小波分析及其在通信中的应用 张天雷
小 波 分 析 及 应 用
小 波 分 析 及 应 用第一部分 引 言小波分析及应用傅立叶分析的有效性19世纪，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，用信号的频谱特性去分析时域内难以看清的问题，解决了很多物理和工程学方面的问题。
这个突破使得科学家们和工程师们开始考虑如何将傅立叶变换作为分析各种现象的最佳工具。
这种普遍性迫使人们开始进一步研究这种方法。
问题及大胆设想直到20世纪即将结束时，数学家、物理学家和工程师们才开始认识到傅立叶变换的缺点：它们在分析短时信号或突变信号时，效果并不理想。
在整个20世纪的过程中，各个领域的科学家们都试图突破上述这些障碍。
从本质上讲，科学家们往往想同时获取到低分辨率的森林——重复的背景信号；以及高分辨率的树——个体的、在背景上的局部变化。
他们提出了大胆的设想：也许通过将一个信号分割成并非纯正弦波的元素，就可以同时在时间和频率两方面对信息进行描述。
问题的解决小波变换是傅里叶变换的新发展，它既保留了傅里叶变换的优点，又弥补了傅里叶变换在信号分析上的一些不足。
原则上讲，小波变换适用于以往一切傅里叶变换应用的领域。
但小波变换并不是万能的，作为一种数学工具，小波变换（分析）有其特定的应用范围，即面向更能发挥小波分析优势的时间—频率局域性问题。
本课程的内容安排理论部分第二部分从傅里叶变换开始，沿着傅里叶变换→短时傅里叶变换→小波变换的发展轨迹，从物理直观的角度对其逐一进行介绍，引出小波变换的概念；然后对小波变换的基本理论进行了详细的讲解；第三部分首先介绍多分辨分析和多分辨率滤波器组的概念，在此基础上讲解由滤波器组系数构造小波基的方法，最后给出对信号和图像进行小波变换的Mallat算法；第四部分介绍小波理论的最新进展和发展方向：多小波；M带小波和提升框架等；应用部分第五部分在给出小波域滤波基本原理的基础上，介绍三种小波滤波方法——模极大值重构滤波、空域相关滤波和基于阈值的小波域滤波方法，并对这三种方法进行分析和比较；第六部分对经典小波滤波方法的改进、较新的进展及发展趋势进行介绍；第七部分对目前国内外小波分析软件应用领域的情况进行总结，着重介绍我们开发的小波分析领域通用信号处理软件系统——“小波软体”（Wavesoft），对其安装、运行、操作进行说明、演示；最后给出几个小波滤波方法的应用实例。
小波分析在信号处理中的应用
小波分析在信号处理中的应用小波分析是一种基于局部频率成分的信号分析方法，可以用来处理各种类型的信号，包括音频信号、图像信号、生物信号等等。
它在信号处理中有着广泛的应用，能够提供丰富的信息，并实现信号的压缩、去噪、特征提取、模式识别等功能。
首先，小波分析在信号压缩中有着重要的应用。
传统的傅里叶变换压缩方法不能有效地处理非平稳信号，因为它无法提供信号在时间和频率上的局部信息。
而小波变换通过使用带通滤波器来分解信号，能够提供信号在不同分析尺度上的局部频率信息。
这使得小波变换在信号的时间-频率局部化表示方面有很大优势，能够更好地捕捉信号的瞬时变化特性。
因此，小波变换在信号压缩中被广泛应用。
其次，小波分析在信号去噪中也具有重要的应用。
很多实际应用中的信号受到噪声的干扰，这会导致信号质量下降，难以进行准确的信号分析和处理。
小波分析通过将信号在不同频率尺度上分解成不同的小波系数，可以很好地分离信号和噪声的能量。
在小波域内，将低能噪声系数设为零，并经过逆小波变换，可以实现对信号的去噪处理。
因此，小波分析在信号去噪领域具有很大的潜力。
此外，小波分析还可以应用于信号的特征提取和模式识别。
在很多实际应用中，信号的特征对于区分不同的类别或状态非常重要。
小波变换能够提取信号在不同时间尺度上的频率特征，并通过计算小波系数的统计特性来表征信号的特征。
这些特征可以用于信号的分类和识别，比如图像识别、语音识别以及生物信号的疾病诊断等方面。
因此，小波分析在模式识别和特征提取中有着广泛的应用。
最后，小波变换还可以用于信号的时频分析。
传统的傅里叶变换只能提供信号在频域上的信息，无法提供时域上的局部信息。
小波变换通过使用不同尺度的小波函数，可以在时频域上对信号进行局部化分析。
这使得小波变换在时频分析中具有很大的优势，能够更好地揭示信号的短时变化特性。
因此，小波分析在信号处理中的时频分析中得到了广泛的应用。
综上所述，小波分析在信号处理中的应用非常广泛。
小波分析的应用课件
报告人：张健明
组员：梁华庆、郭文彬、轩黎明、 周华、刘志平、王海婴、陈泽强、 常永宇、郭晓强、付景兴、李卫东
精
1
小波应用简介 小波在图像编码中的应用 小波在时变线性系统建模中的应用 小波分析的应用前景
精
2
小波应用简介
小波分析在时域和频域同时具有良好的 局部化特性，对于信号处理、信息处理 起着至关重要的作用。
精
10
小波在图像编码中的应用
一幅图像在二维频域
LL1
HL1
可被分解为四个子带，如
右图。图中LL1，LH1，
LH1
HH1
HL1，HH1分别表示
(x, y)，1(x, y)， 2(x, y)， 3(x, y)
对应的分解。
L是图像的低频部分，H是图像的高频部分。
精
11
小波在图像编码中的应用
变换域编码的数据压缩过程如下图：
原始图像
正交 变换
量 化
熵 编 码
信道 解 码
逆 量 化
逆正交 重建图像 变换
精
6
小波在图像编码中的应用
为什么小波变换能用于图像编码
离散信号能量的度量
将离散信号x(n)用N维矢量表示x=(x0,x1,…,xN-1) 连表示，其能量定义为
N 1
Ex xT x xi2
