梯形判定方法
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B
1 E
C
2):等腰梯形判定 理:
在同一底上的两个
角相等的梯形是等
方法二:分别延长BA、CD,交于点 E.
在⊿EBC中, ∵∠B=∠C ∴EB=EC ∵AD//BC ∴∠1=∠B ∠2=∠C ∴∠1=∠2 ∴EA=ED ∴EB—EA=EC—ED 即AB=DC
E
1 2
A
D
B
C
所以,梯形ABCD是等腰梯形。
F
C
点的直线是它的对称轴
梯形中常用的辅助线:
平移一腰 平移对角线 作梯形的高 延长两腰 E A B D C
A
D
A
D
A
D
B
E
C
B
C
E
B E
F C
等腰梯形的判定
1)定义法:有两腰相
等的梯形是等腰梯形 .
1、等腰梯形性质 等腰梯形同一底上 的两角相等.
A
D
B
C
2、上述性质定理的逆命题是什么? 同一底上的两角相等的梯形 是等腰梯形.
A D
延长AH,交BC延长线于点E
H
B
C
E
7、 在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC;E、F 分别是AD、BC的中点,且EF⊥BC; 求证:梯形ABCD为等腰梯形
E D
A
B
M
F
N
C
梯形中常需要作的辅助线有哪些?
A E D
B
M
F
N
C
.
.
本节课你有哪些收获?
等腰梯形的判定方法
两条腰相等的梯形是等腰梯形 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 对角线相等的梯形是等腰梯形
E
思考题:
如图,梯形ABCD中, AD∥BC,AB=CD, 对角线AC⊥BD,AD=4,BC=10, 求梯形ABCD的面积。 A D
B
C
变式练习
已知等腰梯形上、下底长分别为5cm、11cm,高为 4cm,
计算这个等腰梯形的周长和面积.
A ? B
? E 11 4 F 5 D
AD BC 面积S 2 (5 11) 4 32(cm2 ) 2 C BC EF 11 5 BE=CF= 3(cm ) 2 2 在Rt△ABE中
一组对边平行 四边形 另一组对边不平行 梯形 一组对边平行 且不相等 两腰相等 同一底上的 两角相等 等腰梯形
拓展提高
4.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC, AD=2,BC=8,AC=6,BD=8,求梯形的面积。
解:过点D作DE∥AC交BC的延长线 于点E,作DF⊥BC,垂足为F, ∵ AD∥BC, ∴四边形ACED为平行四边形, ∴ CE=AD=2,DE=AC=6 ∴BE=BC+CE=10
AB AE2 BE2 42 32 5(cm)
周长L = AB+BC+CD+AD=5 + 11 + 5 +5 = 26(cm).
已知:等腰梯形的锐角等于60°,它的两底 分别为5cm,9cm,求它的腰长?
A D
Hale Waihona Puke Baidu
AB=BE=AE
B E C
EC=AD=5cm AB=BC=BC-CE=9-5=4cm
求证:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 已知:在梯形 ABCD 中, AD∥BC, = BD. AC 求证:AB = DC. 证明:过点 D 作 DE∥AC,交 BC 的延长线于 E, 得 ACED, 所以 DE = AC . ∵ AC = BD , ∴ DE = BD . ∴ ∠1 = ∠E . ∵ ∠2 = ∠E , ∴ ∠1 = ∠2 . 在△ABC和△DCB中 . AC = BD ∠1 = ∠2 BC = CB ∴ △ABC ≌△DCB . ∴ AB = DC . A O
方法三:作梯形的高AE、DF
在⊿AEB和⊿DFC中,
A
D
B
E F
C
AE=DF , ∠B=∠C , ∠AEB=∠DFC=90度
∴
⊿AEB≌ ⊿DFC(AAS)
∴ AB=DC
所以,梯形 ABCD是等腰梯形。
等腰梯形的判定方法二:
在同一底上的两个 内角相等的梯形是等腰梯形
A
D
梯形ABCD,AD∥BC
2. 一个梯形的上下底的长分别为1,4,对角 线之长为3,4,则这个梯形 的面积是___.
3
1
3 4
2
5
E
4
8.如图,在锐角△ABC中, AD⊥BC于D, E、F、G分别AC、AB、BC是的中点, 求证:四边形DEFG是等腰梯形.
