t−4=0解得：t3=1+√5t4=1−√5（不合题意舍去）综上点P的坐标为(−1+√172,0)和(1+√5,0)．8．解：（1）将A(−8,0)B(−2,12)分别代入y=ax2+bx+8中得{a×(−8)2−8b+8=0a×(−2)2−2b+8=12解得{a=−12 b=−3∴抛物线L1的解析式为y=−12x2−3x+8=−12(x+3)2+252则：顶点为(−3,252)∵抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称顶点也关于y轴对称开口方向及大小均相同即二次项系数相同∴抛物线L2的顶点为(3,252)∴抛物线L2的解析式为y=−12(x−3)2+252=−12x2+3x+8．故抛物线L2的解析式为y=−12x2+3x+8．（2）如图存在点M 使△MNA′与△ACB′相似．由题意得：A′(8,0) B′(2,12) C (2,0) N (3,0) ∴ AC =10 B′C =12 A′N =5 ∵ ∠A′NM =∠ACB′=90°∴ △A′MN 与△AB′C 相似 可以分两种情况： ①当△AB′C ∽△A′MN 时 则MNNA′=B′C AC=1210=65∴ MN =6 即点M (3,−6)此时 抛物线L 3的表达式为y =−12(x −3)2−6=−12x 2+3x −212．②当△AB′C ∽△MA′N 时 同理可得：点M (3,−256)此时 抛物线L 3的表达式为y =−12(x −3)2−256=−12x 2+3x −263故：函数L 3的解析式为：y =−12x 2+3x −212或y =−12x 2+3x −263．9．解：（1）将A(−3,0),B(1,0)代入抛物线解析式中得：{9a −3b +3=0a +b +3=0解得：{b =−2c =3∠抛物线解析式为y =−x 2−2x +3=−(x 2+2x)+3 =−(x 2+2x +1−1)+3=−(x +1)2+4 当x =−1时 y =4 ∠顶点D(−1,4)（2）当x =0时 ∠点C 的坐标为(0,3)∠AC =√32+32=3√2,CD =√12+12=√2,AD =√22+42=2√5 ∠AC 2+CD 2=AD 2∠△ACD 为直角三角形 ∠ACD =90°． 设直线AC 的解析式为y =kx +b 根据题意得：{−3k +b =0b =3解得：{k =1b =3∠直线AC 的解析式为y =x +3 ∠A(−3,0) D(−1,4)∠线段AD 的中点N 的坐标为(−2,2) 过点N 作NP//AC 交抛物线于点P 设直线NP 的解析式为y =x +c 则−2+c =2 解得：c =4 ∠直线NP 的解析式为y =x +4由y =x +4,y =−x 2−2x +3联立得：−x 2−2x +3=x +4 解得：x 1=−3−√52,x 2=−3+√52∠P (−3−√52,5−√52)或(−3+√52,5+√52)（3）分三种情况： ①△CMB ∽△ACD∴CM CB =ACAD ∴CM √10=3√22√5∴CM =3此时M 恰好为原点 M(0,0) ②△MCB ∽△ACD∴MC AC =CBCD∴3√2=√10√2 ∴CM =3√10设M(x,0)∵OM 2+OC 2=CM 2 ∴x 2+32=(3√10)2∴x 2=81∴x =−9或x =9（舍去） 此时M(−9,0) ③△CBM ∽△ACD∴CB AC =CM AD∴√103√2=CM2√5 ∴CM =103设M(x,0)∴|CM −OC |=103−3=13∴x =−13或x =13（舍去）此时M 在y 轴负半轴上 M (0,−13)综上所述 点M 的坐标为(0,0)或(−9,0)或(0,−13)．10．（1）解：由题意得 函数图象经过点A （﹣4 3） B （4 4） 故可得：{3=148（−4+2）（−4a +b ）4=148（4+2）（4a +b ）解得：{a =13b =−20故二次函数关系式为： y =148(x +2)(13x −20)=1348x 2+18x −56．故答案为：y =1348x 2+18x −56．（2）解：△ACB 是直角三角形 理由如下： 由（1）所求函数关系式y =1348x 2+18x −56当y =0时 0=1348x 2+18x −56解得x 1=−2 x 2=2013∠点C 坐标为（﹣2 0） 点D 坐标为（2013 0） 又∠点A （﹣4 3） B （4 4） ∠AB =√(4+4)2+（4−3）2=√65 AC =√(−2+4)2+（0−3）2=√13BC =√(4+2)2+（4−0）2=2√13∠满足AB 2=AC 2+BC 2 ∠△ACB 是直角三角形． （3）解：存在 点P 的坐标为（−50133513）或（−1221328413）．设点P 坐标为（x 148（x +2）（13x ﹣20）） 则PH ＝148（x +2）（13x ﹣20） HD ＝﹣x +2013 若∠DHP ∠∠BCA 则PH AC＝DH BC即148(x+2)(13x−20)√13＝−x+20132√13解得：x =−5013或x =2013（因为点P 在第二象限 故舍去） 代入可得PH =3513即P 1坐标为（−50133513）若∠PHD ∠∠BCA 则PH BC＝HD AC即148(x+2)(13x−20)2√13＝−x+2013√13解得：x =−12213或 x =2013（因为点P 在第二象限 故舍去）． 代入可得PH =28413即P 2坐标为：（−1221328413）．综上所述 满足条件的点P 有两个 即P 1（−50133513）或P 2（−1221328413）．11．（1）解：∠直线y =−x +4与x 轴交于点A 与y 轴交于B ∴当x =0时 y =4 当y =0时 ∴A (4,0) B (0,4)又抛物线y =−x 2+bx +c 经过A B 两点 把A (4,0) B (0,4)代入得：{−16+4b +c =0c =4解得：{b =3c =4∠抛物线的解析式是y =−x 2+3x +4 （2）解：作PE ⊥AC 垂足为E 如图所示∠∠DFA =∠PEA =∠BOA =90° ∠DF ∥PE ∥BO由（1）得：抛物线的解析式是y =−x 2+3x +4 抛物线对称轴是x =−b2a =−32×(−1)=32 ∠BD =3PD①当P 在对称轴右侧时 OF ∶OE =BD ∶BP =3∶4 点P 的横坐标是2 y =−4+6+4=6 ∠点P 的坐标是(2,6)②当P 在对称轴左侧时 OF ∶OE =BD ∶BP =3∶2 点P 的横坐标是1 y =−1+3+4=6 ∠点P 的坐标是(1,6)∠点P 的坐标是(2,6)或(1,6)（3）解：∠抛物线对称轴与x轴交于点F对称轴是x=−b2a =−32×(−1)=32∠F(32,0)∠点A C关于对称轴对称∠CF=AF=4−32=52∠C(−1,0)∠A(4,0)B(0,4)∠OC=1OA=OB=4∠△ABO是等腰直角三角形∠∠BAO=∠ABO=45°设P(t,−t2+3t+4)过点P作PM∥y轴交直线AB于点M过点M作MN⊥y轴于点N 