大学物理A第九章 简谐振动
大学物理_振动
变化慢 (起调制作用信息)
若 1， 2 均较大，而差值较小，则合振动 的˝振幅˝时而大（为 2A），时而小（为 0）
26
1 2 | 1 2 |
这种两个频率都较大但是相差又很小、同方向 简谐振动合成时，合振动有忽强忽弱的现象， 称为“拍”。 单位时间内振动加强（或减弱）的次数叫拍频。
2 π J 2 π mgb mgb J
思考：若一单摆的振动周期与此相同，单摆的 摆长应是多少？ 11
例. 已知：U 形管内液体质量为m，密度为 ，
管的截面积为S 。 开始时，造成管两边液柱面 有一定的高度差，忽略管壁和液体间的摩擦。 试判断液体柱振动的性质。
0 -y
解法1. 分析能量 1 2 y Ep ( gSy ) y ky 2 y S k 2 gS SHM
(1)角（圆）频率 (2)振幅A
k m
2
由系统本身固 有情况决定
x0 2 或 A v0 (3)初相 tan x0 A 、 都可由初始条件和系统本身情况决定。 x “ 与何时开始计时有关!” A
2
v0
2 E0 k
相差与时间差的关系：
0
2 t T
2k π (k 0,1,2)
可得
A na
,
各分振动的初相差为
2k π （ k , 为 不 等 于 nk 的整数) n 可得 A 0 封闭多边形!
例. n4 时 k , (0),1,2,3, (4),5,6,7
k=2
k=1
k=3
24
（2）不同频率
利用付里叶分解，可将任意振动 分解成若干SHM 的叠加。 对周期性振动： T „„周期，
大学物理简谐振动
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同（同相）
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个 部分之间的弹性力作用，振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时，x1+x3 振幅最大：30
10
3
4
30 20 时，x2+x3 振幅最小：30 20
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t
大学物理(9.2.2)--单摆复摆简谐运动的能量
大学物理 第九单元 振动
第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
动能
Ek
1 2
mv 2
1 2
m
2
A2
sin
2
(t
)
( 2
k m
)
1 2
kA2
sin 2 (t
)
Ek
1 2
kA2
sin
2
(t
)
Ek max
1 kA2 2
,
Ek min 0
Ek
1 T
t T t
Ek dt
0
O
l
*C
P
（ C 点为质 心）
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
d 2
dt 2
2
0
第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
m cos(t )
简谐振动
mgl J
T 2π 2π
J mgl
O
l
*C
P
（ C 点为质心）
东北大学 理学院 物理系
解（ 3 ）Esum E k,max 2.0 103 J
（ 4 ）Ek Ep 时 Ep 1.0 103 J
由 Ep
1 kx2 2
1 2
m 2 x 2
x2
2Ep
m 2
0.5 104 m 2
x 0.707 cm
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
大学物理 第九单元 振动
第 九 单 元 振 动 第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
大学物理A第九章 简谐振动
第九章 简谐振动一、填空题（每空3分）9-1 质点作简谐振动，当位移等于振幅一半时，动能与势能的比值为 ，位移等于 时，动能与势能相等。
（3:1,22A ±）9-2两个谐振动方程为()120.03cos (),0.04cos 2()x t m x t m ωωπ==+则它们的合振幅为 。
（0.05m ）9-3两个同方向同频率的简谐振动的表达式分别为X 1=6.0×10-2cos(T π2t+4π) (SI) , X 2=4.0×10-2cos(T π2t -43π) (SI) ,则其合振动的表达式为______(SI).( X=2.0×10-2cos(T π2t+4π) (SI)) 9-4一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由平衡位置运动到2A处所需要的最短时间为_________。
（12T） 9-5 有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )4cos(1πω+=t A x m 、)43cos(32πω+=t A x m ，则合振动的振幅为 。
(2 A)9-6 已知一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由正向最大位移处运动到2A处所需要的最短时间为_________。
(6T) 9-7有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )75.010cos(03.01π+=t x m 、)25.010cos(04.02π-=t x m ，则合振动的振幅为 。
（0.01m ）9-8 质量0.10m kg =的物体，以振幅21.010m -⨯作简谐振动，其最大加速度为24.0m s -⋅，通过平衡位置时的动能为 ；振动周期是 。
(-32.010,10s J π⨯) 9-9一物体作简谐振动，当它处于正向位移一半处，且向平衡位置运动，则在该位置时的相位为 ；在该位置，势能和动能的比值为 。
（3,1:3π）9-10质量为0.1kg 的物体，以振幅21.010m -⨯作谐振动，其最大加速度为14.0m s -⋅，则通过最大位移处的势能为 。
大学物理第九章振动学基础
处2向AX轴负方向运动,而 2
试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。 以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。
解：设两质点的谐振动方程分别为
x1
A cos (2
T
t
10)
20 A
x2
A cos (2
T
t
20)
10
4
20
0
3
4
A
2
1 10
O
X
质点1第一次经过平衡位置的时刻
t (2 / T )t 4
第九章 振动学基础
第九章 振动学基础
9-0 教学基本要求 9-1 简谐振动的规律 9-2 简谐振动的描述 9-3 简谐振动的合成
教学基本要求
一、理解简谐振动的基本特征, 了解研究谐振子模型的意义. *二、能建立一维简谐振动的微分方程, 能根据给定的初始条 件写出一维简谐振动的运动方程, 并理解其物理意义.
O后，仅因回复力(弹性力) 和惯性而自由往返运动.
F kx ma
F弹
x ox
a
d2x dt 2
F
m
k x m
d2x dt 2
k m
x
0
令 2 k
m
有
d2x dt 2
2
x
0
弹簧振子的振动微分方程(动力学方程)
解微分方程得
(1) 位移时间关系(振动方程)
x A cos(t )
(2)速度时间关系
2. 简谐振动的能量有什么特点?
