机器人学导论--轨迹规划 ppt课件
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机器人学_第七讲 轨迹规划
c0 30 c1 0 c2 2.5 c3 1.6 c4 0.58 c5 0.0464
(t) 30 2.5t 2 1.6t3 0.58t 4 0.0464t5 (t) 5t 4.8t 2 2.32t3 0.232t 4 (t) 5 9.6t 6.96t 2 0.928t3
策略 3
θ1 θ2 20 30
14 55
时
16 69
间
21 77
29 81
40 80
第七讲 3 轨迹规划的基本原理
平面两关节机器人的简单例子：
策略 1
策略 3
策略 2 策略 4
第七讲 3 轨迹规划的基本原理
平面两关节机器人的简单例子，要求经过中间点的情况：
C y
B B’
A
C y
B B’
注意：这里讨论的是
A 末端的轨迹规划
x O1
直接走折线会有冲击，或者 造成机器人运动产生停顿。
O1 C
y
D B
x
E A
x O1
第七讲 4 关节空间的轨迹规划
三次多项式规划
以某一关节角为例
初始位姿 i
期望末端位姿 f
三次多项式： (t) c0 c1t c2t 2 c3t 3
边界条件：
ti 0
(ti ) i
角度 速度 加速度
3
4
5
6
秒
c0 30 c1 0 c2 5.4 c3 0.72
第七讲 4 关节空间的轨迹规划
讨论1： 三次多项式规划里能否指定起始点和终点的加速度？
例7.1
120
100
(ti ) 30 (ti ) c0 i
80
(t f ) 75 (t f ) c0 c1t f c2t f 2 c3t f 3
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关节变量
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2
1.2 描述：位置、姿态和坐标系
位置描述
一旦建立坐标系，就能用一
个3*1的位置矢量对世界坐标 系中的任何点进行定位。因 为在世界坐标系中经常还要 定义许多坐标系，因此在位 置矢量上附加一信息，标明 是在哪一坐标系中被定义的。
例如：AP表示矢量P在A坐标系中的表示。
BP 表示矢量P在B坐标系中的表示。
c os90
c os120 c os30 c os90
XB XA
X
B
YA
X B Z A
c os90 c os90 cos0
]
YB X A YB YA YB Z A
ZB XA
ZB
YA
ZB Z A
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5
坐标系的变换
完整描述上图中操作手位姿所需的信息为位置和姿态。机器人学中
在从多重解中选择解时，应根据具体情况，在避免碰撞的前 提下通常按“最短行程”准则来选择。同时还应当兼顾“多 移动小关节，少移动大关节”的原则。
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23
4 PUMA560机器人运动学反解-反变换法
❖ 由于z4 , z5, z6 交于一点W,点W在基础坐标系中的位置仅与 1,2,3
有关。据此，可先解出 1,2,3 ，再分离出 4 ,5,6 ，并逐
PUMA560变换矩阵
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21
将各个连杆变换矩阵相乘便得到PUMA560手臂变换矩阵
06T 01T (1)21T (2 )23T (3 )34T (4 )45T (5 )56T (6 )
什么是机器人运动学正解？ 什么是机器人运动学反解？
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22
操作臂运动学反解的方法可以分为两类：封闭解和数值解、 在进行反解时总是力求得到封闭解。因为封闭解的计算速度 快，效率高，便于实时控制。而数值法不具有些特点为。 操作臂的运动学反解封闭解可通过两种途径得到：代数解和 几何解。 一般而言，非零连杆参数越多，到达某一目标的方式也越多， 即运动学反解的数目也越多。
第3章 机器人轨迹规划
二 机器人轨迹控制过程
