工程力学第8章
工程力学第八章 直梁弯曲
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
工程力学第八章__直梁弯曲
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
工程力学--第八章_圆轴的扭转
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
A
r
B r
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，作类 似的分析。 同样有：
CC= dx=rdf
即得变形几何条件为：
rdf / dx --(1)
剪应变的大小与半径r成
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
G
df
dx
A
r 2dA
MT
3. 力的平衡关系
令：
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
37
（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
38
由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
34
（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
工程力学第八章
l－试验段原长（标距） －试验段原长（标距） ∆l0－试验段残余变形
28
断面收缩率
A A − 1 100 × 00 ψ= A
A －试验段横截面原面积 A1－断口的横截面面积 塑性与脆性材料 塑性材料： δ ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 塑性材料： 脆性材料： δ <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等 脆性材料： 5
第8章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究： ：
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压实例 轴向拉压及其特点 轴向拉压及其特点
2
轴向拉压实例 轴向拉压实例
3
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 ： 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 ：轴向伸长或缩短， 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式 : 拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件 :
37
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件， 对于脆性材料构件，当 σmax＝σb 时，构件断裂
对于塑性材料构件， 后再增加载荷， 对于塑性材料构件，当σmax达到σs 后再增加载荷， σ 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 分布趋于均匀化， 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展, 对构件（ 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展 对构件（塑 性与脆性材料） 性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
33
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－
34
应力集中因数
σmax K= σn
工程力学 第八章 刚体的平面运动
例8.1.曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀 转动。 求： 当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。 a.基点法; b.速度投影法 解：机构中,OA作定轴转动, AB作平面运动,滑块B作平移。
基点法
研究 AB，以 A为基点， 且 v A l , 方向如图示。 根据
vB vA vBA ,
va ve vr vB vA vBA
所以，任意A，B两点，若A为基点，则：
v
B
v
A
v
BA
v
B
v
A
v
BA
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法．
其中
vBA
大小
vBA AB
方向垂直于 AB ，指向同
2 l ( )
在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。
vB v A / sin l / sin 45 vBA v A /tg l / tg 45 l AB vBA / AB l / l
（
）
速度投影法
研究AB, vA l ,
方向OA, vB方向沿BO直线
因此，图形S 的位置决定于x A , y A , 三个独立的参变量．
