指数函数3
指数函数(3)
2 y( x) 0
y( x)的值域为 2,0] [
记住下列重要结记.
1. f ( x)与 f ( x)增减性相反.
1 2. f ( x)恒为正或恒为负时,函数f ( x)与 增减性相反. f ( x)
3.函数f ( x)与f ( x) k增减性相同.
4.当k 0, f ( x)与kf ( x)的增减性相同, k 0时, f ( x)与kf ( x)增减性相反.
10 10 例6:讨论函数f(x)= x x 10 10
x
x
的奇偶性
和单调性
解:(1)函数的定义域为R ∵f(-x)=
10 10 x x 10 10
x
x
=－
10 10 x x 10 10
x
x
＝－f(x) ∴ f(x)在R上是奇函数
（2）解法一:设x1,x2∈R,且x1<x2
f ( x) f ( x)
f ( x)
的值域.
与函数f ( x)单调性相同;
与函数f ( x)的单调性相反.
例题讲解
1 例1.求函数y 3 的定义域 9 1 1 2 x 1 2 x 1 解:3 0 3 化同底 9 9 2 x1 2 利用指数函数的性质
3 x 1
3
3
x
f (a 2) 3
ax a x
a2
,3
x x
a 2
18
x
3 2
a
又 y ( x) 3 4
x
y ( x) (3 ) 4 2 4
(2) 函数y( x)的定义域为[0,1] 令t 2 , x [0,1],函数t在区间[0,1]单调递增.
3. 指数函数图像
当0 x 1 时，y 0 ;当x 1 时，y 0 , 故选B
4.翻折变化：
1 y f x 去掉y 轴左边图，保 留y 轴右 边图 y f x 将y 轴右边的图像翻折到左边去
① f x ex f x = e x
② f x = e x f x 2 = e x-2
指数函数的图象
知识点
1.当 当0a
1 a
时， 底数a 越大，图象在x 1 时，底数a 越小，图象在x
0
时越接近y 轴，在x 0 0 时越接近x 轴，在x
时越接近x 轴 0 时越接近y 轴
2.平移变换：左加右减
1 f x 向左平移a 个单位 f x a 2 f x 向上平移 a个单位 f x a 3 f x 向右平 移 a个单位 f x a 4 f x 向下平移a个单位 f x a
解析：① 有界性：由函数的定义域得x 0 , A错； 当x 0 时，y 0 ,B错;
② 指数爆炸，当x , y 0 ,D错
例7 函数y x3 x 2 x 的图象大致是
解析：① 奇偶性：f x x3 x 2 x f x ,故函数为奇函数，C错； ② 有界性：令y 0 ,则 x3 x 2 x 0
D. a b 1 d c
例2 已知1 n m 0 ,则指数函数① y mx ,
② y nx 的图象为
例3 已知函数y ax b a 0且 a 1 的图象经过
第二、三、四象限，则有
A. 0 a 1 ,b 1
第三章 3 3.1 指数函数的图像和性质
[典例 2] 求下列函数的定义域和值域． (1)y＝2
1 x4
2 －|x| ；(2)y＝( ) ； 3
(3)y＝4x＋2x＋1＋1.
[解析] (1)由 x－4≠0 得 x≠4. ∴定义域为{x|x≠4}
1 1 又 ≠0，∴2 x4 ≠1. x－4 1 x4
∴y＝2
的值域为{y|y>0 且 y≠1}
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3．比较下列各组数的大小． (1)3 2，0.3 2，2 2，0.2 2； (2)1.7－0.3 与 1.9－0.3； (3)21.1 与 31.2.
解析：(1)构造四个指数函数，分别为 y＝3x，y＝0.3x，y＝2x， y＝0.2x，它们在第一象限内，图像由下至上，依次是 y＝0.2x， y＝0.3x，y＝2x，y＝3x，如图，由于 x＝ 2>0， 所以 0.2 2<0.3 2<2 2<3 2.