机器人的基本操作方式是示教-再现，即首先教机 器人如何做，机器人记住了这个过程，于是它可以根 据需要重复这个动作。操作过程中，不可能把空间轨 迹的所有点都示教一遍使机器人记住，这样太繁琐， 也浪费很多计算机内存。实际上，对于有规律的轨 迹，仅示教几个特征点，计算机就能利用插补算法获 得中间点的坐标，如直线需要示教两点，圆弧需要示 教三点，通过机器人逆向运动学算法由这些点的坐标 求出机器人各关节的位置和角度(1, …, n)，然后由
图3.4 空间直线插补
第3章 机器人轨迹规划
3.3 机器人轨迹插值计算
为减少实时计算量，示教完成后，可求出：
直线长度 L X e X 0 2 Ye Y0 2 Z e Z 0 2 ts间隔内行程d = vts； 插补总步数N为L/d+1的整数部分 各轴增量 X X e X 0 / N
无
离线路径规划+在线路径 跟踪 位置控制
本章主要讨论连续路径的无障碍轨迹规划方法。
第3章 机器人轨迹规划
3.2 插补方式分类与轨迹控制
一 插补方式分类
路径控制 点位控制 PTP 不插补 (1) 各轴独立 快速到达。 (2) 各关节最 大加速度限制
表3.2 路径控制与插补方式分类
关节插补(平滑) (1)各轴协调运动定时插补。 (2) 各关节最大加速度限制 空间插补
第3章 机器人轨迹规划
3.1 机器人轨迹规划概述
图3.1 机器人将销插入工件孔中的作业描述
第3章 机器人轨迹规划
3.1 机器人轨迹规划概述
三 轨迹的生成方式
运动轨迹的描述或生成有以下几种方式： (1) 示教-再现运动。这种运动由人手把手示教机器人， 定时记录各关节变量，得到沿路径运动时各关节的位移时间 函数q(t)；再现时，按内存中记录的各点的值产生序列动作. (2) 关节空间运动。这种运动直接在关节空间里进行。由 于动力学参数及其极限值直接在关节空间里描述，所以用这 种方式求最短时间运动很方便。 (3) 空间直线运动。这是一种直角空间里的运动，它便于 描述空间操作，计算量小，适宜简单的作业。 (4) 空间曲线运动。这是一种在描述空间中用明确的函数 表达的运动，如圆周运动、螺旋运动等。
机器人的基本操作方式是示教-再现，即首先教机 器人如何做，机器人记住了这个过程，于是它可以根 据需要重复这个动作。操作过程中，不可能把空间轨 迹的所有点都示教一遍使机器人记住，这样太繁琐， 也浪费很多计算机内存。实际上，对于有规律的轨 迹，仅示教几个特征点，计算机就能利用插补算法获 得中间点的坐标，如直线需要示教两点，圆弧需要示 教三点，通过机器人逆向运动学算法由这些点的坐标 求出机器人各关节的位置和角度(1, …, n)，然后由
图3.4 空间直线插补
第3章 机器人轨迹规划
3.3 机器人轨迹插值计算
为减少实时计算量，示教完成后，可求出：
直线长度 L X e X 0 2 Ye Y0 2 Z e Z 0 2 ts间隔内行程d = vts； 插补总步数N为L/d+1的整数部分 各轴增量 X X e X 0 / N
无
离线路径规划+在线路径 跟踪 位置控制
本章主要讨论连续路径的无障碍轨迹规划方法。
第3章 机器人轨迹规划
3.2 插补方式分类与轨迹控制
一 插补方式分类
路径控制 点位控制 PTP 不插补 (1) 各轴独立 快速到达。 (2) 各关节最 大加速度限制
表3.2 路径控制与插补方式分类
关节插补(平滑) (1)各轴协调运动定时插补。 (2) 各关节最大加速度限制 空间插补
第3章 机器人轨迹规划
3.1 机器人轨迹规划概述
图3.1 机器人将销插入工件孔中的作业描述
第3章 机器人轨迹规划
3.1 机器人轨迹规划概述
三 轨迹的生成方式
运动轨迹的描述或生成有以下几种方式： (1) 示教-再现运动。这种运动由人手把手示教机器人， 定时记录各关节变量，得到沿路径运动时各关节的位移时间 函数q(t)；再现时，按内存中记录的各点的值产生序列动作. (2) 关节空间运动。这种运动直接在关节空间里进行。由 于动力学参数及其极限值直接在关节空间里描述，所以用这 种方式求最短时间运动很方便。 (3) 空间直线运动。这是一种直角空间里的运动，它便于 描述空间操作，计算量小，适宜简单的作业。 (4) 空间曲线运动。这是一种在描述空间中用明确的函数 表达的运动，如圆周运动、螺旋运动等。
第4章 轨迹规划
（3）计算机求出 (1, …, n)，
（4）控制系统实现预期轨迹。
4.3 机器人轨迹插值计算
给出结点（位置姿态）； 进行运动学反解； 关节变量的插值计算； 位置伺服系统实现。
每隔一个时间间隔ts完成一次