A
F
E GD C
B
A
D
B
F
C
在△DBE中,满足BD2+DE2=BE2 ∴△DBE为直角三角形 ∵ DF⊥BC, 由面积公式可得:DF● BE=BD●DE ∴DF=4.8
E
1 ∴梯形ABCD的面积= (2+8)×4.8=24 2
一、填空题 1.等腰梯形ABCD的对角线相交于O点,∠BOC= 120°,∠BDC=80°,则∠DAB=________. 2.若等腰梯形的上底与一条腰长的和等于下底的长, 则腰长与上底的夹角为________. 3.等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=120°,两底 分别为15cm和49cm,则其腰长为________. 4.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=1, △DBC是等边三角形,则BC=________. 5.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,则 ∠D=________. 6.已知梯形ABCD中,AD∥BC,AC<BC,AC⊥BD 于O,AC=8,BD=6,则梯形ABCD的面积为 _________.
例2、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,
M是DC的中点,且AM=BM, 梯形 ABCD是等腰梯形吗?说说你的理由。
D M
C
A
B
达标训练:
1、抢答题 判断正误: (1)有两个角相等的梯形一定是等腰梯形. (2)两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形. (3)如果一个梯形是轴对称图形,则它一定是 等腰梯形. (4) 一组对边平行,另一组对边相等的四边形一定 是等腰梯形.
4、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,
E是BC的中点,EF⊥AB于F,EG⊥CD于 G,且EF=EG。
求证:梯形ABCD是等腰梯形
5、如图,四边形ABCD由三个全等的正
三角形围成,它是____________(图 等腰梯形
形),说说为什么?
A D
B
E
C
6、如图,在梯形ABCD中,AD ∥BC, AB=BC+AD,H是CD中点,试说明: BH⊥AH
已知:等腰梯形的锐角等于60°,它的上底为 5cm,腰为5cm,求它的下底长?
A D
60°
B E F
C
2.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠DBC =45°.翻折梯形ABCD,使点B重合于点D, 折痕分别交边AB、BC于点F、E.若AD= 2,BC=8, 求: BE的长;
A D
F
B
E
C
1.梯形的上、下底分别是2cm,7c m,一腰 长为3cm,则另一腰x 的长度的取值范围是 2cm<x<8cm ____________.
结论: ①若AB=DC
B
C
梯形ABCD是等腰梯形
②若∠B= ∠ C
记住:这些是等腰梯形 的判定方法哦!
或∠A= ∠ D 梯形ABCD是等腰梯形
知识梳理
等腰梯形的判定方法有哪些?
性质 判定
等腰梯形的两腰相等
两腰相等的梯形是 等腰梯形
等腰梯形同一底上的 同一底上的两个角 相等的梯形是等腰 两个角相等 梯形
2. 如图,E、F分别是矩形 ABCD的对角线AC和BD上 的点,且AE=DF.求证: 四边形BCFE是等腰梯形.
(第 1 题)
(第 2 题)
课堂练习
3、已知等腰梯形ABCD, AD∥BC,AB=CD,
∠B=60°,AD=13cm,BC=37cm,则这个 等腰梯形的周长为______。 98cm A D
1 2
D
B
C
E
{
等腰梯形的对角 线与两底构成的 两个三角形是等 腰三角形
例1、 如图,在梯形ABCD
中,AD//BC,∠A, ∠C互 补,梯形ABCD是等腰梯形 吗? 解:在梯形ABCD中:
B
A
D
C
∵AD//BC
∴ ∠A+ ∠B=180°
又 ∵∠A+ ∠C=180°
∴ ∠B= ∠C ∴梯形ABCD是等腰梯形
B
60°
E
C
堂堂清
1、在四边形ABCD中AD∥BC,但AD≠BC,若 使它成为等腰梯形,则需添加的条件是_____ (填一个正确的条件即可)。 2、等腰梯形下、上底差等于一腰的长,那么腰 长与下底的夹角是( ). A.5° B.60° C.45° D.30° 3、如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,过 点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E。 求证:四边形AECD是等腰梯形。 D C A B
(5)对角互补的梯形一定是等腰梯形.
