1微分方程与差分方程稳定性理论

微分方程平衡点与稳定点
设
dx = f (x) (4 1) dt 的实根x 称代数方程 f (x)=0 的实根 = x0为方程(4-1) 为方程 平衡点(或奇点 它也是方程(4-1)的解 或奇点). 的解. 的平衡点 或奇点 它也是方程 的解
() 如果方程的解 xt lim x(t) = x0
t →+∞
λ 2 + aλ + b = 0 的两个根分别为 λ=λ1, λ=λ2.
是两个不同实根时,二阶常系数线 ① 当λ1, λ2是两个不同实根时 二阶常系数线 性差分方程的通解为 性差分方程的通解为 xn= x*+ C1(λ1)n + C2(λ2)n ; 是两个相同实根时,二阶常系数线 ② 当λ1, 2=λ是两个相同实根时 二阶常系数线 性差分方程的通解为 性差分方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n)λn; ③ 当λ1, 2= ρ (cosθ + i sinθ ) 是一对共轭复根 二阶常系数线性差分方程的通解为 时,二阶常系数线性差分方程的通解为 二阶常系数线性差分 xn = x*+ ρ n (C1cosnθ + C2sinnθ ). 易知,当且仅当特征方程的任一特征根 ＜ 易知 当且仅当特征方程的任一特征根 |λi |＜1 平衡点x 是稳定的. 时, 平衡点 *是稳定的
得一个二维驻定系统
2
dx = v, dt dv = a ( x ) v a ( x ). 1 2 dt
x = x (t ) x = x (t , t0 , x0 , y0 ) 它的解 或者 （3） y = y (t ) y = y (t , t0 , x0 , y0 )
dx = P ( x , y ), dt dy = Q ( x , y ). dt
(2)
dy Q(x,y) dx P(x,y) 就可以变为 = 或者 = (4) dx P(x,y) dx Q(x,y)
方程(4) 方程 的积分曲线就可以看成是方程（2）在 在相平面上的轨线。
4.2 差分方程模型
(2)
t (x,y,t) t0 o x y
投影曲线 解曲线
定义：称平面 (x, y)为相平面，称解曲线 定义： 为相平面， 在相平面上的投影为相轨线 相轨线， 在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为 相位图. 相位图.
如何得到相轨线？方法：把时间t当作参数，只要 P(x,y)和Q(x,y)不同时为零，驻定方程
则称平衡点x 稳定的 则称平衡点 0是稳定的.
稳定性判别方法 由于 f (x) ≈ f ′(x0 )(x x0 ),在讨论方程 在讨论方程(4-1)的 的 稳定性时， 稳定性时，可用
来代替. 来代替
dx = f ′(x0 )(x x0 ) dt
(4 2)
易知 x0也是方程 也是方程(4-2)的平衡点 (4-2)的通解为 的平衡点. 的平衡点 的通解为
x(t) = Ce
f ′( x0 )t
这个结论对 于(4-1)也是 也是 是稳定的； 成立的. ① 若 f ′(x0 ) < 0, 则x0是稳定的； 成立的 关于x 是否稳定有以下结论： 关于 0是否稳定有以下结论：
+ x0 ,
是不稳定的. ② 若 f ′(x0 ) > 0, 则x0是不稳定的.
关于常微分方程组的平衡点及其稳定 性, 设 dx = f (x, y), dt (4 3) dy = g(x, y). dt 代数方程组 f (x, y) = 0, g(x, y) = 0. 的实根x 称为方程(4-3)的平衡点 的实根 = x0, y = y0称为方程 的平衡点, 记作P 它也是方程(4-3)的解 的解. 记作 0 (x0, y0). 它也是方程 的解
例：求解微分方程组
dx = x( x 2 + y 2 ) dt dy = y( x 2 + y 2 ) dt
的平衡点， 并讨论其稳定性。 解：很容易求得该微分方程组的唯一平衡点； 由已知微分方程组可以得到 d ( x 2 + y 2 )
dt
= 2( x 2 + y 2 )2
进而 x2 + y2 = 1 ,(c =
2t + c
1 ) 2 2 ( x(0)) + ( y(0))
故也有
对该微分方程组的任一解 ( x(t ), y(t ))
1 lim ( x + y ) = lim =0 t →+∞ t →+∞ 2t + c
2 2
微分方程的定性分析
随着科学技术的发展， 随着科学技术的发展，常微分方程定性分析 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具， 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具， 也是数学建模的必备基础理论. 也是数学建模的必备基础理论 一. 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法 极少情况下， 极少情况下，能够用初等函数或初等函 数的积分表示微分方程的解. 数的积分表示微分方程的解 解 决 求微分方程的数值解 方 法 微分方程 定性分析
微分方程稳定性 与定性分析
在研究实际问题时, 在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量之 间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式, 间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式, 这就是微分方程. 这就是微分方程. 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的, 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人口 生产周期与商品价格等, 数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有可操 作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 不管是微分方程还是差分方程模型， 不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到 其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解), ),既使得 其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既使得 到其解析解,尚有未知参数需要估计(这里可利用参数估 到其解析解,尚有未知参数需要估计( 计方法). 计方法). 而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要， 而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要， 因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论. 因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.