图像压缩的变换域编码方法
将时域信号（如声音信号）或空域信号（如 图像信号）变换到另外一些正交矢量空间；
使变换域中的信号分量相关性很小，从而其码中的应用
常用的变换域方法有离散余弦变换、Haar 变换、Walsh-Hadamard变换等，小波变换 方法也属变换域方法中的一种；
小波分析在信号处理中的应用
小波分析在信号处理中的应用小波分析是一种基于数学理论的信号处理技术，具有在时频域上分析信号的优势。
在信号处理领域中，小波分析被广泛应用于信号压缩、噪声消除、特征提取、模式识别等方面。
本文将从小波分析的基本原理、算法实现以及在信号处理中的具体应用等方面进行探讨。
小波分析原理小波分析是一种基于时间频率局部性原理的信号分析方法，其核心思想是通过选取不同尺度和位置的小波基函数对信号进行分解和重构。
小波基函数是一组完备且正交的函数集，能够很好地反映信号在时域和频域上的特征。
通过对信号进行小波分解，可以得到不同频率下的信号特征，从而更好地理解和处理信号。
小波分析算法实现小波分析的常见算法包括离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）。
其中，DWT通过迭代地对信号进行低通和高通滤波，实现信号的多尺度分解；而CWT则是通过对信号和小波基函数进行连续变换，得到信号的时频表示。
这两种算法各有特点，适用于不同的信号处理任务。
小波分析在信号处理领域中有着广泛的应用，其中之一是信号压缩。
通过小波变换，可以将信号分解为不同频率成分，然后根据能量分布情况对部分频率成分进行舍弃，实现有效的信号压缩。
此外，小波分析还可以用于噪声消除。
在信号受到噪声干扰时，通过小波域的阈值处理可以去除部分噪声成分，提高信噪比，从而提升信号质量。
另外，小波分析还可以应用于特征提取和模式识别。
通过分析信号在小波域的特征，可以提取出具有区分性的特征参数，用于信号分类和识别。
在图像处理、语音识别、生物医学等领域中，小波分析都发挥着重要作用。
总结小波分析作为一种有效的信号处理技术，在实际应用中取得了显著的成果。
通过对信号的时频特征进行分析，小波分析能够提供更全面、更准确的信号信息，为信号处理领域的研究和应用带来了新的思路和方法。
在未来的发展中，小波分析有望进一步拓展应用领域，为更多领域的研究和实践提供支持和帮助。
论述小波分析及其在信号处理中的应用
论述小波分析及其在信号处理中的应用小波分析是一种数学工具，用于在时域和频域中对信号进行分析。
它可以将信号分解成具有不同频率和时间尺度的小波函数，从而更好地捕捉信号的局部特征和变化。
小波分析在信号处理中有广泛的应用，以下是一些主要的应用领域：1. 信号压缩：小波分析可以提供一种有效的信号压缩方法。
通过对信号进行小波变换并根据重要性剪切或量化小波系数，可以实现高效的信号压缩，同时保留主要的信号特征。
2. 图像处理：小波分析在图像处理中有重要的应用。
通过对图像进行小波变换，可以将其分解成具有不同频率和时间尺度的小波系数，从而实现图像的去噪、边缘检测、纹理分析等。
3. 语音和音频处理：小波分析可以用于语音和音频信号的分析和处理。
通过小波变换，可以提取音频信号的频谱特征，实现音频的降噪、特征提取、语音识别等。
4. 生物医学信号处理：小波分析在生物医学信号处理中有广泛的应用。
例如，通过小波分析可以对脑电图（EEG）和心电图（ECG）等生物医学信号进行时频分析，以实现对心脑信号特征的提取和异常检测。
5. 数据压缩：小波分析在数据压缩中也有应用。
通过对数据进行小波变换，并且根据小波系数的重要性进行压缩，可以实现对大量数据的高效存储和传输。
6. 模式识别：小波分析可以用于模式识别和分类问题。
通过对数据进行小波变换，可以提取重要的特征并进行模式匹配和分类，用于图像识别、人脸识别等应用。
综上所述，小波分析在信号处理中有广泛的应用，可以用于信号压缩、图像处理、语音和音频处理、生物医学信号处理、数据压缩和模式识别等领域。
它提供了一种强大的工具，用于捕捉信号的局部特征和变化，从而推动了许多相关学科的发展。
《小波分析及其应用》word版
现代数字信号处理作业小波分析及其应用电研111梁帅小波分析及其应用1.小波分析的概念和特点1.1小波理论的发展概况20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。
小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。
它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。
而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。
它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。
另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。
小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。
在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。
在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。
然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。
