推理与证明(综合法、分析法与反证法)

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第十三章综合法与分析法、反证法

(2)框图表示：P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论).
答案
2.分析法
(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成
立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公
理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法 .
cd＝p.
1
2
3
4
5
解析答案
2.(2014· 山东)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3 ＋ax＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( A ) A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数 C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
代入椭圆方程求得点A的坐标，后求AC的长；
思维点拨
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(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形.
思维点拨
将直线方程代入椭圆方程求出 AC的中点坐标(即OB的中点
坐标)，判断直线AC与OB是否垂直.
思维点拨
规范解答
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思想方法感悟提高
方法与技巧
1.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知. 2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知. 3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.

数学证明题的八种方法

常见的证明方法有综合法、分析法、反证法、归纳法、类比法等。

分析法分析法是一种从结论到题设的逻辑推理方法，也就是执果索因法的证明方法。

分析法的证明路径与综合法恰恰相反。

反证法由于原命题与逆否命题等效，所以当证明原命题有困难或者无法证明时，可以考虑证明它的逆否命题，通过正确推理如果逆否命题正确或者推出与原命题题设、公理、定理等不相容的结论，从而判定结论的反面不成立，也就证明了原命题的结论是正确的。

反证法视逆否命题的题设也就是原命题的结论的反面的情况又分为两种：1）归谬法：若结论的反面只有一种情况，那么把这种情况推翻就达到证明的目的了。

2）穷举法：若结论的反面不只一种情况，则必须将所有情况都驳倒，这样才能达到证明的目的。

前三种方法也叫演绎法。

都是按照“从一般到特殊”的思维过程进行推理的。

归纳法归纳法或归纳推理，有时叫做归纳逻辑，是从个别性知识,引出一般性知识的推理,是由已知真的前提,引出可能真的结论。

它把特性或关系归结到基于对特殊的代表的有限观察的类型；或公式表达基于对反复再现的现象的模式的有限观察的规律。

归纳法有如下几类：1）不完全归纳法所谓不完全归纳法就是通过对某类事物的真子集逐个进行考察，发现它们具有某种性质，就大胆预见某类事物具有某种性质。

2）完全归纳法完全归纳法也叫枚举归纳法。

某类事物可分为有限种情况，如果通过逐个考察，各种情况都具有某种性质，则可以归纳地得出结论，某类事物均具有某种性质。

3）数学归纳法如果某类事物有可数无限多种情况，就无法逐个考察各种情况都具有某种性质。

数学归纳法是一种用递推的办法，通过“有限”解决“无限”的一种方法，它是用归纳法证明命题的巨大飞跃。

类比法它也叫“比较类推法”，类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。

简称类推、类比。

或者由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。

其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。

推理与证明(三)

推理与证明（三）教学目标：了解分析法、综合法、反证法的思考过程和特点；2010年考试说明要求A. 基础训练：1.设k 为奇数，求证：方程0222=++k x x 没有有理根。

2.证明：xx x x cos 1sin 22sin sin 23-=+。

3.已知三角形ABC 的3个顶点的坐标分别为A(5，-2)，B(1，2)，C(10，3)，求证：三角形ABC 为直角三角形。

4.求证:当 a>1时，a a a 211<-++5．设a ，b 是两个相异的正数，求证：关于x 的一元二次方程024)(222=+++ab abx x b a 没有实数根。

6.求证：定义在实数集上的单调函数y=f(x)的图像与x 轴之多只有1个交点。

典型例题：已知a ，b ，m 均为正实数，b<a ，求证：m a m b a b ++<设a ，b ，c ，为不全相等的正数，求证3>-++-++-+c c b a b b a c a a c b课堂检测：1.设a ，b 是两个相异的正数，且a+b=1，分别用分析法、综合法证明：411>+b a2.试比较)()1(*1N n n n n n ∈++与的大小，分别取n=1、2、3、4、5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论______________________________3．观察：112166<+；1125.145.7<+； 11251953<-++；….对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____.4．设()2x x e e f x -+=，()2x xe e g x --=，计算(1)(3)(1)(3)(4)fg g f g +-=_______，(3)(2)(3)(2)(5)f g g f g +-=________，并由此概括出关于函数()f x 和()g x 的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例,这个等式是___________________________5.过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 作倾斜角为4π的直线，交抛物线于A 、B 两点，求证AB=p 4。