2.有两个内角是70度的梯形一定是等腰 梯形. ( )
3、下列说法中,错误的是(
C
)
A.有一组对边平行,另一组对边相等的梯形 是等腰梯形 B.有一组对角互补的梯形是等腰梯形 C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形 D.同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形
知识应用
二、填空题 1.四边形ABCD中,若∠A︰∠B︰∠C︰∠D=2︰2︰1︰ 3,那么这个四边形是( ). A.梯形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.任意四边形 2.一等腰梯形上底为9cm,下底为17cm,一底角为60°, 则它的腰长为( ). A.8cm B.9cm C. 7cm D.8.5cm 3.下列命题中,真命题有 ( ) ①有两个角相等的梯形是等腰梯形; ②有两条边相等 的梯形是等腰梯形; ③两条对角线相等的梯形是等腰梯形; ④等腰梯形上、下底中点连线,把梯形分成面积相等的两 部分. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
求证:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
已知:梯形 ABCD 中,AD∥BC ,∠B = ∠C .
求证:梯形 ABCD 是等腰梯形 . 证明:过 A 作AE∥CD ,交 BC 于 E 则∠1 = ∠C . . A D 方法一 ∵∠B = ∠C. ∴∠B = ∠1 ∴AB = AE. ∵AD∥EC , AE ∥DC.= DC. ∴AE ∴AB = DC. ∴梯形 ABCD 是等腰梯形.
实践应用 1. 如图,矩形ABCD中,点E、 F在边AD上,AE=FD. 求证: 四边形EBCF是等腰梯形. 2. 如图,梯形ABCD中, AD∥BC, ∠1=∠2.
(第 1 题)
求证:四边形ABCD是等腰梯 形.
(第 2 题)
综合应用
1. 如图,△ABC中, AB=AC, DE∥BC.求证: 四 边形DBCE是等腰梯形.
人的逻辑推理能力,主要来自语言和数 学.学好数学就等于掌握了提高逻辑推理能 力的一把金钥匙.
等腰梯形的判定
知识网络
矩形 平行四边 形 四边形 直角梯形 梯形
等腰梯形
菱形
正方 形
A
E
D
等腰梯形的性质?
B
1、等腰梯形在同一底上的两个角相等 2、等腰梯形的两条对角线相等 3、等腰梯形是轴对称图形,过两底中
1 E
C
2):等腰梯形判定 理:
在同一底上的两个
角相等的梯形是等
方法二:分别延长BA、CD,交于点 E.
在⊿EBC中, ∵∠B=∠C ∴EB=EC ∵AD//BC ∴∠1=∠B ∠2=∠C ∴∠1=∠2 ∴EA=ED ∴EB—EA=EC—ED 即AB=DC
E
1 2
A
D
B
C
所以,梯形ABCD是等腰梯形。
F
C
点的直线是它的对称轴
梯形中常用的辅助线:
平移一腰 平移对角线 作梯形的高 延长两腰 E A B D C
A
D
A
D
A
D
B
E
C
B
C
E
B E
F C
等腰梯形的判定
1)定义法:有两腰相
等的梯形是等腰梯形 .
1、等腰梯形性质 等腰梯形同一底上 的两角相等.
A
D
B
C
2、上述性质定理的逆命题是什么? 同一底上的两角相等的梯形 是等腰梯形.
A D
延长AH,交BC延长线于点E
H
B
C
E
7、 在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC;E、F 分别是AD、BC的中点,且EF⊥BC; 求证:梯形ABCD为等腰梯形
E D
A
B
M
F
N
C
梯形中常需要作的辅助线有哪些?
A E D
B
M
F
N
C
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本节课你有哪些收获?
等腰梯形的判定方法
两条腰相等的梯形是等腰梯形 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 对角线相等的梯形是等腰梯形
E
思考题:
如图,梯形ABCD中, AD∥BC,AB=CD, 对角线AC⊥BD,AD=4,BC=10, 求梯形ABCD的面积。 A D
B
C
变式练习
已知等腰梯形上、下底长分别为5cm、11cm,高为 4cm,
计算这个等腰梯形的周长和面积.
