求数列的通项公式学案(二)

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高中数学第二章数列习题课教案新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案

2分钟
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板书设计
数列
学习目标：例题：练习：
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课后反思
本节课，重点在于对数列通项公式的理解与应用上，唯一干扰学生思绪的地方在于函数的概念和性质的应用上；所以只有充分的理解了函数，才能真正明确通项公式的意义。
数列
课题
数列
课时
第二课时
课型
习题
教学
重点
1、数列的概念
2、数列通项公式的内容、含义、应用
依据：2018年高考大纲分析；
《优化学案》点播。
教学
难点
1、求数列的通项公式
2、利用通项公式，研究该数列的性质
依据：教材、教参和教辅
自主
学习
目标
一、知识目标：
1.能够用自己是语言描述出数列、数列的项、数列的首项、通项、项数的概念；
1、巡视学生完成情况，让学生更准确的认识计算（化简）的方法。
2、抽查记忆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ况。
1、独立完成练习册习题。
2、归纳出计算（化简）的方法。
。
通过具体例题，总结出计算（化简）的方法。
10分钟
思考1：数列通项公式的含义和谁密不可分?
思考2：研究数列的项，本质是在研究什么？
思考3：面对一个数列，最在意的应该是什么？
思考4：如何利用通项看其单调性？
1、巡视学生的完成情况。
2、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
3.要对学生不同的解题过程和答案给出准确的评价，总结。
1、学生先独立完成教辅习题，然后以小组为单位统一答案。
2、小组讨论并展示自己组所写的答案。
3、其他组给予评价（主要是找错，纠错）
在具体问题中，探索、挖掘内在规律、发现数学的本质。

新教材高考数学第一课时等比数列的概念与通项公式练习含解析选修2

第一课时等比数列的概念与通项公式课标要求素养要求1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.体会等比数列与指数函数的关系. 在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.新知探究我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”问题1 你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？提示构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.问题2 根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？提示上述数列中，从第2项起，每一项与前一项的比都是9，这种数列称为等比数列.1.等比数列的定义及通项公式等比数列定义中的关键词：从第2项起，同一个常数(1)等比数列的定义和通项公式(2)通项公式的拓展：a n ＝a m qn －m(n ，m ∈N *，q ≠0).(3)等比数列的通项公式与指数型函数的关系①当q >0且q ≠1时，等比数列{a n }的第n 项a n 是指数型函数f (x )＝a 1q·q x(x ∈R )当x ＝n 时的函数值，即a n ＝f (n ).②任给指数型函数f (x )＝ka x(k ，a 是常数，k ≠0，a >0且a ≠1)，则f (1)＝ka ，f (2)＝ka 2，…，f (n )＝ka n ，…构成一个等比数列{ka n}，其首项为ka ，公比为a . 2.等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时G 2＝ab .拓展深化[微判断]1.等比数列的公比可以为任意实数.(×) 提示公比不可以为0.2.若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.(×) 提示应为同一个常数.3.常数列既是等差数列又是等比数列.(×) 提示 0数列除外. [微训练]1.等比数列{a n }中，a 1＝3，公比q ＝2，则a 5＝( ) A.32 B.－48 C.48D.96解析 a 5＝a 1q 4＝3×24＝48. 答案 C2. 等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第4项等于( ) A.－24 B.0 C.12D.24解析由x ，3x ＋3，6x ＋6成等比数列得， (3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)，第2项为－6. 第3项为－12，公比为－12－6＝2，故数列的第4项为－24. 答案 A3.4与16的等比中项是________. 解析由G 2＝4×16＝64得G ＝±8. 答案 ±8 [微思考]1.等比中项与等差中项有什么区别？提示 (1)任意两数都存在等差中项，但不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时，才存在等比中项.(2)任意两数的等差中项是唯一的，而如果两数有等比中项，则这两数的等比中项有两个，且互为相反数.2.设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，当a 1与q 分别满足什么条件时，{a n }是递增数列，{a n }是递减数列？提示 (1)⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1⇔{a n }为递增数列， (2)⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1⇔{a n }为递减数列.题型一等比数列通项公式的应用【例1】在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n ；(2)已知a 5＝8，a 7＝2，a n >0，求a n . 解设等比数列{a n }的公比为q . (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝q （a 3＋a 6）＝18，a 3＋a 6＝36，得q ＝12.再由a 3＋a 6＝a 3·(1＋q 3)＝36得a 3＝32，则a n ＝a 3·q n －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －8＝12，所以n －8＝1，所以n ＝9. (2)由a 7＝a 5·q 2得q 2＝14.因为a n >0，所以q ＝12，所以a n ＝a 5·q n －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －8.规律方法等比数列的通项公式及变形的应用1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式a n ＝a 1q n －1(a 1q ≠0)可求出等比数列中的任意一项.2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用a n ＝a m q n －m(q ≠0)也可求出等比数列中的任意一项.【训练1】 (1)在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为( ) A.2 B.12 C.2或12D.－2或12(2)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 9－a 10a 5－a 6＝( ) A.16 B.8 C.4D.2解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，∵a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，∴a 1(1＋q 3)＝18，a 1(q ＋q 2)＝12，q ≠－1，化为2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12.故选C.(2)等比数列{a n }中，设其公比为q (q ≠0)，a 3＝2，a 4a 6＝16，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2，a 21q 8＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝2，a 1＝1.∴a 9－a 10a 5－a 6＝a 1q 8－a 1q 9a 1q 4－a 1q 5＝q 4＝4，故选C. 答案 (1)C (2)C 题型二等比中项及其应用【例2】已知等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项. 解设该等比数列的公比为q ，首项为a 1，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝168，a 1q （1－q 3）＝42. ∵1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)，上述两式相除，得q (1－q )＝14，∴q ＝12.∴a 1＝42q －q 4＝4212－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝96.若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9.∴a 5，a 7的等比中项是±3.规律方法 (1)首项a 1和公比q 是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.【训练2】 (1)三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是________.(2)在等差数列{a n }中，a 3＝0.如果a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，那么k ＝________.解析 (1)设这三个数所成等比数列中的项依次为aq ，a ，aq (aq ≠0)，则a q＋a ＋aq ＝14，a q ·a ·aq ＝64，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q ＋1q ＝14，a 3＝64，解得a ＝4，q ＝12或2.故这三个数所成的等比数列为8，4，2或2，4，8.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 3＝a 1＋2d ＝0，∴a 1＝－2d .又∵a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，∴a 2k ＝a 6a k ＋6，即[a 1＋(k －1)d ]2＝(a 1＋5d )·[a 1＋(k ＋5)d ]，[(k －3)d ]2＝3d ·(k ＋3)d ，解得k ＝9或k ＝0(舍去). 答案 (1)2，4，8或8，4，2 (2)9 题型三等比数列的判定【例3】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *).(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列.(1)解由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列.【迁移1】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝a n ＋1(n ∈N *). (1)求证：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式.(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝a n ＋1，∴b n ＋1＝a n ＋1＋1＝2a n ＋2＝2(a n ＋1)＝2b n ，又∵b 1＝a 1＋1＝2，∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)解由(1)知，a n ＋1＝2×2n －1，∴a n ＝2n－1.【迁移2】已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n .解令a n ＋1－A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.由已知条件知A3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .又a 1－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝－23≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列. 于是a n －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，故a n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.规律方法判断．．一个数列是否是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为常数且不为零)或a n a n －1＝q (n ≥2，n ∈N *，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列. (2)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1qn －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列.(3)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)，则数列{a n }为等比数列.(4)构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b ，kb (k －1)≠0关系时，往往构造数列，方法是把a n＋1＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可.注：第(1)、(3)也可作为等比数列的证明方法.【训练3】已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4.证明：数列{a n ＋4}是等比数列. 证明 ∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2.∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列.一、素养落地1.通过学习等比数列的概念及判断方法提升数学抽象及逻辑推理素养，通过运用等比数列的通项公式求项或公比、项数，提升数学运算素养.2.等比数列的证明 (1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数). (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).3.两个同号的实数a ，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方.4.等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量.二、素养训练1.(多选题)下列说法正确的有( ) A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是R C.若一个常数列是等比数列，则公比为1 D.22，42，62，82，…成等比数列解析 A 显然正确；等比数列的公比不能为0，故B 错；C 显然正确；由于4222≠6242，故不是等比数列，D 错. 答案 AC2.在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( ) A.16 B.16或－16 C.32D.32或－32解析由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q＝32. 答案 C3.已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( ) A.6 B.－6 C.±6D.±12解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，∴ab ＝±6. 答案 C4.45和80的等比中项为________. 解析设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80，∴G ＝±60.答案－60或605.已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝2a n －5，求证{a n －5}是等比数列. 证明由a n ＋1＝2a n －5得a n ＋1－5＝2(a n －5).又a 1－5＝－1≠0，故数列{a n －5}是首项为－1，公比为2的等比数列.基础达标一、选择题1.在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A.16 B.27 C.36D.81解析由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 答案 B2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A.4 B.8 C.6D.32解析设a 1＝4，a n ＝128，q ＝2，则a n ＝a 1q n －1，即128＝4×2n －1＝2n ＋1，故n ＋1＝7，得n ＝6. 答案 C3.在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0(a n ≠0)，则2a 1＋a 22a 3＋a 4＝( )A.1B.12C.13D.14解析由a n ＋1－2a n ＝0知a n ＋1＝2a n ，故{a n }是等比数列，且q ＝2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4＝a 1（2＋q ）a 1q 2（2＋q ）＝1q 2＝14. 答案 D4.等比数列{a n }的公比|q |>1，{a n }中有连续四项在集合{－54，－24，－18，36，81}中，则q 等于( ) A.－12B.12C.－32D.32解析 ∵{a n }中的项必然有正有负， ∴q <0.又|q |>1，∴{|a n |}递增或递减.由此可得{a n }的连续四项为－24，36，－54，81. ∴q ＝－32.答案 C5.在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 3，a 7，a 16成等比数列，则公差为( ) A.34 B.－15C.56D.1 解析设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 1＝1，a 3，a 7，a 16成等比数列，得a 27＝a 3·a 16，即(1＋6d )2＝(1＋2d )·(1＋15d )，整理得6d 2－5d ＝0，解得d ＝56或d ＝0(舍去)，即数列{a n }的公差d ＝56，故选C.答案 C 二、填空题6.等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为________.解析 a 4＝a 1q 3＝18×23＝1，a 8＝a 1q 7＝18×27＝16，∴a 4与a 8的等比中项为±16＝±4. 答案 ±47.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________. 解析设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12.∴这4个数依次为80，40，20，10. 答案 80，40，20，108.在正项等比数列{a n }中，若3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 2 021－a 2 020a 2 023－a 2 022＝________.解析设正项等比数列{a n }的公比q ＞0， ∵3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴2×12a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ，∴q 2－2q －3＝0，q ＞0，解得q ＝3. 则原式＝a 2 021－a 2 020q 2（a 2 021－a 2 020）＝1q 2＝19.答案 19三、解答题9.在等比数列{a n }中.(1)已知a n ＝128，a 1＝4，q ＝2，求n ； (2)已知a n ＝625，n ＝4，q ＝5，求a 1； (3)已知a 1＝2，a 3＝8，求公比q 和通项公式. 解 (1)∵a n ＝a 1·q n －1， ∴4×2n －1＝128，∴2n －1＝32，∴n －1＝5，n ＝6. (2)∵a n ＝a 1·qn －1，∴a 1＝a n q n －1＝62554－1＝5，故a 1＝5. (3)∵a 3＝a 1·q 2，即8＝2q 2， ∴q 2＝4，∴q ＝±2. 当q ＝2时，a n ＝a 1qn －1＝2×2n －1＝2n，当q ＝－2时， a n ＝a 1q n －1＝2(－2)n －1＝(－1)n －12n，∴数列{a n }的公比为2或－2，对应的通项公式分别为a n ＝2n 或a n ＝(－1)n －12n .10.数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1，2，3，…).证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列.证明由a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n ，得a n >0，S n >0. 由a n ＋1＝n ＋2nS n ，a n ＋1＝S n ＋1－S n ，得(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理，得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，所以S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，则S n ＋1n ＋1S n n＝2. 因为S 11＝a 11＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列. 能力提升11.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N *)，则a 53的值为( )1412，1434，38，316…A.116B.18C.516D.54 解析第一列构成首项为14，公差为14的等差数列，所以a 51＝14＋(5－1)×14＝54.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为54，公比为12的等比数列，所以a 53＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝516. 答案 C12.设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式.(1)解根据根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝a n ＋1a n ，αβ＝1a n.代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得6a n ＋1a n －2a n ＝3.所以a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －23.若a n ＝23，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0，可化为23x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3＜0，所以a n ≠23，即a n －23≠0.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列.(3)解当a 1＝76时， a 1－23＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是首项为12，公比为12的等比数列.所以a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，n ＝1，2，3，…，即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，n ＝1，2，3，….创新猜想13.(多选题)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 可能的一个值是( ) A.52B.32C.34D.12解析由题意可设三角形的三边分别为a q ，a ，aq (aq ≠0).因为三角形的两边之和大于第三边，所以①当q >1时，a q ＋a >aq ，即q 2－q －1<0，解得1<q <1＋52；②当0<q <1时，a ＋aq >a q ，即q 2＋q －1>0，解得－1＋52<q <1. 综上，q 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋52，则可能的值是32与34. 答案 BC14.(多空题)若等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2，则a n ＝________；若{b n }是等比数列，且b 2＝a 3，b 3＝a 7，b 6＝a k ，则k ＝________.解析由a 4－a 3＝2知等差数列{a n }的公差d ＝2，又a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10，故a 1＝4，则a n ＝2n ＋2，所以b 2＝8，b 3＝16，得等比数列{b n }的公比q ＝2，b 1＝4.又b 6＝a k ，故2k ＋2＝4×26－1，解得k ＝63.答案 2n ＋2 63。