当点P在AB上方点Q在点B的右侧时如图所示则M(t,−t+4)MN=t∠PM=−t2+3t+4−(−t+4)=−t2+4t∠△BMN是等腰直角三角形∠BM=√2MN=√2t∠∠PMQ=∠ABO=45°∠PQM=90°∠△PMQ是等腰直角三角形∠PQ=MQ=√22PM=√22(−t2+4t)∠BQ=BM−MQ=√2t−√22(−t2+4t)=√22t2−√2t若△BPQ∼△BCO则PQOB =BQOC∠√22(−t 2+4t )4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=125当t 2=125时 −t 2+3t+4=−(125)2+3×125+4=13625∠P (125,13625) M (125,85) ∠PM =13625−85=9625过点Q 作QK ⊥PM 轴于点K 则QK =12PM =12×9625=4825∠点Q 的横坐标为125−4825=1225 纵坐标为−1225+4=8825 ∠Q (1225,8825)若△BPQ ∼△CBO 则PQ OC =BQOB ∠√22(−t 2+4t )1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=185当t 2=185时 −t 2+3t+4=−(185)2+3×185+4=4625∠P (185,4625) M (185,25) ∠PM =4625−25=3625 同理可得：Q (7225,2825)当点P 在AB 上方 点Q 在点B 的左侧时 如图所示则M (t,−t+4) MN =t∠PM =−t 2+3t+4−(−t+4)=−t 2+4t同理可得：PQ =MQ =√22PM =√22(−t 2+4t ) BM =√2MN =√2t∠BQ =BM −MQ =−√22t 2+√2t 若△BPQ ∼△CBO 则PQOB =BQOC ∠√22(−t 2+4t )4=−√22t 2+√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43当t 2=43时 −t 2+3t+4=−(45)2+3×43+4=569∠P (43,569)同理可得：Q (−49,329) 若△BPQ ∼△BCO 则PQ OC=BQ OB∠√22(−t 2+4t )1=−√22t 2+√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍去）当点P 在AB 下方 对称轴左侧的抛物线上时 则t <0 如图所示∠PM =−t+4−(−t 2+3t+4)=t 2−4t ME =−t ∠PQ =MQ =√22PM =√22t 2−2√2t BM =√2ME =−√2t∠BQ =MQ −BM =√22t 2−√2t若△BPQ ∼△CBO 则PQOB =BQOC ∠√22t 2−2√2t 4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43（舍） 若△BPQ ∼△BCO 则PQOC =BQOB∠√22t 2−2√2t 1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍）当点P 在AB 下方 对称轴右侧的抛物线上时 则t>4 如图所示∠PM =t 2−4t ME =t ∠PQ =MQ =√22PM =√22t 2−2√2t BM =√2ME =√2t∠BQ =BM+MQ =√22t 2−2√2t+√2t =√22t 2−√2t若△BPQ ∼△CBO 则PQOB=BQ OC∠√22t 2−2√2t 4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43（舍） 若△BPQ ∼△BCO 则PQ OC=BQ OB∠√22t 2−2√2t 1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍）当t 2=143时 −t 2+3t+4=−(143)2+3×143+4=−349∠P (143,−349)同理可得：Q (569,−209)综上所述：点Q 的坐标为Q 1(7225,2825),Q 2(1225,8825),Q 3(569,−209),Q 4(−49,409) 12．解：（1）∠抛物线y =ax 2+bx +2过点A （－3 0） B （1 0）∠{9a −3b +2=0a +b +2=0 解得：{a =−23b =−43∠二次函数的关系解析式为y =−23x 2−43x +2．（2）存在点Q （-2 2）或(−34,218)使以点B Q E 为顶点的三角形与△AOC 相似．理由如下：如图①设点E 的横坐标为c 则点Q 的坐标为（c −23c 2−43c +2）∠BE =1-c QE =−23c 2−43c +2①OA 和BE 是对应边时 ∠∠BEQ ∠∠AOC ∠OA BE=OC QE即31−c =2−23c 2−43c+2整理得 c 2+c -2=0 解得c 1=-2 c 2=1（舍去）此时 −23×(−2)2−43×(−2)+2=2点Q （-2 2）②OA 和QE 是对应边时 ∠∠QEB ∠∠AOC ∠OA QE=OC BE 即3−23c 2−43c+2=21−c整理得 4c 2-c -3=0解得c 1=−34 c 2=1（舍去）此时−23×(−34)2−43×(−34)+2=218点Q(−34,21 8)综上所述存在点Q（-2 2）或(−34,218)使以点B Q E为顶点的三角形与∠AOC相似．（3）①如图2当MC//AQ且MC=AQ时M与C关于对称轴x=-1对称∠AQ=MC=2∠Q1（-1 0）Q2（-5 0）②如图3当AC//MQ且AC=MQ时因为平行四边形是中心对称图形并且中心对称点在x轴上所以点M到x轴的距离为2．设M（m23m2−43m+3）∠2 3m2−43m+3=-2∠m2+2m-6=0∠m=-1±√7∠QG=3∠Q 3（2+√7 0） Q 4（2−√7 0）．综上所述 满足条件的点Q 的坐标为：Q 1（-5 0） Q 2（-1 0） Q 3（2+√7 0） Q 4（2−√7 0）．13．解：（1）将点A (−4,0) 点B (2,0) 点C (0,−4)代入y =ax 2+bx +c得{c =−416a −4b +c =04a +2b +c =0∠{a =12b =1c =−4∠y =12x 2+x −4（2）如图 过P 点作x 轴垂线交AC 于点Q设直线AC 的解析式为y =kx +b∠{−4k +b =0b =−4∠{k =−1b =−4∠y =−x −4设P (t,12t 2+t −4) 则Q (t,−t −4) ∠PQ =−t −4−12t 2−t +4=−12t 2−2t∠S △ACP =12×4×(−12t 2−2t)=−t 2−4t =−(t +2)2+4∠当t =−2时 S △ACP 有最大值∠P (−2,−4)（3）抛物线的对称轴为x =−1 顶点D (−1,−92)设E (m,12m 2+m −4) 则F (−1,12m 2+m −4)∠EF =−1−m DF =12m 2+m −4+92=12m 2+m +12∠点E 是直线AD 下方该抛物线上的一个动点∠−4<m <−1∠B (2,0) C (0,−4)∠OB =2 OC =4∠tan∠OCB =12当∠EDF =∠OCB 时 △EDF ∼△BCO∠EF FD =12∠2(−1−m)=12m 2+m +12解得m =−1（舍）或m =−5（舍）当∠FED =∠OCB 时 △EDF ∼△DBO∠EF FD =2∠2(12m 2+m +12)=−1−m解得m =−1（舍）或m =−2∠E (−2,−4)综上所述：当以D E F 为顶点的三角形与△BOC 相似时 E 点坐标(−2,−4)．