第二部分光学谐振腔讲义与高斯光束
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激光原理与技术：第二章
件，大多数情况下，孔径是激活物质的两个端 面，但一些激光器中会另外放置元件以限制光 束为理想的形状。
➢光学谐振腔的种类：
谐振腔的开放程度: 闭腔、开腔、波导腔 开腔通常可以分为: 稳定腔、非稳定腔、临界腔 反射镜形状: 球面腔与非球面腔，端面反射腔与分
布反馈腔 反射镜的多少: 两镜腔与多镜腔（折叠腔、环形
r00
T
r00
共轴球面镜腔 往返传输矩阵：
L A 1
f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
B L 2
L f2
D
L f1
1
L f1
1
L f2
•往返矩阵T与光线的初始坐标参数r0和
轴光线在腔内往返传播的行为
0
无关，因而它可以描述任意近
例：
L 3 R2 4
g1
1
L R1
1;
g2
1
L R2
1 4
§2.1.3. 光学谐振腔的损耗，Q值及线宽
损耗的大小是评价谐振腔的一个重要指标，在激光振荡中， 光腔的损耗决定了振荡的阈值和激光的输出能量，也是腔 模理论的重要研究课题
➢光腔的损耗：
1. 几何损耗
选择性损耗、对不同模式，损耗不同
2. 衍射损耗 3. 腔镜反射不完全引起的损耗
非选择性损耗
4. 腔内介质不均匀引起的损耗
Q 2v R
Q
2v
R
2v
L'
C
❖腔的品质因数Q值是衡量腔质量的一个重要的物理量，它
表征腔的储能及损耗特征。
总之，腔平均单程损耗因子、光子寿命、与腔的品质因数三个 物理量之间是关联的，腔平均单程损耗因子越小，光子寿命越 长，腔的品质因数越高。
➢光学谐振腔的种类：
谐振腔的开放程度: 闭腔、开腔、波导腔 开腔通常可以分为: 稳定腔、非稳定腔、临界腔 反射镜形状: 球面腔与非球面腔，端面反射腔与分
布反馈腔 反射镜的多少: 两镜腔与多镜腔（折叠腔、环形
r00
T
r00
共轴球面镜腔 往返传输矩阵：
L A 1
f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
B L 2
L f2
D
L f1
1
L f1
1
L f2
•往返矩阵T与光线的初始坐标参数r0和
轴光线在腔内往返传播的行为
0
无关，因而它可以描述任意近
例：
L 3 R2 4
g1
1
L R1
1;
g2
1
L R2
1 4
§2.1.3. 光学谐振腔的损耗，Q值及线宽
损耗的大小是评价谐振腔的一个重要指标，在激光振荡中， 光腔的损耗决定了振荡的阈值和激光的输出能量，也是腔 模理论的重要研究课题
➢光腔的损耗：
1. 几何损耗
选择性损耗、对不同模式，损耗不同
2. 衍射损耗 3. 腔镜反射不完全引起的损耗
非选择性损耗
4. 腔内介质不均匀引起的损耗
Q 2v R
Q
2v
R
2v
L'
C
❖腔的品质因数Q值是衡量腔质量的一个重要的物理量，它
表征腔的储能及损耗特征。
总之，腔平均单程损耗因子、光子寿命、与腔的品质因数三个 物理量之间是关联的，腔平均单程损耗因子越小，光子寿命越 长，腔的品质因数越高。
第二章开放式光腔与高斯光束
T T4T3T2T1
1 L
T1 T3 0 1
R1
①
② R2
1 0
T2
2 R2
1
1 0
T4
1、往返一周
T
2 L
2g2 1 (g1 g2 2g1g2 )
2Lg2
4g1
g
2
2
g
2
1
R1、R2:两反射镜面曲率半径 L:谐振腔长度
证
①
②
R1
R2
④
③
L
r22 T1r11 r33 T2 r22 T2T1r11 r44 T3r33 T3T2T1r11 r55 T4 r44 T4T3T2T1r11
2、实例
(1)单程传播L距离
证
1 r1
2 r2
L
r2=r1+L1 2= 1
T
1 0
L 1
T
1 0
L 1
(2)球面反射镜
1 0
T
2 R
1
R:球面镜曲率半径(凹为+,凸为-)
证
=i+2 2-=-1
2
ii
2o 1
全反射镜
部分反射镜
光学谐振腔的发展与分类
最早提出的是平行平面腔 随后广泛采用了共轴球面腔
理论上分析这类腔的时候， 认为其侧面对光无约束，因 此也称为开放式光学谐振腔， 简称开腔。
开腔——侧面对光没有约束
稳定腔 非稳定腔 临界腔
1 L
T1 T3 0 1
R1
①
② R2
1 0
T2
2 R2
1
1 0
T4
1、往返一周
T
2 L
2g2 1 (g1 g2 2g1g2 )
2Lg2
4g1
g
2
2
g
2
1
R1、R2:两反射镜面曲率半径 L:谐振腔长度
证
①
②
R1
R2
④
③
L
r22 T1r11 r33 T2 r22 T2T1r11 r44 T3r33 T3T2T1r11 r55 T4 r44 T4T3T2T1r11
2、实例
(1)单程传播L距离
证
1 r1
2 r2
L
r2=r1+L1 2= 1
T
1 0
L 1
T
1 0
L 1
(2)球面反射镜
1 0
T
2 R
1
R:球面镜曲率半径(凹为+,凸为-)
证
=i+2 2-=-1
2
ii
2o 1
全反射镜
部分反射镜
光学谐振腔的发展与分类
最早提出的是平行平面腔 随后广泛采用了共轴球面腔
理论上分析这类腔的时候， 认为其侧面对光无约束，因 此也称为开放式光学谐振腔， 简称开腔。
开腔——侧面对光没有约束
稳定腔 非稳定腔 临界腔
《光学谐振腔》课件
挑战与机遇：新型光 学谐振腔在提高性能 、降低成本等方面面 临挑战，同时也带来 了新的机遇
未来展望：新型光学 谐振腔将在光学、光 电子学等领域发挥更 加重要的作用，具有 广阔的应用前景
面临的技术挑战和解决方案
