北师大版数学高二-选修4课件 1.5 不等式的应用
高中数学第二章几何重要的不等式212一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4
取到．
第23页
题型三 柯西不等式的综合应用 例 4 (2015·福建)已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为 4. (1)求 a＋b＋c 的值； (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
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【解析】 (1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，
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思考题 1 若 x，y，z∈R＋，且 x2＋y2＋z2＝1，求证：0<xy ＋yz＋zx≤1.
【证明】 (x2＋y2＋z2)(y2＋z2＋x2)≥(xy＋yz＋zx)2，即 1≥(xy ＋yz＋zx)2，又 x，y，z∈R＋，∴0<xy＋yz＋zx≤1.
第12页
题型二 利用柯西不等式求最值 例 2 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值． 【思路】 由题目可获取以下主要信息：①已知变量 x，y，z 之间的关系符合特定条件；②所求式子中含有根式．解答本题的关 键是去掉根号，并且利用好特定条件．
第6页
3．柯西不等式的两个变式 (1)当 ai∈R，bi>0(i＝1，2，…，n)，∑i＝n1 abi2i ≥（∑i∑i＝n＝n11abi）i 2，当且 仅当 bi＝λai 时等号成立． (2)设 ai，bi 同号且不为 0(i＝1，2，…，n)，则i∑＝n1 baii≥（∑i∑＝in＝n11aaibi）i 2， 当且仅当 bi＝λai 时，等号成立.
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≥(
a· b
b＋
b· c
c＋
c· a
a)2
＝(a＋b＋c)2，
即(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.
高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1_2 基本不等式课件 新人教B版选修4-5
2 + 2 + 2+ 2
4
=
2 + 2
2
(当且仅当a=b 时等号成立).
≤ ≤
+
2
≤
(当且仅当a=b 时等号成立).
2 + 2
2
,
2
,
题型一
题型二
题型三
题型四
反思基本不等式有着重要的应用,在使用时还应记住重要的变
2
+
形公式.如 a,b 是正数,且 b≥a 时,a≤
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
4
= .
27
3
2
2
当且仅当 2x =1-x ,即 x= 时,等号成立.
3
2 3
2 3
∴y≤ 9 , 即ymax = 9 .
反思利用基本不等式解题时要注意考察“三要素”:(1)函数中的
相关项必须都是正数;(2)变形后各项的和或积有一个必须是常
数;(3)当且仅当各项相等时,才能取到等号,可简化为“一正二定三
D.若 x≤0,则 2x+2-x≥2 2 ·2- = 2
解析:对于选项 A,当 ab>0 时,有 + ≥2;
对于选项 B,当 x>1,y>1 时,有 lg x+lg y≥2 lg·lg;
4
对于选项 C,当 x<0 时,有 x+ = − -故可排除选项 A,B,C,故选 D.
答案:D
∵年生产成本=年生产费用+固定费用,
∴年生产成本为 32x+3=32
2019_2020学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.3反证法和放缩法课件新人教B版选修4_5
1.5 不等式证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法
学习目标：1.理解反证法在证明不等式中的应用，掌握用反证法 证明不等式的方法.2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不 等式．
自主预习 探新知
教材整理 1 反证法 首先假设要证明的命题是 不正确的 ，然后利用公理 ，已有的 _定__义__、__定__理__，命题的条件 逐步分析，得到和_命__题__的__条__件__(_或__已__证__明__过_ _的__定__理__，__或__明__显__成__立__的__事__实__)_矛盾的结论，以此说明 假设的结论 不 成立，从而原来结论是 正确 ，这种方法称作反证法．
[精彩点拨] 针对不等式的特征，关键是对左端根号内变形，配 方后适当放缩去掉根号，达到证明的目的．
[自主解答]
x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋43y2
≥
x＋2y2＝x＋2y≥x＋2y，
同理可得： y2＋yz＋z2≥y＋2z，
z2＋zx＋x2≥z＋2x.
∴1＋ab>a2＋b2≥2ab， 从而 ab<1. ∴a2＋b2<1＋ab<2. ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4. 而由假设 a＋b>2，得(a＋b)2>4，出现矛盾，故假设不成立，原 结论成立，即 a＋b≤2.