平面运动方程
x A f1 (t ) yA f2 ( t ) f 3 (t )
1)当图形S上A点固定不动，则刚体将作定轴转动； 2)当图形S上角不变时（ =常数），则刚体将作平移。
故刚体平面的运动可以看成是平移和转动的合成运动。
根据速度投影定理 vB AB vA AB
vB sin vA
vB v A / sin l / sin 45 2l( )
清华出版社工程力学答案-第8章弯曲强度问题
eBook工程力学习题详细解答教师用书(第8章)2011-10-1范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室FAN Qin-Shan ,s Education & Teaching Studio习题8－1 习题8－2 习题8－3 习题8－4 习题8－5 习题8－6 习题8－7 习题8－8 习题8－9 习题8－10 习题8－9 习题8－10习题8－11 习题8－12 习题8－13 习题8－14 习题8－15 习题8－16 习题8－17 习题8－18 习题8－19 习题8－20习题8－21工程力学习题详细解答之八第8章 弯曲强度问题8－1 直径为d 的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为M 的力偶作用，如图所示。
若已知变形后中性层的曲率半径为ρ；材料的弹性模量为E 。
根据d 、ρ、E 可以求得梁所承受的力偶矩M 。
现在有4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) ρ64π4d E M ＝(B) 4π64d E M ρ＝(C) ρ32π3d E M ＝(D) 3π32dE M ρ＝正确答案是 A 。
8－2 矩形截面梁在截面B 处铅垂对称轴和水平对称轴方向上分别作用有F P1和F P2，且F P1=F P2，如图所示。
关于最大拉应力和最大压应力发生在危险截面A 的哪些点上，有4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) +max σ发生在a 点，−max σ发生在b 点M习题8－1图A Ba b cd P2z固定端习题8－2图(B) +max σ发生在c 点，−max σ发生在d 点 (C) +max σ发生在b 点，−max σ发生在a 点 (D) +max σ发生在d 点，−max σ发生在b 点正确答案是 D 。
8－3 关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) 细长梁、弹性范围内加载；(B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。
工程力学第8章第9章作业答案
6.6 107 m m4
• P228 9-1 试求图示各梁指定横截面上的剪力和弯矩。
F=ql/2 q
解：求得支座约束力 B
(c)
A
l/4
1
2
3 3D l/2 l
1C 2
ql FA FB 2
FA
FB
(c)
ql Fs1 2
1 2 M 1 ql 8 1 M 2 ql 2 8 1 M 3 ql 2 8
FB
Fs x1 56 4 x1
M x1 56x1 2x12
Fs x2 24 4x2
40kN 56kN
2 M x2 56 x2 80 x2 4 2 x2
max 56kN
M max 192kN m
192kN.m
A支座右侧截面 C截面
1 M max 113.125 2.156 80 1.656 20 1.6562 83.994kN m 2 M max 83.994 103 Wz 494.08 106 m 3 选择28a号工字钢 Wz 508cm3 6 170 10
Fs max Szmax 113.125 103 max 54.1MPa 2 3 Izb 24.6 10 8.5 10
故选择28a号工字钢。
F
F
F
F
F
q
A
113kN B
h 360mm, b 96mm d 9.0mm, t 16mm
z
* Sz max 96 16 180 8
6×1m=6m
y
180 16 2 385224 10 9 m 3 180 16 9
《工程力学》教学课件 第8章 刚体的平面运动
行四边形，并由图中几何关系得
因此，B 端的速度为
vB
vA
tan
tan vA ， sin φ vA
vB
v BA
设杆 AB 的角速度为 ，由于 vBA AB l ，则
vBA
vA sin φ
l
因此，杆 AB 的角速度为 ω vA l sin φ
03 用瞬心法求平面图形内各点 的速度
3 用瞬心法求平面图形内各点的速度
其方向垂直于 OA； vBA 垂直于杆 AB，大小未知； vB 沿水平方向，大小未知。由此可以得出速度平行
四边形，并由图中几何关系得 其方向水平向左。
vB
vA cos15
162.54
(cm/s)
2 用基点法求平面图形内各点的速度
例 8-2 如图 8-8 所示的机构中，A 端以速度 vA 沿 x 轴负方向运动， AB l 。试求：当杆 AB 与 x 轴负方向的夹角为 φ 时，B 端的速度以及杆 AB 的 角速度。
动可看作是先随基点 A 平动到位置 O2 A1 ，然后再绕点 A1
顺时针转过 2 到位置 O1A1 。
图8-4
1.2 刚体平面运动的分解
实际上平动和转动是同时进行的。当 t 0 时，上述分析就趋近于真实情况。因此，平面图
