向量法求异面直线的夹角、线面角和二面角

－ g
两个平面的法向量在二面角内 同时指向或背离。
n1
a
l
g n 2
b

n1
g
a
l

n2
b
设 n1 , n2 = g 设a —l —b的平面 角为
g
g
两个平面的法向量在二面角内 一个指向另一个背离。
a
n1

l
n2
b
| cos || cos n1 ,n2 ||
A1
z
D1
C1
K
G
B1
F y D E A B C
DA , DC , DD1 为单位正
交基底建立直角坐标系。
x
①∵A1(1,0,1) C(0,1,0)
D(0,0,0)
1 K 0,0, 2
A1
z
D1
C1
∴ DA1 =(1,0,1)
1 CK 0,1, 2
K
G
C1
n =(1, 1,－1)
而面DAD1A1法向量
A1
K
G
B1
DC =(0, 1,0),
F D E x A B C
cos DC , n
1 3 n DC 3 3 n DC
y
∴二面角G—EF—D1为 arccos 3
3
例2.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中, ∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA= AB=BC=1, AD 1 . 2 z 求面SCD与面SBA所成的二面角 s
n1 n2 | n1 | | n2 |
|
例1：棱长为1的正方形ABCD— A1B1C1D1中,E,F,G,K分别是 棱AD,AA1,A1B1 , D1D的中点， ①求A1D与CK的夹角； ② DD1与平面EFG所成的角； （用三角函数表示） ③二面角G—EF—D1的大小 （用三角函数表示） 解：以D为坐标原点
有关角的几个概念或范围 平面角
b
空间中的角 直线和平 异面直线的夹角 面所成的角 l b b' B
a' A a
二面角
a A
β
O
O
a
O
a
θ
l'
lB
从一点 引出的两 条射线组 成的图形 两条直 线的夹角 范 围 0,
a’∥a, b’ ∥b, a’、 b’交于O.∠AOB是 异面直线a、 b 所 成的角。
的正切值。
解:建立如图所示的直角坐标系
y 1 C(1,1,0), S(0,0,1) 则D ,0,0 B 2 AD 1 ,0,0 且 AD 是面SBA的 2 A D 法向量 设平面SCD的法向量 n =(x,y,z) n · =0 DC 1 1 DC ,1,0 SD ,0,1 2 2 n · =0 SD
β
B A Db
a
cosθ = | cos AB , CD| = θ=
|AB | · | |CD
AB , CD
或 θ =π－ AB , CD
2、求直线和平面所成的角
g1
A
设直线BA与平面β的夹角为θ，
n 为平面β的法向量,
n
θ
β
B C
当 n 与向量 BA 的夹角为锐角g 1
θ=

2Leabharlann Baidu
C
x
z
1 x y 0 即 2 1 xz 0 2 1 1 令x=1,则 y ， z 2 2 ∴ n 1, 1 , 1 2 2 6 AD ∴cosa= n · |n|· 3 |AD|
2 从而 tana 2
s
y
B A
C
D
x
例3在三棱锥D—ABC中,底面△ABC是等腰直角三角形,侧面△DBC 是等边三角形,平面DBC⊥平面ABC,AB=AC=4,E,F分别为 BD,AD 中点。 z ①求二面角F—CE—D的大小；
z
D


A
E F O
设面EFC的法向量 n =(x, y, z)
2x 2 y 0 由 得 3 2 y 6 z 0 CE=0 n· 令 x =1 得n 1,1, 3
EF n · =0
B
C
y


x
B
O
C
y
因OA⊥面BCD,故 OA的方向向量
1x A m =(1, 0, 0)为面BCD的一个法向量 cos n, m 5 5 即二面角F—CE—D的大小为 arccos 5 5 5
B1
cos DA1 , CK
CK DA1· = | DA1| · | |CK
F
1 2
E x A
y D B C
∴ DA1 与CK的夹角为 arccos 10
1 2 1 4 10 10
10
1 G 1, 1 ,1. 1 E ,0,0 ， F 1,0, ， 2 2 2 1 1 1 1 A1 EF ,0, ， , ,1 EG 2 2 2 2
g1
当 n 与向量 BA 的夹角为钝角g
A
g2
θ= g 2 n

2
2
| n BA | | n | | BA |
θ
β B
sin | cos n, BA |
C
3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系
n1
a
l
g n 2
b
g

设 n1 , n2 = g 设a —l —b的平面 角为
D
②直线CE与平面ABC所成的角； 解：找BC的中点O,连AO,DO E ∵△ABC是等腰三角形 △DBC是等边三角形 ∴AO⊥BC于O DO⊥BC于O ∴DO⊥面ABC B 故可以以O为坐标原点OA、OC、OD x 分别为x,y,z轴建立如图所示的直角坐标系
A
F
O
C y
B
O
C
① A 2 2 ,0,0 , B 0,2 2 ,0
设面EGF的法向量 n =(x, y, z)
F
② DD1与平面EFG所成的角； （用三角函数表示）
z
D1
C1
K
G
B1
y D C B
EF n · =0
E
EG=0 n·
1 1 2 x 2 z 0 即 1 x 1 y z 0 2 2
x
A
令x=1,得
n =(1, 1,－1)
z
D1
C1
A1
K
G
B1
∵ DD1 =(0,0,1)
cos DD1,
1 n DD1 n 3 n DD1
x
F D E A B C
y
∴ DD1与平面EFG所成的角为

3 arccos 2 3
③二面角G—EF—D1的大小 （用三角函数表示） 由②知面GEF的法向量
z
D1
②直线CE与平面ABC所成的角； ∵平面ABC的法向量为 m =(0, 0,1)
z
D
又 CE o,3 2 , 6 cosCE, m


E F
3 2 6
2
6
O B A C
2
y
1 2 CE, m 60
∴直线CE与平面ABC所成的角30°
x
l’是l 在平面a 内的射影, l’与l 的夹角是l 与a 所成的角。
OA⊥l, OB⊥l OAa ,OB β ∠AOB是二面 角a —l— β的 平面角。

2
0, 2
0, 2
0,
1 、求两异面直线所成的角 利用两条直线的方向向量的夹角的余弦 的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。 设异面直线a、b的夹角为θ AB ·CD C
D 0,0,2


6 E 0,
2,
C 0,2 2 ,0 6 F 2 ,0, 6
y
x A
① A 2 2 ,0,0 , B 0,2 2 ,0
D 0,0,2


6 E 0,
EF

2 , 2 ,0 , CE o,3 2 , 6

2,
C 0,2 2 ,0 6 F 2 ,0, 6