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 研究谐振子模型的意义何在？
一、简谐振动的定义
1.弹簧振子 一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端
大学物理 第9章 简谐振动
9.2 简谐振动的规律 9.3 简谐振动的合成
9.1 简谐振动的定义
9.1.1 弹簧振子的振动
9.1.2 简谐振动的定义
9.1.3 单摆的运动规律
9.1.4 LC振荡回路中电容器 上电量的变化规律
振动是与人类生活和科学技术密切相关的一种 基本运动形式。
广义的振动 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
下面我们重点对合振动的振幅进行讨论
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 2
t 2 t 1 2 1
讨论：两种特殊情况
(1) 21=2k (k=0,1,2,…) 两分振动同相
A A1 A 2
o
考虑方向 F mg 简谐振动！
mg
0
F ma mg
t 0
l
又 a
l d
2
dv dt
l
d
2
dt
2
T
F
O
dt
2
g
即
d 2 g 0 2 l dt
d （v l ） dt
mg
g l
2 T 2
2
x
A x A y cos t
2 2
（2）相位差 y x ，轨迹方程为
x Ax y Ay 0
x
2 2
y
2 2
2
xy Ax Ay
cos(
Ax
Ay
y
x ) sin (
2
y
大学物理系列之简谐振动
x A cos ( t﹢ ) 0.104 (m)
A
0.19 ( m ·s -1 )
A
1.03 ( m ·s -2 )
简谐振动的
曲线
0.04
完成下述简谐振动方程
0.04
例一
1
2
A = 0.04 (m) T = 2 (s)
= 2 / T = (rad /s )
0.04
SI
2
t=0 时
x0 Acos 0
2Ep
m 2
0.5104 m2
x 0.707cm
描述谐振动的方法：
1. 函数法： x Acos(t )
2. 曲线法： 3. 旋转矢量法：
x Acos(t )
t=t
: 初相位
t+ t = 0
A
x t+ ：相位
o
x
x = A cos ( t﹢ )
A
A
11
t
2
t
物体x 正 越Ac过os原(点t ,以最) 大速率运动.
2
v0 A sin 0
二 单摆的振动
模型
在不能延伸的轻线下端悬一小球m，小 球在重力和拉力作用下，在铅直平面内 作往复运动，这样的振动系统称为单摆。
平衡位置---铅直方向 F 0
悬线与铅直方向之间的角度θ作为小球 位置的变量，称为角位移，规定悬线在 铅直线右方时，角位移为正 。
任意位置 F mg sin
物体离开平衡位置 的最大位移的绝对 值称为振动的振幅。
X
-A
A
平衡位置
2 周期和频率
（1） 周期
x xt 图
A
o
Tt
T
完成一次振动需时间-----振动的周期。 A
大学物理简谐振动知识点及试题带答案
简谐振动一、基本要求1、掌握简谐振动的定义，描述简谐振动的各物理量及其相互关系，会根据定义来判断一各物体的运动是不是简谐振动。
2、掌握简谐振动的旋转矢量表示法。
3、掌握简谐振动的基本特征，能根据一定的初始条件写出简谐振动的运动方程。
4、掌握同方向频率的两个简谐振动的合成，了解相互垂直同频率的简谐振动的合成。
二、主要内容1、简谐振动的表达式（运动方程） cos()x A t ωϕ=+三个特征量：振幅A ，决定与振动的能量；角频率ω，决定于振动系统的固有属性； 初相位ϕ，决定于振动系统初始时刻的状态。
简谐运动可以用旋转矢量来表示。
2、振动的相位：()t ωϕ+两个振动的相差：同相2k ϕπ∆=，反相(21)k ϕπ∆=+3、简谐振动的运动微粉方程：2220d x x dtω+=4、简谐振动的实例弹簧振子：220,2d x k x T dt m π+==单摆小角度振动：220,2d g T dt l θθ+==LC振荡：2210,2d q q T dt LCπ+== 5、简谐振动的能量：222111()222k P dx E E E m kx kA dt =+=+= 6、两个简谐振动的能量（1）同方向同频率的简谐振动的合成合振动是简谐振动，合振动的振幅和初相位由下式决定A =11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+（2）相互垂直的两个同频率的简谐振动的合成合运动的轨迹一般为椭圆，其具体形状决定于两个分振动的相差和振幅。
当2k ϕπ∆=或(21)k π+时，合运动的轨迹为直线，这时质点在做简谐振动。
三、习题与解答1、两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。
第一个质点的振动方程为)cos(1ϕω+=t A x 。
某时刻当第一个质点正在平衡位置向负方向运动时，第二个质点正在最大位移处。
则第二个质点的振动方程为：（ B ）（A ）)2cos(2πϕω++=t A x （B ）)2cos(2πϕω-+=t A x（C ）)23cos(2πϕω-+=t A x （D ）)cos(2πϕω++=t A x 2、一物体做简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A-且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为：（ D ）3、一质点作简谐振动，振动方程)cos(ϕω+=t A x ，当时间 t =T/4 时，质点的速度为：( C )（A ） ϕωsin A - (B) ϕωsin A （C ）ϕωcos A - （D ）ϕωcos A4、一质点作谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为（ A ）（A ）T /6（B ）T /12 （C）T /4 （D ）T /85、有两个沿x 轴做简谐运动的质点，其频率、振幅皆相同，当第一个质点自平衡位置向负方向运动时，第二个质点在处（A 为振幅）也向负方向运动，则两者的相位差（12ϕϕ-）为：（ C ）2Ax -=（A ）2π （B ）32π （C ）6π （D ）65π6、质量为10×10－3 kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按20.1cos(8)3x t ππ=+(SI)的规律做谐振动，求：(1)振动的周期、振幅、初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等？ (3)t 2＝5 s 与t 1＝1 s 两个时刻的位相差. 解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：3/2,s 412,8,m 1.00πφωππω===∴==T A 又 πω8.0==A v m 1s m -⋅ 51.2=1s m -⋅2.632==A a m ω2s m -⋅(2) N 63.0==ma F mJ 1016.32122-⨯==m mv E J 1058.1212-⨯===E E E k p当p k E E =时，有p E E 2=， 即)21(212122kA kx ⋅= ∴ m 20222±=±=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t7、一个沿x 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表出.如果t ＝0时质点的状态分别是：(1)x 0＝－A ；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过2Ax =处向负向运动； (4)过x =处向正向运动.试求出相应的初位相，并写出振动方程.解：因为 ⎩⎨⎧-==000sin cos ϕωϕA v A x将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有)2cos(1πππϕ+==t T A x)232cos(232πππϕ+==t T A x)32cos(33πππϕ+==t T A x)452cos(454πππϕ+==t T A x8、一质量为10×10－3 kg 的物体做谐振动，振幅为24 cm ，周期为4.0 s ，当t ＝0时位移为＋24 cm.求：(1)t ＝0.5 s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x ＝12 cm 处所需的最短时间； (3)在x ＝12 cm 处物体的总能量. 解：由题已知 s 0.4,m 10242=⨯=-T A ∴ 1s rad 5.02-⋅==ππωT又，0=t 时，0,00=∴+=ϕA x 故振动方程为m )5.0cos(10242t x π-⨯=(1)将s 5.0=t 代入得0.17m m )5.0cos(102425.0=⨯=-t x πN102.417.0)2(10103232--⨯-=⨯⨯⨯-=-=-=πωxm ma F方向指向坐标原点，即沿x 轴负向． (2)由题知，0=t 时，00=ϕ，t t =时 3,0,20πϕ=<+=t v A x 故且 ∴ s 322/3==∆=ππωϕt (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为J101.7)24.0()2(10102121214223222--⨯=⨯⨯⨯===πωA m kA E9、有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0 g 的物体时，伸长为4.9 cm.用这个弹簧和一个质量为8.0 g 的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0 cm 后，给予向上的初速度v 0＝5.0 cm·s －1，求振动周期和振动表达式. 解：由题知12311m N 2.0109.48.9100.1---⋅=⨯⨯⨯==x g m k 而0=t 时，-12020s m 100.5m,100.1⋅⨯=⨯-=--v x ( 设向上为正)又 s 26.12,51082.03===⨯==-ωπωT m k 即 m102)5100.5()100.1()(22222220---⨯=⨯+⨯=+=∴ωv x A45,15100.1100.5tan 022000πφωϕ==⨯⨯⨯=-=--即x v ∴ m )455cos(1022π+⨯=-t x10、图为两个谐振动的x －t 曲线，试分别写出其谐振动方程.题10图解：由题10图(a)，∵0=t 时，s 2,cm 10,,23,0,0000===∴>=T A v x 又πφ 即 1s rad 2-⋅==ππωT故 m )23cos(1.0ππ+=t x a 由题10图(b)∵0=t 时，35,0,2000πϕ=∴>=v A x 01=t 时，35,0,2000πϕ=∴>=v A x又 ππωϕ253511=+⨯=∴ πω65=故 m t x b )3565cos(1.0ππ+=11、有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20 m ，位相与第一振动的位相差为6π，已知第一振动的振幅为0.173 m ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差.解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知01.02/32.0173.02)2.0()173.0(30cos 222122122=⨯⨯⨯-+=︒-+=A A A A A ∴ m 1.02=A 设角θ为O AA 1，则θcos 22122212A A A A A -+=即 01.0173.02)02.0()1.0()173.0(2cos 2222122221=⨯⨯-+=-+=A A A A A θ 即2πθ=，这说明，1A 与2A 间夹角为2π，即二振动的位相差为2π.12、试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：(1)125cos(3),375cos(3);3x t cm x t cm ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(2)125cos(3),345cos(3).3x t cm x t cm ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解： (1)∵ ,233712πππϕϕϕ=-=-=∆ ∴合振幅 cm 1021=+=A A A (2)∵ ,334πππϕ=-=∆∴合振幅 0=A13、一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为120.4cos(2),650.3cos(2).6x t m x t m ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振幅和初相，并写出谐振动方程. 