数列的通项公式及前n项和的求法(自己整理的学案)

数列：通项公式的求法一、公式法(定义法)：适用于等差或等比数列等差数列的通项公式： 1(1)n a a n d =+-；等比数列的通项公式： 11n n a a q -= 等差数列的定义： 1n n a a d --=；变式：112n n n a a a +-=+，1n n a a d -=+；等比数列的定义：1n n a q a -=；变式：211n n n a a a +-=，1n n a qa -=；二、利用n S 求n a （知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n ；利用n S 求n a 一般为三步：（1）当n=1时利用S 1＝a 1求出a 1 （2）当2n ≥时，利用1n n n S S a --=求出n a ；（3）检验a 1的值合不合由第二步求出的n a 的表达式；例一：数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S n ＝2a n －1， ((1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n解：（1）当n=1时，有S 1＝2a 1－1即a 1＝2a 1－1求得a 1=1；（2）当2n ≥时，S n ＝2a n －1① S n-1＝2a n-1－1②； ①—②有a n ＝2a n —2a n-1 得1122n n n n a a a a --=⇒=，所以{a n }为一以2为公比1为首项的等比数列，所以11122n n n a --=⨯= （3）经检验，11a =也合12n n a -=，所以数列{a n }的通项公式为12n n a -=。

练习1、数列{a n }的各项为正数， 11a =且有2211230n n n n a a a a ++--=，则{a n }的通项公式是__________．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n ＋n ，则数列的通项公式a n ＝________.3、各项都为正数的数列{a n }中，有11a =且331log 3log n n a a --=，则通项公式a n ＝________.4、数列{a n }中，11a =，且当1n >时有13n n a a -=，求数列的通项公式a n ________.5、数列{a n }中，11a =且点1(,)n n a a +在直线2y x =-上，通{a n }的通项公式为________.6、数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若2S n ＝3a n —3，(1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n三、形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例3. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a解：取倒数：⇔+=-2111n n a a 2111=--n n a a 1113(1)222n n n a a ∴=+-⋅=- 2.43n a n ∴=- 练习1。

高三数学第二轮复习专题数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关：数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案：数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -．所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-．点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。

2020版新高考复习理科数学教学案：数列含答案 (2)

答案：C
6．[20xx·惠州调研]已知各项均为正数的等比数列{an}中.a1＝1,2a3.a5,3a4成等差数列.则数列{an}的前n项和Sn＝( )
A．2n－1B．2n－1－1
C．2n－1D．2n
解析：通解：设{an}的公比为q(q>0).由题意知2a5＝2a3＋3a4.∴2a3q2＝2a3＋3a3q.∴2q2＝2＋3q.∴q＝2或q＝－ (舍去).所以an＝2n－1.
■备考工具——————————————
1．求数列的前n项和的方法
(1)公式法
①等差数列的前n项和公式
Sn＝＝na1＋ .
②等比数列的前n项和公式
a．当q＝1时.Sn＝na1；
b．当q≠1时.Sn＝＝ .
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)裂项相消：把一个数列的通项分成两项差的形式.相加过程中消去中间项.只剩有限项再求和．
通项公式的推广
an＝a1qn－1
(揭示首末两项的关系)
an＝amqn－m
(揭示任意两项之间的关系)
(2)前n项和公式
Sn＝或Sn＝
7．等比数列的性质
若{an}为等比数列.则
(1){a }. .{c·an}(c≠0)都是等比数列．
(2)各项及公比都不为0.
8．等比数列项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m.n.p.q∈N*).则am·an＝ap·aq.
令n＝101.则S101＋a101＝2×101－6＋ .所以S101＋(S101－S100)＝196＋ .得2S101－S100＝196＋ ②.
将①代入②得S100＝2× －196－＝396＋－196－＝200.选B.
答Байду номын сангаас：B

第2课时数列的通项公式与递推公式

1）可得
n
an+1-an=ln（1+ n1），利用累加法求通项.
【解析】因为a1=2，an+1=an+lnn1（1+ ），所以a2=a1+ln（1+1）=2+ln2, a3=a2+ln（1+12 ）=2+ln2+32ln =2+ln3, a4=a3+ln（1+13 ）=2+ln3+43ln =2+ln4. 可猜想an=2+lnn（n∈N*）.
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4.数列{an}满足
an+1=
1
1 an
,a8=2,则
a1=
1 2
.
【解析】由
an+1=
1
1 an
,可得
an=1-
1 an +1
,又
a8=2, 故
a7= 1 ,……依次下去得 a1= 1 .
2
2
5.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）3,5,7,9,11，….
=
1+
3 5
=
8 5
【即时练习】
在数列{an}中，已知a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n≥1）写出此数列的前六项.
【解题关键】通过观察，此题的递推公式是数列中相
邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项.
【解析】a1=2，a2=3， a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5， a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9， a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17, a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.

