《两点间的距离》教学设计(优质课)

两点间的距离

（一）教学目标

1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。

2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；

3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。

（二）教学重点、难点

重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。

（三）教学方法

启发引导式

教学环节教学内容师生互动设计意图

复习引入复习数轴上两点的距离公式. 设问一：

同学们能否用以前所学知

识解决以下问题：

已知两点P1 (x1，y1)，P2(x2，

y

2

)求|P1P2|

设置情境导入

新课

概念形成过P1、P2分别向x轴和y轴作垂

线，垂足分别为N1(0，y)，M2(x2，

0)直线P1N1与P2M2相交于点Q.

在直角△ABC中，|P1P2|2= |P1Q|2

+ |QP2|2，为了计算其长度，过点

P

1

向x轴作垂线，垂足为M1 (x1，

0)过点P2向y轴作垂线，垂足为

在教学过程中，可以提出

问题让学生自己思考，教

师提示，根据勾股定理，

不难得到.

通过提问思考

教师引导，使

学生体会两点

间距离公式形

成的过程.

N 2 (0，y 2)，于是有|P 1Q |2 = |M 2M 1|2

= |x 2 – x 1|2，

|QP 2|2 = |N 1N 2|2 = |y 2 – y 1|2. 由此得到两点间的距离公式

22

122121||()()

PP x x y y =-+- 应用举例

例1 已知点A (–1，2)，(2,7)

B 在x 轴上求一点，使|PA | = |PB |，并求|PA |的值.

解：设所求点P (x ，0)，于是有

2222

(1)(02)(2)(07)x x ++-=-+-∴x 2

+ 2x + 5 = x 2

– 4x + 11 解得x = 1

∴所求点P (1，0)且

22||(11)(02)22

PA =++-=

同步练习，书本112页第1、2题.

教师讲解思路，学生上台板书. 教师提问：还有其它的解

法，由学生思考，再讨论提出

解法二：由已知得，线段

AB 的中点为127(,)22

M +

，

直线AB 的斜率为

22722731

()||

32227

72

(12)(02)22

3

k x PA -+=

=⋅---=++-=线段AB 的垂直平分线的方程是

2731

()2227

y x +-

=⋅--

在上述式子中，令y = 0，解得x = 1.

所以所求点P 的坐标为(1，0).因此

通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用.

22

||(12)(02)22 PA=++-=

例2 证明平行四边形四条边的

平方和等于两条对角线的平方和.

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.

证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).

设B (a，0)，D (b，c)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(a + b，c)，因为|AB|2 = a2，|CD|2 = a2，

|AD|2 = b2 + c2 = |BC|2

|AC|2 = (a + b)2 + c2，

|BD|2 = (b–a)2 + c2

所以，|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 =

2 (a2 + b2 + c2)

|AC|2– |BD|2 = 2(a2 + b2 + c2)所以，此题让学生讨论解决，再

由学生归纳出解决上述问

题的基本步骤：

第一步：建立直角坐标系，

用坐标表示有关的量.

第二步：进行有关代数运

算.

第三步：把代数结果“翻

译”成几何关系.

思考：同学们是否还有其

它的解决办法？

还可用综合几何的方法证

明这道题.

让学生深刻体

会数形之间的

关系和转化，

并从中归纳出

应用代数问题

解决几何问题

的基本步骤.

|AB |2 + |CD |2 + |AD |2 + |BC |2

= |AC |2 + |BD |2

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 归纳总结

主要讲述了两点间距离公式的推

导，以及应用，要懂得用代数的

方法解决几何问题，建立直角坐

标系的重要性. 师生共同总结 让学生更进一

步体会知识形

成过程

课后作业

布置作业

见习案3.3的第二课时.

由学生独立完成 巩固深化

备选例题

例1 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标 【解析】设点P 的坐标为 (x ，0)，由|PA | = 10，得：

22(3)(06)10x -+-= 解得：x = 11

或x = –5.

所以点P 的坐标为(–5，0)或(11，0).

例2 在直线l ：3x – y – 1 = 0上求一点P ，使得： （1）P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； （2）P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小. 【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3).

AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=⎧⎨

--=⎩ 解2

5x y =⎧⎨=⎩

得

P (2，5).

（2）C 关于l 对称点324

(,

)55

C '