挑战：光学谐振腔的尺寸和 重量
解决方案：采用先进的材料 和工艺，提高光学谐振腔的 稳定性和可靠性
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
光学测量：光学谐振腔可以用于 光学测量，如光谱分析、干涉测 量等
光学成像：光学谐振腔可以用于 光学成像，如显微镜、望远镜等
05
光学谐振腔的发展趋势和挑战
新型光学谐振腔的研究进展
研究背景：光学谐振 腔在光学、光电子学 等领域具有广泛应用
研究进展：新型光学 谐振腔的设计、制造 和测试技术不断取得 突破
在光通信中的应用
光通信：利用光波进行信息传输的技术 光学谐振腔：在光通信中用于提高光信号的传输效率和稳定性 应用领域：光纤通信、光缆传输、光网络等 应用效果：提高光信号的传输距离和传输速率，降低传输损耗和噪声干扰
在其他领域的应用
激光器：光学谐振腔是激光器的 核心部件，用于产生和放大激光
光学通信：光学谐振腔可以用于 光学通信，如光纤通信、自由空 间光通信等
实验结果与分析
实验目的：验 证光学谐振腔 的振腔、探 测器等设备进
行实验
实验结果：观 察到光学谐振 腔的共振现象， 验证了其特性
分析与讨论： 对实验结果进 行深入分析， 探讨光学谐振 腔的应用前景
和局限性
演示视频与教学素材
演示视频：提供 光学谐振腔的实 验演示视频，包 括实验步骤、实 验现象和实验结
优化目标：提高光学谐振腔 的性能和效率
光学谐振腔的基本知识
两点的线段AB，如图5.1.2所示。由AB线段所对应的坐标值范
围就可找到曲率半径的范围是： 。最大曲率半径可以取 ，
这是平行平面腔；最小取
，即共心腔。
三、稳定图的应用
举例
2) 给定稳定腔的一块反射镜，要选配另一块反射镜的 曲率半径，确定其取值范围。
根据已有反射镜的数据，如R1=2L ，求出g1=1-L/R1=0.5 ， 在稳定图的g1 轴上找出相应的C点，如图5.1.3（a）所示，过C点 作一直线平行于 g2轴,此直线落在稳定区域内的线段CD，就是所 要求的另一块反射镜曲率半径的取值范围。由CD上任一点所对 应的 R2值都能与已有的反射镜配成稳定腔。R2可用凹面镜，也 可用凸面镜。 若用凹面镜，则取值范围为： 若用凸面镜，则取值范围为:
优点：是可以连续地改变输出光的功率，在某些特 殊情况下能使光的准直性、均匀性比较好。
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
3 非稳腔
区分稳定腔与非稳腔在制造和使用激光器时有很重要的实际 意义，由于在稳定腔内傍轴光线能往返传播任意多次而不逸出腔 外，因此这种腔对光的几何损耗（指因反射而引起的损耗）极小。 一般中小功率的气体激光器(由于增益系数G小)常用稳定腔，它 的优点是容易产生激光。
b) 平凹稳定腔，由一个平面镜和一个凹面镜组成。 其中，凹面镜 ，它对应图中AC、AD 段。
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
c）平凹凸稳定腔。由一个凹面镜和一个凸面镜组成。满足 条件:
图中5区
图中6区
d）共焦腔。R1=R2=L ，因而 g1=0，g2=0 ，它对应图中的 坐标原点。因为任意傍轴光线均可在共焦腔内无限往返而不 逸出腔外，所以它是一种稳定腔。但从稳区图上看，原点邻 近有非稳区，所以说它是一种很特殊的稳定腔。 e）半共焦腔。由一个平面镜和一个 R=2L的凹面镜组成的腔。 它对应图中E和F点。
新激光ppt课件第二章 光学谐振腔理论02-精选文档32页
u(P)4 iku '(P )eik (1co )d s's
图3-1 惠更斯-菲涅耳原理
式中 源点
为源点 P'与观察点
P'处的波面法线 n与
P之间的距离； 为
P'P 的夹角；k2/
为光波矢的大小，为光波长； ds'为源点 P'
处的面元。
二、衍射积分公式在谐振腔中的应用
(3)等相位面的分布 共焦腔行波场相位分布决定于
m(x n ,y,z)k[fz2 z((x f2 2 y z2 2))](m n 1 ) 4 (arz fc)tg
与腔的轴线相交于z0点的等相位面的方程为
φ (x,y,z)= φ (0,0,z)
zz0
x2 y2 2R(z0)
迭代法
所谓迭代法,就是利用迭代公式
uj1(x,y) Kju(x',y')d's
M'
直接进行数值计算。 首先,假设在某一镜面上存在一个初始场分布u1,将它代 人上式,计算在腔内经第一次渡越而在第二个镜面上生成 的场u2,然后再用所得到的场代入，计算在腔内经第二次 渡越而在第一镜上生成的场u3。如此反复运算，在对称 开腔的情况下,当j足够大时,数值计算得出的uj uj+1uj+2满 足
m nar1 m g n k L (m n 1 ) 2
为单程附加相移Δ φ mn
谐振频率： νmnq2cL[q1 2(mn1)]
讨论 共焦腔模在频率上是高度简并的
频率间隔
同横邻纵
qm(n q1)mnq2cL
同纵邻横
m(m1)nqm
uj1(x,y)iL uj(x',y')eikd's M'
图3-1 惠更斯-菲涅耳原理
式中 源点
为源点 P'与观察点
P'处的波面法线 n与
P之间的距离； 为
P'P 的夹角；k2/
为光波矢的大小，为光波长； ds'为源点 P'
处的面元。
二、衍射积分公式在谐振腔中的应用
(3)等相位面的分布 共焦腔行波场相位分布决定于
m(x n ,y,z)k[fz2 z((x f2 2 y z2 2))](m n 1 ) 4 (arz fc)tg
与腔的轴线相交于z0点的等相位面的方程为
φ (x,y,z)= φ (0,0,z)
zz0
x2 y2 2R(z0)
