伯努利方程
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第二章 血液的流动（共6讲）
第一节 理想流体的定常流动 第二节 血液的层流
第一节 理想流体的定常流动
一、概念
1、理想流体 2、定常流动 3、流线 4、流管 5、流量 6、静压强与动压强
二、理想流体做定常流动的规律
1、连续性方程 2、伯努利方程 3、应用
一、概念
1、理想流体（Perfect Fluid）
解：画流线，如图：
列方程： h
• A
B •
SAvA SBvB
PA
1 2
v A 2
PB
1 2
vB 2
SA
SB
PA PB gh
求解：
适用条件： （1）理想流体 （2）定常流动 （3）同一流线
证明：
有功能原理： 外力作功+非 保守内力作功=机械能增量
w FΔ L
P1S1L1cos0 P2S 2L2 cos180 P侧S侧L侧cos90 P1S1L1-P 2S 2L2 P1V 1-P 2V 2 (P1-P 2 )V
V
P1
P2
1 2
v2 2
gh2
1 2
v12
gh1
移项：
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v2 2
gh2
由于1点、2点的任意性，可得到伯努力方程
P 1 V 2 gh 常数
2
其中：
P — 压强能密度
1 v 2— 动能密度
2
gh — 重力势能密度
∴能量密度之和不变
数学表述：
S=常数
物理表述： 同一流管流量守恒。
适用条件：
（1）不可压缩流体 （2）定常流动 （3）在同一流管
证明：
流进流管的体积=流出流管的体积
ΔV1=ΔV2 （不可压缩性） S11Δt=S22 Δt ∴ S11=S22 1点与2点是任选的，则
S =常数
若流管中某截面上的流速不是定 值，则速度应用平均值：
飞 流 直 下 三 千 尺 ， 疑 是 银 河 落 九 天 。
定常流动时流线的特点：
（1）与流体质点的运动轨迹相同 （2）形状不随时间的推移而改变 （3）任何两条流线都不可能相交 （4）流线疏的地方，流速小；流线密的地方流速大
4、流管（Stream Tube）
由流线围成的管状区域
定常流动时流管的特点： （1）形状不随时间的推移而改变 （2）流管内外无物质交换 （3）生活中的水管即是流管
• B 根据题意，有：PA=P0 A=0 PB=P0 hB=0
代入伯努力方程中，求解得：
vB 2gh
装置的特点： 大敞口容器下方开一小孔
此公式适用条件：
（1）两头都开口：PA=PB=PO
（2）大容器：A=0
（3）h是小孔到水面的距离
类似装置：
A
A
•
•
h
h
•B
•B
vB 2gh
A •
h
B•
A• B• h
C•
PA=PB PB-PC=ρgh
例: 水在下图装置内做定常流动。若压强计用水银做测量液体 求：p1-p2= ? （忽略1点与2点的高度差）
水流
1
2•
•
h
Δh
3•
•4
解：当定常流动时，U形压强 计中的流体是静止的，符 合静压强的有关规律。
P3=P4 P3=P1+ρ水gh+ρ水gΔh P4=P2+ρ水gh+ρ银gΔh
PA
0
PB
1 2
vB 2
PA PB gh
是液体密度
是气体密度
v 2gh
应用三：流量计原理
例3：文丘里流量计是一根粗细不均匀的管子做 成的，粗部和细部分别接有一根竖直的细管，如 图所示。在测量时，两竖直管中的液体会出现高 度差h。如果已知SA、SB、h。求：Q=?
