新北师大版九年级正方形的性质与判定-第二课时

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北师大版九年级数学上册《正方形的性质与判定》第2课时示范公开课教学课件

已知：如图，点 A1，B1，C1，D1 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 A1B1C1D1 为正方形.
已知：如图，点 A1，B1，C1，D1 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 A1B1C1D1 为正方形.
又∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC = BD(正方形的对角线相等) AC⊥BD(正方形的对角线互相垂直)，∴A1B1 = A1D1 = B1C1 = C1D1，∠1 = 90°.∴四边形 A1B1C1D1是菱形，∠2 = 90°.∴四边形 A1B1C1D1为正方形.
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.
满足怎样条件的矩形是正方形？
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.
【猜想1】当矩形的___________时，会变成一个正方形.
一组邻边相等
【猜想2】当矩形的________________时，会变成一个正方形.
3 正方形的性质与判定第2课时
观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形具有哪些性质呢？
正方形
观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有哪些性质呢？
正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠DCB=90°.
分析：
由BF∥CE，CF∥BE，可证四边形 BECF 是平行四边形.
又由BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，可得∠EBC = ∠ECB =45°，所以EB = EC.从而四边形BECF 是菱形.

新北师大版九年级数学上册《第2课时正方形的判定》教学课件

A .6 cm B .4 cm C .3 cm D .2 cm
第一章
第2课时正方形的判定
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-6-
6.(教材母题变式)矩形 A B C D 的对角线 A C , B D 相交于点O,请你添加一个适当的条件 A B = B C (答案不唯一) ,使其成为正方形.(只填一个即可)
解:(1)∵ D E⊥ B C ,∴∠ D F B =90°, ∵∠ A C B =90°,∴∠ A C B =∠ D F B ,∴ A C ∥ D E, ∵MN∥ A B ,即 C E∥ A D , ∴四边形 A D E C 是平行四边形,∴ C E= A D . (2)①理由:略. ②理由:略.
证明:∵ C E∥ D B , B E∥ A C , ∴四边形 O B E C 是平行四边形. ∵四边形 A B C D 是正方形,
∴ A C ⊥ B D ,O B =12 B D =12 A C =O C ,
∴平行四边形 O B E C 是菱形. 又∵∠ B O C =90°,∴菱形 O B E C 是正方形.
第一章特殊平行四边形
正方形的性质与判定
第2课时
第一章
第2课时正方形的判定
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-2-
知识点1 用定义判定正方形 1.如果要证明平行四边形 A B C D 为正方形,那么我们需要在四边形 A B C D 是平行四边形的基础上,进一步证明( B ) A.A B=B D且A C⊥B D B .∠ A =∠ B 且 A B = A D C .∠ A =∠ B 且 A C = B D D . A C 和 B D 互相垂直平分 2.已知四边形 A B C D 中,∠ A =∠ B =∠ C =90°,若使四边形 A B C D 是正方形,则还需加上一个条件 A B = B C (答案不唯一) .

初中数学北师大版九年级上册《正方形的性质与判定第二课时》课件

OB=OD=
1 2
BD = 1
2
×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABC中，
B
∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形.
O
A
C
∴AB = BD = 6.
D
1. 已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,
AB= 5 ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形.
证明：在△AOB中.
角线平分一组对角
轴对称图形
平行
四个角
且四边相等都是直角
互相垂直平分且相等，每一中心对称图形
条对角线平分一组对角
轴对称图形
二、菱形、矩形、正方形的常用判定方法
四边形
条件
①定义：有一外角是直角的平行四边形 ②三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 ①定义：一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
矩形
平行四边形
一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直平分且相等）
正方形
菱形
必做：1.习题（1、3） 2.用所学中点四边形的知识，设计一个基本图形，然后在
方格纸内通过平移、旋转或轴对称进行图案设计。
D
2
又∵∠DAB=90° ,
O
B
C
（矩形的四个角都是直角）
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
4.如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , △ABO是等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积.