迭代法
所谓迭代法,就是利用迭代公式
uj1(x,y) Kju(x',y')d's
M'
直接进行数值计算。 首先,假设在某一镜面上存在一个初始场分布u1,将它代 人上式,计算在腔内经第一次渡越而在第二个镜面上生成 的场u2,然后再用所得到的场代入，计算在腔内经第二次 渡越而在第一镜上生成的场u3。如此反复运算，在对称 开腔的情况下,当j足够大时,数值计算得出的uj uj+1uj+2满 足
m nar1 m g n k L (m n 1 ) 2
为单程附加相移Δ φ mn
谐振频率： νmnq2cL[q1 2(mn1)]
讨论 共焦腔模在频率上是高度简并的
频率间隔
同横邻纵
qm(n q1)mnq2cL
同纵邻横
m(m1)nqm
uj1(x,y)iL uj(x',y')eikd's M'
第二章 谐振腔理论
L' δ = cτ R 4、设无源腔中光子寿命为τR，则光腔对光的损耗因子为________, − t /τ R I ( t ) = I e 0 光在腔中传输时光强随时间的变化函数为____________
α =δ L 5、损耗系数α与单程损耗因子δ之间的关系为_________ a2 Lλ 6、腔镜的菲涅耳数 N= _________
光腔的损耗（二）
平均单程损耗因子 δ (α= δ/L) 定义（1）：单程渡越时光强的平均衰减指数。设初始光强为I0，在 无源腔（无激光介质）内往返一次后，光强衰减为I1，将光强写成 指数衰减形式 1 I0 −δ −δ − 2δ
I 1 = ( I 0e )e
= I0e
⇒ δ =
2
In
I1
定义（2）：单程渡越时光强的平均衰减百分数
光学谐振腔内的多纵模振荡
在谐振腔中，满足模的谐振条件的纵模数有无数个（q可取任 意整数）。但实际上只有那些既满足谐振的相位条件又满足自 激振荡的增益阈值条件（ g 0 ≥ α )的模式才能起振。 ΔνT:增益曲线中满足增益 阈值条件的频带宽度。 在谐振 DL β
L' η L βL δβ = = = 2D τ Rc τ Rc
结论：腔镜倾斜角越大，腔长越长，腔镜横向尺寸越小，几何 偏折损耗越大。
光腔的损耗（九）
开腔模的形成过程
3）衍射损耗 考察均匀平面波通过圆孔时由衍射产生的能量变化，开孔处对 应的是腔反射镜，则衍射到孔外的光损失掉了（越过腔反射镜 跑到腔外）。 均匀平面波入射到半径为 a 的 L 第一个圆孔上，穿过孔径时将 Lθ 发生衍射，其衍射角（第一极 θ 小值处对光轴的张角）为 I’ 2a I0
λ0 q L' = q ⋅ 2
第二部分光学谐振腔与高斯光束培训讲学
• 根据光束几何逸出损耗的高低，分为稳定 腔、非稳腔和临界腔。
• 稳定腔：旁轴（傍轴）光线在腔内多次往 返而不逸出腔外，具有较低的几何损耗
• 非稳腔：傍轴光线在腔内经过少数几次往 返就逸出腔外，具有较高的几何损耗
• 临界腔：性质介于稳定腔和非稳腔之间， 只有少数特定光线能在腔内往返传播
2020/4/22
• Optical resonators can usually be divided into either “geometrically stable” or “geometrically unstable” categories (where these terms refer to ray stability within the resonators, and have nothing to do with whether or not the laser is or is not stable against laser oscillation)
• The distinction between “longitudinal” and “transverse” modes in the resonator is also much sharper in optical than in microwave resonators.
2020/4/22
2020/4/22
• 目的：弄清楚激光模式的基本特征及其与腔 的结构之间的具体依赖关系。
• 模的基本特征：每一个模的电磁场分布，特 别是在腔的横截面内的场分布；模的谐振频 率；每一个模在腔内往返一次经受的相对功 率损耗；与每一个模相对应的激光束的发散 角。
• 只要知道了腔的参数，就可以唯一地确定模 的基本特征。
• 稳定腔：旁轴（傍轴）光线在腔内多次往 返而不逸出腔外，具有较低的几何损耗
• 非稳腔：傍轴光线在腔内经过少数几次往 返就逸出腔外，具有较高的几何损耗
• 临界腔：性质介于稳定腔和非稳腔之间， 只有少数特定光线能在腔内往返传播
2020/4/22
• Optical resonators can usually be divided into either “geometrically stable” or “geometrically unstable” categories (where these terms refer to ray stability within the resonators, and have nothing to do with whether or not the laser is or is not stable against laser oscillation)
• The distinction between “longitudinal” and “transverse” modes in the resonator is also much sharper in optical than in microwave resonators.
