三角函数的基本概念与诱导公式

三角函数的概念、基本关系式及诱导公式

一、角的相关概念

1、按旋转方向的不同形成_________,___________,___________

2、终边位置的不同形成__________,__________,____________

例如：第一象限角的集合________________

终边在y 轴上角的集合_________________

终边在x 轴上角的集合_________________

3、终边相同的角的集合________________

4、注意第一象限角、锐角的不同，钝角与第二象限角的不同

5、已知α是第二象限的角，则

2

α是第几象限的角？ 二、弧度制与角度制：

1、弧度制的定义：圆周上弧长等于_______的弧所对的圆心角的大小为1弧度（1rad ）

2、 3602=π 180=π _______1=rad rad _______1=

弧度制与角度制的换算_________________________________

3、扇形的弧长、面积公式

____________________________________________

例1、已知一扇形周长为)0(>C C ，当扇形中心角为多少弧度时，它的面积最大？ 例2、扇形中心角为 120，则扇形面积与其内切圆的面积之比为_____________

三、任意角的三角函数：

1、定义：设α是一个任意角，α的终边上任一点),(y x P O 为坐标原点，则 )(022y x r r OP +=>=则 r y =

αsin r x =αcos x y =αtan y

r =αcsc _____sec =α _____cot =α 实质是____________________

2、三角函数的符号___________________________

3、特殊角的三角函数值：

___________________________________________________________

四、单位圆与三角函数线：

1、第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的角的三角函数线

2、三角函数线的应用——用来解决三角不等式

例如：①ααcos sin ≥ ②2

2sin ≥α ③3tan ≥α 例1、（08四川）设πα20<≤，若ααcos 3sin >，则α的取值范围____________ 例2、已知[]πθ2,0∈，θθθθtan sin ,sin cos <<，则θ的取值范围_____________ 例3、设)1tan(),1cos(),1sin(-=-=-=c b a ，则c b a ,,的大小关系__________________

五、同角三角函数的基本关系式：

①平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=

②倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, ③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα

== 注意：在化简与求值时，方法和技巧①弦切互化法：利用sin cos tan ,cot cos sin αααααα=

=化成正、余弦②和积转化法ααααcos sin 21)cos (sin 2±=+③巧用1的变换

αα22c o s s i n 1+=

典型例题：

（一）已知某任意角的一个三角函数值，可以求其他任意一个三角函数值.

例1、（07全国）已知α是第四象限的角，1312cos =

α则____sin =α 例2、（09北京）已知5

4sin -=α，0tan >α，_____cos =α 例3、（13全国）设θ为第二象限的角，若2

1)4tan(=+πθ，则=+θθcos sin ________ 例4、若8732sin ,2,4=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈θππθ，则_____sin =θ （二）、齐次式的应用——“1”的代换 例1、已知2tan =θ，则①

=--θθθθcos 9sin 4cos 3sin 2_________ ②=--θθθθ22cos 5cos sin 3sin 4___________

例2、（09辽宁）已知2tan =θ，则=-+θθθθ22cos 2cos sin sin _____

例3、（08浙江）若5sin 2cos -=+αα，则_______tan =α

例4、（12辽宁）已知),0(,2cos sin πααα∈=

-，则_______tan =α 例5、若,0cos sin 3=+αα则_____2sin cos 12=+α

α

例6、（13浙江）已知R ∈=+ααα,2

10cos 2sin ，则_______2tan =α 例7化简_______sin cos 1sin cos 16644=----θ

θθθ 化简_________sin 1sin 1sin 1sin 1=+---+α

αβα （三）、对于ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -+这三个式子，已知其中一个式子的值，其余两式子的值可以求出即“知一求二”

α

αααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2+=+=+ ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2-=-=-

)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+-=-=

例1、已知α是三角形的内角，51cos sin =

+αα，求_______tan =α 例2、（12辽宁）已知),,0(,2cos sin πααα∈=

-则_______tan =α 例3、（辽宁模拟）已知),,0(,2

1cos sin πααα∈=+则_______2cos =α 例4、已知α是第二象限的角，,33cos sin =

+αα则_______2cos =α 六、三角函数的诱导公式：

1、诱导公式指角α的三角函数与诸如ααααα±±±±-︒

︒︒360,270,90,180, 等同角三角函数之间的关系①“负角化正角，正角化锐角”②“奇变偶不变，符号看前限”指_______________________________

2、诱导公式一般不单独命题，与三角恒等变换结合一起考查

例1、已知)sin()cot()23tan()2cos()sin()(αππαπααπαπα--∙--+

-∙-∙-=f

①化简)(αf ②已知α是第三象限的角，51)23cos(=-

πα则)(αf =_________ 例2、若31)6sin(=

-απ则______)232cos(=+απ 例3、若33)6

cos(=-απ则______)6(sin )65sin(2=--+πααπ