14．（1）解：①由m ＝1可知点C （0 ﹣3）∵抛物线与x 轴交点为A(−3,0) B(1,0)∴抛物线解析式为：y =a(x +3)(x −1)将点C(0,−3)代入上式 得a ×3×(−1)=−3∴a =1∴抛物线的解析式为：y =(x +3)(x −1)=x 2+2x −3②由①可知抛物线解析式为y =x 2+2x −3 则设P(x,x 2+2x −3) 设直线AC 的解析式为y =kx +b由题意可得{−3k +b =0b =−3解得{k =−1b =−3∴直线AC 的解析式为y =−x −3如图1 过点P 作PN ⊥x 轴 交AC 于N 则PN//OC∴点N(x,−x −3)∴PN =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3x∵PN//OC∴△PQN ∽△OQC∴ PQ OQ =PN OC∴ PQ OQ =−x 2−3x 3=−(x+32)2+943 ∴当x =−32时 PQ OQ 的最大值为34 （2）解：∵y =mx 2+2mx −3m =m(x +1)2−4m∴顶点D 坐标为(−1,−4m)如图2 过点D 作DE ⊥x 轴于点E 则DE =4m OE =1 AE =OA −OE =2 过点D 作DF ⊥y 轴于点F 则DF =1 CF =OF −OC =4m −3m =m由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9CD2=CF2+DF2=m2+1AD2=DE2+AE2=16m2+4∵ΔACD与ΔBOC相似且ΔBOC为直角三角形∴ΔACD必为直角三角形i)若点A为直角顶点则AC2+AD2=CD2即：(9m2+9)+(16m2+4)=m2+1整理得：m2=−12∴此种情形不存在ii)若点D为直角顶点则AD2+CD2=AC2即：(16m2+4)+(m2+1)=9m2+9整理得：m2=12∵m>0∴m=√2 2此时可求得ΔACD的三边长为：AD=2√3CD=√62AC=3√62ΔBOC的三边长为：OB=1OC=3√22BC=√222两个三角形对应边不成比例不可能相似∴此种情形不存在iii)若点C为直角顶点则AC2+CD2=AD2即：(9m2+9)+(m2+1)=16m2+4整理得：m2=1∵m>0∴m=1此时可求得ΔACD的三边长为：AD=2√5CD=√2AC=3√2ΔBOC的三边长为：OB=1OC=3BC=√10∵ADBC =ACOC=CDOB=√2∴满足两个三角形相似的条件∴m=1．综上所述当m=1时以A D C为顶点的三角形与ΔBOC相似．15．（1）解：将A(−2,0),B(8,0),C(0,4)三点坐标代入y=ax2+bx+c中得{4a−2b+c=0c=464a+8b+c=0解得{a=−14b=32c=4所以抛物线表达式为：y=−14x2+32x+4．（2）解：根据题意得：∵A(−2,0),B(8,0),C(0,4)∠OA=2,OB=8,OC=4∴AOOC=COBO=12又∠AOC=∠COB=90°∴△AOC∽△COB∴∠ACO=∠CBO∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=∠CBO+∠BCO=90°当△AOC∽△PDC时∴∠ACO=∠PCD∵∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCD+∠OCB=90°∴PC⊥OC∴点P的纵坐标为4当y=4时有−14x2+32x+4=4解得x=6或x=0（舍）∴点P的坐标为(6,4)当△AOC∽△CDP时∠P′CD′=∠CAO作P′G⊥y轴于点G过点P′作P′H∥y轴交BC于点H如图∴∠P′HC=∠BCO∵AOOC=COBO=12,∠AOC=∠BOC=90°∴△AOC∽△COB∴∠OCB=∠OAC∴∠P′CH=∠P′HC∴P′C=P′H设直线BC的解析式为y=k′x+b′把点B(8,0),C(0,4)代入得：{8k ′+b′=0b′=4解得：{k′=−12b′=4∠直线BC的解析式为y=−12x+4设P′(m,−14m2+32m+4)则H(m,−12m+4)∴P′C=P′H=−14m2+32m+4−(−12m+4)=−14m2+2m在Rt△P′GC中由勾股定理得P′C2=P′G2+GC2即(−14m2+2m)2=m2+(−14m2+32m)2解得m=3∴P′(3,254)综上点P的坐标为：(6,4)或(3,254)．（3）解：过N作NF⊥MC交MC于点F过N点作NG⊥AC交CA的延长线于点G则∠G=∠CFN=90°∴∠ACM+∠GNF=180°设CM与x轴交于K由旋转得：AN=MN∵∠ANM+∠ACM=180°∴∠ANM=∠GNF∴∠ANG=∠MNF∵∠G=∠MFN=90°∴△NGA≌△NFM∴NG=NF∴NC平分∠ACM∵CO⊥AB ∴OK=OA=2∴K(2,0)∴CK的解析式为：y=−2x+4∴−2x+4=−14x2+32x+4解得：x1=0,x2=14∴M(14，−24)设N(0,n)∵AN=MN∴(−2)2+n2=142+(−24−n)2解得：n=−16所以点N坐标为(0,−16)．16．解：（1）∠抛物线y=−x2+2mx−m2+2m(m>0)交x轴于A B两点∠当m=2∠y=−x2+4x∠x1=0x2=4∠A(0,0)B(4,0)．（2）①∠y=−x2+2mx−m2+2m∠对称轴x=−b2a=m∠顶点坐标C(m,2m)延长CD交x轴于点E设点E(a,0)a>m∠∠COB=∠OCD∠|OE|=|CE|∠a2=(a−m)2+(2m)2解得：a=52m∠点E的坐标为：(52m,0)设直线CE的解析式为：y=k1x+b1(k≠0)∠{2m=km+b 0=52mk+b解得：{k=−43b=103m∠y=−43x+103m∠−43x+103m=−x2+2mx−m2+2m解得：x1=m（舍）x2=m+43∠点D(m+43,2m−169)∠CD=209．