有限元用三角形单元分析优秀课件

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三角形单元讲义

§2.9平面问题单元划分有限元法在平面问题进行分析时，才采用三角形单元和四边形单元、或者矩形单元，三角形单元的优点是简单且对结构的不规则边界逼近好，而矩形单元却更能反映实际弹性体内部的应力应变变化。

这两点我们会逐渐向大家说明。

所以一般说来，有限元分析，单元划分的密度和单元种类选取，对计算结果起重要作用。

一般单元划分越密集，结果越精确。

单元多也导致求解的线性方程组阶数增高，要求计算机的内存也更大，计算的时间也越长，分析的效率就越低。

解决这一矛盾的方法就是在应力集中区域单元划分密集一些，应力变化梯度小的位置，划稀疏些，这样就能兼顾精度与效率的关系。

一般的原则是：1）根据结构的受力和支承特点，按对称和反对称的性质，简化分析模型，以减少计算分析的规模。

2）合理布局单元的密集程度，以使计算结果精度高而计算量小。

3）在同一单元内，单元的特性数据和材质数据应保持一致。

4）集中载荷的作用点和载荷密度突变处应有节点。

5）在欲知道应力状态、内力情况和位移值的位置应有节点。

6）单元的选取欲分析的目标密切相关。

模型的单元划分好后，把所有的单元和节点按一定的规律和顺序进行编号，选择适当的坐标系（直角、柱面和球面），以方便确定各节点的坐标值。

§2.10 节点位移、节点力和节点载荷弹性体在承受外力作用后，其内力的传递实际是通过单元之间的边界来实现的。

但我们把结构离散化后，如果单元划分得足够小时，可以看成为其内力的传递通过单元与单元之间的节点进行传递。

对于平面问题而言，每个节点都有位移和力两个未知量，这两个量又都是x、y的函数，注意平面问题的节点是不能传递力矩的，为什么？一，节点位移对三节点三角形单元而言，因有三个节点，每个节点的位移都有x ，y 两个分量，所以一共有6个自由度。

单元节点位移向量可表示为：{}[]Tm m j j i ie v u v u v u =δ二，节点力所谓节点力，就是单元对节点或节点对单元作用的力，它是弹性体内部的作用力，也就是我们常说的内力。

有限元方法课件第四章平面三角形单元

第四章平面三角形单元
第四章平面三角形单元
§4–1 有限元法的基本思想 §4–2 三角形常应变单元 §4–3 形函数的性质 §4–4 刚度矩阵 §4–5 等效节点力载荷列阵 §4–6 有限元分析的实施步骤 §4–7 计算实例
§4-1 有限元法的基本思想
一、有限元法的基本思想假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），
vi (Vi )
i ui (Ui )
m
um (Um )
o
x
图4-2 平面三角形单元
将 (d) 式代入 (b) 式的第一式，经整理后得到
u 1 2ai源自bi x ci yuiaj
bjx cj y
uj
am bm x cm yum
(e)
其中同理可得
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j
这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为
u Ni ui N j u j N mum v Nivi N jv j Nmvm
(4-11)
也可写成矩阵形式
f
u v
Ni I
NjI
NmI e N e
(4-12)
式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数，它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形函数。矩阵 [N] 叫做形函数矩阵。三节点三角形单元的形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍为一条直线，即只要两单元在公共节点处保持位移相等。则公共边线变形后仍为密合。
f N e
（4-1）
f ——单元内任一点的位移列阵； e——单元的结点位移列阵；
N ——单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐

有限元方法-第五章--平面三角形单元

D
E
1 2
1
0
对 1 0
称
1
(i)
2
所以，[S]的子矩阵可记为
Si DBi
E
2 1 2
bi
1
bi
2
ci
ci
1
ci
2
bi
（ i
,
j
,
m轮换） (5-19)
对于平面应变问题，只要将 (i) 式中的E换成E/1-2 ，换成 /1-，即得到其弹性矩阵
D
1
E1 1 2
1
1
起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。这种化繁为简、联合局部逼近整体的思想，正是有限单元法的绝妙之处。
基于上述思想，我们可以选择一个单元位移模式，
单元内各点的位移可按此位移模式由单元节点位移通过
插值而获得。线性函数是一种最简单的单元位移模式，
故设
u 1 2x 3y
v 4 5x 6y
(b)
0
(b)
Ni xm
,
ym
1 2
ai
bi xm
ci ym
0
(c)
类似地有
N j xi , yi 0 , N j x j , y j 1 , N j xm , ym 0 (d) Nm xi , yi 0 , Nm x j , y j 0 , Nm xm , ym 1
式中 1、2、…6是待定常数。因三角形单元共有六个
自由度，且位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于这些点处的位移分量的数值。假设节点i、j、m的坐标分别为（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式，得：
ui 1 2 xi 3 yi