首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。
小波分析在信号处理中的应用研究
小波分析在信号处理中的应用研究随着数码通信技术和数字信号处理技术的快速发展，信号处理逐渐成为了一项新兴的技术。
在信号的处理过程中，例如图像、声音、生物信号等等，都要利用相应的算法进行处理，使其能够更好地被分析、处理和利用。
小波分析作为一种新兴的分析方法，在信号处理领域被广泛使用，并且日益成为研究者们的关注焦点。
小波分析是利用小波函数对信号进行分解和重构的一种数学方法。
首先将信号分解成多个频带，再对每个频带进行不同的处理，从而得到处理后的信号。
这种方法在信号处理领域中有着广泛的应用，可以用于多种不同的领域，例如图像处理、声音处理、生物信号分析等等。
在图像处理中，小波分析被广泛地应用于图像压缩中。
图像压缩是将图像数据压缩到较小的存储空间中的过程，既可以节省存储空间，也可以减少图像传输时的带宽需求。
小波分析可以将图像信号分解成多个频带，使得每个频带描述了不同的图像特征。
根据不同的压缩需求，可以选择对每个频带进行不同的压缩方式。
这种方法与传统的利用傅里叶分析进行频域处理的方法相比，更为灵活和准确。
在声音处理领域中，小波分析被广泛地应用于语音信号识别中。
语音信号识别是将语音信号转化为相应的文本信息的过程，是自然语言处理领域中一个非常重要的研究方向。
小波分析可以将语音信号分解成多个频带，对每个频带进行不同的处理，从而提取出与语音特征相关的信息。
这些信息可以用于语音信号的特征提取和分类，从而实现语音信号的识别。
在生物信号分析中，小波分析被广泛地应用于心电信号分析。
心电信号是反映心肌电活动的生物信号，通常用于心脏疾病的诊断和研究。
小波分析可以将心电信号分解成多个频带，对每个频带进行不同的处理，从而提取出与心电信号特征相关的信息。
这些信息可以用于心电信号的特征提取和分类，从而实现心电信号的诊断。
总体来说，小波分析在信号处理领域有着广泛的应用和研究价值。
未来，我们可以预见到小波分析在更多领域中的应用和拓展。
例如机器学习、物联网、医学影像等等，均可以通过小波分析的方法进行有效的信号处理。
小波分析在信号处理中的应用
小波分析在信号处理中的应用随着现代通信技术和电子设备的不断发展，我们所接收到的各种信号越来越复杂。
为了更好地处理这些信号，人们就开始了对信号进行分析和处理的研究。
其中，小波分析就是一种被广泛应用的信号处理方法。
小波分析起源于上世纪70年代初，最初是为了处理地震信号而发明的。
后来，由于其可适用性和高效性，小波分析开始在其它领域得到广泛的应用，如图像处理、语音处理、金融分析等。
由于其独特的分析方式和处理方法，小波分析已经成为传统信号处理的重要组成部分。
一、小波分析的原理小波分析采用一种图形化处理的思路，把信号波形划分成不同尺度的小波，并进行分析。
这种处理可以简单地理解为把一条曲线分解成一系列不同频率的正弦曲线，进而可以对每条正弦曲线进行分析和处理。
小波分析的特点在于它不像傅里叶变换那样只能处理静态的信号，而可以处理时变的信号。
小波分析利用的是具有局部性的函数来分析信号，使得它的分析结果更加准确独特。
同时，小波分析还可以根据信号的性质、噪声情况等对信号进行有针对性的分析和处理。
二、小波分析的应用小波分析在信号处理中有着广泛的应用，下面分几个方面进行介绍。
1、音频信号处理在音频信号处理中，小波分析可以对音频信号进行分析和压缩。
例如，对于一段音频信号，可以将其分解成不同频率段的小波，并对每个小波分别进行处理。
通过这种方式，可以将音频信号进行去噪和压缩，从而获得更好的音质效果。
2、图像处理在图像处理中，小波分析可以分解图像，并进行特征提取、去噪或图像压缩等处理。
小波分析可以把图像分成不同的频率段，通过不同频率段间的差异来提取、去除图像的某些特征，从而得到更加清晰准确的图像。
3、金融分析在金融分析中，小波分析可以对股票、期货等金融数据进行分析。
例如，可以利用小波分析来捕捉股票价格过程的多尺度移动性特征，也可以用小波分析来提取金融数据的周期性和趋势性。
4、医学信号处理在医学信号处理中，小波分析可以用来分析生理信号，例如心电信号、脑电信号等。
小波分析与应用
小波分析与应用小波分析是一种数学工具，用于研究信号和数据的频率特性和时域特性。
它的发展源于20世纪70年代，随着数字信号处理和数据分析的普及，小波分析也逐渐得到广泛的应用。
本文将探讨小波分析的基本原理、算法和应用领域。
一、小波分析的基本原理小波分析是一种时频分析方法，它可以将信号分解为不同频率的成分，并且可以根据需要在时域和频域之间进行转换。
小波分析与傅里叶分析相比，不仅可以提供信号的频率信息，还可以提供信号的时域信息，因此在研究非平稳信号和脉冲信号方面具有很大的优势。
小波分析的基本原理是将信号与一组小波函数进行相关计算，通过对小波函数的不同尺度和平移进行变换，可以得到信号在不同频率下的时域表示。
小波分析中使用的小波函数可以是多种形式，常用的有Morlet小波、Daubechies小波和Haar 小波等，每种小波函数有不同的频率特性和时域特性，可根据信号的特点选择合适的小波函数。
二、小波分析的算法小波分析的算法主要包括离散小波变换(DWT)和连续小波变换(CWT)两种。
离散小波变换是指将信号离散化后进行小波分解的过程。
首先，将信号进行一系列的低通滤波和高通滤波操作，得到两个低频和高频信号序列。
然后，将低频信号继续进行低通和高通滤波，得到更低频的信号序列和更高频的信号序列。
这个过程可以一直进行下去，直到得到满足要求的分解层数。
