湖北省鄂州高中、鄂南高中2020-2021学年高二上学期10月联考数学试题
湖北省鄂州市数学高二上学期理数10月月考试卷
湖北省鄂州市数学高二上学期理数 10 月月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 填空题 (共 14 题；共 15 分)1. （1 分） (2017·东城模拟) 若点 O 和点 F2（﹣ ，0）分别为双曲线=1（a＞0）的中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为________．2. （1 分） (2019 高二下·上海月考) 已知抛物线的准线过椭圆焦点，椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍, 则该椭圆的方程为________．的一个3. （1 分） (2020 高二上·那曲期末) 在平面直角坐标系 ，则 的值为________．中，若双曲线的离心率为4.（1 分）(2018 高二上·扬州期中) 若椭圆的焦点在 轴上，则 的取值范围为________．5. （1 分） (2017·怀化模拟) 在平面四边形 ABCD 中，AB=3，AC=12，cos∠BAC= ，•=0，则BD 的最大值为________．6.（1 分）(2018 高二上·牡丹江期中) 已知抛物线的准线方程为，则实数 ________．7. （1 分） (2016·浙江理) 若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是________．8. （1 分） (2016 高二上·大连期中) 离心率 e= ，一个焦点是 F（0，﹣3）的椭圆标准方程为________．9. （2 分） (2018·北京) 已知椭圆,双曲线. 若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________10. （1 分） (2017 高三下·赣州期中) 点 P 在双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦 点分别为 F1 ， F2 ， 直线 PF1 与以坐标原点 O 为圆心、a 为半径的圆相切于点 A，线段 PF1 的垂直平分线恰好过 点 F2 ， 则该双曲线的渐近线的斜率为________．第1页共9页11. （1 分） (2017 高三下·新县开学考) 已知点 A 在椭圆上，点 P 满足，且，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为________．12. （1 分） (2016 高二上·平阳期中) 设椭圆的两个焦点为（﹣ ，0），（ ，0），一个顶点是（ ， 0），则椭圆的方程为________．13. （1 分） (2017 高二下·濮阳期末) 椭圆 Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为 F1 ， F2 ， 焦距为 2c，若直线 y=与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ， 则该椭圆的离心率等于________．14. （1 分） (2019 高三上·上海月考) 已知椭圆的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段的中点在以原点 为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是________.二、 解答题 (共 5 题；共 40 分)15. （10 分） (2016 高二下·浦东期末) 已知双曲线 C1：．（1） 求与双曲线 C1 有相同焦点，且过点 P（4， ）的双曲线 C2 的标准方程； （2） 直线 l：y=x+m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A、B 两点．当 • =3 时，求实数 m 的值．16. （5 分） (2018 高三上·德州期末) 已知椭圆 ：，上顶点是 ，圆 ： 的焦点重合．的圆心 到直线的距离是的左、右有顶点分别是 、 ，且椭圆的右焦点与抛物线（Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）平行于 轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为 、 ，直线 、 与交点记为 ， ．试判断是否为定值，若是，证明你的结论．若不是，举反例说明．轴的17. （10 分） (2019 高三上·宁波期末) 过抛物线在处的切线交于 .的焦点 的直线交抛物线于两点，抛物线第2页共9页（1） 求证： （2） 设； ，当时，求的面积 的最小值.18. （5 分） (2017·芜湖模拟) 已知椭圆 C：的离心率为 ，M 为 C 上除长轴顶点外的一动点，以 M 为圆心， ．为半径作圆，过原点 O 作圆 M 的两条切线，A、B 为切点，当 M 为短轴顶点时∠AOB=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的右焦点为 F，过点 F 作 MF 的垂线交直线 x= a 于 N 点，判断直线 MN 与椭圆的位置关系．19. （10 分） (2018 高二上·南宁月考) 在平面直角坐标系中，椭圆为 ，过椭圆右焦点 作两条互相垂直的弦 与 ，当直线 的斜率为 0 时，（1） 求椭圆的方程；（2） 求的取值范围．的离心率 .第3页共9页一、 填空题 (共 14 题；共 15 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、参考答案9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、二、 解答题 (共 5 题；共 40 分)第4页共9页15-1、15-2、16-1、第5页共9页17-1、第6页共9页17-2、18-1、第7页共9页19-1、19-2、第8页共9页第9页共9页。
2020-2021学年湖北省部分重点中学高三(上)联考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年湖北省部分重点中学高三（上）联考数学试卷（10月份）1.已知全集U=R，M={x|x<−1}，N={x|x(x+2)<0}，则图中阴影部分表示的集合是()A. {x|−1≤x<0}B. {x|−1<x<0}C. {x|−2<x<−1}D. {x|x<−1}2.从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%.现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为()A. 55B. 80C. 90D. 1103.已知A={x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2−a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤54.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是()A. 此人第六天只走了5里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C. 此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里D. 此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍5.已知定义在R上的函数f(x)=2|x−m|−1(m为实数)为偶函数，记a=f(2−3)，b=f(3m)，c=f(log0.53)，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a6.函数f(x)=Asin(ωx+π4)(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π4个单位 C. 向左平移π4个单位D. 向右平移3π4个单位7. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为12×1000+12×1000×2=32×1000，2小时后，细胞总数约为12×32×1000+12×32×1000×2=94×1000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间约为( )(参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)A. 34小时B. 37小时C. 40小时D. 43小时8. 若a >1，设函数f(x)=a x +x −4的零点为m ，g(x)=log a x +x −4的零点为n ，则1m +1n 的取值范围( )A. (72,+∞)B. [1,+∞)C. (4,+∞)D. (92,+∞)9. 如图，点P 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个结论，其中正确的结论有( )A. 三棱锥A −D 1PC 的体积不变B. A 1P 与平面ACD 1所成的角大小不变C. DP ⊥BC 1D. DB 1⊥A 1P10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右两个顶点分别是A 1，A 2，左、右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有( )A. |PF1|−|PF2|=2aB. 直线PA1，PA2的斜率之积等于定值b2a2C. 使△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有4个D. 焦点到渐近线的距离等于b11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，b=4，下列判断：A.若c=√3，则角C有两解；B.若a=92，则角C有两解；C.△ABC为等边三角形时周长最大；D.△ABC为等边三角形时面积最小．其中判断正确的是()A. AB. BC. CD. D12.已知函数f(x)=lnx，g(x)=x3−2ex2+kx，其中e为自然对数的底数，k∈R.若函数y=f(x)−g(x)有唯一零点，则下列命题正确的是()A. k=e2+1eB. 曲线y=g(x)在点(e,g(e))处的切线与直线x−ey+1=0平行C. 函数y=g(x)+2ex2在[0,e]上的最大值为2e2+1D. 函数y=g(x)−xe−e2x在(0,1)上单调递增13.(x+2y)(x+y)4的展开式中x3y2的系数为______．14.函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a=______．15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若函数f(x)=13x3+bx2+(a2+ c2−ac)x+1有极值点，则∠B的范围是______ ．16.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德⋅黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R(x)={1p,当x=qp(p,q都是正整数,qp是既约真分数)0,当x=0,1或[0,1]上的无理数，若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2−x)+f(x)=0，当x∈[0,1]时，f(x)=R(x)，则f(lg103)−f(85)=______．17.已知函数f(x)=log k x(k为常数，k>0且k≠1)．(1)在下列条件中选择一个______使数列{a n}是等比数列，说明理由；①数列{f(a n)}是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{f(a n)}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f(a n)}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．(2)在(1)的条件下，当k=√2时，设a n b n=2n+14n2−1，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,12)，最小正周期为2π3，且最小值为−1．(1)求函数f(x)的解析式．(2)若x∈[π6,m]，f(x)的值域是[−1,−√32]，求m的取值范围．19.如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB=BC，AC=CV=2，M，N分别为VA，VB的中点．(Ⅰ)求证：AB//平面CMN；(Ⅱ)求证：AB⊥VC；(Ⅲ)求直线VB与平面CMN所成角的正弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(√52,√32)，离心率为2√55．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点K(2,0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x=a2c的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．21.德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，(见下表)，且每一门课程是否合格相互独立，(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．22.已知函数f(x)=x2+ax−a，其中a∈R．e x(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程；(2)求证：若f(x)有极值，则极大值必大于0．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用Venn图表示集合的关系及其运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．由图可得图中阴影部分为N∩(∁U M)，求解一元二次不等式，再由交集与补集的混合运算求解．【解答】解：图中阴影部分为N∩(∁U M)，∵M={x|x<−1}，∴∁U M={x|x≥−1}，又N={x|x(x+2)<0}={x|−2<x<0}，∴N∩(∁U M)={x|−1≤x<0}，故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查分层抽样，明确分层抽样中每一层所占比例数相等是关键，是基础题．由已知求得A或B等级所占比例，乘以200得答案．【解答】解：由题意，A、B等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，则A或B等级所占比例为55%，∴200人的样本中，获得A或B等级的学生一共有：200×45%=90人．故选：C．3.【答案】C【解析】解：因为命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”是真命题，所以“∀x∈[1,2]，a≥x2”恒成立，所以a≥4，a ≤4，a ≤5是真命题的既不充分也不必要条件， 所以命题是真命题的一个充分不必要条件是a ≥5， 故选：C ．将命题“∀x ∈A ，x 2−a ≤0”是真命题，转化为“∀x ∈A ，a ≥x 2”恒成立求得a 的范围，再利用充分不必要条件的定义判断． 本题考查充分必要条件的概念，属于基础题．4.【答案】BCD【解析】解：设此人第一天行走x 里，由题意可得：x +12x +122x +123x +124x +125x =378，化为：1−1261−12x =378，解得x =192．A .此人第六天只走了125×192=6里路，因此不正确；B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多=192−(378−192)=6里，正确；C .此人第二天走的路程比全程的14还多=12×192−14×378=1.5里，正确； D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的(1+12+122)x(123+124+125)x =8倍，正确．故选：BCD ．设此人第一天行走x 里，由题意可得：x +12x +122x +123x +124x +125x =378，化为：1−1261−12x =378，解得x.进而判断出结论．本题考查了等比数列的求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵定义在R 上的函数f(x)=2|x−m|−1(m 为实数)为偶函数， ∴f(−1)=f(1)，即2|−1−m|−1=2|1−m|−1，解得m =0， ∴f(x)=2|x|−1在(0,+∞)单调递增，在(−∞,0)单调递减， ∵2−3=18∈(0,1)，3m =1，|log 0.53|=log 23>1， ∴f(2−3)<f(3m )<f(log 0.53)，即a <b <c ． 故选：A ．由题意可得m =0，可得f(x)=2|x|−1在(0,+∞)单调递增，在(−∞,0)单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得．本题考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题．6.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象及其变换规律，属于中档题．函数f(x)=Asin(ωx +π4)(ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等差数列，可知周期T =2π3，可得ω的值，根据三角函数的平移变换规律可得结论．【解答】解：由题意，函数f(x)=Asin(ωx +π4)(ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等差数列，可知最小正周期T =2π3，那么：ω=2πT=2π×32π=3．则f(x)=Asin(3x +π4)=Asin3(x +π12).要得到g(x)=Acos3x =Asin(3x +π2)=Asin3(x +π6)的图像， 只需将f(x)向左平移π12即可． 故选A ．7.【答案】C【解析】解：设第n 个小时后细胞个数为a n ， 则a n+1=12a n +12a n ×2=32a n ， 又a 1=32×1000，可得{a n }是等比数列， ∴a n =32×1000×(32)n−1=1000×(32)n ， 由a n =1000×(32)n >1010，得(32)n >107， 即nlg 32>7，∴n >7lg3−lg2=70.4771−0.3010≈40．故选：C．设第n个小时后细胞个数为a n，由题意结合等比数列的通项公式求得a n，再由a n= 1000×(32)n>1010，结合对数的运算性质求解．本题考查等比数列的通项公式，考查对数的运算性质，是基础题．8.【答案】B【解析】解：函数f(x)=a x+x−4的零点是函数y=a x与函数y=4−x图象交点A的横坐标，函数g(x)=log a x+x−4的零点是函数y=log a x与函数y=4−x图象交点B的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y=x对称，直线y=4−x与直线y=x垂直，故直线y=4−x与直线y=x的交点(2,2)即是A，B的中点，∴m+n=4，∴1m +1n=14(m+n)(1m+1n)=14(2+mn+nm)≥1，当m=n=2等号成立，而m+n=4，故1m +1n≥1，故所求的取值范围是[1,+∞)．故选B．