晶体与空间群概述
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实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素 的各种可能组合之一，由对称元素组合成对称操作群 时，对称轴之间的夹角、对称轴的数目，都会受到严 格的限制，例如，若有两个2重轴，它们之间的夹角只 可能是 300,450,600,900 ，可以证明总共只能有32种不同 的组合方式，称为 32 种点群。形形色色的晶体就宏观 对称性而言，总共只有这 32 种类型，每种晶体一定属 于这 32 种点群之一，这是对晶体按对称性特点进行的 第一步分类。
➊微观对称元素不仅有方向性，还 有严格的固定位置。方向相同的 同种对称元素有无数多个，对称 元素不可能交于一点；
➋在进行移动操作时，若移距缩小 为零，微观对称元素就变成同类 的宏观对称元素，螺旋轴变成旋 转轴，滑移面变成对称面。
❸从一个点阵点到整个空间格 子有无限多种平移轴，通常用 具有代表性的平移轴组合来表 征，这种组合称为平移群。若 用14种布拉维格子来代表微观 对称的平移群，则布拉维格子 就称为平移格子或移动格子。
从宏观对称元素衍生 出来的微观对称元素：
m：a、b、c、n、d 2：21 3：31、32 4：41、42、43 6：61、62、63、64、65
如四方晶系四次对称轴 (4、41、42、43)，有P、I两种 格子，进行排列组合可得6种 空间群：
P4 P41 P42 P43 I4 I41
(I42 =I4 I43=I41)
❹晶体的微观对称是宏观对称 的本质，宏观对称又是微观对 称的外部表现。微观对称元素 的移距为0时，空间群变成点 群；相反，点群也可因各对称 元素有不同的移距，而分裂成 不同的空间群。
空间群的国际符号
三个窥视方向
P212121
格子类型
(P,F,I,A,B,C,R)
空间群的圣佛利斯符号
C4点群 C41、 C42 、 C43 、 C44 、 C45 、 C46
晶系与空间群
32种 结晶学点群
在不影响晶族对称性的前
提下，对晶胞加“心”，最多 可得到14种独立的布拉维格子； 而14种布拉维格子通过一个公 共点的全部对称元素，可组合 形成32种满足数学中群定义的 点群。
不论任何晶体，它的宏观对称元素只有8种对称元素：
1, 2,3, 4, 6,i, m, 4
费德洛夫 12.22.1853– 5.21.1919
Arthur Moritz Schönflies (1853.4.17— 1928.5.27)
空间群被完整推导出来
之前，费德洛夫在乌拉尔矿 山工作，圣佛利斯则在德国 哥迁根师从克莱恩(Klein)学 习数学。圣佛利斯的空间群 工作略迟于费德洛夫。他们 两个原不认识，都在独自工 作。
Cn
Cn群
Cnh群
Cn
Cnv群
Cn
Cn
Dn群
n个C2
Cn
Dnh群
Dnd 群
Cn
n个σd
n个C2
Sn
Sn群
正四面 体的对称 性用Td表 示。
Td 群
T群
Td群中12个 纯转动操作组 成的子群。
Oh群
正八面体群
O群
Oh群中 的24个纯 转动操作 组成的子 群。
➋国际符号
国际符号一般由三
个位构成，每个位代表 一个窥视方向。每个晶 系的晶轴选择都有特别 的规定：
极射赤面投影
m3m-Oh点群极射赤平投影图
研究点群的意义
对晶体进一步分类：所有 晶体分属32种晶类，每种晶 类对应一种点群；
点群是空间群的基础； 固体的性质与点群有关。
在32种晶体点群中，有 21种没有对称中心，其中20 种点群的晶体具有压电效应： 10种极性、10种非极性。极 性压电晶体指具有永久偶极 矩，如钛酸钡、铌酸锂晶体 等。
分 子 与 晶 体 点 群
n? ？
230种空间群
点群一般用于研究有限图 形的对称性—对称元素有限且 必相交于一点。晶体的内部构 造是由无数个化学质点在三维 空间组合而成的，任何相邻两 质点之间均仅有以nm为单位的 微小距离。
晶体构造可认为是沿三维
空间延伸的无限图形，所有对 称元素(包括对称元素的交点) 在三维空间作平行排列，也不 交于一点。
1, 2,3, 4,6,1, 2,3, 4,6
2 是反映面 m，而 3 3 i,6 3 m 不是独立的。
参见陈长乐《固体物理学》P15-16
三. 晶体宏观对称性的表述：点群：
晶体中只有 8 种独立的对称元素：
C1 (1)、C2 (2)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)、Ci (i)、σ(m)和 S34(4)
He worked first on geometry and kinematics but became best known for his work on set theory and crystallography. He classified the 230 space groups in 1891 and created a symbolic language for them (the Schoenflies symbols).