2020/4/22
2020/4/22
• 目的：弄清楚激光模式的基本特征及其与腔 的结构之间的具体依赖关系。
• 模的基本特征：每一个模的电磁场分布，特 别是在腔的横截面内的场分布；模的谐振频 率；每一个模在腔内往返一次经受的相对功 率损耗；与每一个模相对应的激光束的发散 角。
• 只要知道了腔的参数，就可以唯一地确定模 的基本特征。
第二章 光学谐振腔信息光学 最新
1、在光频区采用敞开式反射镜谐振器 （在微波区采用闭合腔） 一对平行平面（球面）反射镜
2、其他方向开放导致损耗，限制了模数 （包括扩散、衍射、镜面非完全反射、工 作物质吸收等） 纵模：只有沿轴方向传播的模才能维持 振荡， ...(折射率 1, m, n 0) 满足 q 2 l..........
2
2
V lxl ylz ...... 实空间体积
( 4 )模密度（K空间）
8l xl y l z 1 8V 3 3 模体积 (2 ) (2 )
（5）振荡模总数
km , kn , kq 0
1 N 模 2 （球体积） k空间的模密度 8
因子2：每一个模有两个相互垂直偏振方向
dI 其中 f I
t tc
I I 0e
fc t l
I 0e
l 其中tc 光子在腔内的寿命，也 称腔的时间常数 fc
若只考虑反射损耗R,则 f=1-R l
tc (1 R )c
例如： l=100cm,
R 0.98....... tc 100 0.02 31010 1.7 107
8 2 N总 PmV 3 V c
2 28 | 8 1020 8 6 10 10 10 9 Pm 3 10 1 P 10 3 10 | m 3 1030 33 1030
获得单模振荡
| 该腔激起的模巨大，多模
§2.2 开放式谐振腔的模间距及带宽
l tc (1 R)c
1 (1 R)c (1 R)c c 2t c 2l l
R越大，带宽 越窄。 三种情况： R≈0；R<1； R≈1。
(4)谐振腔的品质因素Q 0 l Q 2 0tc 2l 0 (1 R)c c c(1 R)
2、其他方向开放导致损耗，限制了模数 （包括扩散、衍射、镜面非完全反射、工 作物质吸收等） 纵模：只有沿轴方向传播的模才能维持 振荡， ...(折射率 1, m, n 0) 满足 q 2 l..........
2
2
V lxl ylz ...... 实空间体积
( 4 )模密度（K空间）
8l xl y l z 1 8V 3 3 模体积 (2 ) (2 )
（5）振荡模总数
km , kn , kq 0
1 N 模 2 （球体积） k空间的模密度 8
因子2：每一个模有两个相互垂直偏振方向
dI 其中 f I
t tc
I I 0e
fc t l
I 0e
l 其中tc 光子在腔内的寿命，也 称腔的时间常数 fc
若只考虑反射损耗R,则 f=1-R l
tc (1 R )c
例如： l=100cm,
R 0.98....... tc 100 0.02 31010 1.7 107
8 2 N总 PmV 3 V c
2 28 | 8 1020 8 6 10 10 10 9 Pm 3 10 1 P 10 3 10 | m 3 1030 33 1030
获得单模振荡
| 该腔激起的模巨大，多模
§2.2 开放式谐振腔的模间距及带宽
l tc (1 R)c
1 (1 R)c (1 R)c c 2t c 2l l
R越大，带宽 越窄。 三种情况： R≈0；R<1； R≈1。
(4)谐振腔的品质因素Q 0 l Q 2 0tc 2l 0 (1 R)c c c(1 R)
第二章光学谐振腔理论
(2n1)((G0 )l / 2ikl )
02 2 12
n0
n0
e(G0 )l / 2ikl E0t1t2 1 r1r2e(G0 )l2ikl
2.1 光学谐振腔概论
FP腔输出光场：E
e(G0 )l / 2ikl E0t1t2 1 r1r2e(G0 )l 2ikl
1
r1r2e(G0
q
q
c 2L
q
c 2L
2 2L q 2 L q q
q
2
L'一定的谐振腔只对一定频率的光波才能提供正反馈，使之谐 振； F-P腔的谐振频率是分立的
2.1 光学谐振腔概论
腔光学长度为半波长的整数倍 L l q q （驻波条件）
2
2.1 光学谐振腔概论
L l q q
2
达到谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍。满足此 条件的平面驻波场称为平行平面腔的本征模式
2.1 光学谐振腔概论
麦克斯韦方程的本征解的电场分量
Ex
(
x,
y,
z,
t
)
E0
sin
m
a
x
sin
n
b
y
cos
p
l
z
e
im
,n
,
p
t
E y ( x,
y,
z,
t)
E0
cos
m
a
x
sin
n
b
y
sin
p
l
z e im,n,pt
Ez
(
x,
y,
z,
t
)
E0
sin
m
a
x
最新《高等激光原理李瑞宁》2.第二章 开放式光谐振腔与高斯光束讲学课件
L
x y
m
(
x
)
n ( y )
m n
K
x(x,
x
/ )
m
(x
/)d x
/
K
x(y,
y
/ )
n(
y
/)d y
/
mn(x, y) m (x) n(y)n
mn m n
六、分离变量法—— 一般球面镜
P1/
P1（x，y）
ρ
a2
( x,
y, x / ,
y/
)
P1P 2
P/1P/ 2
——光强衰减到1/e所需要的时间
t
I (t) I0e R
R
L/ dc
1 I (t) e I0
dN个光子的寿命为t， N0个光子的平均寿命为：
I ( t ) Nh
dN
N
0
t
e R dt
R
_
t
1
( dN ) t
N0
t
N N0e R
1
N0
t( N 0 0 R
t
)e R d t
R
2.无源谐振腔的 Q 值
P
/ 1
P1
P/2P2
P/1P/ 2 L (x x/ )2 ( y y/ )2
2L
2L
/
/
L
a b
(x, y) (x)( y) ——上述方程可以分离变量