②设直线OC的解析式为：y=k1x(k≠0)∠y=2x∠设点P(b,2b)∠OP=√b+24b2=√5b CP=√(m−b)2+(2m−2b)2=√5(m−b)当△OPT∼△CDP∠OP CD =OTCP∠√5b×920=√5(m−b)整理得：9b2−9mb+4t=0∠Δ>0∠81m2−4×9×4t>0∠9m2−16t>0当△OTP∼△CDP∠OT CD =OPCP∠t×920=√5b√5(m−b)整理得：b =9tm 20+9t∠仅存在一个点P∠不符合题意∠综上 t 和m 之间的数量关系为：9m 2−16t >0．17．（1）解：∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A (0,3)和B (72,−94)两点∴将A (0,3)和B (72,−94)代入y =−x 2+bx +c 得{c =3−(72)2+72b +c =−94 解得{b =2c =3 ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3（2）解：在 y =−x 2+2x +3中 当y =0时 −x 2+2x +3=0 解得x =3或x =−1 ∠G(3，0)∠OG =3∠A(0，3)，P(2，3)∠OA =3，AP =2，AP ∥x 轴∠S 四边形APGO =AP+OG 2⋅OA =2+32×3=7.5（3）解：设直线AB 的解析式为y =kx +n 把A (0,3)和B (72,−94)代入得{n =372k +n =−94解得{k =−32n =3∴直线AB 的解析式为y =−32x +3 在y =−32x +3 当y =0时 −32x +3=0 解得x =2 ∴C (2,0)联立{y =−x 2+2x +3y =−32x +3 解得x 1=0 x 2=72 ∵PD ⊥x 轴 PE ∥x 轴∴∠ACO =∠DEP∴Rt △DPE ∽Rt △AOC∴ PD PE =OA OC =32 即PE =23PD∴PD +PE =53PD设点P (a,−a 2+2a +3) 0<a <72 则D (a,−32a +3)∴PD =(−a 2+2a +3)−(−32a +3)=−(a −74)2+4916 ∴PD +PE =−53(a −74)2+24548∵−53<0 抛物线开口向下 PD +PE 有最大值 0<a <72 ∴当a =74时 PD +PE 有最大值为24548（4）解：∵PD ⊥x 轴∴PD ∥y 轴 即∠OAC =∠PDA根据题意 分两种情况：①当△AOC ∽△DPA 时∴∠DPA =∠AOC =90°∵PD ⊥x 轴 ∠DPA =90° A (0,3)∴点P 纵坐标是3 横坐标x >0 即−x 2+2x +3=3 解得x =2∴点D 的坐标为(2,0)∵PD ⊥x 轴∴点P 的横坐标为2∴点P (2,3)②当△AOC ∽△DAP 时∴ ∠APD =∠ACO过点A 作AG ⊥PD 于点G 如图所示：∴△APG ∽△ACO∴ PG AG =OC AO设点P (n,−n 2+2n +3) 则D (n,−32n +3) 则−n 2+2n+3−3n =23 解得n =43 ∠P (43,359)综上所述 P (2,3)或P (43,359)．18．（1）解：把点A(−2，0) C(0，4)代入y =ax 2+23x +c (a ≠0)得：{4a −43+c =0c =4 解得：{a =−23c =4 ∠抛物线的解析式为y =−23x 2+23x +4 （2）解：过点D 作DF∥AB 交BC 于点F当y =0时 有−23x 2+23x +4=0 解得x 1=−2,x 2=3∠B (3,0)设直线BC 的解析式为：y =kx +b代入B (3,0) C(0，4)得：{3k +b =0b =4解得{k =−43b =4∠直线BC 的解析式为：y =−43x +4 设点D 的横坐标为t 则D (t ，−23t 2+23t +4) ∠F (12t 2−12t,−23t 2+23t +4) ∠DF =t −(12t 2−12t)=−12t 2+32t∠A(−2，0) B(3，0)∠AB =5∠DF∥AB∠△DEF∽△AEB∠DF AB =DE AE∠−12t 2+32t 5=DE 5DE =15 ∠−12t 2+32t =1解得：t 1=1 t 2=2∠点D 的坐标为(1，4)或(2,83)（3）解：存在点P 使tan∠MBP =12 ①当PB 在MB 上方时 过点M 作IM ⊥PB 交PB 于I 过I 作IJ ⊥y 轴于J则tan∠MBI =MI MB =12∠∠JMI +∠JIM =90° ∠JMI +∠OMB =90°∠∠JIM =∠OMB又∠∠IJM =∠MOB =90°∠△MIJ∽△BMO∠IJ MO=JM OB =IM MB ∠IJ 1=JM 3=12 ∠IJ =12 JM =32∠OJ =JM +OM =52∠I (12,52)设直线BI 的解析式为：y =mx +n代入B(3，0) I (12,52)得：{3m +n =012m +n =52 解得：{m =−1n =3∠直线BI 的解析式为：y =−x +3联立{y =−23x 2+23x +4y =−x +3解得：{x =−12y =72或{x =3y =0 （不合题意 舍去）∠此时点P 的坐标为(−12,72)②当PB 在MB 下方时 过点M 作KM ⊥P ′B 交P ′B 于K 过K 作KL ⊥y 轴于L 同理可得 点P 的坐标为(−3114,−7398)综上所述 点P 的坐标为(−12,72)或(−3114,−7398)．19．（1）解：∠抛物线y =ax 2+bx +c 过点A (−1,0) B (2,0)∠抛物线的表达式为y =a (x +1)(x −2)将点C (0,2)代入y =a (x +1)(x −2) 得：2=−2a解得：a =−1∠抛物线的表达式为y =−(x +1)(x −2) 即y =−x 2+x +2设直线BC 的表达式为y =kx +t 过点B (2,0) C (0,2)∠{2k +t =0t =2解得：{k =−1t =2∠直线BC 的表达式为y =−x +2（2）∠点M 在直线BC 上且P (m,n )(m >0) PN ⊥x 轴 C (0,2)∠M (m,−m +2) OC =2∠CM 2=(m −0)2+(−m +2−2)2=2m 2 OM 2=m 2+(−m +2)2=2m 2−4m +4 当△OCM 为等腰三角形时①若CM =OM 则CM 2=OM 2即2m 2=2m 2−4m +4解得：m =1②若CM =OC 则CM 2=OC 2即2m2=4解得：m=√2或m=−√2（舍去）③若OM=OC则OM2=OC2即2m2−4m+4=4解得：m=2或m=0（舍去）综上所述m=1或m=√2或m=2（3）∠B(2,0)C(0,2)∠COB=90°∠OC=OB=2∠∠OCB=∠OBC=45°CB=√OC2+OB2=√22+22=2√2∠点P与点C相对应P(m,n)(m>0)∠△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB①若点P在点B的左侧则∠CBN=45°BN=2−m