工程力学第8章

ta
50MPa 30 MPa
sa
100 MPa

s x s y
2
cos 2a t x sin 2a
图8-3
求单元体指定斜截面上的应力 图 8-3

100 50 100 50 MPa cos120 MPa = -12.5 MPa 2 2
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8．2
60MPa 80MPa a056.3
图8-5 已知各面应力的单元体
s x s y 2 s max s x s y ( ) t x2 s min 2 2

120MPa 80 30 80 30 2 ( ) (60) 2 2 2 10MPa
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8．2
平面应力状态分析
故 s1=120MPa，s2=0MPa，s3=-10MPa (2) 求主平面的方位。 由式(8-3)得
2t x 2 (60) tan 2a 0 2.4 s x s y 80 30
得
a0=33.7°， a0 = a0 -90°=-56.3°

s x s y
2
sin 2a 0 t x cos 2a 0 0
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(8-2)
魏道德
8．2
由此得出
平面应力状态分析
2t x tan 2a 0 s x s y
（8-3）
在0°～360°的范围内，式(8-3)可以求出相差90°的两个角度 a0和a0+90°，它们确定两个互相垂直的平面，其中一个是最大 正应力所在平面，另一个是最小正应力所在的平面。 比较式（8-1）第二个方程和式（8-2）可见，满足式（8-2）的 a0恰好使ta也等于零。也就是说，在切应力等于零的平面上，正 应力为最大值或最小值。因为切应力为零的平面是主平面，主平 面上的正应力为主应力，所以主应力就是最大或最小的正应力。 从式（8-3）求出sin2a0和cos2a0，并代入式（8-1）的第一个方程， 可以求得最大及最小的正应力，即
s2 s3
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8．3
三向应力状态与广义胡克定律
式（8-7）即为三向应力状态单元体任意斜截面上的正应力和 切应力计算公式。 式（8-7）的3个方程，并不完全独立，联立其中任意两个方 程求解的2个未知数σn和τn ，都满足第三个方程。可以证明：三 向应力状态单元体上正应力和切应力的极值分别为
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8．2
平面应力状态分析
8．2．1 平面应力状态单元体任意斜截面上的应力
如图8-2a所示，设某平面应力状态单元体在x、y平面内的应力 分别为σx、τx和σy、τy，根据切应力互等定理可知τx=-τy。现求任意 α斜截面ef上的应力，其中α为该斜截面的法线n与x轴的夹角，并 规定从x轴的正向出发，逆时针旋转所得的α角为正，反之为负。
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8．2
平面应力状态分析
30MPa 60MPa
例8-3 从受力构件中截取的单元 体，其应力状态如图8-5所示。试其 求主应力和主平面方位。 解 (1) 求主应力大小。将应 力σx=80MPa，σy=30MPa，τx =-60 MPa，代入式（8-4），可得
s3
s1
y
sx
tx
ty ty
sy
tx
sy
sx
ty
x
sy
y
n α
sx
e
tx
ty
b)
f
tx
sx
x sx
tx sa ty sy
c)
a ta
x
Leabharlann Baidu
a)
sy
图8-2 求单元体斜截面上的应力
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8．2
平面应力状态分析
如图8-2b所示，运用截面法，假想地把单元体沿ef面截开，由 分离体的平衡条件，可推导出（推导过程从略）斜截面上的应力 sa 、ta的计算公式，即 s x s y s x s y sa cos 2a t x sin 2a 2 2 （8-1） s x s y ta sin 2a t x cos 2a 2 由此可知，当σx、σy、τx均为已知时，利用式（8-1）可以求 出任意α斜截面上的应力。这种求应力的方法也称为解析法。下 面通过实例来说明解析法的应用。
将②代入式（8-3）得tan2a0的计算表达式的分母为0，说明 2a0=90°或2a0=270°，故a0=45°或a0 =135°。 以上结果表明，从x轴出发，由a0=45°和a0=135°所确定的 斜截面为主平面，其主应力分别为 s1=smax=t，s2=0，s3=smin=- t 纯剪应力状态属于二向应力状态，两个主应力的绝对值相等， 都等于切应力τ， 一个为拉应力，一个为压应力。 圆截面铸铁试件扭转时，表面各点的主应力与轴线成45°倾 角，当该应力达到材料的抗拉强度时，试件将沿主应力方向断裂， 从而形成与轴线成45°的螺旋断口(见图8-4c)。
ta s x s y
2
平面应力状态分析
sin 2a t x cos 2a 100 50 sin120 MPa = 65 MPa 2
斜截面上的正应力sa和切应力ta方向如图8-3所示。
8．2．2 主平面与主应力
利用求函数极值的方法，可以确定单元体上的正应力和切 应力的最大值以及它们所在截面的方位。 对式(8-1)中的第一个方程，令dsa/da =0，由此方程解出来 的角度用a0表示。在a0所确定的截面上，正应力取得极值（也 是最大值和最小值）。即
(s n
s2 s3
2 s s1 2 (s n 3 ) t n2 2 s s2 2 (s n 1 ) t n2 2
)2 t n 2 (
) 2 cos 2 a (s 1 s 2 )(s 1 s 3 ) 2 s 3 s1 2 2 ( ) cos (s 2 s 3 )(s 2 s 1 ) （8-7） 2 s s2 2 ( 1 ) cos 2 (s 3 s 1 )(s 3 s 2 ) 2
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8．1
应力状态概念
8．1．2 应力状态的分类
一般情况下，单元体各斜截面上既存在正应力，又存在切应力。但 可以证明，任何单元体中都存在三个相互垂直的平面，其上的切应力等 于零，
这种平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主平 面的法线方向称为主方向，主方向一般用主平面法线正方向与 坐标轴的正向间夹角来描述。沿主平面截取的单元体称为主单 元体，三个主平面上存在三个主应力，按其代数值大小顺序分 别用σ1、σ2、σ3表示。 根据单元体上不为零的主应力的个数，可将一点处的应力 状态分为3大类，即单向应力状态、二向应力状态和三向应力 状态三种类型。
sx=sy=0，tx = t
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8．2
平面应力状态分析
y A
t s1
D
MT a) MT
t
B
s3
t
45°
b)
t C
M c)
M
图8-4 铸铁试件受扭时的破坏分析
a) 铸铁试件 b) 单元体 c) 断口
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8．2
平面应力状态分析
s x s y 2 s max s x s y ( ) t x 2 t s min 2 2
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8．2
平面应力状态分析
（8-4）
s x s y 2 s max s x s y ( ) t x2 s min 2 2
在平面应力状态中，至少有一个主应力为0，其他两个主应力 分别为式（8-4）所表示的smax和smin，若 smax＞0，smin＜0，则该 单元体的三个主应力分别为：s1=smax，s2=0，s3=smin。 用完全相似的方法，可以确定最大切应力和最小切应力以及 它们所在平面的方位角。在式（8-1）的第二个方程中，令dta/da =0 ，由此方程解出来的角度用a1表示。在a1所确定的截面上，切 应力取得极值（也是最大值和最小值），即
s max s 1 ,s min s 3 ,t max
8．3．2 广义胡克定律
s1 s 3
2
（8-8）
在单向应力状态下的胡克定律与泊松比为：