解：∵ πππϕ=--=∆)65(6 ∴ m 1.021=-=A A A 合3365cos 3.06cos 4.065sin3.06sin4.0cos cos sin sin tan 22122211=+-⨯=++=ππππϕϕϕϕφA A A A ∴ 6πϕ=其振动方程为m )62cos(1.0π+=t x14、若简谐运动方程为0.10cos(200.25)()x t m ππ=+，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）2t s =时的位移、速度和加速度。
大学物理知识点总结(振动与波动)
简谐运动的合成
A2
21 2 k k 0 , 1 , 2 ,
AA1A2 21 (2 k 1 )
合振幅最大，振
动加强
o
k 0 , 1 , 2 ,
若已知某质点的振动曲线，则由曲线可看出，t = 0
时刻质点振动的初位置的大小和正负及初速度的正负。
y
关键：确定振动初速度的正负。
o
t
12
[例4] 一列平面简谐波中某质元的振动曲线如图。
求： 1）该质元的振动初相。
2）该质元在态A、B 时的振动相位分别是多少？
解：1）由图知初始条件为：
y
A
B
t0时y， 022Av00 由旋转矢量法知：
2）平均能量密度：
w 1 A22
2
3）能流密度(波的强度)：
Iwu12A2u
2
波在介质中的传播规律
基本原理：传播独立性原理，波的叠加原理。 现象：波的反射（波疏媒质 波密媒质 界面处存在半波损失）
波的干涉 1）相干条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定
2）加强与减弱的条件： 212r2r1
3、描述波动的物理量：
①波长 λ ：在同一波线上两个相邻的相位差为2 的质元
之间的距离。
②周期T ：波前进一个波长的距离所需的时间。
③频率ν ：单位时间内通过介质中某点的完整波的数目。
④波速u ：波在介质中的传播速度为波速。
各物理量间的关系：
u
T
T , 仅由波源决定，与媒质无关。
2
x
1
2
A|A1A2|
大学物理AII_振动
x
0 A
t
T 2 /
例8：
根据下列振动方程求振动物体的振幅、角频率及初相位。
（A）
x A cos(t ) 振幅： A 角频率： x A sin(t ) 振幅： A 角频率：
（ ） 初相位：
（B）
初相位：（ ）
2
（C）
x A cos （t ） 振幅： A 角频率：
x1 Acos1t
该质点实际的运动情况：
x2 Acos2t
x x1 x2
2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t)
振幅
相互垂直的同频率简谐振动的合成：
设一质点同时参与两个简谐振动：
x A1 cos( t 10 )
合振动的轨迹方程：
2 t ) T
振动方程。
y
y ( A1 A2 ) cos(A 1源自A2y1 (t )o
y2 (t )
T
t
A1
0
A2
y
例14：
已知两个简谐运动的振动表达式分别为
x1 2 cos(10t / 2) x2 2 sin(10t / 2)
( SI )
求：（1） 合振动的表达式；x 2 2 cos(10 t 3 / 4)
t
o
x
A
同频率简谐振动的相位差比较：
设两个简谐运动的表达式分别为：
x1 A1 cos(t 1 )
相位差：
x2 A2 cos(t 2 )
（t 2 ) （t 1）＝2 1
1、2同相
大学物理第九章简谐运动
t 确定, 振动状态确定
O
A
O X X
初相位：=/3
判断： t = 0, 振子的初位移、初速度 x0=A/2, v0<0（向x轴负方向运动）
用旋转矢量描述简谐振动：
O
O X 判断： t = 0,
A
X
=/2
振子的初位移、初速度
x0=0, v0<0 （向x轴负方向运动）
用旋转矢量描述简谐振动：
14
讨论
相位差：表示两个相位之差
（1）对于两个同频率的简谐运动，相位 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）. x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1 )
2 1
15
合成
简谐运动 谐振子 分解 复杂振动
作简谐运动的物体
8
弹簧振子的振动模型
弹簧和一谐振子组成的振动系统。
l0 k
m
x
C
o
B
x xB F FB
x 0 F 0 平衡位置
x xc v 0
9
振动的成因
a 回复力
b 惯性
10
弹簧振子的动力学分析
F
o
F kx ma
2
m
x
解得 x A cos(t )
简谐运动方程
积分常数，根据初始条件确定
12
由 x A cos(t )
简谐运动方程
简谐振动的各 阶导数也都作 简谐振动
dx 得 v A sin(t ) dt A cos t 2 d2 x a 2 A 2 cos(t ) dt
大学物理第09章作业
第九章 振 动
12
物理学
第五版
第九章作业题
旋转矢量法？ 旋转矢量法？
x
0.10
0.05
P
tQ
Q
o
t
−A
A2
x
o
tP A
tO
- 0.1
第九章
振 动
13
物理学
第五版
第九章作业题
9-19 有一单摆，长为 有一单摆， 1.0m，最大摆角为 0，如 ，最大摆角为5 图所示。 图所示。 （1）求摆的角频率和周期； ）求摆的角频率和周期； 2）设开始时摆角最大， （2）设开始时摆角最大， 试写出单摆的运动方程； 试写出单摆的运动方程； （3）当摆角为 0时的角速 ）当摆角为3 度和摆球的线速度 。
物理学
第五版
第九章作业题
9-6 有一个弹簧振子，振幅 A = 2.0 × 10 -2 m , 有一个弹簧振子， 周期 T = 1.0s , 初相 ϕ = 3π 4 , 试写出它的运动 方程， 方程，并作出 x-t 图、v-t 图和a-t 图。 解：弹簧振子的振动是简谐振动，只要确定 弹簧振子的振动是简谐振动， 了三个特征量 A、ω 和ϕ ，其运动方程为： 其运动方程为： x = A cos(ωt + ϕ )
