高考数学一轮复习 第5章 第5节 数列的综合应用课件 理 苏教版

项为 1 的等差数列，偶数项是首项为 2 的等比数列．数列{an}的前
n 项和为 Sn，且满足 S3＝a4，a3＋a5＝2＋a4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前 2k 项和 S2k；
(3)在数列{an}中，是否存在连续的三项 am，am＋1，am＋2，按原
来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数 m 的
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1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误 的打“×”)
(1)数列{an}的通项公式 an＝n2－2an＋1，若数列{an}是递增数 列，则 a≤1.( )
(2)数列{an}是正项等比数列，bn＝logaan(a>0 且 a≠1)，则数列 {bn}是等差数列．( )
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[答案] 7
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3．(2014·江苏灌云期中)等差数列{an}中，公差 d≠0，且 2a3 －a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且 b7＝a7，则 b6b8＝________.
[解析] 在等差数列中，由 2a3－a27＋2a11＝0，得 2(a3＋a11)－ a27＝0,4a7－a27＝0，则 a7＝0，a7＝4，又因{bn}是等比数列，且 b7 ＝a7，则 a7＝0(舍)，a7＝4，又由 b7＝a7＝4，得 b6b8＝b27＝16.
由于 26＝64,27＝128，则 n＋1≥7，即 n≥6.
[答案] 6
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5．(2014·扬州模拟)已知等差数列{an}，对于函数 f(x)＝x3＋x 满足 f(a2－2)＝6，f(a100－4)＝－6，若 Sn 是数列{an}的前 n 项和， 则 S101＝________.
[解析] f(x)＝x3＋x 在 R 上是奇函数，且单调递增，
依题设，f(a2－2)＝－f(a100－4)，
∴a2－2＝4－a100，则 a2＋a100＝6.
因此 S101＝101a12＋a101＝101a22＋a100＝303.
[答案] 303
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考向 1 等差与等比数列的综合应用
【典例 1】 (2014·启东期中检测)已知数列{an}的奇数项是首
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(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 具体解题步骤用框图表示如下：
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2．数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型 是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不 固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an 与 an＋1 的递推关系，还 是前 n 项和 Sn 与 Sn＋1 之间的递推关系．
∴对于 k∈N*，有 a2k－1＝1＋(k－1)·2＝2k－1，a2k＝2·3k－1.
n，n＝2k－1， 故 an＝2·3n2－1，n＝2k， k∈N*.
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(2)S2k＝1＋22k－1k＋211－－33k＝k2－1＋3k. (3)在数列{an}中，仅存在连续的三项 a1，a2，a3，按原来的顺 序成等差数列，此时正整数 m 的值为 1，下面说明理由． 若 am＝a2k，则由 am＋am＋2＝2am＋1， 得 2·3k－1＋2·3k＝2(2k＋1)， 化简得 4·3k－1＝2k＋1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能 成立．
(2)bn＋1－bn＝logaan＋1－logaan＝logaaan＋n 1＝logaq，故(2)正确． (3)月平均增长率为 q，则年平均增长率为(1＋q)12－1，故(3)
错误．
(4)单利息公式是等差数列模型，复利息公式是等比数列模型，
即单利息只有本金产生利息，而复利息除本金产生利息外，利息在
以后的周期中也产生利息，故(4)错误．
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若 am＝a2k－1，则由 am＋am＋2＝2am＋1， 得(2k－1)＋(2k＋1)＝2·2·3k－1，化简得 k＝3k－1， 令 Tk＝3kk－1(k∈N*)，则 Tk＋1－Tk＝k＋3k1－3kk－1＝1－3k2k<0. 因此，1＝T1>T2>T3>…，故只有 T1＝1，此时 k＝1，m＝2×1 －1＝1. 综上，在数列{an}中，仅存在连续的三项 a1，a2，a3，按原来 的顺序成等差数列，此时正整数 m 的值为 1.
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(3) 某 厂 生产 总 值月 平 均增 长 率为 q ， 则年 平 均增 长 率为 12q.( )
(4)采用单利计息与复利计算的利息都一样．( )
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[解析] (1)an＝n2－2an＋1 看作 n 的二次函数，对称轴为 n＝a， 当 a<32时，都有 an＋1>an，故(1)错误．
[答案] (1)× (2)√ (3)完×整版pp(t4)×
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2．(教材改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀 死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒 钟．
[解析] 设至少需要 n 秒钟，则 1＋21＋22＋…＋2n－1≥100， ∴11－－22n≥100，∴n≥7.
值；若不存在，说明理由． 完整版ppt
Fra Baidu bibliotek13
[解] (1)设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为 q，
则 a1＝1，a2＝2，a3＝1＋d，a4＝2q，a5＝1＋2d. ∵S3＝a4，∴1＋2＋1＋d＝2q，则 4＋d＝2q. 又 a3＋a5＝2＋a4，(1＋d)＋(1＋2d)＝2＋2q，即 3d＝2q， 解得 d＝2，q＝3.
固
启
基
智
础
慧
·
·
自
高
主
考
落
研
实
第五节 数列的综合应用
析
提
知
课
能
后
·
限
典
时
例
自
探
测
究
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1
内容
要求
AB C
考纲传真 数列的概念 √
等差数列
√
等比数列
√
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2
1．解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转 化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解．
[答案] 16
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4．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第 一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少 天数 n(n∈N*)等于________．
[解析] 每天植树的棵树构成以 2 为首项，2 为公比的等比数 列，前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝211－－22n＝2n＋1－2.由 2n＋1－2≥100， 得 2n＋1≥102.