反证法与放缩法的特点
[探究问题] 1．反证法的一般步骤是什么？ [提示] 证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论 进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．
∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤614，
②
因此①式与②式矛盾．
故假设不成立，即原命题成立．
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.3平均值不等式
= 5+2
������ + ������
������ ������
≥5+4=9=右边.
当且仅当 x=y= 1 时取“=”号.
2
2 + ������
������
题型一 题型二 题型三
证法三:利用三角函数来证明.
令
x=cos2θ,y=sin2θ,0<θ<
π,
2
左边 =
1
+
co
1 s 2 ������
如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值 ������2.
4
即当两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;当两个正数的
和为常数时,它们的积有最大值.
2.利用平均值不等式求最值时,必须同时满足三个条件,各项均
为正数,其和或积为常数,等号必须能成立,即“一正”“二定”“三相等”. 3.从这两个不等式我们可以得到如下结论: ������ +
3
������时取“ = ”号).
定理4可叙述为:三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均 值.
(3)n个正数的算术-几何平均值不等式:
一般地,对 n 个正数 a1,a2,…,an(n≥2),我们把数值
a1 + a2 +… +an n
,
������
������1������2…������������分别称为这 n 个正数的算术平均值与几何
������-3
A.5
B.4
C.3
D.2
解析:原式变形为
y=
1 ������-3
+
������
−
3
高三数学北师大版(理)复习课件选修4-5 不等式选讲
课 堂
要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
题 型
只需|a|≥3，∴a≥3 或 a≤－3.]
全
突
课 后 限 时 集 训
破
返 首 页
课 前
5．已知 a，b，c
是正实数，且
a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．
真 题
知 识
9 [∵a＋b＋c＝1，
自 主
全
验
通 关
∴1a＋1b＋1c＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc
则 x1－x22＋y1－y22＋ x2－x32＋y2－y32≥ x1－x32＋y1－y32. (4)柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是 实数，则(a12＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当
课 堂 题 型
所以1＋1x1＋1y＝1＋1x＋1y＋x1y＝1＋x＋xyy＋x1y＝1＋x2y≥1＋8＝9.
全
突 破
当且仅当 x＝y＝12时，等号成立．
课 后 限 时 集 训
返 首 页
课
真
前
应用不等式解决最值问题
题
知
自
识
主
全 通
►考法 1 利用基本不等式求最值
验 效
关
果
【例 3】 (2014·全国卷Ⅰ)若 a>0，b>0，且1a＋1b＝ ab.
验 效
关
果
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解；
课
堂 题
②利用零点分段法求解；
高中数学第2章几个重要的不等式11.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4_5
立．
2．推论 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是两组实数，则有
[自主解答] (1)|ax＋by|＝ ax＋by2≤ a2＋b2x2＋y2＝1. (2)由柯西不等式得： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理： 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得：
2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， 所以 a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
2．已知实数 a，b，c， d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2 ＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的取值范围．
[解] 由柯西不等式得， (2b2 ＋ 3c2 ＋ 6d2) 12＋13＋16 ≥(b ＋ c ＋ d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得 1≤a≤2， 所以实数 a 的取值范围是[1,2].