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3 3.1
指数函数
指数函数的图像和性质
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考 纲 定 位 1.理解指数函数的概念． 2.掌握指数函数的定义域、值域． 3.掌握指数函数的性质.
重 难 突 破 重点：指数函数的图像与性质． 难点：与二次函数、幂函数等相结合的问题.
又∵2.1 和 2.2 的底数不同，指数相同，可以用幂函数的单调性． ∵y＝x 在(0，＋∞)上是增函数，且 2.1<2.2， ∴2.1 <2.1 <2.2 .
1 3 2 3 2 3 2 3
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14指数函数3(教学案)
1 2
本节内容个人掌握情况反思：
2
学习要点及自主学习导引
1. 若函数 y 2 x1 m 的图象不经过第一象限，则 m 的取值范围是 _______ 。 x 2.解方程 4 2x 1 8 0
y
3.如图为指数函数 (1) y a x , (2) y b x , (3) y c x , (4) y d x ， 则 a, b, c, d 与 1 的大小关系为
典例探究
a b
c d
O
x
思想方法总结
例1、 已知函数 y f ( x) 是奇函数，则当 x 0 时， f ( x) 3 x 1 ，求
当 x 0 时 y f ( x) 的解析式。
例 2、已知 2 x
2
x
1 4
x2
, 求函数 yΒιβλιοθήκη 2 x 2 x 的值域1
例 3、 （1）求.函数 y=（ ） x
1 2
2
2 x 2
的递增区间。
（2）求.函数 y 36x 12 6x 5 的单调区间。
例 4、已知定义域为 R 的函数 f ( x) （Ⅰ）求 a , b 的值；
2 x b 是奇函数。 2 x 1 a
（Ⅱ）若对任意的 t R ，不等式 f (t 2 2t ) f (2t 2 k ) 0 恒成立，求
k 的范围；
课堂练习： 1、已知函数 f ( x)
自我纠错
a x 1 (a 0, a 1) ax 1
（1）求 f ( x ) 的定义域和值域； （2）讨论 f ( x ) 的单调性。
2、若 a2x+ ·ax－ ≤0（a＞0 且 a≠1） ，求 y=2a2x－3·ax+4 的值 域.
高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第1课时指数函数的概念图象和性质课件北师大版必修第一册
知识点2 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
图象和性质
图象
a>1
0<a<1
图象和
性质
a>1
0<a<1
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
性质
(4)当x<0时,0<y<1;
(4)当x<0时,y>1;
当x>0时,y>1
当x>0时,0<y<1
(5)在R上是增函数
f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定
点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
角度2画指数型函数的图象
【例3】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎
样的变换得到的.
变式探究
比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,
则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.
变式探究
本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4,其他条件不变,求点P的坐标.
解令 3x-2=0,得
2
x= ,此时
3
2
f( )=5×a0+4=9,故函数
2.1.2指数函数及其性质(3)
太原市新希望双语学校高一年级第一学期数学学科练习题2.1.2-3课题：指数函数(3) 责任编辑人：赵晶晶 校对人：杨鹏飞 日期：班级： 姓名：一、选择题：1.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛>=,0,21,0,21x x x x f x 则()()=-4f f （ ） A.-4 B.41- C.4 D. 6 2.函数()()21025--+-=x x y 的定义域是 （ ） A.{}2,5≠≠x x x B.{}2>x x C.{}5>x x D.{}552><<x x x 或 3.若a a 23122121-+⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛，则实数a 的取值范围是 ( )A.()+∞,1B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21C.()1,∞-D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, 4.设函数(),1,1,2,13≥<⎩⎨⎧-=x x x x f x 则满足()()()a f a f f 2=的a 的取值范围是 （ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32 B.[]1,0 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,32D.[)+∞,1二、填空题：5.不等式12193-+<x x 的解集为 . 6.方程81323=-x ，则=x .7.方程803322=--+x x ，则=x .8.()=⋅-+⎪⎭⎫ ⎝⎛63430321687 . 9.已知()()x x a a a a -+++>++12126464，则x 的取值范围为 .三、解答题：10.（1）解不等式22112≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ；（2）若43+->x x a a （0>a 且1≠a ）求x 的取值范围.11.设10≤≤x ，求10264+⋅-=--x x y 的最大值和最小值.（选做题）已知定义域为R 的函数()x f 满足()()()y f x f y x f ⋅=+，当0>x 时，()1>x f . ⑴求()0f ；⑵证明：()()()y f x f y x f =-； ⑶判定()x f 的单调性.。
高中数学指数运算与指数函数3指数函数课件
提示:本题有两处错误,一是a>0,不能保证f(x)=ax在R上是增函
数;二是不等式的解集没有写成集合的形式.