S v 常数 证毕！
例：请你列出下面2种流管分布的连续性原理方程
1 • •2
S11=S22 S2 变小 2变大
截面积小的地方流速大
2•
1•
3•
4•
S11=S22+S33+S44
2、伯努利方程
数学表述：
P gh 1 v2 常数
2
物理表述： 同一流线，能量密度之和守恒
∵ρ水=103kg/m3
ρ银=13.6×103kg/m3 即：银>>水
联立求解得：
P1 -P2=(ρ银 -ρ水）gΔh
≈ρ银gΔh
h
1•
2 •
水流
P1 – P2=ρ水gΔh
Δh
21
•
•
P1 – P2=ρ水gΔh
水流
21 ••
水流
Δh
ρ银
P1 – P2=ρ银gΔh
二、运动规律
1、连续性原理（Contiunity Equation）
绝对不可压缩（密度是常量）、绝对无粘性 （无内摩擦力）、可流动的物体。
2、定常流动（Steady Flow）
若流体质点的速度只是空间的函数，与 时间的变化无关，这样的流动称为定常 流动。
=(x,y,z)
3、流线（Stream Line）
想象流体流动过程中有这样的曲线存在： 曲线 上每一点的切线方向与流经该点的 流体质点的速度方向相同。
5、流量（体积流量）
（1）定义：Q=•S （2）单位 ：米3/秒 （m3s-1）
（3）物理意义：单位时间内流过截面积为S的 流管的流体的体积。
6、静压强
液体静止时各点的压强。 （1）定义： P F
S
（2）单位：帕斯卡 （Pa） （3）物理意义：单位面积上所受到的力 重要结论：在连通的同种流体中
• A
h
vB 2gh
•B
应用二：测速仪原理 例2：皮托管测水流速度
解：
A点即流体流动的速度
B点是停滞区
A、B两点同高
PA
1 2
v 2
PB
0
v2 2(PB PA ) 2gh
v 2gh
装置的特点： 迎着流速开口A，顺着流速开口B， 两个开口分别与压强计联接。
例4：
Awenku.baidu.comB两点近似为同高点
证毕！
3、应用
应用一：小孔流速问题
例1：一个很大的开口容器（SA>>SB，两个数量级以
上，或者A=0），器壁上距水面h处开有一小孔，截
面积为SB。求：小孔处液体的流速B=?
A
解：求解步骤
•
（1） 画流线
（2） 列方程
（3） 解方程
PA
1 2
v
2 A
ghA
PB
1 2
vB 2
ghB
机械能增量：
E (E3 E 2 )-(E1 E 2 )
E3-E1
(
1 2
mv
2 2
mgh2
)
-(
1 2
mv12
mgh1 )
根据功能原理：W=ΔE
(P1
P2
)V
1 2
mv 2 2
mgh2
1 2
mv12
mgh1
等式两边同除 V 利用 m 有
第一节 理想流体的定常流动 第二节 血液的层流
第一节 理想流体的定常流动
一、概念
1、理想流体 2、定常流动 3、流线 4、流管 5、流量 6、静压强与动压强
二、理想流体做定常流动的规律
1、连续性方程 2、伯努利方程 3、应用
一、概念
1、理想流体（Perfect Fluid）
解：画流线，如图：
列方程： h
• A
B •
SAvA SBvB
PA
1 2
v A 2
PB
1 2
vB 2
SA
SB
PA PB gh
求解：
适用条件： （1）理想流体 （2）定常流动 （3）同一流线
证明：
有功能原理： 外力作功+非 保守内力作功=机械能增量
w FΔ L
P1S1L1cos0 P2S 2L2 cos180 P侧S侧L侧cos90 P1S1L1-P 2S 2L2 P1V 1-P 2V 2 (P1-P 2 )V
V
P1
P2
1 2
v2 2
gh2
1 2
v12
gh1
移项：
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v2 2
gh2
由于1点、2点的任意性，可得到伯努力方程
P 1 V 2 gh 常数
2
其中：
P — 压强能密度
1 v 2— 动能密度
2
gh — 重力势能密度
∴能量密度之和不变
数学表述：
S=常数
物理表述： 同一流管流量守恒。
适用条件：
（1）不可压缩流体 （2）定常流动 （3）在同一流管
证明：
流进流管的体积=流出流管的体积
ΔV1=ΔV2 （不可压缩性） S11Δt=S22 Δt ∴ S11=S22 1点与2点是任选的，则
S =常数