所谓结晶学空间群，即 “空间对称操作(元素)系”， 就是能使三维周期物体(无限 大晶体)自身重复的几何对称 操作的集合。构成空间群的 这些操作的集合构成数学意 义上的群。
在晶体构造的无限图形
中，除了有限图形的宏观对 称元素外，还有其特有的移 动对称元素，包括平移对称 轴、螺旋对称轴和滑移对称 面。微观对称的主要特点如 下：
晶体学点群源自文库号
Schonflies符号 国际符号 极射赤面投影图
Schonflies符号
Arthur Schönflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schönflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
1891年圣佛利 斯发表巨著《晶系 与晶体结构》，但 当他得知费德洛夫 的工作优先与他时， 他给费德洛夫写了 一封信：
➊微观对称元素不仅有方向性，还 有严格的固定位置。方向相同的 同种对称元素有无数多个，对称 元素不可能交于一点；
➋在进行移动操作时，若移距缩小 为零，微观对称元素就变成同类 的宏观对称元素，螺旋轴变成旋 转轴，滑移面变成对称面。
❸从一个点阵点到整个空间格 子有无限多种平移轴，通常用 具有代表性的平移轴组合来表 征，这种组合称为平移群。若 用14种布拉维格子来代表微观 对称的平移群，则布拉维格子 就称为平移格子或移动格子。
从宏观对称元素衍生 出来的微观对称元素：
m：a、b、c、n、d 2：21 3：31、32 4：41、42、43 6：61、62、63、64、65
如四方晶系四次对称轴 (4、41、42、43)，有P、I两种 格子，进行排列组合可得6种 空间群：
P4 P41 P42 P43 I4 I41
(I42 =I4 I43=I41)
❹晶体的微观对称是宏观对称 的本质，宏观对称又是微观对 称的外部表现。微观对称元素 的移距为0时，空间群变成点 群；相反，点群也可因各对称 元素有不同的移距，而分裂成 不同的空间群。
空间群的国际符号
三个窥视方向
P212121
格子类型
(P,F,I,A,B,C,R)
空间群的圣佛利斯符号
C4点群 C41、 C42 、 C43 、 C44 、 C45 、 C46
晶系与空间群
32种 结晶学点群
在不影响晶族对称性的前
提下，对晶胞加“心”，最多 可得到14种独立的布拉维格子； 而14种布拉维格子通过一个公 共点的全部对称元素，可组合 形成32种满足数学中群定义的 点群。
不论任何晶体，它的宏观对称元素只有8种对称元素：
1, 2,3, 4, 6,i, m, 4
费德洛夫 12.22.1853– 5.21.1919
Arthur Moritz Schönflies (1853.4.17— 1928.5.27)
空间群被完整推导出来
之前，费德洛夫在乌拉尔矿 山工作，圣佛利斯则在德国 哥迁根师从克莱恩(Klein)学 习数学。圣佛利斯的空间群 工作略迟于费德洛夫。他们 两个原不认识，都在独自工 作。
Cn
Cn群
Cnh群
Cn
Cnv群
Cn
Cn
Dn群
n个C2
Cn
Dnh群
Dnd 群
Cn
n个σd
n个C2
Sn
Sn群
正四面 体的对称 性用Td表 示。
Td 群
T群
Td群中12个 纯转动操作组 成的子群。
Oh群
正八面体群
O群
Oh群中 的24个纯 转动操作 组成的子 群。
➋国际符号
国际符号一般由三
个位构成，每个位代表 一个窥视方向。每个晶 系的晶轴选择都有特别 的规定：
极射赤面投影
m3m-Oh点群极射赤平投影图
研究点群的意义
对晶体进一步分类：所有 晶体分属32种晶类，每种晶 类对应一种点群；
点群是空间群的基础； 固体的性质与点群有关。
在32种晶体点群中，有 21种没有对称中心，其中20 种点群的晶体具有压电效应： 10种极性、10种非极性。极 性压电晶体指具有永久偶极 矩，如钛酸钡、铌酸锂晶体 等。
分 子 与 晶 体 点 群
n? ？
230种空间群
点群一般用于研究有限图 形的对称性—对称元素有限且 必相交于一点。晶体的内部构 造是由无数个化学质点在三维 空间组合而成的，任何相邻两 质点之间均仅有以nm为单位的 微小距离。
晶体构造可认为是沿三维
空间延伸的无限图形，所有对 称元素(包括对称元素的交点) 在三维空间作平行排列，也不 交于一点。
1, 2,3, 4,6,1, 2,3, 4,6
2 是反映面 m，而 3 3 i,6 3 m 不是独立的。
参见陈长乐《固体物理学》P15-16
三. 晶体宏观对称性的表述：点群：
晶体中只有 8 种独立的对称元素：
C1 (1)、C2 (2)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)、Ci (i)、σ(m)和 S34(4)
He worked first on geometry and kinematics but became best known for his work on set theory and crystallography. He classified the 230 space groups in 1891 and created a symbolic language for them (the Schoenflies symbols).
所谓结晶学空间群，即 “空间对称操作(元素)系”， 就是能使三维周期物体(无限 大晶体)自身重复的几何对称 操作的集合。构成空间群的 这些操作的集合构成数学意 义上的群。
在晶体构造的无限图形
中，除了有限图形的宏观对 称元素外，还有其特有的移 动对称元素，包括平移对称 轴、螺旋对称轴和滑移对称 面。微观对称的主要特点如 下：
晶体学点群源自文库号
Schonflies符号 国际符号 极射赤面投影图
Schonflies符号
Arthur Schönflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schönflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
1891年圣佛利 斯发表巨著《晶系 与晶体结构》，但 当他得知费德洛夫 的工作优先与他时， 他给费德洛夫写了 一封信：