CB=2√2∠CNB=∠CON+∠OCN=90°+∠OCN>90°如图当△POQ∽△CBN即∠POQ=45°时∠P(m,m)此时直线OP的表达式为y=x∠直线OP：y=x与抛物线y=−x2+x+2交于点P(m,m)(m>0)∠−m2+m+2=m解得：m=√2或m=−√2（负值舍去）∠OP=√(√2)2+(√2)2=2∠OP BC =OQBN即2√2=2−√2解得：OQ=√2−1∠P(√2,√2)Q(0,√2−1)如图当△POQ∽△CNB即∠PQO=45°时过点P作PK⊥y轴于K点∠PK=KQ=m KO=PN=−m2+m+2∠PQ=KPsin∠PQO =msin45°=√2m OQ=KQ−KO=m−(−m2+m+2)=m2−2∠PQ CB =OQNB即√2m2√2=m2−22−m解得：m=1+√133或m=1−√133（负值舍去）∠P(1+√133,7+√139)Q(0,4−2√139)②若点P在点B的右侧则∠CBN=135°BN=m−2如图当△POQ∽△CBN即∠POQ=135°时过点P作PK⊥y轴于K点∠P(m,−m)此时直线OP的表达式为y=−x PK=KQ=m KO=−(−m2+m+2)=m2−m−2∠m2−m−2=m解得：m=1+√3或m=1−√3（负值舍去）∠OP=PKsin∠POK =msin45°=√2m=√2(1+√3)=√2+√6∠OP BC =OQBN即√2+√62√2=1+√3−2解得：OQ=1∠P(1+√3,−1−√3)Q(0,1)如图当△POQ∽△CNB即∠PQO=135°时过点P作PK⊥y轴于K点∠PK=KQ=m KO=PN=−(−m2+m+2)=m2−m−2∠PQ=KPsin∠PQK =msin45°=√2m OQ=KO−KQ=m2−m−2−m=m2−2m−2∠PQ CB =OQNB即√2m2√2=m2−2m−2m−2解得：m=1+√5或m=1−√5（负值舍去）∠P(1+√5,−3−√5)Q(0,−2)综上所述P(√2,√2)Q(0，√2−1)或P(1+√133,7+√139)Q(0,4−2√139)或P(1+√3,−1−√3)Q(0,1)或P(1+√5,−3−√5)Q(0,−2)．20．解：（1）∵点A的坐标为(−1,0)∴OA=1．令x=0则y=−4∴C(0,−4)OC=4∵OC=OB∴OB=4∴B(4,0)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−4)∵将x=0y=−4代入得：−4a=−4解得a=1∴抛物线的解析式为y=x2−3x−4∴a=1b=−3∵抛物线的对称轴为x=−−32×1=32C(0,−4)∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称∴D(3,−4)设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A(−1,0)D(3,−4)代入得：{−k+b=03k+b=−4解得k=−1b=−1∴直线AD的解析式y=−x−1（2）∵直线AD的解析式y=−x−1∴直线AD的一次项系数k=−1∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴∴∠AEP=90°∴∠PMH=∠AME=45°．∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+√22MP+√22PM=(1+√2)PM．设P(a,a2−3a−4)则M(a,−a−1)则PM=−a−1−(a2−3a−4)=−a2+2a+3=−(a−1)2+4．∴当a=1时PM有最大值最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×(1+√2)=4+4√2（3）在直线EP的右侧x轴下方的抛物线上存在点N过点N作NG⊥x轴交x轴于点G使得以点E N G为顶点的三角形与△AOC相似理由如下：设点G的坐标为(a,0)则N(a,a2−3a−4)①如图2.1若OAOC =EGGN时△AOC∠△EGN．则a−1−a2+3a+4=14整理得：a2+a−8=0．得：a=−1+√332(负值舍去)∴点G为(−1+√332,0)②如图2.2若OAOC =GNEN时△AOC∠△NGE则a−1−a2+3a+4=4整理得：4a2−11a−17=0得：a=11+√3938(负值舍去)∴点G为(11+√3938,0)综上所述点G的坐标为(−1+√332,0)或(11+√3938,0)．。
中考二次函数专题13函数与等腰三角形综合问题(学生版)
专题13函数与等腰三角形综合问题【例1】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．（1）求抛物线的对称轴；（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；（3）直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与轴交于C（0，﹣1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AC，BC，过O点的直线l∥BC，点E，D分别为直线l和抛物线上的点，试探究第一象限是否存在这样的点E，D，使△BDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有的E点的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求b、c的值．（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例4】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【例5】如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y=kx（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．（1）AE＝（用含有k的代数式表示）；（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．1．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；（2）判断△ABD的形状，并说明理由；（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD 的数量关系，并求出点E的坐标；（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E （m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．3．如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．4．