【高中数学】综合法与分析法、反证法

题型用反证法证明“至多”，“至少”等存在性问题
π
π
若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋ 2 ，b＝y2－2z＋ 3 ，c＝z2
π －2x＋ 6 ，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c
≤0.
而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2 ＋y2－2z＋π3 ＋z2－2x＋π6 ＝(x－1)2＋(y －1)2＋(z－1)2＋π－3.
a（a－1），
所以 a＋1－ a＜ a－1－ aC 成等差数列，且角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：方法一 (分析综合法) 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立，即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立，
反证法证明时反设不全面致误.
【典例】已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋ 2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．
解析：假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0. 相加有 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*) 由题意 a，b，c 互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
即a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，化简得a＋c b＋b＋a c＝1，又需证 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，即 c2＋a2＝b2＋ac. 又△ABC 的三个内角 A，B，C 成等数列，所以 B＝60°. 由余弦定理，得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝21. 所以 a2＋c2－b2＝ac，所以原命题成立．

推理与证明目标书写

2.1.1 合情推理
学习目标：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
§2.1.2 演绎推理
学习目标
1. 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；
2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.
§2.2.1 综合法和分析法
学习目标
1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；
2. 会用综合法和分析法证明问题；了解综合法和分析法的思考过程.
3. 根据问题的特点，结合综合法和分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
§2.2.2 反证法
学习目标
1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2. 了解反证法的思考过程、特点;
3. 会用反证法证明问题.
§2.3 数学归纳法
【学习目标】
1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;
3.数学归纳法中递推思想的理解.。

高二数学选修2-2：第二章推理与证明

【例 3】一直线与△ABC 的边 AB，AC 分别相交于 E，F，则SS△△AABECF ＝AABE··AACF.将平面上的三角形与空间中的三棱锥进行类比，试推理三棱锥的性质，并给出证明．解在三棱锥 S-ABC 中，平面 α 与侧棱 SA，SB，SC 分别相交于 D，E，F. 则VVSS－－DABECF＝SSDA··SSBE··SSCF. 证明如下：
则当 n＝k＋1 时，2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31
＞ k＋1·22kk＋＋31＝22kk＋＋31.
要证当 n＝k＋1 时结论成立，
只需证 2
2k＋k＋3 1＞
k＋2成立，
只需证：4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8 成立，显然成立，
∴当 n＝k＋1 时，2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31＞ k＋1＋1成立，综合①②可知不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＞ n＋1成立．
从而只需证 2
a2＋a12≥ 2 a＋1a，
只要证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，
即 a2＋a12≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
【例5】如图，在四面体B-ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F 分别是AB，BD的中点，求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.
∴AB∥EN. 又AB∥CD∥EF， ∴EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立． ∴ME与BN不共面，即它们是异面直线．
专题四数学归纳法 1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自
然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换． 2．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证明．

推理与证明综合法和分析法

穷举法
反归纳法是一种通过假设某一命题成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题不成立的推理方法。
总结词
反归纳法的核心思想是“肯定加归谬”。首先假设原命题成立，然后通过一系列推理，得出矛盾的结论，从而证明原命题不成立。
详细描述
反归纳法
推理与证明实例解析
04
综合法定义
综合法是一种由因到果的演绎推理方法，它首先确定大前提，然后根据小前提进行推导，最后得出结论。
综合法实例解析
综合法实例
假设有一个三角形ABC，其中角A是90度，角B是45度，角C是45度。根据三角形内角和定理（大前提），我们可以得出结论：角A、角B、角C的总和是180度（小前提+结论）。
综合法解析
综合法的优点在于它能够确保推理过程的正确性，因为它遵循了形式逻辑的规则。但是，综合法需要依赖已知的事实或前提，无法探索未知的事实或新的信息。
案例研究
03
在法学研究中，推理和证明是案例研究的基础。学者和研究人员通过对案例进行深入分析和综合，提出并验证对法律实践的见解和建议。
在生活中遇到的问题，如选择工作、决定投资或健康管理等方面，推理和证明可以帮助我们权衡利弊，做出明智的决策。
问题解决
在人际交往中，推理和证明可以帮助我们理解和评估他人的行为、言论和态度，从而更好地处理人际关系。
推理与证明综合法和分析法
xx年xx月xx日
目录
contents
推理与证明综合法概述综合法推理技巧分析法推理技巧推理与证明实例解析推理与证明的实践应用推理与证明的未来发展与挑战
推理与证明综合法概述
01
推理
根据已知事实或前提，通过逻辑推断得出结论的过程。
证明
用严格、规范的推理过程，使结论成为无可置疑的推论。