数值模拟第五讲平面问题——三角形单元分析 ppt课件

1 xl yl
其中： 2 1 xm ym 1 xn yn
为三角形数面值模拟积第五讲平面问题——三角形单元分析
节点坐标行列式
9
由第二组方程求解 a4 ~ a6 :
vl 1 xl
vm
1
xm
vn 1 xn
yl a4
ym
a5
yn a6
a a5 4 1 1
xl xm
a6 1 xn
25
角形单元分析
根据上面推导，有：
外力虚功： W(*e)Tpe
虚应变能： U (* e )T V eB T D B d V e
❖由虚功原理得到：
WU
(* e ) Tp e (* e ) T B T D B d V e V e
考虑到虚位移 *e的任意性，由上式立即得到下列方程：
n
•
单元平衡时要在节点处受到节点力（节点对单元的作用
力），每节点有2个节点力分量，单元有6个节点力分量。
（2）单元节点力列阵
pe p pm l pxl pyl pxm pym pxn pynT
pn
• 下面要研究的问题是该三角形薄片弹性体在保持平衡时所受节
点力和节点位移的关系。
数值模拟第五讲平面问题——三
数值模拟第五讲平面问题——三
15
角形单元分析
❖ 根据位移模式表达式及其形函数的性质，可以推断出两个相邻三角形单元上位移分布形状和公共边界上位移的情况：
uNlul NmumNnun vNlvl NmvmNnvn
两个单元上位移线性连续分布，各单
元在公共边界上位移线性分布，数值
相同——边界位移协调！
由第一组方程求解 a1 ~ a3 :

有限元基础线性三角形单元课件公开课获奖课件省赛课一等奖课件

协调性—相邻单元公共边界保持位移连续假如在势能泛函中所出现旳位移函数旳最高阶导数是m 阶，则位移函数在单元交界面上必须具有直至(m-1)阶旳连续导数，即Cm-1连续性。假如在单元交界面上位移不连续，体现为当构造变形时将在相邻单元间产生缝隙或重叠，这意味着将引起无限大旳应变，这时必然会发生交界面上旳附加应变能补充到系统旳应变能中去，有限元解就不可能收敛于真正解。
Ke 66
?
单元刚度矩阵
*
18
单元应变能
单元应变能 U为：
ym
jh
U 1
2
A ( x x y y xy xy )hdxdy
i
x
1 2
A
σTεhdxdy
σT (Dε)T εTDT
注意到弹性矩阵D旳对称性
U
1 2
A σTεhdxdy
1 2
A εTDεhdxdy
ε Bde
1 2
A
y
j qV
·i
m
x
qV
qVx qVy
y
j
qs
y
j
fc
·
i
i
m
m
x
x
qs
qsx
qsy
fc
fcx
f
cy
*
21
单元外力功
（1）体积力所做旳外力功
y
WV
A qVxu qVyv hdxdy
A
u
qT V
hdxdy
WV
d
T e
A
N
qT V
hdxdy
u Nde
j qV
·i
m
x
WV
j j = 2, 3, 1

有限元课件5-单元分析总结与例题

0.2527
单元载荷移置（集中力）
yj
y
j
xj
py p
yi
ym
M
px
xi
i
m
xm
o
x
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28
单元载荷移置（集中力）
FLix

FLiy

Ni px

Ni
py

FL e

FLjx

FLjy

t

N N
j j
px py
{} [S]{ }
1
对

[D] E 1 称
1 2
0
0
1

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2
18
[S] [[Si] [S j] [Sm]]
[Si ] [D][ Bi ]

[
Si
]

2(1
E

MATLAB 编程
2
)
A

1
bi
bi
2
ci
Nm(x, y) ?
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11
指定点位移的计算
2、x=a/2,y=a/3
u Niui N juj Nmum
u(x, y) ui / 2 uj / 3 um / 6
v(x, y) ?
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12
指定点位移的计算
3. 假定：
u(x, y) ?
三结点三角形单元
单元分析小结
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1
单元分析小结（3结点三角形单元）