第九章 振 动
ϕ0 = - π 3
10
物理学
第五版
第九章作业题
x(m)
0.10 0.05 P 4.0
0
t(s)
则：x = 0.10 cos( ω t - )
3
π
曲线可知： 由 x-t 曲线可知：
t = 4s时，ϕ = π 2 = ω × 4 - π 3
5π 运动方程为： 运动方程为：x = 0.10 cos( t - π 3) 24
大学物理简谐振动
大学物理简谐振动在大学物理的广袤知识海洋中，简谐振动是一个极其重要的概念。
它不仅在物理学的理论体系中占据着关键的地位，而且在实际生活和众多科学技术领域都有着广泛而深刻的应用。
简谐振动，简单来说，是一种理想化的周期性运动。
想象一下一个小球在光滑水平面上连接着一个弹簧，当小球被拉离平衡位置然后松手，它就会在弹簧的作用下做往复运动，这种运动就是简谐振动。
我们先来看看简谐振动的数学描述。
它可以用一个正弦或余弦函数来表示，形如 x ＝A sin(ωt ＋φ) ，其中 x 是位移，A 是振幅，ω 是角频率，t 是时间，φ 是初相位。
振幅 A 决定了振动的最大位移，也就是振动的“幅度”；角频率ω 则反映了振动的快慢；初相位φ 则决定了振动的起始位置。
再深入理解一下简谐振动的特点。
首先，它的加速度与位移成正比，且方向总是指向平衡位置。
这意味着，当物体偏离平衡位置越远，它受到的回复力就越大，加速度也就越大，从而促使它更快地返回平衡位置。
其次，简谐振动的能量是守恒的。
在振动过程中，动能和势能相互转化，但总能量始终保持不变。
那么，简谐振动在实际生活中有哪些例子呢？最常见的莫过于钟摆的运动。
钟摆通过重力和绳子的拉力作用，在一定角度范围内做简谐振动，从而实现准确计时。
此外，乐器中的弦振动也是简谐振动的一种表现。
比如吉他弦，当被拨动时，弦在固定的两个端点之间做简谐振动，产生特定频率的声音。
在工程技术领域，简谐振动也有着重要的应用。
例如，汽车的减震系统就利用了简谐振动的原理。
当汽车行驶在不平坦的路面上时，减震器通过弹簧和阻尼器的作用，使车身的振动尽可能接近简谐振动，从而减少颠簸，提高乘坐的舒适性和稳定性。
对于学习大学物理的同学们来说，理解和掌握简谐振动有着重要的意义。
它是进一步学习波动、光学等知识的基础。
通过研究简谐振动，我们能够培养对物理现象的观察、分析和解决问题的能力。
在解决简谐振动相关的问题时，通常需要运用牛顿第二定律、能量守恒定律等物理定律，并结合数学工具进行计算和分析。
大学物理第九章振动
第9章振动本章要点：1. 简谐振动的定义及描述方法.2. 简谐振动的能量3. 简谐振动的合成物体在一定位置附近作周期性的往返运动，如钟摆的摆动，心脏的跳动，气缸活塞的往复运动，以及微风中树枝的摇曳等，这些都是振动。
振动是一种普遍而又特殊的运动形式，它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置附近，局限在一定的空间范围内往返运动，故这种振动又被称为机械振动。
除机械振动外，自然界中还存在着各式各样的振动。
今日的物理学中，振动已不再局限于机械运动的范畴，如交流电中电流和电压的周期性变化，电磁波通过的空间内，任意点电场强度和磁场强度的周期性变化，无线电接收天线中，电流强度的受迫振荡等，都属于振动的范畴。
广义地说，凡描述物质运动状态的物理量，在某个数值附近作周期性变化，都叫振动。
9.1 简谐振动9.1.1 简谐振动实例在振动中，最简单最基本的是简谐振动，一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合成的结果。
在忽略阻力的情况下，弹簧振子的小幅度振动以及单摆的小角度振动都是简谐振动。
1. 弹簧振子质量为m的物体系于一端固定的轻弹簧(弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不计)的自由端，这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振子。
如将弹簧振子水平放置，如图9-1所示，当弹簧为原长时，物体所受的合力为零，处于平衡状态，此时物体所在的位置O就是其平衡位置。
在弹簧的弹性限度内，如果把物体从平衡位置向右拉开后释放，这时由于弹簧被拉长，产生了指向平衡位置的弹性力，在弹性力的作用下，物体便向左运动。
当通过平衡位置时，物体所受到的弹性力减小到零，由于物体的惯性，它将继续向左运动，致使弹簧被压缩。
弹簧因被压缩而出现向右的指向平衡位置的弹性力，该弹性力将阻碍物体向左运动，使物体的运动速度减小直到为零。
之后物体又将在弹性力的作用下向右运动。
在忽略一切阻力的情况下，物体便会以平衡位置O为中心，在与O点等距离的两边作往复运动。
图中,取物体的平衡位置O为坐标原点，物体的运动轨迹为x轴，向右为正方向。
大学物理(振动波动学知识点总结).
2
y
B
2）由图知A、B 点的振动状态为：
A
yA 0 vA 0
由旋转矢量法知：
yB A vB 0
B 0
A
2
3、已知波形曲线求某点处质元振动的初相位：
若已知某时刻 t 的波形曲线求某点处质元振动的初相位，则需从波形
曲线中找出该质元的振动位移 y0 的大小和正负及速度的正负。
y
u
关键：确定振动速度的正负。
大学物理
知识点总结
（机械振动与机械波）
第九章 机械振动与机械波
机械振动 简谐振动
简谐振动的 特征
简谐振动的描 述
简谐振动的合 成
阻尼振动 受迫振动
机械波
机械波的产 生
机械波的描 述
波动过程中能量 的传播
波在介质中的 传播规律
简谐振动的特征
回复力：
f kx
动力学方程： 运动学方程：
d2 x dt2
多普勒效应： （以媒质为参考系）
1）S 静止，R 运动 2）S 运动，R 静止
一般运动：
R
u VR u
s
s
R
u u Vs
s
R
R
u VR u Vs
s
习题类别：
振动：1、简谐振动的判定。（动力学） （质点：牛顿运动定律。刚体：转动定律。）
2、振动方程的求法。 ①由已知条件求方程②由振动曲线求方程。
2）若波形图对应t = 0 时，点A处对应质元的振动初相位。 3）若波形图对应t = T/4 时，点A处对应质元的振动初相位。
之间的距离。
②周期T ：波前进一个波长的距离所需的时间。
③频率ν ：单位时间内通过介质中某点的完整波的数目。