正解:设 f(x)=ax(a>0,且 a≠1).
-
- +
当 a>1 时,f(x)在 R 上是增函数,由
当0<a<1时,原不等式⇔-3x<x+4⇔x>-1,
故当a>1时,实数x的取值范围是{x|x<-1},
当0<a<1时,实数x的取值范围是{x|x>-1}.
3.已知a>0,比较aπ与a3的大小.
解:设f(x)=ax,易知π>3.
当a>1时,函数f(x)在R上是增函数,则aπ>a3;
当a=1时,函数f(x)=1是常数,则aπ=a3;
x的取值范围.
解:因为0<a<1,所以y=ax在R上是减函数,
又a-3x>ax+4,所以-3x<x+4,得x>-1,
故实数x的取值范围是{x|x>-1}.
2.若把本例(2)中的“a>1”换为“a>0,且a≠1”,其他条件不变,求
实数x的取值范围.
解:当a>1时,原不等式⇔-3x>x+4⇔x<-1,
下到上相应的底数由小变大.
【变式训练2】 如图,若0<a<1,则函数y=ax与y=(a-1)x2的图象
可能是(
)
解析:因为0<a<1,所以a-1<0,因此y=(a-1)x2的图象开口向下.
答案:D
探究三 利用指数函数比较大小
【例3】 比较下列各组数的大小:
常用函数图像
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）三角函数（3）对数函数（2）三角函数（4）三角函数（1）三角函数（5）三角函数（2）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3) y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1) y = [1/x](2) y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x) y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数 y = |x|符号函数 y = sgnx取整函数 y= [x]极限的几何解释(1)极限的几何解释 (2)极限的几何解释 (3)极限的性质 (1) (局部保号性)极限的性质 (2) (局部保号性)极限的性质 (3) (不等式性质)极限的性质 (4) (局部有界性)极限的性质 (5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1) lim(1+1/x)^x 的一般形式(2) lim(1+1/x)^x 的一般形式(3) e的值(1)等价无穷小 (x->0)sinx 等价于xarcsinx 等价于xtanx 等价于xarctanx 等价于x1-cosx 等价于x^2/2sinx 等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞)夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性(1)数列的夹逼性(2)pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本) ^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了。
高中数学指数函数(3)苏教版必修一
指数函数(3)[教学目标]一、知识与技能1、结合对指数函数性质的研究，深化对函数定义域、值域、单调性和奇偶性的认识；2、了解简单函数的平移变换规律会进行函数图象的平移变换，并体会分类讨论的数学思想。
二、过程与方法通过探究、思考，培养学生理性思维能力、分析问题的能力。
三、情感、态度与价值观通过指数函数性质的应用以及对图象平移变换的研究，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性。
[教学重点]指数函数性质的运用[教学难点]函数图象的平移变换[教学过程]一、复习回顾1．指数函数的概念、图象、性质2．比较以下各题中两个值的大小；()()0.5 2.30.30.242.50.1(1)3.1,3.122(2),;333 2.3;0.2----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．求以下不等式()()()()11282327134532x x x x x ><⎛⎫>< ⎪⎝⎭二、例题分析例1． 说明以下函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图：〔1〕12x y +=； 〔2〕22x y -=．说明：一般地，当0a >时，将函数()y f x =的图象向左平移a 个单位得到的图象； 当0a <时，将函数()y f x =的图象向右平移||a 个单位，得到()y f x a =+的图象 练习：指出以下函数图象之间的关系：〔1〕11y x =+与1y x=； 〔2〕3x y -=与3x a y -+=；〔3〕22y x x =+与22y x x =-； 〔4〕34x y --=与4x y -=；〔5〕将函数21()3x y =图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是；〔6〕画出函数1()2x y =的草图。
