概率论第六章习题解答

概率论第六章习题解答

1、在总体2

(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8与53.8之间的概率。

解 因为2(52,6.3)N ，所以

{50.853.8}P X P <<=<<

10.87.2

(

)()6.3 6.3

-=Φ-Φ(1.71)( 1.14)=Φ-Φ- 0.956410.87290.8293=-+=

2、在总体(12,4)N 中随机抽取一容量为5的样本1X ，2X ，3X ，4X ，5X ， （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。

（2）求概率12345{max(,,,,)15}P X X X X X >，12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <

解 （1）总体均值为12μ=，，样本均值5

1

14(12,)55

i

i X X N ==∑

所求概率为

{|12|1}1{|12|1}P X P X ->=--≤

1{1121}P X =--≤-≤

1X P =-≤≤

1(

()22

=-Φ+Φ- 22(1.12)=-Φ2(10.8686)0.2628=-= （2）1234512345{max(,,,,)15}1{max(,,,,)15}P X X X X X P X X X X X >=-≤ 123451{15,15,15,15,15}P X X X X X =-≤≤≤≤≤ 51

1{15}i i P X ==-

≤∏5

1121512

1{

}22

i i X P =--=-≤∏ 5

1((1.5))=-Φ5

1(0.9332)0.2923=-=. （3） 12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <

123451{min{(,,,,)10}P X X X X X =-≥

123451{10,10,10,10,10}P X X X X X =-≥≥≥≥≥

511{10}i i P X ==-≥∏5

1

1(1{10})i i P X ==--<∏

5

1121012

1(1{

})22

i i X P =--=--<∏ 5

1

1(1(1))i ==--Φ-∏5

1

1(1)i ==-Φ∏

51(0.8413)1042150.5285=-=-=

3、求总体(20,3)N 的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值不超过0.3的概率。 解 设容量为10的样本均值为X ，样本容量为15的样本均值为Y ， 则 3

(20,

)10

X

，3

(20,

)15

Y ，331()(0,

)(0,)10152

X Y N N -+= {||0.3}1{||0.3}P X Y P X Y ->=--≤ 1{0.30.3}P X Y =--≤-≤

1X Y P =-≤

≤

1{0.3(0.3P X Y =--≤-

≤

1(0.3(0.3=-Φ-Φ-

22(0.3=-Φ22(0.42)=-Φ 2(10.6628)20.33720.6744=-=⨯= 4、（1）设126,,

,X X X 样本是来自总体(0,1)N ，22123456()()Y X X X X X X =+++++，

试确定常数C ，使CY 服从2

χ分布。

（2）设125,,,X X X 来自总体(0,1)N 样本，121

22

22345

()

()

C X X Y X X X +=

++，试确定常数C 使Y

服从t 分布。 （3）已知()X

t n ，求2

(1,)X F n

解 （1）因为126,,,X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，

由2(,)i

i i X N μσ知22

2

121212()

(,)N n n X X X N μμμσσσ++

+++

+++

+）

故 123(0,3)X X X N ++，456

(0,3)X X X N ++，

且相互独立，因此

(0,1)N

(0,1)N

且两者相互独立，由2

2

212,,

,n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，则统计量 222

2212()n

X X X n χχ=++

+

由2

χ分布的定义知

22

2123456()()(2)33

X X X X X X χ+++++

即

2(2)3

Y χ，所以13

C =。

（2）因为设125,,

,X X X 是来自总体(0,1)N 的样本12

(0,2)X X N +，

(0,1)N ，

又有 222

2345

(3)X X X χ++

且

，222

345X X X ++相互独立，于是由t 分布的定义知

345(3)3

t =

因此所求常数为

C =

。