1．设 x，y∈R，且 2x＋3y＝13，则 x2＋y2 的最小值为( )
A． 13 B．169
C．13
D．0
[解析] (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. [答案] C
2．已知 a，b，c 大于 0，且 a＋b＋c＝1，则 a2＋b2＋c2 的最小 值为( )
A．1 B．4 C．13 D．12 [解析] 根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋ c)2＝1，
高中数学：不等式选讲教案北师大版选修4-5
选修4-5 不等式选讲课 题： 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案
课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
2019-2020学年高中数学北师大版选修4-5教师用书：第1章5 不等式的应用 Word版含答案
§5 不等式的应用1．理解不等式的性质、平均值不等式；掌握不等式的解法．(重点) 2．能利用不等式解决一些实际问题．(难点)教材整理 不等式应用的类型及步骤 阅读教材P 23～P 24，完成下列问题． 1．不等式的应用大致分为两类(1)利用不等式研究函数的性质，求参数的取值范围．(2)实际问题中建立不等式(或函数)模型，解决简单的实际问题． 2．解不等式应用问题的四个步骤 (1)审题，必要时画出示意图．(2)建立不等式模型，即根据题意找出常数量和变量的不等关系．(3)利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号． (4)作出问题结论．填空：(1)不等式|2x －1|>x 的解集为________．(2)长为2米的木棍，截断围成矩形，其矩形的最大面积为________． (3)若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则a 的符号为________，c 的符号为________． 【解析】 (1)|2x －1|>x 等价于2x －1>x 或2x －1<－x ， 即x >1或x <13，所以解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x>1或x<13.(2)设矩形的长为x ，宽为y ，则2x ＋2y ＝2，即x ＋y ＝1，所以面积S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14，故最大面积为14.(3)由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0知3a >a ＋b ＋c ＝0，即a >0,3c <a ＋b ＋c ＝0，即c <0.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x>1或x<13 (2)14 (3)正 负预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：已知0＜b ＜1＋3个，则( ) A ．－1＜a ＜0 B ．0＜a ＜1 C ．1＜a ＜3D ．3＜a ＜6【精彩点拨】 原不等式――→变形关于x 的方程――→讨论二次项系数满足的条件――→韦达定理结果【自主解答】 由(x －b )2＞(ax )2，得x 2(1－a 2)－2bx ＋b 2＞0. 若恰有3个整数解，必须满足1－a 2＜0，即a ＞1或a ＜－1(舍去)． 设不等式对应方程两根为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|＝＋－4x1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 1－a22－4·b21－a2＝4a2b2－＝2ab a2－1. 又不等式有3个整数解， ∴2<2ab a2－1≤3，解得b ≥3a2－32a .由已知0<b ＜1＋a ，得3a2－32a ＜1＋a ，解得1＜a ＜3， ∴1＜a ＜3. 【答案】 C1．“三个二次”的关系，一元二次不等式，一元二次方程及二次函数的关系，解题要注意相互转化． 2．对二次项系数含有参数的式子要进行讨论．1．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪∪ D ．(－∞，1]∪2．设甲、乙两地距离为s ，船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度为v 1(v 1>0)，已知船在静水中的速度为v 2(v 2>0)，试比较v 1和v 2的大小．【解】 设水流速度为v (v >0)，则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t ＝s v2＋v ＋s v2－v ＝2sv2v22－v2， ∴平均速度v 1＝2s t ＝v22－v2v2.∵v 1>0，v 2>0，∴v1v2＝v22－v2v2v2＝v22－v2v22＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v v2<1，∴v 1<v 2.)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图151所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙的长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．图151(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【精彩点拨】 (1)由题可知总费用由旧墙的维修费及新墙的造价构成，故先弄清旧墙需维修的长度及新墙需建的长度，然后易知y 与x 的关系式；(2)用均值不等式可求总费用的最小值．【自主解答】 (1)设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a＝225x ＋360a －360. 由已知ax ＝360，得a ＝360x ，∴y ＝225x ＋3602x－360(x ＞0)．(2)∵x ＞0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440，当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．设出变量――→建立数学模型――→定义域利用平均值不等式求最值――→“＝”成立的条件结论3．如图152，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线翻折做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？