把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m，n之间的关系个，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．本题综合函数零点、考查反函数的性质，考查利用基本不等式求最值．考查根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系．是一道在知识网络的交汇处命题的优秀试题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A，如图，由题意知AD1//BC1，AD1⊂面ACD1，BC1⊄面ACD1，∴BC1//面ACD1，故BC 1上任意一点到平面ACD1的距离均相等，△ACD1面积为定值，而V A−D1PC =V P−AD1C，所以，以动点P在BC1任何位置，三棱锥A−D1PC体积不变，故A正确；对于B，如图，连接A1B，A1C1，由正方体性质可知，A1C1//AC，A1C1⊄面ACD1，AC⊂面ACD1，∴A1C1//面ACD1，由A知：BC1//面ACD1，A1C1∩BC1=C1，故平面ACD1//平面A1C1B，而A1P⊂面A1C1B，由面面平行的性质易得：A1P//平面ACD1，故B正确；对于C，∵DC⊥面BCC1D1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥面DCP，则BC1⊥PC，则P为BC1中点，与P为动点矛盾，故C错误，对于D，如图，由正方形A1B1C1D1可得A1C1⊥B1D1，又BB1⊥面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，D1B1∩BB1=B1，∴A1C1⊥面BB1D1D，∴DB1⊥A1C1，同理，DB1⊥BC1，∴DB1⊥面BA1C1，∵A1P⊂面A1BC1，∴DB1⊥A1P，故D正确，故选：ABD．对于A选项，可将三棱锥A−D1P的体积转化为求P−AD1C的体积进行求证；对于B选项，可通过证明面ACD1//面A1C1B，进而证明出A1P//平面ACD1；对于C选项，可利用线面垂直的判定以及性质进行证明；对于D选项，可通过证明DB1⊥面BA1C1，进而证明出，DB1⊥面BA1C1．本题考查了三棱锥体积，空间中线面夹角求法，以及空间中线线垂直的判定，属于中档题．10.【答案】BD【解析】解：由双曲线的定义得，||PF1|−|PF2||=2a，故A不正确；由点差法知，直线PA1，PA2的斜率之积等于定值b2a2，故B正确．若点P在第一象限，可以分别以点F1，F2为顶点构成等腰三角形，根据对称性，一共有八个等腰三角形，故C错误．由点F(c,0)到直线y=ba x的距离为√a2+b2=b，故D正确，故选：BD．由双曲线的定义可判断A不正确；由点差法可判断B正确；由三角形的顶点的不同可得等腰三角形的个数可判断C不正确，由点到直线的距离公式可得D正确．本题考查双曲线的性质及命题真假的判断，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：对于A，由bsinB =csinC，得sinC=csinBb=√3sin60°4=38，由于c<b，所以C<B，故C为锐角，所以只有一组解，A错误；对于B，同理，由asinA =bsinB，可得sinA=9√3256<1，由于a>b，所以A>B，A有两个解，则相应的C有两个解，B正确；对于C，由b2=a2+c2−2accosB，得16=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−34(a+c)2=14(a+c)2．故a+c≤8，当且仅当a=c时取等号，此时三角形周长最大，三角形为等边三角形，C正确；对于D，由C推导过程知得16=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac，即ac≤16，当且仅当a=c时取等号，此时三角形ABC面积最大，又B=60°，所以三角形为等边三角形，D正确，故选：BC．根据A、B选项给出的条件，利用正弦定理解出sin C和sin A，结合角度大小进行判断；C，D选项，根据余弦定理结合均值不等式即可判断．本题考查的是正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．12.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=lnx，g(x)=x3−2ex2+kx，若函数y=f(x)−g(x)有唯一零点，可得f(x)=g(x)，即为lnxx=x2−2ex+k有唯一解．设ℎ1(x)=lnxx，ℎ2(x)=x2−2ex+k，ℎ1(x)的导数为ℎ1′(x)=1−lnxx2，当x>e时，ℎ1(x)递减；当0<x<e时，ℎ1(x)递增，可得ℎ1(x)的最大值为1e，ℎ2(x)=x 2−2ex +k 的最小值为ℎ2(x)min =ℎ2(e)=k −e 2， 所以k −e 2=1e ，即k =e 2+1e ，故A 正确；由g(x)=x 3−2ex 2+kx 的导数为g′(x)=3x 2−4ex +e 2+1e ，g′(e)=1e ，g(e)=1，所以切线的方程为y −1=1e (x −e)，即为x −ey =0， 故切线与直线x −ey +1=0平行，故B 正确； 由函数y =F(x)=g(x)+2ex 2=x 3+(e 2+1e )x ， 导数为F′(x)=3x 2+e 2+1e >0，可得函数F(x)在[0,e]上递增，可得最大值为F(e)=2e 3+1，故C 错误； 设G(x)=g(x)−xe −e 2x =x 3−2ex 2的导数为G′(x)=3x 2−4ex ，可得当0<x <43e 时，G′(x)<0，G(x)递减，则G(x)在(0,1)上递减，故D 错误． 故选：AB ．由函数方程的关系，求得函数的最值，可判断A ；求得g(x)的导数，可得切线的斜率，求得切点，可得切线的方程，可判断B ；设F(x)=g(x)+2ex 2，求得导数和单调性，可得最大值，即可判断C ；设G(x)=g(x)−xe −e 2x ，求得导数和单调性，可判断D ． 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】14【解析】解：因为(x +y)4展开式的通项公式为：T r+1=∁4r ⋅x4−r⋅y r ； 令4−r =2可得r =2； 令4−r =3可得r =1；∴(x +2y)(x +y)4的展开式中，x 3y 2的系数为：∁42+2×∁41=14．故答案为：14．求出(x +y)4展开式的通项公式，进而求得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14.【答案】−1【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则f(x)+f(−x)=0，即ln(2x1+x +a)+ln(−2x1−x+a)=0，变形可得：a2−(a+2)x21−x2=1，必有a=−1；故答案为：−1．根据题意，由奇函数的定义可得f(x)+f(−x)=0，即ln(2x1+x +a)+ln(−2x1−x+a)=0，变形分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的定义，属于基础题．15.【答案】(π3,π)【解析】解：∵f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1，∴f′(x)=x2+2bx+(a2+c2−ac)，又∵函数f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1有极值点，∴x2+2bx+(a2+c2−ac)=0有两个不同的根，∴△=(2b)2−4(a2+c2−ac)>0，即ac>a2+c2−b2，即ac>2accosB；即cosB<12；故∠B的范围是(π3,π)；故答案为：(π3,π)．先求导f′(x)=x2+2bx+(a2+c2−ac)，从而化函数f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1有极值点为x2+2bx+(a2+c2−ac)=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解．本题考查了导数的综合应用及余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】15【解析】解：根据题意，对任意x 都有f(2−x)+f(x)=0， 令x =25，则有f(85)=−f(25)， 又由f(25)=R(25)=15，故f(85)=−15 又由0<lg103=1−lg3<1，则有f(lg 103)=R(lg 103)=0，故f(lg 103)−f(85)=0−(−15)=15； 故答案为：15．根据题意，运用特殊值法可得f(85)=−f(25)，由函数的解析式求出f(25)和f(lg 103)的值，计算可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及对数的运算性质，是基础题．17.【答案】②【解析】解：(1)①③不能使数列{a n }是等比数列，②可以．由题意f(a n )=4+2(n −1)=2n +2，即log k a n =2n +2，可得a n =k 2n+2，且a 1=k 4≠0，a n+1a n=k 2n+4k 2n+2=k 2，由常数k >0且k ≠1，可得k 2为非零常数，则{a n }是k 4为首项、k 2为公比的等比数列； (2)由(1)可得a n =k 4⋅(k 2)n−1=k 2n+2， 当k =√2时，a n =2n+1，a n b n =2n+14n 2−1，可得b n =14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1． (1)选②，由f(x)和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； (2)运用等比数列的通项公式可得a n ，进而得到b n =14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，由数列的裂项相消求和可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由函数的最小值为−1，A >0，得A =1，∵最小正周期为2π3， ∴ω=2π2π3=3，∴f(x)=cos(3x +φ)， 又函数的图象过点(0,12)， ∴cosφ=12，而0<φ<π2， ∴φ=π3，∴f(x)=cos(3x +π3)，(2)由x ∈[π6,m]，可知5π6≤3x +π3≤3m +π3， ∵f(π6)=cos5π6=−√32，且cosπ=−1，cos7π6=−√32， 由余弦定理的性质得：π≤3m +π3≤7π6，∴2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9,5π18].【解析】(1)依题意，易求A =1，ω=3，由函数的图象过点(0,12)，0<φ<π2，可求得φ=π3，从而可得函数f(x)的解析式． (2)x ∈[π6,m]⇒5π6≤3x +π3≤3m +π3，依题意，利用余弦函数的性质可得π≤3m +π3≤7π6，从而可求m 的取值范围．本题考查函数y =Asin(ωx +φ)确定函数解析式，着重考查余弦函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵M ，N 分别为VA ，VB 的中点， ∴MN//AB ，∵AB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， ∴AB//平面CMN ．(Ⅱ)证明：∵△ABC 和△VAC 均是等腰直角三角形，AB =BC ，AC =CV =2，M ，N 分别为VA ，VB 的中点． ∴AB ⊥BC ，VC ⊥AC ，∵平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC ∩平面ABC =AC ， ∴VC ⊥平面ABC ，∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥VC ．(Ⅲ)解：以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，V(√2,0，2)，B(0,0，0)，C(√2,0，0)，N(√22,0，1)，A(0,√2,0)，M(√22,√22,1)， BV ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,2)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,1)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0，1)， 设平面CMN 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +√22y +z =0n ⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +z =0，取x =2，得n⃗ =(2,0，√2)， 设直线VB 与平面CMN 所成角为θ， 则直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为： sinθ=|BV ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BV ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=4√2√6⋅√6=2√23．【解析】(Ⅰ)推导出MN//AB ，由此能证明AB//平面CMN ．(Ⅱ)推导出AB ⊥BC ，VC ⊥AC ，从而VC ⊥平面ABC ，由此能证明AB ⊥VC ． (Ⅲ)以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意得 { a 2=b 2+c 254a 2+34b 2=1c a =2√55，解得a =√5，b =1，c =2， 所以椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．(2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线l ：x =52，AB 1与A 1B 的交点是(94,0)．②当直线AB 的斜率存在时，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 直线AB 为y =k(x −2)，由{y =k(x −2)x 2+5y 2=5⇒(1+5k 2)x 2−20k 2x +20k 2−5=0， 所以x 1+x 2=20k 21+5k 2，x 1x 2=20k 2−51+5k 2，A 1(52,y 1)，B 1(52,y 2)， 所以l AB 1：y =y 2−y 152−x 1(x −52)+y 2，l A 1B ：y =y 2−y 1x 2−52(x −52)+y 1，联立解得x =x 1x 2−254x 1+x 2−5=20k 2−51+5k 2−25420k21+5k 2−5=−45(1+k 2)−20(1+k 2)=94，代入上式可得 y =k(x 2−x 1)−10+4x 1+y 2=−9k(x 1+x 2)+4kx 1x 2+20k4x 1−10=−9k⋅20k 21+5k 2+4k⋅20k 2−51+5k 2+20k 4x 1−10=0，综上，直线AB 1与A 1B 过定点(94,0)．【解析】(1)由过点(√52,√32)，离心率为2√55，列方程组，解得a ，b ，c ，即可得出答案．(2)分两种情况：①当直线AB 的斜率不存在时，②当直线AB 的斜率存在时，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线AB 的方程，联立椭圆的方程，结合韦达定理得x 1+x 2，x 1x 2，写出直线AB 1的方程，直线A 1B 的方程，联立解得x ，y 即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，且事件A ，B ，C ，D 相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为： P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD) =34⋅23⋅23⋅12+34⋅23⋅23⋅12+34⋅23⋅13⋅12=512．(2)由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,512)，P(ξ=0)=C 30(712)3=3431728，P(ξ=1)=C 31(512)(712)2=7351728， P(ξ=2)=C 32(512)2(712)=5251728，P(ξ=3)=C 33(512)3=1251728，∴ξ的分布列为：∵ξ～B(3,512)，∴Eξ=3×512=54．【解析】(1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)，由事件A ，B ，C ，D 相互独立能求出结果．(2)由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,512)，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，是中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)的导数f′(x)=−x2−(a−2)x+2ae x=−(x+a)(x−2)e x，当a =0时，f′(1)=1e ,f(1)=1e ，则f(x)在(1,f(1))的切线方程为y −1e =1e (x −1)，即y =1e x ， (2)证明：令f′(x)=0，解得x =2或x =−a ，①当a =−2时，f′(x)≤0恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递减，无极值； ②当−a <2，即a >−2时，所以函数f(x)存在极值，函数f(x)的极大值为f(2)=a+4e 2>2e 2>0，③当−a >2，即a <−2时，=−ae a>0，所以函数f(x)存在极值，函数f(x)的极大值为f(−a)=−ae−a综上，当f(x)有极值时，函数f(x)的极大值必大于0．【解析】(1)利用导数求得切线斜率，利用点斜式写出切线方程；(2)令f′(x)=0，解得x=2或x=−a，分a=−2，a>−2，a>−2讨论即可．本题考查了导数的几何意义，即利用导数求函数极值，属于中档题．第21页，共21页。
湖北省鄂州市部分高中联考协作体2020-2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷
湖北省鄂州市部分高中联考协作体2020-2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列四面体中，直线EF与MN可能平行的是( )A. B.C. D.2.若异面直线分别在平面内，且，则直线( )A. 与直线都相交B. 至少与中的一条相交C. 至多与中的一条相交D. 与中的一条相交，另一条平行3.在一组样本数据中，1，4，m，n出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本平均值为2.5，则m+n=( )A. 5B. 6C. 7D. 8，设数列{a n}的前 n项和为S n，则S2017=( ) 4.已知数列{a n}满足：a1=2 , a n+1=1−1anA. 1007B. 1008C. 1009.5D. 10105.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E，F为AA1，B1C1的中点，点P是面ABCD上一动点，EP=3，则FP的最小值为( )A. √21B. √22C. 2√6D. 55.若无穷等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d <0，{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. S n 单调递减B. S n 单调递增C. S n 有最大值D. S n 有最小值 7.设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m ⊥α，m//β，则α⊥β; ②若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//β; ③若m//α，n//α，则m//n; ④若m ⊥α，n//β，α//β，则m ⊥n ． 其中所有正确命题的序号是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①④8.已知直线x +2y −4=0与直线2x +my +m +3=0平行，则它们之间的距离为( )A. √5B. √10C.3√52D. 3√102二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： 其中正确的命题有( )A. 如果m ⊥n ，m ⊥α，n//β，那么α⊥β．B. 如果m ⊥α，n//α，那么m ⊥n ．C. 如果α//β，m ⊂α，那么m//β．D. 如果m//n ，α//β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 10.在数列{a n }中，如果对任意n ∈N ∗都有a n+2−a n+1a n+1−a n=k(k 为常数)，则称{a n }为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是( )A. 等差数列一定是等差比数列B. 等差比数列的公差比一定不为0C. 若a n =−3n +2，则数列{a n }是等差比数列D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 11.下列命题中是真命题的有( )A. 有A ，B ，C 三种个体按3︰1︰2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30B. 一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲D. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5,124.5]内的频率为0.4a，12.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=√22以下结论正确的有( )A. AC⊥BEB. 点A到平面BEF的距离为定值C. 三棱锥A−BEF的体积是正方体ABCD−A1B1C1D1体积的112D. 异面直线AE，BF所成的角为定值三、填空题（本大题共4小题，共20分）}就是二阶13.我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题，如数列{n(n+1)2}，(n∈N∗)的前3项和______．等差数列，数列{n(n+1)214.某公司共有3个部门，第1个部门男员工60人、女员工40人，第2个部门男员工150人、女员工200人，第3个部门男员工240人、女员工160人．若按性别用分层抽样的方法从这3个部门选取51人参加公司年会表演节目，则应选取的女员工的人数为______．15.过点A(−3,2)，B(−5,−2)，且圆心在直线3x−2y+4=0上的圆的半径为______．16.若直线l：kx−y−2=0与曲线C：√1−(y−1)2=x−1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是____________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AC，A1B⊥AC1，设O为AC1与A1C的交点，点P 为BC的中点．求证：（1）OP//平面ABB1A1；（2）平面ACC1⊥平面OCP．18.如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥A−BCDE．（1）求证：EF//平面ABC；（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，O，M分别为BC，AA1的中点．（1）证明：OM//平面CB1A1．（2）若四边形BB1C1C是面积为4的正方形，求点M到平面CB1A1的距离．20.某校从高一新生开学摸底测试成绩中随机抽取100人的成绩，按成绩分组并得各组频数如下(单位：分)：[40,50)，4；[50,60)，6；[60,70)，20；[70,80)，30；[80,90)，24；[90,100]，16．（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计本次考试成绩的中位数(精确到0.1)．21.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+a+1(a∈R,n∈N∗)．（1）若a=2，求数列{a n}的通项公式；，数列{b n}的前n项和为T n，是否存在n∈N∗，使（2）若数列{a n}是等差数列，b n=a n+1n⋅S n+1得T n S n+1=3(a n+1)？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，请说明理由．BC=2，22.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AD//BC，AB=AD=DC=12PB⊥AC．（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA=4，PB=2√3，求二面角B−PC−D的余弦值．高二数学参考答案1. C2. B3. A4. D5. A6. C7. D8. C9. BCD 10. BCD 11. BD 12. ABC,2]13. 10 14. 24 15. √10 16. (4317. 解：（1）因为在平行四边形ACC1A1中，O为AC1与A1C的交点，所以O为A1C的中点．又因为点P为BC的中点，所以OP//A1B.-------- -----------3分又OP⊄平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，所以OP//平面ABB1A1．-------------------------5分(2)由(1)知OP//A1B，又A1B⊥AC1，所以AC1⊥OP，在平行四边形ACC1A1中，AA1=AC，所以四边形ACC1A1为菱形，所以AC1⊥A1C，又OP，A1C⊂平面OCP，且OP∩A1C=O，所以AC1⊥平面OCP，-------------------------8分又AC1⊂平面AC1C，所以平面AC1C⊥平面OCP．-------------------10分18. （1）证明：取线段AC的中点记为M，连接MF、MB，∵F为AD的中点，CD，∴MF//CD，且MF=12在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，CD，∴BE//CD，且BE=12∴MF//BE，且MF=BE，∴四边形BEFM为平行四边形，∴EF//BM．--------------------------------------------4分又因为EF⊄平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EF//平面ABC；---------------------------------------6分（2）在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD=2，AB=4，E为AB的中点，∴△ADE、△CBE都是等腰直角三角形，且AD=AE=EB=BC=2，∴∠DEA=∠CEB=45°，且DE=EC=2√2，又∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°，∴∠DEC=90°，即CE⊥DE，又因为平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥平面ADE，即CE为三棱锥C−EFD的高，---------------------10分∵F为AD的中点，∴S△EFD=12×12×AD·AE=14×2×2=1，∴四面体FDCE的体积为：V=13×S△EFD·CE=13×1×2√2=2√23．-------12分19.（1）证明：如图，连接BC1，交CB1于点N，连接A1N，ON，则N为CB1的中点．因为O为BC的中点，所以ON//BB1，且ON=12BB1，又MA1//BB1，MA1=12BB1，所以ONA1M为平行四边形，即OM//A1N，因为OM⊄平面CB1A1，所以OM//平面CB1A1；-------------------4分（2）解：因为四边形BB1C1C是面积为4的正方形，所以BC=BB1=2.连接AO，因为AB=AC，O为BC的中点，所以AO⊥BC.因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以OA⊥BB1，又BC∩BB1=B，所以AO⊥平面BB1C1C.由（1）可知OM//A1N，所以点M到平面CB1A1的距离等价于点O到平面CB1A1的距离，-------8分设点O到平面CB1A1的距离为h，在△A1B1C中，B1C=2√2，A1C=√6，A1B1=√2，所以B1C2=A1C2+A1B12，从而S▵A1B1C =12×√6×√2=√3，所以V O−A1B1C =13S▵A1B1C⋅ℎ=√33ℎ，又因为V O−A1B1C =V A1−OB1C=13S▵OB1C⋅OA=13×12×1×2×1=13，所以ℎ=√33，所以点M到平面CB1A1的距离为√33．-------------------------12分20. 解：（1）由题意列出频率分布表如下：------4分（2）画出频率分布直方图，如下：------------8分（3）由频率分布直方图得：[40,70)的频率为：0.04+0.06+0.2=0.3，[70,80)的频率为0.3， ∴估计本次考试成绩的中位数为： 70+0.5−0.30.3×10≈76.7． ------------------------12分21. 解：（1）当a =2时，S n =n 2+n +3． 当n =1时，a 1=S 1=5；------------------2分 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n ． 经检验，a 1=5不符合上式，故数列{a n }的通项公式a n ={5,n =12n,n ≥2,------------4分 （2）当n =1时，a 1=S 1=3+a ； 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n ． 因为数列{a n }是等差数列， 所以3+a =2，解得a =−1， 因为a n =2n ，S n =n 2+n ．则b n =2(n+1)n⋅[(n+1)2+n+1]=2(n+1)n⋅(n+1)(n+2)=2n⋅(n+2)=1n −1n+2，-------------------8分故T n =b 1+b 2+...+b n =(1−13)+(12−14)+(13−15)+...+(1n −1n+2)=1+12−1n+1−1n+2=32−1n+1−1n+2所以T n S n+1=(n+1)(n+2)(32−1n+1−1n+2)=3(n+1)(n+2)2−(n+2)−(n+1)=3(n+1)(n+2)2−(2n+3)．令T n S n+1=3(a n+1)，整理得3n2−7n−6=0，所以n=3，故存在n=3满足题意．-------------------------------------------12分22.（1）证明：过点A作BC的垂线交BC于点G，因为AD//BC，AB=AD=DC=12BC=2，所以BG=1，则∠BAG=30°，∠ABG=60°，∵四边形ABCD为等腰梯形，且DA=DC，易知∠ACB=∠ACD=30°，所以∠BAC=90∘，即AB⊥AC，--------------------------3分因为PB⊥AC，PB∩AB=B，PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB，因为AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD；-----------------------------6分（2）因为PA=4，PB=2√3，AB=2，则PA2=PB2+AB2，所以PB⊥BA，由(1)知平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PB⊂平面PAB，∴PB⊥平面ABCD，又PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，过点D作DE⊥BC于E，又平面PBC∩平面ABCD=BC，DE⊂平面ABCD，则DE⊥平面PBC，过E作EF⊥PC交PC于F，连接DF，∵DE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，故DE⊥PC，又EF⊥PC，DE∩EF=E，DE，EF⊂平面DEF，故PC⊥平面DEF，有DF⊂平面DEF，则DF⊥PC，则∠DFE为所求二面角的平面角，--------------------------10分在梯形ABCD中，求得DE=√3，在Rt△PBC中，求得EF=√3√7，在Rt△DEF中，求得DF=√67，在Rt△DEF中，求得cos∠DFE=EFDF =√3√72√6√7=√24，故二面角B−PC−D的余弦值为√24．----------------------------=12分。
湖北省鄂南高中、鄂州高中、黄石二中2020学年高二数学上学期期中联考试题 文(答案不全)
湖北省鄂南高中、鄂州高中、黄石二中2020学年高二数学上学期期中联考试题 文（答案不全）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R ，集合{}2|||≤=x x A ，}011|{>-=x x B ，则=⋂BA ( )A ．]2,2[-B ．)1,2[-C ．]2,1(D ．),2[+∞- 2.在空间中，下列命题正确的是（ ）A.三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B 若平面βα⊥，且l =βαI ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面βC 若直线m 与平面α内的一条直线平行，则α//mD 若直线a 与直线b 平行，且直线a l ⊥，则b l ⊥3.直线03=+y x 被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ） A 1 B 2C 3D 324．在ABC ∆中，“B B A A sin cos sin cos +=+”是“ο90=C ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）A ．12B ．14 C ．1 D ．26．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（ ） A.34 B.32C. 3 D ．2 37、右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A 、1000N P =B 、 41000N P =C 、1000MP =D 、41000M P =8.在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若7321...a a a a a k ++++=，则k =( )A ．22B ．23C ．24D ．259.已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于A,B 两点，且-=+,其中O为坐标原点，则实数a 的值为（ ）A. 2B. -2C. 2或-2 D 6或6-10．若()f x 是R 上的减函数,且(0)3,(3)1f f ==-，设{}1()3P x f x t =-<+<，{}()1Q x f x =<-，若“”x P x Q ∈∈“” 是的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )A ．0t ≤B ．0t ≥C ．3t ≤-D ．3t ≥-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11.若数据组821,...,,k k k 的平均数为3，方差为3，则1282(3),2(3),,2(3)k k k +++L 的方差为______。
湖北省鄂南高中、鄂州高中、黄石二中2020学年高二数学上学期期中联考试题 理(答案不全)
湖北省鄂南高中、鄂州高中、黄石二中2020学年高二数学上学期期中联考试题 理（答案不全）一、选择题1.某企业有高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现抽取30人进行分层抽样调查，则各职称被抽取的人数分别为（ ）A 5，10，15B 3，9，18C 3，10，17D 5，9，16 2．等比数列{}n a 中,4,151==a a ,则=3a （ ）A ．2±B ．2C ．2-D ．2±3．已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．//,//m n αα，则//m n B ．,m m αβ⊥⊥，则//αβ C ．//,//m n m α，则//n α D ．,αγβγ⊥⊥，则//αβ4．若直线(1)3ax a y +-=与(1)(23)2a x a y -++=互相垂直，则a 等于（ ）A. 3B. 1C. 0或32-D. 1或－35．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A ．－3B ．－12C. 2D ．136．从某高中随机选取5名高二男生，其身高和体重的数据如下表所示：由上表可得回归直线方程y ^＝0.56x ＋a ^，据此模型预报身高为172 cm 的男生的体重大约为( )A ．70.09 KgB ．70.12 KgC ．70.55 KgD ．71.05 Kg7．ABCD 为长方形，2=AB ，1=BC ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( )A ．4πB ．14π- C ．8π D ．18π-8．已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中,22,21==CC AB , E 为1CC 的中点，则点C 到平面BED 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．29．已知圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=，(3,4)A 为定点，过A 的两条弦MN PQ 、互相垂直，记四边形MPNQ 面积的最大值与最小值分别为12,S S ，则2212S S -是（ ）A ．200B ．100C ．64D ．3610．对于定义域为R 的奇函数)(x f ,当22)(,0a a x x f x --=≥,若对,R x ∈∀都有)()4(x f x f ≥+。
湖北省鄂州高中、鄂南高中2020-2021学年高二上学期10月联考数学试题
故圆心到原点的距离的最小值为（3，4）到原点的距离减半径，
即
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆的轨迹方程，考查圆上的点到定点的距离得最值，是一道常规题．
7．C
【分析】
取 边中点 ，由已知得 ，即 是 的中点，可得到答案.