专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析版)

专题05构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.模型一:111(1)1n n n n n n a a n a n a n +++−=−−−−→⋅+=⋅+左右同乘,构造n n b n a =⋅,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型二:11111n n n n n a a n a a n n n +++−−−−−⋅→+==+左右同除,构造n n a b n=,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型三:()()21112(1)(2)(1)n n n n n n a a n a a n n n n n ++++−−−−+=⋅=+−→++−左右同除,构造(1)n n a b n n =+,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型四:()111(1)221n n n n n n n a a na n a n +++−−−−−→=+=+左右同除,构造n n ab n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列.模型五:11111222212n n n n n n n n n n n n n a S S S S S n n S S S nn n ++++++++=⋅=⋅=⇒-⇒−−−−−→+⋅=左右同除,构造nn S b n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列.模型六:1111111n n n n n a a n a a n n n n ++++=⋅=+++−−−+−−→左右同除,构造n n a b n=,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型七:12111122122n n n n n n n n a a a a +++++−=+=−−−→+−左右同除,构造2n nna b =,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型八:1111111n n a an n n n n n a a a a a a ++++-−−=-=−−−→左右同除,构造1n nb a=,则11n n b b +-=,{}n b 为等差数列.看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将1n +和1n a +,n 和n a 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.【经典例题1】已知数列{}n a 满足112,31n n na a a n +==⋅+,求n a .【解析】因为11n n na a n +=+,所以1(1).n n n a na ++=令n n b na =,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1n b b =,即221,33n n n na a a n=⨯==.【经典例题2】已知数列{}n a 中,12n n na a n +=+且12a =,求数列{}n a 的通项公式.【解析】因为12n n na a n +=+,所以11(2),(1)(2)(1).n n n n n a na n n a n n a +++=++=+令(1)n n b n n a =+,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1.n b b =因此(1)1n n n a +=⨯422,(1)n a n n ⨯=+【经典例题3】已知数列{}n a 中,12(1(1))n n na n a n n +++=+且11a =,求数列{}n a 的通项公式.【解析】12(1(1))n n na n a n n +++=+,等式两侧同除(1)n n +,形成1121n n a a n n +=++,令n n ab n=,则121n n b b +=+,这又回到了构造一的形式,所以12(1)1n n b b +=++,{}1n b +是以2为首项,2为公比的等差数列,即12212n n n b -⨯+==,21n n b =-,所以21n na n=-,(21)n n a n =-.【经典例题4】已知11a =,且1(2)n n na n n a +=++,求数列{}n a 的通项公式.【解析】等式两侧同除(1)(2)n n n ++,得1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +=++++++,即1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +-=+++++,1(1)(2)(1)(111)(2)n n a a n n n n n n +=-++++-+,另(1)n n a b n n =+，所以1(12)1)(1n n b b n n +--=++,接下来就是叠加法发挥作用的时候了212311b b -=-323411b b -=-434511b b -=-111(1)n n b b n n ---=+叠加得1112(1)n b b n --=+,11122a b ==,所以1(1)11n b n n n =+=+-，即(1)1n a n n n n =++，2n a n =.【练习1】已知数列{}n a 满足1111,3n n n n a a a a a ++=-=,则10()a =A.28 B.128C.28- D.128-【答案】B 【解析】数列{}n a 满足11a =,113n n n n a a a a ++-=,则:1113n na a +-=(常数)则：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,3为公差的等差数列。

数列的通项公式与递推公式第2课时

×…×aa32
×aa21
n－1 ×a1＝ n
n－2 ×n－1
n－3 ×n－2
2 ×…×3
1 ×2
×1＝n1
.
又因为 n＝1 时，a1＝1，符合上式，所以 an＝1n (n∈N*).
由递推公式求通项公式的方法 1．累差法：形如 an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用 a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an －an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式；
所以a1n ＝a11 ＋a12－a11 ＋a13－a12 ＋…＋a1n－an1－1
＝2＋
111
n 1个1
＝n＋1.所以a1n ＝n＋1(n≥2)，
又 a1＝12 也适合上式，所以 an＝n＋1 1 .
角度 2 累乘法
【典例】设数列{an}中，a1＝1，an＝1－n1 an－1(n≥2)，求通项公式 an.
n，0
an
1， 2
n－1，12 an 1，
若 a1＝67 ，则 a2 021＝________．
【解析】计算得 a2＝2a1－1＝57 ，a3＝2a2－1＝37 ，a4＝2a3＝76 .
故数列{an}是以 3 为周期的周期数列，又因为 2 021＝673×3＋2，所以 a2 021＝a2＝57 .
2．符合递推关系式 an＝ 2 an－1(n≥2)的数列是( )
A．1，2，3，4，…
B．1， 2 ，2，2 2 ，…
C. 2 ，2， 2 ，2，…
D．0， 2 ，2，2 2 ，…
【解析】选 B.B 中从第二项起，后一项是前一项的 2 倍，符合递推公式 an＝
2 an－1.
3．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则 a5＝( )

学案2：4.3.1　第1课时　等比数列的概念及通项公式

4.3.1 第1课时等比数列的概念及通项公式【学习目标】1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程【自主学习】知识点1 等比数列的概念一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比等于，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示．知识点2 等比中项的概念（1）如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成，那么G 叫做a 与b 的等比中项，这三个数满足关系式 .（2）等比中项与等比中项的异同，对比如下表：知识点3 等比数列的通项公式首项为1a ，公比为q 的等比数列的通项公式是111(,0)n n a a q a q -=≠．等比数列通项公式的变形：n mn m a a q -=．【合作探究】探究一等比数列的判定与证明【例1】已知f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{a n }是等比数列．【练习1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)证明：数列{a n }是等比数列．探究二等比中项【例2】若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则ab 的值为( )A ．±12B.12C ．1D ．±1【练习2】2＋1与2－1的等比中项是( ) A ．1B ．－1C ．±1D.12探究三等比数列通项公式的应用【例3】一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．【练习3】在等比数列{a n}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求a n.探究四等比数列的实际应用【例4】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)【练习4】某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079)【课堂达标】1．已知等比数列{a n}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于()A．64 B．81C．128 D．2432．在等比数列{a n}中，a1＝1，公比|q|≠1.若a m＝a1a2a3a4a5，则m等于()A．9 B．10 C．11 D．123．已知6，a，b,48成等差数列，6，c，d,48成等比数列，则a＋b＋c＋d＝________. 4．数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________. 5．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1.(1)求证：数列{a n＋1}是等比数列；(2)求{a n}的通项公式．【参考答案】【自主学习】知识点1 等比数列的概念第2项同一常数公比q (q ≠0)知识点2 等比中项的概念（1）等比数列ab ＝G 2（2）等比两相反数ab ＞0 【合作探究】探究一等比数列的判定与证明【例1】证明由题意知f (a n )＝4＋2(n －1)＝2n ＋2＝log m a n ， ∴a n ＝m2n ＋2，∴a n ＋1a n ＝m 2(n ＋1)＋2m2n ＋2＝m 2，∵m ＞0且m ≠1，∴m 2为非零常数， ∴数列{a n }是等比数列．【练习1】(1)解 ∵a 1＝S 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，∴a 2＝14.(2)证明 ∵S n ＝13(a n －1)，∴S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减得a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．探究二等比中项【例2】【答案】D【解析】∵1，a,3成等差数列，∴a ＝1＋32＝2，∵1，b,4成等比数列，∴b 2＝1×4，b ＝±2，∴a b ＝2±2＝±1.【练习2】【答案】C【解析】设x 为2＋1与2－1的等比中项，则x 2＝(2＋1)(2－1)＝1，∴x ＝±1. 探究三等比数列通项公式的应用【例3】解设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，①a 1q 3＝18，②②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.【练习3】解 (1)由等比数列的通项公式得，a 6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1q n －1＝5×2n －1. 探究四等比数列的实际应用【例4】解设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩余量是a n ，由条件可得，数列{a n }是一个等比数列．其中a 1＝0.84，q ＝0.84，设a n ＝0.5，则0.84n ＝0.5.两边取对数，得n lg 0.84＝lg 0.5，用计算器算得n ≈4. 答这种物质的半衰期大约为4年．【练习4】解记该糖厂每年制糖产量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，…. 则依题意可得a 1＝5，a na n －1＝1.2(n ≥2且n ∈N *)，从而a n ＝5×1.2n －1，这里a n ＝30，故1.2n －1＝6，即n －1＝log 1.26＝lg 6lg 1.2＝0.7780.079≈9.85，故n ＝11.答从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨．【课堂达标】1．【答案】A【解析】∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1，故a 7＝1·26＝64. 2．【答案】C【解析】在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11. 3．【答案】90【解析】6，a ，b,48成等差数列，则a ＋b ＝6＋48＝54； 6，c ，d,48成等比数列，设其公比为q ，则q 3＝486＝8，q ＝2，故c ＝12，d ＝24，从而a ＋b ＋c ＋d ＝90.4．【答案】1【解析】设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1，∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.5．(1)证明方法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，且a 1＋1＝2.∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．方法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解由(1)知{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2. ∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.。

人教a版必修5学案：第2章《习题课2-简单的递推数列及应用》(含答案)