最后，将分解得到的低频和高频序列进行逆变换，得到重构后的信号。
连续小波变换是指将信号连续地与小波函数进行相关计算，得到信号的时频表示。
连续小波变换具有尺度不变性和平移不变性的特点，可以对不同尺度和平移位置下的信号成分进行分析。
然而，连续小波变换计算复杂度高，在实际应用中往往采用离散小波变换进行计算。
三、小波分析的应用领域小波分析因其在时频分析和信号处理中的优势，得到了广泛的应用。
以下是小波分析在不同领域的应用示例：1. 信号处理：小波分析可以用于去噪、压缩和特征提取等信号处理任务。
小波分析及其在信号处理中的应用
小波分析及其在信号处理中的应用摘要：小波分析，是当前迅速发展的新领域。
在应用数学和工程学科中，在经过近30年的研究和探索中，已经建立起非常重要的数学形式化体系，在理论基础中也更加的扎实。
那么与Fourier的变换相比，小波的变换是空间，和频率的局部性变换，所以能高效率地从信号中提取有用的信息。
通过平移和伸缩等一些运算功能，对信号或函数进行微观的细化分析。
它解决了Fourier变换所不能解决的很多困难。
小波变换联系了多个学科，包括：应用数学、物理学、科学、信号与信息处理、计算机、图像处理、地震勘探等。
有数学家认为，小波分析就是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样条分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。
关键词：小波分析；信号处理；主要应用引言：小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。
小波分析是近年来发展起来的一种新的信号处理工具，这种方法是因为傅立叶分析，小波（wavelet），就是在小范围的波，只在有限的区间内有非零值，比起正弦波和余弦波那样无始无终完全不同。
小波是可以通过时间轴上下平移的，同时也可以按比例伸展和压缩，用来获取低频和高频的小波，一些构造好的小波函数，就可以用于滤波或者压缩信号，从而可以提取出信号中的有用信号。
1.小波分析的概念小波（Wavelet）这一词语，顾名思义，“小波”通俗说就是小的波形。
“小”的意思就是具有减退性；而“波”的意思就是指它的震动性，它的振幅有上下相间的震荡。
与Fourier变换相比，小波变换也就是时间（空间）频率的部分化解析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步细致的对比，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。
小波分析在各领域中的应用及展望
示， 但是计算机在处理这样的多媒体信息时， 需要 这对通信信道及网络都造成很大 大量存储空间， 的压力从 而 成 为 制 约 多 媒 体 数 据 高 效 处 理 的 瓶 颈。特别是在分布式网络多媒体应用技术中 ， 为 了达到令人满意的视频画面质量和听觉效果 ， 需 要对视频信号和音频信号进行实时处理。 为了提 高处理速度， 对数据实现高保真、 大压缩比的压缩 成为必要。人们所指的数据压缩主要包含无损压 缩（ 无失真） 和有损压缩（ 有失真） 两大类。 所谓无 损压缩是指图像经过压缩后可以完全得到复原 ， 复原后的图像与原始图像完全一致， 而有损压缩 则是指经过它处理后的数据在基本保持原图像的 不可避免的丢掉一部分认为不重 特征的前提下， 要的图像原始信息。 目前， 基于小波变换的图像 压缩方法已经逐步取代基于离散余弦变换 （ DCT ） 或者其他子带编码技术， 而成为新的图像压缩国 际标准的首选方法。 图像数据之所以能够进行压缩其数学机理主 要有下面两点： （ 1 ） 原始图像信息存在着很大的冗 余度， 数据之间存在着相关性， 如相邻象素之间色 彩的相关性等， 信息中这些冗余信息将会产生额 外的编码。 如果去掉这些冗余的信息， 就会减少 ， “美利坚合众国 ” 信息所占的空间。 例如 可以压 “美国” 。这样就能大大节省存储和传输的开 缩成 销。当然， 冗余信息在某些情况下是非常有用的， 具有一定冗余度的信息能有较强的抗干扰能力 。 当消息在传输中受到干扰而出现错误时， 这些冗 余信息可以帮助人们根据上下文纠正错误。 （ 2 ） 在多媒体系统的应用领域中， 人眼作为图像信息 其视觉对于边缘急剧变化不敏感 （ 视觉 的接受端， 掩盖效应） ， 以及人眼对图像的亮度信息敏感， 而 对颜色分辨率弱等， 因此在高压缩比的情况下， 解 压缩后的图像信号仍有着满意的主观质量 。 基于上述两点， 发展出数据压缩的两类基本 方法： 一种是将相同的或相似的数据或数据特征 归类， 使用较少的数据量描述原始数据， 达到减少 数据量的目的。 这种压缩一般为无损压缩。 第二 类方法是利用人眼的视觉特性有针对性地简化不 重要的数据， 以减少总的数据量。 这种压缩一般 为有损压缩， 只要损失的数据不太影响人眼主观
小波分析及其应用研究
小波分析及其应用研究引言小波分析是一种近年来逐渐被广泛应用的数学工具，它在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用价值。
小波分析能够将一个信号或图像分解成多个小波系数，从而方便地对信号或图像进行频域和时域的分析。
本文旨在探讨小波分析的基本原理及其在信号处理和图像处理领域的应用研究，以期读者能够更好地理解小波分析的应用价值。
小波分析基本原理小波分析的基本原理主要包括小波基函数的选取、小波分解的过程以及小波重构的过程。
