必修4数学第一章学案
高中数学必修4全套学案含答案
第一章三角函数1.1 任意角和弧度制►1.1.1 任意角课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI[基础自学]一、角的概念1．角的概念(1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．(2)角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边；终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边．2．角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按照逆时针旋转而成的角负角按照顺时针旋转而成的角零角当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限．三、终边相同的角设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．( )(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．( )(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．( )提示：(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)下列各组角中，终边不相同的是( )A．60°与－300° B．230°与950°C．1050°与－300° D．－1000°与80°答案 C(2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．答案195°＋(－3)×360°课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU1终边相同的角之间有什么关系？提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍．2如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)；终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)；第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．题型一正确理解角的概念例1 下列结论：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)．[解析] ①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确；③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确；④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．[答案] ①角的概念的理解正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．【跟踪训练1】(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了( )A．60° B．－60°C．30° D．－30°(2)如图∠α＝__________，∠β＝__________. 答案 (1)B (2)－150° 210°解析 (1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－360°12＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.题型二 终边相同的角的表示及象限角 例2 已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°<θ≤0°. [解] (1)∵－1910°÷360°＝－6余250°， ∴－1910°＝－6×360°＋250°.相应β＝250°，从而α＝－6×360°＋250°是第三象限的角． (2)令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到适合－720°<θ≤0°的角： 250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. ∴θ＝－110°或θ＝－470°.[变式探究] 与－1560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．答案 240° －120°解析 与－1560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.怎样表示终边相同的角及象限角(1)已知终边所处的位置，写角的集合时，可先写出0°～360°范围内的角，然后再加k ·360°(k ∈Z )组成集合即可．(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．二是根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．【跟踪训练2】 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)640°；(3)－950°12′.解(1)－120°＝－360°＋240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°角，它是第三象限的角．(2)640°＝360°＋280°，∴在0°到360°范围内与640°终边相同的角是280°角，它是第四象限的角．(3)－950°12′＝－3×360°＋129°48′，∴在0°到360°范围内与－950°12′终边相同的角是129°48′，它是第二象限的角．题型三区域角的表示例3 写出终边落在阴影部分的角的集合．[解] 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．[变式探究] 将例3改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．解(1){α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．(2){α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角．(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．【跟踪训练3】写出终边在如下图所示阴影部分内的角α的取值范围．解(1)与45°角终边相同的角的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，与30°－180°＝－150°角终边相同的角的集合为{α|α＝－150°＋k·360°，k∈Z}，因此终边在阴影部分内的角α的取值范围为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．(2)方法同(1)，可得终边在阴影部分内的角α的取值范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．[规律小结]1.角的概念的理解(1)弄清角的始边与终边．(2)结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度．(3)注意逆时针旋转与顺时针旋转的区别．2.研究象限角时应注意的问题(1)前提条件：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合；(2)并不是任何角都是象限角，如终边落在坐标轴上的角叫轴线角，轴线角的表示如下表：终边所在的位置角的集合x轴非负半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴非正半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}y轴非负半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴非正半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}3.表示与α终边相同的角时应注意的问题(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k ·360°与α之间是“＋”号，如k ·360°－30°应看成k ·360°＋(－30°)(k ∈Z )；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同． [走出误区]易错点⊳分角所在象限及范围的确定的误区 [典例] 若α是第三象限的角，则α3是( )A.第一象限的角B.第三象限的角C.第四象限的角D.第一象限或第三象限或第四象限的角[错解档案] 因为α是第三象限的角，所以取α＝210°，得到α3＝70°，是第一象限的角，故选A.[误区警示] 第三象限的角α有无数个，用α＝210°得到α3＝70°而选择答案A ，犯了以偏概全的错误．[规范解答] 因为α是第三象限的角，所以k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°(k ∈Z )，则k ·120°＋60°<α3<k ·120°＋90°(k ∈Z )，取k ＝0，得到α3可在第一象限；取k ＝1，得到α3可在第三象限；取k ＝2，得到α3可在第四象限．故选D.矫正训练 若α为第二象限的角，则α2为第几象限角？解 若α为第二象限角，则有随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU1．[2016·吉林实验高一期中]下列叙述正确的是( ) A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B ．钝角是第二象限角 C ．第二象限角比第一象限角大 D ．不相等的角终边一定不同 答案 B解析 三角形的内角是第一象限角、第二象限角或在y 轴非负半轴上的角，故A 错误；钝角是第二象限角，B 正确；象限角不能比较大小，故C 错误；不相等的角终边也可能相同，如40°和400°，故D 错误．2．[2016·山东枣庄模拟]若α是第四象限角，则180°＋α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 B解析 因为α与180°＋α的终边关于点(0,0)对称，所以角180°＋α的终边在第二象限．3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．答案 －5 －60解析 将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.4．若α为锐角，则－α＋k ·360°(k ∈Z )在第________象限． 答案 四解析 由于0°<α<90°，所以－90°<－α<0°，所以－α是第四象限角，从而－α＋k ·360°(k ∈Z )在第四象限．5．[2016·大连高一检测]写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α≤720°的元素α写出来：(1)60°；(2)－21°.解 第一步：利用终边相同的角的集合公式写出： (1)S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }； (2)S ＝{α|α＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }．第二步：在第一步的基础上，利用约束条件对其中的k 值分别采用赋值法求出元素α； (1)－300°，60°，420°；(2)－21°，339°，699°.课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN 时间：25分钟满分：60分一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知α＝－130°，则α的终边落在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析∵－130°＝－360°＋230°，而230°是第三象限角，∴α的终边落在第三象限．2．已知角α的终边落在直线y＝x上，则角α的集合S＝( )A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}答案 D解析本题考查终边在特殊直线上的角以及分类讨论的数学思想．由于角α的终边落在直线y＝x上，故角α在0°～360°内所对应的两个角分别为45°及225°，从而角α的集合S＝{α|α＝k·360°＋45°或α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，故选D.3．若α是钝角，则θ＝k·180°＋α，k∈Z是( )A．第二象限角B．第三象限角C．第二象限角或第三象限角D．第二象限角或第四象限角答案 D解析当k为偶数时，θ＝k·180°＋α，k∈Z是第二象限角，当k为奇数时，θ＝k·180°＋α，k∈Z是第四象限角．4．已知角α、β的终边互为反向延长线，则α－β的终边在( )A．x轴的非负半轴上B．y轴的非负半轴上C．x轴的非正半轴上D．y轴的非正半轴上答案 C解析由题意知β＋180°应与α终边相同，即α＝β＋180°＋k·360°(k∈Z)，∴α－β＝180°＋k·360°.故选C.5．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是( )A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角答案 C解析由条件知k·360°<2α<k·360°＋180°，(k∈Z)，∴k·180°<α<k·180°＋90°(k∈Z)，当k为偶数时，α在第一象限，当k为奇数时，α在第三象限．二、填空题(每小题5分，共15分)6．[2016·广东佛山一中期中]终边在x轴上的角β的集合是________．答案{β|β＝180°·k，k∈Z}解析 本题考查终边相同的角的概念．终边在x 轴正半轴上的角的集合为{β|β＝360°·k ，k ∈Z }，终边在x 轴负半轴上的角的集合为{β|β＝180°·(2k ＋1)，k ∈Z }，所以终边在x 轴上的角β的集合为{β|β＝180°·k ，k ∈Z }．7．时钟的时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为________． 答案 －480°解析 时针走过了1小时20分钟，则分针转了43圈，又因顺时针旋转的角为负角，∴分针转过的角为－43×360°＝－480°.8．若集合M ＝{x |x ＝k ·90°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ·45°＋90°，k ∈Z }，则M ________N ．(填“”“”)答案解析 M ＝{x |x ＝k ·90°＋45°，k ∈Z } ＝{x |x ＝45°·(2k ＋1)，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ·45°＋90°，k ∈Z }＝{x |x ＝45°·(k ＋2)，k ∈Z }，∵k ∈Z ，∴k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，∴M N . 三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图所示，试写出终边落在阴影区域内的角的集合S (包括边界)，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解 由题图可知，终边落在阴影区域内的角的集合S ＝{β|120°＋k ·360°≤β≤250°＋k ·360°，k ∈Z }．∵－950°12′＝－3×360°＋129°48′，且120°<129°48′<250°，∴－950°12′是该集合中的角． 10．已知α为第二象限角，问2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ， ∴180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k2·360°<α2<90°＋k2·360°. 当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． ►1.1.2 弧度制课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI[基础自学]一、弧度的概念设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则度量单位类别α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l ＝πr ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪α180l ＝r |α| 扇形的面积S ＝πr 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪α360S ＝12r 2|α|＝12rl1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是相同的，都是用来度量角的单位．( )(2)终边落在x 轴非正半轴上的角可表示为α＝k ·360°＋π(k ∈Z )．( ) (3)1 rad 的角和1°的角大小一样．( )(4)用圆心角所对的弧长与半径的比来度量圆心角是合理的．( ) 提示：(1)× (2)× (3)× (4)√2．做一做(1)半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A.4π3 B ．π C.2π3D.π3答案 C解析 由扇形面积公式S ＝12r 2·|α|可得S ＝12×4×π3＝2π3，故选C. (2)角度与弧度互化： ①7π6＝________；②－75°＝________. 答案 ①210° ②－5π12课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU1角度制与弧度制如何换算？提示：360°＝2π rad,180°＝π rad,1°＝π180rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°.2扇形的弧长与面积的计算公式是什么？ 提示：l ＝|α|·r ，S ＝12l ·r ＝12|α|·r 2.题型一 弧度制的概念例1 下列命题中，假命题是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位．D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关[解析] 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 是假命题．选项A 、B 、C 均为真命题．[答案] D“度”与“弧度”的区别和联系(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360. (3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的值．【跟踪训练1】 下列命题中，真命题是( ) A ．一弧度是一度的圆心角所对的弧B ．一弧度是长度为半径的弧C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和D ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 答案 D解析 根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角．对照各选项，可知D 为真命题．故选D.题型二 弧度和角度的换算 例2 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.[解] (1)20°＝20×π180＝π9.(2)－15°＝－15×π180＝－π12.(3)712π＝712π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝105°.(4)－115π＝－115π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－396°.角度制与弧度制互化的注意事项(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．【跟踪训练2】 (1)－450°化成弧度是________． (2)75π化成角度是________． 答案 (1)－52π (2)252°解析 (1)－450°＝－450×π180＝－52π.(2)75π＝75π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝252°.题型三 用弧度表示角例3 (1)把下列角化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式：①16π3；②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)． [解] (1)①16π3＝4π＋4π3.∵0≤4π3<2π，∴16π3＝4π＋4π3.②－315°＝－315×π180＝－7π4＝－2π＋π4.∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4.(2)330°＝360°－30°＝2π－π6，而60°＝π3，它所表示的区域位于－π6与π3之间且跨越x 轴的正半轴．所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋π3，k ∈Z.弧度制表示角的注意事项(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．可以先写(－π，π)或(0,2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z .(2)终边在同一直线上的角可以合并为{x |x ＝α＋k π，k ∈Z }；终边在相互垂直的两直线上的角可以合并为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝α＋k ·π2，k ∈Z.【跟踪训练3】 (1)把－1480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1480°＝－1480π180＝－74π9＝－10π＋16π9，又0≤16π9<2π，∴－1480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)由(1)可知α＝16π9.∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0]，令k ＝－1，则β＝－2π9.令k ＝－2, 则β＝－20π9，∴β的值是－2π9，－20π9.题型四 扇形的弧长与面积 例4 扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . [解] 设这个扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α(α>0)． (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝8，12lR ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝3，l ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，l ＝6.