第二章习题课2 简单的递推数列及应用自主学习知识梳理在实际考查中常常涉及求一些简单的递推数列的通项公式问题． 1．累加法：a n ＋1＝a n ＋f (n ) (f (n )可求和) a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1) 2．累乘法：a n ＋1＝a n ·f (n ) (f (n )为含n 的代数式)a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)3．转化法：a n ＋1＝pa n ＋q (pq ≠0，p ≠1)方法一设a n ＋1－x ＝p (a n －x )，则a n ＋1＝pa n ＋(1－p )x∴(1－p )x ＝q ，∴x ＝q1－p .∴a n －q 1－p ＝⎝⎛⎭⎫a 1－q 1－p ·p n －1∴a n ＝⎝⎛⎭⎫a 1－q 1－p p n －1＋q 1－p.方法二 ∵a n ＋1＝pa n ＋q ，∴a n ＝pa n －1＋q∴a n ＋1－a n ＝p (a n －a n －1)＝…＝p n －1(a 2－a 1)转化为迭加法求解． 4．S n 与a n 的混合关系式有两个思路：(1)消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；(2)消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .自主探究1．试写出用累加法推导等差数列通项公式的过程．2．试写出用累乘法推导等比数列通项公式的过程．对点讲练知识点一累加法与累乘法求通项例1 已知：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋(2n ＋1)，求a n .变式训练1 已知：a 1＝1，a n ＋1＝2n ·a n ，求a n .知识点二化为基本数列求通项例2 已知：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .变式训练2 设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝53，a n ＋2＝53a n ＋1－23a n (n ＝1,2，…)．令b n ＝a n＋1－a n .(1)求证：数列{b n }是等比数列，并求b n ； (2)求数列{a n }的通项公式．知识点三已知a n 与S n 的混合关系式，求a n .例3 已知{a n }是各项为正的数列，且S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n .求a n 与S n .变式训练3 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，都有S n ＝2a n －3n . (1)求数列{a n }的首项a 1及递推关系式a n ＋1＝f (a n )； (2)求通项公式a n .1．近几年高考常以递推公式为依托，设计出一些新颖灵活、难度适中、富有时代气息的试题．在学习时对递推公式及其应用应给予适当的重视．2．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．本课时主要学习了累加法、累乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法.课时作业一、选择题1．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ，且a 1＝1，则a 5的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．122．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于( )A ．13B ．10C ．9D ．63．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1，则a n 的表达式为( )A ．3n －2B ．n 2－2n ＋2C ．3n －1 D ．4n －34．数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 11的值为( )A ．1 B.12 C.13 D.145．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1－a n －2 (n ≥3)．那么S 2 011的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4题号1 2 3 4 5 答案二、填空题6．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝a 2n＋(－1)n ＋1 (n ∈N *)，则a 4a 2＝________. 7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n，则a n ＝________.8．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n，对所有正整数n 都成立，且a 7＝12，则a 5＝______.三、解答题9．已知S n ＝4－a n －12n －2，求a n 与S n .10．某地区位于沙漠边缘，人与沙漠进行长期不懈的斗争，到2002年底全地区的绿化率已达到30%，从2003年开始，每年将出现以下变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．(1)设全区面积为1,2002年底绿洲面积为a 1＝310，经过1年(指2003年底)绿洲面积为a 2，经过n 年绿洲面积为a n ＋1，求证：数列{a n －45}为等比数列；(2)问：至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%(年数取正整数)．习题课2 简单的递推数列及应用自主探究1．解 ∵a n ＋1－a n ＝d∴⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝da 3－a 2＝d … …a n－a n －1＝d n －1个式子相加得：a n －a 1＝(n －1)d ，∴a n ＝a 1＋(n －1)d .或a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝a 1＋(n －1)d .2．解 ∵a n ＋1a n＝q (q ≠0)，∴⎭⎪⎬⎪⎫a 2a 1＝q a 3a 2＝q ……an an －1＝q n －1个式子相乘得： a n a 1＝q n －1，∴a n ＝a 1q n －1或a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1q n －1. 对点讲练例1 解 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋3＋5＋…＋(2n －1)＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋1＝n 2＋1.变式训练1 解 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·21·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2.例2 解方法一 ∵a 1＝1，a 2＝5，a 2－a 1＝4.a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)＝2n －1(a 2－a 1)＝2n ＋1 ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋22＋23＋…＋2n ＝21＋22＋…＋2n －1＝2n ＋1－3.方法二设a n ＋1－x ＝2(a n －x )，则a n ＋1＝2a n －x . ∴x ＝－3，a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．∴a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.变式训练2 (1)证明 ∵b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫53a n ＋1－23a n －a n ＋1＝23(a n ＋1－a n )＝23b n ∴b n ＋1b n ＝23(n ＝1,2,3，…) ∴{b n }是等比数列，公比q ＝23，首项b 1＝a 2－a 1＝23.∴b n ＝⎝⎛⎭⎫23n.(2)解 a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫23n.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝1＋⎝⎛⎭⎫23＋⎝⎛⎭⎫232＋…＋⎝⎛⎭⎫23n －1 ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n . 例3 解 ∵S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，∴2S n ＝a n ＋1a n ， ∴2S n ＝S n －S n －1＋1S n －S n －1，∴S n ＋S n －1＝1S n －S n －1，∴S 2n －S 2n －1＝1， ∴{S 2n }是一个等差数列，公差为1，首项为S 21，易求得S 21＝1. ∴S 2n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴S n ＝n ， ∴a n ＝n －n －1.变式训练3 解 (1)a 1＝S 1＝2a 1－3，∴a 1＝3. ∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)． ∴S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3.∴a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，∴a n ＋1＝2a n ＋3. (2)∵a n ＋1＝2a n ＋3，∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．∴{a n ＋3}是等比数列，公比为2，首项为a 1＋3＝6.∴a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝6·2n －1＝3·2n ， ∴a n ＝3·2n －3. 课时作业1．C [a 5＝a 4＋4＝a 3＋3＋4＝a 2＋2＋3＋4 ＝a 1＋1＋2＋3＋4＝11.]2．D [∵a n ＝2n －12n ＝1－12n ，∴S n ＝n －⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n －1＋12n ，又∵S n ＝32164＝5＋164，∴n －1＋12n ＝5＋164，∴n ＝6.]3．B [a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝1＋(n －1)2＝n 2－2n ＋2.]4．B [设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1的公差为d ，则1a 7＋1＝1a 3＋1＋4d ， ∴12＝13＋4d ，d ＝124，1a 11＋1＝1a 7＋1＋4d ， ∴1a 11＋1＝12＋16＝23，∴a 11＋1＝32，∴a 11＝12.]5．A [∵a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1， ∴a n ＋1＝－a n －2，∴a n ＋3＝－a n . ∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . ∴{a n }是周期数列且T ＝6. ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0，∴S 2 010＝0，∴S 2 011＝S 2 010＋a 2 011＝a 2 011＝a 1＝1.] 6.1312解析 a 2＝2，a 3＝32，a 4a 2＝a 4a 3a 2a 3＝a 23＋1a 22－1＝1312.7.1n解析由a n ＋1a n ＝n n ＋1得：a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ＝1n ，∴a n a 1＝1n ，a n ＝1n 或(n ＋1)a n ＋1＝na n ＝…＝2a 2＝a 1＝1，∴a n ＝1n . 8．1解析 ∵a n ＋1＝2a n2＋a n，∴1a n ＋1＝1a n ＋12. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列且公差d ＝12.∴1a 7＝1a 5＋2d ＝1a 5＋1＝2，∴a 5＝1. 9．解 ∵S n ＝4－a n －12n －2，∴S n －1＝4－a n －1－12n －3∴S n －S n －1＝a n ＝a n －1－a n ＋12n －3－12n －2∴a n ＝12a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴a n⎝⎛⎭⎫12n －a n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＝2. ∴2n a n －2n －1a n －1＝2.∴{2n a n }是等差数列，d ＝2，首项为2a 1.∵a 1＝S 1＝4－a 1－12－1＝2－a 1，∴a 1＝1.∴2n a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴a n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n －1. ∴S n ＝4－a n －12n －2＝4－n ·12n －1－12n －2＝4－n ＋22n －1.10．(1)证明因为2002年底绿洲面积为a 1＝310，所以2002年底的沙漠面积为1－a 1＝710，经过n －1年后绿洲面积为a n ，沙漠面积为1－a n ，由题意得，再过一年，即经过n 年后，绿洲面积为a n ＋1＝(1－a n )×16%＋a n (1－4%)，即a n ＋1＝45a n ＋425.所以a n ＋1－45＝45(a n －45)．又因为a 1－45＝310－45＝－12，所以数列{a n －45}是以45为公比，－12为首项的等比数列．(2)解由(1)知，a n －45＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫45n －1，所以a n ＝45－12·⎝⎛⎭⎫45n －1，设经过n 年的努力可使全区的绿洲面积超过60%，即a n ＋1>60%.所以45－12·⎝⎛⎭⎫45n >35，所以⎝⎛⎭⎫45n <25. 验证n ＝1,2,3,4时，⎝⎛⎭⎫45n >25.当n ＝5时，⎝⎛⎭⎫455＝1 0243 125<25，故至少需要5年的努力，全区的绿洲面积超过60%.。