A ? B
? E 11 4 F 5 D
AD BC 面积S 2 (5 11) 4 32(cm2 ) 2 C BC EF 11 5 BE=CF= 3(cm ) 2 2 在Rt△ABE中
一组对边平行 四边形 另一组对边不平行 梯形 一组对边平行 且不相等 两腰相等 同一底上的 两角相等 等腰梯形
拓展提高
4.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC, AD=2,BC=8,AC=6,BD=8,求梯形的面积。
解:过点D作DE∥AC交BC的延长线 于点E,作DF⊥BC,垂足为F, ∵ AD∥BC, ∴四边形ACED为平行四边形, ∴ CE=AD=2,DE=AC=6 ∴BE=BC+CE=10
AB AE2 BE2 42 32 5(cm)
周长L = AB+BC+CD+AD=5 + 11 + 5 +5 = 26(cm).
已知:等腰梯形的锐角等于60°,它的两底 分别为5cm,9cm,求它的腰长?
A D
Hale Waihona Puke Baidu
AB=BE=AE
B E C
EC=AD=5cm AB=BC=BC-CE=9-5=4cm
求证:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 已知:在梯形 ABCD 中, AD∥BC, = BD. AC 求证:AB = DC. 证明:过点 D 作 DE∥AC,交 BC 的延长线于 E, 得 ACED, 所以 DE = AC . ∵ AC = BD , ∴ DE = BD . ∴ ∠1 = ∠E . ∵ ∠2 = ∠E , ∴ ∠1 = ∠2 . 在△ABC和△DCB中 . AC = BD ∠1 = ∠2 BC = CB ∴ △ABC ≌△DCB . ∴ AB = DC . A O
方法三:作梯形的高AE、DF
在⊿AEB和⊿DFC中,
A
D
B
E F
C
AE=DF , ∠B=∠C , ∠AEB=∠DFC=90度
∴
⊿AEB≌ ⊿DFC(AAS)
∴ AB=DC
所以,梯形 ABCD是等腰梯形。
等腰梯形的判定方法二:
在同一底上的两个 内角相等的梯形是等腰梯形
A
D
梯形ABCD,AD∥BC
2. 一个梯形的上下底的长分别为1,4,对角 线之长为3,4,则这个梯形 的面积是___.
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1
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E
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8.如图,在锐角△ABC中, AD⊥BC于D, E、F、G分别AC、AB、BC是的中点, 求证:四边形DEFG是等腰梯形.
A
F
E GD C
B
A
D
B
F
C
在△DBE中,满足BD2+DE2=BE2 ∴△DBE为直角三角形 ∵ DF⊥BC, 由面积公式可得:DF● BE=BD●DE ∴DF=4.8
E
1 ∴梯形ABCD的面积= (2+8)×4.8=24 2
一、填空题 1.等腰梯形ABCD的对角线相交于O点,∠BOC= 120°,∠BDC=80°,则∠DAB=________. 2.若等腰梯形的上底与一条腰长的和等于下底的长, 则腰长与上底的夹角为________. 3.等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=120°,两底 分别为15cm和49cm,则其腰长为________. 4.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=1, △DBC是等边三角形,则BC=________. 5.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,则 ∠D=________. 6.已知梯形ABCD中,AD∥BC,AC<BC,AC⊥BD 于O,AC=8,BD=6,则梯形ABCD的面积为 _________.
例2、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,
M是DC的中点,且AM=BM, 梯形 ABCD是等腰梯形吗?说说你的理由。
D M
C
A
B
达标训练:
1、抢答题 判断正误: (1)有两个角相等的梯形一定是等腰梯形. (2)两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形. (3)如果一个梯形是轴对称图形,则它一定是 等腰梯形. (4) 一组对边平行,另一组对边相等的四边形一定 是等腰梯形.
4、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,
E是BC的中点,EF⊥AB于F,EG⊥CD于 G,且EF=EG。
求证:梯形ABCD是等腰梯形
5、如图,四边形ABCD由三个全等的正
三角形围成,它是____________(图 等腰梯形
形),说说为什么?
A D
B
E
C
6、如图,在梯形ABCD中,AD ∥BC, AB=BC+AD,H是CD中点,试说明: BH⊥AH
已知:等腰梯形的锐角等于60°,它的上底为 5cm,腰为5cm,求它的下底长?
A D
60°
B E F
C
2.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠DBC =45°.翻折梯形ABCD,使点B重合于点D, 折痕分别交边AB、BC于点F、E.若AD= 2,BC=8, 求: BE的长;
A D
F
B
E
C
1.梯形的上、下底分别是2cm,7c m,一腰 长为3cm,则另一腰x 的长度的取值范围是 2cm<x<8cm ____________.