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x﹣）2+与x轴交于点A（﹣，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线F1的表达式；（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．①求点D的坐标；②判断△BCD的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求直线CE的解析式．（2）如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当△PCF的面积最大时，求点P的坐标及△PCF面积的最大值．（3）如图3，连接CD，将（1）中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y 轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．（1）如图1，连接AC，BC．若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF⊥BC于点F，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK．当△PEF的周长最大时，求PH+HK+KG的最小值及点H的坐标．（2）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记为D′，N为直线DQ上一点，连接点D′，C，N，△D′CN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．11．如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中x1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．抛物线y ＝ax 2+bx +3过点A （﹣1，0），点B （3，0），顶点为C ．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）如图1，点P 在抛物线上，连接CP 并延长交x 轴于点D ，连接AC ，若△DAC 是以AC 为底的等腰三角形，求点P 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点E 是线段AC 上（与点A ，C 不重合）的动点，连接PE ，作∠PEF ＝∠CAB ，边EF 交x 轴于点F ，设点F 的横坐标为m ，求m 的取值范围．13．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒√2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当MQ NQ =12时，求t 的值； （3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN 有最大值，最大值是多少？15．如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数y=1x（x＞0）的图象与直线y＝kx+b交于点A（m，2）、B（4，n）．连接OA、OB．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）若点C是y轴上的点，当△AOC为等腰三角形时，请直接写出点C的坐标；（3）求△AOB的面积．16．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y=√33x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．17．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，94），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且S△PBDS△CBD=m，试确定满足条件的点P的个数．18．如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．19．如图：一次函数y=−34x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y=−34x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP．（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标．20．已知一次函数y＝﹣3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C（3，0）．（1）如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y 轴于点F．①求点E的坐标；②△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；（2）如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．。
二次函数与三角形
1、已知二次函数y=x2-2x-8， 若函数与x轴两个交点为A，B，与y轴的交 点为C，求△ABC的面积，若函数的顶点为P， 求△ABP的面积。
S=24
2、如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B ＝90°，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／ 秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1 厘米／秒的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时 出发，几秒后ΔPBQ的面积最大？最大面积是 A 多少？
⑵如果D为抛物线上一点，使得△AOD面积是 △AOP的面积的4倍,求D点坐标。
解：∵ S△AOD＝4S△AOP 且OA＝4， P(1，3) ∴ D的纵坐标为12 y 2 又∵ D在抛物线y＝3x 上， B ∴3x 2 ＝12， 即x＝± 2 ∴ D(－2，12)或(2，12) P O A x
4、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点A （-1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C， 顶点是D。 1）若△ABC是直角三角形，求 a的值； 2）若△ABD是直角三角形，求 a的值。
当t=2秒时，Smax=24cm2