大学物理基础知识简单谐振动与波动
大学物理基础知识简单谐振动与波动大学物理基础知识简单谐振动与波动简单谐振动是物理学中一种重要的运动形式。
它在自然界和人类生活中都有广泛的应用，例如钟摆的摆动、弹簧的振动、电路中的交流电等等。
本文将介绍简单谐振动的基本概念和特点，并探讨与之相关的波动现象。
一、简单谐振动的基本概念简单谐振动是指一个物体在一个恢复力作用下以最简单的方式进行周期性振动的运动形式。
它具有以下几个基本特点：1. 平衡位置：简单谐振动系统的平衡位置是指物体在没有外力作用时的位置，也是物体往复振动的中心位置。
2. 振幅：简单谐振动的振幅是指物体从平衡位置往一个方向偏离的最大距离，用A表示。
3. 周期：简单谐振动的周期是指物体完成一次完整振动所需的时间，用T表示。
4. 频率：简单谐振动的频率是指单位时间内发生的完整振动次数，用f表示。
它与周期的倒数成正比，即f=1/T。
二、简单谐振动的数学描述简单谐振动可以通过一个简单的数学模型进行描述。
对于一个质点的简单谐振动，其位移随时间t的变化可以由以下公式表示：x = Acos(ωt + φ)其中，x是质点距离平衡位置的位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是初相位。
角频率ω和频率f之间的关系可以通过以下公式计算：ω = 2πf初相位φ可以用初始条件来确定，例如质点的初始位移和初始速度。
简单谐振动的物体在振动过程中会出现一系列重复的运动状态，这些状态被称为振动的相位。
相位可以通过质点的位置和速度来描述，常用的相位有零相位、正相位和负相位。
三、简谐振动的能量变化简谐振动系统的能量在振动过程中会发生变化。
振动系统的总能量包括势能和动能两部分。
势能由于弹性势能而产生，它与物体的位移平方成正比。
动能由于物体的速度而产生，它与物体的速度平方成正比。
在简谐振动中，势能和动能之和保持不变，总能量恒定。
当物体位于极端位置时，动能达到最大值，而势能为零；当物体通过平衡位置时，势能达到最大值，而动能为零。
大学物理教案(第五版)下册马文蔚改编09-1简谐振动
θ
θ
l
c mg
dθ mgl = sin θ 2 dt J
2
对转动轴, 对转动轴,
dθ mgl sin θ = J 2 dt
2
M = Jα
dθ mgl θ = 2 J dt 2 d θ mgl + θ =0 2 J dt
2
d θ mgl Z + θ =0 + 2 J dt 2 θ lc mgl d θ 2 2 +ω θ = 0 令ω = 2
d x k + x =0 2 dt m
d 2x 2 +ω x = 0 2 dt
2
k = ω2 令: X m
解此微分方程: 解此微分方程:
x = Acos(ωt +)
A = l2 l1 = 0
x = (l2 l1) cosωt
4)复摆 4)复摆
很小 已知: 已知: 轴至质心的距离 l 摆的质量m及转动惯量 及转动惯量J 摆的质量 及转动惯量
T
a t图
T
t
= ω x
2
Aω
2
三)描述简谐振动的物理量 x = Acos( 1)振幅 : ) 离开平衡位置最大位移的绝对值
ωt +)
x = Acos(ωt +)
类似的
xmax = A
v = Aω sin( ωt +) vm = Aω 速度振幅 ax 2 2 a = Aω cos(ωt +) am = Aω 加速度振幅 ax
2
J
所以小角度复摆作谐振动
dt
J = 2π T= mgl ω
对于单摆
2π
mg
J = ml
2
大学物理第九章-十四章 振动--习题集(含答案)
第九章 振动一、简答题1、如果把一弹簧振子和一单摆拿到月球上去,它们的振动周期将如何改变? 答案：弹簧振子的振动周期不变，单摆的振动周期变大。
2、完全弹性小球在硬地面上的跳动是不是简谐振动，为什么？答案：不是，因为小球在硬地面上跳动的运动学方程不能用简单的正弦或余弦函数表示，它是一种比较复杂的振动形式。
3、简述符合什么规律的运动是简谐运动答案：当质点离开平衡位置的位移`x`随时间`t`变化的规律，遵从余弦函数或正弦函数()ϕω+=t A x cos 时，该质点的运动便是简谐振动。
或：位移x 与加速度a 的关系为正比反向关系。
4、怎样判定一个振动是否简谐振动？写出简谐振动的运动学方程和动力学方程。
答案：物体在回复力作用下，在平衡位置附近，做周期性的线性往复振动，其动力学方程中加速度与位移成正比，且方向相反:x dtx d 222ω-= 或：运动方程中位移与时间满足余弦周期关系:)cos(φω+=t A x5、分别从运动学和动力学两个方面说明什么是简谐振动？答案：运动学方面：运动方程中位移与时间满足正弦或余弦函数关系)cos(φω+=t A x动力学方面：物体在线性回复力作用下在平衡位置做周期性往复运动，其动力学方程满足6、简谐运动的三要素是什么？答案： 振幅、周期、初相位。
7、弹簧振子所做的简谐振动的周期与什么物理量有关？答案： 仅与振动系统的本身物理性质：振子质量m 和弹簧弹性系数k 有关。
8、如果弹簧的质量不像轻弹簧那样可以忽略，那么该弹簧的周期与轻弹簧的周期相比，是否有变化，试定性说明之。
答案：该振子周期会变大，作用在物体上的力要小于单纯由弹簧形变而产生的力，因为单纯由形变而产生的弹力中有一部分是用于使弹簧产生加速度的，所以总体的效果相当于物体质量不变，但弹簧劲度系数减小，因此周期会变大。
9、伽利略曾提出和解决了这样一个问题：一根线挂在又高又暗的城堡中，看不见它的上端而只能看见其下端，那么如何测量此线的长度？答案：在线下端挂一质量远大于线的物体，拉开一小角度，让其自由振动，测出周期T ，便可依据单摆周期公式gl T π2=计算摆长。
大学物理 9小结
2. 两个同方向不同频率简谐振动的合成 合振动 :
x x1 x2
2 A cos(
2
1
角频率为
2
2
t ) cos(
2
2
1
1
2
2 2 A cos( t) 2
1
t )
3. 两个相互垂直、同频率简谐振动的合成
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
(2) 是 t =0 时刻的相位 —— 初相
动能
三.简谐振动的能量
1 1 2 2 2 Ek mv kA sin ( t ) 2 2
1 2 Ek max kA 2 Ek min 0
弹性势能
1 1 2 EP kx kA cos 2 ( t ) 2 2
机械能
1 2 E Ek EP kA 2
四.简谐振动的合成
