平面向量单元复习2高一数学必修4PPT课件
合集下载
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2
3．若 a 与 b 为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( A )
A．a∥b，且 a 与 b 方向相同 B．a、b 是方向相反的向量 C．a＝－b D．a、b 无论什么关系均可
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
4．设 b 是 a 的相反向量，则下列说法错误的是( C ) A．a 与 b 的长度必相等 B．a∥b C．a 与 b 一定不相等 D．a 是 b 的相反向量
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；
老而好学，如炳烛之明。
——刘向
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
提示:
B
C
b
a＋b
a－b
O
A
a
思考8：对于非零向量a与b，向量a＋b与a－b 可能相 等吗？
提示: 当 b = 0 时 ， a + b = a -b .
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
【即时训练】 如图，已知向量 a , b , c ，求作向量 abc
例2.对下列各式进行化简
(1 )A B A C B D C D
解 : 原 式 = C B + B D - C D = C D - C D = 0 .
(2 )O A O C B O C O
解 :原 式=(OA+BO)+(OC+CO) =(OA-OB)+0=BA.
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
A．a∥b，且 a 与 b 方向相同 B．a、b 是方向相反的向量 C．a＝－b D．a、b 无论什么关系均可
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
4．设 b 是 a 的相反向量，则下列说法错误的是( C ) A．a 与 b 的长度必相等 B．a∥b C．a 与 b 一定不相等 D．a 是 b 的相反向量
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；
老而好学，如炳烛之明。
——刘向
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
提示:
B
C
b
a＋b
a－b
O
A
a
思考8：对于非零向量a与b，向量a＋b与a－b 可能相 等吗？
提示: 当 b = 0 时 ， a + b = a -b .
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
【即时训练】 如图，已知向量 a , b , c ，求作向量 abc
例2.对下列各式进行化简
(1 )A B A C B D C D
解 : 原 式 = C B + B D - C D = C D - C D = 0 .
(2 )O A O C B O C O
解 :原 式=(OA+BO)+(OC+CO) =(OA-OB)+0=BA.
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
高中数学第二章平面向量本章整合课件必修4高一必修4数学课件
2.向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此对它们的运算法则、运算律
的理解和运用要注意大小、方向两个方面.
3.理解向量的有关概念(如相等向量与相反向量、平面向量基本定理
等),用基底表示向量,三角形法则、平行四边形法则是向量线性运算的基
础.
12/9/2021
第三页，共二十一页。
小专题
概括总结
专题
(zhuānt
又 a+b=,a-b=,
即(a+b)⊥(a-b).故选A.
(2)因为b·e1=b·e2=1,|e1|=|e2|=1,由数量积的几何意义,知b在e1,e2方向上的
投影相等,且都为1,所以b与e1,e2所成的角相等.由e1·e2= 知e1与e2的夹角为1
2
60°,所以b与e1,e2所成的角均为30°,
第十页，共二十一页。
小专题
概括总结
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
(2)解:①由题意得(3a-2b)2=7,
即9|a|2-12a·
b+4|b|2=7,
把|a|=|b|=1 代入上式得
1
a·b= .
2
设 a 与 b 的夹角为 θ,∴a·b=|a||b|cos
1
是直径 AB 上关于 O 对称的两点,且 AB=6,MN=4,则 ·等于
(
)
(2)设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=
①求向量a与b的夹角;
②求|3a+b|的值.
12/9/2021
第九页，共二十一页。
.
7
小专题
概括总结
的理解和运用要注意大小、方向两个方面.
3.理解向量的有关概念(如相等向量与相反向量、平面向量基本定理
等),用基底表示向量,三角形法则、平行四边形法则是向量线性运算的基
础.
12/9/2021
第三页，共二十一页。
小专题
概括总结
专题
(zhuānt
又 a+b=,a-b=,
即(a+b)⊥(a-b).故选A.
(2)因为b·e1=b·e2=1,|e1|=|e2|=1,由数量积的几何意义,知b在e1,e2方向上的
投影相等,且都为1,所以b与e1,e2所成的角相等.由e1·e2= 知e1与e2的夹角为1
2
60°,所以b与e1,e2所成的角均为30°,
第十页，共二十一页。
小专题
概括总结
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
(2)解:①由题意得(3a-2b)2=7,
即9|a|2-12a·
b+4|b|2=7,
把|a|=|b|=1 代入上式得
1
a·b= .
2
设 a 与 b 的夹角为 θ,∴a·b=|a||b|cos
1
是直径 AB 上关于 O 对称的两点,且 AB=6,MN=4,则 ·等于
(
)
(2)设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=
①求向量a与b的夹角;
②求|3a+b|的值.
12/9/2021
第九页，共二十一页。
.
7
小专题
概括总结
高中数学必修四第2章《平面向量》ppt课件
[解析] 解法一：2a－3b＝2(5,4)－3(3,2)＝(1,2)． 设与 2a－3b 平行的单位向量为(x，y)， 则xy2－＋2yx2＝＝01 ，
解得 x1＝
5 5
，或 x2＝－
5 5
.
y1＝2 5 5
y2＝－2 5 5
∴所求的单位向量为 55，2 55或－ 55，－25 5.