北师大版九年级数学上册正方形的性质与判定第2课时课件

123456
第2课时正方形的判定
知识梳理课时学业质量评价
2. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，添加下列条
件，能使菱形 ABCD 成为正方形的是( A )
A. AC ＝ BD
B. AC ⊥ BD
C. AD ＝ AB
D. AC 平分∠ DAB
第2题图
1234性质与判定（第2课时）
回顾复习
正方形的判定定理： 1. 对角线相等的菱形是正方形. 2. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 3. 有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 有一组邻边相等的矩形是正方形.
典例精讲
例1 已知：如图1，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC， CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形.
E
F
A
图2 C
探究新知
2. 如图3，E，F分别为AB，AC的中点，在AC的下方找一点D，作CD和AD的中点G，H，问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？B
EF∥HG EH∥FG
3. 四边形EFGH的形状有什么特征？
四边形EFGH是平行四边形.
E
F
C
AH G
D 图3
探究新知
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
C. ②③
D. ②④
第3题图
123456
第2课时正方形的判定
知识梳理课时学业质量评价
4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，若 AC ＝ BD ，请你添加一个条件 AC ⊥ BD (答案不唯一) ，使四边形 ABCD 是正方形.(填一个即可)

1.3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定(教案)2022秋九年级上册初三数学北师大版(安徽)

三、教学难点与重点
1.教学重点
-正方形定义及其性质的理解与应用。
-正方形判定方法的掌握与运用。
-运用判定方法解决实际问题时，对正方形性质的应用能力。
举例：
a.通过正方形的定义，引导学生理解正方形与其他四边形（如矩形、菱形）的区别与联系。
b.强调正方形判定方法的条件，如直角、对角线垂直平分等，并让学生通过实际操作加深理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“正方形的判定”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一个图形是否为正方形的情况？”（如设计海报时需要确定正方形尺寸）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正方形判定的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调“有一个角是直角的菱形是正方形”和“对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形”这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何通过测量对角线长度和角度来判断一个四边形是否为正方形。
c.通过典型例题，让学生学会在解决问题时，如何将正方形的性质与判定方法有机结合，提高解题效率。
2.教学难点
-对正方形判定方法的理解与运用，特别是对角线垂直平分且相等的判定。
-在解决实际问题时，如何从复杂图形中识别出正方形，并运用其性质简化问题。
-对正方形性质与判定方法的综合运用，尤其是在几何证明题中的应用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

3.正方形的性质与判定第2课时正方形的判定PPT课件(北师大版)

证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90° ∴∠CFD＝∠DEC＝∠FCE＝90° ∴四边形CFDE是矩形又∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC ∴DF＝DE，∴矩形CFD松过招
第二招
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D、E、F分别是BC、AB、AC边上的中点．求证：四边形AEDF是正方形．
第2课时正方形的判定
新知导航
知识点3：四边相等且有1个角是直角【例3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB 的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F. 求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD， BC于点E，O，F，∴EC＝ED，FC＝FD， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，又CD⊥EF ∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF ∴ED＝EC＝CF＝FD，∴四边形CEDF为菱形， ∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF为正方形．
证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N， ∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四边形CFDE是矩形， ∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DN⊥AB于点N， ∴DE＝DN，DN＝DF，∴DF＝DE， ∴矩形CFDE是正方形．
证明：∵D，E，F分别是BC，
AB，AC的中点．∴AE∥DF，DE∥AF
∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形
∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点
∴DE＝12
AC，DF＝
1 2
AB
又AB＝AC，∴DE＝DF.∴矩形AEDF是正方形．
第2课时正方形的判定

北师大版九年级上册数学 1.3 正方形的性质与判定(二)(2)