小波基函数具有尺度性和移位性，通过这些性质，可以将一个信号或图像从小波基函数展开，得到一系列的小波系数。
小波分解是将信号或图像分解成多个小波系数的过程，从而方便对信号或图像进行频域和时域的分析。
小波重构则是从小波系数出发，恢复原信号或图像的过程。
小波分析在信号处理中的应用小波分析在信号处理领域具有广泛的应用，主要包括信号压缩、去噪以及分类等方面。
小波分析能够将信号分解成多个小波系数，对于那些幅值较小的系数，可以将其置零或近似为零，从而实现信号压缩。
同时，小波分析在信号去噪方面也有着重要的应用，通过将信号分解成多个小波系数，可以有效地去除噪声，提高信号的信噪比。
此外，小波分析还可以应用于信号分类，例如基于小波包的分类方法可以有效地对信号进行分类。
小波分析在图像处理中的应用小波分析在图像处理领域同样具有广泛的应用，主要包括图像压缩、去噪以及分类等方面。
在图像压缩方面，小波分析可以通过将图像分解成多个小波系数，实现图像的压缩，从而减少存储空间的需求。
同时，小波分析在图像去噪方面也有着重要的应用，能够有效地去除图像中的噪声。
此外，小波分析还可以应用于图像分类，例如基于小波包的分类方法可以有效地对图像进行分类。
小波分析作为一种数学工具，在信号处理和图像处理领域具有广泛的应用价值。
通过将信号或图像分解成多个小波系数，可以方便地对信号或图像进行频域和时域的分析。
本文介绍了小波分析的基本原理及其在信号处理和图像处理领域的应用研究，希望读者能够更好地理解小波分析的应用价值。
小波分析在信号处理中的应用
小波分析在信号处理中的应用小波分析在信号处理中的应用（东北电力大学机械081 吕洪悦）摘要：在信号奇异点检测中，首先对信号进行多尺度小波分解。
然后对高频部分进行重构，确定模极大值点位置，从而确定出奇异点位置。
在例子中检测加入高频信号的低频信号，结果表明信号加入的部分能清晰地显示出奇异点的准确位置，并通过Matlab程序确定间断点位置。
关键词：信号奇异点检测、间断点、小波分析、Matlab引言：由传感器所检测到的奇异信号往往载有设备运行状态特征的重要信息。
判断状态信号的奇异点出现时刻，并对信号奇异性实现定量描述，在信号处理和故障诊断等领域有着重要的意义。
信号的奇异性分析是提取信号特征的重要手段，傅里叶变换一直是研究信号奇异性的经典工具，但是由于傅里叶变换对信号的表示要么在时域，要么在频域，缺乏空间局部特性，因而只能确定信号奇异性的整体信息，无法确定奇异点的空间分布。
小波变换具有时－频局部化特性，能够有效地分析信号的奇异性，确定奇异点的位置与奇异度的大小，为信号奇异性分析提供了有力的工具。
一基本理论(1) 小波分析概况小波分析是自1986年以来由Meyer，Mallat及Daubechies等的研究工作为基础而迅速发展起来的一门新兴学科，他是傅里叶分析(Fourier Analysis) 划时代的发展结果，是目前数学分析和信号处理领域中广泛应用的一套新理论、新方法，如：信号分析、图像处理、量子力学、军事电子对抗与武器的智能化、计算机分类与识别、数据压缩、医学成像与诊断、地震勘探数据处理、边缘检测、音乐与语音人工合成、大型机械的故障诊断、大气与海洋波的分析、分形力学、流体湍流以及天体力学等。
但以上大多数领域的应用都可以归结为信号处理问题，故本文才重点介绍小波分析在信号处理方面的应用。
在信号处理领域，对原始信号进行变换，从变换的结果和过程中提取信号的特征，获得更多的信息，而这些信息是原来信号没有直接提供的(隐含的)，目前，已经有许多变换应用于信号处理，最基本的是频域变换和时域变换，最熟悉的莫过于傅里叶变换(Fourier Transform)，然而，傅里叶变换只能分别对信号的时域和频域进行观察，不能把二者有机地结合起来。
小波分析及其在弱信号处理中的应用
3 结 论
小波变换本质上是一滤波过程 , 但它优于传统的 数字滤波方法 . 子波分析方法对弱信号实时处理的结 果表明 :小波变换方法可以根据信号和噪声的不同特 性进行非线性滤波 , 在改善信噪比的同时 , 具有很高的 时间 ( 位置) 分辨率 , 而且对信号的形式不敏感 , 这是 传统的滤波方法所无法比拟的 . 因此 , 小波变换方法特 别适合于弱信号的检测和定位 , 随着小波变换理论的 完善 , 小波变换方法将会有更广泛的应用前景 .
小波分析属于时频分析的一种 , 是一种信号的时 间一尺度 ( 时间 — 频率 ) 分析方法 , 它具有多分辨率分 析的特点 ,而且在时频两域都具有表征信号局部特征 的能力 ,是一种窗口大小固定不变但其形状可改变 ,时 间窗和频率窗都可以改变的时域局部化分析方法 , 目 前在众多研究领域已得到重视与应用 [1～3 ] . 利用子波 的这些优点 , 对获取的数字弱信号进行分析 , 结果表 明 : 微弱的信号可以在小波分析下得到显现 ,增强了目 标特征 ,有利于提高对有用信号的识别率 .
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
2003 年 9 月 李晓伟 : 小波分析及其在弱信号处理中的应用
・101 ・
且:
∞ ∞
该微弱信号的特征提取与识别 .
n=- ∞
n=- ∞
∑c
l- 1 (
cl ( n ) 和 dl ( n ) 表示对第 l 次尺度系数分解成的低通
信号和高通信号 , 即 g ( n) 和 h ( n) 分别为低通滤波器 和高通虑波器 .
可见 , 小波变换为原始曲线提供了一个多分辨率 分析光谱 , 小波变换的低通成份图 2 ～ 4 曲线结果清楚 的表明 :小波变换对于处理如图 1 所示的有用信号特 征已淹没在噪声中的数字信号是非常有效的 .