4.3.1 直线插补 直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补
算法。对于其他轨迹，可以采用直线或圆弧逼近，以 实现这些轨迹。
0T6 6TT= 0TB Bpi
0T6=0TB Bpi 6T-1T
0T6=0TB Bpi+1 6T-1T 式中：6TT 为工具坐标系{T}相对末端连杆系{6}的变换；
BPi和BPi+1分别为两结点Pi和Pi+1相对坐标系{B}的齐次变换。 可将气动手爪从结点Pi到结点Pi+1的运动看成是与气动手爪 固接的坐标系的运动，按前述运动学知识可求其解。
对工业机器人来说，高层的任务规划和动作规划一 般是依赖人来完成的。
一般的工业机器人不具备力的反馈，所以，工业机 器人通常只具有轨迹规划的和底层的控制功能。
轨迹规划的目的：将操作人员输入的任务描述变为 详细的运动轨迹描述。
对一般的工业机器人来说，操作员可能只输入机械 手末端的目标位置和方位，而规划的任务便是要确 定出达到目标的关节轨迹、运动的时间和速度等。
后两项插值依据
一、三次多项式插值
0 0
tf
f
&0 0
&tf
0
t a0 a1t a2t2 a3t3
满足连续平稳运动要求的三次多项式插值函数为 关节角速度和角加速度的表达式为
二、过路径点的三次多项式插值
机器人作业路径在多个点上有位姿要求
把每个关节上相邻的两个路径点分别看做起始点和 终止点，确定相应的三次多项式插值函数。
（4）控制系统实现预期轨迹。
4.3 机器人轨迹插值计算
给出结点（位置姿态）； 进行运动学反解； 关节变量的插值计算； 位置伺服系统实现。
每隔一个时间间隔ts完成一次
4.3.1 直线插补 直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补
算法。对于其他轨迹，可以采用直线或圆弧逼近，以 实现这些轨迹。
0T6 6TT= 0TB Bpi
0T6=0TB Bpi 6T-1T
0T6=0TB Bpi+1 6T-1T 式中：6TT 为工具坐标系{T}相对末端连杆系{6}的变换；
BPi和BPi+1分别为两结点Pi和Pi+1相对坐标系{B}的齐次变换。 可将气动手爪从结点Pi到结点Pi+1的运动看成是与气动手爪 固接的坐标系的运动，按前述运动学知识可求其解。
对工业机器人来说，高层的任务规划和动作规划一 般是依赖人来完成的。
一般的工业机器人不具备力的反馈，所以，工业机 器人通常只具有轨迹规划的和底层的控制功能。
轨迹规划的目的：将操作人员输入的任务描述变为 详细的运动轨迹描述。
对一般的工业机器人来说，操作员可能只输入机械 手末端的目标位置和方位，而规划的任务便是要确 定出达到目标的关节轨迹、运动的时间和速度等。
后两项插值依据
一、三次多项式插值
0 0
tf
f
&0 0
&tf
0
t a0 a1t a2t2 a3t3
满足连续平稳运动要求的三次多项式插值函数为 关节角速度和角加速度的表达式为
二、过路径点的三次多项式插值
机器人作业路径在多个点上有位姿要求
把每个关节上相邻的两个路径点分别看做起始点和 终止点，确定相应的三次多项式插值函数。
机器人技术 第五章 轨迹规划 ppt课件
0 00 0 0 00 0
0 0
0
a
4
0 b0
0
0
0
C 0 0
2 61 f 121 f 2 0 0 2
ppt课件
4
关节空间轨迹规划
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5
关节空间轨迹规划
ppt课件
6
直角坐标空间轨迹规划
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对关节加速 度要求较高
7
直角坐标空间轨迹规划
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8
经过中间点的直角坐标空间轨迹规划
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9
关节空间轨迹规划
三次多项式轨迹规划 五次多项式轨迹规划 抛物线过渡的线性插值法
1f
0 0 4
1f
00 00 00
0 0 0
0 00 0 0 00 0 0 00 0
0 0 0
0 a0
0
a1
0 0Байду номын сангаас
aa32
B
0
0 0
0 1
0 2 1 f
0 3 1 f 2
0 4 1 f 3