PHale Waihona Puke QB3、如图直线l经过点A(4,0)和B(0,4)两点,它与二 次函数y=ax2的图像在第一象限内相交于P点,若 △AOP的面积为6。(1)求二次函数的解析式。 解：由已知,A(4,0),B(0,4)得直 线AB的解析式为 y=-x+4, y 作PE⊥OA于E, 则 0.5OA×PE=6, 可得PE=3 B 当y=3时,3=-x+4, ∴ X=1, P ∴ P(1,3) ∵P在抛物线上, ∴把x=1,y=3代入y=ax2 ,得a=3, O E A ∴ y=3x2
5、如图，直角坐标系内的 梯形AOBC（O为原点）， AC∥OB，AO⊥OB，AC=1， OA=2，BO=5。 （1）求经过O，C，B三点的 抛物线的解析式； （2）延长AC交抛物线于点D， 求线段CD的长；
二次函数中存在直角三角形综合题
1、如图，抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点.（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标；（2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.解：（1）22223(23)(1)4y mx mx m m x x m x m =--=--=--，∴抛物线顶点M 的坐标为（1，4-m ） ······························································ 2分抛物线223(0)y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点， ∴当0y =时，2230mx mx m --=，20230.m x x >∴--=，解得1213x x =-=，，A B ∴、两点的坐标为（10-，）、（30，）. ·························································· 4分 （2）当0x =时，3y m =-，∴点C 的坐标为(03)m ，-. 13(1)366.2ABC S m m m ∴=⨯--⨯-==△ ······················································· 5分 过点M 作MD x ⊥轴于点D ，则12OD BD OB OD ==-=，，44.MD m m =-=BCM BDM OBC OCMD S S S S ∴=+-△△△梯形=111()222BD DM OC OM OD OB OC ++-··· =11124(34)133222m m m m ⨯⨯++⨯-⨯⨯ =3m. ······························································································ 7分:1:2.BCM ABC S S ∴=△△ ············································································ 8分（3）存在使BCM △为直角三角形的抛物线.过点C 作CN DM ⊥于点N ，则CMN △为Rt △，13CN OD DN OC m ====，，.MN DM DN m ∴=-=2222在Rt OBC △中，222299BC OB OC m =+=+，在Rt BDM △中，2222416.BM BD DM m =+=+①如果BCM △是Rt △，且90BMC ∠=°，那么222CM BM BC +=， 即222141699m m m +++=+，解得22m =±，20.2m m >∴=， ∴存在抛物线2232222y x x =--使得BCM △是Rt △； ······················· 10分 ②如果BCM △是Rt △，且90BCM ∠=°，那么222BC CM BM +=， 即222991446m m m +++=+，解得1m =±，01m m >∴=，．∴存在抛物线223y x x =--，使得BCM △是Rt △；③如果BCM △是Rt △，且90CBM ∠=°，那么222BC BM CM +=，即222994161.m m m +++=+整理得212m =-，此方程无解. ∴以CBM ∠为直角的直角三角形不存在.综上所述，存在抛物线2232222y x x =--和223y x x =--． 使得BCM △是Rt △. ············································································· 12分2、（2013•连云港模拟）如图，抛物线y=-x 2+mx+n 与x 轴分别交于点A （4，0），B （-2，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）M 为第一象限内抛物线上一动点，点M 在何处时，△ACM 的面积最大；（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P ，使得△PAC 为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），∴−16+4m+n＝0−4−2m+n＝0，解得m＝2n＝8．∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8．（2）设M坐标为（a，-a2+2a+8），其中a＞0．∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，8）．∵A（4，0），C（0，8）．∴直线AC的解析式为y=-2x+8．过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为（a，-2a+8）．∴△ACM的面积=△MNC的面积+△AMN的面积=-a2+4a=-（a-2）2+4当a=2，即M坐标为（2，8）时，△ACM的面积最大，最大面积为4．（3）①当∠ACP=90°时，点P的坐标为（1，9.5）；②当∠CAP=90°时，点P的坐标为（1，-1.5）；③当∠APC=90°时，点P的坐标为（1，4+19）或（1，4-194、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点M在第一象限，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交与点C，O为坐标原点，如果△ABM是直角三角形，AB=2，OM＝5（1）求点M的坐标；（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点M为抛物线的顶点，∴MA=MB，又∵△ABM是直角三角形，∴△AMB是等腰直角三角形，∵AB=2，∴ME=1，在Rt△OME中，可得OE=OM2−ME2=2，故可得点M的坐标为（2，1）．