学案2：4.3.2　第1课时　等比数列前n项和公式

4.3.2 第1课时等比数列前n 项和公式【学习目标】1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题【自主学习】知识点1 等比数列前n 项和公式的推导设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和S n 可用下面的“ ”求得． S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1. ①则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n . ②由①－②得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q. 当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.结合通项公式可得：等比数列前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1).知识点2 等比数列前n 项和公式的应用(1) 一定不要忽略的情况；(2) 知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用；知道首尾两项a 1，a n 和q ，可以用；(3) 在通项公式和前n 项和公式中共出现了五个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余两个．【合作探究】探究一前n 项和公式的直接应用【例1】求下列等比数列前8项的和：(1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.【练习1】若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.探究二通项公式、前n 项和公式的综合应用【例2】在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q .【练习2】在等比数列{a n }中，S 2＝30，S 3＝155，求S n .探究三等比数列前n 项和的实际应用【例3】借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051，精确到整数)【练习3】一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？【课堂达标】1．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( )A ．179B ．211C ．243D ．2752．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－113．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝________.5．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．【参考答案】【自主学习】知识点1 等比数列前n 项和公式的推导错位相减法知识点2 等比数列前n 项和公式的应用(1) q ＝1(2) a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－q【合作探究】探究一前n 项和公式的直接应用【例1】解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256. (2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8. 又由q <0，可得q ＝－13，所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝1 64081. 【练习1】【答案】2 2n ＋1－2【解析】设等比数列的公比为q ，∵a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n ＋1－2.探究二通项公式、前n 项和公式的综合应用【例2】解由题意，得若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意．此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式，得S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3)1－q＝6，解得q ＝－2. 此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.【练习2】解方法一由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝5(1－5n )1－5＝54(5n －1) 或S n ＝180[1－(－56)n ]1－(－56)＝1 080[1－(－56)n ]11，n ∈N *. 方法二若q ＝1，则S 3∶S 2＝3∶2，而事实上，S 3∶S 2＝31∶6，故q ≠1.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 2)1－q＝30，①a 1(1－q 3)1－q ＝155， ②两式作比，得1＋q 1＋q ＋q 2＝631，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝5(1－5n )1－5＝54(5n －1) 或S n ＝180[1－(－56)n ]1－(－56)＝1 080[1－(－56)n ]11，n ∈N *. 探究三等比数列前n 项和的实际应用【例3】解方法一设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6，n ∈N *)，则a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ，a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ，…a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a .由题意，可知a 6＝0，即1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a ＝0，a ＝1.016×1021.016－1. 因为1.016≈1.061，所以a ≈1.061×1021.061－1≈1 739(元)．故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)，另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a [1.016－1]×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝1.016×1021.016－1≈1 739(元)．故每月应支付1 739元．【练习3】解用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n)1－q ＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.【课堂达标】1．【答案】B【解析】∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，且q >0， ∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211. 2．【答案】D【解析】由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11. 3．【答案】2n －1【解析】a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n －a n －1＝2n －1. 各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.4．【答案】－342【解析】当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q，得2－q 3－q 6＝2－2q 9，∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)或q 3＝0(舍去)，∴q ＝－342. 5．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *.(2)设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n 2n . ② 所以，当n ＞1时，①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n ＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n . 所以S n ＝n 2n －1，当n ＝1时也成立．综上，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和S n ＝n 2n －1，n ∈N *.。

【创新设计】2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：第二章习题课数列 Word版含答案

习题课数列求和[学习目标] 1.能由简洁的递推公式求出数列的通项公式.2.把握数列求和的几种基本方法．[预习导引] 1．基本求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q1－q.2．数列{a n }的a n 与S n 的关系：数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．裂项相消求和经常用到下列拆项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .要点一分组分解求和例1 求和：S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2. 解当x ≠±1时，S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝⎛⎭⎫x 2n ＋2＋1x 2n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n ＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ， x ＝±1，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n(x 2－1)＋2n ，x ≠±1.规律方法某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪演练1 求数列1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)．解当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当a ≠1时，a n ＝1－a n 1－a ＝11－a (1－a n )．∴S n ＝11－a[n －(a ＋a 2＋…＋a n )]＝11－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －a (1－a n)1－a ＝n1－a －a (1－a n )(1－a )2. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (a ＝1)，n1－a －a (1－a n )(1－a )2(a ≠1).要点二错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1.故a n ＝3＋(n －1)(－1)＝4－n . (2)由(1)，可得b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋(n －1)·q n －2＋n ·q n －1. ①若q ≠1，将上式两边同乘以q ，得： qS n＝1·q 1＋2·q 2＋3·q 3＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .将上面两式相减得：(q －1)S n ＝nq n－(1＋q ＋q 2＋…＋qn －1)＝nq n－q n －1q －1，于是S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.②若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2， q ＝1.nqn ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.规律方法用错位相减法求和时，应留意(1)要擅长识别题目类型，特殊是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特殊留意将两式“错项对齐”以便下一步精确写出“S n －qS n ”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以争辩，一般状况下分等于1和不等于1两种状况分别求和．跟踪演练2 已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n . (2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .①2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 要点三裂项相消求和例3 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2.解 ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1， ∴原式＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15⎦⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1 ＝34－2n ＋12n (n ＋1). 规律方法假如数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常接受裂项求和法．跟踪演练3 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n . 解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2nn ＋1. 要点四奇偶并项求和例4 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n (2n －1)．解当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋ [(－2n ＋5)＋(2n －3)]＋(－2n ＋1)＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n －1)]＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n n (n ∈N *)．跟踪演练4 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n ·(3n －2)，…，求其前n 项和S n . 解当n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N *)， S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n (3n －2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k ＋5)＋(6k －2)] ＝3k ＝32n ；当n 为奇数时，令n ＝2k ＋1 (k ∈N *)． S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋12 (n 为奇数)，3n 2 (n 为偶数).1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56C.16D.130答案 B解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫15－16 ＝1－16＝56.2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12nB.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2⎝⎛⎭⎫1－12n 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n ＝(1＋2＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n . 3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1，整理可得13a n ＝－23a n －1，即a n a n －1＝－2，故数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.求数列前n 项和，一般有下列几种方法．1．错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 2．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． 4．奇偶并项：当数列通项中消灭(－1)n 或(－1)n ＋1时，经常需要对n 取值的奇偶性进行分类争辩． 5．倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法．一、基础达标1．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为( )A.n 3n ＋2B.n 6n ＋4C.3n6n ＋4 D.n ＋1n ＋2 答案 B解析由数列通项公式，得1(3n －1)·(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，得前n 项和S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13⎝⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝n 6n ＋4. 2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 所确定的数列{b n }的前n 项之和是( )A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( ) A ．13 B ．－76 C ．46 D ．76 答案 B解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29，S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－4×15＋121＝61，S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.故选B.4．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 B解析由已知得a 1a 2＝16 ①，a 2a 3＝162 ②，②÷①得a 3a 1＝16＝q 2，∴q ＝4.5．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( ) A ．1＋2n B ．2＋2n C ．n ＋2n－1 D ．n ＋2＋2n答案 C 解析 S n＝(1＋1)＋(1＋2)＋(1＋22)＋(1＋23)＋…＋(1＋2n －1)＝n ＋(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝n ＋(1－2n )1－2＝n ＋2n －1，故选C.6．数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n 项和S n ＝________.答案2n n ＋1解析由于数列的通项a n ＝11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1).8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n .(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝(2a n ＋1)＋1a n ＋1＝2a n ＋2a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2，∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为a 1＋1＝2. (2)解由(1)知{a n ＋1}为等比数列， ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n，∴a n ＝2n －1. ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1) ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.二、力量提升9．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等( ) A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n4 D ．n 2＋n 答案 A解析由题意设等差数列的公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n .10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n答案 A解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n . 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .11．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________.答案 2n －12解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，∴q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2，∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝12(1－2n )1－2＝2n －12.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．三、探究与创新13．设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，证明S n <1.(1)解由题设11－a n ＋1－11－a n ＝1知，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11－a n 是公差为1的等差数列，又11－a 1＝1，故11－a n＝n ， ∴a n ＝1－1n.(2)证明由(1)得b n ＝1－a n ＋1n＝n ＋1－n n ＋1·n＝1n－1n ＋1，∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.。

2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：2.2 等差数列(二)