10 0 1
0 0
(t)3 c0 c1t c2t 2 c3t 3 c4t 4
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23
把已知条件带入上述三个多项式，得
A 1 0 0
0
0 00 0 0 00 0 0
BAA
0 1 0 0 1 1 f
0 2 2
1f
0 0 3
第五章 轨迹规划
轨迹规划的基本原理 关节空间轨迹规划 直角坐标空间轨迹规划
机器人学基础机器人轨迹规划蔡自兴课件
Part
02
机器人轨迹规划概述
轨迹规划的定义
轨迹规划是指根据机器人作业任务的 要求，通过一系列算法和计算，为机 器人确定从起始位置到目标位置的路 径和姿态变化过程。
轨迹规划的主要目标是确保机器人在 运动过程中安全、平稳、高效地完成 作业任务，同时避免与环境和其他物 体发生碰撞。
轨迹规划的分类
01
03
总结词：权威性强
THANKS
感谢您的观看
机器人轨迹规划的挑战与展望
面临的挑战
环境不确定性
机器人所处的环境常常具有不确 定性，如障碍物突然出现、动态 变化等，需要机器人具备快速适 应和调整的能力。
实时性要求
许多应用场景要求机器人的运动 轨迹规划具有实时性，能够快速 响应外界变化。
高精度要求
在某些应用场景中，如工业制造 、医疗手术等，机器人需要实现 高精度的轨迹跟踪和定位。
第三阶段
20世纪90年代，随着人工智能技 术的进步，机器人开始具备自主 学习和决策能力。
机器人的应用领域
工业领域
机器人广泛应用于汽车制造、电子制造、金 属加工等工业生产线上，提高生产效率和产 品质量。
服务领域
机器人可以提供各种服务，如家庭服务、餐饮服务 、医疗服务等，提高服务质量和效率。
军事领域
机器人可以用于军事侦察、排雷、攻击等任 务，提高军事行动的安全性和效率。
机器人学基础机器人 轨迹规划蔡自兴课件
• 机器人学基础概念 • 机器人轨迹规划概述 • 机器人轨迹规划技术 • 机器人轨迹规划的应用实例 • 机器人轨迹规划的挑战与展望 • 参考文献
目录
Part
01
机器人学基础概念
机器人的定义与分类
第7章-轨迹规划
基本运动
直线移动
定轴转动
7.3 笛卡尔路径轨迹规划
•
驱动变换：06T
B0T BPiD
T6 1
E
• D(λ)是归一化时间λ的函数，λ=t/T，λ∈[0,1]；t为
自运动开始算起的实际时间；T为走过该轨迹段的总时
间。
• 在节点Pi，实际时间t=0，因此λ=0，D(0)是4×4的单位
0 a0
f
a0 a1t f
a2t
2 f
a3t
3 f
0 a1
0
a1
2a2t f
3a3t
2 f
a0 0 a1 0
a2
3
t
2 f
f 0
a3
2
t
3 f
f 0
7.2 关节轨迹的插值计算
– 【例】已知一台连杆机械手的关节静止位置为θ=5°，该机械手从静止位置开始在4s内平滑转动到 θ=80°停止位置。试计算完成此运动并使机械臂 停在目标点的3次曲线的系数。
c 0
0
0
0
1
v vers 1cos
7.3 笛卡尔路径轨迹规划
• 旋转变换Ra(λ)表示绕矢量k转动θ角得到的，而矢量k
是Pi的y轴绕其z轴转过ψ角得到的，即：
s c s 0 0 0
k
c
s
ai 1x ai 1y ai 1z
pi 1x
pi1y
pi 1z
0 0 0 1
7.3 笛卡尔路径轨迹规划
机器人学导论第5章ppt课件
(t)c0c1tc2t2c3t3c4t4c5t5 (t)c12c2t3c3t24c4t35c5t4 (t)2c26c3t12c4t220c5t3
根据这些方程，可以通过位置、速度和加速度 边界条件计算出五次多项式的系数。
最新版整理ppt
22
i 30 o f 75
i 0度/ 秒 f 0度/ 秒
由上式可以计算出对应的最大速度
ma x2(f 。i)应/tf该
说明，如果运动段的初始时间不是0而是 ，则t a 可采用
平移时间轴的办法使初始时间为0。终点的抛物线段是
对称的，只是其加速度为最新负版整。理p因pt 此可表示为：
28
tf 1 2c2tf t2其c2中 tb
(t )
f
2tb
(ti)c1 0 (tf )c1 2c2(5)3c3(52)0
c0 30 c1 0 c2 5 .4 c 3 0 . 72
由此得到位置，速度和加速度的多项式方程如下：
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17