形的运动，即刚体的平面运动，可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
根据上述分析可知，在平面图形上选取不同的基点，平动的位移 OO1 或 AA1 是不同的。因而， 平动的速度和加速度也是不同的，即平面图形随基点的平动规律与基点的选择有关。
此时车轮的角速度为 ω vO v r 3a
于是可求得点 A，B，D，E 的速度大小为
v 7v vA AC ω (R r) ω (4a 3a) 3a 3
工程力学第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
工程力学课后习题答案第8章题解g
2 ∑ M D = 0 ， FA × 3 + FC × 2 = 0 ， FA = − kN (↓ ) 3 2 ∑ Fy = 0 ， F = 1 kN 3
b 解 图（b1）
FD = FC = 25 kN
图（b2）
FA = 75 kN ， M A = −200 kN ⋅ m
c 解 图（c1）见下页。
62
∑ M C = 0 ， FD = 0 ， ∑ Fy = 0 ， FC+ = 0
图（c2）
∑ M A = 0 ， FB × 2l − ql × 3l − q × 2l × l = 0 , F =
∑ F y = 0 ， FA =
d 解 图（d1） 图（d2）
5 ql 2
1 ql 2
FA = FC = ql (↑ ) FC+ = ql (↓ ) ， FB = 2ql , M B = −3ql 2
8-4 已知梁的剪力图和弯矩图，求各自的载荷图。
(a)
(b)
8-5 利用载荷与内力的微积分关系及对称性和反对称性作图示各梁的剪力图和弯矩图。
(a)
(b)
(c)
(d)
61
8-6
作图示各组合梁的剪力图和弯矩图。
(a)
(b)
a 解 图（a1）
∑ M E = 0 ， FC = 1 kN, ∑ Fy = 0 ， FE = 3 kN
c解
∑ M A = 0 ， − q × 2l × l + FB × 2l + ql 2 = 0 ， FB =
∑ Fy = 0 , FA + FB = 2ql ， FA =
3 ql (↑ ) 2
ql (↑) 2
工程力学课后答案第8章
第8章 压杆稳定习题：1.【解】d 图临界力最大，b 图临界力最小。
2.【解】σBC =11.25MPa <[σst ]=16.83MPa ,BC 杆满足稳定性要求3.【解】最合理的情况为AB 、BC 两杆同时失稳，此时F 最大。
()βθ22222cr cos ππcos AC AB AB l EI l EI F F === ()βθ22222cr sin ππsin AC BC BCl EI l EI F F === 两式相除得到βθ2cot tan =即()βθ2cot arctan = 4. 【解】由于杆端的约束在各个方向相同，因此，压杆将在抗弯刚度最小的平面内失稳，即杆件横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转动。
32123min min b bh hb AI i === 欧拉公式适用于λ≥p λ，即min i l μ≥p2πσE 由此得到 l ≥m 76.1m 10200102105.032π103032π693p =⨯⨯⨯⨯⨯=-σμE b 故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为1.76m 。
5. 【解】（1）F cr =329.64kN（2）n =2.29<[n st ]=2.5，结构不安全6. 【解】（1）求挺杆的柔度挺杆的横截面为圆形，两端可简化为铰支座，μ=1，i=d/4计算柔度λ=μli=4μld=4×1×0.2570.008=128.5λ1=π√EσP =π√210×109240×106=92.9挺杆是细长压杆，使用欧拉公式计算临界压力（2）校核挺杆的稳定性I=πd464=π×0.008464=2.01×10−10m4P cr=π2EI(μl)2=π2×210×109×2.01×10−10(1×0.257)2=6.31kN工作安全系数n=P crP max=6.311.76=3.59所以挺杆满足稳定性要求7. 【解】[F]=53.31kN8. 【解】（1）F cr=355.31kN（2）bℎ=0.525。
工程力学第8章剪应力分析习题及解析
第8章弹性杆件横截面上的切应力分析8-1扭转切应力公式r(p)^M x p/I p的应用范圉有以下几种，试判断哪一种是正确的。
(A)等截面圆轴，弹性范囤内加载：(B)等截面圆轴：(C)等截面圆轴与椭恻轴：(D)等截面圆轴与椭恻轴.弹性范鬧内加较。
知识点：圆轴扭转时横截面上的切应力难度：易解答•正确答案是A cTip) = M x p/l?在推导时利川J'等截面鬪轴受扭后.其横截血保持平血的假设•同时推导过程中还应用了剪切胡克定律.婆求在线弹性范刑加載。
8-2两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后.轴表iftlJJU线转过相同的角度。
设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为耳吨'和r2max,切变模虽分别为Gi和G2O试判断下列结论的正确性。
(A)(B)(C)若G、>G“则有r Inux > r2nux:(D)若G>G“则有右叭沁。