A．1B．2C． D．
3．若圆 上恰有3个点到直线 的距离为2， ，则 与 间的距离为（）
A．1B． C．3D．2
4．已知椭圆 的左右焦点为 ，点 在椭圆上，则 的最大值是（）
A．9B．16C．25D．27
5．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
6．已知半径为2的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（）
3．D
【分析】
由直线和圆位置关系知，与直线 距离为2的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，从而可得圆心到直线 的距离，由此求得直线 的方程，再由平行线间距离公式求解．
【详解】
∵圆 上恰有3个点到直线 的距离为2，圆的半径为3，
∴与直线 距离为2的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，则圆心 到直线 的距离为1，∴ ，∵ ，∴ ，即直线 方程为 ，
5．B
【分析】
由余弦的二倍角公式求得 ，再由诱导公式可得．
【详解】
由题意 ，
又 ，∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查二倍角公式，诱导公式，解题关键是寻找到“已知角”和“未知角”的关系，确定先用的公式与顺序，从而正确快速求解．
6．A
【分析】
设圆心坐标得圆的圆心轨迹方程，再利用点与点的距离公式求解
【详解】
学2020-2021学年高二数学上学期10月联考试题
学2020-2021学年高二数学上学期10月联考试题一、单选题1．设集合，集合，则（）A． B． C． D．2．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．3．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（）A． B． C． D．4．已知命题且为假命题，则可以肯定（）A．为真命题B．为假命题C．都是假命题D．中至少有一个是假命题5．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．B．C．D．6．若, 则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．命题“”的否定为（）A．B．C．D．8．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（）A．B．C．D．9．已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．11．（多选题）下列命题正确的是（）A． B．，使得C．是的充要条件 D．若，则12．（多选题）数列的前项和为，若，，则有（）A．B．为等比数列C．D．二、填空题13．如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．14．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.15．正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．16．已知椭圆的左焦点为，右焦点为．若椭圆上存在一点，线段与圆相切于点，且为线段中点，则该椭圆的离心率为_____．三、解答题17．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.（1）求的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.18．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.19．已知数列是等比数列，且，其中成等差数列．（1）数列的通项公式；（2）记，则数列的前项和．20．已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.21．设数列的前项和为，已知.（1）令，求数列的通项公式；（2）若数列满足：.①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.22.设O为坐标原点,椭圆的左焦点为F,离心率为.直线与C交于两点, 的中点为M,（1）求椭圆C的方程（2）设点,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.高二年级10月联考数学试题答案一、单选题1．设集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，利用并集的概念即可.【详解】由题意可得，，所以，故选：A．2．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选C．3．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意可得：|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,而结合椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a,∴2a=4，2c=2，由a2=b2+c2，∴b2=3∴椭圆的方程为，选B.4．已知命题且为假命题，则可以肯定（）A．为真命题B．为假命题C．都是假命题D．中至少有一个是假命题【答案】D【解析】本题考察的是复合命题．由条件可知，只有当都是真命题时“”才为真命题．所以应选D．5．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为，令，令k=-1,所以.故选A6．若, 则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，可验证方程满足双曲线的要求，充分性得证；根据，可求得当方程表示双曲线时的取值范围，得到必要性不成立，从而得到结果.【详解】当时，，则方程表示双曲线，充分条件成立；若方程表示双曲线，则，解得：或必要条件不成立综上所述：“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件故选7．命题“”的否定为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接进行判断可得答案.【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词换为存在量词，不等号换为＞，可得命题“”的否定为“”，故选：B.8．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】求出数列的通项公式，然后利用裂项求和法可求得所求代数式的值.【详解】，，，，则，所以，，其中且，因此，.故选：D.9．已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出，由平方后可求得即，再由已知求得，结合正弦定理可求得外接圆半径，从而得外接圆面积.【详解】∵，∴，．又是中点，∴，∴，即，解得，∴，，∴，，∴．故选：A．10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】化角为边，由余弦定理求出角的取值范围，设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.【详解】在中，由正弦定理及，得，由余弦定理，得，又因为，所以，记，则.因为，所以，从而，所以可化为，即，恒成立，所以依题有，化简得，即得恒成立，又由，得或.故选:A.11．（多选题）下列命题正确的是（）A．B．，使得C．是的充要条件D．若，则【答案】AD【解析】【分析】对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，时，，故A选项正确.对于B选项，当时，不成立，故B选项错误.对于C选项，当“”时，“”成立；当“”时，如，此时，故“”不成立，也即“”是“”的充分不必要条件.故C选项错误.对于D选项，当时，，，由于，故，所以D选项正确.故填：AD.12．（多选题）数列的前项和为，若，，则有（）A．B．为等比数列C．D．【答案】ABD【解析】【分析】由数列中和的关系式，求得数列的通项公式，可判定D正确；再利用题设条件，求得的表达式，可判定A正确，最后结合等比数列的定义，可判定B正确.【详解】由题意，数列的前项和满足，当时，，两式相减，可得，可得，即，又由，当时，，所以，所以数列的通项公式为；当时，，又由时，，适合上式，所以数列的的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，综上可得选项是正确的.故选：ABD.二、填空题13．如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．【答案】或【解析】【分析】由韦达定理可得出，，代入不等式，消去得出，再解该不等式即可.【详解】由韦达定理得，，代入不等式，得，，消去得，解该不等式得，因此，不等式的解集为或，故答案为或.14．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.【答案】【解析】【分析】【详解】试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b ,C=120,，则由余弦定理，c= a+ b-2abcosC，,三边长为6,10,14，,b= a+ c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB, cosB=，sinB=可知S== .15．正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．【答案】【解析】【分析】先由题意列关于的方程组，求得的通项公式，再表示出，即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为.由，，成等差数列，可得，则，所以，解得(舍去)或.因为，所以.所以.所以.所以，当时，取得最小值，取得最小值.故答案为：.16．已知椭圆的左焦点为，右焦点为．若椭圆上存在一点，线段与圆相切于点，且为线段中点，则该椭圆的离心率为_____．【答案】.【解析】【分析】连接，．利用切线的性质可得．利用三角形中位线定理可得：，．再利用勾股定理与离心率计算公式即可得出．【详解】解：如图所示，连接线段与圆相切于点，．又为的中点，化为：解得．故答案为：．三、解答题17．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.（1）求的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长、焦距、离心率【解析】【分析】（1）根据题意，代入点，即可求解.（2）由（1），写出椭圆方程，求解，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.【详解】（1）由题意，点在椭圆上，代入，得，解得（2）由（1）知，椭圆方程为，则椭圆的长轴长；’短轴长；焦距；离心率.18．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.【答案】（1）；（2）分析：（1）在中，根据余弦定理求得，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的长．详解：（1）在中，由余弦定理得，∵为三角形的内角，，，．（2）在中，，由正弦定理得：∴．19．已知数列是等比数列，且，其中成等差数列．（1）数列的通项公式；（2）记，则数列的前项和．【答案】（1）；（2）【分析】(1)设数列是公比为的等比数列,运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得公比,进而得到所求通项公式;(2)求得,运用数列的分组求和法,结合等差数列和等比数列的求和公式,计算可得所求和.【详解】(1)设数列的公比为,因为,,成等差数列,所以,又因为,所以,即,所以或(舍去),所以;(2)由(1)知,,所以.20．已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）【解析】【分析】（1）根据韦达定理直接求解即可.（2）转化为，然后分别对，，，进行讨论即可.（3）因为对于任意的都有，转化为，进而得到，然后分别求出，即可.【详解】解：（1）因为的解集为，所以的根为，2，所以，，即，；所以；（2），化简有，整理，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，（3）因为时，根据二次函数的图像性质，有，则有，所以，，因为对于任意的都有，即求，转化为，而，，所以，此时可得，所以M的最小值为.21．设数列的前项和为，已知.（1）令，求数列的通项公式；（2）若数列满足：.①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）①；②存在，【解析】【分析】（1）由题，得，即可得到本题答案；（2）①由，得，所以，恒等变形得，，由此即可得到本题答案；②由错位相减求和公式，得的前n项和，然后通过求的解，即可得到本题答案.【详解】（1）因为，所以，即，又因为，所以，即，所以数列是以2为公比和首项的等比数列，所以；（2）①由（1）知，，当时，，又因为也满足上式，所以数列的通项公式为，因为，所以，所以，即，因为，所以数列是以1为首项和公差的等差数列，所以，故；②设，则，所以，两式相减得，所以，∵，∴，即：，即.令，则，即，所以，数列单调递减，，因此，存在唯一正整数，使得成立.22.设O为坐标原点,椭圆的左焦点为F,离心率为.直线与C交于两点, 的中点为M,（1）求椭圆C的方程（2）设点,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标解：（1）设椭圆的右焦点为,则为的中位线,所以,所以因为,所以,所以,所以椭圆C的方程为:（2）设联立,消去y整理得:所以,,所以因为所以所以整理得: 解得: 或 (舍去)所以直线l过定点.学2020-2021学年高二数学上学期10月联考试题一、单选题1．设集合，集合，则（）A． B． C． D．2．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．3．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（）A． B． C． D．4．已知命题且为假命题，则可以肯定（）A．为真命题B．为假命题C．都是假命题D．中至少有一个是假命题5．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．B．C．D．6．若, 则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．命题“”的否定为（）A．B．C．D．8．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（）A．B．C．D．9．已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．11．（多选题）下列命题正确的是（）A． B．，使得C．是的充要条件 D．若，则12．（多选题）数列的前项和为，若，，则有（）A．B．为等比数列C．D．二、填空题13．如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．14．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.15．正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．16．已知椭圆的左焦点为，右焦点为．若椭圆上存在一点，线段与圆相切于点，且为线段中点，则该椭圆的离心率为_____．三、解答题17．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.（1）求的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.18．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.19．已知数列是等比数列，且，其中成等差数列．（1）数列的通项公式；（2）记，则数列的前项和．20．已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.21．设数列的前项和为，已知.（1）令，求数列的通项公式；（2）若数列满足：.①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.22.设O为坐标原点,椭圆的左焦点为F,离心率为.直线与C交于两点, 的中点为M,（1）求椭圆C的方程（2）设点,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.高二年级10月联考数学试题答案一、单选题1．设集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，利用并集的概念即可.【详解】由题意可得，，所以，故选：A．2．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选C．3．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意可得：|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,而结合椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a,∴2a=4，2c=2，由a2=b2+c2，∴b2=3∴椭圆的方程为，选B.4．已知命题且为假命题，则可以肯定（）A．为真命题B．为假命题C．都是假命题D．中至少有一个是假命题【答案】D【解析】本题考察的是复合命题．由条件可知，只有当都是真命题时“”才为真命题．所以应选D．5．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为，令，令k=-1,所以.故选A6．若, 则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，可验证方程满足双曲线的要求，充分性得证；根据，可求得当方程表示双曲线时的取值范围，得到必要性不成立，从而得到结果.【详解】当时，，则方程表示双曲线，充分条件成立；若方程表示双曲线，则，解得：或必要条件不成立综上所述：“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件故选7．命题“”的否定为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接进行判断可得答案.【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词换为存在量词，不等号换为＞，可得命题“”的否定为“”，故选：B.8．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】求出数列的通项公式，然后利用裂项求和法可求得所求代数式的值.【详解】，，，，则，所以，，其中且，因此，.故选：D.9．已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出，由平方后可求得即，再由已知求得，结合正弦定理可求得外接圆半径，从而得外接圆面积.【详解】∵，∴，．又是中点，∴，∴，即，解得，∴，，∴，，∴．故选：A．10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】化角为边，由余弦定理求出角的取值范围，设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.【详解】在中，由正弦定理及，得，由余弦定理，得，又因为，所以，记，则.