小波分析在信号处理中的应用
小波分析进行去噪处理，一般有下述 3 种方法。 （1）默认阈值去噪处理
该方法利用函数 ddencmp 生成信号的默认阈值，然后利用函数 wdencmp 进 行去噪处理。
（2）给定阈值去噪处理 在实际去噪过程中，阈值往往通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的
可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数 wthresh。 （3）强制去噪处理 该方法是将小波分解结构中的高频系数全部置为 0，即滤掉所有高频部分，
然后对信号进行小波重构。这种方法比较简单，且去噪后的信号比较平滑，但是 容易丢失信号中的有用成分。
小波在信号去噪领域已经得到越来越广泛的应用。阈值去噪方法是一种实现 简单、效果较好的小波去噪方法。
1.4 信号去噪 Matlab 实现
1）抑制细节系数去噪 MATLAB 实现过程： Step1.在一个光滑的信号上加入一个白噪声。 Step2.使用 db4 小波对信号进行 5 层分解，观察信号在时间-频率上的成分。 Step3.通过作用阈值抑制噪声信号，重建信号，达到去噪目的。 即：在小波分解过程中，每次分解得到的近似系数比以前更光滑，舍去的细
1.1 小波变换特性
小波变换具有下列良好的特性。 （1）低熵性：小波系数稀疏分布，使信号变换后的熵较低。 （2）多分辨率特性：可以非常好地刻画信号的非平稳性，如边缘、尖锋、断 点等。 （3）去相关性：可去除信号的相关性，且噪声在小波变换后又自己的白化趋 势，更利于去噪。 （4）选基灵活性：由于小波变换可以灵活选择基函数，因此可以根据信号特 点和去噪要求选择合适的小波。
200
400
600
800
1000
1200
图 1-1 通过抑制细节系数对信号去噪处理 从图 1-1 可以看出，使用单纯的抑制细节系数的方式确实可以实现消除信号 噪声的目的，但并没有利用噪声本身的信息，没有通过噪声本身来确定去噪，所 以作为衡量相似性的标准差仍然很大，而且去噪后的信号损失了很多原信号的能 量成分（6%左右）。这能说明在去噪的过程中，不仅抑制了噪声，也抑制了很 多有用的信息成分。 2）FFT 方法去噪 在小波域中的近似系数如果映射到傅里叶分析中的频域，则代表高频系数， 如果只对高频系数进行抑制，同样可以达到去噪的效果。 MATLAB 实现过程：
小波在信号处理中应用
信噪分离与提取弱信号(续2)
对信号进行小波与小波包分解，把信号分解为各个频段的信号，再根据诊断的目的选取包含所需零部件故障信息的频段序列，进行深层信息处理以查找机器的故障源。
01
要想知道某一频段内信号的频率成分，如果开始采样后给出的信号用尺度函数展开的系数是用小波变换法给出的，则分解后各频段信号的小波系数本身就是在某一小的时间区间内，这个频段的频率含量。
按预先给出的要求划分频带
由采样定理知道，对于信号 ，假定 ，则 即，当函数 是有限频段时，它可以用型值 完全确定，这时的采样间隔为 。
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按预先给出要求划分频带(续)
如果需要考虑频域为 上的情形，当然假定 ，这时，如果信号 在点 上的型值 知道了，则有
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小波包用于信号降噪
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% signal de-noising by using wave pack 小波包用于信号降噪 % 对一个给定的含噪信号进行降噪处理 产生heavy sine 信号和噪声 init=2055615866; %叠加标准高斯白噪声 [xref,x]=wnoise(5,11,7,init); x=x(1:1000); %画出原始信号和噪声信号 subplot(221);plot(xref);title('原始信号'); subplot(222);plot(x);title('噪声信号'); %使用wpdencmp函数进行信号降噪 n=length(x); thr=sqrt(2*log(n*log(n)/log(2))); xwpd=wpdencmp(x,'s',4,'sym4','sure',thr,1);
小波分析频带能量法的应用
小波去噪方法比较
（二）噪声的小波变换特性
随着尺度的增大，白噪声的小波变换系数是逐渐 减小的。因此，通常情况下认为信号主要集中在小波变 换的低频频带，而噪声主要集中在小波变换的高频频带 ，并且可以由此来估计噪声的方差。 利用小波系数进行噪声估计的常见方法为：
（三）阈值去噪方法的基本步骤 （1）小波分解过程。对噪声信号做小波分解 ，得到各层小波系数。 （2）作用阈值过程。根据阈值确定方法为各 层小波系数选择适当的阈值，然后对小波系数作 用阈值处理。 （3）小波重建过程。对作用阈值处理后的小 波系数，进行小波重建，得到去噪后的信号。 第二步是去噪的关键。包括两方面的内容： 阈值的确定方法；作用阈值的方法。
2. 应用场合 在实际系统工作状态的变化过程中，如果被 测信号的特征频率不明显，或者特征频率位于频 带边界附近，或者多个特征频率分布在相邻频带 中，并且变化幅度接近，那么变化的频率分量在 相邻频带中的能量泄漏会相互影响，这种情况下 单从频带能量角度提取信号特征，本身就十分困 难，因此增量比较法的应用也同样受到了限制。 反之，应用增量比较法可以排除误判，同时 可以很好地起到优化信号特征提取的作用。
• 观察高次谐波的影响：
• CreateSignal_50Hz10V_250Hz3V_350Hz3V_550Hz0V.wav • CreateSignal_50Hz10V_250Hz3V_350Hz3V_550Hz1V.wav
采用命令行方法小波去噪：
二、频带能量泄漏对小波去噪影响的研究
（一）频带能量泄漏对小波去噪的影响 （二）解决频带能量泄漏对小波去噪影响的方法
第二节 小波分析的频带特性 与信息特征提取方法
一、小波分析的频率特性分析 （一）Daubechies小波的滤波特性
小波分析在微波探伤中的应用
小波分析在微波探伤中的应用甘传付 张尊泉 张 兵 徐天元(武汉空军雷达学院,武汉 430010)摘 要 微波探伤信号很复杂,处理起来相当困难,用小波分析方法对微波探伤信号进行处理,得出了比较满意的结果。
证明了该方法的可行性。
