高考数学一轮复习 第5章 第5节 数列的综合应用课件 理 苏教版
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高三数学(文)一轮总复习(人教通用)课件第5章 第五节 数列的综合应用ppt版本
考点二 等差数列与等比数列的实际应用 重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且 每年年底固定给股东们分红 500 万元．该企业 2010 年年底分 红后的资金为 1 000 万元． (1)求该企业 2014 年年底分红后的资金； (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元．
解：(1)证明：由已知，bn＝2an＞0. 当 n≥1 时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以，数列{bn}是首项为 2a1，公比为 2d 的等比数列． (2)函数 f(x)＝2x 在(a2，b2)处的切线方程为 y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)， 它在 x 轴上的截距为 a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，
(3)由 nbn＝n×4n，得 Tn＝1×4＋2×42＋…＋n×4n，① 4Tn＝1×42＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，② ①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1＝41－－34n－ n×4n＋1. 所以 Tn＝3n－1×9 4n＋1＋4.
[由题悟法] 等差数列、等比数列综合问题的 2 大解题策略 (1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解 决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需 要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序． (2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中， 如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可 能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公 式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的． [提醒] 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意 分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合．
[即时应用] 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M，M 的 价值在使用过程中逐年减少．从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的 价值为上年初的 75%.则第 n 年初 M 的价值 an＝________.
届高考数学一轮复习第5章 第5节 数列的综合应用(新人教A版)(山东专用)PPT课件
【解析】 f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，
∴a＝1，m＝2，
∴f(x)＝x(x＋1)，
f1n＝nn1＋1＝n1－n＋1 1，
用裂项法求和得 Sn＝n＋n 1.
【答案】
n n＋1
5．(2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数 f(x)，
如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称 f(x) 为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如
故数列lg
a1n的前 6 项的和最大．
规律方法 1 1.1本题的切入点是求 a1，从而得 an 与 Sn 的关 系，转化成等比数列求通项公式；2递减的等差数列的前 n 项和 有最大值，运用函数思想求解.
2.等差数列与等比数列的联系： 1若数列{an}是等差数列，则数列{aan}是等比数列，公比为 ad，其中 a 是常数，d 是{an}的公差.a＞0 且 a≠1. 2若数列{an}是等比数列，且 an＞0，则数列{logaan}是等差数 列，公差为 logaq，其中 a 是常数且 a＞0，a≠1，q 是{an}的公比.
【解析】 每天植树的棵树构成以 2 为首项，2 为公比的 等比数列，其前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝211－－22n＝2n＋1－2.由 2n＋1－2≥100，得 2n＋1≥102. 由于 26＝64,27＝128，则 n＋1≥7， 即 n≥6. 【答案】 6
考向一 [096] 等差数列与等比数列的综合应用
(2)当 λ＝100 时，令 bn＝lg a1n， 由(1)知，bn＝lg 120n0＝2－nlg 2，
于是数列{bn}是公差为－lg 2 的递减数列．
b1>b2>…>b6＝lg
∴a＝1，m＝2，
∴f(x)＝x(x＋1)，
f1n＝nn1＋1＝n1－n＋1 1，
用裂项法求和得 Sn＝n＋n 1.
【答案】
n n＋1
5．(2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数 f(x)，
如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称 f(x) 为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如
故数列lg
a1n的前 6 项的和最大．
规律方法 1 1.1本题的切入点是求 a1，从而得 an 与 Sn 的关 系，转化成等比数列求通项公式；2递减的等差数列的前 n 项和 有最大值，运用函数思想求解.
2.等差数列与等比数列的联系： 1若数列{an}是等差数列，则数列{aan}是等比数列，公比为 ad，其中 a 是常数，d 是{an}的公差.a＞0 且 a≠1. 2若数列{an}是等比数列，且 an＞0，则数列{logaan}是等差数 列，公差为 logaq，其中 a 是常数且 a＞0，a≠1，q 是{an}的公比.