例2．函数1762)21(+-=x x y ，求①函数的定义域、值域；②确定函数单调区间。
练习：求定义域〔1〕3x y -= 〔2〕1(0,1)1x x a y a a a -=>≠+．〔2〕判断24x x y a +=(0,1)a a >≠的单调区间问题：复合函数的单调性如何判断？例3．函数)10(122≠>-+=a a a a y x x 且在区间［－１，１］上的最大值是１４，求a 值。
高级高中数学3.1.2指数函数(3)课件(新版)苏教版必修1
数学应用：
例2．某医药研究所开发一种新药，据检测：如果成人按规定的剂量服用， 服药后每毫升血液中的含药量为y(微克)与服药后的时间t(小时)之间近似满足 如图曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝kat的图象．试根据图象， 求出函数y＝ f(t)的解析式．
2．递增的常见模型为y＝(1＋p%)x(p＞0)； 递减的常见模型则为y＝(1－p%)x(p＞0)．
数学应用：
例1．某种放射性物质不断变化为其他，每经过一年，这种物质剩留的 质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．
变式： 截止到1999年底我国人口约13亿．如果今后能将人口平均增长率控
制在1%，那么经过20年后，我国人口约为多少(精确到亿)？
数学建构：
对于实际应用问题还有两点必需注意： 一是精确度的问题，同学们在解决问题时往往忽视题中的精确度； 二是定义域，在实际问题中函数的定义域必需使实际问题有意义．
数学应用： 练习：
1．一电子元件去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始 的m年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长p%，试写出 此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式；
数学应用：
例4．2000~2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%．按照这个增 长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象， 并通过图象观察到2010年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍(结 果取整数)．
数学用：
练习：
3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)， 经3小时后，这种细菌可由1个分裂成个 ．
苏教版 高中数学必修第一册 指数函数 课件3
化
时， 0<y<1
时， y>1
单调性
在(－∞，＋∞)上是 _增__函__数__
在(－∞，＋∞)上是 __减__函__数___
奇偶性
非奇非偶函数
指数函数图象的应用 命题角度1 指数函数整体图象 例 4 在如图所示的图象中，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与函数 y＝bax 的图 象可能是
√
解析 根据图中二次函数图象可知c＝0， ∴二次函数y＝ax2＋bx，
3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司
2016 年全年投入研发奖金 130 万元．在此基础上，每年投入的研发
奖金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发奖金开始数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2
＝0.30)．
2020 [设第n年开始超过200万元，则130×(1＋12%)n－2 016>200，化简得
指数函数的性质 角度1 函数过定点 【例2－1】 函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
解析 因为y＝ax的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(－1)＝－ 1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1). 答案 (－1，－1)