解法二：与 2a－3b 平行的单位向量是
±|22aa－－33bb|＝±1，52＝±
55，2
5
5
∴所求的单位向量为 55，2 55或－ 55，－25 5.
▪ [例3] 设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a ＋b|的值．
▪ [分[解析析]] 解本法题一：考因查为|向3a－量2b的|＝模3，的求法及有关 数所量以积9a的2－运12a算·b＋．4b2＝9.
章末归纳总结
▪ 1．向量运算 ▪ (1)加法运算 ▪ 加法法则：
▪ 运算性质：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c)，a＋0＝0＋a＝a.
▪ 坐标运算：设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
▪ (2)减法运算： ▪ 减法法则：
▪ 坐标运算：
▪ 设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
▪ ▪
a设－Ab、A→＝B＝B(两x(x12－－点xx1的，2，y坐2－y标1y－1)分．y2别)．为(x1，y1)，(x2，y2)，
▪ (3)实数与向量的积
▪ 定义：λa，其中λ＞0时，λa与a同向，当λ ＜0时，λa与a反方向，当λ＝0时，0a＝0.
▪ 其中正确命题的序号为___a·b＝0，故①不正 确；
▪ ②由向量加减法的平行四边形法则知， a⊥b时，平行四边形为矩形，故对角线相 等，②正确．也可由a·b＝0证得|a＋b|＝ |a－b|；
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
高一数学平面向量 PPT课件 图文
解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)= (k－3,2k+2)
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
高中数学必修4第二章平面向量小结复习课ppt课件
(3)证明两直线平行的问题:
A
AB CD AB // CD
B与CD不在同一直线上
直线A
B
//
直线CD 7
平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e，e 叫做表示这一平面内 12
第二章 平面向量复习课
1
一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B
1)图形表示 A
r uuur有向线段AB
2)字母表示 a AB r uuur
3)坐标表示
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
a xi y j (x, y)
r uuur
a OA (x, y) 点A(x, y)
r uuuur
的夹角为钝角(k a 2b)（ 2a 4b） 0且k 1,
即14(k 6) 4(2k 4) 0且k 1k 50 且k 1
3
13
已知a 1,sin ,b 1, cos , R.
1若a b 2,0,求sin 2 2sin cos的值;
2若a b 0, 1 , ,2 ,求sin cos的值
所有向量的一组基底.
8
平面向量数量积
ar
•
r b
ar
•
r b
• cos
B
b
O
a B1 A
作OA a，OB b ，过点B作BB1
垂直于直线OA，垂足为 B1 ，则 OB1 | b | cosθ
| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影．
【人教B版】高一数学必修四：第2章《平面向量》章末复习ppt课件
目 开
思想在不少章节都有广泛的应用．
关
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
跟踪训练 1 已知向量 a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中 a 为实数，O
为原点，当此两向量夹角在0，1π2变动时，a 的范围是 (
)
本 A．(0,1)
课
时 栏 目
C． 33，1∪(1， 3)
开
关
B． 33， 3 D．(1， 3)
本 课
条件即可知
时 栏
A(0,3)，B(－
3，0)，M(0,2)，
目 开
∴M→A＝(0,1)，M→B＝(－
3，－2)．
关 ∴M→A·M→B＝－2.
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因 为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的
本 解决，理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法
故 a≠1，由图易知 a 的范围是 33，1∪(1， 3)．
答案 C
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
题型二 基底思想在解题中的应用 例 2 设点 O 是△ABC 的外心，AB＝13，AC＝12，则B→C·A→O＝
________.
本 解析 设{A→B，A→C}为平面内一组基底．如图
课 时
所示，O 为△ABC 的外心，设 M 为 BC 中点，
本 课
A(0，a)，C(c,0)，则 B(－c,0)，
时 栏
O→A＝(0，a)，B→A＝(c，a)，O→C＝(c,0)，B→C＝
目 开
(2c,0)．
关 因为 BB′、CC′为 AC、AB 边的中线，
所以BB→′＝12(B→C＋B→A)＝32c，a2， 同理C→C′＝－32c，a2.
人教版必修四第二单元平面向量的复习课件
变式：若等边 ABC 的边长为 2
3 ，平面内一点
M
满足 CM
1
CB
2 CA
,则
63
MA• MB ________.
题型五: 向量与三角函数的综合
例 已知向量 a (sin ,2) 与 b (1, cos ) 互相垂直，其中 (0, ) ．
2 （1）求 sin 和 cos 的值；
（2）若 sin( ) 10 , 0 ，求tan( )的值．
4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理， 平面向量基本定理，三角形四心与向量有关的常见结论等。
1. (湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,
且 =2 ， =2 ， =2 ,则
（）
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
A
解:
E F
D.既不平行也不垂直
B
C
D
仿照上题，用坐标运算的方法解决下列问题：
例 已知 ABC，AD 为中线，求证 AD2 1 AB2 AC2 BC 2
2
2
例 设两个向量 e1 、e2 ，满足| e1 | 2 ，| e2 | 1 ，e1 、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1 7e2
与向量 e1 te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.