1. 两个同方向、同频率简谐振动的合成
x A cos cos t A sin sin t A cos( t )
A1 sin 1 A2 sin 2 A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) tan A1 cos 1 A2 cos 2
一.简谐振动及其表达式 定义式： x(t ) A cos(ω t )
弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位移按余 弦函数关系随时间变化，具有这种特征的振动就 是简谐振动。 速度和加速度 dx v ω A sin(ω t ) dt
dx a A cos( t ) dt
2 2 2
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第九章 简谐振动填空题（每空3分）质点作简谐振动，当位移等于振幅一半时，动能与势能的比值为 ，位移等于 时，动能与势能相等。
（3:1,2A ）9-2两个谐振动方程为()120.03cos (),0.04cos 2()x t m x t m ωωπ==+则它们的合振幅为 。
（0.05m ）9-3两个同方向同频率的简谐振动的表达式分别为X 1=×10-2cos(T π2t+4π) (SI) , X 2=×10-2cos(T π2t -43π) (SI) ,则其合振动的表达式为______(SI).( X=×10-2cos(T π2t+4π) (SI))9-4一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由平衡位置运动到2A处所需要的最短时间为_________。
（12T ） 9-5 有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为)4cos(1πω+=t A x m 、)43cos(32πω+=t A x m ，则合振动的振幅为 。
(2 A)9-6 已知一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由正向最大位移处运动到2A处所需要的最短时间为_________。
(6T) 9-7有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )75.010cos(03.01π+=t x m 、)25.010cos(04.02π-=t x m ，则合振动的振幅为 。
（0.01m ）质量0.10m kg =的物体，以振幅21.010m -⨯作简谐振动，其最大加速度为24.0m s-⋅，通过平衡位置时的动能为 ；振动周期是 。
(-32.010,10s J π⨯)9-9一物体作简谐振动，当它处于正向位移一半处，且向平衡位置运动，则在该位置时的相位为 ；在该位置，势能和动能的比值为 。
（3π）9-10质量为0.1kg 的物体，以振幅21.010m -⨯作谐振动，其最大加速度为14.0m s -⋅，则通过最大位移处的势能为 。
（3210J -⨯）9-11一质点做谐振动，其振动方程为6cos(4)x t ππ=+（SI ），则其周期为 。
9-12两个同方向同频率的简谐振动的表达式分别为120.4cos(4)()3x t m π=+，20.3cos(4)()3x t m π=-则它们的合振动表达式为 。
(20.1cos(4)()3x t m π=+)9-13一简谐振动周期为 T ，当它沿x 轴负方向运动过程中 ，从2A -处到A - 处 ，这段路程所需的最短时间为 。
(6T )9-14有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为)32cos(31ππ+=t x m 、)322cos(42ππ-=t x m ，则合振动的振幅为 。
(1)9-15某质点做简谐振动，周期为 2s ，振幅为 0.06m ，开始计时 (t =0)，质点恰好处在A /2 处且向负方向运动，则该质点的振动方程为 。
(⎪⎭⎫⎝⎛+=3cos 06.0ππt x ) 9-16两个谐振动方程为X 1=t(SI),X 2=(t+2π)(SI),则它们的合振幅为________________________.(0.05m)9-17已知质点作简谐运动，其振动曲线如图所示，则其振动初相位为_____________________，振动方程为__________________.。
（,0.1cos 444y t πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭）9-18质量为 0.4 kg 的质点作谐振动时振动曲线如图所示，其振动方程为 。
( 1.0cos()2x t ππ=+)9-19两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2m ，合振动的位相与第一个简谐振动的位相差为π/6，若第一个简谐振动的振幅为1103－⨯m ，则第二个简谐振动的振幅为m 。
（0.1m ）9-20有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为)38cos(31π+=t x m 、)328cos(42π-=t x m ，则合振动的振幅为 。
(1m )9-21谐振子从平衡位置运动到最远点所需最少时间为________(用周期表示),从A 到A/2所需最少时m/y s/t 7150-1-0.10.139-x (m)t (s)21间为________ (用周期表示).（4T , 6T ） 9-22两个谐振动方程)m (t cos 03.0x 1ω=,))(2cos(04.02m t x πω+= ,则它们的合振幅为_____________.合振动的初相为＿＿＿＿。
（0.05m,o 11.53)34(tg ==ϕ-）9-23一质点做谐振动，其振动方程为:))(43cos(100.62SI t x ππ-⨯=-当x = 时，系统的势能为总能量的一半。
(A x 22±=)二、选择题（每小题3分）9-24 一质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A -,且向x 轴负方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ D )（A ） （B ） （C ） （D ）9-25质点在作简谐振动时，它们的动能和势能随时间t 作周期性变化，质点的振动规律用余弦函数表示，如果ν是质点的振动频率，则其动能的变化频率为（ B ） （A ）ν； （B ）2ν； (C) 4ν； (D) 2ν。