2 三角形有限单元法

将单元插值位移函数写成矩阵的形式：
u ( x, y ) N i u v ( x, y ) 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
简记为
u u Ni v
ui v i 0 u j Nm v j um um
(2.12)
－最小势能原理根据最小势能原理与弹性力学求解体系的等价性，对总势能取驻值：
0
得整体平衡方程
K a F
e e e e
e
e
(2.13)
其中
K e B T DBtdxdy
F e N Tftdxdy e N T Ttds
e s
(2.14a)
(2.1) (2.2)
0 1 0 D D 0 对 1 0 1 0 称 2
0 y x
－瑞利李兹法的位移函数
u Am F1 x, y v Bm F2 x, y
m m
对于右图所示的任意形状的分析物体，要找到一个满足位移边界条件的、全域的位移函数，是很困难的。
(2.6)

Nj
ai N m a j Na e a m

u i 其中， a i vi
－单元的应变矩阵
将单元插值函数(2.6)代入几何方程(2.1)得单元应变：
N i x ε L.u 0 N i y 0 N i y N i x N j x 0 N j y 0 N j y N j x N m x 0 N m y ui 0 vi N m u j y v j N m um x um

有限元方法第五章平面三角形单元

这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为
u Ni ui N j u j N mum v Nivi N jv j Nmvm
(5-11)
也可写成矩阵形式
f
u v
Ni I
NjI
NmI e N e
(5-12)
式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数，它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形函数。矩阵 [N] 叫做形函数矩阵。三节点三角形单元的形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍为一条直线，即只要两单元在公共节点处保持位移相等。则公共边线变形后仍为密合。
式中 1、2、…6是待定常数。因三角形单元共有六个
自由度，且位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于这些点处的位移分量的数值。假设节点i、j、m的坐标分别为（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式，得：
ui 1 2 xi 3 yi
, v j 4 5xi 6 yi
二、经典解与有限元解的区别：
微分经典解法 —— （解析法）
数目增到∞ 大小趋于 0
建立一个描述连续体性质的偏微分方程
有限单元离散化集合
总体分析解
有限元法——连续体——单元——代替原连续体
（近似法）
（单元分析）
线性方程组
三、有限元法算题的基本步骤
1. 力学模型的选取（平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等）
0
(b)
Ni xm
,
ym
1 2
ai
bi xm
ci ym
0

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引入支承条件
解方程求位移
求应力
现结合图 5-21 说明。图中离散化后的三角形网格，有 4 个单元和 6 个结点，进行了编号。支承在结点 4，5，6 处有四个支杆支撑。
(1) 建立整体刚度矩阵
结构中有六个结点，共有 12 个结点位移分量和 12 个结点力分量。由结点位移求结点力F：
F K
分块形式
(4-28)
平面三角形单元整体分析
2) 求各单元的贡献矩阵 K e
以单元②为例，贡献矩阵K 2 由式(4-41)求出：
Str 1 2 3 4
1
2
10
1 1
02
0 2
3
K 2 Et
4
4
1 0 1 2
31 13
5
00
2 0
10
1 1
6
1 2
5 6
01
1
00
2 1
2
②子块“搬家”——把 k e 中按局部码排列的 9 个子块“搬家”，变为 K e 中按总码排列的 9
个子块。 K e 中的其余 27 个子块，则用零子块来填充。
以单元②为例，局部码 1，2，4 对应于总码 2，4，5，按对应关系搬家，得出单元②的贡献矩阵 K 2 ：
总码 1 2
K 2 3
4 5 6
0 2
3 1
1 2 1 3 0 1
0 0 2 0 2 0
1 0 1 1 0 1
（t——板厚）
(4-26)
4.4 平面三角形单元分析
弹性力学平面问题三角形单元的刚度矩阵 k e 具有对称性和奇异性等特点。三角形单元刚度矩阵 k e 可写成分块形式：
FF12e
k11 k21
k12 k22
k13 k 23
e
12
e
F3 k31 k32 k33 3
(4-29)
子块[kij]是 2×2 阶矩阵，它是结点 i 的结点力子向量Fi 与结点 j 的位移子向量 j 之间的
刚度子矩阵。
4.4.4 整体分析步骤
整体分析包括下列四个主要步骤(见下图)：
建立整体刚度矩阵
1
uv11
则三角形单元结点位移向量为：
u1
e
12
3
uvv122
u3
v3
以 6 个结点位移分量作为基本未知量，对应的物理量是六个结点力分量，
U1
Fe
F1 F2
F3