随堂测试 1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论 正确的是 A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.0<a<1，b>0
高中数学第三章指数函数和对数函数3.3第1课时指数函数的图像与性质学案含解析北师大版必
学习资料§3指数函数第1课时指数函数的图像与性质内容标准学科素养1。
理解指数函数的概念和意义．2。
能借助计算器或计算机画出指数函数的图像．3.初步掌握指数函数的有关性质。
精确数学概念提升数学运算熟练等价转化授课提示：对应学生用书第44页［基础认识]知识点指数函数错误!（1）细胞分裂时，第1次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去,如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？提示:y＝2x。
它的底数为常数，自变量为指数，而y＝x2，恰好反过来．(2)函数的性质包括哪些?如何探索指数函数的性质？提示：函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性，可以通过描点作图,先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．知识梳理指数函数思考：1.函数y＝3·5x是指数函数吗？为什么？提示：不是．不符合指数函数的定义,指数函数的解析式必须满足：①自变量为x在指数位置上;②底数a＞0且a≠1;③a x的系数是1.2．指数函数定义中为什么规定a＞0且a≠1?提示：（1)如果a＝0，当x＞0时，a x＝0；当x≤0，a x无意义．（2）如果a＜0，当x＝错误!，错误!等时,a x无意义．(3）如果a＝1,当a x＝1，无研究的价值．为了避免上述各种情况,所以规定a＞0且a≠1.［自我检测］1．函数y＝2－x的图像是图中的()解析：y＝2－x＝错误!x.答案：B2．函数y＝(a－1）x在R上为减函数，则a的取值范围是()A．a＞0，且a≠1 B．a＞2C．a＜2 D．1＜a＜2解析:由0＜a－1＜1，解得1＜a＜2.答案：D3．若指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f（－π)＝________。
解析:设f（x)＝a x（a＞0,且a≠1)，则f（π）＝e，即aπ＝e。
∴f（－π）＝a－π＝1aπ＝错误!。
指数函数3解析
分析： 洗1次后，y= 1 1 2
洗2次后，y=
1
1 2
2
洗3次后，y=
1
1 3 2
… 洗x次后，y=
1
1 2
x
1 2
x
思考2:据国务院发展研究中心2000年发表的 《未来20年我国发展前景分析》判断，未来 20年我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可 望达到7.3%. 设x年后我国的GDP为2000年的y 倍，则y与x的函数关系是什么？
列表:
X -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y=2x 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.41 2 2.83 4
y=3x 0.11 0.19 0.33 0.58 1 1.732 3 5.20 9
描点作图:
y
y 2x
Байду номын сангаас
.
. .1 . .
.
-1 0
.x
1
-1 -0y.5 0 0.y5 3x
2.1.2 指数函数及 其性质(1)p54
清丰县第一高级中学
秦银建
问题提出
1.对任意实数x，3 x的值存在吗？ ( 3) x的值存
在吗？1x的值存在吗？0x 的值存在吗？
2. y 3x (x R) 是函数吗？若是，这是什
么类型的函数？
第一课时
知识探究（一）:指数函数的概念
思考1:用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服， 若每次能洗去残留污垢的1/2，则漂洗x次后， 衣服上的残留污垢y与x的函数关系是什么？
所以,y= (1 7.3x
思构考上有3:何函共数同y特点 12？x ,和y (1 7.3x 在其结
系数为1
高中数学指数函数及其性质教案3