第一章特殊平行四边形3.正方形的性质与判定（二）一、学生知识状况分析学生的知识基础：学生之前已经借助折纸、画图、测量、证明等活动探索过平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，还在第一课时学习了正方形的性质，本节课主要是对正方形的判定进行推理证明，而前面的探索过程和方法为本节课的推理证明提供了铺垫，为学生提供了相应的定理证明思路。

八年级时学生还学习了“三角形中位线定理”，这些都为本节课探究“中点四边形”做了铺垫，学生已经具备了探究该命题的基本技能。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历了“探索—发现—猜想—证明”的过程，并初步体会了获得猜想后还应予以证明的意义，感受到了合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辨证关系，并且学生具有了一定的推理证明的能力。

同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析教材基于学生对特殊平行四边形和三角形中位线定理的认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：掌握正方形判定定理、理解中点四边形形状取决于原四边形的对角线的位置和数量关系，但这仅仅是这堂课外显的近期目标。

本课内容从属于“图形与几何”中的“图形的性质”，因而务必服务于演绎推理教学的远期目标：“让学生经历‘探索—发现—猜想—证明’的过程，体会证明的必要性，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想，发展空间观念”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。

为此，本节课的教学目标是：知识与技能：1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。

2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力。

3.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。

过程与方法：1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的因素，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。

正方形的性质与判定第2课时课件北师大版九年级上册数学

合作探究
2.如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，
然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F.你认为四边形ABEF是
什么特殊四边形？请说出你的理由.
合作探究
解:四边形ABEF是正方形.
理由:∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAF＝∠B＝90°.∵∠B
与∠AFE折叠后重合，∴∠AFE＝∠B＝90°，∴四边形ABEF
∴△APC≌△BPD，
∴AC＝BD.
合作探究
∵E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，

∴EF＝ AC，FG＝ BD，

∴EF＝FG.
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形.
合作探究
如图2，设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M，AC与
EH交于点N.
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP＝∠BDP.
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，
∴四边形DFAE为正方形.

∴EH∥FG且EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形.
合作探究
(2)四边形EFGH是正方形.
理由:如图2，连接AC，BD.
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，
即∠APC＝∠BPD.
= ,
ቐ∠ = ∠,
= ,
(2)若∠A＝90°，求证:四边形DFAE是正方形.
合作探究
证明:(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
∴△BED≌△CFD.
合作探究
(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，

北师版数学九年级上册课件1.3 正方形的性质与判定(第2课时) (共21张PPT)

2.如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（） A
A．邻边相等的矩形是正方形. B．对角线相等的菱形是正方形. C．两个全等的直角三角形构成正方形. D．轴对称图形是正方形.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分 AC，ห้องสมุดไป่ตู้F⊥BC，当△ABC满足条件 AC=BC 时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
∴□BECF是菱形（菱形的定义）.
在△EBC中，
∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，
∴∠BEC=90°,
∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
做一做
我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.那么，任意画一个正方形，如图，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.
证明：(1) ∵BD平分ABC， ∴ABD=CBD. 又∵BA=BC，BD=BD， ∴△ABD ≌△CBD. ∴ADB=CDB. (2) ∵PMAD，PNCD，∠ADB=∠CDB， ∴PMD=PND=90，PM=PN. 又∵ADC=90， ∴四边形MPND是矩形. ∵PM=PN. ∴四边形MPND是正方形.
4.能使平行四边形ABCD为正方形的条件是 AB=BC且∠A=90° （填上一个符合题目要求的条件即可）．
5.(2013•南京中考) 如图，在四边形ABCD中， AB=BC，对角线BD平分ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M、N. (1) 求证：ADB=CDB； (2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。