t305.4t2 0.72t3 t10.8t 2.16t2 t10.84.32t
(1 ) 34 . 68 ( 2 ) 45 . 84 ( 3 ) 59 . 16 ( 4 ) 70 . 32
这种运动称为连续路径运动或轮廓运动(CP)
❖
3)
障碍约束轨迹规划 最新版整理ppt
13
§5.4 关节空间的轨迹规划
一、 三次多项式的轨迹规划 我们假设机器人某一关节的运动方程是三次的
t
c0
c1t
c2t 2
c t3 3
这里初始和末端条件是
：
(ti) i
(t f ) f ( t i ) 0 ( t f ) 0
根据这些方程，可以通过位置、速度和加速度 边界条件计算出五次多项式的系数。
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22
i 30 o f 75
i 0度/ 秒 f 0度/ 秒
由上式可以计算出对应的最大速度
ma x2(f 。i)应/tf该
说明，如果运动段的初始时间不是0而是 ，则t a 可采用
平移时间轴的办法使初始时间为0。终点的抛物线段是
对称的，只是其加速度为最新负版整。理p因pt 此可表示为：
28
tf 1 2c2tf t2其c2中 tb
(t )
f
2tb
(ti)c1 0 (tf )c1 2c2(5)3c3(52)0
c0 30 c1 0 c2 5 .4 c 3 0 . 72
由此得到位置，速度和加速度的多项式方程如下：
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17
t305.4t2 0.72t3 t10.8t 2.16t2 t10.84.32t
(1 ) 34 . 68 ( 2 ) 45 . 84 ( 3 ) 59 . 16 ( 4 ) 70 . 32
这种运动称为连续路径运动或轮廓运动(CP)
❖
3)
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§5.4 关节空间的轨迹规划
一、 三次多项式的轨迹规划 我们假设机器人某一关节的运动方程是三次的
t
c0
c1t
c2t 2
c t3 3
这里初始和末端条件是
：
(ti) i
(t f ) f ( t i ) 0 ( t f ) 0
机器人技术基础课件第七章机器人轨迹规划
7.2.3 用抛物线过渡的线性插值
0
1 2
t
2
(t)
0
1 2
ta2
ta
t
ta
f
1 2
(t
t
f
)2
0 t ta ta t t ta t ta t t f
7.2.3 用抛物线过渡的线性插值
7.2.3 用抛物线过渡的线性插值
目前，在机器人运动分析中，面向关节空间的轨迹规划方法被广泛 采用，它还可以把笛卡尔路径点变换为相应的关节坐标，并用低次多 项式内插这些关节点。这种方法的优点是计算较快，而且易于处理机器 人手臂关节的动力学约束。但当取样点落在拟合的光滑多项式曲线上时 ，面向关节空间的轨迹规划方法沿笛卡尔路径的准确性会有所损失。
关节空间的轨迹规划
（7-5）
由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位 置和速度的运动轨迹。剩下的问题就是如何确定路径点上的期望关 节速度。
7.2.1 三次多项式插值
例：
设机械手的某个关节的起始关节角θ0＝150，并且机械手 原来是静止的。要求在3秒钟内平滑地运动到θf=750时停下 来(即要求在终端时速度为零)。规划出满足上述条件的平滑 运动的轨迹，并求出关节角位置、角速度及角加速度随时 间变化的方程。
θ
确定路径点
反解关节值
每个关节运 动时间相同
光滑函数拟 合每个关节
t 某关节的反解值（线性化）
▼关键要使关节轨迹满足约束条件，如各点上的位姿、速度和 加速度要求和连续性要求等，在满足约束条件下选取不同的 插值函数。
7.2.1 三次多项式插值
关节空间的轨迹规划
当已知末端操作器的起始位姿和终止位姿时，由逆 向运动学，即可求出对应于两位姿的各个关节角度。 因此，末端操作器实现两位姿的运动轨迹描述，可在 关节空间中用通过起始点关节角和终止点关节角的一
机器人学导论第7章-轨迹的生成PPT课件
- 12 θ 0
- (6θ f
+
2t 6θ
4 f
0
)
t
f
-
2
t
5 f
- (3θ0 f + (3θ0 (θ0 - θf
θf
)
t
2 f
-
2θf
)
t
2 f
)
t
2 f
(7 -18)
.
