29等比数列

第二十九讲 等比数列

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20

a 10

＝( ) A.23 B.32 C.23或32

D ．－23或－32

解析：在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝a 4·a 14＝6① 又a 4＋a 14＝5②

由①、②组成方程组解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 4＝2

a 14＝3或⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 4＝3，

a 14＝2.

∴

a 20a 10＝a 14a 4＝23或3

2

. 答案：C

2．在等比数列{a n }中a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2

n ＋1

－2

B ．3n

C ．2n

D ．3n

－1

解析：要{a n }是等比数列，{a n ＋1}也是等比数列，则只有{a n }为常数列，故S n ＝na 1＝2n .

答案：C

评析：本题考查了等比数列的性质及对性质的综合应用，抓住只有常数列有此性质是本题的关键，也是技巧；否则逐一验证，问题运算量就较大．

3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6 S 3＝1 2，则S 9 S 3等于( ) A ．1 2 B．2 3 C ．3 4 D．1 3

解析：解法一：∵S 6 S 3＝1 2， ∴{a n }的公比q ≠1.

由a 1(1－q 6)1－q ÷a 1(1－q 3)1－q ＝12

，

得q 3

＝－12

，

∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34

.

解法二：因为{a n }是等比数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列， 即(S 6－S 3)2

＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34，故选C.

答案：C

4．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 10a 11＝e ，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20的值为( ) A ．12 B ．10 C ．8

D ．e

解析：ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝lne 10

＝10，故选B. 答案：B

5．若数列{a n }满足a 1＝5，a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋a n 2

(n ∈N *

)，则其前10项和是( )

A ．200

B ．150

C ．100

D ．50

解析：由已知得(a n ＋1－a n )2

＝0， ∴a n ＋1＝a n ＝5， ∴S 10＝50.故选D. 答案：D

6.在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n

－1(n ∈N *

)，则a 2

1＋a 2

2＋…＋a 2

n 等于( ) A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2

C ．4n

－1 D.13

(4n －1)

解析：若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n

－1，则a n ＝2n －1，a 1＝1，q ＝2，所以a 21＋a 22＋…＋a 2

n ＝13

(4

n －1)，故选D.

答案：D

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．数列{a n }中，n 12(n )2n 1(n .)n a -⎧=⎨⎩

-为正奇数为正偶数设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝________.

解析：S 9＝(1＋22

＋24

＋26

＋28

)＋(3＋7＋11＋15)＝377. 答案：377

8．数列{a n }的前n 项之和为S n ，S n ＝1－2

3a n ，则a n ＝________.

解析：n ＝1时，a 1＝S 1＝1－23a 1，得a 1＝3

5

，

n ≥2时，S n ＝1－2

3a n ，S n －1＝1－23

a n －1.

两式相减得a n ＝23a n －1－2

3a n ，

即53a n ＝23a n －1，a n a n －1＝2

5

， 所以{a n }是等比数列，首项为a 1＝35，公比为25，

所以a n ＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1

.

答案：35·⎝ ⎛⎭

⎪⎫25n －1

9．{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝________. 解析：设数列{a n }的公比为q ， ∵S 2＝7，S 6＝91.

∴⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＋a 2＝7，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝91，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＋a 2＝7，7＋7q 2＋7q 4

＝91，

∴q 4

＋q 2

－12＝0，∴q 2

＝3.

∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q

＝a 1(1＋q )(1＋q 2)＝(a 1＋a 1q )(1＋q 2

)＝28.

答案：28

10．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，关于数列{a n }有下列四个命题： ①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N ＋) ②若S n ＝an 2

＋bn (a ，b ∈R)，则{a n }是等差数列 ③若S n ＝1－(－1)n

，则{a n }是等比数列

④若{a n }是等比数列，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m (m ∈N ＋)也成等比数列． 其中正确的命题是__________．(填上正确命题的序号)

解析：①若{a n }既是等差数列又是等比数列，{a n }为非零常数列，故a n ＝a n ＋1(n ∈N ＋)；②若{a n }是等差数列，S n ＝d

2n 2

＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫

a 1－d 2n 为an 2＋bn (a ，

b ∈R)的形式；③若S n ＝1－(－1)n

，

则n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－(－1)n

－1＋(－1)n －1

＝(－1)

n －1

－(－1)n

，而a 1＝2，适合上述

通项公式，所以a n ＝(－1)

n －1

－(－1)n 是等比数列；④若{a n }是等比数列，当公比q ＝－1且

m 为偶数时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 不成等比数列．

答案：①②③