结论: ①若AB=DC
B
C
梯形ABCD是等腰梯形
②若∠B= ∠ C
记住:这些是等腰梯形 的判定方法哦!
或∠A= ∠ D 梯形ABCD是等腰梯形
知识梳理
等腰梯形的判定方法有哪些?
性质 判定
等腰梯形的两腰相等
两腰相等的梯形是 等腰梯形
等腰梯形同一底上的 同一底上的两个角 相等的梯形是等腰 两个角相等 梯形
2. 如图,E、F分别是矩形 ABCD的对角线AC和BD上 的点,且AE=DF.求证: 四边形BCFE是等腰梯形.
(第 1 题)
(第 2 题)
课堂练习
3、已知等腰梯形ABCD, AD∥BC,AB=CD,
∠B=60°,AD=13cm,BC=37cm,则这个 等腰梯形的周长为______。 98cm A D
1 2
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B
C
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等腰梯形的对角 线与两底构成的 两个三角形是等 腰三角形
例1、 如图,在梯形ABCD
中,AD//BC,∠A, ∠C互 补,梯形ABCD是等腰梯形 吗? 解:在梯形ABCD中:
B
A
D
C
∵AD//BC
∴ ∠A+ ∠B=180°
又 ∵∠A+ ∠C=180°
∴ ∠B= ∠C ∴梯形ABCD是等腰梯形
B
60°
E
C
堂堂清
1、在四边形ABCD中AD∥BC,但AD≠BC,若 使它成为等腰梯形,则需添加的条件是_____ (填一个正确的条件即可)。 2、等腰梯形下、上底差等于一腰的长,那么腰 长与下底的夹角是( ). A.5° B.60° C.45° D.30° 3、如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,过 点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E。 求证:四边形AECD是等腰梯形。 D C A B
(5)对角互补的梯形一定是等腰梯形.
2.有两个内角是70度的梯形一定是等腰 梯形. ( )
3、下列说法中,错误的是(
C
)
A.有一组对边平行,另一组对边相等的梯形 是等腰梯形 B.有一组对角互补的梯形是等腰梯形 C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形 D.同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形
知识应用
二、填空题 1.四边形ABCD中,若∠A︰∠B︰∠C︰∠D=2︰2︰1︰ 3,那么这个四边形是( ). A.梯形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.任意四边形 2.一等腰梯形上底为9cm,下底为17cm,一底角为60°, 则它的腰长为( ). A.8cm B.9cm C. 7cm D.8.5cm 3.下列命题中,真命题有 ( ) ①有两个角相等的梯形是等腰梯形; ②有两条边相等 的梯形是等腰梯形; ③两条对角线相等的梯形是等腰梯形; ④等腰梯形上、下底中点连线,把梯形分成面积相等的两 部分. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
求证:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
已知:梯形 ABCD 中,AD∥BC ,∠B = ∠C .
求证:梯形 ABCD 是等腰梯形 . 证明:过 A 作AE∥CD ,交 BC 于 E 则∠1 = ∠C . . A D 方法一 ∵∠B = ∠C. ∴∠B = ∠1 ∴AB = AE. ∵AD∥EC , AE ∥DC.= DC. ∴AE ∴AB = DC. ∴梯形 ABCD 是等腰梯形.
实践应用 1. 如图,矩形ABCD中,点E、 F在边AD上,AE=FD. 求证: 四边形EBCF是等腰梯形. 2. 如图,梯形ABCD中, AD∥BC, ∠1=∠2.
(第 1 题)
求证:四边形ABCD是等腰梯 形.
(第 2 题)
综合应用
1. 如图,△ABC中, AB=AC, DE∥BC.求证: 四 边形DBCE是等腰梯形.
人的逻辑推理能力,主要来自语言和数 学.学好数学就等于掌握了提高逻辑推理能 力的一把金钥匙.
等腰梯形的判定
知识网络
矩形 平行四边 形 四边形 直角梯形 梯形
等腰梯形
菱形
正方 形
A
E
D
等腰梯形的性质?
B
1、等腰梯形在同一底上的两个角相等 2、等腰梯形的两条对角线相等 3、等腰梯形是轴对称图形,过两底中