12-第十二章组合变形时的强度概论

第十二章 组合变形

§12.1 组合变形和叠加原理

一、组合变形的概念

由两种或两种基本变形的组合而成的变形。 例如：转扬机，牛腿，水坝，烟囱等。 二、组合变形的计算方法

由于应力及变形均是荷载的一次函数，所以采用叠加法计算组合变形的应力和变形。

§12.2 斜弯曲

一、斜弯曲的概念

若梁作用的载荷的荷载不在同一平面内或虽在同一平面但并不位于梁的一个形心主惯性矩内，这时梁发生非平面弯曲。这种非平面弯曲可分解为两个平面弯曲。两个互相垂直平面弯曲的组合，构成斜弯曲或双向弯曲。

二、斜弯曲的应力计算 1. 外力的分解

对于任意分布横向力作用下的梁，先将任意分布的横向力向梁的两相互垂直的形心主惯性矩平面分解，得到位于两形心主惯性矩平面内的两组力。位于形心主惯性平面内的每组外力都使梁发生平面弯曲。如上所示简支梁。 2. 内力计算

形心主惯性平面xOy 内所有平行于y 轴的外力将引起横截面上的弯矩z M

，按弯曲内力的计

算方法可以列出弯矩方程z M 或画出z M 的弯矩图。同样，形心主惯性平面xOz 内所有平行于z 轴的外力将引起横截面上的弯矩y M ，也可列出弯矩方程y M 或画出其弯矩图。

合成弯矩：2

Z 2y M M M +=

合成弯矩矢量M 与y 轴的夹角为：y

z

M M tan =ϕ 以上弯矩z M 和y M 均取绝对值计算，

由力偶的矢量表示法可知，合成弯矩M 的作用平面垂直于矢量M 。 3. 计算

y

z I z

I y y z M M +

=''+'=σσσ

4. 轴的位置

两平面弯曲组合成斜弯曲，只在横截面上正应力为零的点的连线才是斜弯曲

的中性轴。设中性轴上任一点的坐标）（00,y z ，将0y ，0z 代入应力计算公式，并令σ等于方程：零，得中性轴： 0M M 0

y 0z =+y

z I z I y

中性轴与y 轴的夹角α,ϕαtan tan z

z 00

I I M M I I y z y y z y =⋅== 5. 最大正压力

中性轴把横截面分为两个区域，一个受拉区，另一个受压区，离中性轴最远的点，正应力最大。

（1） 矩形或矩形组合截面

对于有棱角的矩形（含正方形）或矩形组合截面，截面上的最大正应力一定发生在离形心最远的棱角上。将最远点的坐标代入应力计算公式 y

y z z y z W M W M I z I y

+=+=max y max z max M M σ

（2） 圆形截面

圆形截面的合成弯矩作用面与中性轴垂直。合成弯矩作用面与圆截面的两交点即最大拉应力和最大压应力点，其最大拉、压应力相等。 W M max =σ, 2

z 2y M M M += 例题

图示简支梁由22a 工字钢构成，许用应力[]MPa 140=σ。求该梁的许用载[]F ,图中长度l=1000mm 。

解：

查附录可得：2309W cm z =，2

cm 9

.40W =y

对于A 截面，由强度条件有

[]σσ≤+=+=y z y y z z W Fl W Fl W M W M 4.0max ，

得：kN 8.10≤F

对于B 截面，由强度条件有： []σσ≤+=+=y

z y y z z W Fl

W Fl W M W M 8.05.0max ，得：kN 6.6≤F

为了保证A 、B 两截面均能满足强度条件，许用载荷应取较小的数值，故许用载荷[]kN 6.6F =

§12.4 扭转与弯曲的组合

一、基本概念

工程实例：牛腿，水坝等 二、扭转与弯曲的组合的应力计算 1. 外力的简化

将两齿轮的啮合力分别沿一对相互垂直的形心主惯性矩分解并向传动轴简化，得到作用于轴上并位于两相互垂直的形心主惯性平面内的两组力系和作用于轴上的一对力偶（匀速转到），如a). 2. 内力计算

作出轴的扭矩图T M 和两个形心主惯性平面内的弯矩图z M 、y M 见图c 、d 、e 所示。其最大弯曲正应力的计算公式与平面弯曲时的最大正压力计算公式一致，

合成弯矩2

z 2y M M M +=。合成弯矩图反映了各截面合成弯矩的大小沿轴线的变

化情况。由合成弯矩图的大小可以判断危险截面的位置。

1.5F

3. 危险点应力状态分析

在危险截面上与合成弯矩M 对应的弯曲正应力在边缘上达到最大值，其值

为：W

M M W M 2

y

2+=

=z σ

与扭矩T M 对应的切应力在圆截面的边缘各点上达到最大值。其值为：P

T

W M =τ 三、强度条件

工程中承受弯扭组合的构件常为塑性材料，在二向应力状态下，其主应力为 0421

2222222231=+±=+±=⎭⎬⎫στσστσσσσ，）（ 对于圆形截面，有16

D W 3

P π=

, 32

D W 3

π=

,2W W P =

a)

b) T M 图

c) z M 图

d) y M 图

e) M 图

1. 采用第三强度理论计算

2

T 2y 2z 2T 2max 2P T 2max 224r M M M W

1M M W 1)W M 4()W M (

4++=+=+=+=τσσ 2. 采用第四强度理论计算

2

T 2y 2z 2T 2max 2P T 2max 224r M 75.0M M W

1M 75.0M W 1)W M 4()W M (

4++=+=+=+=τσσ例题

如图所示的传动轴AB 上，C 处带轮作用着水平方向的力，D 处带轮作用着铅垂方向的力。已知传动轴是由P=45kW 的电动机通过带轮C 传动的，转速

710r/min n =。带轮C 自重kN 4.0W 1=,直径400m m D 1=，带轮D 自重kN 9.0W 2=，直径600m m D 2=，传动轴的直径mm 87d =，许用应力[]MPa 08=σ。用第四强度理论校核该轴的强度。

解：(1)外力的分析和简化

电动机通过带轮C 传给轴的扭矩为

m N 605710

45

9549n P 95492D )F -(2F M 11

1e ⋅==== 3.03kN 0.45602D 2M F 1e 1=⨯==, 2.02kN 0.6

5602D 2M F 2e 2=⨯==