知识点：圆轴扭转时横截面上的切应力难度：易解答•正确答案是c °因两恻轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即/,=/,=/由剪切胡克定律2“知> °2 时，f lnux > r2max °8-3承受相同扭矩且长度相等的直径为山的实心恻轴与内.外径分别为D2(a = d2/D2)的空心圆轴.二者横截面上的垠大切应力相等。
关于二者重之比(M/WJ有如下结论.试判断哪一种是正确的。
(A)(l-a4严；(B)(l-a4)V2(l-a2)：(C)(l-^Xl-a2)：(D)(1 一a」)的/(I一小)。
知识点：组合圆轴扭转时横截面上的切应力难度：难解答•\6M X I6M正确答案是D即A-d-a4)7D2匹=如=必W2人D;(l-a2)习题8/图⑴代入(2〉.得8-4由两种不同材料组成的圆轴，里层和外 层材料的切变模址分别为Gi 和Gi.且G = 2G 2. 圆轴尺寸如图所示。
圆轴受扭时.里、外层之间无相对滑动。
第八章园轴的扭转_工程力学
第八章 圆轴的扭转工程构件一般可分为三类。
第四章已指出：杆是某一方向尺寸远大于其它二方向尺寸的构件，若杆件的轴线为直线，则称为直杆。
此外，若构件在某一方向的尺寸远小于其它二方向的尺寸，称之为板。
若构件在x 、y 、z 三个方向的尺寸具有相同的数量级，则称为块体。
本课程主要讨论直杆，这是一种最简单的构件。
如同4.4节所述，在空间任意力系的作用下，杆件截面内力的最一般情况是六个分量都不为零，其变形是很复杂的。
为了简化讨论，我们将杆的基本变形分成为三类，即拉压、扭转、弯曲，如图4.3所示。
前面已经讨论了在轴向载荷作用下杆的拉伸和压缩；现在再来研究杆的另一类基本变形，即扭转问题。
§8.1扭转的概念和实例工程中承受扭转的构件是很常见的。
如图8.1所示的汽车转向轴，驾驶员操纵方向盘将力偶作用于转向轴AB 的上端，转向轴的下端B 则受到来自转向器的阻抗力偶的作用，使转向轴AB 发生扭转。
又如图8.2中的传动轴，轮C 上作用着主动力偶矩，使轴转动；轮D 输出功率，受到阻力偶矩的作用，轴CD 也将发生扭转。
以上二例都是承受扭转的构件实例。
由于工程中承受扭转的构件大多为圆截面直杆，故称之为轴。
本章亦仅限于讨论直圆轴的扭转问题。
图8.2 传动轴图8.3所示为等截面直圆轴扭转问题的示意图。
扭转问题的受力特点是：在各垂直于轴线的平面内承受力偶作用。
如在图8.3中，圆轴AB 段两端垂直于轴线的平面内，各作用有一个外力偶M 0，此二力偶的力偶矩相等而转向相反，故是满足平衡方程的。
圆轴扭转问题的变形特点是：在上述外力偶系的作用下，圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动；任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭转角，以φ表示。
图8.3中，φAB 表示截面B 相对于截面A 的扭转角。
必须指出，工程中的传动轴，除受扭转作用外，往往还伴随有弯曲、拉伸(压缩)等其它形式的变形。
这类问题属于组合变形，将在以后研究。
§8.2 扭矩与扭矩图已知轴所传递的功率、转速，可利用6.3节提供的“功率、转速与传递的扭矩之关系”来计算作用于传动轴上的外力偶矩M 0。
第8章弯曲刚度(完整版)
因此，对于某根具体的梁，只要列出它的弯矩 方程M = M(x)，将其代入 EIw( x ) M ( x ) ，对
x连续积分后有：
EIw M ( x ) dx C1 EIw [ M ( x ) dx ] dx C1 x C 2
利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角 方程 = (x) = w'(x)和挠度方程 w = w (x) ，从而也 就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了。
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弯曲刚度
5
1.梁的曲率与位移
根据上一章所得 到的结果，弹性范围 内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横 截面上的弯矩、弯曲
刚度之间存在下列关
系：
M ＝ EI
1
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6
2.挠度与转角的相互关系 梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变， 这种位置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：
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19
（2）位移边界条件
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束 条件是指约束对于挠度和转角的限制： 在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于
零：w=0;
