向量三角形面积

uuuur uuur
|OuuMur | r ，|OuuNur | q |uOuuMur |g|uAuuBr | r
|AC| p+q+r |AB| p+q+r |ON |g|AC | q
SAOB r ，同理可证：SAOC q 成立
SAOC q
SBOC p
所以：SAOB：SAOC：SBOC r：q：p成立
uuur
uuur
| OB|=y，|OC|=z，
AOC=，AOB=，
A
Y
COB=，A（xcos，xsin） B（ycos（ ），
O
C X
ysin（ ））
C（z，0），即可证
B
由引理1：已知O为ABC内一点，
uuur
uuur
uuur r
求证：SBOC OA+SCOA OB+SAOB OC=0
令SBOC
A
SBOC：SCOA：SAOB
M
N
=p：q：r
B
O
C
如何证明？
uuur uuur uuur uuur uuur r 证明：pOA+q（OA+AB）+r（OA+AC）=0
uuur OA=-
q
uuur AB -
r
uuur uuuur uuur AC=OM+ON
p+q+r p+q+r
uuuur
uuur
答案：1:2:3
变式 1． 设 O 在△ABC 的内部，且 3O→A＋4O→B＋5O→C＝0，
求△BOC,△AOC, △AOB 的面积比 .
变式 2．
答案：3:4:5
设 O 在△ABC 的内部， 4O→A＋3O→B＋2O→C＝0，
求△BOC,△AOC, △AOB 的面积比 .
答案：4:3:2
uuur r
则sin2A OA sin2B OB sin2C OC 0
(4).若O为ABC的垂心,
uuur
uuur
uuur r
则cotA OA cotB OB cotC OC 0
例 3．设 O 在△ABC 的内部，且O→A＋2O→B＋3O→C＝0，
求△BOC,△AOC, △AOB 的面积比 .
4
uuur uuur uuur r (5) 对任意ABC, 则SBOC OA+SCOA OB+SAOBOC=0
其中正确的命题序号为--(-1--)-(-4--)-(--5--)
例2.若O为ABC所在平面一点,已知满足下列恒等式:
uuur
uuur
uuur r
SOBC
•
OA
SOAC
•
OB
S OAB
•
OC
p，SCOA
q，SAOB
r，即： uuur
uuur
uuur r
引理2：已知O为ABC内一点，pOA+qOB+rOC=0
（p，q，r R），则SBOC：SCOA：SAOB =p：q：r
如何证明？
引理2： uuur uuur uuur r
已知O为ABC内一点，pOA+qOB+rOC=0
（p，q，r R），则：
uuur r uuur r uuur r 例1：已知O为ABC内一点，设OA a，OB b，OC c
给出下列命题： rrr r （1）若a b c 0，则O为ABC的重心
r （2）若a
r xb
r yc
uur 0，且
y y
y
2x+3
x 3
1 2
x
3 2
，则wenku.baidu.com
SAOB SCOA
的取值
专题 向量三角形的面积比
引理1：已知O为ABC内一点，
uuur
uuur
uuur r
求证：SBOC OA+SCOA OB+SAOB OC=0
如何证明？
引理1：已知O为ABC内一点，
uuur
uuur
uuur r
求证：uuuSrBOC OA+SCOA OB+SAOB OC=0
分析：不妨设|OA|=x，
0,
则下列命题正确的有: 答案(1)(2)(3)
uuur uuur uuur r (1).若O为ABC的重心,则OA OB OC 0.
(2).若O为ABC的内心,
uuur
uuur
uuur r
则sinA OA sinB OB sinC OC 0.
(3).若O为ABC的外心,
uuur
uuur
范围是[-1，2]
r r r uur （3）若a b xc 0，且x 1，则在ABC内取一点，
则点落在OAB内的概率为 13
rr
r uur
（4）若a xb x2 1 y2 c 0，且点（x，y）在椭圆
uuur
x2 y2 1上，则|AuuBu|r sinOAB的最大值为3 2
2
|AC|sinOAC