数学推理与证明的基本方法

数学推理与证明的基本方法数学是一门严谨而抽象的学科，其研究对象是数和量之间的关系以及形式描述的模型。

而在数学中，推理和证明是非常重要的基本方法。

通过推理与证明，数学家们能够建立起完善的数学体系，深入研究各种数学问题，达到发现新知的目的。

本文将介绍数学推理与证明的基本方法，包括归纳法、逆推法、假设推理法等。

一、归纳法归纳法是数学推理与证明的一种基本方法，其核心思想是从具体情况出发，通过观察和总结相同规律的特征，推导出一般规律。

归纳法可分为弱归纳法和强归纳法两种形式。

1. 弱归纳法弱归纳法又称为数学归纳法，常用于证明递推数列性质的正确性。

其基本思路为：首先证明当n取某个特定值时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再通过这一假设证明当n=k+1时命题也成立。

这样，通过不断推理，可以得出当n取任意自然数时命题都成立的结论。

2. 强归纳法强归纳法是在弱归纳法的基础上进行推广而得到的一种证明方法。

强归纳法常用于证明某个关于自然数的数学命题的正确性。

与弱归纳法不同的是，强归纳法在假设部分多了包括前面所有情况作为条件。

二、逆推法逆推法是一种从结果出发，逆向思考的证明方法。

当我们需要证明一个命题时，可以倒过来先假设结论成立，然后通过逆向推理来证明这一假设是正确的。

逆推法常用于证明相等关系、包含关系、存在性等问题。

通过假设结果成立，并最终得出与已知条件相符的结论，说明假设是正确的，从而推出原命题成立。

三、假设推理法假设推理法是通过假设一些条件来推导出结论的一种证明方法。

在假设推理法中，我们通过对问题的设想和分析，假设某些条件成立，然后推导出与已知条件相符的结论。

假设推理法常用于证明存在性问题和推理漏洞的存在。

通过假设某个条件成立，然后通过推理来得出结论，如果假设的条件不符合实际情况，那么结论就是错误的。

通过这种方法，我们可以发现问题中的漏洞并得出正确的结论。

四、直接证明法直接证明法是最常见、最直接的证明方法之一。

32推理与证明

C假设三内角至多有一个大于60 D假设三内角至多又两个大于60
6.已知函数是上的增函数， .
（1）若，则
（2）若，则a+b0 (以上两题填<,>, )
【我的疑问】
【课内探究】
一、讨论、展示、点评、质疑
探究1．合情推理
(1)在平面上,如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按图所示边长由勾股定理有: ,设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 ,如果用表示三个侧面面积, 表示截面面积,则类比得到的结论是.
（2）在等差数列中,若则有等式成立,类比上述性质,相应地:在等比数列中,若则有等式.
（3）观察下列等式：
，
，
，
，
………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于，．
拓展提升：
1.（2011江西理7）观察下列各式： =3125， =15625， =78125，…，则的末四位数字为( )
A．3125B．5625C．0625D．8125
A假设a ,b,c都是偶数B假设a ,b,c都不是偶数
C假设a ,b,c至多有一个偶数D假设a ,b,c至多有两个偶数
10.设a >0,b>0,且a+b 4,则有（）
B C D
11.设x>0,y>0,且则有（）
A B C D
12.已知下列等式：①x +3>2x (x为正数)② ③ 其中正确的个数是（）
A.小前提错误B.大前提错误C.结论错误D.正确的
4.”金导电,银导电,铜导电,锡导电,所以一切金属都导电”,此推理方法是( )
A．完全归纳推理B.归纳推理C.类比推理D.演绎推理

高中数学第一章推理与证明1综合法和分析法教材基础素材

§2 综合法和分析法在数学中,常用推理和证明来证明一个命题,证明是引用一些真实的命题来确定某一命题真实性的思维形式，在过去的学习中，我们曾经用直接证明或间接证明两类方法证明过许多命题.本节的内容就是学习直接证明的两种方法：综合法和分析法。

高手支招1细品教材一、演绎推理1.概念:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理。

2。

演绎推理的特点（1）演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.（2）在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具。