图152【解】 设切去的正方形边长为x ，无盖方底盒子的容积为V ，则V ＝(a －2x )2·x ，其中0＜x ＜a 2.又V ＝14(a －2x )·(a －2x )·4x≤14⎣⎢⎡⎦⎥⎤－＋－＋4x 33＝2a327， 当且仅当a －2x ＝4x ，即当x ＝a 6时，不等式取等号，此时V 取最大值2a327.因此当切去的小正方形边长是原来正方形边长的16时，盒子的容积最大．1．函数y ＝x2＋mx ＋m2对一切x ∈R 都有意义，则实数m 的取值范围是( )【导学号：94910026】A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＜0或m ＞2D ．0≤m ≤2【解析】 由题意，Δ＝m 2－4·m 2≤0，所以0≤m ≤2. 【答案】 D2．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y ＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．3＋2 2D ．4 3【解析】 (x ＋y )×1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝2＋1＋2y x ＋xy ≥3＋2 2.当且仅当2y x ＝xy 时，等号成立．【答案】 C3．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x2＋1的图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n 为正整数，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．【解析】 易得a n ＝n2＋1，b n ＝n ， ∴c n ＝n2＋1－n ＝1n2＋1＋n ，c n 随n 的增大而减小，∴c n ＞c n ＋1. 【答案】 c n ＞c n ＋14．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是________． 【解析】 设P 到三角形三边距离分别为h 1，h 2，h 3， 又∵三角形为直角三角形，S ＝12·3·4＝6，∴12h 1·3＋12h 2·4＋12h 3·5＝6， ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥3360h1h2h3， ∴h 1h 2h 3≤6460＝1615.【答案】16155．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【解】 由题意，列出不等式0.1x ＋0.01x 2＞12(x >0)， 解得x ＜－40或x ＞30.由于x ＞0，从而可得x 甲＞30 km/h.由s 乙＞10，得 0．05x ＋0.005x 2＞10(x ＞0)， 解得x ＞40，即x 乙＞40 km/h. 所以超速行驶应负主要责任的是乙车．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.2绝对值不等式的解法课件北师大版选修4_5
• [互动探究]若本例条件变为“若关于x的不等式|x＋2| －|x－1|≥a的解集为R”，求实数a的取值范围．
解：法一 令 y1＝|x＋2|－|x－1|，y2＝a， 3，x≥1，
则 y1＝2x＋1，－2≤x＜1， －3，x＜－2.
• 函数y1，y2的图像如图所示．由图可知当a＜－3时，
• 不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( ) • A．(－∞，4) B．(－∞，1) • C．(1,4) D．(1,5) • 解析：①当x＜1时，原不等式等价于 • 1－x－(5－x)＜2，即－4＜2， • 所以x＜1.
• ②当1≤x≤5时，原不等式等价于 • x－1－(5－x)＜2，即x＜4， • 所以1≤x＜4. • ③当x＞5时，原不等式等价于x－1－(x－5)＜2， • 即4＜2，无解． • 综合①②③知x＜4. • 答案：A
• 3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解
法 几何意义
• (1)可以利用绝对值不等式的___________零_.点
• (2)利用分类讨论的思想，以绝对值的
“____________”为分界点，将数轴分成几个区间，
然后确定符号各个绝对值中的多绝对项值式符号的____________，
• 所以实数a的取值范围是(－∞，－3)．
• 【点评】 (1)含参数的绝对值不等式的解法与不含 参数的绝对值不等式的解法完全一样，只不过要注 意对参数的取值的讨论．
• (2)对于已知含参数的绝对值不等式的解集情况或恒 成立情况，求参数的值或取值范围的问题，关键是 根据其解集或恒成立构建关于参数的方程、不等式 或函数，再求解．
第一章 不等关系与基本不等式
高中数学第二章几何重要的不等式232数学归纳法原理应用课件北师大版选修4
右边＝（（2＋2＋1）1）2－2 1＝98，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，
即
8×1 12×32
＋
8×2 32×52
＋
…
＋
8k （2k－1）2（2k＋1）2
＝
（2k＋1）2－1 （2k＋1）2 .
第32页
当 n＝k＋1 时，
8×1 12×32
＋
8×2 32×52
第19页
所以（（kk＋＋12））kk＋＋21＝(kk＋＋12)k·（kk＋＋12）2>(k＋k 1)k·k＝（kk＋k＋11）k >1，
即 n＝k＋1 时成立． 由①②知，对一切 n≥3，n∈N*，nn＋1>(n＋1)n 都成立．
第20页
探究 3 对于“观察—归纳—猜想—证明”模式的问题，猜 想正确与否是关键，证明猜想成立是根本．先归纳猜想，后证明 解决问题，两者相辅相乘．
第16页
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好
第17页
题型三 “观察—归纳—猜想—证明”思想方法的应用 例 3 设 f(n)＝nn＋1，g(n)＝(n＋1)n，n∈N*. (1)当 n＝1，2，3，4 时，比较 f(n)与 g(n)的大小； (2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．
第7页
当 n＝k＋1 时，左边＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋31k＋3k1＋1＋3k1＋2
＋3（k1＋1）
＝
(
1 k＋1
＋
1 k＋2
＋
1 k＋3
＋
…
＋
1 3k
2019_2020学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1_3_2三元平均值不等式课件北师大版选修4_5
3 ＝300π·
12·（32）2.