明目标、知重点 1.能依据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．1．等差数列的图象等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是一固定常数；当d ≠0时，a n 的相应函数是一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 2．等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n }中，已知a 1，d, a m, a n (m ≠n )，则d ＝a n －a 1n －1＝a n －a m n －m ，从而有a n＝a m ＋(n －m )d .(2)项的运算性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 3．等差数列的性质 (1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….(2)若{a n }、{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有数列结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数，k ∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)(3){a n }的公差为d ，则d >0⇔{a n }为递增数列；d <0⇔{a n }为递减数列；d ＝0⇔{a n }为常数列．[情境导学]在等差数列{a n }中，若已知首项a 1和公差d 的值，由通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可求出任意一项的值，假如已知a m 和公差d 的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？本节我们连续探讨．探究点一等差数列通项公式的推广思考1 等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 是由等差数列的前几项归纳得出的，公式只是一个猜想，那么，如何证明公式对全部正整数n 都成立？答 (1)叠加法：由等差数列的定义知： a n －a n －1＝d (n ≥2，n ∈N *)，⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝da 3－a 2＝da 4－a 3＝d …a n－a n －1＝d (n －1)个将以上(n －1)个等式两边分别相加，可得a n －a 1＝(n －1)d ，即a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)迭代法：{a n }是等差数列，则：a n ＝a n －1＋d ＝a n －2＋2d ＝a n －3＋3d ＝…＝a 1＋(n －1)d . 所以a n ＝a 1＋(n －1)d .思考2 已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 能表示出通项a n ＝a 1＋(n －1)d ，假如已知第m 项a m 和公差d ，又如何表示通项a n?答设等差数列的首项为a 1，则a m ＝a 1＋(m －1)d ，变形得a 1＝a m －(m －1)d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1)d ＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .思考3 对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与a p ＋a q 之间有怎样的关系？为什么？答 a m ＋a n ＝a p ＋a q .由于a m ＋a n ＝a 1＋(m －1)d ＋a 1＋(n －1)d ＝2a 1＋(n ＋m －2)d ，而a p ＋a q ＝a 1＋(p －1)d ＋a 1＋(q －1)d ＝2a 1＋(p ＋q －2)d ，又因m ＋n ＝p ＋q ，所以a m ＋a n ＝a p ＋a q .小结 (1)等差数列的其次通项公式：a n ＝a m ＋(n －m )d ；(2)对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与a p ＋a q 之间的关系为a m ＋a n ＝a p ＋a q . 例1 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式．解由于a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2. 又因a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1.反思与感悟利用等差数列的其次通项公式及等差数列的性质，不难得出等差数列另外一些性质：(1){a n }为有穷等差数列，则与首末两项“等距离”的两项之和都相等，且等于首末两项之和． (2)下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)组成公差为md 的等差数列． (3)若数列{a n }和{b n }均为等差数列，则{a n ±b n }，{pa n ＋qb n }(p 、q 为常数)也为等差数列．跟踪训练1 已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝______.答案 12解析由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d .则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12， ∴这4个根依次为14，34，54，74，∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716，∴|m －n |＝12.探究点二等差数列与一次函数的关系思考等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 整理成a n 关于n 的函数后，其相应的一次函数图象的斜率及在y 轴上的截距各是什么？答等差数列{a n }的通项公式变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其图象为一条直线上孤立的一系列点，d 为直线的斜率，在y 轴上的截距为a 1－d .例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn ＋q ，其中p 、q 为常数，那么这个数列确定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解取数列{a n }中任意相邻两项a n 和a n －1(n >1)，求差得a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ]＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p . 它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列．首项a 1＝p ＋q ，公差d ＝p .反思与感悟推断数列{a n }是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，即a n －a n －1(n >1)是不是一个与n 无关的常数；也可以利用等差中项，即若a n ＋1＝a n ＋a n ＋22成立，则说明{a n }是等差数列．跟踪训练2 已知a ，b ，c 成等差数列，证明a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )也能构成等差数列．证明 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . ∴a 2(b ＋c )＋c 2(a ＋b ) ＝a 2b ＋a 2c ＋c 2a ＋c 2b ＝(a 2b ＋c 2b )＋(a 2c ＋c 2a ) ＝b (a 2＋c 2)＋ac (a ＋c ) ＝b (a 2＋c 2)＋2abc ＝b (a 2＋c 2＋2ac )＝b (a ＋c )2＝b ·(a ＋c )·(a ＋c ) ＝2·b 2(a ＋c )．∴a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )能构成等差数列．探究点三等差数列性质的应用例3 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．解由于a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，所以a 4＝5.又由于a 2a 4a 6＝45，所以a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .反思与感悟解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值．解方法一 ∵a 1＋a 4＋a 7＝(a 1＋a 7)＋a 4＝3a 4＝39， ∴a 4＝13，∵a 2＋a 5＋a 8＝(a 2＋a 8)＋a 5＝3a 5＝33.∴a 5＝11，∴d ＝a 5－a 4＝－2. ∵a 3＋a 6＋a 9＝(a 3＋a 9)＋a 6 ＝2a 6＋a 6＝3a 6＝3(a 5＋d )＝3(11－2)＝27.方法二 ∵a 1＋a 4＋a 7＝a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d ) ＝3a 1＋9d ＝39， ∴a 1＋3d ＝13，①∵a 2＋a 5＋a 8＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋7d ) ＝3a 1＋12d ＝33. ∴a 1＋4d ＝11，②由①②联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝13，a 1＋4d ＝11，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，a 1＝19.∴a 3＋a 6＋a 9＝(a 1＋2d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋8d ) ＝3a 1＋15d ＝3×19＋15×(－2)＝27.例4 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．解方法一设等差数列的中间一项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意得，3a ＝6且a (a －d )(a ＋d )＝－24，所以a ＝2，代入a (a －d )(a ＋d )＝－24，化简得d 2＝16，于是d ＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.方法二设首项为a ，公差为d ，这三个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d ，依题意得，3a ＋3d ＝6且a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，所以a ＝2－d ，代入a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，得2(2－d )(2＋d )＝－24,4－d 2＝－12，即d 2＝16，于是d ＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.反思与感悟当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…，a－2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可削减计算量．跟踪训练4 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为－8，求这四个数．解方法一设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )．依题意得，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.方法二设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意得，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得(1－32d )(1＋32d )＝－8，即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2. 又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2，a ＝－2. 故所求的四个数为－2,0,2,4.1．等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A ．3 B ．－6 C ．4 D ．－3 答案 B解析由等差数列的性质，得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.2．在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( ) A ．32 B ．－32 C ．35 D ．－35 答案 C解析由a 8－a 4＝(8－4)d ＝4d ，得d ＝3，所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35.3．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A ．3 B ．－3 C.32 D ．－32答案 A解析由数列的性质，得a 4＋a 5＝a 2＋a 7，所以a 2＝15－12＝3.4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．解设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18 ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116 ②由①得a ＝6，代入②得d ＝±2. ∵该数列是递增数列， ∴d ＞0，即d ＝2. ∴这三个数依次为4,6,8. [呈重点、现规律]1．在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a n m －n 为公差公式，利用这个公式很简洁求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项依据原来的挨次排列，构成的新数列照旧是等差数列． 3．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，特殊地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .4．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，假如条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要留意公式的变形及整体计算，以削减计算量．一、基础过关1．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12 B ．8 C ．6 D ．4 答案 B解析由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.2．设公差为－2的等差数列{a n }，假如a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( ) A ．－182 B ．－78 C ．－148 D ．－82 答案 D解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33 ＝50＋2×(－2)×33＝－82.3．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确． na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小关系和a 1的取值状况有关．故数列{na n }不愿定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋dn (n －1)，当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a nn}递增，但d ＞a 1不愿定成立，则p 3不正确．对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．综上，正确的命题为p 1，p 4.4．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.5．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 6．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案 20解析设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， ∴3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20.7．在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，求a m ＋n 的值．解方法一设公差为d ，则d ＝a m －a n m －n ＝n －mm －n＝－1，从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.方法二设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n ＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1，b ＝m ＋n .所以a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0. 二、力气提升8．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．300答案 C解 ∵a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5 ＝5a 5＝450，∴a 5＝90. ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.9．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．± 3 C ．－33D ．－3 答案 D解析由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan8π3＝tan 2π3＝－ 3. 10．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________. 答案 105解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝5(25－d 2)＝80，又d 为正数，∴d ＝3.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3(5＋30)＝105.11．成等差数列的四个数之和为26，其次个数与第三个数之积为40，求这四个数．解设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.12．正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n .(1)数列{a n }是否为等差数列？说明理由． (2)求a n . 解 (1)∵a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋1＋a n ，∴(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )＝a n ＋1＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝1，∴{a n }是等差数列，公差为1. (2)由(1)知{a n }是等差数列，且d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×1＝n ， ∴a n ＝n 2. 三、探究与拓展13．已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2.(1)数列{1a n }是否为等差数列？说明理由．(2)求a n .解 (1)数列{1a n }是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n＝12＋1a n ，∴1a n ＋1－1a n ＝12，即{1a n }是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n2，∴a n ＝2n .。