（3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。

状元笔记演绎推理是由一般到特殊的推理;演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真.【示例】判断下列推理,哪些为合情推理,哪些不是合情推理。

（1)a//b，b//c，则a//c;（2)a⊥b，b⊥c,则a⊥c;(3）三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°,五边形的内角和为540°，……，所以n 边形的内角和为(n-2)×180°;（4)今天是星期日,7天之后也是星期日。

思路分析：根据实际问题中推理所得问题的真假来判断是否为合情推理。

答案：合情推理为（1）（3）（4），不是合情推理的是(2).二、直接证明1.概念直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明.2.答案：直接证明的一般形式本题结论已知定理已知公理已知定义本题条件 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ 三、综合法1。

定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立，这种思维方法叫做综合法.综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题。

综合法、分析法、反证法

只需证 14 18
只需证 14<18,这显然成立所以 2 + 7 3 + 6成立
例2:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 AF⊥SC S
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立所以. AF⊥SC成立
思考：请对综合法与分析法进行比
较，说出它们各自的特点。回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识。
综合法的特点:由因导果
分析法的特点：执果索因.
回顾基本不等式：a
+ 2
b
ab
分析法
(a>0,综b>合0)法的证明.
证法1Q a + b ab
2
a + b ab 2
( a b)2
2
因为 ( a b)2 0
所以
a+b 2
ab成立
证法2要证
a
+ 2
b

ab
只需证 a + b 2 ab
只需证 a + b 2 ab 0
• 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说——
• 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
b ac 由a,b,c成等比数列可得什么?
2
怎样把边,角联系起来?
点评：解决数学问题时，

知识讲解_《推理与证明》全章复习与巩固_基础

《推理与证明》全章复习与巩固编稿：张林娟审稿：孙永钊【考纲要求】1. 能对推理与证明的各种方法进行梳理，建立知识网络，把握整体结构2. 能比较数学证明的几种基本方法的思维过程和特点，灵活选用各种方法进行一些数学证明.3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系、差异和各自所起的作用【知识网络】【考点梳理】要点一：归纳与类比数学推理是由一个或几个已知的判断（或前提），推导出一个未知结论的思维过程•一般包括合情推理和演绎推理，而归纳和类比是合情推理的两种主要形式归纳推理概念根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）•归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，一般分为完全归纳推理与不完全归纳推理一般步骤类比推理概念两类不同的对象具有某些共同的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程叫类比推理.一般步骤(1)找出两类事物之间可以确切表述的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)(3)检验猜想.要点诠释：(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；而类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性(2)归纳推理的前提是特殊的情况，所以归纳推理是立足于观察、实验和经验的基础上的；类比是根据已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识为基础，类比出新的结果•(3)归纳和类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能.(4)注意合情推理和演绎推理的区别•演绎推理是从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，是由一般到特殊的推理. 演绎推理的特征是前提为真，结论必为真.要点二：综合法与分析法1.综合法定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是这样一种思维方法：从命题的已知条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，一步步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明•综合法是一种执因索果的证明方法，又叫顺推法.思维框图：用P表示已知条件，Q表示要证明的结论，Q i (i =1,2,3..., n)为已知的定义、定理、公理等，则综合法可用框图表示为：(已知) (逐步推导结论成立的必要条件) (结论)2.分析法定义一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立(已知条件、定理、定义、公理等) ，或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.，分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法.思维框图：用R(i =1,2,3,|)表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，Q所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为:（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）要点诠释：（1）综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用.分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁.我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的因”再用综合法有条理地表述证题过程. 分析法一般用于综合法难以实施的时候.（2）有不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q 成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称两头挤法”分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.命题若P则Q ”的推演过程可表示为:要点三：反证法中学阶段反正法是最常见的间接证法定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法的格式：用反证法证明命题若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下:反证法的一般步骤：(1)反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；(2)归谬：由反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾一一与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.要点诠释：(1)反证法体现出正难则反的思维策略(补集的思想)和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果.(2)反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.要点四：数学归纳法数学归纳法证明命题的步骤：(1)证明当n取第一个值n0时结论正确；(2)假设当n二k(k・N*, k_ n0)时结论正确，证明n = k 1时结论也正确，由(1) (2)确定对n・N *, n _ n0时结论都正确。