指数函数及其性质3三维目标一、知识与技能1.能根据指数函数的性质解决有关函数单调性、奇偶性的讨论问题.2.注意指数函数的底数的讨论.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生成为一个会与别人共同学习的人.2.通过探索比较复杂函数与简单初等函数的关系，培养学生的利用化归思想解决问题的能力.三、情感态度与价值观1.通过讨论比较复杂的函数的单调性、奇偶性，使学生感知知识之间的有机联系，感受数学的整体性，感受并体会数学中的化归思想的巨大作用及其在生活中对处理生活琐事的指导作用，激发学生的学习兴趣.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，增强学生数学交流能力，合作学习的能力，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.教学重点讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性.教学难点将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、复习旧知复合函数y =f ［g （x ）］是由函数u =g （x ）和y =f （u ）构成的，函数u =g （x ）的值域应是函数y =f （u ）的定义域的子集.在复合函数y =f ［g （x ）］中，x 是自变量，u 是中间变量.当u =g （x ）和y =f （u ）在给定区间上增减性相同时，复合函数y =f ［g （x ）］是增函数；增减性相反时，y =f ［g （x ）］是减函数.二、创设情景，引入新课师：我们已经比较熟练地掌握了指数函数的图象和性质，并运用这些知识解决了一些具体的问题，我们知道指数函数y =a x是非奇非偶函数，那么含有指数式的函数，如：y =110110-+x x 有奇偶性吗？ 这就是我们这一节课所要研究的内容.三、讲解新课（一）例题讲解 【例1】 当a ＞1时，判断函数y =11-+x x a a 是奇函数. 师：你觉得应该如何去判断一个函数的奇偶性？（生口答，师生共同归纳总结）方法引导：判断一个函数奇偶性的一般方法和步骤是：（1）求出定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）若定义域关于原点不对称，则该函数是非奇非偶函数.（3）若所讨论的函数的定义域关于原点对称，进而讨论f （－x ）和f （x ）之间的关系.若f （－x ）=f （x ），则函数f （x ）是定义域上的偶函数；若f （－x ）=－f （x ），则函数f （x ）是定义域上的奇函数；若f （－x ）=f （x ）且f （－x ）=－f （x ），则函数f （x ）在定义域上既是奇函数又是偶函数. 师：请同学们根据以上方法和步骤，完成例题1.（生完成引发的训练题，通过实物投影仪，交流各自的解答，并组织学生评析，师最后投影显示规范的解答过程，规范学生的解题）证明：由a x －1≠0，得x ≠0，故函数定义域为{x |x ≠0}，易判断其定义域关于原点对称.又f （－x ）=11-+--x x a a =x x x x a a a a )1()1(-+--=x xaa -+11=－f （x ）， ∴f （－x ）=－f （x ）.∴函数y =11-+x x a a 是奇函数. 合作探究：此题是函数奇偶性的证明，在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质.请思考，证明f （－x ）=－f （x ）的目标指向能否更加简单？如改证f （－x ）±f （x ）=0或者)()(x f x f -=±1，以上两种处理方式何时用何种形式能够使得解题过程更加简洁?【例2】 求函数y =（21）x x 22-的单调区间，并证明之. 师：证明函数单调区间的方法是什么?（生口答，师生共同归纳总结）方法引导：（1）在区间D 上任取x 1＜x 2.（2）作差判断f （x 1）与f （x 2）的大小：化成因式的乘积，从x 1＜x 2出发去判断.（3）下结论：如果f （x 1）＜f （x 2），则函数f （x ）在区间D 上是增函数；如果f （x 1）＞f （x 2），则函数f （x ）在区间D 上是减函数.解：在R 上任取x 1、x 2，且x 1＜x 2， 则12y y =12122222)21()21(x x x x --=（21）12212122x x x x ++-=（21）)2)((1212-+-x x x x . ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.当x 1、x 2∈（－∞，1］时，x 1+x 2－2＜0.这时（x 2－x 1）（x 2+x 1－2）＜0，即12y y ＞1. ∴y 2＞y 1，函数在（－∞，1］上单调递增.当x 1、x 2∈［1，+∞）时，x 1+x 2－2＞0，这时（x 2－x 1）（x 2+x 1－2）＞0，即12y y ＜1. ∴y 2＜y 1，函数在［1，+∞上单调递减.