23
与抛物线拟合的线性函数
路径形状是直线,即简单地从当前的关节位置进行线性插值， 直到终止位置，如图7-5（尽管这种方法中各个关节的运动 是线性的，但是末端执行器在空间的运动轨迹一般不是直 线）为了避免起始点与终止点的关节运动速度不连续，开 始先用线性函数，但需要在每一个路径点增加一段抛物线 拟合区域。在拟合区域，使用恒定的加速度平滑的改变速 度。直线函数和两个抛物线函数组合成一条完整的位置和 速度均连续的路径。
tb
t 2
2t24f 2
0
4(f 0)
t2
.
(7- 22)
(7- 23)
26
tb
h
th
b
tb
b 是拟合段终点的
(7-19) 值，而 θ 是拟合区段的加速度
b 0 12tb2
(7- 20)
联立（7-19）和式（7-20），且 t 2 t h，可以得到
tb 2tb t(f 0)0
(7- 21)
处斜率相等。若加速度的取值越来越大，则拟合区的长度将缩短。当处于极限状态，
加速度无穷大，又回到了直线插值的情况。
.
28
例7.3 图7-8（a），加
速度 θ 的值选得较大。
此时，关节迅速加速，
相关主题
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1. 首先画出路径，接着将路径n等分(为了获得较好 的沿循精度，n越大越好) ，分别计算到达各点所需 的关节变量。 特点：关节角非均匀变化，末端沿已知路径行走。
2. 在1的基础上，考虑各关节的加速减速时间，为 防止在加速期间轨迹落后于设想的轨迹，在划分分 界点时，如果是直线轨迹，就按照方程划分。曲线 轨迹就相对复杂一些。
§第5章 轨迹规划（4学时）
学习目的： 1 理解轨迹规划原理 2 学会用轨迹规划处理实际问题
学习内容： 1 轨迹规划原理 2 关节空间的轨迹规划 3 直角坐标空间的轨迹规划 4 连续轨迹纪录
定义：
§5.1 路径与轨迹
如果规定一个机器人从A点经过B点运动到C点而不 强调时间的概念，那么这一过程中的位形序列就构 成了一条路径。如果我们强调到达其中任意一点的 时间，那么这就是一条轨迹。我们可以看出轨迹和 路径的区别就在于轨迹依赖速度和加速度。
3. 多点的情况
（1）从A向B先加速，再匀速，接近B时再减速， 从B到C再重复。为避免这一过程中不必要的停止 动作，可将B点两边的动作进行平滑过渡。机器 人先抵达B点，然后沿着平滑过渡的路径重新加 速，最终抵达并停止在C点。
（2）考虑到由于采用了平滑过渡曲线，机器人经 过的可能不是原来的B点，可事先设定一个不同的 B’’点，使曲线正好经过B点。
2 直角坐标空间描述 将轨迹分成若干段，使机器人的运动经过这些中间 点，在每一点都求解机器人的关节变量，直到到达 终点，如下图所示：
直角空间描述
特点：路径可控且可预知，直观、容易看到机器人 末端轨迹；但计算量大，容易出现奇异点，如下图 所示：
关节值突变
轨迹穿过 机器人自 身
§5.3 轨迹规划的基本原理
这种运动称为连续路径运动或轮廓运动(CP)
❖ 3) 障碍约束轨迹规划
§5.4 关节空间的轨迹规划
一、 三次多项式的轨迹规划 我们假设机器人某一关节的运动方程是三次的
t
c0
c1t
c2t
2
c t3 3
这里初始和末端条件是：
(ti ) i (t f ) f (ti ) 0 (t f ) 0
如果要求机器末端人依次通过两个以上的点， 则每一段求解出的边界速度和位置均可作为下一段 的初始条件，其余相同；
位置、速度连续，但是加速度不连续。
例5.1：已知一个关节在5秒之内从初始角30度运动 到终端角75度，使用三次多项式计算在第1，2，3， 4秒时关节的角度。（我们假设在开始和终止的瞬 间关节的速度是0)
5.2 关节空间描述与直角空间描述
1 关节空间描述 如果给定机器人运动的起点和终点，就可以利用逆 运动学方程计算出每个关节的矢量角度值；然后机 器人控制器驱动关节电机运动使机器人到达相应的 位置。这种以关节角度的函数来描述机器人轨迹的 方法称为关节空间法。 特点：在机器人运动的过程中，中间状态是不可知 的，但计算量较小，不会出现奇异点 。