新北师大版九年级上册1.3正方形的性质与判定2

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2.对角线相等且互相垂直平分的四边形是（ B ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．平行四边形
4.（2012•丹徒）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D 为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；
判断下列命题是否正确，不是正方形的补充什么条件能让它成为正方形？
• • • • • •
四个角都相等的四边形是正方形；四条边都相等的四边形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线垂直且相等的四边形是正方形; 四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.
(×) (×) (√ ) (√ ) (×)
(√ )
例题展示
例2：在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：BECF是正方形．
课堂练习
1．（2013•铜仁地区）下列命题中，真命题是（ C ） A．对角线相等的四边形是矩形 B平行四边形
（2）当∠A=90°时，试判断四边形DFAE是何特殊四边形？并说明理由．
5.已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分线 ,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F.
试说明：四边形DEBF是正方形.
解:∵ DF⊥BC,DE⊥AB, ∴ ∠DEB= ∠DFB=90°, 又∵ ∠ABC=90°, ∴四边形DEBF是矩形
北师大版数学九年级上册
第一章
特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定（2）
图形之间的变化关系
矩形
有一组邻边相等
平行四边形
正方形
有一个角是直角
菱形
正方形的判定方法

初中数学北师大版九年级上册《13正方形的性质与判定第二课时》教案

第二课时：正方形的判定教材分析：教材基于学生对特殊平行四边形和三角形中位线定理的认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：掌握正方形判定定理、理解中点四边形形状取决于原四边形的对角线的位置和数量关系，但这仅仅是这堂课外显的近期目标。

教学目标：【知识与技能】1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。

3.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。

【过程与方法】1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的因素，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。

2.通过凸四边形的中点四边形的探求过程，以及引申至凹四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳、类比、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力。

【情感态度与价值观】通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力，并使学生发现数学中蕴涵的美，激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣。

教学重难点：【教学重点】重点：掌握正方形的性质和判定，以及证明【教学难点】难点：运用综合法证明课前准备：多媒体，矩形纸片教学过程：一、导入新课问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？问题2：你是如何判断是矩形、菱形？【设计意图】通过这个活动，首先是学生能够主动地对正方形的相关知识有一个系统的回顾和认知，让学生以一种比较有趣的形式对这部分知识进行自主的复习，激发学生对本节知识的学习兴趣。

北师大版年数学九年级上册第一章《正方形的性质与判定(第2课时正方形的判定)》

A．45° C．60°
B．55° D．75°
2.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当 ∠B＝90°时，如图①，测得AC＝2，当∠B＝60°
时，如图②，AC＝( A )
A． 2 C. 6
B．2
D．2 2
3.如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE
6.如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF. 求证：CE＝DF.
证明：∵ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，又∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴BE＝CF，在△CEB和△DFC中， ∴△CEB≌△DFC，∴CE＝DF.
证明 ∵ BF∥CE，CF∥BE ∴ 四边形BECF是平行四边形
A
D
E
∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC＝90° ∠DCB＝90°
B
C
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB
∴∠EBC= 12∠ABC=45°∠ECB= 12∠DCB=45°
F
∴ ∠EBC∠ECB ∴EB=EC
□ BECF是菱形（菱形的定义）
△EBC中∠EBC=45°∠ECB=45°
∴∠BEC=90° ∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）
Hale Waihona Puke 练习已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点， DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F.且
BF＝CE.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样
2．正方形的对角线相等且_互__相__垂__直__平__分_．

北师大版九年级数学上册《正方形的性质与判定(二)》精品课件

•
第三环节猜想结论，分组验证 B
2.在AC的下方找一点D, 做
CD和AD的中点G、H,问EF和
GH有怎样的关系？EH和FG E
F
呢？
3 . 四边形 EFGH 的形状有什
么特征？
A
H
C G D
第三环节猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021 7:50:24 AM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/292021/7/292021/7/29Jul-2129-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/292021/7/292021/7/29Thursday, July 29, 2021
选做：习题1.8（5）
第三环节猜想结论，分组验证
对角线相等的四边形的中点四边形
是菱形
对角线垂直的四边形的中点四边形
是矩形
对角线既相等又垂直的四边形的中对角线既不相等又不垂直的四边形的中
点四边形是正方形
点四边形是平行四边形