由|α|＝l R 可得：α＝23或α＝6.(2)扇形的面积 S ＝12lR ＝12(8－2R )R ＝－(R －2)2＋4(0<R <4)，所以，当且仅当R ＝2时，S 取得最大值4. 这时，l ＝8－2R ＝4，可求出：α＝lR＝2. 又∵0<2<π，∴|AB |＝2R ·sin α2＝4sin1.[变式探究] 将例4中扇形周长改为6 cm ，面积改为2 cm 2，求圆心角的大小． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α(α>0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝612lR ＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2l ＝2，由|α|＝lR得α＝4或α＝1.扇形周长及面积的最值(1)当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值．其求法是把面积S 转化为关于r 的二次函数，但要注意r 的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l <2πr .(2)当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值．其求法是把扇形周长L 转化为关于r 的函数，但要注意r 的取值范围．【跟踪训练4】 已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1) AB ︵的长； (2)弓形AOB 的面积．解 (1)∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴AB ︵的长为4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示．又S △OAB ＝12×AB ×OD (D 为AB 中点)＝12×2×6cos30°×6×sin30°＝9 3. ∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.[规律小结]1.弧度制与角度制的区别与联系 (1)区别①单位不同．弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； ②定义不同． (2)联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值． 2.角度制与弧度制换算时应注意的问题(1)弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应的位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可； (2)如无特别要求，不必把π写成小数；(3)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度； (4)同一个式子中角度和弧度不能混用． [走出误区]易错点⊳角度制与弧度制的应用误区[典例] 将－1485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________． [错解档案] 因为－1485°＝－4×360°－45°＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°， 所以－1485°化为2k π＋α形式应为－10π＋315°.[误区警示] 只考虑了将－1485°写成了“2k π”的组合形式，而忽视了对α的要求，忽视了角度和弧度的统一，这是初学者极易犯的一个错误．[规范解答] 由－1485°＝－5×360°＋315°， 所以－1485°可以表示为－10π＋74π.矫正训练 将17π4化成k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式为________．答案 2·360°＋45° 解析 17π4＝765°＝720°＋45°＝2×360°＋45°， 故17π4＝2·360°＋45°.随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU1．1920°转化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3D.32π3答案 D解析 ∵1°＝π180弧度，∴1920°＝1920×π180＝323π.2．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 ∵－3≈－171.9°，∴α＝－3表示的角的终边在第三象限．3．[2016·南昌市高一月考]已知扇形的半径为R ，面积为R 2，那么这个扇形中心角的弧度数是________．答案 2解析 由l ＝|α|·R 及S ＝12lR ，得S ＝12|α|R 2.∴|α|＝2S R 2＝2R2R2＝2.4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________．答案 ⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z解析 若角α的终边落在第二象限，则 2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z .5．将下列各角转化成2k π＋α(k ∈Z )，且0≤α<2π的形式，并指出它们是第几象限角：(1)－1725°；(2)64π3.解 (1)∵－1725°＝－5×360°＋75°＝－10π＋5π12，∴－1725°角与角5π12的终边相同．又∵5π12是第一象限角，∴－1725°是第一象限角． (2)∵64π3＝20π＋4π3，∴角64π3与角4π3的终边相同．又∵4π3是第三象限角，∴64π3是第三象限角． ,课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN时间：25分钟满分：60分一、选择题(每小题5分，共25分) 1．－300°化为弧度是( ) A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π6答案 B解析 ∵1°＝π180 rad ，∴－300°＝－5π3 rad.2.8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288° D ．318°答案 C 解析 ∵1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°，∴8π5＝8π5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝288°.3．[2016·清华附中月考]若角α，β的终边关于y 轴对称，则α，β的关系一定是( ) A ．α＋β＝π B ．α－β＝π2C ．α－β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )D ．α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z ) 答案 D解析 本题考查关于y 轴对称的两个角之间的关系．角α，β的终边关于y 轴对称，则画图可知α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )，D 选项正确；也可以用特殊值方法，例如取α＝π4，β＝3π4或α＝－π4，β＝－3π4，结合选项可知D 正确．故选D. 4．[2016·兰州一中高一期末]已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 B解析 由S ＝12lR 及|α|＝l R ，得S ＝12l 2|α|＝12·422＝4.5．[2016·浙江永嘉高一月考]集合⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，} k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案 C解析 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.二、填空题(每小题5分，共15分) 6．角度制与弧度制间的互化：(1)1095°＝__________rad ；(2)－94π＝__________.答案 (1)7312π (2)－405°解析 (1)1095°＝1095×π180＝73π12.(2)－94π＝－94π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－405°. 7．若圆的半径为6 cm ，则15°的圆心角所对的弧长为________，扇形面积为________．(用π表示)答案π2 cm 32π cm 2解析 15°＝15×π180＝π12，l ＝|α|·r ＝π12×6＝π2cm ， S ＝12l ·r ＝12×π2×6＝32π cm 2.8．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．答案 13解析 本题考查弧长公式的应用．设原来圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则l ＝αr ，设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝l 3r ＝αr 3r ＝α3，故α1α＝13.三、解答题(每小题10分，共20分) 9．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 解 (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，∴α＝－800°＝149π＋(－3)×2π.∵角α与14π9终边相同，∴角α是第四象限角．(2)∵与角α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ， 解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.10．已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为α，半径为R cm ，面积为S cm 2，弧长为l cm ，则有l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R ，∴S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝－R 2＋10R ＝－(R －5)2＋25.故当半径R ＝5时，扇形的面积有最大值25 cm 2.此时扇形的圆心角为α＝l R ＝20－2×55＝2.[基础自学]一、三角函数的定义 1．单位圆中三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③yx 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)． 2．任意角的三角函数的定义直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P 的坐标(x ，y )，它到原点的距离是r (r >0)，r ＝x 2＋y 2，那么任意角的三角函数的定义：tanαyxtanα＝yx⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α≠kπ＋π2，k∈Z记忆口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三、诱导公式(一)名称符号语言文字语言诱导公式(一)sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)cos(2kπ＋α)＝cosα(k∈Z)tan(2kπ＋α)＝tanα(k∈Z)终边相同的角的同名三角函数值相等1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sinα，cosα，tanα中可以将“α”与“sin”“cos”“tan”分开．( )(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．( )(3)sin253π＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝sinπ3＝32.( )提示：(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)若sinα<0，且tanα<0，则角α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 D解析若sinα<0，则α为第三或第四象限角．若tanα<0，则α为第二或第四象限角，故α为第四象限角，选D.(2)计算：sin180°＋2cos270°的值为________．答案0解析sin180°＋2cos270°＝0＋2×0＝0.(3)tan390°的值为________．答案33解析tan390°＝tan(360°＋30°)＝tan30°＝33.课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU1三角函数值在各象限的符号有什么规律吗？提示：由三角函数的定义知sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(r >0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P (x ，y )的坐标确定的，可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2诱导公式一的作用是什么？提示：公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．题型一 求任意角的三角函数值例1 [2015·黑龙江五校联考]已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ 的值．[解] 由已知有24m ＝m3＋m2， 得m ＝0，或m ＝± 5.(1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0； (2)当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153； (3)当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153. [变式探究] 将例1中的P 点坐标改为(3，m )再去求解． 解 ∵24m ＝mm 2＋3，∴m ＝0或m ＝±5， 当m ＝0时，cos θ＝1，tan θ＝0； 当m ＝5时，cos θ＝64，tan θ＝153； 当m ＝－5时，cos θ＝64，tan θ＝－153.利用三角函数的定义求值的策略(1)求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．(2)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．(3)若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标．【跟踪训练1】 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则2cos 2θ－1＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则 cos θ＝t5|t |. 当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55. ∴2cos 2θ－1＝25－1＝－35.题型二 三角函数值的符号例2 (1)α是第四象限角，判断sin α·tan α的符号； (2)若sin α|sin α|＋|cos α|cos α＝0，试判断α所在象限．[解] (1)∵α是第四象限角，∴sin α<0，tan α<0，∴sin α·tan α>0. (2)由条件知，sin α与cos α异号． ∴α是第二象限角或第四象限角．[变式探究] 将例2(1)中α改为第三象限角，则sin α·tan α的符号如何？ 解 ∵α是第三象限角，∴sin α<0，tan α>0，∴sin α·tan α<0.熟记各象限函数值的符号准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号并牢记记忆口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”是解决这类问题的关键．【跟踪训练2】 (1)若sin α＝－2cos α，判断sin α·tan α的符号；(2)判断符号：sin3·cos4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.解 (1)∵sin α＝－2cos α，∴sin α与cos α异号． ∴α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，tan α<0，sin α>0，∴sin α·tan α<0. 当α是第四象限角时，tan α<0，sin α<0，∴sin α·tan α>0.(2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴sin3>0，cos4<0.∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0. ∴sin3·cos4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π<0.题型三 诱导公式(一)的应用 例3 计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式化简(1)将已知角化为k ·360°＋α(k 为整数，0°≤α<360°)或2k π＋β(k 为整数，0≤β<2π)的形式．(2)将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．(3)借助特殊角的三角函数值或任意角三角函数的定义达到化简求值的目的．【跟踪训练3】 求值： (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π； (2)sin810°＋ta n765°＋tan1125°＋cos360°. 解 (1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°＝1＋1＋1＋1＝4.[规律小结]1.对三角函数定义的理解(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应．三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．如在求正切时，若点P 的横坐标x 等于0，则tan α无意义．(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2.三角函数值在各象限内的符号(1)三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的． (2)对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．3.诱导公式一的理解及其应用(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k ·2π，右边的角为α.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．[走出误区]易错点⊳求三角函数定义域的误区[典例] 求满足y ＝sin x ·tan x 的x 的取值范围． [错解档案] 由题意知，只需要sin x ·tan x ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0tan x ≥0①或⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0tan x ≤0②对①可知x 为第一象限角或终边在x 轴或y 轴上的角． 对②可知x 为第四象限角或终边在x 轴或y 轴上的角． 因此x的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ 2k π－π2≤x <2k π或2k π<x ≤2k π＋π2或x ＝⎭⎬⎫k π2，k ∈Z .[误区警示] 求y ＝sin x ·tan x 的x 取值范围时没有考虑tan x 的条件，致使思考问题不周全而出错．[规范解答] 所求x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ·tan x ≥0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，或⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≤0，x ≠k π＋π2k ∈Z .根据x 所在象限情况可判断x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π－π2<x <2k π或2k π<x <2k π＋π2或x ＝k π，k ∈Z .矫正训练 求y ＝cos xsin x的x 的取值范围． 解 ∵cos x ≥0∴x 为第一、四象限角或x 轴非负半轴上的角或y 轴上 又∵sin x ≠0 ∴x 不能在x 轴上∴x 为第一或第四象限角或y 轴上．x 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ －π2＋2k π≤x <2k π或2k π<x ≤2k π＋⎭⎬⎫π2，k ∈Z。
高中数学第一章1.4.1正弦函数余弦函数的图象1.4.2正弦函数余弦函数的性质学案含解析新人教A版必修4