（x/，y/）
2a
代入上述方程，再分离变量，将二元函数
υ（x，y）的积分方程分解成两个对称的 单元函数υ（x）， υ（y）的积分方程
分解成两个分离的积分方程的核
归结成求解两维腔的本征模问题， υm（x）和 υn（y）分别是它的第m,第n个本征态 Γm、γn分别是它的第m,第n个本征值
第二章光学谐振腔理论-第8节-高斯光束的传输
z2
实际稳定腔
L
等价共焦腔
L( R2 − L) z1 = ( L − R1 ) + ( L − R2 ) − L( R1 − L) z2 = ( L − R1 ) + ( L − R2 ) f 2 = L( R2 − L)( R1 − L)( R1 + R2 − L) [( L − R1 ) + ( L − R2 )]2
(z B ) = q0 + l1
B-C （透镜变换）
1 1 1 = − q ( zC ) q ( zB ) f
C-D （自由空间传输） q
(z D ) = qC + l2
D（束腰）
2 πω 20 q( z D ) = i λ
变换公式的应用
πω 2 πω l1 ( f − l1 ) − f λ λ +i q ( z D ) = l2 + f 2 2 2 2 πω 0 πω 0 2 2 ( f − l1 ) + ( f − l1 ) + λ λ
q( z2 ) = q0 + z2
q( z 2 ) = q( z1 ) + z 2 − z1 = q( z1 ) + L
高斯光束的特征参数变换规律
2、薄透镜变换 、
可得薄透镜对傍轴光 线的变换矩阵为
0 1 Tf = 1 − f 1
高斯光束的特征参数变化规律
可以产出q参数经过薄透镜变换时，光束宽度项不变， 可以产出 参数经过薄透镜变换时，光束宽度项不变， 参数经过薄透镜变换时 等相位面项发生变化， 只是等相位面项发生变化 所以： 只是等相位面项发生变化，所以：
激光原理 第二章光学谐振腔理论
光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用,另一方面 也存在各种损耗。损耗的大小是评价谐振腔质量 的一个重要指标,决定了激光振荡的阈值和激光的 输出能量。本节将分析无源开腔的损耗,并讨论表 征无源腔质量的品质因数Q值及线宽。
一、损耗及其描述 (1)几何偏折损耗: 光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面 偏折出去，我们称这种损耗为几何偏折损 耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺 寸。
概述
3.波动光学分析方法 从波动光学的菲涅耳-基尔霍夫衍射积分理论出发,可以建立 一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。 利用该方程原则上可以求得任意光腔的模式,从而得到场的 振幅、相位分布,谐振频率以及衍射损耗等腔模特性。 虽然数学上已严格证明了本征积分方程解的存在性,但只有在 腔镜几何尺寸趋于无穷大的情况下,该积分方程的解析求解 才是可能的。 对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔求出了 解析解。 多数情况下,需要使用近似方法求数值解。虽然衍射积分方 程理论使用了标量场近似,也不涉及电磁波的偏振特性,但与 其他理论相比,仍可认为是一种比较普遍和严格的理论。
第一节 光学谐振腔的基本知识
本节主要讨论光学谐振腔的构成、分类、作用,以及 腔模的概念
光学谐振腔的构成和分类
根据结构、性能和机理等方面的不同,谐振腔有不同 的分类方式。
按能否忽略侧面边界,可将其分为
开腔、 闭腔 气体波导腔
第一节 光学谐振腔的基本知识
开腔而言： 1. 根据腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低,又可分为 稳定腔、非稳腔及临界腔; 2. 按照腔镜的形状和结构,可分为球面腔和非球面腔; 3. 就腔内是否插入透镜之类的光学元件,或者是否考 虑腔镜以外的反射表面,可分为简单腔和复合腔; 4. 根据腔中辐射场的特点,可分为驻波腔和行波腔; 5. 从反馈机理的不同,可分为端面反馈腔和分布反馈 腔; 6. 根据构成谐振腔反射镜的个数,可分为两镜腔和多 镜腔等。
新激光ppt课件第二章 光学谐振腔理论
光线在腔内往返传播n次
式中
rn An C n n
Bn r1 Dn 1
二、共轴球面腔的稳定性条件
1.稳定腔条件
光线在腔内往
A n、B n、 C n、D n
对任意ｎ有限
Φ 为实数
返多次不逸出
且φ ≠kπ
引人g参数则得稳定性条件
平平腔 N>>1
谐振条件: 以Δ Φ 表示均匀平面波在腔内往返
一周时的相位滞后，则
若腔内介质分段均匀 若腔内介质非均匀 谐振条件:
L
L
i
i i
L dL ( z )dz
0
L
2 L q q c q q 2 L
分立
腔的本征模式: 在平平腔中满足 q q c
一定类型的积分方程。 腔的具体结构 振荡模的特征
3.模的基本特征
电磁场分布(特别是在腔的横截面内的场分布)； 谐振频率； 在腔内往返一次经受的相对功率损耗； 激光束的发散角
4.纵模和横模
腔内电磁场的空间分布
沿传播方向(腔轴方向)的分布
垂直于传播方向的横截面内的分布 (1)纵模
纵模 横模
（1）（2）两种损耗为选择损耗，因为不同模式的几何 损耗与衍射损耗各不相同。（3）（4）两种损耗称为非 选择损耗，在一般情况下它们对各个模式都一样。
2.平均单程损耗因子
I 0 I1 2I 0 1 I0 ln 2 I1
光在腔内单程渡越时光强的平均衰减百分数 指数单程损耗因子
β
3.总损耗
作
业
1.曲率半径R1>0，R2<0的腔能否成为稳定腔，如果能, 请求出其稳定性条件。
第二章开放式光腔与高斯光束讲课用
镜腔处理。
普通的两镜腔 等价 共焦腔
（等价共焦腔）
依据等价原则，利用等价共焦腔，共焦腔的模式解析 理论可推广使用于一般稳定腔。