综上，函数y 在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.如下例.【例3】 求函数y =3322++-x x 的单调区间和值域.师：请同学们分析观察所给函数有什么特点？这些特点会给你解答该题提供哪些信息？（生讨论交流，师捕捉学生交流具有价值的信息，及时归纳，得出如下结论）结论：所给函数解析式右边是指数式，指数式的指数又是一个关于自变量x 的二次三项式. 师：以上结论能否为你解决该问题提供一点思路呢？（生交流，师总结）由以上结论想到：若设u =－x 2+2x +3，则y =3u ，这样原来一个比较复杂的函数单调性的讨论问题就转化为两个基本初等函数的单调性的讨论问题.（师生共同完成解答，师规范板书）解：由题意可知，函数y =3322++-x x的定义域为实数R . 设u =－x 2+2x +3（x ∈R ），则f （u ）=3u ，故原函数由u =－x 2+2x +3与f （u ）=3u 复合而成.∵f （u ）=3u 在R 上是增函数，而u =－x 2+2x +3=－（x －1）2+4在x ∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.∴y =f （x ）在x ∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.又知u ≤4，此时x =1，∴当x =1时，y max =f （1）=81，而3322++-x x＞0，∴函数y =f （x ）的值域为（0，81］.方法引导：在讨论比较复杂的函数的单调性时，首先根据函数关系确定函数的定义域，进而分析研究函数解析式的结构特征，将其转化为两个或多个简单初等函数在相应区间上的单调性的讨论问题.在该问题中先确定内层函数（u =－x 2+2x +3）和外层函数（y =3u ）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.四、巩固练习 1.已知函数f （x ）=1212+-x x ， （1）判断函数f （x ）的奇偶性；（2）求证：函数f （x ）在x ∈（－∞，+∞）上是增函数.2.讨论函数y =36322+-x x 的单调性，并指出它的单调递增区间和单调递减区间.答案：1.（1）函数f （x ）为奇函数，（2）根据单调性的定义进行证明，证明过程略.2.单调递减区间为（－∞，43］，单调递增区间为［43，+∞）. 五、课堂小结1.复合函数单调性的讨论步骤和方法；2.复合函数奇偶性的讨论步骤和方法.六、布置作业1.已知f （x ）=|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f （a ）＞f （c ）＞f （b ），则下列各式中正确的是A.2a ＞2cB.2a ＞2bC.2－a ＜2c D.2a +2c ＜2 2.已知函数f （x ）=a x +k 的图象过点（1，3），又其反函数f －1（x ）的图象过点（2，0），则f （x ）=________.3.已知偶函数f （x ）的定义域为R ，当x ≥0时有f （x ）=（31）x x -2，求f （x ）的解析式. 4.已知函数y =222xx -+，求： （1）函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性.5.已知f （x ）=132+x +m 是奇函数，求常数m 的值. 板书设计2.1.2 指数函数及其性质（3）一、复合函数单调性的方法二、复合函数奇偶性的方法三、例题解析与学生练习四、课堂小结五、布置作业。
03-第三节 指数函数高中数学必修一北师大版
−2 + 1, < 0
如图1所示,则由图象易得 ∈ 0,1 .
（2）若曲线 = 2 − 1与直线 = 有两个公共点，则实数的取值范围
0, +∞
是________；
【解析】 作出曲线 = 2 − 1,如图2所示,则由图象易得 ∈ 0, +∞ .
（3）若曲线 = 2 + 1与直线 = 没有公共点，则实数的取值范围是
示,故 的图象不过第一象限. （【另解】也可由函数 = 2 − 3+1单调
递减且其图象过定点 0, −1 和 −1,1 知 的图象不过第一象限）故选A.
8.函数① = ；② = ；③ = ；④ =
的图象如图所示，，，，分别是下列四个
以函数 = − 的图象一定经过第二、三、四象限.故选D.
变式已知函数 = −3 + 1( > 0，且 ≠ 1)的图象恒过点 , ，
则函数 = − +1 的图象不经过( A )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】 在函数 = −3 + 1( > 0且 ≠ 1)中,当
5
数： ，
4
1 1
3， ， 中的一个，则，，，的值分
3 2
别是( C )
5
A. ，
4
1 1
3， ，
3 2
B.