UVV122
U3
V3
单元分析的主要任务是推导基本未知量 e 与对应量Fe 之间的转换关系，即
Fe ke e
u4 0 v4 0 v5 0 v6 0
平面三角形单元整体分析
4.4.5 整体刚度矩阵的形成
用刚度集成法形成整体刚度矩阵．图 5-22 表示结点的两种编码：
一是结点总码。六个结点统一编码为 1，2，4，4，5，6。二是结点局部码。每个单元的三个结点按反时针方向的顺序各自编码为 1,2,4。
整体刚度矩阵 K 是 12×12 阶矩阵，分块形式为式(4-40)，其中 36 个子块按总码排列的．
平面三角形单元整体分析
平面三角形单元整体的刚度矩阵按刚度集成法分两步进行：
第一步，把单元刚度矩阵 k e 扩大成单元贡献矩阵 K e 。这一步包含两个内容：
①阶数扩大——由 6×6 阶的 k e 扩大为 12×12 阶的贡献矩阵 K e 。
有限元用三角形单元分析
4.4 平面三角形单元分析
4.4.1 平面三角形单元分析步骤
对弹性力学平面问题三角形单元进行单元分析，建立单元刚度矩阵。
图 5-16 为一个三角形单元。单元三个结点按逆时针方向排序编码 1、2、4。结点坐标(x1，y1)、(x2， y2)和(x4，y4)为已知。
在弹性力学平面问题中，每个结点有 2 个位移分量，因此，三角形单元共有 6 个自由度(u1，v1)、(u2， v2)和(u4，v4)。设结点 1 的位移向量为：
12
••
• k11 2
••
• k21 2 • k31 2
••
•1
34
••
• k12 2
•
• k22 2 • k32 2
••
•2
5 •
k12 2
k23 2 k33 2
• 3
6 •• •1 •• •2 •3 • 局部码
(4-41)
用同样方法可得出其它单元的贡献矩阵 K 1， K 3 ， K 4 。
平面三角形单元整体分析
0 1
20
3
01
3 E
同样可以求出贡献矩阵 K 1，K 3 ， K 4 。
3.3.3 单元刚度矩阵的特性
3) 求整体刚度矩阵K 将各单元贡献矩阵 K e 叠加，由式(4-42)求得K如下：
(4-8)
4.4 平面三角形单元分析
例题 4-1 如图所示等腰直角三角形单元，试求刚度矩阵[k]
解：已知：直角三角形单元结点力Fe 与单元结点位移 e 的关系如下：
Fe ke e
其中单元刚度矩阵 k e
1 0 1 1 0 1
0 2 0 2 0 0
k e
Et 4
1 1
F1 k11 k12 k16 1
F2
F6
k21
k61
k22
k62
k26
k66
2 6
(4-40)
位移子向量 i 和结点力子向量 Fi 都是二阶向量，刚度子矩阵 kij 是 2×2 阶矩阵。
矩阵[K]——整体刚度矩阵，是 12×12 阶矩阵。
(2) 引入支承条件：
(3) 解方程组，求结点位移 (4) 根据结点位移求应力
例 1 式(4-28)，即，单元①、②、③和④的刚度矩阵均为：ke (e 1,2,3,4) 分块形式如下：
1 0 1 1 0 1
0 2 0 2 0 0
k e
Et 4
1 1
0 2
3 1
1 2 1 3 0 1
0 0 2 0 2 0
1 0 1 1 0 1
由图 5-22，四个单元的局部码与总码的对应关系为单元①：1，2,，4——1，2，4；单元②：1，2,，4——2，4，5；单元③：1，2,，4——5，4，2；单元④：1，2,，4——4，5，6；
各小单元 e 刚度矩阵 k e 是 6×6 阶矩阵，分块形式为式(4-29)，其中 9 个子块按局部码排列。
• 第二步，把各单元的贡献矩阵叠加，即得出整体矩阵
平面三角形单元整体分析
例 1 用刚度集成法求图所示结构的整体刚度矩阵K ，设 μ=0。
解：1) 求各单元的刚度矩阵 k e
图中的四个单元几何形状和尺寸相同，且结点编码方式也相同(逆时针方向顺序 1，2，
4，直角顶点的编码都是 2)，因此，它们的单元刚度矩阵k e 相同。当 μ=0 时，可直接用