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质考试标准知识导图学法指导1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主，因此在学习过程中应先学会作图，然后利用图象研究函数的性质．2．深刻理解五点的取法，特别是非正常周期的五点．3．注意所有的变换是图象上的点在移动，是x 或y 在变化而非ωx .4．运用整体代换的思想，令ωx ＋φ＝t ，借助y ＝sin t ，y ＝cos t 的图象和性质研究函数y ＝sin(ωx ＋φ)，y ＝cos(ωx ＋φ)的图象和性质．第1课时 正弦函数、余弦函数的图象正弦曲线与余弦曲线及其画法状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x ，x∈[2k π，2(k ＋1)π]，k∈Z 的图象与x ∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法． 提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点．( )(2)正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2上的图象相同．( )(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确． 答案：C3．下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________________．解析：令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，34π，π.答案：0，π4，π2，34π，π类型一 用“五点法”作三角函数的图象例1 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x ＋12，x ∈[0,2π]；(2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]． 【解析】 (1)按五个关键点列表：(2)列表：作函数图象需要先列表再描点，最后用平滑曲线连线． 方法归纳作形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )，x ∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y ＝3＋2cos x 的简图． 解析：(1)列表，如下表所示(2)利用五点作图法画简图．类型二 正、余弦函数曲线的简单应用 例2 根据正弦曲线求满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的取值范围． 【解析】 在同一坐标系内作出函数y ＝sin x 与y ＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π在同一坐标系内作y ＝sin x 与y ＝－32的图象，利用图象求x 的范围. 方法归纳利用三角函数图象解sin x >a (或cos x >a )的三个步骤 (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值． (3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集．[注意] 解三角不等式sin x >a ，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x ∈[0,2π]范围内x 的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x ≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为[π3＋2k π，5π3＋2k π]，k ∈Z .在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象，利用图象求x 的范围.1.4.1-2.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称，故C 错误． 答案：C2．下列各点中，不在y ＝sin x 图象上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π，1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)． 答案：D3．不等式sin x >0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B 4．点M ⎝⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：点M 在y ＝sin x 的图象上，代入得－m ＝sin π2＝1，∴m ＝－1.答案：C5．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列叙述正确的有________．(1)y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； (2)y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)7．关于三角函数的图象，有下列说法： (1)y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； (2)y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；(3)y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； (4)y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是________．解析：对(2)，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同； 对(4)，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确． 答案：(2)(4)8．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，又∵x ∈[0,2π]，故x ＝π6或56π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12三、解答题(每小题10分，共20分)9．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：(2)10．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3. [能力提升](20分钟，40分)11．已知函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析：依题意，由余弦函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0成中心对称，可得y ＝2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.答案：D12．函数y ＝2cos x －2的定义域是________． 解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0，即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 13．利用“五点法”作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，52π的图象．解析：列表如下：14．利用图象变换作出下列函数的简图：(1)y＝1－cos x，x∈[0,2π]；(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cos x，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．。
高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用。
2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。
知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1 设α为任意角，则2kπ＋α,π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？答案它们的对应关系如表：相关角终边之间的对称关系2kπ＋α与α终边相同π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称思考2 2kπ＋α,π＋α,－α，2kπ－α,π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系?试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系。
答案它们交点间对称关系如表：相关角终边与单位圆的交点间对称关系2kπ＋α与α重合π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称,所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α）＝－sin α，cos(－α）＝cos α.梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α）＝sin α，c os（2kπ＋α)＝cos α(1。
高中数学 第一章 三角函数 1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)学案 苏教版必修4-
1.3.3 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)[学习目标] 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式．[知识链接]由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象？ 答 y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象一般有两个途径： 途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．[预习导引]函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：定义域 R 值域 [－A ，A ]周期性T ＝2πω奇偶性φ＝k π (k ∈Z )时是奇函数；φ＝π2＋k π (k ∈Z )时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是非奇非偶函数单调性单调增区间可由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )得到，单调减区间可由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得到要点一 “五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的简图，并指出该函数的单调区间． 解 (1)列表如下：2x ＋π30 π2 π 3π2 2π x －π6π12 π3 7π12 5π6 y2－2(2)描点、连线，如图由图象知，在一个周期内，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12上单调递增．又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．规律方法 用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先作变量代换，令X ＝ωx ＋φ，再用方程思想由X 取0，π2，π，32π，2π来确定对应的x 值，最后根据x ，y 的值描点、连线画出函数的图象．跟踪演练1 作出函数y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图象．解 列表：X ＝13x －π3π2 π3π2 2πxπ 5π24π 11π27πy ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π332－32描点画图(如图所示)：要点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．解 方法一 (逐一定参法)由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在函数图象上，且为第一个特值点， ∴0＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6×2＋φ.∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法二 (待定系数法)由图象知A ＝3.∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，∴⎩⎪⎨⎪⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法三 (图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.规律方法 给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法：(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．跟踪演练2 如图，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式．解 由图象知A ＝5.由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π， ∴ω＝2πT ＝23.∴y ＝5sin(23x ＋φ)．下面用两种方法求φ： 方法一 (单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴2π3＋φ∈[π2＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )．由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.方法二 (最值点法)将最高点坐标(π4，5)代入y ＝5sin(23x ＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝π3.所以该函数式为y ＝5sin(23x ＋π3).1．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为偶函数，则φ满足的条件是________． 答案 φ＝k π＋π2(k ∈Z )2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则ω＝________，φ＝________.答案π4 π4解析 由所给图象可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图象在x ＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵0≤φ<2π，，∴φ＝π4.3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象说法正确的有________．①关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；②关于直线x ＝π4对称；③关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ④关于直线x ＝π12对称．答案 ①④4．作出y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在一个周期上的图象．解 (1)列表：12x －π40 π2 π 32π 2π xπ2 32π 52π 72π 92π 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π43－3描点、连线，如图所示：1.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2π|ω|，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．一、基础达标1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为T ＝________，φ＝________. 答案 6π6解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.2．函数图象的一部分如下图所示，则符合题意的解析式是__________________．①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3；④y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 答案 ④解析 由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2. 又x ＝π12时，y ＝1，经验证只有④符合．3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝________.答案 4解析 设函数的最小正周期为T ， 由函数图象可知T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.4．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象可能是________．答案 ①②③解析 当a ＝0时f (x )＝1，③符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，①符合， 当|a |>1时T <2π，②符合．5．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 答案 x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． 由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.6．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________. 答案5π6解析 函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6.7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象． 解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫38π－π8＝π，ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)列出x 、y 的对应值表：x－π8 π8 38π 58π 78π 2x ＋π40 π2 π 32π 2π y2－2描点、连线，如图所示：二、能力提升8．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，那么a ＝________.答案 －1解析 方法一 ∵函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于x ＝－π8对称，设f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0)， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝sin 0＋a cos 0. ∴a ＝－1.方法二 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋x ，令x ＝π8，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0)，即a ＝－1.9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．答案 2，－π3解析 由图象知34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，解得T ＝π. 由T ＝2πω＝π，解得ω＝2， 得函数表达式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)又因为当x ＝5π12时取得最大值2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2， 可得5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z ) 因为－π2＜φ＜π2，所以取k ＝0，得φ＝－π3. 10．关于f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称． 其中正确命题的序号为________．答案 ②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )． ∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k 2π－π6，k ∈Z . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z .∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴④错． 11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点(0,1)，求函数的解析式．解 由于最小值为－2，所以A ＝2.又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ. 又图象过点(0,1)，所以sin φ＝12， 因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 故所求解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6. 12．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π12，0)，图象与P 点最近的一个最高点坐标为(π3，5)． (1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．解 (1)∵图象最高点坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π. ∴ω＝2πT＝2. ∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)， 得sin(23π＋φ)＝1. ∴23π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )． 由|φ|<π2，得φ＝－π6， ∴y ＝5sin(2x －π6)． (2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )． ∴增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )． (3)∵5sin(2x －π6)≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )， ∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． 解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2. 由图象关于M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称可知， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数， ∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2. 综上，φ＝π2，ω＝23或2.。
人教版高中数学必修四第一章1-2-2同角三角函数的基本关系式《学案》
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠更迷人的了。