∴w≥900π.
当且仅当 3x2＝2xy 即 3x＝2y 时取等号，可得 x＝1，y＝1.5.
答：当水池半径为 1 m，池高为 1.5 m 时，修建水池成本最
低为 900π元．
第31页
课后巩固
第32页
1．设 a，b，c∈R，且 a，b，c 不全相等，则不等式 a3＋b3
第43页
证明 因为 a，b，c 均为正数，由平均值不等式知
2
a2＋b2＋c2≥3(abc)3.
①
1a＋b1＋1c≥3(abc)－31，即(1a＋1b＋1c)2≥9(abc)－23. ②
故 a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥3(abc)23＋9(abc)－23.
又 3(abc)23＋9(abc)－23≥2 27＝6 3，
第14页
【思路】 先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用 平均不等式证明．
第15页
【证明】 (1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥33 abc>0. 从而(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2>0. 又a12＋b12＋c12≥3 3 a2b12c2>0， ∴(a12＋b12＋c12)(a＋b＋c)2≥3 3 a2b12c2·93 a2b2c2＝27. 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
第27页
又2Hx＋(1－Hx )＋(1－Hx )＝2 为定值， ∴当2Hx＝1－Hx 即 x＝H3 时，v 最大． 故当 x＝H3 时，Vmax＝841πR2H(1＋λ＋λ2)．
第28页
思考题 4 今欲造一个无盖的容积为32π m3 的圆柱形水 池，池底所用材料每平方米 300 元，池壁所用材料每平方米 200 元，那么设计这个水池的最低成本是多少元？
高中数学北师大版选修4-5第二章几个重要的不等式课件 (共5份打包)
[互动探究]若将本例条件变为2x＋3y＝1，情况如何？
解：由柯西不等式，得 (x2＋y2)(22＋32)≥(2x＋3y)2， 当且仅当2x＝3y时取等号．
因为 2x＋3y＝1，所以 13(x2＋y2)≥1，即 x2＋y2≥113. 由22x＝x＋3y3，y＝1，得xy＝ ＝113233.， 故当 x＝123，y＝133时，x2＋y2 取得最小值，最小值为113.
利用柯西不Leabharlann 式求最值若 3x ＋ 4y ＝ 2 ， 试 求 x2 ＋ y2 的 最 小值及取得最小值时x，y的值．
解：由柯西不等式，得 (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2， 当且仅当3x＝4y时等号成立． 因为 3x＋4y＝2，所以 25(x2＋y2)≥4，
即 x2＋y2≥245. 由33x＝x＋4y4，y＝2，得xy＝ ＝228655.， 故当 x＝265，y＝285时，x2＋y2 取得最小值，最小值为245.
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懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属��
2018学年北师大版高中数学选修4-5课件 第一章 不等关系与基本不等式 本章高效整合1 精品
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内容精要：本章是在复习已有的不等式知识(不等式的性 质，基本不等式等)的基础上，继续学习不等式的知识，包括 一些关于绝对值不等式的性质；平均不等式；证明不等式的方 法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法；不等式的应 用等等．本章知识的重点是不等式的基本性质，求解绝对值不 等式和运用不等式的基本方法解决实际问题，掌握证明不等式 的基本方法与技巧．
2．会利用不等式求最大(小)值． 3．了解比较法、分析法、综合法和放缩法、反证法等不 等式的证明方法． 4．会利用不等式解决一些简单的实际问题．
[命题探究]
本章为选修部分新增内容，也是选考内容，命题时，主要 题型有：含有绝对值不等式的解法，利用含有绝对值的重要不 等式证明不等式问题，用比较法、综合法、分析法、放缩法、 反证法证明简单的不等式，难度通常为中档题．
课标要求：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值 不等式的几何意义证明以下不等式：
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|. (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax＋ b|≤c；|ax ＋ b|≥c ；|x－ a|＋|x － b|≥c；|x －a| ＋|x － b|≤c.