（2）∵AE=BE=12AB=1，OE=2，∴OA=1，OB=3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），将点A、B、M的坐标代入抛物线解析式可得：a+b+c＝9a+3b+c＝04a+2b+c＝1，解得：a＝−1b＝4c＝−3，故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3．（3）设点P的坐标为（2，y），则AC2=10，AP2=1+y2，CP2=4+（y+3）2，①当∠PAC=90°时，AC2+AP2=CP2，即10+1+y2=4+（y+3）2，解得：y=-13，即此时点P的坐标为（2，-13）；②当∠PCA=90°时，AC2+CP2=AP2，即10+4+（y+3）2=1+y2，解得：y=-113，即此时点P的坐标为（2，-113）；③当∠APC=90°时，AP2+CP2=AC2，即1+y2+4+（y+3）2=10，解得：y=-1或-2，即此时点P的坐标为（2，-1）或（2，-2）；综上可得点P的坐标为（2，-13）或（2，-113）或（2，-1）或（2，-2）．。
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22．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P
是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
20．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位
（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．
（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；
（2）当m=2时，求h的值；
（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF ﹣tan∠ECP=．
22．解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），
=﹣2n2+9n﹣4，
=﹣2（n﹣）2+，
∵PC＞0，
∴当n=时，线段PC最大且为．
（3）∵△PAC为直角三角形，
i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．
由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；
ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．
如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
则：，解得，
∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①
又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②
联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）
∴C（3，0），即点C、M点重合．
当x=3时，y=x+2=5，
∴P1（3，5）；
iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．
∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C（，）．
当x=时，y=x+2=．
∴P2（，）．
∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．
23．已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位
（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．
（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；
（2）当m=2时，求h的值；
（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF ﹣tan∠ECP=．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），然后把点（0，）代入求
出a的值，再化为一般形式即可；
（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可；
（3）先把直线AB与x轴的距离是m2代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．
【解答】（1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），
∵抛物线过点（0，），
∴a（0﹣1）2=，
解得a=，
∴抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）2，
一般形式为y=x2﹣x+；
（2）解：当m=2时，m2=4，
∵BC∥x轴，
∴点B、C的纵坐标为4，
∴（x﹣1）2=4，
解得x1=5，x2=﹣3，
∴点B（﹣3，4），C（5，4），
∵点A、C关于y轴对称，
∴点A的坐标为（﹣5，4），
设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣5﹣1）2﹣h=4，
解得h=5；
（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m2，∴点B、C的纵坐标为m2，
∴（x﹣1）2=m2，
解得x1=1+2m，x2=1﹣2m，
∴点C的坐标为（1+2m，m2），
又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1，
∴CE=1+2m﹣1=2m，
∵点A、C关于y轴对称，
∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m2），
∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m，
设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣1﹣2m﹣1）2﹣h=m2，
解得h=2m+1，
∴EF=h+m2=m2+2m+1，
∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=，
∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．。