实际应用中:(1)大多数中、小激光器几何偏折损耗低， 属稳定腔； (2)稳定腔的模式理论比较成熟。
三.纵模和驻波条件
1、腔内要形成的稳定的驻波 模式，必须满足驻波条件
假设：n为腔内介质的折射率，L 为腔长，λ0q 为光在真空中的波长。 L′ 为腔的光学长度。
2a
2(a+Lθ)
2I0
S1
L
∴
δd
=
S2 − S1 S2
≈
2Lθ a
S2
∴
δd
≈
a2
1 / Lλ
=
1 N
定义： N = a2 / Lλ
腔的菲涅尔数
对于方形镜、圆形镜： N = a2 / Lλ 对于条形镜： N = a1a2 / Lλ
理解菲涅尔数：①衍射光在腔内的最大往返次数
中心光束，偏离镜中心的偏移量为x = θL = λL/2a
=
C 2μL
=
3 × 108 2 ×1
= 1.5 ×108 Hz
在 Δvq 范围内所包含的最多纵模个
数：
m = [ ΔvF ] +1 Δvq
m = [ ΔvF ] +1 = 1500 ×106 +1 = 11
Δvq
1.5 ×108
谐振腔最多可能包含 的纵模个数为11
四、横向电场分布与横模(Transverse Electromagnetic mode)
圆形镜： r(n)
ϕ (m) 直径数
TEM 03 TEM 00 TEM 10
光学谐振腔和高斯光束
c a x Hn
c a
y
e
1 2
c a2
(x2y2)来自CmnHm 2 L
x
H
m
2 L
e
x2 y2 ( L / )
H0(X ) 1
厄米—高斯场分布函数
H1( X ) 2X H2(X ) 4X 2 2
H3( X ) 8X 3 12X
M
（2）基模 m=n=0，TEM00模 方型镜共焦腔基模特性
第4节、菲涅耳-基尔霍夫衍射积分和自再现模 （一）开腔中自再现模的形成
进入定量讨论需要解决的问题： 1. 已知一个镜面上的场分布如何求出另一个
镜面上的场分布 2. 找出光场在腔内多次渡越的规律 3. 找出可以在多次渡越下稳定存在的光波场
分布
（二）菲涅耳-基尔霍夫衍射积分
设已知空间任意曲面S上光波场的振幅和相位分布u(x’,y’)，所要考 察的空间任意点P处由它所产生的光场为u(x,y)，则其关系可由下式 表示：
x2 y2
00 x, y C00e L
令
r aros
L
，当
x2
y2
2 os
时， 00
1/ e 0.37
当 r os 范围内，光场的光强 1 00 2 0.86 以上部分
在定义的共焦腔基模的光斑中；r os 范围可延伸∞，光强在0.14以下
通常定义 0s= L/ 为共焦腔基 模在镜面上的光斑尺寸。其大小
一般情况下满足上式的 (x, y) 很多，组成一个本征函的
系列：
1(x, y),2 (x, y),3(x, y)L
满足方程（14）的b ，称为本征值
对于不同的本征值bm，本征函数m亦是不同
对于不同的bm，在镜面上是正交的
光腔与高斯光束
r1r2
)
1 2
(
ln
r1
ln
r2
)
r
1 2
[
(1
r1
)
(1
r2
)]
当r1≈1，r2≈1时，
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损耗举例2：（腔镜倾斜时的几何损耗）
m D
2L
c
2DL
L
c
L
2D
以D=1cm，L=1m计算，如果要求损耗低于0.01
2106 rad 0.4
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损耗举例3：（衍射损耗）
Tn
由Sylvester定理有:
rnn
T
T
r00
Tn
r00
An Cn
Bn Dn
r00
Tn
1
sin
Asin
n
C
sin n
sin n
1
Bsin n
Dsin n sin n 1
其中：
arccos 1 A D
2 第22页/共88页
Tn
1
sin
Asin
n
C
sin n
sin n
1
D
sin
Bsin n
P d hV dN
dt
dt
定义二 :
Q R
定义三 :
Q
c
小结：损耗越大， Q值越小。
2 L' c
激光的单模线宽
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光腔的损耗
损耗举例1：（由镜反射不完全引起的损耗）
初始强度为I0的光，在腔内经两个镜面反 射往返一周后，其强度应为
I1 I0r1r2 I0e2r
r
开放式光学谐振腔
= πq
q = 1, 2,3
L
（2.1.1）
——驻波频率
（2.1.3）
纵模：在腔内沿着轴线稳定存在的，由不同的常数q所表征的 腔内纵向光场的分布
2、纵模特点
谐振频率： ν q =
q是一个 很大的值
①满足谐振条件的各个频率即纵模由q决定，且是分立的
c 2η L
q
Δν q = ν q +1 −ν q =
O 2a 1 单程偏移量： λL x =θL = 2a 往返m次后射出： 2 xm = a
θ=
λ
2a
θ
x
L
O2
a a2 m= = =N 2 x Lλ
6、损耗举例
☺ 腔镜的不完全反射引起的损耗
R1 I0 Nd:YAG R2
I1
l
往返一周：
I1 = I 0 R1 R2 = I 0 e −2 δ 1 δ = − ln R1R2 2 当 R1 ≈ 1 ，R2 ≈ 1 时有： 1 δ r ≈ ⎡ (1 − R1 ) + (1 − R2 ) ⎤ ⎦ 2⎣
4、球面腔与周期性透镜波导的等价
A
L L
f1 = R1 2
L
R2 f2 = 2 R1 f1 = 2
L
f2 = R2 2
⎛ r0 ⎞ 入射光线： ⎜ ⎟ ⎝θ0 ⎠
从R1出发的光线在腔内往返 传播后的光线矩阵：
⎛ r0 ⎞ ⎛ r0 ⎞ ⎛ r4 ⎞ ⎜ ⎟ = TR1TLTR 2TL ⎜ θ ⎟ = T ⎜ θ ⎟ ⎝θ4 ⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠
腔的横截面内场的分布（振幅、相位） 谐振频率
