2018昌平高三二模文科数学

昌平区2018年高三年级第二次统一练习数学试卷(文科) 2018.5本试卷共5页，共150分. 考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集U R ,集合A ={x ∣x > 1或x <1 }，则UA =A. (,1)(1,)-∞-+∞B. (,1][1,)-∞-+∞C. (1,1)-D. [1,1]-2．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是 A. 1y xB. 3y xC. sin yx D. lg y x3. 在平面直角坐标系中，不等式组0,10,0x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是A. 1B. 12C. 14D. 184. 设0.21()2a =，2log 3b =，0.32c -=，则A. b c a >>B. a b c >>C. b a c >>D. a c b >>5. 执行如图所示的程序框图，若输入 x 值满足24x -<≤，则输出y 值的取值范围是A. [3,2]-B. [1,2]C. [4,0)-D. [4,0)- [1,2]6. 设,x y ∈R ，则||1||1x y ≤≤“且”是22+2x y ≤“”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是 A ．4 BC ． 2 D8. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款 A. 45元 B.350元 C. 400元 D. 445元第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在复平面内，复数1+ii对应的点的坐标为. 10. 若抛物线212x y =，则焦点F 的坐标是 .11. 在∆ABC 中，2a =，b =， π=3A ，则C = . 主视图俯视图左视图12. 能够说明命题“设，，a b c 是任意实数，若>>a b c ，则2a b c +>”是假命题的一组整数，，a b c 的值依次为 .13. 向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示， 则向量a ，b 所成角的余弦值是_________;向量a ，b 所张成的平行四边形的面积是__________.14．已知函数()22,1ln 1.x ax x f x a x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩‚‚①当1a =时，函数()f x 极大值是 ；②当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是 ____ .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题13分）已知函数()2sin()cos()3sin 244f x x x x =--+ππ. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最值及相应的x 值.16. （本小题13分） 已知数列{}n a 满足1211,2a a ==，数列{}n b 是公差为2的等差数列，且11n n n n b a a na +++=. （I ）求数列{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n a 前n 项的和n S .ab17.（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ），绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（I ）试根据样本数据估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数； (II) 若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.18.（本小题14分）如图，四边形ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，//,AF BE ,2,1AB BE AB BE AF ⊥===． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求证： //AC 平面DEF ； （III ）求三棱锥D -FEB 的体积.图1 A 地空气质量指数（AQI ） 0.0050.0030.0020.008图2 B 地空气质量指数（AQI ）FEBOADC19. (本小题14分)已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的经过点(0,1)，且离心率为2.（I ）求椭圆E 的标准方程；（II ）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0)M m ，，求实数m 的取值范围.20. (本小题13分)设函数3()f x x c =+,2()820g x x x =-，方程()()f x g x =有三个不同实根123123,,()x x x x x x <<.（I ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）求c 的取值范围； （III ）求证：124x x +>.昌平区2018年高三年级第二次统一练习数学试卷(文科)参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)9. (1,1)- 10. (0,3) 11. 5π(75)12︒或12. 1,2,3--- 13. 45; 3 14. 1e ；1a <三、解答题(共6小题，共80分) 15.（共13分）解：（I ）π()sin(2)22f x x x =-cos22x x=+π2sin(2)6x =+所以()f x 的最小正周期是π. -------------------8分 （II ）因为 π02x ≤≤, 所以 02πx ≤≤,所以 ππ7π2666x ≤≤+,当π6x =时，max ()2f x =. 当π2x =时，m ()1in -f x =. --------------------13分16.（共13分）解：（Ⅰ）因为 11n n n nb a a na +++=，所以 1221b a a a += . 又因为1212a a =1，= ,所以11b =.所以数列{}n b 的通项公式是2-1n b n =. --------------------7分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知2-1n b n =，且11n n n n b a a na +++=.所以11(21)n n nn a a na ++-+=，得到112n n a a += .所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 那么数列{}n a 前n 项和111()222112nn n S --==--. --------------------13分17.