5 1 1
3， ， ，
4 2 3
1 1
C. ， ，
2 3
5
3，
4
1 1 5
D. ， ， ，
3 2 4
3
【解析】 直线 = 1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为,,,,
指数函数(3)
x 练习： 1.方程4
3 2
x 1
16 0的解为________
．
2.已知关于x的方程2a （ 1 ）求实数a的值；
2 x2
9a
2 x2
x 1
4 0有一根为2.
x 1
(2)若0 a 1, 求不等式2a
9a
4 0的解集.
9.解指数方程及图像间交点问题：
x
x
例6
作出下列函数的图像并 求出其单调区间： （ 1 ）y 3x 1
(3) y 3
x2
(2) y 3 x 1 2
1
1 x (4) y ( ) 1 3
9.解指数方程及图像间交点问题：
例7 解指数方程
பைடு நூலகம்
3
x2
3
2 x
80
评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．
x
1 x2 例4. 作出 y ( ) 的图像，并指出其单调 区间. 2
练习：求下列函数的单 调区间： （ 1 ）f ( x) 2
x 1
1 x 2 2 x （2）f ( x) ( ) 3 1 x2 x2 (3) y ( ) 2
抓住复合函数：
同增异减
注意：定义域优先
拓展：
y dx yc
x
y
y b
x
ya
x
0 c d 1 a b
0
．
x
指数函数在同一直角坐标系下的底数大小的判断方法：
方法1：作直线x=1 方法2：在第一象限，底数越大，图像越靠近y轴
x x
恒有f (1 m) f (1 m ) 0, 求m的取值范围。
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3 期后的本利和为y a1 r ,
3
x 期后的本利和为y a1 r , x N ,
x
即本利和 y 随存期x 变化的函数关系式为
2将 a 1000元, r 2.25%, x 5 代入上式, 得 5 y 1000 1 2.25% 1000 1.02255 1117 68元. .
后的本利和. 复利是把前一期的利息 和本金加在一起作本金再计算 ,
下一期利息的一种计算 利息方法 .
解 1已知本金为a 元, 利率为r, 则 1期后的本利和为y a a r a1 r ,
2 期后的本利和为y a1 r a1 r r a1 r ,
(精确到0.001) ?
在例 5中, 请借助计算器解答下列问题 :
作业
P55
3
2 . 2 . .进一步体会指数函数是现代科技、生 活中具有广泛用途的重要数学模型； 2.进一步体会从具体到抽象、从特殊到 一般的思维过程； 3.进一步体会归纳----总结的一般方法； 4.进一步学习使用计算器进行计算。
自学指导
1.什么叫做复利? 2.例4、例5中都体现了一种什么样的思维过 程？它们用的方法有什么共同之处？你能够 总结吗？
即5 期后的本利和约为 111768元. .
y a1 r , x N .
x
分层训练
一必做题
1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢 的3/4，写出存留污垢y与漂洗次数x的函 数关系式，若要使存留的污垢不超过原 1 来的 2 ，则至少要漂洗几次？
16
思考题 :
1第几期后本利和超过本金的1.5 倍 ? 2要使10 期后本利和翻一番, 利率应为多少 ?
一般地, 经过 x 年, 剩留量 y 0.84
x
x 0 .
例5 某种储蓄按复利计算利 , 若本金为a元, 每期利 息 率为r , 设存期是 x, 本利和 (本金加上利息 为 y 元 . )
1写出本利和y 随存期x变化的函数关系式 : 2如果存入本金1000元, 每期利率为 .25%, 试计算5期 2
例 4 某种放射性物质不断变 化为其他物质 每经 , 过一年, 这 种物质剩留的质量是原 来的84% .写出 这种物质的剩留量关于 时间的函数关系式 .
解 设该物质最初的质量为 , 经过 x年剩留量为y. 1
经过1 年, 剩留量 y 1 0.84 0.84 ;
1
经过2 年, 剩留量 y 0.84 0.84 0.842 ;