模的基本特征： 每个模式在腔内往返一次经受的相对功
率损耗（往返损耗）
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• 纵模间隔与q无关，腔的纵模在频率尺度上是 等间隔排列的。
• The oscillation frequency is determined by the requirement that phase delay per round trip be some integer, say q, of 2.
• 临界腔：性质介于稳定腔和非稳腔之间， 只有少数特定光线能在腔内往返传播
• Optical resonators can usually be divided into either “geometrically stable” or “geometrically unstable” categories (where these terms refer to ray stability within the resonators, and have nothing to do with whether or not the laser is or is not stable against laser oscillation)
• The integer q corresponds to the number of maxima of the standing wave interference pattern between the two reflectors.
• The distinction between “longitudinal” and “transverse” modes in the resonator is also much sharper in optical than in microwave resonators.
一 谐振腔的作用
• 利用均匀平面波模型讨论开腔中傍轴传 播模式的谐振条件
• 考察均匀平面波在腔中沿轴线方向往返 传播的情形。当波在腔镜上能在 腔内形成稳定振荡，要求波能因干涉而 得到加强。
• 发生相长干涉的条件是：波从某一点出发， 经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初 始出发波同相（即相差是2的整数倍）。
六 无源谐振腔的模式
模的概念 纵模和谐振频率 激光的横模
模的概念 腔与模的一般联系
• 通常将光学谐振腔内可能存在的电磁波的本 征态称为腔的模式。
• 腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。 同一模式内的光子，具有完全相同的状态 （如频率、偏振等）。
• 腔内电磁场的本征态由麦克斯韦方程组及腔 的边界条件决定。一旦给定了腔的具体结构， 则其中振荡模的特征也就随之确定下来。这 就是腔与模的一般联系。
22Lq2
0
q
q c 2L
L q 0q
2
q
c 2L
F-P腔的谐振频率是分立的。
• 腔的光学长度应为半波长的整数倍--驻波条件
• 腔内光强沿z轴的分布不是均匀的，而是强弱相间地 分布着。光强最强的明亮区，称为波腹；最弱的黑 暗区，称为波节。
• 通常将由整数q所表征的腔内纵向光场的分布 称为腔的纵模，不同的q相应于不同的纵模， 或相应于驻波场波腹的个数。
• Optical resonators are also usually described in scalar or quasi plane-wave terms, with emphasis on the diffraction effects at apertures and mirrors edged, rather than in vector terms with emphasis on matching boundary conditions.
第二部分光学谐振腔 与高斯光束
§2.1 概述
谐振腔的作用 无源谐振腔 理论依据 开放式光腔 开腔的分类 无源谐振腔的模式 光腔的损耗
• Laser cavities differ in several significant ways from the closed microwave cavities that are commonly treated in electromagnetic theory textbooks.
棒的长度远小于腔长，可认为是开腔。 • 半导体激光器是使用介质腔的典型例子。
五 开腔的分类
• 根据光束几何逸出损耗的高低，分为稳定 腔、非稳腔和临界腔。
• 稳定腔：旁轴（傍轴）光线在腔内多次往 返而不逸出腔外，具有较低的几何损耗
• 非稳腔：傍轴光线在腔内经过少数几次往 返就逸出腔外，具有较高的几何损耗
• 目的：弄清楚激光模式的基本特征及其与腔 的结构之间的具体依赖关系。
• 模的基本特征：每一个模的电磁场分布，特 别是在腔的横截面内的场分布；模的谐振频 率；每一个模在腔内往返一次经受的相对功 率损耗；与每一个模相对应的激光束的发散 角。
• 只要知道了腔的参数，就可以唯一地确定模 的基本特征。
纵模和谐振频率
三 采用的理论
• 几何光学理论--推导腔的稳定性条件（不 能得到腔的衍射损耗）
• 衍射光学理论--深入了解模式特性
四 开放式光腔
• 激光器中使用的谐振腔通常是开放式的， 即侧面没有光学边界（理想化的处理方 法），称为开式光学谐振腔，简称开腔。
• 气体激光器是采用开腔的典型例子。 • 对固体激光器，棒的直径远大于激光波长，
• Optical resonators first of all usually have open sides, and hence always have diffraction losses because of energy leaking out the sides of the resonator to infinity.