——哈菲兹学习目标1．理解同角三角函数的基本关系.2．会利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明恒等式.学习重点同角三角函数的基本关系式的推导，会利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明学习难点会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明自主学习同角三角函数的基本关系平方关系： .商的关系：.tanα=预习评价1．已知θ是第一象限角且，则cosθ＝.2．化简：= .3．已知3sinα+cosα=0，则t a n = .♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．同角三角函数基本关系设角是一个任意象限角，点P(x，y)为角α终边上任意一点，它与原点的距离为r(r= >0)，那么：，请根据三角函数的定义思考下面问题：(1)从以上三角函数的定义，试计算sin2α+cos2α与的值，并根据你计算的结果，写出sin ,cos ,t a n 之间的关系式.(2)同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？2．利用同角三角函数关系可以解决哪些问题？教师点拨对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1.(2)同角不要拘泥于形式，将换成或2α也成立，如.(3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos ≠0，即交流展示——利用基本关系求值1．已知( )A. B. C. D.2．已知，则等于A. B. C. D.3．______．4．已知是第二象限角,,则变式训练1．(2011·山东省潍坊市月考)已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为()A. B.± C. D.±2．已知tan α=-2,且<α<π,则cos α+sin α=.交流展示——三角函数式的化简5．若，则sinαcosα=A. B. C. D.6．当角α的终边在直线3x+4y=0上时,sin α+cos α=B. C. D.±7．(2012·聊城测试)已知tan α,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且3π<α<π,则cos α+sin α=.变式训练已知，求(1)；(2)的值.交流展示——三角恒等式的证明8．求证：.9．证明:(1-tan4A)cos2A+tan2A=1.变式训练求证：学习小结1．三角函数求值的常用方法若已知tan =m，求其他三角函数值，其方法是解方程组求出sin a和cos a的值.若已知tan =m，求形如的值，其方法是将分子、分母同除以co s a(或cos2a)转化为tan 的代数式，再求值.形如a sin2 +bsin •cos +c•cos2 通常把分母看作1，然后用sin2 +cos2 代换，分子分母同除以cos2 再求解.提醒：在应用平方关系求sin 或cos 时，函数值的正、负是由角的终边所在的象限决定的，切不可不加分析，凭想象乱写结果.2．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α=1－cos2α，cos2α=1－sin2α，1=sin2α+cos2α，sinα=tanα•cosα，cosα= .3．对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低.(2)使式中的项数尽量少.(3)使三角函数的种类尽量少.(4)使式中的分母尽量不含有三角函数.(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号.(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.4．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则.(2)证明左右两边等于同一个式子.(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.当堂检测1．已知A为三角形的一个内角，且，则cos A−sin A的值为A. B. C. D.2．化简(1+tan2α)·cos2α=__________.3．已知在△ABC中，.(1)求sin A·cos A的值.(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.(3)求tan A的值.知识拓展在中，，求的值．详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】(1)sin2α+cos2α＝1(2)【预习评价】1．2．cos20°3．♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)sin2α+co s2α= + = =1，由以上计算结果可得出以下结论；sin2α+cos2α=1及tanα= .(2)对于平方关系只需同角即可；对于商的关系第一保证是同角，第二保证α≠kπ+ (k∈Z).2．(1)求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值；(2)化简三角函数式；(3)证明三角恒等式.【交流展示——利用基本关系求值】1．C.【备注】对于与之间的关系，通过平方可以表达出来.2．A,结合可得,所以3．1【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系.原式．4．【解析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用.利用同角三角函数基本关系式,已知一个角的一个三角函数值可求这个角的其它三角函数值.,又,∴【变式训练】1．A【解析】由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=,解得sin αcos α=,故选A.2．【解析】本题主要考查了三角函数的概念,意在考查考生对基本概念的理解和应用能力由tan α=-2,得=-2,又sin2α+cos2α=1,且<α<π,解得sin α=,cos α=-,则sin α+cos α==.【交流展示——三角函数式的化简】5．B【解析】由，得，即t a nα.故选B.6．D【解析】在角α的终边上取点P(4t,-3t)(t≠0),则|OP|=5|t|.根据任意角的三角函数的定义,当t>0时,sin α==-,cos α==,sin α+cos α=;当t<0时,sin α==,cos α==-,sin α+cos α=-. 7．-【解析】∵tan α·=k2-3=1,∴k=±2,而3π<α<π,则tan α+=k=2,得tan α=1,则sin α=cos α=-,∴cos α+sin α=-.【变式训练】(1)；(2).的一次或二次齐次式,所以可将分子和分母同除以或,然后将代入求解即可.【备注】注意到的应用.【交流展示——三角恒等式的证明】8．证明： 因为1cos sin sin 1cos x x x x+--(1cos )(1cos )sin sin sin (1cos )x x x x x x +--=- 22221cos sin sin sin 0sin (1cos )sin (1cos )x x x xx x x x ---===--，所以1cos sin =sin 1cos x x x x+-. 9．∵左边=·cos 2A+=+=+==1=右边,∴原等式成立. 【变式训练】右边左边.【解析】通过“切割化弦”将右边分子、分母中的正切化为再进行通分求解.【备注】在三角恒等式的证明中化异为同是基本思想，“1”的代换要灵活运用. 【当堂检测】 1．D【解析】由A 为三角形的内角且，可知，，∴cosA −，.故选D. 2．13．（1）由1sin cos 5A A +=，两边平方，得112sin cos 25A A +⋅=，所以12sin cos 25A A ⋅=-. （2）由（1）得12sin cos 025A A ⋅=-<.又0A π<<，所以cos 0A <， 所以A 为钝角.所以ABC ∆是钝角三角形.（3）因为12sin cos 25A A ⋅=-， 所以22449(sin cos )12sin cos 12525A A A A -=-⋅=+=， 又sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 0A A ->，所以7sin cos 5A A -=. 又1sin cos 5A A +=，所以43sin ,cos 55A A ==-. 所以4sin 45tan 3cos 35A A A ===--. 【知识拓展】解：∵，①∴，即，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．②①+②，得．①−②，得．∴．【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系以及三角形中函数符号的判定。
2020-2021学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4
2020-2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4年级：姓名：1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)内容标准学科素养1.理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一.提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点一任意角的三角函数阅读教材P11～12，思考并完成以下问题(1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？提示：sin α＝|PM||OP|＝yr，cos α＝|OM||OP|＝xr，tan α＝|PM||OM|＝yx.(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？提示：不变．三角形相似，对应边成比例．(3)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.(4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin α，cos α，tan α的表示变化吗？提示：不变．仍是sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦 x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0) 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α α≠k π＋π2，k ∈Z知识点二 阅读教材P 13，思考并完成以下问题根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ (1)当α的终边在第一象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x >0，tan α＝y x >0 (2)当α的终边在第二象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x <0，tan α＝y x<0. (3)当α的终边在第三象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x <0，tan α＝yx>0.(4)当α的终边在第四象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x >0，tan α＝yx<0.知识梳理 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三 诱导公式一阅读教材P 14，思考并完成以下问题当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？ 提示：sin 390°＝sin(360°＋30°)， sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)， 故30°、390°、－330°终边相同． 知识梳理 诱导公式一sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α， 其中k ∈Z .(1)当α的终边在y 轴正半轴时，P (0，1)，则α＝π2＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝sin π2＝1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝cos π2＝0．(2)当α的终边在y 轴负半轴时，P (0，－1)，则α＝32π＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝sin 32π＝－1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝cos 32π＝0．(3)当α的终边在x 轴正半轴时，P (1，0)， 则α＝2k π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋0)＝sin 0＝0． cos α＝cos(2k π＋0)＝cos 0＝1． tan α＝tan(2k π＋0)＝tan 0＝0.(4)当α的终边在x 轴负半轴时，P (－1，0)， 则α＝2k π＋π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋π)＝sin π＝0． cos α＝cos(2k π＋π)＝cos π＝－1． tan α＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0．[自我检测]1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D2．α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则sin α＝______，cos α ＝________．答案：35 －45授课提示：对应学生用书第8页探究一 任意角的三角函数的定义及应用[教材P 12例1、例2]方法步骤：(1)确定终边上点的坐标．(2)应用定义求值． 角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值[例1] (1)已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解析] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1，3)，此时sin θ＝3（－1）2＋32＝31010， tan θ＝3－1＝－3.(2)已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．[解析] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值[例2] 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．[解析] 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 第一课时 三角函数的定义与公式一学案 新人教A版必修4-新人
第一课时三角函数的定义与公式一预习课本P11～15，思考并完成以下问题(1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？(5)诱导公式一是什么？[新知初探]1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y 余弦x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x正切yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．[点睛] 诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.( )(2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( )答案：(1)√(2)×(3)√2．若sin α<0，tan α>0，则α在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎪⎫55，－255，则sin α＋cos α＝( )A ．55B ．－55C ．255D ．－255答案：B4．sin π3＝________，cos 3π4＝________.答案：32 －22三角函数的定义及应用[典例] 设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A ．25 B ．－25C ．15D ．－15[解析] ∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即－3a2＋4a2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.[答案] A利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]1．如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C 由题意知P (1，－3)， 所以r ＝ 12＋－32＝2，所以sin α＝－32. 2．已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．解：根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝512，∴a ＝5，∴P (12,5)．这时r ＝13，∴sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝1713.三角函数值符号的运用[典例] (1)( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z.∴k π＋π2<α2<k π＋3π4.∴α2在第二、四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2在第二象限．[答案] (1)D (2)B对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[活学活用]1．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.2．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限． 解析：∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0.∴P (sin α，cos α)位于第四象限． 答案：四诱导公式一的应用[典例] 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12 ＝64＋14 ＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤[活学活用] 求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 解：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝sin π3＋tan π4＝32＋1. (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1 ＝1.层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限，∴x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋－12＝2，∴cos α＝xr＝12＝22. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B ．34C ．－32D ．14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴s in 120°cos 210°＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34，故选A. 5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝25＝25 5.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－25 5. 6．tan ⎝⎛⎭⎪⎫－17π3＝________. 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 37．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________.解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝ 25＋a 2＝13.∴sin α＝－1213，cos α＝513.∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4.解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3.(3)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. ∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( ) A ．8B ．－8C ．4D ．－4 解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋－62＝m 2＋36，故cos α＝mm 2＋36＝－45，解得m ＝－8. 5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8. 答案：－86．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案：327．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4. 解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0，∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角， ∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角． ∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4<0.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限． (2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。
高中数学 第一章 三角函数 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学案 北师大版必修4