在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零： w=0， θ ＝0。 连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲 成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及
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9
3.研究梁的挠度和转角的目的：
(1) 对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大 挠度是否超过按要求所规定的容许值；
(2) 解超静定梁。如下图所示梁。
F1 A FA FC
C
F2 B FB
工程力学第8章剪切与挤压
[]
[ ] [σbs ] = (1.7 − 2.0)[σ ]
[τ ] = (0.8−1.0)[σ ] [σbs ] = (0.9 −1.5)[σ ]
可从有关设计规范中查得
Hale Waihona Puke 例1：已知：δ =2 mm，b =15 mm，d =4 mm，[τ ] =100 MPa， 已知： ， ， ， ， [σ] bs =300 MPa，[σ ]=160 MPa。 试求：[F] ， 。 试求： 解： 1、剪切强度 、
F
A = πdt
冲孔所需要的冲剪力： 冲孔所需要的冲剪力： 故
F t
3
F
F ≥ Aτu
400×10 A≤ = τu 300×106 F
剪切面
=1.33×10−3 m2
即
1.33×10−3 t≤ = 0.1245m =12.45mm πd
8.1
剪切的概念于实用计算 工程实际中用到各种各样的连接， 工程实际中用到各种各样的连接，如： 铆钉连接
销轴连接
平键连接
榫连接
一、剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相 剪切受力特点： 方向相反且作用线相距很近。 等、方向相反且作用线相距很近。 变形特点： 变形特点：构件沿两力作用线之间的某一截面产生 相 对错动或错动趋势。 对错动或错动趋势。 剪床剪钢板
三、剪切的实用计算
F F
剪切面上的内力 用截面法—— Fs 用截面法
F
m m
F
实用计算中假设切应力在剪切 截面） 面（m-m截面）上是均匀分布的 截面
Fs 名义切应力计算公式： 名义切应力计算公式： τ = A
剪切强度条件： 剪切强度条件： 度条件
F
m
工程力学 第8章 扭转
G1=G2=G
G1=2G2
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§8-3 圆杆扭转时的应力与变形
19
将横截面上分布的切应力汇总即等于横截面上的扭矩，于是
T = ∫A τ ρ ⋅ ρ ⋅ d A ⇒ dφ T = d x GI p
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§8-3 圆杆扭转时的应力与变形
20
等直圆杆受扭时横截面上任一点处的切应力 切应力： 切应力 几何关系 ⇒ γ ρ = ρ ( 物理关系
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截面几何性质
2
极惯性矩： 1.概念 任意截面如图所示，其面积为A，在矢径为 ρ 的任一点处，取微面 积dA，则下述面积分，称为截面对原点O的极惯性矩或截面二次极 矩。
O ρ dA z
I P = ∫ ρ 2 dA
A
y
截面的极惯性矩恒为正，量纲为L4。
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截面几何性质
3
2.圆截面的极惯性矩 a.薄壁圆截面 平均半径为R0，厚为 δ的薄壁圆截面如图 所示，此薄壁圆截面 的极惯性矩为
§8-1 扭矩和扭矩图
6
Me a
O
m b
O′
Me
b′ m m T x m Me l B
A
亦可以取右段杆来分析： ∑Mx= 0 T - Me =0 即T = Me
B
截取杆件的不同部分分析，应该得到相同的结果。
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§8-1 扭矩和扭矩图
7
思考题：分析轴的左边部分，得出的结果是扭矩T的方向向右。但 是如果分析轴的右边部分，得出的结果是轴力T 的方向向左。那么 横截面m-m上的轴力方向到底是向左还是向右？ 答：不矛盾，内力的作用效果只是变形效应，它们作用效果相同。
工程力学基础第8章 应力、应变和应力应变关系
第8章 应力、应变和应力-应变关系
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
一点处的应力状态 平面应力状态分析 应变状态分析 广义胡克定律 材料失效和失效判据
第一节 一点处的应力状态
一、引言 在本章中，将应用微元体法，从力、变形、力与变形的关系三 方面研究变形固体内一点处的性态。本章的内容覆盖了固体力 学的三大理论基础：应力理论、应变理论和本构关系(主要是对 理想弹性体)。在此基础上建立复杂受载条件下，材料的失效判 据和构件的强度设计准则，从而为解决杆件在复杂受载条件下 的强度、刚度和稳定性问题创造条件。
（1）一点处的应变状态由六个应变分量εx、εy、εz、γxy、γyz、 γzx完全决定，即由它们可以确定该点处任一方向的线应变和任
第三节 应变状态分析