高三数学不等式的证明(比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法);不等式的应用知识精讲

高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。

2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。

（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。

3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。

定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。

推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。

推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。

4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。

综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。

5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。

这种证明方法叫做分析法。

分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。

用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。

数学中的推理和证明共77页

且p q r n.
证明：先考虑特殊情形：
（１）当 n3 ,pqr1 时不等 a3b 式 3c3 即 3 a,b 是不 c ：等 .
（２）当 n3 ,p2 ， q 1 ， r0 时不等 a3b 3 式 c3 即 a2bb2 是 cc2a .：
下证不(等 2)成式立 .
受1（）的启发，可以得到：
在a3b3c3 3ab中 c ，a令 c有：
2a3b3 3 a3a3b3 a2b,同理有 2b3： c3 b2c,2c3a3 c2a.
3
3
3
三式相加a3有 b3： c3 a2bb2cc2a成立 .
(3)一般的情形：由（ 2），由于 n N ， p 、 q 、 r都是非负整数，且 p q r n. 根据类比有：
归纳法.
特殊
一般
归纳不法完完全全归归 — — 纳纳纳属法法法于（、演实经绎验 — 数验 — 推归学归属理归纳于（纳法归比
我们借助于归纳推理可以从大量的个别事例中发现数学真理，引出新的数学命题.但此时的数学命题还只是一种猜想，它往往是冒风险的、有争议的和暂时成立的。要使它成为真正的普遍命题，还要借助于论证推理进行严格的证明.
学习合情推理的意义——还数学的本来面目，把数学知识的学术形态的“冰冷的美丽”转化为数学知识的教育形态的“火热的思考”.
数学中的合情推理主要有：归纳推理、类比推理、直觉、顿悟等.
这里主要谈谈归纳推理与类比推理.
2. 归纳推理
1）定义
Байду номын сангаас
把某类事物中个别事物所具有的规律作为该类事物的普遍规律，这种思维进程中由特殊到一般的推理称为归纳推理或称

高中数学中的推理与证明方法详解

高中数学中的推理与证明方法详解数学是一门需要逻辑推理和证明的学科，而在高中数学中，推理和证明方法是学习的重点之一。

本文将详细介绍高中数学中常用的推理与证明方法，帮助学生更好地理解和应用。

一、直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一，在数学中经常使用。

它的基本思想是通过已知条件和已有定理，推导出所要证明的结论。

这种证明方法通常分为两步：先列出已知条件和已有定理，再根据这些条件和定理推导出结论。

例如，我们要证明一个几何定理：“在等腰三角形中，底角的两边相等。

”首先，我们列出已知条件：三角形ABC是等腰三角形，AB=AC。

然后，根据这些已知条件，我们可以推导出结论：∠ABC=∠ACB，即底角的两边相等。

二、间接证明法间接证明法是另一种常用的证明方法，它的基本思想是通过反证法，假设所要证明的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。

例如，我们要证明一个数论定理：“如果一个整数的平方是奇数，则这个整数本身也是奇数。

”我们假设存在一个整数n，使得n^2是奇数，但n本身是偶数。

根据假设，我们可以得出结论：存在整数k，使得n=2k。

然而，根据等式n^2=(2k)^2=4k^2，我们可以得出结论：n^2是偶数，与已知条件矛盾。

因此，我们可以推断出原命题的正确性。

三、数学归纳法数学归纳法是一种用于证明数列、等式和不等式等的方法。

它的基本思想是通过证明当n为某个特定值时结论成立，再证明当n=k时结论成立时，可以推导出当n=k+1时结论也成立。

例如，我们要证明一个数列的等差性质：“对于等差数列a1, a2, a3, ...，有an=a1+(n-1)d。

”首先，我们验证当n=1时结论成立：a1=a1+(1-1)d，等式成立。

然后，假设当n=k时结论成立，即ak=a1+(k-1)d。

我们再来验证当n=k+1时结论是否成立：ak+1=a1+(k-1)d+d=a1+kd。

由此可见，当n=k+1时结论也成立。

因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于等差数列a1, a2, a3, ...，有an=a1+(n-1)d。

数学证明方法

数学证明方法1 直接证明法从正面证明命题真实性的证明方法叫做直接证法．凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法．它是中学数学中常用的证明方法．综合法、分析法、分析综合法、比较法。