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题.知识点 正弦、余弦函数的性质思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？答案 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是增加的？答案 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增加的. 梳理 正弦、余弦函数的性质1.正弦函数在定义域上是单调函数.( × )提示 正弦函数不是定义域上的单调函数. 2.正弦函数在第一象限是增函数.( × )提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－5π3<π6，但sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3＝sin π3＝32，sin π6＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3>sin π6.3.存在实数x ，使得cos x ＝ 2.( × ) 提示 余弦函数最大值为1.4.余弦函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数.( √ ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确.类型一 正弦、余弦函数的定义域 例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22＋1－2cos x . 考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0， 即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z. 反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制. (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.跟踪训练1 函数y ＝2sin x ＋1的定义域为 . 考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋2k π，7π6＋2k π，k ∈Z解析 要使2sin x ＋1有意义， 则必须满足2sin x ＋1≥0，即sin x ≥－12，结合单位圆，知x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋2k π，7π6＋2k π，k ∈Z . 类型二 正弦、余弦函数的值域与最值例2 (1)求函数y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤5π6的值域.题点 正、余弦函数的值域解 ∵y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上是增加的， 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6上是减少的，∴当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝5π6时，y min ＝cos 5π6＝－32，∴y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤5π6的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.(2)已知函数y ＝a sin x ＋1的最大值为3，求它的最小值. 考点 正、余弦函数的最值 题点 含参正、余弦函数的最值解 当a >0时，y max ＝a ×1＋1＝3，得a ＝2， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝2×(－1)＋1＝－1； 当a <0时，y max ＝a ×(－1)＋1＝3，得a ＝－2， ∴当sin x ＝1时，y min ＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1.反思与感悟 (1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析.(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数分类讨论.跟踪训练2 函数y ＝2＋cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3的值域为 .考点 正、余弦函数的值域 题点 正、余弦函数的值域答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3解析 由单位圆，可知当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－π3，2π3时，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以2＋cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，所以函数y ＝2＋cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.类型三 正弦、余弦函数的单调性例3 函数y ＝cos x 的一个递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2B.(0，π)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 D.(π，2π)题点 求正、余弦函数的单调区间 答案 D解析 ∵y ＝cos x 的递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z ，令k ＝1得[π，2π]，即为y ＝cos x 的一个递增区间，而(π，2π)⊆[π，2π]，故选D. 反思与感悟 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并.跟踪训练3 求下列函数的单调区间.(1)y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]. 考点 正、余弦函数的单调性 题点 求正、余弦函数的单调区间解 (1)y ＝sin x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.(2)y ＝cos x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，递减区间为[0，π].1.函数y ＝cos x －1的最小值是( ) A.0 B.1 C.－2 D.－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 余弦函数的最大值与最小值 答案 C解析 cos x ∈[－1，1]，所以y ＝cos x －1的最小值为－2.2.不等式2sin x －1≥0的解集为 . 考点 解三角不等式 题点 解三角不等式答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z解析 由2sin x －1≥0得，sin x ≥22. 由单位圆可得π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .3.函数f (x )＝－2sin x ＋1的最大值为 .答案 3解析 因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )取最大值2＋1＝3.4.求y ＝－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π的值域. 考点 正、余弦函数的值域 题点 正、余弦函数的值域解 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π，得sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴y ∈[－2，1]，∴y ＝－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π的值域为[－2，1].利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识.一、选择题1.函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A.[k π，(k ＋1)π](k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，(2k ＋1)π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π2，(k ＋1)π(k ∈Z )D.[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z ) 考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 答案 B解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z ).2.函数y ＝sin 2x 的递减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[π＋2k π，3π＋2k π](k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 答案 B解析 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，∴y ＝sin 2x 的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).3.函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D.R考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 答案 C解析 ∵cos x －12>0，∴cos x >12，∴2k π－π3<x <2k π＋π3，k ∈Z .∴函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z .4.函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 考点 正、余弦函数的单调性 题点 求正、余弦函数的单调区间 答案 B解析 y ＝sin x 的递增区间就是y ＝4sin x ＋3的递增区间.5.y ＝3cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，4π3的最大值与最小值分别为( )A.3，－3B.3，－332C.3，32D.3，－32考点 正、余弦函数的最值 题点 求正、余弦函数的最值 答案 A6.在[0，2π]内，使sin x ≥12成立的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π考点 解三角不等式 题点 解三角不等式 答案 B7.已知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3，x ∈Z ，则f (x )的值域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－32，32 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－12，12，－32，32D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，32考点 余弦函数的值域 题点 余弦函数的值域 答案 A 二、填空题8.y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，5π3的递增区间为 .考点 正、余弦函数的单调性 题点 求正、余弦函数的单调区间 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π3 9.满足sin α－cos α>0的α的取值范围是 . 考点 解三角不等式 题点 解三角不等式答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4＋2k π<α<5π4＋2k π，k ∈Z 解析 由图可解.10.y ＝3sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3的值域为 .考点 正、余弦函数的值域 题点 正、余弦函数的值域答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3解析 借助单位圆可知，函数f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3在x ＝π2处取最大值1，在x ＝－π3和x ＝4π3处同时取得最小值－32，即－32≤sin x ≤1，所以－332≤3sin x ≤3. 11.下列说法正确的是 .(只填序号) ①y ＝|sin x |的定义域为R ； ②y ＝3sin x ＋1的最小值为1； ③y ＝－sin x 为周期函数；④y ＝sin x －1的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈R ).考点 正、余弦函数的基本性质 题点 正、余弦函数的基本性质综合 答案 ①③解析 对于②，y ＝3sin x ＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于④，y ＝sin x －1的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，故②④错，填①③.三、解答题12.已知函数y ＝a cos x ＋b 的最大值是0，最小值是－4，求a ，b 的值. 考点 正、余弦函数的最值 题点 含参正、余弦函数的最值解 当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝b ＝－2. 13.已知函数f (x )＝12－sin x.(1)判定函数f (x )是否为周期函数； (2)求函数f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，5π6时，求f (x )的值域. 考点 正、余弦函数的基本性质 题点 正、余弦函数的基本性质综合 解 (1)函数f (x )的定义域是R .因为f (x ＋2π)＝12－sin (2π＋x )＝12－sin x＝f (x )，所以f (x )是周期函数.(2)由正弦函数的基本性质，可知在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上，函数y ＝sin x 是增加的，而此时函数h (x )＝2－sin x 是减函数，从而可知此时函数f (x )是增函数， 故可知函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ).(3)设t ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，5π6，则t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，所以1≤2－t <52，则25<12－t≤1.故f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤25，1. 四、探究与拓展14.函数y ＝－23cos x ，x ∈(0，2π)，其单调性是( )A.在(0，π)上是增加的，在[π，2π)上是减少的B.在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π2，2π上是增加的，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的C.在[π，2π)上是增加的，在(0，π)上是减少的D.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是增加的，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π上是减少的考点 正、余弦函数的单调性题点 正、余弦函数的单调性答案 A15.已知f (x )＝－sin x .(1)试写出f (x )的单调区间；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，a 上是减少的，求实数a 的取值范围. 考点 正弦函数的单调性题点 正弦函数的单调性综合解 (1)∵f (x )＝－sin x ，根据正弦函数y ＝sin x 的单调性可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是减少的， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是增加的. (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减少的， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，a ⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 即－π2<a ≤π2. ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，π2.。
高中数学 第一章 三角函数 1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像学案 北师大版必修4
1.8 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像1．“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)的简图，先分别令ωx ＋φ＝____________，列表求出长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的坐标，再描点，并用平滑的曲线连接作出一个周期上的图像，最后向左、右分别扩展，即可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的简图．2．A 、ω、φ的意义函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)，在这里常数A 叫____，T ＝2πω叫____，f ＝1T ＝ω2π叫____，ωx ＋φ叫____，φ叫____． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中ω＞0，A ＞0)的最大值为____，最小值为____，周期为__．预习交流1函数y ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，x ∈R 的值域是________，周期是________，振幅是________，初相是________．3.A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)图像的影响(2)ω对函数y ＝sin(ωx ＋φ)图像的影响(ω＞0且ω≠1)(3)A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的影响(A ＞0)准确认识理解“图像变换法”由y ＝sin x 到y ＝sin(x ＋φ)的图像变换称为相位变换；由y ＝sin x 到y ＝sin ωx 的图像变换称为周期变换；由y ＝sin x 到y ＝A sin x 的图像变换称为振幅变换．预习交流2将函数y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单位，所得图像的函数解析式是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2 4．函数＝sin(ω＋φ)(＞0)的性质预习交流3函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？答案：1．0，π2，π，3π2，2π2．振幅 周期 频率 相位 初相 A ＋b －A ＋b 2πω预习交流1：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，152π3 15－π3预习交流2：D4．R [－A ，A ]2π|ω| k π＋π2，k ∈Z k π＋π2－φωk π，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－φω，0 2k π－π2 2k π＋π2 2k π＋π2 2k π＋3π2预习交流3：提示：对称中心为图像与x 轴的交点坐标，在对称轴处图像位于最高点或最低点，也可以说函数在对称轴处取得最大值或最小值．1．用“五点法”作正弦函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间．用“五点法”作出函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像，并指出它的振幅、周期、频率、初相、相位．“五点法”作图，要抓住要害，即要抓住五个关键点，使函数式中的ωx＋φ分别取0，π2，π，3π2，2π，然后求出相应的x ，y 值，作出图像．2．图像变换用两种方法将函数y ＝sin x 的图像变换为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．思路分析：变换过程可以先平移后伸缩，也可以先伸缩后平移．将函数y ＝f (x )的图像上每一点的纵坐标变为原来的12，再将横坐标变为原来的12，最后将整个图像向左平移π3个单位，可得y ＝sin x 的图像，求函数f (x )的解析式．思路分析：逆向思考解答此问题．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像可以看作把函数y ＝12sin 2x 的图像向__________平移__________个单位得到．由y ＝sin x 的图像，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图像，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．3．根据图像确定函数解析式如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像，由图中条件写出该函数的解析式．1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0＜φ＜2π，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是__________．2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图像如图所示，求函数表达式．由图像确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，主要从以下三个方面来考虑：(1)A 的确定：根据图像的“最高点，最低点”确定A ；(2)ω的确定：结合图像先求周期T ，然后由T ＝2πω(ω＞0)确定ω；(3)φ的确定：常用的方法有： ①代入法：把图像上的一个已知点或图像与x 轴的交点代入(此时，A ，ω已知)求解．(此时要注意交点在上升区间还是在下降区间上)②五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点”中的第一个“零点”⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．“五点”中的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图像的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.4．