【解析】 每天植树的棵树构成以 2 为首项，2 为公比的 等比数列，其前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝211－－22n＝2n＋1－2.由 2n＋1－2≥100，得 2n＋1≥102. 由于 26＝64,27＝128，则 n＋1≥7， 即 n≥6. 【答案】 6
考向一 [096] 等差数列与等比数列的综合应用
(2)当 λ＝100 时，令 bn＝lg a1n， 由(1)知，bn＝lg 120n0＝2－nlg 2，
于是数列{bn}是公差为－lg 2 的递减数列．
b1>b2>…>b6＝lg
高考理科第一轮复习课件(5.5数列的综合应用)
1．设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数 列，则{an}的前n项和Sn=(
n 2 7n (A) 4 4 n 2 5n (B) 3 3
) (D)n 2+n
n 2 3n (C) 2 4
【解析】选A.设数列{an}的公差为d，则根据题意得
(2+2d)2=2·(2+5d)，解得 d 1 或d=0（舍去），所以数列{an}
【变式备选】已知{an}是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn
为{an}的前n项和. （1）求通项an及Sn. （2）设{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn} 的通项公式及其前n项和Tn.
【解析】（1）因为{an}是首项为a1=19，公差d=-2的等差数
列，所以an=19-2(n-1)=-2n+21, Sn=-n2+20n. （2）由题意知bn-an=3n-1,所以bn=an+3n-1, 即bn=-2n+21+3n-1. Tn=Sn+(1+3+„+3n-1)
3n 2 11n 2 2 , n 2, 所以Sn 2 3n 11n 10, n 2, 2 2 4,
这个式子中n=2时两段函数值相等，
n 1,
故可以写为
Sn 3n 2 11n 10, n 2. 2 2
【互动探究】本例题（1）中将条件“S1,S2,S4成等比数列”改
第五节 数列的综合应用
数列的实际应用 (1)解答数列应用题的步骤. ①审题——仔细阅读材料，认真理解题意. ②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转 化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. ③求解——求出该问题的数学解. ④还原——将所求结果还原到原实际问题中.
第五节 数列的综合应用 课件(共24张PPT)
所以3an＝3n，即an＝n.又因为函数f（x）＝2x，所以f （an）＝2n，
所以数列{bn}的前n项和b1＋b2＋…＋bn＝log4[f（a1）·
f（a2）·…·f（an）]＝log4（2×22×…×2n）＝ log421＋2＋…＋n＝12×（1＋2＋…＋n）＝n（n4＋1）.
答案：n（n4＋1）
得2，f（a1），f（a2），…，f（an），2n＋4成等差数
列，则数列{an}的前n项和Sn＝
.
解析：（1）因为F（x）＝f x＋12－1是R上的奇函数， 所以F（－x）＝－F（x）， 故f 12－x＋f 12＋x＝2（x∈R），（*） 令x＝0，得f 12＝1. 令t＝12－x，则12＋x＝1－t（t∈R）， （*）式可化为f（t）＋f（1－t）＝2（t∈R）.
因此{an}的通项公式为an＝3n－2 1.
（2）由（1）知a1n＝3n－2 1. 因为当n≥2时，3n－1≥2×3n－1， 所以3n－1 1≤2×13n－1. 于是a11＋a12＋…＋a1n≤1＋13＋…＋3n1－1＝321－31n<32. 所以a11＋a12＋…＋a1n<32.
考点2 数列与函数的综合应用
[例2] （1）已知F（x）＝f x＋12 －1是R上的奇函
数，an＝f（0）＋f n1＋f n2＋…＋f n－n 1＋f（1）（n∈
N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A.an＝n－1
B.an＝n
C.an＝n＋1
D.an＝n2
（2）已知函数f（x）＝log2 x，若数列{an}的各项使
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，a6和
a8是函数f（x）＝
15 4
ln
x＋
所以数列{bn}的前n项和b1＋b2＋…＋bn＝log4[f（a1）·
f（a2）·…·f（an）]＝log4（2×22×…×2n）＝ log421＋2＋…＋n＝12×（1＋2＋…＋n）＝n（n4＋1）.
答案：n（n4＋1）
得2，f（a1），f（a2），…，f（an），2n＋4成等差数
列，则数列{an}的前n项和Sn＝
.
解析：（1）因为F（x）＝f x＋12－1是R上的奇函数， 所以F（－x）＝－F（x）， 故f 12－x＋f 12＋x＝2（x∈R），（*） 令x＝0，得f 12＝1. 令t＝12－x，则12＋x＝1－t（t∈R）， （*）式可化为f（t）＋f（1－t）＝2（t∈R）.