dxi = fi ( x1 , x2 ,, xn ), i = 1, 2,, n dt
其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶 维 ，称为一阶n维 驻定系统(自治系统 动力系统). 自治系统、 驻定系统 自治系统、动力系统
例5.2.1 单一质点非受迫直线运动满足下方程
令
dx = v, dt
d x dx + a1 ( x) + a2 ( x) = 0 2 dt dt
在以t,x,y为坐标的空间中一条曲线，这条曲线 为坐标的空间中一条曲线， 在以 为坐标的空间中一条曲线 称为积分曲线。 称为积分曲线。 将积分曲线投影到平面上进行分析. 基本思想 将积分曲线投影到平面上进行分析
一般二维驻定系统形式为 dx d t = P ( x , y ), d y = Q ( x , y ). dt
若有常数a是差分方程 的解, 若有常数 是差分方程(4-6)的解 即 是差分方程 的解 F (n; a, a, … , a ) = 0, 是差分方程(4-6)的平衡点 则称 a是差分方程 是差分方程 的平衡点. 又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的 又对差分方程 的任意由初始条件确定的 解 xn= x(n)都有 都有 xn→a (n→∞ →∞), →∞ 则称这个平衡点a是稳定的 则称这个平衡点 是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中 b为常数 且a ≠ 0)的通解为 其中a, 为常数, 其中 为常数 的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点 由上式知 当且仅当 是其平衡点, 易知 是其平衡点 由上式知, |a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点 是稳定的平衡点. ＜ 时 是稳定的平衡点
二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, 为常数. 其中 b, r为常数 为常数 当r = 0时, 它有一特解 时 x* = 0； ； 当r ≠ 0, 且a + b + 1≠ 0时, 它有一特解 时 x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形, 是其平衡点. 不管是哪种情形 x*是其平衡点 设其特征方 程
微分方程定性分析
一般提法：不去积分给定的微分方程 一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整 个区域内的分布状态. 个区域内的分布状态 基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状， 基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状， 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态. 或研究当时间无限增大时 积分曲线的性态 研究对象： 研究对象：驻定系统 若微分方程组
则
对于一阶非线性差分方程 xn+1 = f (xn ) 其平衡点x 其平衡点 *由代数方程 x = f (x) 解给出. 解给出 为分析平衡点x 的稳定性, 为分析平衡点 *的稳定性 将上述差分方程近 似为一阶常系数线性差分方程 上述近似线性差分方程与原 当 | f ′(x*) | ≠ 1时,上述近似线性差分方程与原 非线性差分方程的稳定性相同 稳定性相同. 非线性差分方程的稳定性相同. 因此 当 | f ′(x*) | <1 时, x*是稳定的； 是稳定的； 是不稳定的. 当 | f ′(x*) | >1 时, x*是不稳定的.
对于k阶差Байду номын сангаас方程 对于 阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 (4-6)
若有x 若有 n = x (n), 满足 F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0,
k
则称xn = x (n)是差分方程 是差分方程(4-6)的解, 包含k个任意 则称 是差分方程 的 包含k 常数的解称为(4-6)的通解 x0, x1, … , xk-1为已知时 常数的解称为 的通解, 称为(4-6)的初始条件 通解中的任意常数都由初始 称为 的初始条件,通解中的任意常数都由初始 条件确定后的解称为(4-6)的特解 条件确定后的解称为 的特解. 已知, 若x0, x1, … , xk 1已知 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现. 的差分方程的解可以在计算机上实现
xn+1 = f ′(x*)(xn x*) + f (x*),
如果 tlim x(t) = x0 , tlim y(t) = y0 , →+∞ →+∞ 则称平衡点P 稳定的 则称平衡点 0是稳定的. 下面给出判别平衡点P 是否稳定的判别 下面给出判别平衡点 0是否稳定的判别 准则. 准则 设 f (P ) f (P ) 0 0 f (P ) g(P ) x y 0 0 p = + , q = g(P ) g(P ) 0 0 y x x y 则当p＞ 且 ＞ 时 平衡点P 是稳定的； 则当 ＞0且q＞0时, 平衡点 0是稳定的； 当p＜0或q＜0时, 平衡点 0是不稳定的 ＜ 或 ＜ 时 平衡点P 是不稳定的.