y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的性质及综合应用已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图像的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )的单调递减区间．思路分析：(1)首先求出ω，φ的值，再求出f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)求出y ＝g (x )的解析式，再确定单调递减区间．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递增区间．(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)为偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；为奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．同理，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)为偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；为奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，首先把x 的系数化为正的，再利用整体代换，即把ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x 的范围．答案：活动与探究1：解：(1)列表：列表时2x ＋π3取值分别为0，π2，π，3π2，2π，再求出相应的x 值和y 值.(2)描点：在直角坐标系中描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0.(3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如下图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图(图略)． 这个函数的振幅是2，周期是T ＝2π2＝π，频率是f ＝1T ＝1π，初相是π3.函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )． 同理，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．(2)描点：在直角坐标系中描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2，0， (3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．这样就得到了函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在一个周期内的图像，再将这部分图像向左或向右扩展就得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R 的图像．这个函数的振幅为3，周期是T ＝2π12＝4π，频率f ＝1T ＝14π，初相为－π4，相位是12x －π4.活动与探究2：解：方法一：(先平移后伸缩)y ＝sin x 的图像y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像――――――――――→横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像． 方法二：(先伸缩后平移)y ＝sin x 的图像y ＝sin 3x 的图像y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像―――――――――→纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．活动与探究3：解：将y ＝sin x 的图像向右平移π3个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图像，把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像．∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3.迁移与应用：右 π8解析：y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8， ∴由y ＝12sin 2x 的图像向右平移π8个单位便得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像．活动与探究4：解：由图像知，A ＝3. ∵T 2＝5π6－π3＝π2，∴T ＝π. ∴ω＝2πT＝2.∴y ＝3sin(2x ＋φ)．下面求φ.方法一：(单调性法)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在递减的区间上，∴2π3＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，得2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .又∵|φ|＜π，∴φ＝π3.方法二：(最值点法)将最高点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3代入y ＝3sin(2x ＋φ)，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝3.∴φ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .又∵|φ|＜π，∴φ＝π3.方法三：(起始点法)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx ＋φ＝0解得的，故只要找出起始点的横坐标x ，就可以迅速求得初相φ.由图像求得x 0＝－π6.故φ＝－ωx 0＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π3.方法四：(平移法)由图像知，将y ＝3sin 2x 的图像沿x 轴向左平移π6个单位，就得到本题图像，故φ＝2×π6＝π3.综上，所求函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 迁移与应用：1.62 解析：由题图知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4， ∴T ＝π，ω＝2ππ＝2.∴2×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z .∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .∵0＜φ＜2π，令k ＝0，得φ＝π3.∴函数解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴f (0)＝2sin π3＝62.2．解：由图像知A ＝4，T2＝6－(－2)＝8，∴T ＝16.从而2πω＝16，∴ω＝π8.由π8×6＋φ＝k π，k ∈Z 得φ＝k π－3π4，k ∈Z . ∵|φ|＜π2，令k ＝1，得φ＝π4.∴函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.活动与探究5：解：(1)∵f (x )为偶函数，∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋2π3，k ∈Z .又∵0＜φ＜π，∴φ＝2π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数y ＝f (x )的图像的两相邻对称轴间的距离为π2，∴2πω＝2×π2，∴ω＝2. 故f (x )＝2cos 2x ＋1，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋1＝2＋1.(2)将f (x )的图像向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图像． 所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3＋1. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． 迁移与应用：解：(1)由2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得φ＝k π＋π4，k ∈Z ，∵－π＜φ＜0，令k ＝－1得φ＝－3π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. (2)由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π5的周期、振幅各是( )．A ．4π，－2B ．4π，2C ．π，2D ．π，－22．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图像，只需将y ＝sin 2x 的图像( )． A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )．A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在[0，π]上的单调减区间是__________．5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)上的最高点为(2，2)，该最高点到相邻的最低点间曲线与x 轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数在x ∈[－6,0]上的值域．答案：1．B 2.D3．D 解析：由题意知ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 当x ＝π3时，f (x )＝0，所以f (x )关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称． 当x ＝π4时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝cos π3＝12， 所以f (x )不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，也不关于直线x ＝π4对称． 4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 解析：由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ， ∵x ∈[0，π]，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在[0，π]上的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12. 5．解：由题意知A ＝2，T4＝6－2＝4，∴T ＝16. 又2πω＝16，∴ω＝π8. 又π8×6＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z .∵|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.∵x ∈[－6,0]，∴π8x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4.∴f (x )∈[－2，1]．∴函数在x ∈[－6,0]上的值域是[－2，1]．。
北师大版高中数学高一必修4学案第一章7.1-7.2正切函数的定义正切函数的图像
正切函数7．1&7.2正切函数的定义正切函数的图像与性质预习课本P36～38，思考并完成以下问题1．正切函数的定义是什么？2．正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？3．正切值在各象限的符号是什么？4．正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性分别是什么？[新知初探]1．正切函数的定义(1)任意角的正切函数如果角α满足α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值ba，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠π2＋kπ，k∈Z(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α∈R，α≠kπ＋π2，k∈Z.(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其值为负．(4)正切线在单位圆中令A (1,0)，过A 作x 轴的垂线与角α的终边或终边的延长线相交于T ，称线段AT 为角α的正切线．[点睛] (1)若α＝π2＋k π(k ∈Z)，则角α的终边落在y 轴上，此时P (0，b )，比值b a 无意义，因此正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α∈R ，且α≠π2＋k π，k ∈Z . (2)正切函数tan α＝ba 是一个比值，这个比值的大小与在角α终边上所取的点的位置无关．2．正切函数的图像及特征(1)y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 的图像(正切曲线)．(2)正切曲线的特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．[点睛] 正切曲线是被相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，每支曲线都是上、下无限伸展的，故正切函数不同于正弦、余弦函数的有界性．3．正切函数的性质 函数y ＝tan x定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R周期性 周期为k π(k ∈Z ，k ≠0)，最小正周期为π奇偶性奇函数单调性在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z)上是增加的[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ( ) (2)正切函数在其定义域内为增函数( ) (3)若角α的终边在y ＝x 上则tan α＝1( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图像的相邻两个交点的距离是( )A.π2 B ．πC ．2πD ．与a 的值的大小有关解析：选B 由条件知相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度，故为π. 3．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的值域是________． 答案：[0,1]4．函数f (x )＝1－2cos x ＋|tan x |是________函数(填“奇”或“偶”)．解析：f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z ， 且f (－x )＝1－2cos(－x )＋|tan(－x )|＝1－2cos x ＋|tan x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数． 答案：偶利用定义求正切值[典例] 如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AO Q ＝α，α∈[0，π)．(1)若已知角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，求tan θ； (2)若已知Q ⎝⎛⎭⎫35，45，试求tan α.[解] (1)∵角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，且P ⎝⎛⎭⎫32，12，故θ的终边与单位圆交于P ′⎝⎛⎭⎫32，－12，则tan θ＝－1232＝－33.(2)∵∠AO Q ＝α且Q ⎝⎛⎭⎫35，45，∴tan α＝4535＝43.利用定义求任意角的正切函数值的方法由正切函数的定义知：若点P 为角的终边(终边不与y 轴重合)与单位圆的交点，则该角的正切值为点P 的纵坐标与横坐标的比值；若点P 为角的终边(终边不与y 轴重合)上的任意一点(除坐标原点)，由相似三角形的性质知，其正切值仍为点P 的纵坐标与横坐标的比值．[活学活用] 已知P ⎝⎛⎭⎫x ，－32是角α终边上一点，且tan α＝－3，求x 的值． 解：由题意得tan α＝－32x ＝－3，解得x ＝12，故x 的值是12.正切函数的定义域、值域[典例] (1)求函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的定义域． (2)求下列函数的值域． ①y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎭⎫0，3π4；②y ＝tan 2x ＋4tan x －1.[解] (1)由题意知，2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z)，∴x ≠k π2＋5π12(k ∈Z)，(2)①∵x ∈⎣⎡⎭⎫0，3π4，∴－π4≤x －π4＜π2， y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎭⎫0，34π上为增函数，且y ≥－1， ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎭⎫0，34π的值域为[)－1，＋∞. ②令t ＝tan x ，则t ∈R ，y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5， ∴函数y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域为[)－5，＋∞.(1)求由正切函数构成的函数的定义域时，要特别注意使三角函数有意义．例如，若函数含有tan x ，需x ≠k π＋π2，k ∈Z.(2)求正切函数的值域常用的方法有：直接法、配方法、反解函数法、单调性法、分离常数法、换元法．[活学活用]1．函数y ＝3x －x 2tan x的定义域是A ．(0,3]B ．(0，π) C.⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3 D.⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3 解析：选C根据函数有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －x 2≥0，tan x ≠0，x ≠k π＋π2，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，x ≠k π，x ≠k π＋π2，故0＜x ＜π2或π2＜x ≤3，即函数y ＝3x －x 2tan x 的定义域是⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3， 故选C.2．已知π4≤x ≤π3，函数f (x )＝－tan 2x ＋10tan x －1，求函数f (x )的最大值和最小值，并求出相应的x 的值． 解：设tan x ＝t ， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， ∴t ∈[1，3]，∴f (x )＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1 ＝－(t －5)2＋24.∴当t ＝1，即x ＝π4时，f (x )min ＝8；当t ＝3，即x ＝π3时，f (x )max ＝103－4.正切函数的图像及其单调性题点一：正切函数图像的识别1．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图像大致是( )解析：选D 法一：由题意，得y ＝⎩⎨⎧2tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，2sin x ，x ∈⎣⎡⎭⎫π，3π2，作出该函数的大致图像，故选D.法二：当x 从右边无限接近π2时，tan x 趋向于－∞，故|tan x －sin x |趋向于＋∞，∴y 趋向于－∞.故选D. 题点二：利用正切函数图像求解不等式 2．解不等式：tan x ≥－1.解：作出函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的大致图像，如图． ∵tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1， ∴在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内满足tan x ≥－1的x 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－π4，π2. 由正切函数的周期性可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .题点三：求单调区间3．写出下列函数的单调区间．(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6； (2)y ＝|tan x |.解：(1)当k π－π2＜x 2－π6＜k π＋π2(k ∈Z)，即2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3(k ∈Z)时，函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6单调递增．∴函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π3(k ∈Z)． (2)y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，－tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π，k ∈Z.可作出其图像(如下图)，由图像知函数y ＝|tan x |的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z)，单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．解含有正切函数的简单三角不等式时，可先画出正切函数的一个周期的图像，由图像得到在一个周期内满足条件的x 的取值范围，然后加上周期的整数倍，即可得到满足不等式的解．正切函数的奇偶性与周期性[典例] 已知f (x )＝－a tan x (a ≠0)． (1)判断f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的奇偶性； (2)求f (x )的最小正周期； (3)求f (x )的单调区间．[解] (1)∵f (x )＝－a tan x (a ≠0)，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3， ∴f (－x )＝－a tan(－x )＝a tan x ＝－f (x )． 