因此{an}的通项公式为an＝3n－2 1.
（2）由（1）知a1n＝3n－2 1. 因为当n≥2时，3n－1≥2×3n－1， 所以3n－1 1≤2×13n－1. 于是a11＋a12＋…＋a1n≤1＋13＋…＋3n1－1＝321－31n<32. 所以a11＋a12＋…＋a1n<32.
考点2 数列与函数的综合应用
[例2] （1）已知F（x）＝f x＋12 －1是R上的奇函
数，an＝f（0）＋f n1＋f n2＋…＋f n－n 1＋f（1）（n∈
N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A.an＝n－1
B.an＝n
C.an＝n＋1
D.an＝n2
（2）已知函数f（x）＝log2 x，若数列{an}的各项使
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，a6和
a8是函数f（x）＝
15 4
ln
x＋
高考数学一轮总复习 5.5数列的综合应用课件
A
6
知识点二
数列和函数、不等式的综合
1.等差数列的通项公式和前 n 项和公式在公差 d≠0 的情况下
是关于 n 的一次或二次函数．
2．等比数列的通项公式和前 n 项和公式在公比 q≠1 的情况
下是公比 q 的指数函数模型．
3．数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参
数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题.
A
33
∴Sn＝4n＋nn2－1×(－1)＝9n－2 n2.
∵lloogg22qa＝ 1＝－4，1，
∴q＝12， a1＝16.
∴an＝25－n(n∈N*)．
A
34
考点二
数列与函数的综合应用
【例 2】 已知数列{an}的首项 a1＝4，前 n 项和为 Sn，且 Sn ＋1－3Sn－2n－4＝0(n∈N*)．
A
31
变式思考 1 在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比 q>0，设 bn＝log2an，且 b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求{bn}的前 n 项和 Sn 及{an}的通项 an.
A
32
解 (1)证明：∵bn＝log2an， ∴bn＋1－bn＝log2aan＋n 1＝log2q 为常数， ∴数列{bn}为等差数列且公差 d＝log2q. (2)设数列{bn}的公差为 d， ∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2. ∵a1>1，∴b1＝log2a1>0.∵b1b3b5＝0，∴b5＝0. ∴bb11＋＋42dd＝＝02，， 解得db＝1＝－4，1.
A
39
变式思考 2 设函数 f(x)＝2x＋sinx 的所有正的极小值点从小 到大排成的数列为{xn}．
高考数学一轮总复习 6.5 数列的综合应用课件 理 苏教版
第十七页，共33页。
解析 由题意，可知从早晨 6 时 30 分开始，接下来的每个 30 分 钟内进入的人数构成以 4 为首项，2 为公比的等比数列，出来的 人数构造以 1 为首项，1 为公差的等差数列，记第 n 个 30 分钟 内进入公园的人数为 an，第 n 个 30 分钟内出来的人数为 bn，则 an＝4×2n－1，bn＝n，则上午 11 时 30 分公园内的人数为 S＝2＋411－－2210－1012＋10＝4 039.
第二十四页，共33页。
(2)因为ana1n＋1＝2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1，
所
以
，
Tn
＝
1 2
1－13＋13－15
＋…＋2n1－1－2n1＋1
＝
1 2
1－2n1＋1
.
∴Tn＜12，
要使不等式 4Tn＜a2－a 恒成立，只需 2≤a2－a 恒成立，解得 a≤ －1 或 a≥2，
故实数 a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
第二十七页，共33页。
•突破1：采用特殊化思想，选定an是关键． •突破2：逐一验证． •解析 利用特殊化思想，选an＝2n判定．不妨 令an＝2n. •①因为f(x)＝x2，所以f(an)＝4n.显然{f(2n)}是首 项(shǒu xiànɡ)为4，公比为4的等比数列．
第二十八页，共33页。
②因为 f(x)＝2x，所以 f(a1)＝f(2)＝22， f(a2)＝f(4)＝24，f(a3)＝f(8)＝28， 所以ffaa21＝2242＝4≠ffaa32＝2284＝16， 所以{f(an)}不是等比数列． ③因为 f(x)＝ |x|，所以 f(an)＝ 2n＝( 2)n. 显然{f(an)}是首项为 2，公比为 2的等比数列． ④因为 f(x)＝ln|x|，所以 f(an)＝ln 2n＝nln 2.显然{f(an)}是首项为 ln 2，公差为 ln 2 的等差数列．
解析 由题意，可知从早晨 6 时 30 分开始，接下来的每个 30 分 钟内进入的人数构成以 4 为首项，2 为公比的等比数列，出来的 人数构造以 1 为首项，1 为公差的等差数列，记第 n 个 30 分钟 内进入公园的人数为 an，第 n 个 30 分钟内出来的人数为 bn，则 an＝4×2n－1，bn＝n，则上午 11 时 30 分公园内的人数为 S＝2＋411－－2210－1012＋10＝4 039.