t f C1 2C2t f 3C3t f 2 0
从上例可以看出，若我们已知开始和终止时刻
的角度以及角速度，那么就可以求得 ci，进而求
得关节的运动方程。
尽管每一个关节都是分别计算的，但是在实际 控制中，所有关节自始至终都是同步运动；
如果机器人初始和末端速度不为零，可以通过 给定数据得到未知数值；
(3) 在B点前后各加过渡点D,E，使得B点落在DE上。
三
❖ 1)
轨对于迹点规位划作的业分机类器人，需要描述它的起始状态和
目标状态。如果用 表示工具坐标系的起始值，
表示目标值，就是表T0示 这两个值的相对关系。 Tf
这种运动称为点到点运动(PTP)
❖ 2) 对于弧焊、研磨、抛光等曲面作业，不仅要规定 起始点和终止点，还要规定中间整个运动过程。对 于一段连续运动过程，理论上无法精确实现，实际 运动。
我们可以进一步画出关节的位置，速度和加速度曲线
可以看出，本例中需要的初始加速度为10.8度/秒2 运动末端的角加速度为-10.8度/秒2。
例题： 在例5.1的基础上继续运动，要求在其后的3秒内关节 角到达 105。画出该运动的位置，速度和加速度曲线。
思路点拨：可将第一运动段末端的关节位置和速度 作为下一运动段的初始条件。
解：
t
C0
C1t
C2t
2
C t3 3
t C1 2C2t 3C3t 2
(t) 2C2 6C3t
其中
ti 0 tf 3 可以求得
由此得到位置，速度和加速度的多项式方程如下：
t 30 5.4t 2 0.72t3 t 10.8t 2.16t 2 t 10.8 4.32t
(1) 34.68 (2) 45.84 (3) 59.16 (4) 70.32
解：由题意可得到
(ti) c0 30o (t f ) c0 c1(5) c2 (52 ) c3(53) 75o (ti ) c1 0 (t f ) c1 2c2 (5) 3c3(52 ) 0
c0 30 c1 0 c2 5.4 c3 0.72
一 关节空间的轨迹规划 1. 计算起点和终点的关节变量，各关节都以最大角 速度运动 特点：轨迹不规则，末端走过的距离不均匀，且各 关节不是同时到达。
A
B
2. 在1的基础上对关节速率做归一化处理，使各关节 同时到达终点。
特点：各关节同时到达终点，轨迹各部分比较均 衡，但所得路径仍然是不规则的。
A
B
二 直角坐标空间轨迹规划
对
t
c0
c1t
c2t
2
c t3求一阶导数得到： 3
t c1 2c2t 3c3t 2
将初始和末端条件代入得到：
ti C0 i
t f C0 C1t f C2t f 2 C3t f 3 f
ti C1 0
2. 在1的基础上，考虑各关节的加速减速时间，为 防止在加速期间轨迹落后于设想的轨迹，在划分分 界点时，如果是直线轨迹，就按照方程划分。曲线 轨迹就相对复杂一些。
§第5章 轨迹规划（4学时）
学习目的： 1 理解轨迹规划原理 2 学会用轨迹规划处理实际问题
学习内容： 1 轨迹规划原理 2 关节空间的轨迹规划 3 直角坐标空间的轨迹规划 4 连续轨迹纪录
定义：
§5.1 路径与轨迹
如果规定一个机器人从A点经过B点运动到C点而不 强调时间的概念，那么这一过程中的位形序列就构 成了一条路径。如果我们强调到达其中任意一点的 时间，那么这就是一条轨迹。我们可以看出轨迹和 路径的区别就在于轨迹依赖速度和加速度。
3. 多点的情况
（1）从A向B先加速，再匀速，接近B时再减速， 从B到C再重复。为避免这一过程中不必要的停止 动作，可将B点两边的动作进行平滑过渡。机器 人先抵达B点，然后沿着平滑过渡的路径重新加 速，最终抵达并停止在C点。
（2）考虑到由于采用了平滑过渡曲线，机器人经 过的可能不是原来的B点，可事先设定一个不同的 B’’点，使曲线正好经过B点。
2 直角坐标空间描述 将轨迹分成若干段，使机器人的运动经过这些中间 点，在每一点都求解机器人的关节变量，直到到达 终点，如下图所示：