s
E
,
s
E
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8．3
y
三向应力状态与广义胡克定律
s2 s3 s1 s1
s x s y tan 2a1 2t x
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(8-5)
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8．2
平面应力状态分析
比 较 式 （ 8-3 ） 和 式 （ 8-5 ） 可 见 ， tan2a0· a1=-1 ， 故 tan2 2a1=2a0+π/2，从而a1=a0+π/4，即最大切应力和最小切应力所在 平面与主平面成45°夹角。把式（8-5）代入到式（8-1）的第二 式得：
8．1
应力状态概念
8．1．1 应力状态概念
所谓“应力状态”又称为一点处的应力状态，是指通过受力 构件内部一点的所有方位截面上的应力情况总和。 应力状态分析就是研究不同方位截面上的应力随截面方位 的变化而变化的规律。 为了描述一点处的应力状态，一般是围绕该点取一个微小 的正六面体，该正六面体就称为该点的单元体。单元体的应力 状况代表了它所包围的点的应力状况。因此，一点处的应力状 态可用围绕该点的单元体各面上的应力描述。 如图8-1为在轴向拉伸杆件内围绕某点截取的两种单元体。 在这个单元体六个面上的应力，就代表了这一点的应力状态。 当单元体上各个面上的应力已知时，用截面法可以求出任意方 位截面上的应力。
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8．1
y
应力状态概念
sa
s
x
sα+90°
ta ta sa
b)
s
z a)
sα-90°
图8-1 两种不同方向截面的单元体 a) 沿横截面截取 b) 沿s斜截面截取
单元体各面的名称，按照其法线方向的名称来称谓。如图81a所示的单元体，其左、右面的法线因沿x轴方向，故皆称为x面； 同理，上、下面称为y面，前、后面称为z面。
将a0=33.7°代入式（8-1）的第一个方程，得sa=120MPa，说 明a0=33.7°所确定的平面为主应力 s1所在的平面， a0 =-56.3° 所确定的平面为主应力s3所在的平面（见图8-5）。
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8．3
三向应力状态与广义胡克定律
8．3．1 三向应力状态简介
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8．2
平面应力状态分析
50MPa 30 MPa
例8-1 在图8-3所示的应力 状态中，求指定斜截面上的应 力。 解 由图可知，α=60°， σx= 100MPa，σy =－50MPa ， τx=τy =0。由式（8-1）得
sa s x s y
2
n
600
100 MPa
s x s y 2 t max ( ) t x2 t min 2
（8-6）
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8．2
平面应力状态分析
例8-2 试讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭 时的破坏现象。 解 圆轴扭转时，在横截面的边缘处各点切应力最大，其值为
MT t WP
①
在圆轴的最外层，按图8-4a所示方式取出单元体ABCD，单 元体应力状态如图8-4b所示，故 ② 由图8-4b可知，该单元体侧面上只有切应力，而无正应力。 这种应力状态称为纯剪应力状态。把②代入式（8-4）得：
z s2 z pz px O b) z
s3 s1
y C
B
s1
s3
py A y
B O
sa n
p y
O
C
x
ta A
c)
x
a)
x
s2
图8-6 三向应力状态分析
a) 三向应力状态单元体 b) 截取四面体 c) 斜截面上的应力
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8．3
三向应力状态与广义胡克定律
这里只讨论当三个主应力已知时（见图8-6），任一斜截面上 的应力计算。如图8-6a所示，以任意斜截面ABC从单元体中取出 四面体（见图8-6b）。设ABC的法线n与x、y、z轴夹角分别为 、 、γ。先将斜截面ABC上的总应力p分解成与斜截面垂直的正应 力σn和相切的切应力τn （见图8-6c）。根据平衡条件和方向余弦 关系（cos2α＋cos2β＋cos2γ=1），可以推导出以下关系式（推导 过程从略）：
x
s2 s1 s2 s3