第二十四页，共33页。
(2)因为ana1n＋1＝2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1，
所
以
，
Tn
＝
1 2
1－13＋13－15
＋…＋2n1－1－2n1＋1
＝
1 2
1－2n1＋1
.
∴Tn＜12，
要使不等式 4Tn＜a2－a 恒成立，只需 2≤a2－a 恒成立，解得 a≤ －1 或 a≥2，
故实数 a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
第二十七页，共33页。
•突破1：采用特殊化思想，选定an是关键． •突破2：逐一验证． •解析 利用特殊化思想，选an＝2n判定．不妨 令an＝2n. •①因为f(x)＝x2，所以f(an)＝4n.显然{f(2n)}是首 项(shǒu xiànɡ)为4，公比为4的等比数列．
第二十八页，共33页。
②因为 f(x)＝2x，所以 f(a1)＝f(2)＝22， f(a2)＝f(4)＝24，f(a3)＝f(8)＝28， 所以ffaa21＝2242＝4≠ffaa32＝2284＝16， 所以{f(an)}不是等比数列． ③因为 f(x)＝ |x|，所以 f(an)＝ 2n＝( 2)n. 显然{f(an)}是首项为 2，公比为 2的等比数列． ④因为 f(x)＝ln|x|，所以 f(an)＝ln 2n＝nln 2.显然{f(an)}是首项为 ln 2，公差为 ln 2 的等差数列．
江苏高考数学理一轮复习课件6.5数列的综合应用
(2)判断数列{an}的单调性． 审题视点 (1)将an看成一个未知数，解方程即可求出an；
(2)通过比较an和an＋1的大小来判断数列{an}的单调性．
解
1 (1)由已知得 log22an－ ＝2n， log22an
1 ∴an－a ＝2n，即 a2 n－2nan－1＝0. n ∴an＝n± n2＋1.∵0<x<1， ∴0<2an<1，∴an<0.∴an＝n－ n2＋1. (2)方法一 ∵an＋1－an＝(n＋1)－ n＋12＋1－(n－ n2＋1)
答案 1 ± 或± 2 2
4．(2012· 苏锡常镇四市调研(一))等差数列{an}中，已知 a8≥15，a9≤13，则a12的取值范围是________． 解析 法一 因为 a12＝a1＋11d， a8＝a1＋7d， a9＝a1＋8d， λ1＋λ2＝1， 所以令 a12＝λ1a8＋λ2a9，即 7λ1＋8λ2＝11，
考点自测
1．若数列{an}为等比数列，则下面四个命题：
①{a2 n}是等比数列； ②{a2n}是等比数列；
1 ③a 是等比数列； n
④{lg|an|}是等比数列．其中正确的个数是________．
答案
3
2．(2012· 南京一模)若数列{an}满足：lg an＋1＝1＋lg an(n∈N*)， a1＋a2＋a3＝10，则lg(a4＋a5＋a6)的值为________．
答案
(－∞，7]
5．(2012· 盐城第一学期摸底考试)设等差数列{an}满足：公差 d∈N*，an∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的 一项．若a1＝35，则d的所有可能取值之和为________．
解析
由题意知，an＝35＋(n－1)d.对数列{an}中的任意两
(2)通过比较an和an＋1的大小来判断数列{an}的单调性．
解
1 (1)由已知得 log22an－ ＝2n， log22an
1 ∴an－a ＝2n，即 a2 n－2nan－1＝0. n ∴an＝n± n2＋1.∵0<x<1， ∴0<2an<1，∴an<0.∴an＝n－ n2＋1. (2)方法一 ∵an＋1－an＝(n＋1)－ n＋12＋1－(n－ n2＋1)
答案 1 ± 或± 2 2
4．(2012· 苏锡常镇四市调研(一))等差数列{an}中，已知 a8≥15，a9≤13，则a12的取值范围是________． 解析 法一 因为 a12＝a1＋11d， a8＝a1＋7d， a9＝a1＋8d， λ1＋λ2＝1， 所以令 a12＝λ1a8＋λ2a9，即 7λ1＋8λ2＝11，