又定义域⎣⎡⎦⎤－π3，π3关于原点对称， ∴f (x )为奇函数． (2)f (x )的最小正周期为π.(3)∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)上单调递增， ∴当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2上单调递减， 当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2上单调递增．(1)判断与正切函数有关的奇偶性问题时要注意其定义域是否关于原点对称．(2)注意正切函数的最小正周期为π. [活学活用]1．函数y ＝tan xa 的最小正周期是( )A ．πaB ．π|a | C.π aD.π |a |解析：选B T ＝π⎪⎪⎪⎪1a ＝π|a |. 2．下列函数中，同时满足条件①在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的，②是奇函数，③是以π为最小正周期的函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |解析：选A 验证知A 符合①②③.层级一 学业水平达标1．若tan x ≥0，则( )A ．2k π－π2＜x ＜2k π(k ∈Z)B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z)C ．k π－π2＜x ≤k π(k ∈Z)D ．k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z)解析：选D 结合正切函数的图像知， k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z)．2．当－π2＜x ＜π2时，函数y ＝tan |x |的图像( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形解析：选C 由题意得定义域关于原点对称，又tan|－x |＝tan |x |，故原函数是偶函数，其图像关于y 轴对称．3．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，则tan α的值是( )A ．2B ．±2 C.25D ．±25解析：选A 在角α的终边上取一点(k,2k )(k ≠0)，则tan α＝2k k＝2. 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π4，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析：选D 由题意得π4－x ≠k ′π＋π2(k ′∈Z)，所以x ≠－k ′π－π4(k ′∈Z)，即x ≠k π＋3π4(k ∈Z)．5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)解析：选B ∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．6．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x －π3的单调递减区间为__________． 解析：由－π2＋k π＜－3x －π3＜π2＋k π，得－k π3－5π18＜x ＜－k π3＋π18(k ∈Z)，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x －π3的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－k π3－5π18，－k π3＋π18(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎫－k π3－5π18，－k π3＋π18(k ∈Z) 7．tan 2与tan 3的大小关系是________(用“＜”连接)．解析：因为π2＜2＜3＜π，函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，所以tan 2＜tan 3. 答案：tan 2＜tan 38．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________. 解析：由T ＝x |ω|＝π2，∴ω＝±2. 答案：±29．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.因为y ＝tan x 的周期为k π(k ∈Z ，k ≠0)，所以所求x 的范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)． 即原函数的定义域为⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．10．已知函数f (x )＝sin x |cos x |. (1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性；(3)在[－π，π]上作出f (x )的图像；(4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)∵由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z)， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－x )|cos (－x )|＝－sin x |cos x |＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，－π2＜x ＜π2，－tan x ，－π≤x ＜－π2或π2＜x ≤π.故f (x )(x ∈[－π，π])的图像如图所示．(4)由图像可知f (x )的最小正周期为2π，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增加的；在⎝⎛⎭⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上是减少的．层级二 应试能力达标1．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3D. 3解析：选D 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ＝tan π3＝ 3. 2．在区间⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像交点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 在同一坐标系中分别作出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像，可知它们交于点(－π，0)，(0,0)，(π，0)．3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：选B 由于正切函数f (x )＝tan x 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z)，且函数y ＝tanωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，所以ωπ6＝k π2(k ∈Z)，因此ω＝3k (k ∈Z)，因为ω∈N *，所以当k ＝1时，ω取得最小值3.4．函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎫0≤x ＜3π2，x ≠π2的图像大致是( )解析：选C 函数y ＝cos x |tan x |可化简为y ＝⎩⎨⎧ sin x ，x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫π，3π2，－sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，在直角坐标系中作出该函数的图像，只有C 符合．5．已知P (1，y )为角α终边上的一点，且cos α＝13，则tan α＝________. 解析：∵r ＝|OP |＝1＋y 2， ∴cos α＝13＝11＋y 2；得y ＝±2 2. ∴tan α＝y ＝±2 2.答案：±2 26．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数，则ω的范围是________． 解析：∵y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数， ∴ω＜0且T ＝π|ω|≥π，∴ω＜0且|ω|≤1，即－1≤ω＜0. 答案：[－1,0)7．试讨论函数y ＝log a tan x 的单调性．解：①当a ＞1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)时，u ＝tan x 是单调递增的， ∴y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增加的． ②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)时，u ＝tan x 是单调递增的， ∴y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是减少的． 故当a ＞1时，y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增加的；当0＜a ＜1时，y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是减少的．8．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)若函数f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数，求θ的取值范围．解：(1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎫x －332－43. ∵x ∈[－1， 3 ]，∴当x ＝33时，f (x )取得最小值，为－43， 当x ＝－1时，f (x )取得最大值，为233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数，它的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ.∵函数f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2.。
【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页 附答案)
【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。
高中数学必修4教案pdf
高中数学必修4教案pdf 第一课：函数的概念与性质
一、教学目标：
1. 理解函数的定义和基本性质；
2. 掌握函数的表示方法和性质；
3. 能够解决函数相关的问题。
二、教学重点：
1. 理解函数的概念；
2. 掌握函数的性质；
3. 解决函数相关的问题。
三、教学内容：
1. 函数的定义；
2. 函数的图像；
3. 函数的性质；
4. 函数的应用。
四、教学过程：
1. 引入：通过实际例子引入函数的概念；
2. 教学重点：讲解函数的定义和性质；
3. 练习：做一些相关练习，巩固所学知识；
4. 拓展：引导学生思考函数的应用；
5. 总结：总结本节课的重点内容。
五、教学反馈：
1. 检查学生的作业情况；
2. 解答学生提出的问题；
3. 提出下节课的预习内容。
六、教学资源：
1. PowerPoint课件；
2. 教科书；
3. 作业练习册。
七、教学评价：
1. 学生课堂表现；
2. 学生作业完成情况；
3. 学生对函数的理解程度。
以上为本课教案，希望能够帮助学生更好地理解函数的概念和性质。
愿我们共同努力，取得更好的成绩！。
高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修4
（浙江专版）2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专版）2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修4的全部内容。
1．2.2 同角三角函数的基本关系预习课本P18～20,思考并完成以下问题（1）同角三角函数的基本关系式有哪两种?（2）已知sin α，cos α和tan α其中的一个值，如何求其余两个值？[新知初探]同角三角函数的基本关系式（1)平方关系:sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tan_α＝错误!错误!。
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切错误!.［点睛] 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义:一是“角相同"，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关,如sin23α＋cos23α＝1。
[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）对任意角α,sin2α3＋cos2错误!＝1都成立．( )（2)对任意角α，sin 2αcos 2α＝tan 2α都成立．（）（3)若cos α＝0,则sin α＝1.（)答案：(1）√（2)×(3)×2．已知α∈错误!，sin α＝错误!,则cos α＝( ）A．错误! B．－错误!C．－错误!D．错误!答案：A3．已知cos α＝错误!,且α是第四象限角,则sin α＝（）A．±错误!B．±错误!C．－错误!D．－错误!答案:C4．已知sin α＝错误!，α∈错误!，则tan α＝________。
2022-2021年《金版学案》数学人教A版必修4习题：第一章1.3第2课时诱导公式五、六
第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第2课时 诱导公式五、六A 级 基础巩固 一、选择题1．sin 95°＋cos 175°的值为( ) A ．sin 5° B ．cos 5° C ．0D ．2sin 5°解析：原式＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：C2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( )A ．第一象限角B ．其次象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0.所以角θ的终边落在其次象限．答案：B3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．－13 B.13 C.223 D ．－223解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.答案：A4．若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中肯定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A2解析：由于A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos (π－C )＝－cos C ， sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ， cos A ＋C 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B2，sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A2.答案：D5．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－23m B.23m C ．－32m D.32m解析：由于sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，所以－sin α－sin α＝－m ，所以sin α＝m2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－α＋2sin(－α)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2sin α＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m2.答案：C 二、填空题6．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________．解析：由于cos α＝15，且α是第四象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265.答案：2657．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________． 解析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，所以cos α＝1010.又由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－1010.答案：－10108．sin 21°＋sin 22°＋sin 245°＋sin 288°＋sin 289°＝________．解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1＋1＋12＝52.答案：52三、解答题9．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)由于cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝－35－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－920.10．已知cos(15°＋α)＝35，α为锐角，求tan （435°－α）＋sin （α－165°）cos （195°＋α）·sin （105°＋α）的值．解：原式＝tan （360°＋75°－α）－sin （α＋15°）cos （180°＋15°＋α）·sin[180°＋（α－75°）]＝tan （75°－α）－sin （α＋15°）－cos （15°＋α）·[－sin （α－75°）]＝－1cos （15°＋α）·sin （15°＋α）＋sin （α＋15°）cos （15°＋α）·cos （15°＋α） 由于α为锐角，所以15°<α＋15°<105°.又cos(15°＋α)＝35，所以sin(15°＋α)＝45，故原式＝－135×45＋4535×35＝536.B 级 力量提升1．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin xB ．f (2π－x )＝sin xC ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos xD ．f (π－x )＝－f (x )解析：f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ；f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ；f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x＝f (x )．答案：C2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝ ________．解析：由于－π<α<－π2，所以－7π12<5π12＋α<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223，由⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝π2， 得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223. 答案：－2233．已知f (α)＝sin （π－α）cos （－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos （π＋α）sin （－α）.(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．解：(1)f (α)＝sin αcos αcos α（－cos α）（－sin α）＝cos α.(2)由(1)知，cos A ＝35，由于A 是△ABC 的内角，所以0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.。
高中数学 第一章 三角函数 1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)学案 苏教版必修4-