直角空间描述
特点：路径可控且可预知，直观、容易看到机器人 末端轨迹；但计算量大，容易出现奇异点，如下图 所示：
关节值突变
轨迹穿过 机器人自 身
§5.3 轨迹规划的基本原理
这种运动称为连续路径运动或轮廓运动(CP)
❖ 3) 障碍约束轨迹规划
§5.4 关节空间的轨迹规划
一、 三次多项式的轨迹规划 我们假设机器人某一关节的运动方程是三次的
t
c0
c1t
c2t
2
c t3 3
这里初始和末端条件是：
(ti ) i (t f ) f (ti ) 0 (t f ) 0
如果要求机器末端人依次通过两个以上的点， 则每一段求解出的边界速度和位置均可作为下一段 的初始条件，其余相同；
位置、速度连续，但是加速度不连续。
例5.1：已知一个关节在5秒之内从初始角30度运动 到终端角75度，使用三次多项式计算在第1，2，3， 4秒时关节的角度。（我们假设在开始和终止的瞬 间关节的速度是0)
5.2 关节空间描述与直角空间描述
1 关节空间描述 如果给定机器人运动的起点和终点，就可以利用逆 运动学方程计算出每个关节的矢量角度值；然后机 器人控制器驱动关节电机运动使机器人到达相应的 位置。这种以关节角度的函数来描述机器人轨迹的 方法称为关节空间法。 特点：在机器人运动的过程中，中间状态是不可知 的，但计算量较小，不会出现奇异点 。
t f C1 2C2t f 3C3t f 2 0
从上例可以看出，若我们已知开始和终止时刻
的角度以及角速度，那么就可以求得 ci，进而求
得关节的运动方程。
尽管每一个关节都是分别计算的，但是在实际 控制中，所有关节自始至终都是同步运动；
如果机器人初始和末端速度不为零，可以通过 给定数据得到未知数值；
(3) 在B点前后各加过渡点D,E，使得B点落在DE上。
三
❖ 1)
轨对于迹点规位划作的业分机类器人，需要描述它的起始状态和
目标状态。如果用 表示工具坐标系的起始值，
表示目标值，就是表T0示 这两个值的相对关系。 Tf
这种运动称为点到点运动(PTP)
❖ 2) 对于弧焊、研磨、抛光等曲面作业，不仅要规定 起始点和终止点，还要规定中间整个运动过程。对 于一段连续运动过程，理论上无法精确实现，实际 运动。
我们可以进一步画出关节的位置，速度和加速度曲线
可以看出，本例中需要的初始加速度为10.8度/秒2 运动末端的角加速度为-10.8度/秒2。
例题： 在例5.1的基础上继续运动，要求在其后的3秒内关节 角到达 105。画出该运动的位置，速度和加速度曲线。
思路点拨：可将第一运动段末端的关节位置和速度 作为下一运动段的初始条件。
解：
t
C0
C1t
C2t
2
C t3 3
t C1 2C2t 3C3t 2
(t) 2C2 6C3t
其中
ti 0 tf 3 可以求得
由此得到位置，速度和加速度的多项式方程如下：
t 30 5.4t 2 0.72t3 t 10.8t 2.16t 2 t 10.8 4.32t
(1) 34.68 (2) 45.84 (3) 59.16 (4) 70.32
解：由题意可得到
(ti) c0 30o (t f ) c0 c1(5) c2 (52 ) c3(53) 75o (ti ) c1 0 (t f ) c1 2c2 (5) 3c3(52 ) 0
c0 30 c1 0 c2 5.4 c3 0.72
一 关节空间的轨迹规划 1. 计算起点和终点的关节变量，各关节都以最大角 速度运动 特点：轨迹不规则，末端走过的距离不均匀，且各 关节不是同时到达。
A
B
2. 在1的基础上对关节速率做归一化处理，使各关节 同时到达终点。
特点：各关节同时到达终点，轨迹各部分比较均 衡，但所得路径仍然是不规则的。
A
B
二 直角坐标空间轨迹规划
对
t
c0
c1t
c2t
2
c t3求一阶导数得到： 3
t c1 2c2t 3c3t 2
将初始和末端条件代入得到：
ti C0 i
t f C0 C1t f C2t f 2 C3t f 3 f
ti C1 0