考点自测
1．若数列{an}为等比数列，则下面四个命题：
①{a2 n}是等比数列； ②{a2n}是等比数列；
1 ③a 是等比数列； n
④{lg|an|}是等比数列．其中正确的个数是________．
答案
3
2．(2012· 南京一模)若数列{an}满足：lg an＋1＝1＋lg an(n∈N*)， a1＋a2＋a3＝10，则lg(a4＋a5＋a6)的值为________．
答案
(－∞，7]
5．(2012· 盐城第一学期摸底考试)设等差数列{an}满足：公差 d∈N*，an∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的 一项．若a1＝35，则d的所有可能取值之和为________．
解析
由题意知，an＝35＋(n－1)d.对数列{an}中的任意两
(江苏专用)高考数学总复习 第五章第5课时 数列的综合应用课件
4 故 λ> 对任意 n∈ N*恒成立， 2n＋ 1 4 4 又当 n＝ 1 时 2n＋ 1 max＝ ， 3 4 ∴ λ> . 3
4 答案：( ，＋∞) 3
考点探究•讲练互动
考点突破
考点1 数列的实际应用
例1 某企业2011年的纯利润为 500万元，
因设备老化等原因，企业的生产能力将
等比 模型． 型是______
(3)混合模型：在一个问题中，同时涉 及到等差数列和等比数列的模型．
(4)生长模型：如果某一个量，每一期 以一个固定的百分数增加(或减少)时 ， 同时又以一个固定的具体量增加(或 减少)时，我们称该模型为生长模型． 如分期付款问题，树木的生长与砍伐 问题等．
(5)递推模型：如果容易找到该数列 任意 一项an与它的前一项an－1(或 ________ 前n项)间的递推关系式，那么我们可 以用递推数列的知识求解．
(4)还原——将所求结果还原到实际问
题中．
课前热身 1. 在如图所示的表格中，每格填上一 个数字后，使每一横行成等差数列， 每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值 为________．
解析： 由题意有： 每一横行成等差数列， 每一纵列成等比数列， 1 3 1 ∴ a＝ ， b＝ ， c＝ . 2 8 4 9 ∴ a＋ b＋ c＝ . 8 9 答案： 8
(2)依上述预测，从今年起该企业至少
经过多少年，进行技术改造后的累计
纯利润超过不进行技术改造的累计纯 利润？
【解】 (1)依题设，An＝(500－ 20)＋(500 － 40)＋…＋ (500－20n)＝ 490n－ 10n2； 1 1 1 Bn ＝ 500[(1 ＋ ) ＋ ( 600 500 ＝ 500n－ n －100. 2
高考数学文优化方案一轮复习课件第5第五数列的综合应用苏教江苏专用
【名师点评】 本题中对字母a分类讨论， 这也是等比数列不同于等差数列的情形．等 比数列含参数往往需要讨论．
互动探究1 本例(3)中“公比a－1”改为“a”,则第(3)问 结果如何？
解：由例(3)知 a3＝a，∴a2＝a，∴a＝0 或 a＝1. 当 a＝0 时，aan＋n 2＝0 不能成等比数列；
2．数列的探索性问题 探索性问题是高考的热点，常在数列解答题 中出现，探索性问题对分析问题、解决问题 的能力有较高的要求． 3．等差数列与等比数列的综合问题
4．数列的实际应用 现实生活中涉及_银__行__利__率__、_企__业__股__金__、 _产__品__利__润__、_人__口__增__长__、_工__作__效__率__、_图__形__面__ _积__、_曲__线__长__度__等实际问题，常常考虑用数列
(2)∵数列{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a>0)， ∴an＝an－1.∴bn＝anan＋1＝a2n－1. ∵bbn＋n 1＝a2，∴数列{bn}是首项为 a，公比为 a2 的等比数列． 当 a＝1 时，Sn＝n； 当 a≠1 时，Sn＝aaa22－n－11＝a2an2＋－1－1 a.