主题词 微波检验 信号处理 可行性APPLIC ATION OF WAVELET ANALYSIS TO SIGNAL PROC ESSINGIN MICROWAVE NONDESTRUCTIVE TESTINGGan Chuanf u Zhang Zunquan Zhang Bing Xu Tianyuan(R adar Academ y of A ir For ce,Wuhan)Abstract T he complex ity of the signal makes it hard to be processed in micr owav e nondestr uctiv e testing. Wav elet analysis has been used to pr ocess the sampling data of micro waves.Satisfactor y result sho ws the feasibility of the met ho d.Keywords M icrow ave test ing Sig nal pr ocessing F easibility 器件表面细小裂缝和疲劳裂缝的检测对于设备或系统的安全运行有着非常重要的意义。
目前已有许多传统无损检测方法被应用于金属器件表面的检测,如射线照相法、着色渗透法、涡流法和超声波法等。
但这些方法存在一定的缺点,如检测灵敏度较低,对拐角部分、非金属和表面有覆盖层的金属检测效果不理想等。
微波无损探伤由于具有工作频率高,探头较小,探测灵敏度较高,对拐角、非金属和表面有覆盖层的金属处的裂缝检测理想等优点,受到无损检测界的重视[1～3]。
小波及其在语音信号处理中的应用
小波及其在语音信号处理中的应用谭鹏（北京邮电大学信息工程学院博士B006班 B20000073087）摘要 ： 本文是作者在学习《现代信号处理》小波部分时的一些体会和心得的总结，全文分为两部分。
第一部分讨论了小波的基本概念，小波的分类，多分辨率分析及Mallat 算法和多孔算法。
第二部分则介绍了小波在语音信号处理中的几种应用，包括语音编码，语音降噪，基音检测和语音信号特征提取。
一．小波1.小波的基本概念小波变换是80年代后期发展起来的应用数学分支。
其含义是：把某一成为基本小波（也叫母小波mother wavelet ）的函数)(t ψ作位移τ后，再在不同尺度a 下与待分析信号x(t) 作内积 ：⎰>ψ=<-ψ=)(),()(*)(1),(t t x dt at t x aa WT a x τττ, a>0小波变换可以分为连续小波变换（连续时间，连续小波变换），连续时间离散分析，离散时间离散分析。
理解小波的关键是理解小波母函数)(t ψ，小波母函数是指满足下面两个条件的函数(1) 完全重构条件0)(=ψ⎰+∞∞-dt t(2) 恒等分辨条件∞<ψ=⎰∞+∞-ψωωωπd C 2)(2 )(ωψ为)(t ψ的傅立叶变换。
而把小波母函数的扩张和伸缩称为小波基函数 )(1)(,abt at b a -ψ=ψ把)(t ψ看作用t* 和 ∆t 给出中心和半径的窗函数，把)(ωψ看作由*ω 和ω∆给出中心和半径的窗，则小波母函数的时间分辨率为∆t ，频率分辨率为ω∆。
可计算出小波基函数)(,t b a ψ的时间分辨率为2a ∆t ，频率分辨率为aω∆2 ，时间窗为 ]*,*[t a at b t a at b ∆++∆-+，频率窗为]1*,1*[ωωωω∆+∆-aa a a 。
因此可以调节尺度参数a 来调节小波基函数的时频域窗口位置和时频域分辨率。
因为小波母函数可以看作是某一带通滤波器的冲激响应，所以小波基函数可以看作是一带通滤波器组。
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小波分析及其在通信中的应用专业：电子信息工程**：***学号：*********河南城建学院2011年05月29日小波分析及其在通信中的应用摘要：小波分析是傅里叶分析的重大突破，是当今许多领域研究的热点。
从小波分析的发展历程出发，介绍了小波在现代通信中的一些应用，并指出了未来的一些研究方向。
关键词：小波变换；傅里叶变换；小波应用；通信小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。
所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
小波分波是自1986年以来由于Meyer、Mallat和Daubechies等的奠基工作而迅速发展起来的一门新兴学科，它是傅立叶分析划时代的发展结果。
与Fourier 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题，小波分析的目的是“既要看到森林(信号的概貌) ，又要看到树木(信号的细节) |”。
因此，它被誉为“学显微镜”。
小波分析已经在图像处理、语音识别，声学，信号处理，神经生理学，磁性谐振成像，地震测量，机械故障诊断，生物医学，医疗卫生，以及一些纯数学应用如解决一些微分方程式等领域取得一系列重要应用。
小波变换理论在通信中的应用研究在国际上日益受到重视。
小波函数提供的一系列正交基非常适合通信系统中的信号波形设计，扩频特征波形设计，多载波传输系统的正交子信道划分等。
小波变换技术在通信系统中的信源编码、信道编码、调制、均衡、干扰抑制和多址等方面具有广阔的应用前景。
一、小波分析在通信系统中的研究动态如何在各种信道环境下实现有效可靠的信息传输一直是通信领域关注的课题。
一般来说通信系统分为信源编码和信道编码两部分，信源编码的目的在于去除信源的冗余信息，实现信息的有效表示。
基于小波变换、多速率信号处理及滤波器组的信源编码技术已经取得丰硕的成果。
而信道编码的目的则在于通过引入冗余度的编码和有效的调制方法产生适合于不同信道环境的信号形式，以实现信息的可靠传输。
目前人们已提出了小波包多址通信、基于完备重构正交镜像滤波器组(PR2QM F ) 的直扩通信、小波波形用于数字符号的波形编码、小波分形调制、离散小波多音调制( DWMT ) ，基于小波的多载波MC2CDMA 系统、小波变换在回波消除中的应用和基于多速率滤波器的扩展符号与扩展响应码分多址(CDMA) 等技术。
虽然目前这些方面的研究只是刚开始，但普遍认为其具有较大的潜力。
1、移动通信中噪声的消除对于时变较慢的噪声信号来说，利用离散傅立叶变换与噪声频谱估计相结合来消除噪声是一项比较成功的技术，对于移动通信中时变较快的噪声与信号则无法适应其时变的频谱特性。
目前，小波去噪也已成为小波变换一项很重要的应用。
Donoho等人提出的收缩与门限技术很好地去除加性高斯白噪声( Additive White Gaussian Noise，AW GN ) ，并能保持信号的主要特征。
对于有色噪声，Dono ho等提出一种依赖于小波分解层的层门限技术，它对于平稳不相关噪声的处理效果较好。