若流管中某截面上的流速不是定 值，则速度应用平均值：
飞 流 直 下 三 千 尺 ， 疑 是 银 河 落 九 天 。
定常流动时流线的特点：
（1）与流体质点的运动轨迹相同 （2）形状不随时间的推移而改变 （3）任何两条流线都不可能相交 （4）流线疏的地方，流速小；流线密的地方流速大
4、流管（Stream Tube）
由流线围成的管状区域
定常流动时流管的特点： （1）形状不随时间的推移而改变 （2）流管内外无物质交换 （3）生活中的水管即是流管
• B 根据题意，有：PA=P0 A=0 PB=P0 hB=0
代入伯努力方程中，求解得：
vB 2gh
装置的特点： 大敞口容器下方开一小孔
此公式适用条件：
（1）两头都开口：PA=PB=PO
（2）大容器：A=0
（3）h是小孔到水面的距离
类似装置：
A
A
•
•
h
h
•B
•B
vB 2gh
A •
h
B•
A• B• h
C•
PA=PB PB-PC=ρgh
例: 水在下图装置内做定常流动。若压强计用水银做测量液体 求：p1-p2= ? （忽略1点与2点的高度差）
水流
1
2•
•
h
Δh
3•
•4
解：当定常流动时，U形压强 计中的流体是静止的，符 合静压强的有关规律。
P3=P4 P3=P1+ρ水gh+ρ水gΔh P4=P2+ρ水gh+ρ银gΔh
PA
0
PB
1 2
vB 2
PA PB gh
是液体密度
是气体密度
v 2gh
应用三：流量计原理
例3：文丘里流量计是一根粗细不均匀的管子做 成的，粗部和细部分别接有一根竖直的细管，如 图所示。在测量时，两竖直管中的液体会出现高 度差h。如果已知SA、SB、h。求：Q=?
S v 常数 证毕！
例：请你列出下面2种流管分布的连续性原理方程
1 • •2
S11=S22 S2 变小 2变大
截面积小的地方流速大
2•
1•
3•
4•
S11=S22+S33+S44
2、伯努利方程
数学表述：
P gh 1 v2 常数
2
物理表述： 同一流线，能量密度之和守恒
∵ρ水=103kg/m3
ρ银=13.6×103kg/m3 即：银>>水
联立求解得：
P1 -P2=(ρ银 -ρ水）gΔh
≈ρ银gΔh
h
1•
2 •
水流
P1 – P2=ρ水gΔh
Δh
21
•
•
P1 – P2=ρ水gΔh
水流
21 ••
水流
Δh
ρ银
P1 – P2=ρ银gΔh
二、运动规律
1、连续性原理（Contiunity Equation）
绝对不可压缩（密度是常量）、绝对无粘性 （无内摩擦力）、可流动的物体。
2、定常流动（Steady Flow）
若流体质点的速度只是空间的函数，与 时间的变化无关，这样的流动称为定常 流动。
=(x,y,z)
3、流线（Stream Line）
想象流体流动过程中有这样的曲线存在： 曲线 上每一点的切线方向与流经该点的 流体质点的速度方向相同。
5、流量（体积流量）
（1）定义：Q=•S （2）单位 ：米3/秒 （m3s-1）
（3）物理意义：单位时间内流过截面积为S的 流管的流体的体积。
6、静压强
液体静止时各点的压强。 （1）定义： P F
S
（2）单位：帕斯卡 （Pa） （3）物理意义：单位面积上所受到的力 重要结论：在连通的同种流体中
• A
h
vB 2gh
•B
应用二：测速仪原理 例2：皮托管测水流速度
解：
A点即流体流动的速度
B点是停滞区
A、B两点同高
PA
1 2
v 2
PB
0
v2 2(PB PA ) 2gh
v 2gh
装置的特点： 迎着流速开口A，顺着流速开口B， 两个开口分别与压强计联接。
例4：
Awenku.baidu.comB两点近似为同高点
证毕！
3、应用
应用一：小孔流速问题
例1：一个很大的开口容器（SA>>SB，两个数量级以
上，或者A=0），器壁上距水面h处开有一小孔，截
面积为SB。求：小孔处液体的流速B=?
A
解：求解步骤
•
（1） 画流线
（2） 列方程
（3） 解方程
PA
1 2
v
2 A
ghA
PB
1 2
vB 2
ghB
机械能增量：
E (E3 E 2 )-(E1 E 2 )
E3-E1
(
1 2
mv
2 2
mgh2
)
-(
1 2
mv12
mgh1 )
根据功能原理：W=ΔE
(P1
P2
)V
1 2
mv 2 2
mgh2
1 2
mv12
mgh1
等式两边同除 V 利用 m 有