有限元用三角形单元分析优秀课件

引入支 承条件
解方程 求位移
求应力
现结合图 5-21 说明。图中离散化后的三角形网格，有 4 个单元和 6 个结点， 进行了编号。支承在结点 4，5，6 处有四个支杆支撑。
(1) 建立整体刚度矩阵
结构中有六个结点，共有 12 个结点位移分量和 12 个结点力分量。由结点位移 求结点力F：
F K
分块形式
(4-28)
平面三角形单元整体分析
2) 求各单元的贡献矩阵 K e
以单元②为例，贡献矩阵K 2 由式(4-41)求出：
Str 1 2 3 4
1
2
10
1 1
02
0 2
3
K 2 Et
4
4
1 0 1 2
31 13
5
00
2 0
10
1 1
6
1 2
5 6
01
1
00
2 1
2
②子块“搬家”——把 k e 中按局部码排列的 9 个子块“搬家”，变为 K e 中按总码排列的 9
个子块。 K e 中的其余 27 个子块，则用零子块来填充。
以单元②为例，局部码 1，2，4 对应于总码 2，4，5，按对应关系搬家，得出单元②的贡献矩阵 K 2 ：
总码 1 2
K 2 3
4 5 6
0 2
3 1
1 2 1 3 0 1
0 0 2 0 2 0
1 0 1 1 0 1
（t——板厚）
(4-26)
4.4 平面三角形单元分析
弹性力学平面问题三角形单元的刚度矩阵 k e 具有对称性和奇异性等特点。 三角形单元刚度矩阵 k e 可写成分块形式：
FF12e
k11 k21
k12 k22
k13 k 23
e
12
e
F3 k31 k32 k33 3
(4-29)
子块[kij]是 2×2 阶矩阵，它是结点 i 的结点力子向量Fi 与结点 j 的位移子向量 j 之间的
刚度子矩阵。
4.4.4 整体分析步骤
整体分析包括下列四个主要步骤(见下图)：
建立整体 刚度矩阵
1
uv11
则三角形单元结点位移向量为：
u1
e
12
3
uvv122
u3
v3
以 6 个结点位移分量作为基本未知量，对应的物理量是六个结点力分量，
U1
Fe
F1 F2
F3

UVV122
U3
V3
单元分析的主要任务是推导基本未知量 e 与对应量Fe 之间的转换关系，即
Fe ke e
u4 0 v4 0 v5 0 v6 0
平面三角形单元整体分析
4.4.5 整体刚度矩阵的形成
用刚度集成法形成整体刚度矩阵． 图 5-22 表示结点的两种编码：
一是结点总码。六个结点统一编码为 1，2，4，4，5，6。 二是结点局部码。每个单元的三个结点按反时针方向的顺序各自编码为 1,2,4。
整体刚度矩阵 K 是 12×12 阶矩阵，分块形式为式(4-40)，其中 36 个子块按总码排列的．
平面三角形单元整体分析
平面三角形单元整体的刚度矩阵按刚度集成法分两步进行：
第一步，把单元刚度矩阵 k e 扩大成单元贡献矩阵 K e 。这一步包含两个内容：
①阶数扩大——由 6×6 阶的 k e 扩大为 12×12 阶的贡献矩阵 K e 。
有限元用三角形单元分析
4.4 平面三角形单元分析
4.4.1 平面三角形单元分析步骤
对弹性力学平面问题三角形单元进行单元分析，建立单元刚度矩阵。
图 5-16 为一个三角形单元。单元三个结点按逆时针方向排序编码 1、2、4。结点坐标(x1，y1)、(x2， y2)和(x4，y4)为已知。
在弹性力学平面问题中，每个结点有 2 个位移分量，因此，三角形单元共有 6 个自由度(u1，v1)、(u2， v2)和(u4，v4)。设结点 1 的位移向量为：
12
••
• k11 2
••
• k21 2 • k31 2
••
•1
34
••
• k12 2
•
• k22 2 • k32 2
••
•2
5 •
k12 2
k23 2 k33 2
• 3
6 •• •1 •• •2 •3 • 局部码
(4-41)
用同样方法可得出其它单元的贡献矩阵 K 1， K 3 ， K 4 。
平面三角形单元整体分析
0 1
20
3
01
3 E
同样可以求出贡献矩阵 K 1，K 3 ， K 4 。
3.3.3 单元刚度矩阵的特性
3) 求整体刚度矩阵K 将各单元贡献矩阵 K e 叠加，由式(4-42)求得K如下：
(4-8)
4.4 平面三角形单元分析
例题 4-1 如图所示等腰直角三角形单元，试求刚度矩阵[k]
解：已知：直角三角形单元结点力Fe 与单元结点位移 e 的关系如下：
Fe ke e
其中 单元刚度矩阵 k e
1 0 1 1 0 1
0 2 0 2 0 0
k e
Et 4
1 1
F1 k11 k12 k16 1
F2
F6
k21
k61
k22
k62
k26
k66
2 6
(4-40)
位移子向量 i 和结点力子向量 Fi 都是二阶向量，刚度子矩阵 kij 是 2×2 阶矩阵。
矩阵[K]——整体刚度矩阵，是 12×12 阶矩阵。
(2) 引入支承条件：
(3) 解方程组，求结点位移 (4) 根据结点位移求应力
例 1 式(4-28)，即，单元①、②、③和④的刚度矩阵均为：ke (e 1,2,3,4) 分块形式如下：
1 0 1 1 0 1
0 2 0 2 0 0
k e
Et 4
1 1
0 2
3 1
1 2 1 3 0 1
0 0 2 0 2 0
1 0 1 1 0 1
由图 5-22，四个单元的局部码与总码的对应关系为 单元①：1，2,，4——1，2，4； 单元②：1，2,，4——2，4，5； 单元③：1，2,，4——5，4，2； 单元④：1，2,，4——4，5，6；
各小单元 e 刚度矩阵 k e 是 6×6 阶矩阵，分块形式为式(4-29)，其中 9 个子块按局部码排列。
• 第二步，把各单元的贡献矩阵叠加，即得出整体矩阵
平面三角形单元整体分析
例 1 用刚度集成法求图所示结构的整体刚度矩阵K ，设 μ=0。
解：1) 求各单元的刚度矩阵 k e
图中的四个单元几何形状和尺寸相同，且结点编码方式也相同(逆时针方向顺序 1，2，
4，直角顶点的编码都是 2)，因此，它们的单元刚度矩阵k e 相同。当 μ=0 时，可直接用