1．3.3 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)[学习目标] 1.理解y ＝A sin(ωx ＋φ)中ω、φ、A 对图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．[知识链接] 1．“五点法”作图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1，(2π，0)．2．交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系？ 答 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似，从解析式来看，函数y ＝sin x 就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在A ＝1，ω＝1，φ＝0时的情况． [预习导引]1．函数s ＝A sin(ωx ＋φ)的振幅、周期、频率等在s ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，其中A 为物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T ＝2πω，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f ＝1T ＝ω2π，称为振动的频率；ωx ＋φ称为相位，x ＝0时的相位φ称为初相．2．φ、ω、A 对y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响(1)函数y ＝sin(x ＋φ)(其中φ≠0)的图象，可以看做是将函数y ＝sin x 上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位而得到的．(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看做是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上的所有点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看做是把y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)而得到的．3．函数y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0)的图象可以看做是由下面的方法得到：先画出函数y ＝sin x 的图象；再把正弦曲线向左(当φ>0时)或右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.要点一 三角函数图象的平移变换例1 要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________． ①向左平移π3个单位；②向右平移π3个单位；③向左平移π6个单位；④向右平移π6个单位．答案 ③解析 因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 所以把y ＝sin 2x 的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．规律方法 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：①将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin(ωx ＋φ)，即A 、ω及名称相同的结构． ②找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω. ③明确平移的方向．跟踪演练1 要得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________．①向左平移π8个单位；②向右平移π8个单位；③向左平移π4个单位；④向右平移π4个单位．答案 ①解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8－π4若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8－π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以向左平移π8个单位．要点二 三角函数图象的伸缩变换例2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数解析式是__________________． 答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 解析 把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 规律方法 三角函数图象变换容易出错，尤其是既涉及平移变换又涉及伸缩变换．平移时，若x 的系数不是1，需把x 的系数先提出，提出后括号中的x 加或减的那个数才是平移的量，即x 的净增量．方向的规律是“左加右减”．伸缩时，只改变x 的系数ω，其余的量不变化，伸长时系数|ω|减小，缩短时|ω|增大．跟踪演练2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数解析式是__________________．答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，x ∈R 解析 将y ＝sin x 图象上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3.要点三 三角函数图象的综合变换例3 把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的32倍y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3――――――――→向左平移π6个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝3cos x .∴f (x )＝3cos x .规律方法 (1)本例已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．跟踪演练3 将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，然后再将整个图象沿x轴向右平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 图象相同，则y ＝f (x )的函数解析式为________．答案 y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝12cos x 21．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点________________________． 答案 向左平行移动12个单位长度解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象．2．由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位． 答案π3 23π 3．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________． 答案 ±124．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的解析式为__________________． 答案 y ＝－cos 2x解析 y ＝sin(－2x )――――――――→左移π4个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－cos 2x .1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同： (1)先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位． (2)先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位．2．类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到．一、基础达标1．函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝________. 答案 sin x2．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象________．①向左平移π3个单位长度；②向右平移π3个单位长度；③向左平移π6个单位长度；④向右平移π6个单位长度．答案 ②3．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是__________________． 答案 y ＝1＋cos 2x解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x . 4．将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数________．①在区间[π12，7π12]上单调递减；②在区间[π12，7π12]上单调递增；③在区间[－π6，π3]上单调递减；④在区间[－π6，π3]上单调递增．答案 ②解析 y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z .令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故②正确．画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故③④错误．5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是________． ①y ＝f (x )是奇函数； ②y ＝f (x )的周期为π；③y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；④y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称． 答案 ④解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，①错；它的周期为2π，②错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，③错；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，④对．6．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象________．①向右平移π6个单位长度；②向右平移π3个单位长度；③向左平移π6个单位长度；④向左平移π3个单位长度．答案 ②解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.7．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程．解 方法一 y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 方法二 y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 二、能力提升8．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象上的所有点的________．①横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度；②横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度；③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度；④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度．答案 ③解析 ∵y ＝2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――→纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4―――――――――――→向左平移π4个单位长度 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2. 9．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)． 答案 ①③10．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f (π6)＝________.答案22解析 将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin(x ＋π6)的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin(12x ＋π6)的图象，故f (x )＝sin(12x ＋π6)，所以f (π6)＝sin(12×π6＋π6)＝sin π4＝22.11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x (x ∈R )．经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12.∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可．12．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．解 方法一 正向变换y ＝f (x )――→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )――→沿x 轴向左平移π6个单位y ＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.方法二 逆向变换据题意，y ＝sin 2x ――→沿x 轴向右平移π6个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.三、探究与创新13．已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω＞0；(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解 (1)因为ω＞0，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2，解得0＜ω≤34. (2)f (x )＝2sin 2x ， g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1 g (x )＝0⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3， 故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。
苏教版必修4高中数学第1章《三角函数》三角函数的诱导公式(1)教学案
高中数学第1章《三角函数》三角函数的诱导公式(1)教学案
苏教版必修4
教学目标：能借助于单位圆，推导出正弦、余弦、正切的诱导公式，能正确利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值等问题。
注重渗透
数形结合及化归转化的数学思想。
教学重点：诱导公式的推导和应用
教学难点：诱导公式的应用
教学过程：
一、问题情境：
问题1：终边相同角的同一三角函数值是否相等，由此你能得到什么结论？
问题2：如果角α的终边与角β的终边关于x轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？
问题3：如果角α的终边与角β的终边关于y轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？
问题4：如果角α的终边与角β的终边关于原点对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？
二、学生活动：
1、角α与-α的终边关于_______对称，所以______________________________.
-的终边关于_______对称，所以___________________________.
2、角α与πα
+的终边关于_______对称，所以___________________________.
3、角α与πα
三、知识建构：
1、公式1：
2、公式2：
3、公式3：
4、公式4：
四、知识运用：
例1、求值：
（1）sin 7
6
π（2）cos
11
4
π（3）tan(-1560°)
小结：
练习：书P20 1-4
五、回顾反思：
知识：思想方法：
六、作业布置：
书P23 15(1)(3)、16。
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§1.1.1任意角
1、理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角。
2、能在
0360
0到的范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定为第几象限角。
3、能写出与任一已知角终边相同的角的集合。
一、知识梳理、双基再现
1、角能够看成平面内一条绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图
形。
2、按逆时针方向旋转形成的角叫做，按顺时针方向旋转形成的角叫做。
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个，它的和重合。
这样，我们就把角的概念推广到了，包括、、和。
3、我们常在内讨论角。
为了讨论问题的方便，使角的与
重合，角的与重合。
那么，角的落在第几象限，我们就说这个角是。
如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角。
4、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个。
二、轻松过关
1、下列角中终边与330°相同的角是（）
A．30° B．-30° C．630° D．-630°
2、－1120°角所在象限是（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）o
58
-
（2）o
398
3、若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是_____________ ．
§1.1.2弧度制
1、使学生理解弧度的意义，能准确地实行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数，
2、了解角的集合与实数集之间能够建立一一对应关系，
3、掌握弧度制下的弧长公式与扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题
一、知识梳理、双基再现
1、角能够用 为单位实行度量，1度的角等于 。
叫做角度制。
角还能够用 为单位实行度量， 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。
2、正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
如果半径为r 的圆心角所对的弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是 。
这里，α的正负由 决定。
3、180°＝ rad 1°＝ rad ≈ rad 1 rad ＝ °≈ ° 我们就是根据上述等式实行角度和弧度的换算。
4、角的概念推广后,在弧度制下, 与 之间建立起一一对应的关系：每个角都有唯一的一个实数(即 )与它对应;反过来,每一个实数也都有 (即 )与它对应.
二、轻松过关
5、将下列弧度转化为角度： （1）
12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）6
13π
= °；
6、将下列角度转化为弧度：
（1）36°= rad ；（2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 7、角α的终边落在区间（－3π,－5
2 π）内,则角α所在象限是 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 8、半径为πcm ，中心角为120o 的弧长为 （ ） A ．cm 3
π
B ．cm 3
2
π C ．cm 3
2π
D ．cm 3
22
π
1.掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；
2. 掌握三角函数的值在各象限的符号。
一、知识梳理、双基再现
1、在直角坐标系中，设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(x,y),那么：
⑴ 叫做α的正弦,记作 , 即 . ⑵ 叫做α的余弦,记作 ,即 . ⑶ 叫做α的正切,记作 ,即 . 当α= 时, α的终边在y 轴上,这时点P 的横坐标等于 ,所以 无意义.除此之外,对于确定的角α,上面三个值都是 .
所以, 正弦、余弦、正切都是以 为自变量,以
为函数值的函数,我们将它们统称为 .
二、轻松过关
1.已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在第 象限。
2.已知角θ的终边在直线y =
3
3
x 上，则sin θ= ；θtan = ．
3.已知角θ的终边经过点（-3，4），求角θ的正弦、余弦和正切值。
1.会用角α的正弦线、余弦线、正切线分别表示任意角α的正弦、余弦、正切的函数值；
2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义理解其定义域。
一、知识梳理、双基再现
1、在直角坐标系中，
叫做单位圆。
2、叫做有向线段。
3、
sinα＝y＝；cosα＝x＝；
tanα＝
x
y
= 。
3、根据任意角的三角函数定义，将正弦余弦正切函数在弧度制下的定义域填入上表
二、轻松过关
作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
⑴
3
π
；
⑵
5
6
π
；
⑶
2
3
π
-；
⑷
13
6
π
-
三角函数定义域
sinα
cosα
tanα
§1.2.2同角三角函数关系
1. 掌握同角三角函数的基本关系式2
2
sin sin cos 1,
tan cos ∂
∂+∂==∂∂
； 2. 灵活使用同角三角函数的两个基本关系解决求值、化简、证明等问题。
一、知识梳理、双基再现
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 ，商等于 。
即 ; 。
二、轻松过关
1.),0(,54
cos παα∈=
，则tan α的值等于
（ ）
A ．34
B ．43
C ．3
4±
D ． 4
3
±
2.若15tan =α，则=αcos
；=αsin
．
3.化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β= ．
3.已知5
1
sin =α，求ααtan ,cos 的值．
1. 借助于单位圆，推到出诱导公式一、二、三、四，能准确使用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决相关三角函数求值、化简和恒等证明问题。
2. 能通过公式的使用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，提升分析和解决问题的水平。
一、知识梳理、双基再现
1、由三角函数的定义： 的角的同一三角函数的值相等。
由此得诱导公式一 ： ， ， 。
2、若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，试讨论角α与角β的对应三角函数值之间
的关系：
由此得诱导公式二： ， ， 。
3、若角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，试讨论角α与角β的对应三角函数值之间
的关系：
由此得诱导公式三： ， ， 。
4、若角α的终边与角β的终边关于原点对称，试讨论角α与角β的对应三角函数值之间的关系：
由此得诱导公式四： ， ， 。
二、轻松过关
1、下列各式准确的有__________
1）sin （α＋180°）=－sin α 2）cos （－α＋β）=－cos （α－β） 3）sin （－α－360°）=－sin α 4）cos （－α－β）=cos （α＋β） 2、利用公式一、二、三、四分别求1）、2）、3）、4）的值 1）0
390sin 2）)4
tan(π
-
3）0120sin
4）3
4cos π
1. 借助于单位圆，推到出诱导公式五、六，能准确使用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决相关三角函数求值、化简和恒等证明问题。
2. 通过推导公式，进一步体会数形结合思想 一、知识梳理、双基再现
若角α的终边与角β的终边关于x y =对称，试讨论
1）角α与角β的关系 2）它们对应的正弦、余弦值之间的关系
由此得诱导公式五： ，
诱导公式六： ，
二、轻松过关
1、利用公式五和公式六 将下列三角函数转化为锐角三角函数
1）0
151sin
2）5
3cos π
2、已知sin(4π+α)=23，则sin(4
3π
-α)值为_________。