(3)数列{an}不能为等比数列． ∵bn＝anan＋1，∴bbn＋n 1＝aan＋na1an＋n＋1 2＝aan＋n 2， 则aan＋n 2＝a－1.∴a3＝a－1. 假设数列{an}能为等比数列． 由 a1＝1，a2＝a，得 a3＝a2. ∵a2＝a－1，∴此方程无解．∴数列{an}一定 不能为等比数列．
例3 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋
a13＝34，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；
(2)设数列{bn}的通项公式为 否 存 在 正 整 数 t ， 使 得 b1
高考数学一轮复习 第五章 数列 第5节 数列的综合应用课件
∴3a7＝4π，故 2a7＝83π. ∴tan(a2＋a12)＝tan83π＝tan23π＝－ 3. 【答案】 － 3
4．已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列，则其最大角的余弦值
为
．
【解析】 设三角形的三边长从小到大依次为 a，b，c，
由题意得 b＝ 2a，c＝2a.
在△ABC
D．9 秒钟
【解析】 设至少，∴11－－22n≥100，
∴n≥7.
【答案】 B
3．已知数列{an}为等差数列，且 a1＋a7＋a13＝4π，则 tan(a2＋a12)
的值为
．
【解析】 ∵{an}是等差数列，且 a1＋a7＋a13＝4π，又 a1＋a13＝a2＋a12＝ 2a7.
上述两式相减，得 12Sn＝1＋12＋212＋…＋2n1－1－2nn＝11－－2112n－2nn＝2－22n－2nn， 整理得 Sn＝4－n2＋n－21 ，n∈N*. 所以，数列{bn}的前 n 项和为 4－n2＋n－21 ，n∈N*.
(2)①设{an}的公差为 d，则由已知条件得 a1＋2d＝2,3a1＋3×2 2d＝92， 化简得 a1＋2d＝2，a1＋d＝32，解得 a1＝1，d＝12， 故{an}的通项公式 an＝1＋n－2 1，即 an＝n＋2 1.
二、解答数列应用题的步骤 1．审题——仔细阅读材料，认真理解题意． 2．建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问 题，弄清该数列的结构和特征． 3．求解——求出该问题的数学解． 4．还原——将所求结果还原到原实际问题中．
基础自测
1．(2015·石家庄模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＋a3＝30，S4
＝120，设 bn＝1＋log3an，那么数列{bn}的前 15 项和为( )
4．已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列，则其最大角的余弦值
为
．
【解析】 设三角形的三边长从小到大依次为 a，b，c，
由题意得 b＝ 2a，c＝2a.
在△ABC
D．9 秒钟
【解析】 设至少，∴11－－22n≥100，
∴n≥7.
【答案】 B
3．已知数列{an}为等差数列，且 a1＋a7＋a13＝4π，则 tan(a2＋a12)
的值为
．
【解析】 ∵{an}是等差数列，且 a1＋a7＋a13＝4π，又 a1＋a13＝a2＋a12＝ 2a7.
上述两式相减，得 12Sn＝1＋12＋212＋…＋2n1－1－2nn＝11－－2112n－2nn＝2－22n－2nn， 整理得 Sn＝4－n2＋n－21 ，n∈N*. 所以，数列{bn}的前 n 项和为 4－n2＋n－21 ，n∈N*.
(2)①设{an}的公差为 d，则由已知条件得 a1＋2d＝2,3a1＋3×2 2d＝92， 化简得 a1＋2d＝2，a1＋d＝32，解得 a1＝1，d＝12， 故{an}的通项公式 an＝1＋n－2 1，即 an＝n＋2 1.