因为，所以，从而，所以可化为，即，恒成立，所以依题有，化简得，即得恒成立，又由，得或.故选:A.11．（多选题）下列命题正确的是（）A．B．，使得C．是的充要条件D．若，则【答案】AD【解析】【分析】对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，时，，故A选项正确.对于B选项，当时，不成立，故B选项错误.对于C选项，当“”时，“”成立；当“”时，如，此时，故“”不成立，也即“”是“”的充分不必要条件.故C选项错误.对于D选项，当时，，，由于，故，所以D选项正确.故填：AD.12．（多选题）数列的前项和为，若，，则有（）A．B．为等比数列C．D．【答案】ABD【解析】【分析】由数列中和的关系式，求得数列的通项公式，可判定D正确；再利用题设条件，求得的表达式，可判定A正确，最后结合等比数列的定义，可判定B正确.【详解】由题意，数列的前项和满足，当时，，两式相减，可得，可得，即，又由，当时，，所以，所以数列的通项公式为；当时，，又由时，，适合上式，所以数列的的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，综上可得选项是正确的.故选：ABD.二、填空题13．如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．【答案】或【解析】【分析】由韦达定理可得出，，代入不等式，消去得出，再解该不等式即可.【详解】由韦达定理得，，代入不等式，得，，消去得，解该不等式得，因此，不等式的解集为或，故答案为或.14．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.【答案】【解析】【分析】【详解】试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b ,C=120,，则由余弦定理，c= a+ b-2abcosC，,三边长为6,10,14，,b= a+ c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB, cosB=，sinB=可知S==.15．正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．【答案】【解析】【分析】先由题意列关于的方程组，求得的通项公式，再表示出，即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为.由，，成等差数列，可得，则，所以，解得(舍去)或.因为，所以.所以.所以.所以，当时，取得最小值，取得最小值.故答案为：.16．已知椭圆的左焦点为，右焦点为．若椭圆上存在一点，线段与圆相切于点，且为线段中点，则该椭圆的离心率为_____．【答案】.【解析】【分析】连接，．利用切线的性质可得．利用三角形中位线定理可得：，．再利用勾股定理与离心率计算公式即可得出．【详解】解：如图所示，连接线段与圆相切于点，．又为的中点，化为：解得．故答案为：．三、解答题17．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.（1）求的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长、焦距、离心率【解析】【分析】（1）根据题意，代入点，即可求解.（2）由（1），写出椭圆方程，求解，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.【详解】（1）由题意，点在椭圆上，代入，得，解得（2）由（1）知，椭圆方程为，则椭圆的长轴长；’短轴长；焦距；离心率.18．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，根据余弦定理求得，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的长．详解：（1）在中，由余弦定理得，∵为三角形的内角，，，．（2）在中，，由正弦定理得：∴．19．已知数列是等比数列，且，其中成等差数列．（1）数列的通项公式；（2）记，则数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)设数列是公比为的等比数列,运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得公比,进而得到所求通项公式;(2)求得,运用数列的分组求和法,结合等差数列和等比数列的求和公式,计算可得所求和.【详解】(1)设数列的公比为,因为,,成等差数列,所以,又因为,所以,即,所以或(舍去),所以;(2)由(1)知,,所以.20．已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）【解析】【分析】（1）根据韦达定理直接求解即可.（2）转化为，然后分别对，，，进行讨论即可.（3）因为对于任意的都有，转化为，进而得到，然后分别求出，即可.【详解】解：（1）因为的解集为，所以的根为，2，所以，，即，；所以；（2），化简有，整理，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，（3）因为时，根据二次函数的图像性质，有，则有，所以，，因为对于任意的都有，即求，转化为，而，，所以，此时可得，所以M的最小值为.21．设数列的前项和为，已知.（1）令，求数列的通项公式；（2）若数列满足：.①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）①；②存在，【解析】【分析】（1）由题，得，即可得到本题答案；（2）①由，得，所以，恒等变形得，，由此即可得到本题答案；②由错位相减求和公式，得的前n项和，然后通过求的解，即可得到本题答案.【详解】（1）因为，所以，即，又因为，所以，即，所以数列是以2为公比和首项的等比数列，所以；（2）①由（1）知，，当时，，又因为也满足上式，所以数列的通项公式为，因为，所以，所以，即，因为，所以数列是以1为首项和公差的等差数列，所以，故；②设，则，所以，两式相减得，所以，∵，∴，即：，即.令，则，即，所以，数列单调递减，，因此，存在唯一正整数，使得成立.22.设O为坐标原点,椭圆的左焦点为F,离心率为.直线与C交于两点, 的中点为M,（1）求椭圆C的方程（2）设点,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标解：（1）设椭圆的右焦点为,则为的中位线,所以,所以因为,所以,所以,所以椭圆C的方程为:（2）设联立,消去y整理得:所以,,所以因为所以所以整理得: 解得: 或 (舍去)所以直线l过定点.。
2020-2021学年湖北省鄂州高中、鄂南高中高二上学期10月联考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省鄂州高中、鄂南高中高二上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知直线6320x y -+=的倾斜角为α，则2sin 22cos αα-=（ ） A ．25-B ．45-C ．125-D ．25【答案】D【解析】由已知条件可得2tan α=，而22222sin cos 2cos sin 22cos sin cos ααααααα--=+22tan 2tan 1αα-=+，从而可求得结果 【详解】解：因为直线6320x y -+=的倾斜角为α， 所以2tan α=，所以cos 0α≠，所以22222sin cos 2cos sin 22cos sin cos ααααααα--=+ 22tan 2tan 1αα-=+22222215⨯-==+，故选：D 【点睛】此题考查直线的倾斜角和斜率的关系，考查正弦的二倍角公式的应用，考查同角三角函数的关系，属于基础题2．已知向量a 与b 的夹角为45°，||2,||2a b ==，当(2)b a b λ⊥-时，实数λ为（ ） A ．1 B ．2 C ．12D ．12-【答案】B【解析】由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的运算律计算可得． 【详解】∵(2)b a b λ⊥-，∴22(2)22cos 450b a b a b b a b b λλλ⋅-=⋅-=︒-=，∴222cos 452a bλ⨯⨯︒===．故选：B ． 【点睛】本题考查向量垂直的数量积表示，考查数量积的运算律，属于基础题． 3．若圆22:9C x y +=上恰有3个点到直线:0(0)l x y b b -+=>的距离为2，1:0l x y -+=，则l 与1l间的距离为（ ）A ．1BC ．3D ．2【答案】D【解析】由直线和圆位置关系知，与直线l 距离为2的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，从而可得圆心到直线l 的距离，由此求得直线l 的方程，再由平行线间距离公式求解． 【详解】∵圆22:9C x y +=上恰有3个点到直线:0(0)l x y b b -+=>的距离为2，圆的半径为3，∴与直线l 距离为2的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，则圆心(0,0)C 到直线l 的距离为11=，∵0b>，∴b =l 方程为0x y -，∴l 与1l间的距离为2d ==．故选：D ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查两平行线间的距离公式，用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系是常用方法．4．已知椭圆221259x y +=的左右焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，则12PF PF ⋅的最大值是（ ） A ．9 B ．16C ．25D ．27【答案】C【解析】由椭圆定义得12PF PF +，然后由基本不等式可得结论． 【详解】由题意5a =，12210PF PF a +==，221212102522PF PF PF PF ⎛⎫+⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当125PF PF ==时等号成立，故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的定义，考查基本不等式求最值．掌握椭圆的定义是解题基础．5．已知2sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．19B ．19-C ．19±D ．89-【答案】B【解析】由余弦的二倍角公式求得2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由诱导公式可得．【详解】由题意22221cos 212sin 123339ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又2cos 2cos 2sin 23626ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴1sin 269πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，解题关键是寻找到“已知角”和“未知角”的关系，确定先用的公式与顺序，从而正确快速求解．6．已知半径为2的圆经过点(4,3)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【解析】设圆心坐标得圆的圆心轨迹方程，再利用点与点的距离公式求解 【详解】半径为2的圆经过点（3，4），设圆心坐标为(),a b 则圆的方程为()()223+4=4a b -- ，可得该圆的圆心轨迹为（3，4）为圆心，2为半径的圆，故圆心到原点的距离的最小值为（3，4）到原点的距离减半径， 即223423+-= 故选：A ． 【点睛】本题考查了圆的轨迹方程，考查圆上的点到定点的距离得最值，是一道常规题． 7．已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，20OA OB OC ++=，则OBC ABCS S=（ ）A ．13B ．14C ．12D ．15【答案】C【解析】取BC 边中点D ，由已知得22OB OC OD AO +==，即O 是AD 的中点，可得到答案. 【详解】取BC 边中点D ，连接AD ，由20OA OB OC ++=，得22OB OC OD AO +==，所以OD AO =，所以O 是AD 的中点，OBC 与ABC 有相同的底边BC ，它们的高之比即为OD 与AD 的比为12，12OBC ABCS S∴=故选：C. 【点睛】向量的加减运算是解决问题的关键，要正确分析.8．如图，要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是4π，在D 点测得塔顶A 的仰角是6π，水平面上的,40m 3BCD CD π∠==，则电视塔AB 的高度为（ ）mA ．20B ．30C ．40D ．50【答案】A【解析】设电视塔高为h ，表示出,BD BC 后由余弦定理列式可求得h ． 【详解】 设AB h =，则间tan4h BC hπ==，3tan6h BD hπ==，在BCD 中，,40m 3BCD CD π∠==，则2222cos BD CB CD CB D BCD =+-⋅∠， 即222221340240cos 408032h h h h h π=+-⨯⨯=+-⨯，解得20h =（40-舍去）． 故选：A ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，根据已知条件选择恰当的公式求解是解题关键．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．平面内到两个定点12,F F 的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆；B ．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若A B >则a b >； C ．若数列{}n a 为等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；D ．垂直于同一个平面的两条直线平行． 【答案】BD【解析】分别根据椭圆的定义，三角形的边角关系，等比数列的定义，线面垂直的性质定理判断． 【详解】若距离之和等于12F F ，则轨迹是线段12F F ，不是椭圆，A 错； 三角形中大边对大角，大角对大边，B 正确；{}n a 的公比1q =-时，10n n a a ++=，{}1n n a a ++不是等比数列，C 错；由线面垂直的性质定理知D 正确． 故选：BD ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，需要掌握椭圆的定义，三角形的边角关系，等比数列的定义，线面垂直的性质定理等知识，考查知识面较广，属于基础题． 10．下列命题中的真命题有（ ）A ．已知,a b 是实数，则“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的充分而不必要条件；B ．已知命题:0p x ∀>，总有(1)1x x e +>，则0:0p x ⌝∃≤，使得()011xx e +≤C ．设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“//m β”是“//αβ”的必要而不充分条件；D ．“200,2xx R x ∃∈>”的否定为“2,2x x R x ∀∈≤”【答案】CD【解析】根据全称命题、特称命题的否定的判定，充分不必要条件、必要不充分条件的判断逐项排除. 【详解】,a b 是实数，由1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得a b >，由33log log a b >得0a b >>， 所以错误；B. 命题:0p x ∀>，总有(1)1x x e +>，则0:0p x ⌝∃>，使得()011xx e +≤，所以错误；C. 设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“//m β”是“//αβ”的必要而不充分条件，正确；D. “200,2xx R x ∃∈>”的否定为“2,2x x R x ∀∈≤”，正确，故选：CD. 【点睛】本题考查了全称命题、特称命题的否定，充分不必要条件、必要不充分条件的判断. 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ）A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．13n S n=C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列【答案】ABD【解析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求得n S ，利用n S 求出n a ，并确定3n S 的表达式，判断D ． 【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确； 公差为3，又11113S a ==，所以133(1)3n n n S =+-=，13n S n=．B 正确； 2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，∴{}3n S 是等比数列，D 正确．故选：ABD ． 【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．12．己知正三棱锥P ABC -的底面边长为1，点P 到底面ABC则（ ） ABC．该三棱锥体积为12D ．AB 与PC 所成的角为2π【答案】ABD 【解析】【详解】如图，PM 是棱锥的高，则M 是ABC 的中心，D 是AB 中点，233144ABC S =⨯=△，1136233412P ABC ABC V S PM -=⋅=⨯⨯=△，C 错； 1331326DM =⨯⨯=，22353(2)66PD ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，33CM =． 12PBC S BC PD =⨯⨯△1535312612=⨯⨯=， 所以53333331242PBC ABC S S S =+=⨯+=△△， 设内切球半径为r ，则13P ABC Sr V -=，632126332r ⨯==，A 正确；易知外接球球心在高PM 上，球心为O ，设外接球半径为R ， 则()222323R R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得7212R =，B 正确； 由PM ⊥平面ABC ，AB 平面ABC 得PM AB ⊥，又CD AB ⊥，CD PM M =，所以AB ⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以AB PC ⊥，所以AB 与PC 所成的角为2π，D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查正棱锥的性质，考查棱锥的体积，内切球与外接球问题，异面直线所成的角，掌握正棱锥的性质是解题关键．三、填空题13．已知等差数列{}n a 前n 项和n S ，且201920200,0S S ><，若10k k a a +<，则k 的值为________ 【答案】1010【解析】利用等差数列的性质与前n 项和公式求解． 【详解】1201920192019()02a a S +=>，则120190a a +>，12019101020a a a +=>，∴10100a >，1202020202020()02a a S +=<，则120200a a +<，∴12020101010110a a a a +=+<，∴10110a <，由等差数列的性质知数列前1010项为正，从第1011项起均为负， ∴满足10k k a a +<的1010k =． 