（2）在任一点处都存在三个互相垂直的方向，它们在变形过 程中保持垂直，即切应变为零，这三个方向称为应变主方向， 沿应变主方向的线应变称为主应变，记为ε1≥ε2≥ε3。主应变ε1 和ε3 试验证明，对于各向同性的线弹性材料的小变形问题，应变主 方向与应力主方向重合，即一对切应力为零的正交截面在变形 过程中保持垂直。应变和应力由材料的力学性能相联系。在工 程中除接触应力等少数情形外，直接测量应力是很困难的，而 变形则比较容易测量。通常是从测得的应变来确定应力。应变 分析的实际意义在于：通过测得的应变确定主方向和主应变，
第一节 一点处的应力状态 三、主应力和主方向 如果微元体某对截面上的切应力等于零，该对截面就称为主平 面，主平面的法向称为主方向，主平面上的正应力称为主应力。 按不等于零的主应力的个数分类，可以把一点处的应力状态分
（1）单向(单轴)应力状态，也称为简单应力状态，只有一个主 应力不为零，如受轴向拉压的直杆和纯弯曲直梁中各点处的应
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s2 s1 s2 s3
将②代入式（8-3）得tan2a0的计算表达式的分母为0，说明 2a0=90°或2a0=270°，故a0=45°或a0 =135°。 以上结果表明，从x轴出发，由a0=45°和a0=135°所确定的 斜截面为主平面，其主应力分别为 s1=smax=t，s2=0，s3=smin=- t 纯剪应力状态属于二向应力状态，两个主应力的绝对值相等， 都等于切应力τ， 一个为拉应力，一个为压应力。 圆截面铸铁试件扭转时，表面各点的主应力与轴线成45°倾 角，当该应力达到材料的抗拉强度时，试件将沿主应力方向断裂， 从而形成与轴线成45°的螺旋断口(见图8-4c)。
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8．2
平面应力状态分析
故 s1=120MPa，s2=0MPa，s3=-10MPa (2) 求主平面的方位。 由式(8-3)得
2t x 2 (60) tan 2a 0 2.4 s x s y 80 30
得
a0=33.7°， a0 = a0 -90°=-56.3°
将a0=33.7°代入式（8-1）的第一个方程，得sa=120MPa，说 明a0=33.7°所确定的平面为主应力 s1所在的平面， a0 =-56.3° 所确定的平面为主应力s3所在的平面（见图8-5）。
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8．3
三向应力状态与广义胡克定律
8．3．1 三向应力状态简介
60MPa 80MPa a056.3
图8-5 已知各面应力的单元体
s x s y 2 s max s x s y ( ) t x2 s min 2 2
120MPa 80 30 80 30 2 ( ) (60) 2 2 2 10MPa
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8．2
平面应力状态分析
30MPa 60MPa
例8-3 从受力构件中截取的单元 体，其应力状态如图8-5所示。试其 求主应力和主平面方位。 解 (1) 求主应力大小。将应 力σx=80MPa，σy=30MPa，τx =-60 MPa，代入式（8-4），可得
s3
s1
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8．2
平面应力状态分析
50MPa 30 MPa
例8-1 在图8-3所示的应力 状态中，求指定斜截面上的应 力。 解 由图可知，α=60°， σx= 100MPa，σy =－50MPa ， τx=τy =0。由式（8-1）得
sa s x s y
2
n
600
100 MPa
y
sx
tx
ty ty
sy
tx
sy
sx
ty
x
sy
y
n α
sx
e
tx
ty
b)
f
tx
sx
x sx
tx sa ty sy
c)
a ta
x
a)
sy
图8-2 求单元体斜截面上的应力
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8．2
平面应力状态分析
如图8-2b所示，运用截面法，假想地把单元体沿ef面截开，由 分离体的平衡条件，可推导出（推导过程从略）斜截面上的应力 sa 、ta的计算公式，即 s x s y s x s y sa cos 2a t x sin 2a 2 2 （8-1） s x s y ta sin 2a t x cos 2a 2 由此可知，当σx、σy、τx均为已知时，利用式（8-1）可以求 出任意α斜截面上的应力。这种求应力的方法也称为解析法。下 面通过实例来说明解析法的应用。
s x s y tan 2a1 2t x
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(8-5)
主编8．2平面应力态分析比 较 式 （ 8-3 ） 和 式 （ 8-5 ） 可 见 ， tan2a0· a1=-1 ， 故 tan2 2a1=2a0+π/2，从而a1=a0+π/4，即最大切应力和最小切应力所在 平面与主平面成45°夹角。把式（8-5）代入到式（8-1）的第二 式得：
s x s y
2
sin 2a 0 t x cos 2a 0 0
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(8-2)