（1）综合法：从已知条件入手，运用已经学过的公理、定义、定理等进行一步步的推理，一直推到结论为止．这种思维方法叫综合法．这种方法是“由因导果”，即从已知到可知，从可知到未知的思维过程．（2）分析法：从问题的结论入手，运用已经学过的公理、定义、定理，一步步寻觅使结论成立的条件，一直“追”到这个结论成立的条件就是已知条件为止．可见分析法是“执果求因”的思维过程，它与综合法的思维过程相反．分析法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆。

分析法的步骤为未知→需知→已知。

在操作中“要证”、“只要证”、“即要证”这些词语也是不可缺少的。

分析法的书写形式一般为“因为......，为了证明......，只需证明......，即......，因此，只需证明......，因为......成立，所以‘......（结论）’成立”。

（3）分析综合法：把分析法和综合法“联合”起来，从问题的两头向中间“靠拢”，从而发现问题的突破口．这种思维方法叫做分析综合法．对于比较复杂的题目，往往采用这种思维方法．在证明的过程中，往往分析法、综合法常常是不能分离的。

分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。

分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。

（4）比较法2 间接证明法不是直接证明论题的真实性，而是通过证明论题的否定论题的不真实，或者证明它的等效命题成立，从而肯定论题真实性的证明方法，叫做间接证明法．反证法、同一法、归纳法（不完全归纳法、完全归纳法、数学归纳法）、类比法、换元法、放缩法、判别式法、函数法（1）反证法：反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

高中数学《推理论证》教材介绍

理与证明
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高中数学课程标准北师大版教材编写组
一、教材编写的基本结
构
知识结构（理）
一、教材编写的基本结构
CONTENTS
01
二．
章节目录（理）
○
第一章推理与证明
○
1归纳与类比
单击添加文本具体内容
系列2 的课程中要讲授一种特殊的演绎思路——数学归纳法，系列1不讲。其他方面的要求相同。
四、教学中需要注意的
问题
在教学中，要重视培养学生归纳推理的能力，要帮助学生理解归纳推理在学习和研究数学中的作用，演绎推理可以帮助我们验证问题，归纳推理可以帮助我们发现、猜想一些新的结果，在创新意识培养中归纳推理是非常重要的思维方式。
○
第三章推理与证明
○
1归纳与类比
单击添加文本具体内容
03
一．
类比推理
○
2数学证明
○
3综合法与分析法
单击添加文本具体内容
05 三．分析法 4反正法单击添加文本具体内容
02 归纳推理
单击添加文本具体内容
04 综合法
单击添加文本具体内容
二、教材编写特色
在教材编写中，通过大量的实例，帮助学生梳理清楚数学的两种基本思维方式：归纳推理和演绎推理，并在此基础上介绍了归纳推理和演绎推理的几种常见思路，这也是在证明数学问题中的常见思路。并帮助学生通过一些具体问题理解这两种不同思维方式的基本特点和作用。
四、教学中需要注意的
问题
在教授综合法、分析法、反证法、数学归纳法以及归纳、类比等数学思想方法时，应反复强调这些方法仅仅是一种思维的模式，我们应该了解这种思维的模式、掌握这种思维的模式，但是，在证明数学问题中，必须认真的分析问题本身，才能获得这个问题的证明，机械的套用这种方法作用不大。

11.2 分析法、综合法与反证法

由x1,x2∈
0,
2
,x1≠x2知上式显然成立,因此12
[f(x1)+f(x2)]>f
x1
2
x2
.
第第十十四四页，页编，辑编于辑星于期星五期：六二：十二十点五点三十三九十分九。分。
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方法三反证法证题的方法
反证法证题的一般步骤 (1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否定结论) (2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾—— 与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾; (推导矛盾) (3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)
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考向突破
考向一综合法例1 (2019届江苏连云港板浦高级中学检测)如图,在四棱锥P-ABCD中, PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2, E是PB的中点. (1)求证:EC∥平面PAD; (2)求证:平面EAC⊥平面PBC.
第第三页三，页编，辑编于星辑期于五星：二期十六二：点十三五十九点分三。十九分。
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11.2 分析法、综合法与反证法
第第一一页页，编，辑编于辑星于期星五期：六二：十十二点五点三十三九十分九。分。
栏目索引
考向基础
考点清单考点一直接证明
直接证明中最基本的两种证明方法是① 综合法和② 分析法 .
(1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过
一系列推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做
证明 (1)由(3-m)Sn+2man=m+3,