故答案为：1010． 【点睛】本题考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，掌握等差数列性质是解题关键．14．已知tan ,tan αβ为方程260x ++=的两根，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________【答案】23π-【解析】应用韦达定理后，求得tan()αβ+，再确定αβ+的范围后可得． 【详解】由题意tan tan tan tan 6αβαβ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩tan ,tan αβ均为负数，即,,02παβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，(,0)αβ+∈-π，又tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++===-∴23αβπ+=-． 故答案为：23π-．【点睛】本题考查两角和的正切公式，求角问题的解题方法与步骤：（1）确定角的范围（可能需要通过三角函数值缩小范围）；（2）求出角的某个三角函数值，（3）得结论． 15．正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 为AB 的中点，则异面直线1B M 与1A D 所成角的余弦值是____________【答案】105【解析】连接1,B C CM ，证明1MB C ∠（或其补角）为所求异面直线所成的角，在三角形中应用余弦定理求解． 【详解】如图，连接1,B C CM ，正方体中11A B 与CD 平行且相等，∴11A B CD 是平行四边形，∴11//B C A D ，∴异面直线1B M 与1A D 所成角为1MB C ∠（或其补角），1B CM △中，∵M 是AB 中点，∴15MC MB ==，122=BC ， 2221(5)(22)(5)10cos 52522MB C +-∠==⨯⨯． 故答案为：105．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题方法是作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形可得．三个步骤：一作二证三计算．16．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A B 、两点，且OA OB +与(4,2)a =-共线，则椭圆的离心率e =_______【答案】2【解析】把直线方程y x c =-代入椭圆方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得12x x +，求OA OB +，由OA OB +与(4,2)a =-共线，可得,,a b c 的等量关系，化简变形后可求得离心率e ． 【详解】设椭圆方程是22221x y a b+=，右焦点为2(,0)F c ，直线l 方程为y x c =-，代入椭圆方程并整理得：22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212222a cx x a b +=+，又212122222cb y y x x c a b+=+-=-+， ∵1212(,)OA OB x x y y +=++与(4,2)a =-共线，∴121242x x y y ++=-，∴2222222a c cb a b a b=++，∴222222()a b a c ==-，222a c =，∴2c e a ==．故答案为：2． 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12x x +，然后表示出OA OB +，由OA OB +与(4,2)a =-共线，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．四、解答题17．在ABC 中，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，)222,12ABCSa b c ac =+-=sin 3sin A B（1）求角C 的大小； （2）求c 边的长． 【答案】（1）6π；（2）3c =.【解析】（1）已知三角形面积结合余弦定理可求得tan C ，从而得C 角； （2）由正弦定理化角为边，再由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，两者结合可得b c =，求出A 角后，由余弦定理得3a c =，从而可求得c ．【详解】 解：（1）由()222312ABCSa b c =++得13sin 2cos 212ab C ab C =⋅ 3tan 3C ∴=又(0,)6C C ππ∈∴= （2）由sin 3sin AB 及正弦定理得3a b ，由余弦定理得2222232cos (3)232c a b ab C b b b b =+-=+-⋅⋅⋅b c ∴=，所以6B C π==，23A π=，由正弦定理sin sin a c A C =，得2sin33sin 6c a c ππ==， 2333ac c ==，所以3c =．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，考查运算求解能力．基础题．18．已知四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SA ⊥面ABCD ，E 为SC 上的一点，（1）求证：面EBD ⊥面 SAC（2）若2,1SA AB ==，求 SA 与平面SBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】（1）由BD AC ⊥以及SA BD ⊥可得BD ⊥面SAC ，再根据面面垂直的判定定理即可证出；（2）设 SA 与平面SBD 所成角为θ，用等积法可求出点A 到面SBD 的距离为d ，根据sin dSAθ=即可解出． 【详解】（1）∵底面ABCD 为正方形，∴BD AC ⊥， 又∵SA ⊥面ABCD ，∴SA BD ⊥，而SA AC A ⋂= ∴BD ⊥面SAC ，BD ⊂面EBD ，故面EBD ⊥面SAC ． （2）设A 到面SBD 的距离为d ． ∵S ABD A SBD V V --=，∴11112113232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯∴23d =．设SA 与面SBD 所成的角为θ，∴213sin 23d SA θ===． 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理的应用，以及利用等积法求斜线与平面所成角，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题． 19．已知数列{}n a 中，()*111,4nn n a a a n N a +==∈+， （1）求证：113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 中，()()*412n n n n n b a n N -⋅=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）证明见解析，341n n a =-；（2）()16(36)2n ns n n N +=-+∈. 【解析】（1）根据等比数列的定义证明，由等比数列通项公式可得n a ； （2）求出n b ，用错位相减法求和n S ． 【详解】 解：（1）14nn n a a a +=+， 14141141n n n n na a a a a ++∴==+=⋅+， 1114n n a a λλ+⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，13λ=， 11111433n n a a +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭， 1114033a +=≠， 113n a ⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭是以43为首项，4为公比的等比数列，()111411441333n nn n a a -∴+=⨯∴=-， ∴341n n a =-． （2）()34122n n n n n n n b a -⋅==， 2111363222nn S n =⨯+⨯++⨯① 23111113632222n n S n +=⨯+⨯++⨯② -①②得231111111133333322222222nn n n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()16(36)2n nS n n N +=-+∈ 【点睛】本题考查等比数列的证明与通项公式，考查错位相减法求和．数列求和有几种常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法．20．有一堆规格相同的铁制（铁的密度为37.8g /cm ）六角螺帽共重6kg ，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，（1）求一个六角螺帽的体积；（精确到30.001cm ） （2）问这堆六角螺帽大约有多少个？（参考数据： 3.14,3 1.73,2.9527.823,1.0837.88.45π==⨯≈⨯≈） 【答案】（1）()32.952cm；（2）261个. 【解析】（1）利用六棱柱的体积减去圆柱的体积即得解； （2）计算61000(7.8 2.952)⨯÷⨯即得解. 【详解】（1）由题得22310(12)610 3.141042V ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭3736.8785=-()()332951.82952mm 2.952cm =≈=（2）这堆螺帽的个数为：61000(7.8 2.952)261⨯÷⨯≈（个） 答：每个螺帽的体积为32.952cm ，共有261个螺帽. 【点睛】本题主要考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．已知圆22: 4230C x y x y +-+-=和圆外一点(0,8)M -，（1）过点M 作一条直线与圆C 交于,A B 两点，且||4AB =，求直线AB 的方程； （2）过点M 作圆C 的切线，切点为,E F ，求EF 所在的直线方程． 【答案】（1）0x =或45282240x y --=；（2）27110x y ++=.【解析】（1）斜率存在时，设出直线方程8y kx +=，求出圆心到直线的距离，由垂径定理可得k ，得直线方程，检验直线斜率不存在时，弦长为4，符合题意；（2）求出以CM 为直径的圆的方程，此圆与圆C 的交线即为弦EF 所在直线．两圆方程相减得即． 【详解】（1）圆22:(2)(1)8C x y -++=，则圆心(2,1)C -，半径22r =，①若直线AB 的斜率存在，设直线:8AB y kx +=， 即222|218|4580,(22)2,281k kx y d k k +---===-⇒=+ 此时，直线AB 方程为458028x y --=； ②若直线AB 的斜率不存在，则直线:0AB x =，代入2230y y +-=得121,3y y ==-，此时AB 4=，合乎题意.综上所求直线AB 的方程为：0x =或45282240x y --=； （2）以CM 为直径的圆的方程()()()2180x x y y -+++=， 即：222980x y x y +-++=，①；224230x y x y +-+-=，②. ①-②得27110x y ++=，因此，直线EF 的方程为27110x y ++=. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查求切点弦所在直线方程，垂径定理，属于中等题．掌握切点弦的性质是解题关键．22．已知椭圆2222:?1(0)x y C a b a b+=>>．离心率为12，点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点直线,OM ON 的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由． 【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，理由见解析. 【解析】（1）由题意有12c e a ==，点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形有2a =，即可写出椭圆方程；（2）直线y kx m =+与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，联立方程结合韦达定理即有()12221228km 344m 334x x k x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，已知34OM ON k k =-应用点线距离公式、三角形面积公式即可说明OMN 的面积是否为定值； 【详解】（1）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>离心率为12，即12c e a ==，∵点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形， ∴2a =，综上有：1c =，b =22143x y +=，（2）由直线与椭圆交于,M N 两点，联立方程：22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222348430k x kmx m +++-=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则()()()()()222221222122816343484308{344334km k mk m km x x k m x x k ∆=-+-=+->-+=+-=+，()()()2212121212121212OM ONkx m kx m k x x mk x x m y y k k x x x x x x +++++===()()()()()22222222224m 383434344343k k m m k m k m m --++-===---，22243m k ∴=+，12MN x =-== 原点O 到l的距离d =2OMNMN Sd ∴=⋅== 【点睛】本题考查了由离心率求椭圆方程，根据直线与椭圆的相交关系证明交点与原点构成的三角形面积是否为定值的问题.。
湖北省鄂州市颚南高中2020届高三数学10月联考试题 理
A������x＞y＞z
B������y＞x＞z
C������x＝y＞z
D������y＞z＞x
６������ 设 A、B、C 为三角形三内角,且方程(sinB－sinA)x２＋(sinA －sinC)x＋sinC－sinB＝０
有两相等的实根,那么角 B( )
A������B＞６０°
B������B≥６０°
A������２
B������４
C������６
D������８
１１������
已知
实
数a、b、c、d
满
足a－２ea b
＝d１－－c３＝１(e
是
自
然
对
数
的
底
数),则(a－c)２＋
(b－d)２
的 最 小 值 为 ( )
A������１０
B������１８
C������８
D������１２
１２������１７７７年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投 针 问 题,此 后 人 们 根 据 蒲 丰 投 针 原 理,运
２２������(１２分)已知函数f(x)＝ax－xa －２lnx(a∈R)．
(１)若f(x)是定义域上的增函数,求a 的取值范围;
(２)设a＞
３ ５
,m
,n
分
别 为f(x)的
极
大值
和极
小
值 ,若
S＝m
－n,求
S
的取
值
范围
．
【２０１９ 年 高 三 年 级 １０ 月 联 考 ������ 理 科 数 学 (共 ４ 页 )第 ４ 页 】
图,则输出n 的值等于( )
A������２９
B������３０
湖北省鄂州市颚南高中2021-2022届高三数学上学期10月月考试题文(含解析)
湖北省鄂州市顎南高中2020届高三数学上学期10月月考试题文(含解析)一、选择题：本大题共12个小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，为虚数单位，Z表示复数z的共轴复数，若z = l + f,则三■二=()z-zA. -/B. 2iC. -1D. 1【答案】A【解析】【分析】先求得三，然后利用夏数减法、除法、乘法的运算，化简所求表达式.【详解】依题意Z = l-/.故=3 = -^-=匚=匚上=一'，故选A.z-z万I /■(-/)【点睛】本小题主要考查共貌雙数的概念，考査复数乘法、除法、减法运算，属于基础题.2.己知集合M = {y|y = 3 盘 >。
}, N = {由=lg(3x-/)}，则M cN 为( )A. [1,+oc) B, (1，E C. [3,-KO) D. (13)【答案】Dt解析】【分析】求出集合材、N,然后利用交集的定义可求出集合McN,【详解】当x>0时.由于函数y = 3*是增函数，此时y = y>{.则M=(l,俱).»={』,丫 =如(3工_『)}={可3庁_/>0} = {.巾2_3工<0}=(0,3), 因此，MnN = (l,3).故选：D.【点睛】本题考查集合交集的计算.同时也考査了指数函数的值域与对数函数的定义域的求解，考査计算能力，属于基础题.3.已知实数。
、。
、C满足那么“t/c<o”是“沥>nc"成立的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件t答案】B【解析】【分析】由“cvO,可得出c<O<d.由汕〉“c可知“>0,然后再根据己知条件以及逻辑性关系推导出两者间的充分不必要条件关系.【详解】若ac<（）,则必有c <0<^7 ,由b>c ,可得出al）>ac ,则ac <0=>ab>ac ；另一方面，若, Hc<b<a,则« >0.事实上，^c<b<a<0.则沥vw.则ab> ac =f>ac<0.因此，“acvO”是M ab>ac''成立的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断.同时也考查了不等式性质的应用，考查逻辑推理能力，属于中等题.4•设a=^' b = l°gj.：，cTog^L 则〃、b、c的大小关系是（）A. a <b<cB. c<a<bC. a<c<bD.c<b<a【答案】C【解析】【分析】先比较〃、b、。
2020届湖北省鄂州市颚南高中高三上学期10月月考数学(理)试题(解析版)