魏道德
8．2
由此得出
平面应力状态分析
2t x tan 2a 0 s x s y
（8-3）
在0°～360°的范围内，式(8-3)可以求出相差90°的两个角度 a0和a0+90°，它们确定两个互相垂直的平面，其中一个是最大 正应力所在平面，另一个是最小正应力所在的平面。 比较式（8-1）第二个方程和式（8-2）可见，满足式（8-2）的 a0恰好使ta也等于零。也就是说，在切应力等于零的平面上，正 应力为最大值或最小值。因为切应力为零的平面是主平面，主平 面上的正应力为主应力，所以主应力就是最大或最小的正应力。 从式（8-3）求出sin2a0和cos2a0，并代入式（8-1）的第一个方程， 可以求得最大及最小的正应力，即
sx=sy=0，tx = t
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8．2
平面应力状态分析
y A
t s1
D
MT a) MT
t
B
s3
t
45°
b)
t C
M c)
M
图8-4 铸铁试件受扭时的破坏分析
a) 铸铁试件 b) 单元体 c) 断口
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8．2
平面应力状态分析
s x s y 2 s max s x s y ( ) t x 2 t s min 2 2
ta s x s y
2
平面应力状态分析
sin 2a t x cos 2a 100 50 sin120 MPa = 65 MPa 2
斜截面上的正应力sa和切应力ta方向如图8-3所示。
8．2．2 主平面与主应力
利用求函数极值的方法，可以确定单元体上的正应力和切 应力的最大值以及它们所在截面的方位。 对式(8-1)中的第一个方程，令dsa/da =0，由此方程解出来 的角度用a0表示。在a0所确定的截面上，正应力取得极值（也 是最大值和最小值）。即
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8．1
应力状态概念
8．1．2 应力状态的分类
一般情况下，单元体各斜截面上既存在正应力，又存在切应力。但 可以证明，任何单元体中都存在三个相互垂直的平面，其上的切应力等 于零，
这种平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主平 面的法线方向称为主方向，主方向一般用主平面法线正方向与 坐标轴的正向间夹角来描述。沿主平面截取的单元体称为主单 元体，三个主平面上存在三个主应力，按其代数值大小顺序分 别用σ1、σ2、σ3表示。 根据单元体上不为零的主应力的个数，可将一点处的应力 状态分为3大类，即单向应力状态、二向应力状态和三向应力 状态三种类型。
ta
50MPa 30 MPa
sa
100 MPa
s x s y
2
cos 2a t x sin 2a
图8-3
求单元体指定斜截面上的应力 图 8-3
100 50 100 50 MPa cos120 MPa = -12.5 MPa 2 2
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8．2
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8．2
平面应力状态分析
8．2．1 平面应力状态单元体任意斜截面上的应力
如图8-2a所示，设某平面应力状态单元体在x、y平面内的应力 分别为σx、τx和σy、τy，根据切应力互等定理可知τx=-τy。现求任意 α斜截面ef上的应力，其中α为该斜截面的法线n与x轴的夹角，并 规定从x轴的正向出发，逆时针旋转所得的α角为正，反之为负。
s x s y 2 t max ( ) t x2 t min 2
（8-6）
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8．2
平面应力状态分析
例8-2 试讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭 时的破坏现象。 解 圆轴扭转时，在横截面的边缘处各点切应力最大，其值为
MT t WP
①
在圆轴的最外层，按图8-4a所示方式取出单元体ABCD，单 元体应力状态如图8-4b所示，故 ② 由图8-4b可知，该单元体侧面上只有切应力，而无正应力。 这种应力状态称为纯剪应力状态。把②代入式（8-4）得：
s max s 1 ,s min s 3 ,t max
8．3．2 广义胡克定律
s1 s 3
2
（8-8）
在单向应力状态下的胡克定律与泊松比为：
s
E
,
s
E
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8．3
y
三向应力状态与广义胡克定律
s2 s3 s1 s1
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8．1
y
应力状态概念
sa
s
x
sα+90°
ta ta sa
b)
s
z a)
sα-90°
图8-1 两种不同方向截面的单元体 a) 沿横截面截取 b) 沿s斜截面截取
单元体各面的名称，按照其法线方向的名称来称谓。如图81a所示的单元体，其左、右面的法线因沿x轴方向，故皆称为x面； 同理，上、下面称为y面，前、后面称为z面。