4．反证法和放缩法证明不等式 反证法和放缩法 (1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公 理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的 条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设 的结论不成立，从而原来的命题结论正确．
(2) 放 缩 法 ： 将 需 要 证 明 的 不 等 式 的 值 适 当 地 放 大 ( 或 缩 小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的．
两个不等式中等号成立的条件都是 a＝b，且 a＝b 是不等 式中等号成立的充要条件．
高中数学第二章几个重要的不等式2.3数学归纳法与贝努利不等式课件北师大版选修4_5
• (2)数学归纳法适用范围：可用于证明与
____________有关的命题．
正整数
• 2．数学归纳法证明命题的步骤
•
(1)验证当n取__第_一__个_值__n0_____ 正确．
(如n0＝1或2等)时命题
• (_2n_＝)_假k_＋_设1__当__n_＝__k时(k∈命N题＋也，正k≥确n．0)时命题正确，证明当
• 【点评】 应用数学归纳法证明代数恒等式的关键 是在运用归纳假设，分析p(k)与p(k＋1)的差异及联系， 利用拆、添、并、放等手段，从p(k＋1)中分离出p(k)， 再进行局部调整，也可考虑寻求两者的结合点，以 便顺利过渡，利用归纳假设，经过恒等变形，得到 结论需要的形式．
1．用数学归纳法证明：2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n21n＋2 ＝4nn＋1(其中 n∈N＋)．
中，从n＝k到n＝k＋1，只用拼凑的方法，有时也行 不通．因为对不等式来说，它还涉及放缩的问题， 它可能需通过放大或缩小的过程，才能利用上归纳 假设．因此，我们可以利用比较法、综合法、分析
法等来分析从n＝k到n＝k＋1的变化，从中找到放缩 尺度，准确地拼凑出所需要的结构．
2．用数学归纳法证明：1n＋n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n12>1 (n≥2，n∈N＋)．
• 3．数列中的不少问题都可用数学归纳法予以证明， 既可以是恒等式也可以是不等式，有一定的综合性， 其中用不完全归纳法给出结论，用数学归纳法给出 证明是常见题型．
解：计算，得 S1＝89，S2＝2245，S3＝4489，S4＝8801. 猜测 Sn＝2n2＋n＋112－2 1(n∈N＋)．证明如下：
(1)当 n＝1 时，结论显然成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即 Sk＝2k2＋k＋112－2 1， 那么当 n＝k＋1 时， Sk＋1＝Sk＋2k＋81k2＋21k＋32 ＝2k2＋k＋112－2 1＋2k＋81k2＋21k＋32
高二数学北师大版选修4-5课件1.3 平均值不等式
������+������ 2
≥ ������������可得到结论:(1) +
������ ������
≤ ������������ ≤
������+������ 2
≤
������2 +������ 2
2
(a,b∈R+).
2.定理中的 a,b 可以是数字,也可以是比较复杂的代数式.
自主思考三个正数或三个以上正数的平均值不等式的应用条
2
当且仅当 x=y= 时,等号成立.
探究一
探究二
探究三
探究四
证法二:左边= 1 +
������ ������
������+������ ������
1+
������+������ ������
= 2+
������ ������
2+
������ ������
=5+2
������ + ������
≥5+4=9=右边. 当且仅当 x=y= 时,等号成立.
1 2
点评 1.利用基本不等式证明不等式,常根据不等号的方向,结合基本
不等式进行适当放缩,要注意整体代换. 2.运用基本不等式时,要特别注意等号成立的条件. 3.在推证过程中要正确运用不等式的性质.
探究一
探究二
探究三
探究四
利用平均值不等式求最值
利用平均值不等式求最值时要注意考察“三要素”:(1)函数中的相关项 必须都是正数;(2)变形后各项的和或积有一个必须是常数;(3)当且仅当各项 相等时,才能取到等号,可简化为“一正二定三相等”.求函数最值时,常将不 满足上述条件的函数式进行“拆”“配”等变形,使其满足条件,进而求出最值. 【例题 2】(1)已知 x,y∈R+,且 x+2y=1,求 + 的最小值; (2)已知 x>0,y>0,且 5x+7y=20,求 xy 的最大值; (3)已知 x< ,求 y=4x-1+ (4)已知 a>0,b>0,且