《创新设计高考总复习》配套学案：数列

必考解答题——基础满分练(二)数列1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝1－a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log 13a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证∑k ＝1n 1T k＜2.(1)解当n ＝1时，2S 1＝1－a 1,2a 1＝1－a 1，∴a 1＝13；当n ≥2时，⎩⎨⎧2S n ＝1－a n ，2S n －1＝1－a n －1，两式相减得2a n ＝a n －1－a n (n ≥2)，即3a n ＝a n －1(n ≥2)，又a n －1≠0，∴a n a n －1＝13(n ≥2)，∴数列{a n }是以13为首项，13为公比的等比数列． ∴a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . (2)证明由(1)知b n ＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝n ，∴T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n2， ∑k ＝1n1T k ＝21×2＋22×3＋…＋2n (n ＋1) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＜2. 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)． (1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，求出数列{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．解 (1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N *成立，即a n ＝2n 对n ≥2成立，又a 1＝2·1. 所以a n ＝2n 对n ∈N *成立．所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N *成立，所以{a n }是等差数列，所以有S n ＝a 1＋a n 2·n ＝n 2＋n ，n ∈N *. (2)存在．由(1)，得a n ＝2n ，n ∈N *成立，所以有a 3＝6，a 9＝18，又a 1＝2，所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，则b 2b 1＝b 3b 2＝3.所以存在以b 1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n ＝2·3n －1.3．已知数列{a n }是首项a 1＝1的等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是首项b 1＝2的等比数列，且b 2S 2＝16，b 1b 3＝b 4. (1)求a n 和b n ；(2)令c 1＝1，c 2k ＝a 2k －1，c 2k ＋1＝a 2k ＋kb k (k ＝1,2,3，…)，求数列{c n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝2q n －1. 由b 1b 3＝b 4，得q ＝b 4b 3＝b 1＝2，由b 2S 2＝2q (2＋d )＝16，解得d ＝2. ∴a n ＝2n －1，b n ＝2n .(2)∵T 2n ＋1＝c 1＋a 1＋(a 2＋b 1)＋a 3＋(a 4＋2·b 2)＋…＋a 2n －1＋(a 2n ＋nb n )＝1＋S 2n ＋(b 1＋2b 2＋…＋nb n )．令A ＝b 1＋2b 2＋…＋nb n ，则A ＝2＋2·22＋…＋n ·2n ，∴2A ＝22＋2·23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1，∴－A ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1，∴A ＝n ·2n ＋1－2n ＋1＋2.又S 2n ＝2n (1＋a 2n )2＝4n 2，∴T 2n ＋1＝1＋4n 2＋n ·2n ＋1－2n ＋1＋2 ＝3＋4n 2＋(n －1)2n ＋1.4．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{1S n}的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38.(1)解因为数列{a n }是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .依题意，有⎩⎨⎧ S 5＝70，a 27＝a 2a 22，即⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝70，(a 1＋6d )2＝(a 1＋d )(a 1＋21d )，解得a 1＝6，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)． (2)证明由(1)可得S n ＝2n 2＋4n ，所以1S n ＝12n 2＋4n ＝12n (n ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n －1＋1S n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2，因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0，所以T n ＜38，因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，所以数列{T n }是递增数列．所以T n ≥T 1＝16，所以16≤T n ＜38.必考解答题——中档巩固练(一)立体几何1．如图，已知四边形ABCD 是矩形，AB ＝2BC ＝2，△P AB 是正三角形，且平面ABCD ⊥平面PCD .(1)若O 是CD 的中点，证明：BO ⊥P A ； (2)求二面角B －P A －D 的余弦值． (1)证明 ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，AD ⊂平面ABCD ，而四边形ABCD 是矩形，AD ⊥CD ，∴AD ⊥平面PCD .又PD ⊂平面PCD ，∴AD ⊥PD ，同理BC ⊥PC . 直角△ADP 和直角△BCP 中， AD ＝BC ，P A ＝PB ，∴PC ＝PD .取AB 的中点Q ，连接OP ，OQ ，则OC ，OP ，OQ 两两垂直．以O 为原点，分别以OC ，OP ，OQ 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系． ∵AB ＝2BC ＝2，∴A (－1,0,1)，B (1,0,1)．又△P AB 是正三角形，△PCD 是等腰三角形， OP ＝PD 2－OD 2＝P A 2－AD 2－OD 2＝2， ∴P (0，2，0)．从而，BO →＝(－1,0，－1)，P A →＝(－1，－2，1)，BO →·P A →＝－1×(－1)＋0×(－2)＋(－1)×1＝0. 所以BO →⊥P A →，BO ⊥P A .(2)解由(1)，P A →＝(－1，－2，1)，AB →＝(2,0,0)．设平面BP A 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧P A →·n 1＝0，PB →·n 1＝0⇒⎩⎨⎧－x 1－2y 1＋z 1＝0，2x 1＝0，取y 1＝1，解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝1，z 1＝2，所以平面BP A 的一个法向量为n 1＝(0,1，2)．又P A →＝(－1，－2，1)，DA →＝(0,0,1)，设平面DP A 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧P A →·n 2＝0，DA →·n 2＝0⇒⎩⎨⎧－x 2－2y 2＋z 2＝0，z 2＝0，取y 2＝1，解得⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝1，z 2＝0，所以平面DP A 的一个法向量为n 2＝(－2，1,0)．cos<n 1，n 2>＝n 1·n 1|n 1||n 2|＝0×(－2)＋1×1＋2×002＋12＋(2)2·(－2)2＋12＋02＝13. 因为法向量n 1和n 2均指向二面角B －P A －D 外，所以二面角B －P A －D 的平面角与角<n 1，n 2>互补，故二面角B －P A －D 的余弦值为－13.2．如图，几何体ABCD －B 1C 1D 1中，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝a ，平面B 1C 1D 1∥平面ABCD ，BB 1，CC 1，DD 1都垂直于平面ABCD ，且BB 1＝2a ，E 为CC 1的中点，F 为AB 的中点．(1)求证：△DB 1E 为等腰直角三角形； (2)求二面角B 1－DE －F 的余弦值． (1)证明连接BD ，交AC 于O ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，∴BD ＝a ， ∵BB 1，CC 1都垂直于平面ABCD ，∴BB 1∥CC 1，又平面B 1C 1D 1∥平面ABCD ，∴BC ∥B 1C 1， ∴四边形BCC 1B 1为平行四边形，则B 1C 1＝BC ＝a . ∵BB 1，CC 1，DD 1都垂直于平面ABCD ，则DB 1＝DB 2＋BB 21＝a 2＋2a 2＝3a ，DE ＝DC 2＋CE 2＝a 2＋a 22＝6a2，B 1E ＝B 1C 21＋C 1E 2＝a 2＋a 22＝6a 2，∴DE 2＋B 1E 2＝6a 2＋6a 24＝3a 2＝DB 21， ∴△DB 1E 为等腰直角三角形． (2)解取DB 1的中点H ， ∵O ，H 分别为DB ，DB 1的中点，∴OH ∥BB 1，以OA ，OB ，OH 分别为x ，y ，z 轴建立坐标系，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0，22a ，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，2a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，a 4，0，∴DB →1＝(0，a ，2a )，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，22a ，DF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0. 设平面DB 1E 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1·DB →1＝0，n 1·DE →＝0，即ay 1＋2az 1＝0且－32ax 1＋a 2y 1＋22az 1＝0，令z 1＝1，则n 1＝(0，－2，1)，设平面DFE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·DF →＝0，n 2·DE →＝0，即34ax 2＋34ay 2＝0且－32ax 2＋a 2y 2＋22az 2＝0，令x 2＝1，则n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－33，263，则cos<n 1，n 2>＝63＋2633×1＋13＋83＝22，则二面角B 1－DE －F 的余弦值为22.3．在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，且AB ＝P A ＝1a BC (a ＞0)．(1)当a ＝1时，证明：BD ⊥PC ；(2)若BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD ，求此时二面角A －PD －Q 的余弦值．(1)证明连接AC ，当a ＝1时，底面ABCD 为正方形， ∴BD ⊥AC .又∵P A ⊥平面ABCD ，∴BD ⊥P A ，又AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC ， ∴BD ⊥PC .(2)解 ∵AB 、AD 、AP 两两垂直，分别以它们所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，如图所示，不妨设AB ＝1，则B (1,0,0)，D (0，a,0)，C (1，a,0)，P (0,0,1)，设BQ ＝m (0≤m ≤a )，则Q (1，m,0)，PQ→＝(1，m ，－1)，QD →＝(－1，a －m,0)．要使PQ ⊥QD ，只要PQ →·QD →＝－1＋m (a －m )＝0，∴1＝m (a －m )≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋a －m 22，解得a ≥2. 由此可知a ≥2时，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，当且仅当m ＝a －m ，即m ＝a2时，BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD ，由此可知a ＝2，QD→＝(－1,1,0)，DP →＝(0，－2,1)．设平面PQD 的法向量p ＝(x ，y,1)．则⎩⎪⎨⎪⎧p ·QD →＝0p ·DP →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋y ＝0－2y ＋1＝0，解得p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1为平面PQD 的一个法向量．取平面P AD 的一个法向量q ＝(1,0,0)，由图可知，<p ，q >的大小与二面角A －PD －Q 的大小相等， ∴cos<p ，q >＝p ·q |p ||q |＝66，∴二面角A －PD －Q 的余弦值为66.4．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)试在线段A 1D 上确定一点M ，使得CM 与平面A 1BE 所成的角为45°. (1)证明折起前BC ⊥AC ，DE ∥BC ，∴DE ⊥AC . 折起后，仍有DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，∴DE ⊥平面A 1DC ， ∴DE ⊥A 1C .又∵A 1C ⊥CD ，DE ∩CD ＝D ，∴A 1C ⊥平面BCDE .(2)解如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz ，则C (0,0,0)，A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，B (3,0,0)，E (2,2,0)． ∴A 1B →＝(3,0，－23)，BE →＝(－1,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由n ·A 1B →＝n ·BE →＝0，得⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令x ＝2，则y ＝1，z ＝3，∴n ＝(2,1，3)．依题意设DM →＝tDA 1→，又DA 1→＝(0，－2,23)，∴DM →＝(0，－2t,23t )，∴CM →＝CD →＋DM →＝(0,2,0)＋(0，－2t,23t )＝(0,2－2t,23t )．∵CM 与平面A 1BE 所成的角为45°， ∴sin45°＝|cos<n ，CM →>|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CM →|n ||CM →|＝|2－2t＋6t|8×(2－2t)2＋(23t)2＝22，解得t＝12，即DM→＝12DA→，故当M为线段A1D的中点时，CM与平面A1BE所成的角为45°.。

2017--高二数学必修5-数列通项公式求法学案

新学案-------------------------------求通项公式的方法汇总1、{a n}等差数列，a n=________________①、已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=-10 ，求数列{a n}的通项公式；②、已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根，求{a n}的通项公式；③、已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2，求{a n}的通项公式；2、{a n}等比数列，a n=________________①设{a n}是公比为正数的等比数列，a1=2 ,a3=a2+4，。

求{a n}的通项公式②等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1,a3=9a2a6,求数列{a n}的通项公式；一般地，对于型如a n+1=a n+f(n)类的通项公式，且f(1)+f(2)+...+f(n)的和比较好求，我们可以采用此方法来求an。

1{a n}的首项a1＝3，a n－a n－1＝2(n>1)，求它的通项公式．【讲】、数列{a n}中，a1=1,a n－a n-1=2n－1(n=2,3,4…)，求数列{a n}的通项公式.讲解记录：【练】：在数列{a n}中，a1=1,a n+1－a n=2n(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式.解答：当f(n)为常数，即：1a nna+= m（其中q是不为0的常数），此数列为等比且na=1am⋅1{a n}的首项a1＝3，1nnaa-＝2(n>1)，求它的通项公式【讲】：已知数列{a n}满足：a1＝3，1a nna+＝1nn+，求数列{a n}的通项公式.讲解记录：【练】：在数列{a n}中a1＝1，1nnaa-＝11nn-+(n≥2)，求数列的通项公式。

