27向量的线性相关性

an1
即行列式 D = a12 a22
an2 = 0 ?
核心问题！
a1n a2 n
ann
④若方程组(2)有非零解，则1,2,,n线性相关；否则,线性无关.
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特殊方法（举例）
亦即方程组
例7. 讨论下列向量组的线性相关性.
1
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
2
α1
=1, 1
α2
=2, 1
α3
=1, 0
α4
=-4 -3
1
0
2
α1
=
1 1
,
α2
=
2 1
,
α3
=
4 3
1
3
5
解: 对于向量组，显然有
1 0 2 6 α 1= 0 ,α2= 1 ,α3= 2 ,α4= 6 .
即
α3 =2α1+α2 ,
2α 1+1α2+(-1)α3=o,
即存在一组不全为零的数
k1=2,k2=1,k3=-1,
使得
k1α1+k2α2+k3α3=o,
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7.2 线性相关与线性无关
定义2 设有n维向量组1，2， ，m，如果存在一组
不全为零的数 k1，k2， ，km，使
k11+k22+ + kmm=o 成立，则称向量组1，2， ，m线性相关，否则，即只有
当k1，k2， ，km全为0时
k11+k22+ + kmm=o 才成立，则称向量组1，2， ，m线性无关.
所以向量组1, 2, 3,线性相关.
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特殊方法（推导）
对于n个n维向量组成的向量组1，2， ，n，设有一组数
k1，k2， ，kn，使
k11+k22+ + knn=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k11+k22+ +kn n=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12
证明：设有一组数k1 ,k2 ,k3 ,使 k1b1+ k2b2+k3 b3 =o，
即
k1(1+2)+ k2(2+3)+k3 (3+1)=o，
整理得 (k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=o .
因为向量组1，2，3线性无关，所以必有
k1 + x2 + k3 = 0 k1 + k2 + x3 = 0 ， k1 + k2 + k3 = 0
+k2
a22
+...+kn
an2
=
0
a1n a2n
ann 0
a11k1 + a21k2 +
a12k1 + a22k2
+
a1nk1 + a2nk2 +
+ an1kn = 0 + an2kn = 0
+ annkn = 0
从而得向量组1，2， ，n 线性无关(相关)的充分必要条件是:
4. 单位向量组ε1，ε2， ，εn线性无关.
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例5．线性方程组的向量表示(向量方程)
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1
其中,
a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
线性相关性判定方法 一般方法，用于m 个n维向量组的情形. 一般可通过定义
、判定定理及后面向量组的秩等内容进行判定，特别当利用 定义时可使用观察法.
特殊方法，用于n 个n维向量组的情形. 可通过行列式判定.
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一般方法（举例）
练习：讨论下列向量组的线性
例6. 讨论下列向量组的线性相关性. 相关性，其中：
k1
11+k2
12+k3
10+k4
-4 -3
=0, 0
2 3 1 -7 0
103 2 1 2 1 -4
=0, 1 1 0 -3 2 3 1 -7
所以，线性方程组有非零解，
从而，向量组1, 2, 3, 4,线性
相关.
解题要点：找向量方程的 非零解.
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例8．设向量组1，2，3线性无关，令 b1=1+2，b2=2+3， b3=3+1 .试证向量组b1，b2，b3也线性无关.
2
3
1
-7
1 0 3 2 0
11k1
+12k2
+10k3
+--43k4
=0. 0
2 3 1 -7 0
因该方程组的系数行列式
解: 对于向量组1, 2, 3, 4,设有
一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立
k 1 α 1+ k 2 α 2+ k 3 α 3+ k 4 α 4= o ,
即方程组
1 0 3 2 0
3.仅有两个向量构成的向量组线性相关的条件.
4. 单位向量组ε1，ε2， ，εn是否线性相关.
5.
向量组1，
2，
，
线性无关，其部分向量组是
n
否也线性无关.
结论： 1.含有零向量的向量组一定线性相关.
2.仅有一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该 向量为零向量.（一个非零向量线性无关）
3.仅有两个向量构成的向量组线性相关当且仅当 这两个向量的分量对应成比例.
k1
a12
+k2
a22
+...
+kn
an2
=0
或
a1n a2n
ann
0
a12k1 + a22k2 + a1nk1 + a2nk2 +
+ an2kn = 0 + annkn = 0
(2)
③判断上面关于k1, k2, , kn方程组(2)有无非零解?
a11 a21
a1 j
j
=
a2
j
,
j
=
1, 2,..., n
;
a11
a12
a1n
b1
a m j
a21
x1+
a22
x2+ +
a2n
xn =
b2
am1 am
amn
bm
2
b1
b
=
b
2
.
即
1x 1+2x 2++nx n= b ,
b m
或
x 11+ x 2 2++ x n n= b .
a11 a21 D = a12 a22
an1 an2 (=)0 .
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a1n a2n
ann
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特殊方法（解题步骤）
①设有一组数k1，k2， ，kn，使
k11+k22+ + knn=o 成立.
(1)
②通过向量的线性运算,将(1)式化为如下齐次方程组
a11 a21
an1 0 a11k1 + a21k2 + + an1kn = 0
亦即向量方程只有零 解： k1=k2=k3=0.
101 由于 1 1 0 =20，
011
即代数方程组只有零 解： k1=k2=k3=0.
所以方程组只有零解 k1=k2=k3=0 ，从而b1，b2，b3线性无关.
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讨论：1.含有零向量的向量组是否线性相关. 2.仅有一个向量构成的向量组线性相关的条件.