• 提供轴向光波模的反馈 • 控制腔内振荡光束的特性 （直接控制光束的横向分布特性、光斑大
小、谐振频率及光束发散角等）
二 无源谐振腔
• 不考虑腔内激活介质的影响 • 无源腔模式可以作为具有激活介质腔
（有源腔）的激光模式的良好近似 • 激活介质的作用主要是补充腔内电磁场
在振荡过程中的能量损耗，使之满足阈 值条件；激活介质对场的空间分布和振 荡频率的影响是次要的，不会使模式发 生本质的变化
• The oscillation frequency is determined by the requirement that phase delay per round trip be some integer, say q, of 2.
• 临界腔：性质介于稳定腔和非稳腔之间， 只有少数特定光线能在腔内往返传播
• Optical resonators can usually be divided into either “geometrically stable” or “geometrically unstable” categories (where these terms refer to ray stability within the resonators, and have nothing to do with whether or not the laser is or is not stable against laser oscillation)
• The integer q corresponds to the number of maxima of the standing wave interference pattern between the two reflectors.
• The distinction between “longitudinal” and “transverse” modes in the resonator is also much sharper in optical than in microwave resonators.
一 谐振腔的作用
• 利用均匀平面波模型讨论开腔中傍轴传 播模式的谐振条件
• 考察均匀平面波在腔中沿轴线方向往返 传播的情形。当波在腔镜上能在 腔内形成稳定振荡，要求波能因干涉而 得到加强。
• 发生相长干涉的条件是：波从某一点出发， 经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初 始出发波同相（即相差是2的整数倍）。
六 无源谐振腔的模式
模的概念 纵模和谐振频率 激光的横模
模的概念 腔与模的一般联系
• 通常将光学谐振腔内可能存在的电磁波的本 征态称为腔的模式。
• 腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。 同一模式内的光子，具有完全相同的状态 （如频率、偏振等）。
• 腔内电磁场的本征态由麦克斯韦方程组及腔 的边界条件决定。一旦给定了腔的具体结构， 则其中振荡模的特征也就随之确定下来。这 就是腔与模的一般联系。
22Lq2
0
q
q c 2L
L q 0q
2
q
c 2L
F-P腔的谐振频率是分立的。
• 腔的光学长度应为半波长的整数倍--驻波条件
• 腔内光强沿z轴的分布不是均匀的，而是强弱相间地 分布着。光强最强的明亮区，称为波腹；最弱的黑 暗区，称为波节。
• 通常将由整数q所表征的腔内纵向光场的分布 称为腔的纵模，不同的q相应于不同的纵模， 或相应于驻波场波腹的个数。
• Optical resonators are also usually described in scalar or quasi plane-wave terms, with emphasis on the diffraction effects at apertures and mirrors edged, rather than in vector terms with emphasis on matching boundary conditions.
第二部分光学谐振腔 与高斯光束
§2.1 概述
谐振腔的作用 无源谐振腔 理论依据 开放式光腔 开腔的分类 无源谐振腔的模式 光腔的损耗
• Laser cavities differ in several significant ways from the closed microwave cavities that are commonly treated in electromagnetic theory textbooks.
棒的长度远小于腔长，可认为是开腔。 • 半导体激光器是使用介质腔的典型例子。
五 开腔的分类
• 根据光束几何逸出损耗的高低，分为稳定 腔、非稳腔和临界腔。
• 稳定腔：旁轴（傍轴）光线在腔内多次往 返而不逸出腔外，具有较低的几何损耗
• 非稳腔：傍轴光线在腔内经过少数几次往 返就逸出腔外，具有较高的几何损耗
• 目的：弄清楚激光模式的基本特征及其与腔 的结构之间的具体依赖关系。
• 模的基本特征：每一个模的电磁场分布，特 别是在腔的横截面内的场分布；模的谐振频 率；每一个模在腔内往返一次经受的相对功 率损耗；与每一个模相对应的激光束的发散 角。
• 只要知道了腔的参数，就可以唯一地确定模 的基本特征。
纵模和谐振频率
三 采用的理论
• 几何光学理论--推导腔的稳定性条件（不 能得到腔的衍射损耗）
• 衍射光学理论--深入了解模式特性
四 开放式光腔
• 激光器中使用的谐振腔通常是开放式的， 即侧面没有光学边界（理想化的处理方 法），称为开式光学谐振腔，简称开腔。
• 气体激光器是采用开腔的典型例子。 • 对固体激光器，棒的直径远大于激光波长，
• Optical resonators first of all usually have open sides, and hence always have diffraction losses because of energy leaking out the sides of the resonator to infinity.
• 提供轴向光波模的反馈 • 控制腔内振荡光束的特性 （直接控制光束的横向分布特性、光斑大
小、谐振频率及光束发散角等）
二 无源谐振腔
• 不考虑腔内激活介质的影响 • 无源腔模式可以作为具有激活介质腔
（有源腔）的激光模式的良好近似 • 激活介质的作用主要是补充腔内电磁场
在振荡过程中的能量损耗，使之满足阈 值条件；激活介质对场的空间分布和振 荡频率的影响是次要的，不会使模式发 生本质的变化