二、解答数列应用题的步骤 1．审题——仔细阅读材料，认真理解题意． 2．建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问 题，弄清该数列的结构和特征． 3．求解——求出该问题的数学解． 4．还原——将所求结果还原到原实际问题中．
基础自测
1．(2015·石家庄模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＋a3＝30，S4
＝120，设 bn＝1＋log3an，那么数列{bn}的前 15 项和为( )
苏教版高三数学复习课件数列的综合应用
4．在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，
则a2 007等于________．
解析：∵
∴an＋3＝－an，
∴an＋6＝ －an＋3＝an.即an是周期为
6的数列．
∴a2 007＝a6×334＋3＝a3＝a2－a1＝4. 答案：4
Page 12
5．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现
第5课时 数列的综合应用
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数． 3．能在具体的问题情境中，识别数列的等差、等比关系，并能用有
关知识解决相应的问题．
Page 1
【命题预测】 有关等差、等比数列的考查在高考中主要是探索题、综合题和应用 题．考生应具有针对 性地进行训练，并从“注重数学思想方法、强化运算能力、重点知识重 点练”的角度做 好充分准备．同时，对于数列与解析几何的综合题型要予以充分重视．
(1)递推式为an＋1＝pan＋qn(其中p，q是常数)通常可以两边同时除以
qn＋1(q≠0)，得到数列 ，从而问题可解．
，令bn＝ ，得到数列bn＋1＝
Page 5
(2)递推式为an＋2＝pan＋1＋qan(其中p，q是常数)，通常设
＝
，则可由α＋β＝p，αβ＝－q，求得α，β，从而构
造出数列{
Page 10
3．数列{an}中，若a1＝ ，an＝
(n≥2，n∈N)，则a2 007的值为__测数列{an}以3为周期，
∵2 007＝3×669，∴a2 007＝a3＝－1.也可直接推出an＋3＝an.
答案：－1
Page 11
Page答1案3 ：16.4%
高考数学(苏教,理科)复习课件：第五章 数列第五节 数列的综合应用
数学
第五节 数列的综合应用
[类题通法]
解数列应用题的建模思路
从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的
解析，再返回实际中去，其思路框图为：
数学
第五节 数列的综合应用
[针对训练] 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M，M 的 价值在使用过程中逐年减少．从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价 值为上年初的 75%.则第 n 年初 M 的价值 an＝________. 解析：当 n≤6 时，数列{an}是首项为 120， 公差为－10 的等差数列， an＝120－10(n－1)＝130－10n； 当 n≥7 时，数列{an}是以 a6 为首项，
▪ 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 ▪ 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 ▪ 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 ▪ 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
第五节 数列的综合应用
[类题通法]
解数列应用题的建模思路
从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的
解析，再返回实际中去，其思路框图为：
数学
第五节 数列的综合应用
[针对训练] 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M，M 的 价值在使用过程中逐年减少．从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价 值为上年初的 75%.则第 n 年初 M 的价值 an＝________. 解析：当 n≤6 时，数列{an}是首项为 120， 公差为－10 的等差数列， an＝120－10(n－1)＝130－10n； 当 n≥7 时，数列{an}是以 a6 为首项，
▪ 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 ▪ 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 ▪ 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 ▪ 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
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项为 1 的等差数列，偶数项是首项为 2 的等比数列．数列{an}的前
n 项和为 Sn，且满足 S3＝a4，a3＋a5＝2＋a4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前 2k 项和 S2k；
(3)在数列{an}中，是否存在连续的三项 am，am＋1，am＋2，按原
来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数 m 的
∴对于 k∈N*，有 a2k－1＝1＋(k－1)·2＝2k－1，a2k＝2·3k－1.
n，n＝2k－1， 故 an＝2·3n2－1，n＝2k， k∈N*.
完整版ppt
14
(2)S2k＝1＋22k－1k＋211－－33k＝k2－1＋3k. (3)在数列{an}中，仅存在连续的三项 a1，a2，a3，按原来的顺 序成等差数列，此时正整数 m 的值为 1，下面说明理由． 若 am＝a2k，则由 am＋am＋2＝2am＋1， 得 2·3k－1＋2·3k＝2(2k＋1)， 化简得 4·3k－1＝2k＋1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能 成立．
值；若不存在，说明理由． 完整版ppt
13
[解] (1)设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为 q，
则 a1＝1，a2＝2，a3＝1＋d，a4＝2q，a5＝1＋2d. ∵S3＝a4，∴1＋2＋1＋d＝2q，则 4＋d＝2q. 又 a3＋a5＝2＋a4，(1＋d)＋(1＋2d)＝2＋2q，即 3d＝2q， 解得 d＝2，q＝3.