3
3
OM ,ON, MN
B
D
M
N C
A O
题型三: 向量平行与垂直的条件
4、已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，
且 PA• PB PB • PC PC • PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的
人教A版数学必修四第二章平面向量单元复习课件ppt
D
A
M
MN
C N
B
1 3
MC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例4
在Rt△ABC中，已知斜边BC=2，
线段PQ以A为中点，且PQ=4，向量 B C 与
P Q 的夹角为60°，求 BP CQ .
（5）相等向量： 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量： 长度相等且方向相反的向量. （7）平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量. （8）向量的数量积： a·b=|a||b|cosθ.
例1设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，
c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，
2(a－c），d 的有向线段首尾相接能构 成四边形，求向量d 的坐标.
d＝(－2，－6)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Cபைடு நூலகம்
Q
BPCQ 2 A
B
P
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
知识梳理 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
角为120°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，
求向量a＋b＋c与a的夹角. 150°
例4 设向量a、b不共线，已知 AB 2a＋kb，BC a＋b，CD a－2b， 且A、B、D三点共线，求实数k的值.
k=－1
例5 设e为单位向量，且向量a≠e， 若对任意实数t，不等式|a－te|≥|a－ e|恒成立，求证：(a－e)⊥e.
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
(7) cos
ab |a ||b
|;
(8) |a|cos a|bb|.
范例分析
例1 已知向量a、b满足：|a|=4，且 a·(a－b)=12，求向量b在a方向上的投影.
1
例2 已知非零向量a、b满足： (a－b)⊥b，且(a＋2b)⊥(a－2b)，求向量 a与b的夹角.
60°
例3 已知向量a、b、c两两之间的夹
第二章 平面向量 单元复习 第二课时
知识结构
t
p
1 2
5730
线性运算
基本定理
向 量
实际背景 向量
的 实
际
坐标表法的运算性质
（1）a＋b=b＋a； （2）(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； （3）若a与b为相反向量，则a＋b＝0； （4）若b＋c＝a，则c＝a－b； （5）|a±b|≤|a|＋|b|，|a±b|≥||a|－|b||； （6）O A 1A 1 A 2A 2 A 3 A n 1 A n O A n
例6 已知向量a、b满足：|a|=4， |b|=3，(2a－3b)·(2a＋b)=61，当 t∈[0，1]时，求|a＋tb|的取值范围.
[2 3, 4]
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
2.向量数乘的运算性质
(1) λ(μa)=(λμ) a ； (2) (λ＋μ) a =λa ＋μa； (3) λ(a＋b)=λa＋λb；
3.数量积的运算性质
（1）a·b＝b·a；
（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c； （4）a⊥b a·b＝0； （5）a2＝|a|2； （6）|a·b|≤|a||b|；
求向量a＋b＋c与a的夹角. 150°
例4 设向量a、b不共线，已知 AB 2a＋kb，BC a＋b，CD a－2b， 且A、B、D三点共线，求实数k的值.
k=－1
例5 设e为单位向量，且向量a≠e， 若对任意实数t，不等式|a－te|≥|a－ e|恒成立，求证：(a－e)⊥e.
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
(7) cos
ab |a ||b
|;
(8) |a|cos a|bb|.
范例分析
例1 已知向量a、b满足：|a|=4，且 a·(a－b)=12，求向量b在a方向上的投影.
1
例2 已知非零向量a、b满足： (a－b)⊥b，且(a＋2b)⊥(a－2b)，求向量 a与b的夹角.
60°
例3 已知向量a、b、c两两之间的夹
第二章 平面向量 单元复习 第二课时
知识结构
t
p
1 2
5730
线性运算
基本定理
向 量
实际背景 向量
的 实
际
坐标表法的运算性质
（1）a＋b=b＋a； （2）(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； （3）若a与b为相反向量，则a＋b＝0； （4）若b＋c＝a，则c＝a－b； （5）|a±b|≤|a|＋|b|，|a±b|≥||a|－|b||； （6）O A 1A 1 A 2A 2 A 3 A n 1 A n O A n
例6 已知向量a、b满足：|a|=4， |b|=3，(2a－3b)·(2a＋b)=61，当 t∈[0，1]时，求|a＋tb|的取值范围.
[2 3, 4]
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
2.向量数乘的运算性质
(1) λ(μa)=(λμ) a ； (2) (λ＋μ) a =λa ＋μa； (3) λ(a＋b)=λa＋λb；
3.数量积的运算性质
（1）a·b＝b·a；
（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c； （4）a⊥b a·b＝0； （5）a2＝|a|2； （6）|a·b|≤|a||b|；