但由于上面提到的这些去噪声算法都是基于正交小波变换基础之上，而正交小波变换不具有时移不变特性，即信号移位后的小波变换与原始信号的小波变换不再呈简单的平移关系，这使得小波变换的去噪效果表现出种种缺陷，如吉比斯现象等，而这些缺陷的出现往往与信号的特征(如突变点或不连续点) 出现的位置有关，Coifman等提出了移不变小波变换去噪，它是对信号的所有移位点函数的小波变换，其效果要远远优于传统的正交小波变换去噪技术，而且去掉了正交变换去噪过程中出现的不理想现象。
2、离散小波多音调制未来的无线通信系统必然朝着宽带多媒体方向发展，要想实现这样的系统，需要选择合适的调制技术实现高速传输并能有效对抗频率选择性衰落信道和解决由多径引起的码间干扰问题。
近些年来正交频分复用(OFDM) 这种多载波技术受到广泛关注，它能很好地解决无线信道中由多径引起的码间干扰问题，所以被认为是下一代无线通信系统的首选调制技术。
但是由于现在的OFDM 系统中的多载波调制是通过DFT 来实现的。
DFT 保证了系统所要求的各个子信道之间的正交性，实现起来比较方便。
但OFDM系统子信道冲激响应是简单的矩形脉冲，其幅频响应特性曲线是固定的，由于旁瓣功率较大，当均衡器工作不是很理想时，信道间干扰(ICI的影响) 较为严重。
离散小波多音调制(DWMT)技术利用小波变换实现多载波信号的调制和解调，由于小波的旁瓣衰减很大，基于小波变换的各子带频谱响应的主瓣与最大旁瓣比远远大于基于DFT 的只能获得13dB 的主旁瓣增益比，故使得子信道间串扰减小，在相同环境下有着比常规DMT更高的信息率和更强的抗噪声能力。
因此，W2OFDM具有更好的抗ICI 的能力，并且由于W2OFDM系统具有良好的频谱隔离性，使其在IS I严重的情况下仍具有较好的鲁棒性。
该技术已成为不对称数字用户环( ADSL )的标准。
小波调制实际是小波包调制的一个特例，与小波调制相比，小波包调制在子频带划分等方面具有更大的灵活性，因此在抗干扰、提高系统容量等方面更具优势。
采用动态子信道分配、均衡、选择设计最优小波函数族等策略，可以进一步提高小波/小波包调制的性能。
小波/小波包调制与多址技术的结合，如基于小波包变换的多载波码分多址系统(WPDM 2CDM A ) ，更贴近于现代无线多址通信系统的实际应用，从而进一步表明了小波小波包调制的可行性与先进性。
基于小波变换小波包变换的正交多载波调制技术作为一种新的调制技术，在提高通信系统性能方面具有很强的优势和潜力，并且实现方案灵活多样，适于多种通信环境，因此具有广阔的发展前景。
同时，作为一个充满希望和潜力的新研究领域，关于小波/小波包调制技术的许多问题尚待进一步研究。
比如，O FDM 系统主要采用插入循环前缀来消除ISI，如何减小甚至去掉循环前缀，进一步地提高无线频谱效率，仍存在较大的研究余地。
3、小波分形调制由于小波波形本身具有分形的特性，如果将信息加载到由某一尺度函数分解生成的小波函数族上实现分集，信号和小波函数族合成的结果波形仍然呈现分形特性，这样不论信道呈现怎样的特性都可实现信息的可靠传输，另外这种小波包分形调制还可用于保密通信。
4、基于小波包变换的扩频多址通信该方法是在已有的MC2CDMA 基础上，在施加多载波的载波之前利用小波函数和尺度函数进行正交滤波，以此提高信道的频带利用率。
由于基于DFT变换的MC2CDMA方案对同步算法，包括载波频率同步算法与符号同步算法的要求很高，但是在移动环境，尤其是高速移动环境中，要达到这样的要求很难。
相对地，基于小波包变换的MCCDMA2则存在着这方面的优势，对同步算法的精度要求可以适当放宽。
对于多用户检测，可以利用小波包变换将多用户信号分组来减少多用户检测的维数。
在AW GN信道中如果所有用户是同步的，那么纯粹的CDMA信号就转换为多组频分的CDMA信号，这样在进行CDMA的多用户检测之前先利用小波包分解将信号频分，处理后的CDMA 信号就能降低最优多用户检测的复杂度。
另外，小波变换也可以抑制接收机同信道干扰，因为从被检测的信号的小波变换对应的零空间中可以重构出干扰信号，再把这部分干扰信号分量从接收到的总信号中减掉，这样就可以有效减少同信道干扰的影响，这种思想不但具有理论价值，而且在工程上也具有实用价值。
5、小波变换在锁相环自动频率控制中的应用多普勒频移及接收机本振频率的稳定性直接影响着接收机的性能，因此快速准确的A FC 方法在移动通信中就显得十分重要。
利用小波变换的AFC电路能快速大致地检测出大的频率误差，而对于小的频率误差量，该方法可以渐进地精确逼近中心频点。
所以这种方法不但使得锁相环具有任意小的频率误差，而且具有较高的跟踪速度。
6、多速率滤波器的扩展符号与扩展响应CDMA在数据传输系统中，交织是衰落信道中一种有效的抗干扰编码技术，交织的目的是把编码的数据流在时域上扩展交织编排，使得在接收方的采样点的数据互不相关以达到有效减少衰落信道的影响。
扩展响应预编码本身也是一种有效的交织技术。
利用多速率滤波器的扩展符号与扩展响应CDMA技术，可以将具有衰落特性的信道转化为简单的近似高斯白噪信道。
因此可以大大改善衰落信道中的误码率性能。
而且，扩展响应本身并不需要额外发射功率和带宽。
基于小波变换传输技术可以作为一种有效的扩展响应预编码技术。
除了上面介绍的一些应用外，目前基于小波分析的通信技术的研究还包括：基于小波的自适应滤波器设计，基于小波的DFE (判决反馈均衡器) ，小波变换在回波抵消中的应用，应用小波作双音多频(DTMF) 信令检测，用于宽带通信的PN小波和内插函数，多径环境下扩频信号传播的小波分析等。
二、结语小波理论真正产生的时间并不长，但已形成了国际研究的热点，正在蓬勃发展，虽然其理论研究结果和应用范围一时还无法准确预料，但毋庸置疑，小波分析为通信领域内的研究提供了一个全新的角度和方法。
小波在通信领域已在很多方面取得了非常有意义的成果，相信随着研究的进一步深入，小波分析将会逐步应用到更多的通信领域，在提高通信性能的同时，降低系统的复杂性上找到最终的解决方案。
参考文献：小波变换及其工程应用北京邮电大学出版社李媛著小波变换及其工程应用北京：科学出版社彭玉华著Bool S F. Suppression of acoustics noise in speech using spectral subtraction [ J ]. ASSP- 27，1979Coifman R R , Donoho D L. Translation invariant De noising [ R ]. Technical Repo r t no. 475, Department of Statistics, Stanford University,M ay 1995.。