(2)bn＋1－bn＝logaan＋1－logaan＝logaaan＋n 1＝logaq，故(2)正确． (3)月平均增长率为 q，则年平均增长率为(1＋q)12－1，故(3)
错误．
(4)单利息公式是等差数列模型，复利息公式是等比数列模型，
即单利息只有本金产生利息，而复利息除本金产生利息外，利息在
以后的周期中也产生利息，故(4)错误．
依题设，f(a2－2)＝－f(a100－4)，
∴a2－2＝4－a100，则 a2＋a100＝6.
因此 S101＝101a12＋a101＝101a22＋a100＝303.
[答案] 303
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12
考向 1 等差与等比数列的综合应用
【典例 1】 (2014·启东期中检测)已知数列{an}的奇数项是首
[答案] 7
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9
3．(2014·江苏灌云期中)等差数列{an}中，公差 d≠0，且 2a3 －a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且 b7＝a7，则 b6b8＝________.
[解析] 在等差数列中，由 2a3－a27＋2a11＝0，得 2(a3＋a11)－ a27＝0,4a7－a27＝0，则 a7＝0，a7＝4，又因{bn}是等比数列，且 b7 ＝a7，则 a7＝0(舍)，a7＝4，又由 b7＝a7＝4，得 b6b8＝b27＝16.
6
(3) 某 厂 生产 总 值月 平 均增 长 率为 q ， 则年 平 均增 长 率为 12q.( )
(4)采用单利计息与复利计算的利息都一样．( )
完整版ppt
7
[解析] (1)an＝n2－2an＋1 看作 n 的二次函数，对称轴为 n＝a， 当 a<32时，都有 an＋1>an，故(1)错误．
[答案] (1)× (2)√ (3)完×整版pp(t4)×
8
2．(教材改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀 死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒 钟．
[解析] 设至少需要 n 秒钟，则 1＋21＋22＋…＋2n－1≥100， ∴11－－22n≥100，∴n≥7.
由于 26＝64,27＝128，则 n＋1≥7，即 n≥6.
[答案] 6
完整版ppt
11
5．(2014·扬州模拟)已知等差数列{an}，对于函数 f(x)＝x3＋x 满足 f(a2－2)＝6，f(a100－4)＝－6，若 Sn 是数列{an}的前 n 项和， 则 S101＝________.
[解析] f(x)＝x3＋x 在 R 上是奇函数，且单调递增，
固
启
基
智
础
慧
·
·
自
高
主
考
落
研
实
第五知
课
能
后
·
限
典
时
例
自
探
测
究
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1
内容
要求
AB C
考纲传真 数列的概念 √
等差数列
√
等比数列
√
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2
1．解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转 化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解．
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5
1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误 的打“×”)
(1)数列{an}的通项公式 an＝n2－2an＋1，若数列{an}是递增数 列，则 a≤1.( )
(2)数列{an}是正项等比数列，bn＝logaan(a>0 且 a≠1)，则数列 {bn}是等差数列．( )
完整版ppt
完整版ppt
3
(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 具体解题步骤用框图表示如下：
完整版ppt
4
2．数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型 是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不 固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an 与 an＋1 的递推关系，还 是前 n 项和 Sn 与 Sn＋1 之间的递推关系．
[答案] 16
完整版ppt
10
4．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第 一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少 天数 n(n∈N*)等于________．
[解析] 每天植树的棵树构成以 2 为首项，2 为公比的等比数 列，前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝211－－22n＝2n＋1－2.由 2n＋1－2≥100， 得 2n＋1≥102.
完整版ppt
15
若 am＝a2k－1，则由 am＋am＋2＝2am＋1， 得(2k－1)＋(2k＋1)＝2·2·3k－1，化简得 k＝3k－1， 令 Tk＝3kk－1(k∈N*)，则 Tk＋1－Tk＝k＋3k1－3kk－1＝1－3k2k<0. 因此，1＝T1>T2>T3>…，故只有 T1＝1，此时 k＝1，m＝2×1 －1＝1. 综上，在数列{an}中，仅存在连续的三项 a1，a2，a3，按原来 的顺序成等差数列，此时正整数 m 的值为 1.