2020届湖北省鄂州市颚南高中高三上学期10月月考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{41,}N x x k k Z ==±∈，则（ ） A ．M N = B ．M N ≠⊂ C ．N M ≠⊂ D ．Z N M =ð【答案】A【解析】由k Z ∈，从而k 可以表示成2k n =，或21,k n n Z =-∈，这样代入集合M 便可得到{}|41,M x x n n Z ==±∈，从而便可看出集合M 是表达形式同集合N 的相同，这样既可判断集合,M N 的关系. 【详解】因为k Z ∈，所以2k n =，或21,k n n Z =-∈，所以{|41M x x n ==+或}{}41,|41,x n n Z x x n n Z =-∈==±∈， 又{}|41,N x x k k Z ==±∈， 所以M N =， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关判断两集合关系的问题，涉及到的知识点有集合相等的条件，根据题意，判断集合中元素特征，属于简单题目.2．已知复数z 满足(12)3z i i -=+，则共轭复数z 的模为（ ）A ．75B ．1CD ．2【答案】C【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解即可得结果. 【详解】由(12)3z i i -=+， 得3(3)(12)3261712(12)(12)555i i i i i z i i i i +++-++====+--+，所以z z === 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于简单题目.3．“()()120x y --=”是“1x =且2y =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由题可知()()120x y --=，可以解得1x =或2y =， 则从()()120x y --=不能推出1x =且2y =， 即不能满足其充分性，而由1x =且2y =能推出()()120x y --=， 即能证明其必要性满足，所以“()()120x y --=”是“1x =且2y =”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关必要不充分条件的判断问题，涉及到的知识点有充分性与必要性的定义，属于简单题目.4．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如103(mod 7)≡. 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出n 的值等于（ ）A ．29B ．30C ．31D ．32【答案】D【解析】由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】由题中的程序框图可知：该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件： ①被3除余2，②被5除余2， 所以应该满足是15的倍数多2， 并且是比26大的最小的数， 故输出的n 为32， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取程序框图的输出数据，属于简单题目.5．已知ln 2ln33,2,2x y z ===，则,x y 的大小关系是（ ） A ．x y z >> B ．y x z >> C ．x y z => D ．y z x >>【答案】C【解析】首先对,x y 分别取以e 为底的对数，可以发现x y =，利用指数函数的单调性，可知y z >，从而得到其大小关系. 【详解】 因为ln 2ln33,2x y ==，所以ln 2ln ln 3ln 2ln 3x ==，ln3ln ln 2ln 3ln 2y ==，所以x y =， 又ln31222y z =>==，所以x y z =>， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关指数幂比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.6．设 A B C 、、为三角形三内角，且方程2(sin sin )(sin sin )sin sin 0B A x A C x C B -+-+-=有两相等的实根，那么角B（ ） A ．60B >︒ B ．60B ≥︒C ．60B <︒D ．60B ≤︒【答案】D【解析】根据方程有两相等实根可得判别式0∆=，在依据正弦定理把角换成边，化简得2a c b +=，代入余弦定理得23cos 12b B ac=⋅-，再根据2a c b +=两边平方，得出2b 与ac 的关系，进而推断出cos B 的范围. 【详解】依题意有2(sin sin )4(sin sin )(sin sin )0A C B A C B ∆=----=， 根据正弦定理得：2()4()()0a c b a c b ----=， 即22224()0a ac c bc ac b ab -+---+=， 化简得：22242440a c b ac ab ac +++--=， 整理得：2(2)0a c b +-=， 即2a c b +=，所以22222()2cos 22a c b a c ac b B ac ac +-+--==22323122b ac b ac ac-==⋅-，因为22(2)()4b a c ac =+≥，所以2b ac ≥，所以233111222b ac ⋅-≥-=，又因为1cos 1B -<<，所以1cos 12B ≤<，所以060B <≤， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关判断三角形内角取值范围的问题，涉及到的知识点有一元二次方程根的个数与判别式的关系，正弦定理，余弦定理，属于中档题目.7．某同学研究曲线1133:1C x y +=的性质，得到如下结论：①x y 、的取值范围是R ；②曲线C 是轴对称图形；③曲线C 上的点到坐标原点的距离的最小值为8. 其中正确的结论序号为（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③【答案】D【解析】把方程变形可得,x y 的取值范围，在方程中,x y 互换可判断对称性，利用公式可求得曲线上的点到坐标原点的距离的最小值，从而得到结果. 【详解】因为曲线C 的方程11331x y +=，所以11331y x =-，式子中x 的范围为R ，对应的y 的范围为R ，所以命题①正确； 在11331x y +=中，令,x y y x ==，方程不变，所以曲线C 的图象关于直线y x =对称，所以命题②正确； 设曲线C 上点的坐标为(,)A x y ， 因为11331x y +=，所以11333()1x y +=，即21123333331x y x y x y +++=，所以111133333()1x y x y x y +++=，即111133333()1x y x y x y +++=， 所以113331x y x y ++=，又11331x y =+≥，所以113314x y ⋅≤，所以11331134x y x y +=-≥，则8OA d ==≥≥=，当且仅当x y =时取等号，所以曲线C ，所以命题③正确； 所以正确命题的序号是①②③，故选D. 【点睛】该题考查的是有关利用曲线的方程研究曲线的性质的问题，涉及到的知识点有范围、对称性，以及利用基本不等式求距离的最值，属于中档题目.8．若在直线l 上存在不同的三点 A B C 、、，使得关于x 的方程20x OA xOB BC ++=有解（O l ∉），则方程解集为（ ） A ．∅ B ．{}1-C ．{}1,0-D ．1122⎧---⎪⎨⎪⎪⎩⎭【答案】B【解析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O 为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x . 【详解】20x OA xOB BC ++=，即20x OA xOB OC OB ++-=，所以2x OA xOB OB OC --+=， 因为,,A B C 三点共线，所以2(1)1x x -+-=，解得120,1x x ==-，当0x =时，20x OA xOB BC ++=等价于0BC =，不合题意， 所以1x =-，即解集为{}1-， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目. 9．将函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移12π个单位长度后所得的图象关于y 轴对称，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．B ．1-C ．2-D ．0【答案】A【解析】首先求得平移后图象对应的函数解析式，根据其关于y 轴对称，得到,62k k Z ππϕπ-=+∈，结合题中所给的条件2πϕ<，求得3πϕ=-，求得函数解析式，利用[0,]2x π∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，从而确定出函数的最小值. 【详解】函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移12π个单位长度后，对应的解析式为2sin[2()]2sin(2)126y x x ππϕϕ=-+=-+， 因为其函数图象关于y 轴对称，所以有,62k k Z ππϕπ-=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223，当[0,]2x π∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，所以当233x ππ-=-时，()f x 取得最小值 故选A. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有函数图象的平移变换，图象关于y 轴对称的条件，正弦型函数在给定区间上的最值问题，属于简单题目.10．已知O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB ==则()AO AC AB ⋅-等于（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】A【解析】根据点O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB ==()AO AC AB AO AC AO AB⋅-=⋅-⋅cos ,cos ,AC AO AC AO AB AO AB AO =<>-<>，得到答案.【详解】因为点O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB == 所以()AO AC AB AO AC AO AB ⋅-=⋅-⋅cos ,cos ,AC AO AC AO AB AO AB AO =<>-<> 111(442222AC AC AB AB =⋅-⋅=⨯-=， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关向量数量积的运算问题，涉及到的知识点有三角形外心的性质，向量数量积的定义式，属于简单题目.11．已知实数a b c d 、、、满足213a a e c b d --=-（e是自然对数的底数），则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．10B ．18C ．8D ．12【答案】B【解析】首先对式子进行分析，得出其与距离有关，并且是曲线上的点与直线上的点之间距离的平方，分析得出什么时候距离取最小值，求解即可. 【详解】设2113a a e c b d k--==-，可得(2),3(1)a b k a e d k c =-=+-，该题相当于求曲线(2)xy k x e =-上的点与直线3(1)y k x =+-上的点之间距离的平方的最小值，取最小值时是曲线(2)x y k x e =-的切线与直线3(1)y k x =+-平行时， 切点到直线的距离的平方即为所求，对(2)xy k x e =-求导，得'(12)xy k e k =-=-，即22x k ke =，解得0x =， 所以切点坐标为(0,2)k -，点(0,2)k -到直线30kx y k +--=的距离d ==，则有22229(21)29(1)9(11)1811k k k d k k ++==+≤+=++；当且仅当1k =时取等号， 故结果为18， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，导数的几何意义，曲线在某点处的切线方程，基本不等式，属于较难题目.12．1777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值. 请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a （0a >），向此平面任投一根长度为()l l a <的针，已知此针与其中一条线相交的概率是p ，则圆周率π的近似值为（ ）A ．2p alB ．2al pC ．2l paD ．2pa l【答案】C【解析】首先应该明确投针试验与平行线相交的概率计算公式是2lP aπ=，从中解出2lpaπ=，从而得出答案. 【详解】根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是2lP aπ=， 所以2l paπ=， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交的概率计算公式，属于简单题目.二、填空题13．已知()f x 为奇函数，函数()g x 与()f x 的图象关于直线2y x =+对称，若(1)7g =，则(5)f -=_________. 【答案】3-【解析】首先根据题意确定出函数()y g x =的图象上的一点(1,7)，从而确定出点(1,7)关于直线2y x =+的对称点在函数()y f x =的图象上，利用点关于直线的对称点的求法求得其对称点的坐标，从而确定出(5)3f =，利用奇函数的定义求得(5)3f -=-，得到结果. 【详解】根据题意有，点(1,7)在函数()y g x =的图象上，且点(1,7)关于直线2y x =+的对称点在函数()y f x =的图象上，设点(1,7)关于直线2y x =+的对称点为(,)m n ，则有71171222n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得53m n =⎧⎨=⎩，所以有(5)3f =，因为函数()f x 是奇函数，所以有(5)3f -=-， 故答案是：3-. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，奇函数的定义，属于简单题目.14．已知sin ,20()2ln ,0x x f x x x π⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()f x k =有四个实根1234,,,x x x x ，则这四根之和1234x x x x +++的取值范围是_________.【答案】10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】作出()f x 的函数图象，根据图象得出各零点的关系及范围，得出1234x x x x +++关于3x 的函数，从而得出答案.【详解】作出()f x 的函数图象，如图所示：设1234x x x x <<<，则122x x +=-，且3411x x e e<<<<， 因为34ln ln x x -=，所以34ln 0x x =，所以341x x =，所以12343433122x x x x x x x x +++=-++=+-，设11()2,(,1)g x x x x e =+-∈，则21'()10g x x=-<， 所以()g x 在1(,1)e 上单调递减，所以10()2g x e e<<+-， 所以1234x x x x +++的取值范围是：1(0,2)e e+-， 故答案是：1(0,2)e e+-. 【点睛】该题考查的是有关函数图象交点横坐标的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数图象的基本功，利用函数图象解决交点问题，函数图象对称性的应用，利用导数研究函数的值域问题，属于简单题目.15．已知ABC ∆中，角、、A B C 所对边分别为a b c 、、，sin 1cos sin 2cos A AB B+=-，4cos 5A =，6ABC S ∆=，则a =__________.【答案】【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得2a b c =+，利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，根据三角形的面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值. 【详解】 因为sin 1cos sin 2cos A AB B +=-，4cos 5A =，6ABC S ∆=， 所以2sin sin cos sin sin cos A AB B B A -=+，所以2sin sin sin cos sin cos sin sin()sin sin A B A B B A B A B B C =++=++=+ 所以由正弦定理可得：2a b c =+，并且有3sin 5A ==，16sin 2bc A =，所以20bc =，由余弦定理可得222222222()242323404cos 2222405b c a b c bc a a bc a a bc a A bc bc bc bc +-+------======，整理得224a =，解得a =，故答案是：【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角恒等变换，正弦定理，同角三角函数关系式，三角形的面积公式，余弦定理，属于简单题目.16．定义在区间(0,)+∞上函数()f x 使不等式2()'()3()f x xf x f x <<恒成立，（'()f x 为()f x 的导数），则(2)(1)f f 的取值范围是__________. 【答案】()4,8 【解析】令32()()(),()f x f x g x h x x x==，求出(),()g x h x 的导数，得到(),()g x h x 的单调性，可得(2)(1),(2)(1)g g h h <>，由(1)0f >，即可得到(2)48(1)f f <<，得到结果. 【详解】 令3()()f x g x x=， 则3264'()3()'()3()'()f x x x f x xf x f x g x x x --==， 因为'()3()xf x f x <，即'()3()0xf x f x -<， 所以)'(0g x <在(0,)+∞恒成立， 即()g x 在(0,)+∞上单调递减， 可得(2)(1)g g <，即(2)(1)81f f <， 由2()3()f x f x <，可得()0f x >，则(2)8(1)f f <； 令2()()f x h x x =，243'()2()'()2()'()f x x xf x xf x f x h x x x ⋅--==， 因为'()2()xf x f x >，即'()2()0xf x f x ->，所以'()0h x >在(0,)+∞上单调递增，可得(2)(1)h h >，即(2)(1)4f f >，则(2)4(1)f f >， 即有(2)48(1)f f <<， 故答案是：(4,8).【点睛】该题主要考查导数在研究函数中构造函数的应用，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.三、解答题17．已知ABC ∆是圆O （O 为坐标原点）的内接三角形，其中1(1,0),(,22A B --，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .（1）若点C 的坐标是34(,)55-，求cos COB ∠的值； （2）若点C 在优弧AB 上运动，求ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1（2）a b c <++≤【解析】（1）由点,C B 的坐标可得,OC OB 的坐标，利用向量的夹角公式求得结果；（2）根据题意，可求得120AOB ∠=︒，AB =60ACB ∠=︒，利用正弦定理可得22sin 2sin 36a b A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意求得角A 的范围，从而可a b <+≤. 【详解】（1）根据题意可得34(,)55OC =-，1(,2OB =-，33cos cos ,101010OC OB COB OC OB OC OB⋅-∠===-=（2）∵120AOB ∠=︒，AB =∴60ACB ∠=︒∴2sin sin a b A B ===∴22sin 2sin 36a b A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，203A π<<a b +≤∴a b c ++≤【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用点的坐标得向量的坐标，向量数量积坐标公式，向量夹角余弦值，正弦定理，三角形的周长的取值范围，属于简单题目.