9-26一质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A -,且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ B )（A ） （B ） （C ） （D ）9-27一个质点作振幅为A 、周期为T 的简谐振动，当质点由平衡位置沿x 轴正方向运动到2A 处所需要的最短时间为 ( B )(A)4T ； (B) 12T ； (C) 6T ； (D) 8T 。
9-28 一质点作谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向x 负方向运动时，从--2A处到–A 处这段路程需要的时间为（ B ） (A)4T (B) 6T (C) 8T (D) 12T个同振动方向、同频率、振幅均为A 的简谐振动合成后振幅仍为A ，则这两个简谐振动的相位差为：（ C )（A ）60o （B ） 90o （C ）120o （D ）180o9-30两个同频率同振幅的简谐振动曲线如图所示, 曲线Ⅰ的初相位比曲线Ⅱ的初相位( A )（Ａ） 落后2π； （Ｂ） 超前2π；（Ｃ） 落后π；（Ｄ） 超前4π。
9-31（Ａ）落后2π； （Ｂ）超前2π；（Ｃ）落后π ；（Ｄ）超前4π。
9-32一简谐运动曲线如图所示，则其初相位为（ B ） （A ）3π （B ）3π- (C) 32π (D) 32π-。
振幅为A 的简谐振动系统的势能与动能相等时，质点所处的位置为（ C )（A ）2A ±； （B ）32A ±； （C ）22A ±； （D ）2A ±。
9-34 一物体作简谐振动，振动方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πω41cos t A x ，在4Tt =（T 为周期）时刻，物体的速度为：( A ) (A)ωA 221-； (B) 2221ωA ； (C) ωA 321-； (D) 2321ωA 。
9-35谐振子作振幅为A 的谐振动，当它的动能与势能相等时，其相位和位移分别为：（ C ） （A ）3π±和32π±、A 21±； （B ）6π±和65π±、A 23±； （C ）4π±和43π±、A 22±； （D ）3π±和32π±、A 2±。
9-36 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，表示，则其合振动的初相位为( D)Ⅱ Ⅰxt (s)Ⅱ)(s t 0x Ⅰ（Ａ）23π；（Ｂ）π；（Ｃ）2π；（Ｄ）0。
9-37 如图为简谐振动的速度—时间关系曲线,其振动初相为 ( A )（A ）65π-（B ） 6π- （C ） 6π （D ） 3π9-38两个同频率同振幅的简谐振动曲线如图所示,其合振动的振幅为 （ A ）（A ） A （B ） A 3（C ） A 2（D ） 09-39一简谐运动曲线如图所示，则运动周期是( B ) （A ）s 62.2 (B)s 40.2(C)s 20.2 (D)s 00.29-40一质点作简谐振动的振动方程为cos(),x A t ωϕ=+当4t T =（T 为周期）时，质点的速度为（ C )（A ）sin A ωϕ-； （B ）sin A ωϕ； （C ）cos A ωϕ-； （D ）cos A ωϕ。
9-41 两个同频率、同振动方向、振幅均为A 的简谐振动，合成后振幅为2A ,则这两个简谐振动的相位差为（ B ）（Ａ） 60°； （Ｂ） 90°； （Ｃ） 120°； （Ｄ） 180°。
)(s t A1xA 23--V(m/s))))(s t －3计算题（每题10分）9-42质量为0.10 kg 的物体作振幅为m 100.12-⨯的简谐振动，其最大加速度为4.0m/s 2，求： （1）物体的振动周期；（2）物体通过平衡位置时的动能和总能量； （3）物体在何处其动能与势能相等（4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能和势能各占总能量的多少9-43（本题10分）一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为0.12m ，周期为2s ，当0t =时，质点的位置在0.06m 处，且向x 轴正方向运动。
求：（1）质点振动的运动方程；（2）0.5t s =时，质点的位置、速度、加速度；（3）由0.06x m =-处，且向x 负方向运动时算起，再回到平衡位置所需的最短时间。
9-44一个沿X 轴作简谐振动的小球，振幅A=0.04m,速度最大值 V m =0.06m/s.若取速度为正的最大值时t=0.求：(1)振动频率;(2)加速度的最大值;(3)振动表达式.解：1) v m =A ω=ω v m/A == rad/s (2分)24.025.12===ππωνHz (2分)ω2） a m = 2A =×=0.09 m/s 2 (2分)3) t=0 时 v>0, 且小球过平衡位置,由旋转矢量图可得:20πϕ-= (2分) X=（2π） (SI) (2分)9-45质量为0.01kg 的物体沿x 轴作作简谐振动，振幅为10cm 、周期为，当t = 0时，物体位于m 05.00-=x 处，且物体向x 轴负向运动。
求：⑴ 物体的振动方程；⑵ t = 1s 时，物体的位移和所受的力；⑶ 物体从起始位置运动到x =5.0cm 处的最短时间。
【解】)(221-==s T ππω（1分） 初相位32πϕ= （2分） ⑴ 物体的振动方程 m 322cos(10.0）ππ+=t x （2分） ⑵ t = 1s 时，物体的位移m x )3220.1cos(10.0ππ+⨯==m 21066.8-⨯- （1分） φ0AX物体受力223231010(8.6610) 2.1410()4F m x N πω---=-=-⨯⨯⨯-⨯=⨯ （2分）⑶物体从起始位置到达x =5.0cm 处的时间 )(22t s ===ππωπ （2分） 9-46质量为0.01kg 的物体沿x 轴作作简谐振动，振幅为0.08m 、周期为，起始时刻物体在x =0.04m 处，且物体向x 轴负向运动(如图所示)。