解题过程：若已知数列的前n 项和Sn 或Sn 与a n 的关系的表达式，求数列{a n }的通项a n 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n求解。

数列的通项公式2(ppt整理)

(1)数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an. (2)已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{an}的前n项和，且an＋a1n＝2Sn，求an.
解析： (1)当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝3＋21＝5，上式中a1＝20＝1. ∴n＝1时不符合an＝2n－1， ∴an＝52nn－＝ 1n1≥，2.
1．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，对任意的 n∈N*，都有 Sn＝2－ an，数列{bn}满足 b1＝2a1，bn＝1＋bnb－n1－1(n列，并求{an}的通项公式； (2)判断数列b1n是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．
an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列定义法 aan＋n1＝q(非零常数)⇔{an}是等比数列中项公 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列式法 a2n＋1＝anan＋2(an＋1anan＋2≠0)⇔{an}是等比数列
通项 an＝pn＋q(p，q 为常数)⇔{an}是等差数列公式法 an＝cqn(c，q 均为非零常数)⇔{an}是等比数列前 n 项 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)⇔{an}是等差数列和公式 Sn＝kqn－k(k 为常数，且 q≠0，k≠0，q≠1)⇔{an}是等
1]，
即an－a1＝311－－33n－1－nn－2 1.
又∵a1＝1，∴an＝12×3n－nn－2 1－12.
显然a1＝1也适合上式，
∴{an}的通项公式为an＝12×3n－nn－2 1－12.
(2)∵aan＋n 1＝2n， ∴aa21＝2，aa23＝22，aa43＝23，…，aan－n 1＝2n－1，将上述各式相乘，可得 aa21·aa23·aa43·…·aan－n 1＝2·22·23·…·2n－1， ∴an＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2nn－2 1.

等差数列通项公式学案

（二）教学过程一.复习提问前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，你能列举一些等差数列吗？(1) 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15(2)-3 , 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18(3)70 , 60 , 50 , 40 , 30 , 20 , 10等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.它们都有什么特点？等差数列的定义一般地，如果一个数列n a a a a a .......,,,4321从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，d a a a a a a ==-=-=- (342312)那么这个数列就叫做等差数列。

常数d 叫做等差数列的公差。

即：d a a n n =-+1二、自学指导1、观察等差数列4,7,10,13,16………第6项是多少?第100项是多少呢?第n 项是多少呢?三、反馈评价通项公式的推导例题１：{}求出呢？，而将求出首项能否不中、例题？函数之间有什么联系呢如果是等差数列与一次一定是等差数列么？都是常数那么这个数列，，其中公式为、如果一个数列的通项，如何证明呢？项的等差数列则它的第，公差为是一个首项为、设121n 1a a 24 b k b kn a 32+=---=n n a n d a a {}.,1)1(,1-n da -a .........d a -a d a -a d a -a 2n a 11-n n 342312n 上面的等式也成立时当得个等式的两边分别相加将上面，，，时有，当等差数列=-=-====≥n d n a a n {}1293n a 28a 10a a ，求，中，已知在等差数列==例题二五、分层训练一、必做题１、填空题（求下列各等差数列的公差）(1) -5，-7，-9，…，则d=(2) 1, 3 ,5, 7… 则d=(3) … 则d=2、填空题：(1)已知等差数列３，７，１１，…，则=11a(2)已知等差数列１１，６，１，…，则=n a(3)已知等差数列１０，８，６， …，中，－１０是数列的第（）项二、选做题课本第37页 1，2，5六、思考题：1、已知{}n a 是等差数列，当吗？时，是否一定有q p n m a a a a q p n m +=++=+ 七、作业课本第38页 3，4,23,3,23+-{}d a 1-n 2a a 1n n 和公差首项，求的通项公式为已知等差数列=。

2022-2021学年高二数学苏教版必修5学案：2.1 数列(二) Word版含答案

明目标、知重点 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点争辩数列.2.理解递推公式的含义，能依据递推公式求出数列的前几项．1．数列与函数的关系数列可以看作是以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数，当自变量依据从小到大的挨次依次取值时所对应的一列函数值．2．数列的递推公式假如数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．3．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．[情境导学]某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，假如它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开头也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？对此问题的争辩产生了出名斐波那契数列{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，此数列具有a n＋1＝a n＋a n－1的特性，我们称之为数列的递推公式，这正是本节我们要争辩的重点内容．探究点一数列的函数特性思考1数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？答数列也可以用图象、列表等方法来表示．思考2以数列：2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答(1)通项公式法：a n＝2n.(2)列表法：n123…k…a n246…2k…(3)图象法：思考3与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的生疏．答数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在以下三个方面：①数列的定义域是正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}；②数列中的项是对应序号1,2,3，…的一列函数值；③数列的图象是一些孤立的点，这些点的横坐标按从小到大依次是1,2,3，….例1下图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在下图4个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．解如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a n＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)．反思与感悟由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观看、归纳各项与序号之间的联系，擅长利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到解决问题的目的．跟踪训练1传奇古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上争辩数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角外形，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．答案55解析三角形数依次为1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋10＝55. 探究点二数列的递推公式思考1 观看：1,3,7,15,31,63这些数有什么规律吗？如何用一个代数式表示出该数列的规律？答首项为1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a n ＝2a n －1＋1(n >1)．思考2 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＝3a n －1＋2(n >1)，如何求出a 2，a 3，a 4? 答 a 2＝3a 1＋2＝5，a 3＝3a 2＋2＝17，a 4＝3a 3＋2＝53.小结像思考2给出数列的方法叫递推公式法，其中a n ＝3a n －1＋2(n >1)称为递推公式，递推公式也是数列的一种表示方法．例2 设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1).写出这个数列的前五项．解由题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53，a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85.反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．解 a 1＝2，a 2＝3，a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×2＝5， a 4＝3a 3－2a 2＝3×5－2×3＝9， a 5＝3a 4－2a 3＝3×9－2×5＝17， a 6＝3a 5－2a 4＝3×17－2×9＝33. 探究点三数列的递推公式的应用思考1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n . 答 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋2＋…＋2＝2(n －1)＋1＝2n －1.n －1)个2思考2 若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，求通项a n .答 a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·12·23·…·n －2n －1·n －1n ＝1n .例3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发觉数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 014项？解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…. 发觉：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6，证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n . ∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . ∴数列{a n }是周期数列，且T ＝6. ∴a 2 014＝a 335×6＋4＝a 4＝－1.反思与感悟已知数列递推公式求数列某一项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.解由a 1＝1，a 2＝23且1a n －2＋1a n ＝2a n －1，知当n ＝3时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.当n ＝4时，1a 2＋1a 4＝2a 3，∴1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52，∴a 4＝25.1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是________． ①a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *； ②a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2； ③a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2； ④a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2. 答案 ②2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n ＝________. 答案 3－n解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)共(n －1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n. (1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)a n ＝1n .[呈重点、现规律]1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．通项公式和递推公式的区分：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .一、基础过关1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }的单调性为________． ①递增数列； ②递减数列； ③常数列； ④不能确定．答案 ①2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项为________．答案 12解析 a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，a 4＝12a 3＋18＝12.3．数列{a n }中，a 1＝1，对全部的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案 6116解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 5＝________. 答案 17解析 ∵b n ＝1n b a －，∴b 2＝1b a ＝a 2＝3， b 3＝2b a ＝a 3＝5，b 4＝3b a ＝a 5＝9， b 5＝4b a ＝a 9＝17.5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)，4n －1(n 为正偶数).则它的前4项依次为________．答案 4,7,10,156．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．答案－3解析 a n ≤a n ＋1⇔n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1) ⇔λ≥－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ≥－3.7．依据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n 个图中有多少个点．解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜想第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.8．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋1＋1＋…＋1＝n ＋1.(n －1)个1∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 二、力气提升9．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是________．答案 110解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110.10．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是________．答案 108 解析由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋10818，由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108.∴数列{a n }中的最大值为a 7＝108.11．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n－1⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 014＝________.答案 67解析计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 014除以3余1，所以a 2 014＝a 1＝67.12．依据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)．解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2. (2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n .三、探究与拓展13．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋1n a n，求{a n }的通项公式．解 ∵a n ＋1＝n ＋1n a n ，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n.∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1. 把上述等式相乘，得 a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝2×32×43×…×n n －1，即a na 1＝n ，而a 1＝2，∴a n ＝2n .。

北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件第1章数列培优课1 数列的通项公式问题 (2)

探究点三利用前n项和Sn与an的关系求通项公式
【例3】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,n∈N+,则an等于( A )
A.2n+1 B.2n
C.2n-1
D.2n-2
解析因为Sn=2an-4,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1-4,两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,所以
1 3
,
2 2
=
=
2 4
,
3 3

,
+1
=
3

,…,
4
-1
=
-1
(n≥2),

这 n-1 个式子两边分别相乘,得
2 3 4

· · ·…·
1 2 3
-1

∴
1
又
=
=
1
2 3
-1
× 3 × 4×…× (n≥2).
2
1
.

2
2
2
2
a1= ,∴an= ,n≥2.又 a1= 也适合上式,∴an= ,n∈N+.

=2.因为S1=a1=2a1-4,即a1=4,所
-1
以数列{an}是首项为4,公比为2的等比数列,则an=4×2n-1=2n+1,故选A.
(2)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1<2,6Sn=2 +3an+2,求数列{an}的
通项公式.
解当 n=1 时,6a1=12 +3a1+2 且 a1<2,所以 a1=1.
又当 n=1
1