（共13分）解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.0080.007)500.75+⨯=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天 .--------------------4分（Ⅱ）A 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.003503⨯⨯=个，设为123,,a a a ，空气质量指数在[200,250)内，为200.001501⨯⨯=个，设为4a ， B 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.002502⨯⨯=个，设为12,b b ， 空气质量指数在[200,250)内，为200.003503⨯⨯=个，设为345,,b b b ， 设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ， 则基本事件空间1112131415212223242531323334354142434445{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ω=，基本事件个数为20n =，434445{,,}C a b a b a b =，包含基本事件个数为3m =， 所以A ，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为()P C =--------------------13分证明：（I ）因为正方形ABCD ,所以AC BD ⊥. 又因为平面ABEF ⊥平面ABCD , 平面ABEF平面ABCD=AB ,,AB BE ⊥ BE ⊂平面ABEF ,所以BE ⊥平面ABCD. 又因为AC ⊂平面ABCD. 故BE ⊥AC. 又因为BEBD B =，所以 AC ⊥平面BDE . --------------------5分（II ）取DE 的中点G ，连结OG ,FG ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点． 则OG //BE ，且12OG BE =． 由已知AF //BE ，且12AF BE =，则//AF OG 且AF OG =，所以四边形AOGF 为平行四边形，所以AO //FG ， 即AC //FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以AC //平面DEF ． --------------------10分（III ）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，平面ABEF平面ABCD=AB ,所以//,AD BC AD AB ⊥.由（I ）知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD 所以BE AD ⊥ 所以 AD ⊥平面BEF .所以11143323D BEFBEF V S AD BE AB AD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. --------------------14分GFEBOADC解：（Ⅰ）由题意，得222122b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩， 解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 所以椭圆E 的标准方程是2212x y +=． -------------------5分 （II ）（1）当直线x AB ⊥轴时，m = 0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，由22(1)220y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，得()()2222124210k x k x k +-+-=， 由2222(4)8(12)(1)0k k k ∆=--+->，得k ∈R ．设()11,x y A ，()22,x y B ，则2212122242(1)1212k k x x x x k k-+=⋅=++，． 所以121222(2)12k y y k x x k -+=+-=+，所以线段AB 中点C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．由题意可知，0k ≠，故直线C M 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令x = 0，212k y k =+，即212k m k =+当k > 0时，，得2120=11242k m k kk<=≤++，当且仅当22k =时“=”成立． 同理，当 k < 0时，2120=1122k m k kk>=≥++，当且仅当2k =时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为2244⎡-⎢⎣⎦．--------------------14分解：（Ⅰ）2'()3x f x =，'(1)3f =，又(1)1f c =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：32y x c =+-. --------------------3分（Ⅱ）设32()820h x x x x c =-++，2'()31620h x x x =-+， 令'()0f x =，则2,x =或103x =当x 变化时，'()h x 与()h x 的变化情况如下表：所以，当160,c +>且027c +<时， 因为(0)0,(4)160h c h c =<=+>，故存在1(0,2),x ∈210(2,),3x ∈310(,4),3x ∈使得123()()()0h x h x h x ===由()h x 的单调性知，当且仅当400(16,)27c ∈--时，函数()h x 有三个不同的零点， 即当且仅当400(16,)27c ∈--时，方程()()f x g x =有三个不同实根. -------------------9分 （III ）由（Ⅱ）知1(0,2),x ∈210(2,),3x ∈224(,2)(0,2),3x -∈⊆()h x 在(0,2)上单调递增，则122144x x x x +>⇔-<212(4)()()0h x h x h x ⇔-<==222()()(4)0u x h x h x ⇔=-->，210(2,),3x ∈ 由32322222222(4)(4)8(4)20(4)4416h x x x x c x x x c -=---+-+=-+-++，3232222222222()()(4)(820)(4416)u x h x h x x x x c x x x c =--=-++--+-++322222(6128)x x x =-+-设32()2122416u x x x x =-+-，则2'()6(2)u x x =-所以当10(2,)3x∈时，'()0u x>，即()u x在10(2,)3上单调递增，而(2)0u=所以当10(2,)3x∈时，()(2)0u x u>=，所以2()0u x>，210(2,)3x∈所以124x x+>. --------------------13分11。