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，2AC =，BD =AC BD 、交于点O ，E 是PB 上任意一点.（1）求证AC DE ⊥；（2）已知二面角A PB D --的余弦值为34，若E 为PB 的中点，求EC 与平面PAB 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）利用线面垂直的性质得PD AC ⊥，利用菱形的性质得BD AC ⊥，利用线面垂直的判定定理得AC ⊥平面PBD ，利用线面垂直得到线线垂直，从而得到AC DE ⊥；（2）分别以OA ，OB ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD t =，用坐标表示点，求得平面PBD 的法向量为()11,0,0n =u r，平面PAB 的法向量为23,1,n t ⎛⎫= ⎪⎪⎭，根据二面角A PB D --的余弦值为34，可求出3t =，从而得到点P 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC 与平面PAB 所成角的正弦值. 【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AC ⊥ 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥ 又BDPD D =，∴AC ⊥平面PBDDE ⊂平面PBD ，∴AC DE ⊥（2）连OE ，在PBD ∆中，//OE PD ，∴OE ⊥平面ABCD分别以OA ，OB ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设PD t =，则()1,0,0A，()B，()1,0,0C -，0,0,2t E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,P t .由（1）知，平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n =u r设平面PAB 的一个法向量为()2,,n x y z =，则由2200n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0x x tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =，则233,1,n ⎛⎫= ⎪⎪⎭ 因二面角A PB D --的余弦值为34，∴123cos ,4n n ==，∴3t = 设EC 与平面PAB 所成角为θ，∵31,0,2EC ⎛⎫=--⎪⎝⎭，23,1,3n ⎛⎫= ⎪⎪⎭，∴2sin cos ,2EC n θ====【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的性质，线面垂直的判定，应用空间向量解决二面角的问题，线面角的求法，属于简单题目.19．若a R ∈，函数2()f x x ax=-在区间[]0,1上的最大值记为()g a ，求()g a 的表达式并求当a 为何值时，()g a 的值最小.【答案】()))21,21,21241,2a a ag a a a a ⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当)21a =时，()g a 取最小值.【解析】分类讨论，分0a≤时和0a >时两种情况，当0a ≤时，()2f x x ax =-在区间[0,1]上为增函数，求出最大值，当0a >时，结合函数的图象，再进一步分类，确定出函数的最大值点，进而求得()))21,21,21241,2a a ag a a a a ⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，然后确定()g a 的最小值点. 【详解】（1）0a ≤时，∵01x ≤≤，∴()2f x x ax=-，()f x 单调递增.∴()()11g a f a ==- （2）当0a >，如图所示，令()24a f x =，得2a x =或12x a =①当12a≥，即2a ≥时，()()11g a f a ==- ②当1122aa <<，即)212a <<时，()224a ag a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭③当112a ≤，即)021a <≤时，()()11g a f a ==-综上，()))21,21,21241,2a a ag a a a a ⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩显然当)21a =时，()g a 取最小值.【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上的最值问题，涉及到的知识点有绝对值函数的化简，分类讨论思想的应用，分段函数的最小值，属于简单题目.20．已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、. 记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（1）设1122(,),(,)A x y C x y ，用,A C 的坐标表示S ； （2）设1l 与2l 的斜率之积与直线CA CB 、的斜率之积均为12-，求面积S 的值. 【答案】（1）12212x y x y -；（2）S =【解析】（1）首先利用题中的条件确定直线1l 的方程110xy yx -=，利用点到直线的距离公式求得点C 到直线1l 的距离d ，利用面积公式求得2ABC S S ∆=12212x y x y =-，得到结果；（2）设出直线方程11:l y K x =，22:l y K x =，利用两点斜率坐标公式求得22212221CA CBy y K K x x -⋅=-，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，可得2221222211y y x x a -=--，利用已知条件可得2112CA CB K K a ⋅=-=-，从而求得22a =，从而确定出椭圆的方程，联立方程组，进一步应用面积公式求得()()2221212221121848412K K S K K +=⋅⨯=+，从而得到S =. 【详解】（1）直线111:0l xy yx -=.d =2AB AO ==∴2ABC S S AB d ∆==⋅=12212x y x y =-（2）设11:l y K x =，22:l y K x =； ∵2221212122212121CA CBy y y y y y K K x x x x x x -+-⋅=⋅=-+- 又∵2222121222x x y y a a+=+，∴2221222211y y x x a -=-- ∴2112CA CB K K a ⋅=-=- ∴22a = ∴椭圆方程为2212x y +=联立12222122212y K x x K x x y =⎧⎪⇒+=⎨+=⎪⎩ ∴2121212x K =+，同理可得2222212x K =+又∵1221211222S x y x y K K x x =-=-∴()222221124S K K x x =-∴()()()22212212441212S K K K K =-⋅++将2112K K =-代入()22121121144211212S K K K K ⎛⎫=+⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭得 ()()2221212221121848412K K SK K +=⋅⨯=+，∴S =【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及到的知识点有椭圆内接平行四边形面积的求解，点到直线的距离公式，椭圆方程的求解问题，属于较难题目.21．有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），在第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败收容地）或跳到第100站（胜利大本营），该游戏结束. 设棋子跳到第n 站的概率为n P .（1）求0P ，1P ，2P ；（2）写出n P 与1n P -、2n P -的递推关系299n ≤≤）； （3）求玩该游戏获胜的概率. 【答案】（1）34；（2）()121129922n n n P P P n --=+≤≤；（3）9911132⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】（1）结合题设条件能够求出01P =，112P =，211132224P =+⨯=； （2）依题意，棋子跳到第n 站有两种可能：第一种，棋子先到2n -站，又掷出反面，其概率为212n P -；第二种，棋子先到1n -站，又掷出正面，其概率为112n P -，由此能够得到n P 与12,n n P P --的递推关系； （3）由()11212n n n n P P P P ----=--，知数列{}1n n P P --是以12-为首项，12-为公比的等比数列，由此利用等比数列求和公式得到结果. 【详解】（1）依题意得01P =，112P =，211132224P =+⨯= （2）依题意知，棋子跳到第n 站有两种情况：第一种，棋子先到2n -站，又掷出反面，其概率为212n P -； 第二种，棋子先到1n -站，又掷出正面，其概率为112n P -.∴()121129922n n n P P P n --=+≤≤（3）由（2）知，()11212n n n n P P P P ----=--，且1012P P -=- ∴{}1n n P P --是以12-为首项，12-为公比的等比数列. ()()()()9901021329998P P P P P P P P P P =+-+-+-++-2991111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10010011212113212⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭+ 又991001P P += ∴1009911132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或10098991111232P P ⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭ ∴玩该游戏获胜的概率为9911132⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有事件之间的关系，概率对应的关系，等比数列求和公式，属于简单题目. 22．已知函数()2ln ()af x ax x a R x=--∈. （1）若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围；（2）设35a >，,m n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围. 【答案】（1）[)1,+∞；（2）1604ln 35S <<- 【解析】（1）先写出函数的定义域，对函数求导，()f x 是定义域上的增函数，转化为()0f x '≥，即221xa x ≥+恒成立，从而求出a 的取值范围；（2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315a <<，设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<，利用韦达定理可得121=x x ，122x x a +=，由11121023x x a <+=<，从而得到1113x <<，根据题意可得S m n =-11122ln a ax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由21120ax x a -+=得12121x a x =+，将其代入上边式子可得221121114ln 12x S x x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，之后令21x t =，则119t <<，从而有()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t =，利用导数研究函数可得结果. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a ax x a f x a x x x-+'=+-= ∵()f x 在定义域内单调递增，∴()0f x '≥，即220ax x a -+≥对0x >恒成立. 则221x a x ≥+恒成立. ∴2max21x a x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭ ∵2211x x ≤+ ∴1a ≥ 所以，a 的取值范围是[)1,+∞（2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315a << 设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<.则()1m f x =，()2n f x =，∵121=x x ，122x x a +=∴11121023x x a <+=< ∴1113x << 1122122ln 2ln a a S m n ax x ax x x x ⎛⎫=-=----- ⎪⎝⎭ 1111111112ln 2ln 22ln a a a ax x ax x ax x x x x ⎛⎫⎛⎫=----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵21120ax x a -+=∴12121x a x =+代入得222111122111114ln 4ln 112x x S x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令21x t =，则119t <<，得()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t = ()()()221021t g t t t --'=<+ ∴()g t 而且1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，从而()()119g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 即()40ln 35g t <<-∴1604ln 35S <<-. 【点睛】 该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据函数是定义域上的增函数求参数的取值范围，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的值域，属于较难题目.。
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面 ，求
与平面
所成角的正弦值．
19. 已知数列 中，
，
（1）求证：
是等比数列，并求 的通项公式；
（2）数列 中，
，求数列 的前 项和 ．
湖北省鄂州高中、鄂南高中2020-2021学年高二上学期10月联考数学试题
20. 有一堆规格相同的铁制（铁的密度为
，高为
，
）六角螺帽共重 ，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是
．“
D．“
”的”的必要而不充分条件；
11. 已知数列 的前 项和为 且满足
A．
是等差数列
C．
，下列命题中正确的是（ ）
B．
D．
是等比数列
12. 己知正三棱锥
的底面边长为1，点 到底面
A．该三棱锥的内切球半径为
的距离为 ，则（ ） B．该三棱锥外接球半径为
C．该三棱锥体积为
D． 与 所成的角为
7. 已知 为三角形
所在平面内一点，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
8. 如图，要测量电视塔 的高度，在 点测得塔顶 的仰角是 ，在 点测得塔顶 的仰角是 ，水平面上的
，
则电视塔 的高度为（ ）
A．20
B．30
C．40
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A．平面内到两个定点
的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆；
，内孔直径为
（1）求一个六角螺帽的体积；（精确到
）
（2）问这堆六角螺帽大约有多少个？
（参考数据：
）
21. 已知圆
和圆外一点
，
（1）过点 （2）过点
作一条直线与圆 交于 作圆 的切线，切点为
两点，且
，求直线
，求 所在的直线方程．
的方程；
22. 已知椭圆
．离心率为 ，点
与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．
湖北省鄂州高中、鄂南高中2020-2021学年高二上学期10月联考数学试题
一、单选题
1. 已知直线
的倾斜角为 ，则
（）
A．
B．
C．
D．
2. 已知向量 与 的夹角为45°，
，当
时，实数 为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
加入试卷
3. 若圆 A．1
上恰有3个点到直线 B．
的距离为2， C．3
，则 与 间的距离为（ ） D．2
16. 已知椭圆的中心为坐标原点 ，焦点在 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点 的直线交椭圆于 两点，且
与
椭圆的离心率 _______
共线，则
四、解答题
17. 在
中，它的内角
的对边分别为
，
且
（1）求角 的大小； （2）求 边的长．
18. 已知四棱锥
的底面为正方形，
面
， 为 上的一点，
（1）求证：面 （2）若
B．在
中，角
的对边分别为
，若
则；
C．若数列 为等比数列，则
也为等比数列；
D．垂直于同一个平面的两条直线平行．
D．50
湖北省鄂州高中、鄂南高中2020-2021学年高二上学期10月联考数学试题
10. 下列命题中的真命题有（ ）
A．已知 是实数，则“
”是“
”的充分而不必要条件；
B．已知命题
，总有
，则
C．设 是两个不同的平面， 是直线且
4. 已知椭圆 A．9
的左右焦点为
，点 在椭圆上，则
B．16
的最大值是（ ） C．25
D．27
5. 已知 A．
，则
（） B．
湖北省鄂州高中、鄂南高中2020-2021学年高二上学期10月联考数学试题
C．
D．
6. 已知半径为2的圆经过点 A．3
，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
B．4
C．5
D．6
三、填空题
13. 已知等差数列 前 项和 ，且
，若
，则 的值为________
14. 已知
为方程
的两根，且
，则
________
15. 正方体
湖北省鄂州高中、鄂南高中2020-2021学年高二上学期10月联考数学试题
中，棱长为2， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是____________
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线
与椭圆 交于
明理由．
两点， 为坐标原点直线
的斜率之积等于 ，试探求
的面积是否为定值，并说
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